A 、 第三章 函数的概念和性质Ⅰ 教学要求（1）了解映射的概念.（2）理解函数的概念，了解函数的三种表示法，理解分段函数的定义及表示法.（3）理解函数的单调性和奇偶性.（4）了解反函数的概念，掌握简单函数的反函数的求法，了解函数)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像之间的关系.（5）掌握一元二次函数的性质及其图像，掌握解一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.（6）会用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.（7）了解函数的实际应用.Ⅱ 教材分析、教学建议和练习题解答现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型，在工业革命时代，函数是数学中最基本的概念之一. 现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展. 由此促使了离散数学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一.映射也是日常生活中许多现象的抽象.中学生学习映射的概念，至少有三方面的好处：作为现代社会的居民，能看懂信息时代的书报、电视；在日常生活中把事情做好；能更好理解函数的概念，反函数的概念.函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义.本教材从函数的图像引出奇函数与偶函数的概念，既直观，同时又揭示了其本质. 本教材运用映射的观点阐述反函数的概念，给出反函数的求法，这与传统的方法不同.我们有创新，使得反函数概念的本质容易理解，使得反函数的求法严谨且易于掌握. 本章第三单元讲一元二次函数，这是在初中讲一元二次函数的基础上进一步讲清楚道理，运用第二单元函数的单调性和奇偶性的一般理论来具体地研究一元二次函数的性质和图像，既让学生学习如何运用理论研究具体函数的性质和图像，又使画函数图像的方法严谨、科学.待定系数法是数学中的一种重要方法，本章用一节介绍如何用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.总之，本章首先介绍映射和函数的概念，然后讨论函数的一般性质，最后运用函数的单调性和奇偶性的一般理论研究一元二次函数，并且介绍了一元二次不等式的解法. 本章的重点是：映射的概念，函数的概念，函数的图像，函数的单调性、奇偶性；一元二次函数的性质和图像，一元二次函数的最大值或最小值；解一元二次不等式的图像法；待定系数法.本章的难点是：映射的概念，点M在函数的图像上的充分必要条件，反函数的概念，函数的实际应用.学好本章的关键是：了解映射的概念，理解函数的图像的意义.本章教学时间约需15课时，具体分配如下：3.1 映射1课时3.2 函数的定义及记号1课时3.3 函数的三种表示法1课时3.4 分段函数1课时3.5 函数的单调性1课时3.6 函数的奇偶性2课时3.7 函数的图像2课时3.8 反函数1课时3.9 一元二次函数的性质及其图像1课时3.10 用待定系数法求函数的解析式1课时3.11 函数的实际应用1课时本章小结2课时3.1 映射1. 集合的概念与映射的概念是现代数学中最基本的两个概念. 在信息时代，映射的概念比函数的概念更基本. 理解了映射的概念，就能更深刻地理解函数的概念.2. 在讲映射的定义时，要着重指出：有两个集合和一个对应法则，并且这个对应法则使第一个集合的每一个元素，都有第二个集合中唯一确定的元素与它对应.3. 设f是集合A到集合B的一个映射，则把A叫做定义域，把B叫做值域.许多教材没有给第二个集合起名字，有的教材把第二集合叫做陪域.4. 一个映射f：BA→由定义域、值域和对应法则组成，它们称为映射的三要素，因此两个映射相等的定义应当是：定义域相等，值域相等，对应法则相同.3.1的练习答案1.（1）不是；（2）是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是；（5）不是.3.（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）不是.4. 是3.2 函数的定义及记号1. 在现实世界中有不少变量之间有确定性的依赖关系，函数就是研究这种关系的有力工具. 研究各种各样的函数的性质是数学的重要内容之一.2. 函数的概念包含三个要素：定义域，值域和对应法则. 从而两个函数相等当且仅当它们的定义域相等，并且对应法则相同.3. 例1（1）求函数值，例如求3xx=xf在处的函数值，实质上就是求-x,253)(=-=3,2=-=x x 处的函数值，实质上就是求3,2=-=x x 时，代数式35-x 的值，因此12335)3(,133)2(5)2(=-⨯=-=--⨯=-f f .由于在初中一年级已经学过代数式求值，因此给学生讲：求函数值实质上就是求代数式的值，学生便容易学会.在上述例子中，不要给学生说：“35)(-=x x f 的对应法则是‘乘5减3’，因此求处的函数值就是在2)(-x f －2乘5减3，即133)2(5)2(-=--⨯=-f .”这种讲法会使学生感到求函数值难学，因为要把一个函数的对应法则用语言叙述是很啰嗦的，再由对应法则来求函数值，显然是增加了难度.3.2的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2. 是，定义域为{,,,,d c b a …，y ，z }，值域为{0，1，2，…，24，25}.3. f (1)=－37, f (2)=－34. 4. (1)31)2(;13-=+=b a a b . 5.（1）是；（2）是.6. (1) f (1)=1，g (1)=－1；(2) 1)]1([,3)]1([-==f g g f ； (3) 5496)]([,1639)13(22--=--=-x x x g f x x x f . 3.3 函数的三种表示法1. 函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.当函数f 的定义域A 是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A 的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.2. 当f 的定义域A 是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应法则，即用一个或几个等式来表示函数，这种方法叫做公式法. 这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达式，简称为解析式.教材中公式法下的第(2)个例子，设}1,0{B },6,5,4,3,2,1,0{A ==.考虑A 到B 的一个对应法则f ：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=A,,0A,,1)(x x x f 当当 这是A 到B 的一个映射，从而是定义域为A 、值域为B 的一个函数这个例子来自组合设计与现代通信和密码的关系.本教材有意识地举一些信息时代的例子，目的是使中职数学不要囿于传统的教材中，而能透出信息时代的一些气息.在上面这个例子中，集合A 到集合B 的一个对应法则f 用了两个等式来表示；当A∈x时，0)(,A ;1)(=∉=x f x x f 时当.习惯上把这样的函数叫做分段函数. 其实不必用这个术语，因为不管用几个等式表示函数，都无非是给出了定义域到值域的一个对应法则，多一个术语，会使学生多一份负担，所以我们在教材中没有出现“分段函数”这个术语，希望教师不要补充这个术语.3. 在用公式法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：函数)(x f 的定义域是指所有使解析式有意义（即，在解析式给出的对应法则下有象）的实数x 组成的集合，不再每次声明. 此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量x 的取值范围.在上面一段话里，我们阐明了什么叫做“使解析式有意义”，即“在解析式给出的对应法则下有象”. 例如，求函数31)(-=x x f 的定义域，解法如下： 03)(≠-⇔x x f 的解析式有意义3≠⇔x .因此函数),3()3,()(+∞-∞ 的定义域是x f .在上面这个例子中，“)(x f 的解析式有意义”指的是“在解析式给出的对应法则下有象”. 由于x 在)(x f 的解析式给出的对应法则下没有象当且仅当03=-x ，因此)(x f 的解析式有意义当且仅当)3(03≠≠-x x 即. 这样讲是确切的，因为表达式31-x 是一个分式，它当然是有意义的；只是分式函数31)(-=x x f 当3=x 时没有象，此时称分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有象，此时称为分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有意义.在这里我们区分了“分式”与“分式函数”这两个不同的概念：分式．．指的是表达式．．．),,),(),(()()(等等或y x g y x f x g x f 其中)()(x g x f 与是一元多项式，且)(x g 不是零多项式（或),(),(y x g y x f 与是二元多项式，且),(y x g 不是零多项式，等等），而分式函数．．．．指的是由分式给出的映射．．，这一段话是为教师写的，不要给学生讲. 在求函数的定义域时，我们采用等价术语来叙述，既严谨又简捷.4. 用平面直角坐标系里的圆形表示函数的方法称为图像法.用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础. 为此首先要把什么是函数的图像搞清楚. 教材中给函数的图像下了一个定义：设)(x f 是定义域为A 的一个函数，任取A ∈a ，在平面直角坐标系Oxy 里，描出坐标为M a f a 的点))(,(.当a 取遍A 的所有元素时，坐标为))(,(a f a 的点组成的集合，称为函数)(x f 的图像.从这个定义应即得出：点)(A,)(),(a f b a x f b a M =∈⇔且的图像上在.即，点)(),(x f b a M 在的图像上当且仅当它的横坐标a 属于定义域，纵坐标b 等于a 处的函数值.这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.3.3的练习答案1.（1）f (x )的解析式有意义⇔53035≠⇔≠-x x ，因此)(x f 定义域为),53()53,(+∞-∞ ; （2）f (x )的解析式有意义⇔x 37-≥0⇔x ≤37，因此)(x f 定义域为]37,(-∞； （3）f (x )的解析式有意义⇔162-x ≥0⇔x ≤－4或x ≥4, 因此)(x f 定义域为);,4[]4,(+∞--∞（4）f (x )的解析式有意义⇔216x -≥0⇔－4≤x =4，因此)(x f 定义域为]4,4[-;（5）f (x )的解析式有意义⇔1523-+x x ≥0⇔－32≤x ＜51，因此)(x f 定义域为)51,32[-； （6）f (x )的解析式有意义⇔x x 5123-+≥0⇔x ≤－32或x ＞51，因此)(x f 定义域为),51(]32,(+∞--∞ . 2.（1）532)2(;)1(4122+-+x x a . 3.图略4.点M 、Q 都不在函数)(x f 的图像上.5.（1）(a , f (a ))；（2） (－a , f (－a )).6.（1）);,31()31,0)[4(];3,2)[3(];23,0)[2();,21()21,0[+∞-+∞ (5)(－∞,－5) ]7,6)(6(]; 7,5-（.7. 图像略8. 证明：)0()(≠+=k b kx x f 的图像经过原点 ⇔ f (0)=0 ⇔ k ·0+b =0⇔ b =03.4 分段函数1. 自变量在不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.2. 教材给出了分段函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+∈),1(.1]1,0[,2x x x x .要求作出此函数的图像.3.4的练习答案1.1)0()}5({-==f f f .2.（1）.8101)]3([,7)]5([,161)]3([-=--==f f f f f f （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-<-=-R ,132·3.313,2.313 ≥,529)]([133x x x x x f f x x 3.（1）)0 ≥()]([4x x x g f =；（2）)0(1)]([>-=x xx f g . 4.图略 二、函数的性质3.5 函数的单调性1. 判断函数f (x )在区间上是增函数还是减函数，如果我们在画函数f (x )的图像时没有默让函数的单调性，那么用图像法判断f (x )的单调性，它具有直观易懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数f (x )的单调性，去用一条光滑的曲线联结描出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断f (x )的单调性，在画基本初等函数时在某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.2. 对于任意的一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性，自然应当用定义法去判断. 教材的例1写出了求解过程，先统一写出)()(21x f x f -的表达式，然后分k ＞0和k ＜0两种情形判断)()(21x f x f -的正负.例2是讨论二次函数[)+∞--+=,13)1(21)(2在x x f 上的单调性. 必须先用定义法判断),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上是增函数，才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上的一段图像.利用对称性.就能判定函数在]1,(--∞上是减函数，在),1[+∞-上是增函数.还有一种方法判定函数单调性，我们将在第三册中讲到. 定理：设函数f (x )在闭区间),(,],[b a b a 在开区间上连续内可导.（1）如果在内),(b a )('x f ＞0,那么],[)(b a x f 在上是增函数；（2）如果在内),(b a )('x f ＜0,那么],[)(b a x f 在上是减函数；（3）如果在内),(b a )('x f =0,那么],[)(b a x f 在上是常数.3.5的练习答案1. 任取121),,(,x x x 且+∞-∞∈＜2x ，有－3x 1＞－3x 2⇒－3x 1－2＞－3x 2－2⇒)(1x f ＞)(2x f因此),(23)(+∞-∞--=在x x f 上是减函数.2. 任取),,0[,21+∞∈x x 且x 1＜x 2，有212x ＜222x⇒212x +5＜222x +5⇒)(1x f ＜)(2x f因此上在),0[52)(2+∞+=x x f 是增函数.3. 任取),0(,21+∞∈x x ，且x 1＜x 2，有21122121)(555)()(x x x x x x x f x f -=-=-, 由于，x 2＞x 1，x 1x 2＞0，因此)(1x f －)(2x f ＞0从而 )(1x f ＞)(2x f 这表明()+∞=,05)(在xx f 上是减函数. 4. 任取),3[,21+∞x x ，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥3⇒2x －3＞1x －3≥0⇒(2x －3)2＞(1x －3) 2≥0⇒－5)3(3122+-x ＜－5)3(3121+-x ⇒)(2x f ＜)(1x f所以),3[5)3(31)(2+∞+--=在x x f 上是减函数. 3.6 函数的奇偶性1. 本教材在阐述奇函数和偶函数的定义和性质上有创新.我们抓住了讨论函数奇偶性的实质是研究函数图像的对称性. 因此我们先复习图形关于直线对称的概念, 然后探索定义域为A 的函数)(x f 的图像在什么条件下关于原点对称?运用点P (a , b )在)(x f 的图像上的充分必要条件，我们推导出定义域为A 的函数)(x f 的图像E 关于原点对称 ⇔ E 上每一点))(,(a f a P 关于原点的对称点))(,(a f a M --仍在E 上⇔ A ),()(A,∈-=-∈-a a f a f a 对一切且.由此引出了奇函数的定义，并且上述推理也就证明了奇函数的图像关于原点对称，起了一箭双雕的作用.对于奇函数也是先复习圆形关于原点O 对称的概念，然后探索函数)(x f 的图像关于原点O 对称的充分必要条件：由此引出奇函数的定义，并且证明了奇函数的图像关于原点对称.我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函数和偶函数的图像的对称性.2. 我们在教材中结合图形推导出“点),(b a P 关于y 轴的对称点Q 的坐标是),(b a -.关于原点的对称点M 的坐标是（b a --,）”这两个结论. 它们在探索)(x f 的图像的对称性时有用.3. 我们在例1中给出了判断一个函数)(x f 是不是奇函数的方法：求出)(x f 的定义域A.如果对于任意的)()(A,A,x f x f x x -=-∈-∈并且有都有，那么)(x f 是奇函数. 如果能找到一个)()(A,c f c f c -≠-∈使得，那么)(x f 不是奇函数.例2中给出了判断一个函数)(x f 是不是偶函数的方法：求出)(x f 的定义域A ，如果对于任意的A ∈x ，都有－A ∈x ，并且有)()(x f x f =-，那么)(x f 是偶函数.如果能找一个A ∈d ，使得)()(d f d f ≠-，那么)(x f 不是偶函数.例1和例2给出的方法是教学的基本要求，应让学生学会.3.6的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.3. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域相同的偶函数，因此对于任意A ∈x ，有A ∈-x ，并且)F()()()()()F(x x g x f x g x f x =+=-+-=-.因此)(x F 是偶函数.4. )5(-f =－3.5.)3(f ＞)1(f .6. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域为A 的奇函数.因此对于任意A A,∈-∈x x 有，并且[])()()()()()()()(x h x g x f x g x f x g x f x h -=+-=--=-+-=-，)()()()]()][([)()()(x P x g x f x g x f x g x f x P ==--=--=-， 因此)(x h 是奇函数，)(x P 是偶函数.3.7 函数的图像1. 如果已经判断出)(x f 是奇函数，那么在画)(x f 的图像时，可以先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分. 这里的基本作图是，会作出点P 关于原点的对称点N ，这只要联结PO ，且延长至N ，使线段ON 的长度等于线段PO 的长度，则点N 就是点P 关于原点的对称点.2. 如果已经判断出)(x f 是偶函数，那么在画)(x f 的图像时，只要先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分，这里的基本作图法是，会作出点P 关于y 轴的对称轴Q ，这只要过点P 作y 轴垂线，设垂足为M ，把这垂线往左延长至点Q ，使线段MQ 的长度等于线段PM 的长度，则点Q 就是点P 关于y 轴的对称点.3.7的练习答案1. (1) (2)是偶函数，(3) (4) (5) (6)不是偶函数.2. (1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.3. 图略4.（1）2123)2(;3432--=+-=x x y x y . 5 ~7. 图略.3.8 反函数1. 我们在反函数的概念和求法上与传统的讲法不同，我们有创新. 传统的讲法大致是：给了函数的解析式，例如x y 3=.反解出y x 31=. 于是对于y 在R 中的任何一个值，通过式子y x 31=，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应.因此也可以把y 作为自变量（∈y R ），x 作为y 的函数，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们对调函数式y x 31=中的字母x 、y ，把它与成x y 31=.传统的讲法没有清晰地揭示反函数概念的本质，通过对调字母x 与y ，学生很难看清楚反函数与原来函数的关系.传统的讲法在反解出)(y g x =时，由于没有写出反解过程. 因此导致一些误会和差错. 传统的讲法对于用列表法表示的函数（不知道函数的解析式），没有给出反函数的概念. 而当今信息时代，由于计算机科学和信息科学的迅速发展，离散数学的地位加强，遇到的函数不一定能用公式表示，因此传统的讲法已不适应时代的要求.基本上述原因，我们对于反函数的概念和求法采取了新的讲法.2. 对于反函数的概念，我们给出这样的定义：如果函数)(x f y =有反函数，那么我们的讲法可以立即得出，严格单调函数一定有反函数. 3. 关于反函数的求法，我们给出了函数)(x f 的解析式，求它的反函数（仍用函数式表示）. 对于用公式法表示的函数，我们给出的求反函数的方法是科学的. 以教材中例1的（3）为例：解b a x x y 对应到把2213-≠+-= )2(213-≠+-=⇔a a a b )2(13)2(-≠-=+⇔a a a b)3,2(12)3(≠-≠+=-⇔b a b a b)3,2(312≠-≠-+=⇔b a bb a a b xx y 对应到把3312≠-+=⇔ 因此函数213+-=x x y 的反函数是 ∈-+=x xx y (,313R 且3≠x ). 求213+-=x x y 的反函数，就是要寻找一个函数使得，对于原来函数的值域中的每一个b ，当原来的函数把a 对应到b 时，所求的函数把b 对应到a . 上述求解过程满足这一要求. 从反函数的定义知道，我们首先要知道原来的函数)(x f y =的值域；才能判断出所求出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于)(x f y =的值域中每一个元素b ，都有)(x f y =的定义域中唯一的一个元素a 与它对应）.我们求反函数的方法是在求解过程中先求出了原来函数的值域，然后才求出了反函数. 这是符合反函数定义的要求的.我们是怎样求出原来函数的值域的呢？上述例子中，在第二步等价于b (a +2)=3a －1(a ≠－2),3.3=≠b b 因为假如从此式看出，则上式左边=3(a +2)=3a +6,而上式右边=3a －1.由此推出6=1-，矛盾，所以3≠b .即原来函数的值域是{b ∈R|（b ≠3）}. 于是对于原来函数值域中的每一个元素b ，在（3－b ）a =2b +1而边除以（3－b ）（此时3－b ≠0，因此可以用它作除数）得，b b a -+=312.从而求出了反函数为)3(312≠-+=x x x y .4. 有的教材在讲求反函数时是像下述那样讲的： “由213+-=x x y ,可得y y x -+=312，所以函数213+-=x x y 的反函数是xx y -+=312（∈x R 且3≠x ）.”这种讲法没有详细写出反解的过程，在得出y y x -+=312时，没有讨论3≠y . 就把y -3当除数用了，这是不严谨的. 这种讲法没有事先求出原来函数的值域，因此所求出的函数xx y -+=312是否为反函数无从判断. 这种讲法容易引起误会以至产生差错，不少复习资料由此引出求原来函数值域的方法：“先求反函数，再从反函数的解析式求出定义域，它就是原来函数的值域.”这种方法是错误的，以213+-=x x y 为例，在反解时，如果不讨论3≠y ，就用)3(y -去除两边，得出y y x -+=312，然后又说从3312≠-+=x xx y 看出，因此得出反函数的定义域为{x ∈R |x ≠3}，于是原来函数的值域为{y ∈R |y ≠3}. 这是先默认3≠y ，用(3－y )去除两边得到y y x -+=312，然后又说从x =yy -+312看出3≠y ，这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是错误的. 由此看出，教数学不能只是教计算，而不管计算过程是否合理；教数学不能只是看答案对不对，而不管其思维方式是否正确. 这些都是直接关系到我们培养的学生的素质啊！定理1 如果函数)(x f y =有反函数，那么)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称.学习数学一定要掌握基本理论，有了理论的指导，解题就会有思路，就能通过逻辑推理深入揭示事物之间的内在联系以及它们的本质.三、一元二次函数及其应用3.9 一元二次函数的性质及其图像1. 一元二次函数的图像在初中时已讲过，但是一些道理没有讲. 鉴于一元二次函数是非常重要的一类函数，有必要在中学阶段打下扎实的基础，因此我们在教材中用一节来讲一元二次函数的性质和图像, 这是在初中的基础上的提高.2. 我们在教材一开始就让学生动脑筋：如何正确．．、简便．．地画一元二次函数25212-+=x x y 的图像？然后分析：先把函数的表达式配方得，()31212-+=x y . 利用3.7节例3的结论，()31212-+=x y 的图像有对称轴1-=x . 因此只要先画出图像在直线1-=x 的右边的一半. 从而列表时只需要列出1-=x ，0，1，2，3，…时相应的函数值. 接着在平面直角坐标系Oxy 中描点. 描完点后，不是马上连线，而是先利用3.4节例3的结论：3)1(212-+=x y 在区间),1[+∞-上是增函数，这时才知道可以用一条光滑曲线把描出的各点联结起来. 最后利用对称性，画出图像在直线1-=x 的左边的部分.这样画函数的图像既简便又科学.传统的画函数图像的方法是：列表，描点，连线.前两步虽然正确，但是较麻烦（如果先讨论对称性，则可减少一半的工作量）.第三步连线是不科学的. 在还没有讨论函数的单调性时，怎么知道如何联结描出的有限几个点？更不应该的是，事先不讨论单调性，但是却默认函数有单调性，“用一条光滑曲线联结各点”，然后又让学生从图像上看出函数是增函数或减函数. 这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是不正确的.也许有人会说，让中学生讨论函数的单调性要求太高了，那么让我们来看一看，)(x f =),1[3)1(212+∞--+在x 上是单调性的讨论： 任取1x ，2x ),1[+∞-∈，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥－1⇒12+x ＞11+x ≥0⇒(12+x )2＞(11+x )2 ⇒()312122-+x ＞()312121-+x ⇒()2x f ＞()1x f , 因此),1[3)1(21)(2+∞--+=在区间x x f 上是增函数. 从上述讨论过程看到，用的都是不等式的性质，并不困难，而且正好是复习巩固不等式的性质. 我们又注意了分散难点，把这个讨论放在3.4节的例3，到3.8节时只是引用这个结论. 因此中学生是能够接受先讨论函数的单调性，再连线的.３. 在讲完()31212-+=x y 的图像后，我们给出顶点的概念，并且让学生观察顶点坐标)3,1(--与表达式有什么联系？观察顶点坐标与函数的最小值有什么联系？从函数的图像（我们已正确地画出了函数的图像）看出函数在顶点横坐标往左的区间上的单调性，以及图像的开口方向. 在观察的基础上，我们抽象出一般的一元二次函数()02≠++=a c bx ax y 的性质和图像. 由于其论证与()31212-+=x y 的性质和图像的论证类似，因此我们在教材中就不写出了.４. 在让学生画一个具体的一元二次函数的图像时，先配方，然后求出对称轴，接着先画图像在对称轴右边的一半（列表，描点，连线. 由于已经讲了一般的一元二次函数的单调性，因此在连线之前不用再讨论单调性了），最后利用对称性画出图像在对称轴左边的部分.５. 本节的练习除了画二次函数的图像以外，还有写出顶点坐标，求函数的最大值或最小值，求一元二次函数的最大（小）值的基本方法是将表达式配方. 这应让学生掌握. 这是因为配方在数学中是常用的一种技巧.至于直接利用顶点坐标来求最大 (小)值的方法，对于课时较充裕的学校也可以介绍. 我们在教材中把它作为思考题，让学生思考.3.9的练习答案1.（1）对称轴为5=x ，顶点坐标为)223,5(-，图略； （2）对称轴为41=x ，顶点坐标为)87,41(-，图略. 2.（1）当1-=x 时，y 达到最小值2；（2）当2-=x 时，y 达到最大值5；（3）当23=x 时，y 达到最小值41-； （4）当2=x 时，y 达到最大值1. 3.（1）顶点坐标)421,3(-，对称轴为x =3； （2）841)25(-=f ； （3）)415()41(f f >-. 4.（1）对称轴为45=x ，顶点坐标为)825,45(-，函数最小值为825-，]45,(-∞为单调递减区间，),45[+∞为单调递增区间，函数图像开口向上； （2）对称轴为3=x ，顶点坐标为)27,3(，函数最大值为27，]3,(-∞为单调递增区间，),3[+∞为单调递减区间，函数图像开口向下.5.（1）顶点坐标为（3，－2）.),63()63,(+∞+--∞∈ x 时，y ＞0；()63,63+-∈x 时，y ＜0.]3,(-∞∈x 时，函数为单调递减函数； ),3[+∞∈x 时，函数为单调递增函数. （2）顶点坐标为（－1，3）. )261,261(+---∈x 时，y ＞0；),261()261,(+∞+----∞∈ x 时，y ＜0.]1,(--∞∈x 时，函数为单调递增函数；),,1[+∞-∈x 时，函数为单调递减函数.3.10 用待定系数法求函数的解析式1. 在许多数学问题或实际问题中，建立了函数的模型后，需要求其中的未知的系数，这可以通过列方程组并且解这个方程组求出，从而求出函数的解析式，这种方法叫做待定系数法.它是数学中重要的一种方法.本节主要是介绍如何用待定系数法求一元一次函数和一元二次函数的解析式，并且介绍了它们在实际问题中的应用.2. 一次函数的解析式)0(≠+=k b kx y 有2个系数k ,b ,因此需要列出两个彼此独立的方程来求未知系数k ,b ,于是需要已知两个条件来列两个方程.3. 一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式有3个系数，因此用待定系数法求这3个系数时，需要列出3个彼此独立的方程，于是通常要给出这个函数当自变量取3个不同数时相应的函数值.4. 如果知道一元二次函数g (x )的图像的顶点坐标为（e , d ），则可以假设g (x )的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像所经过的一个点的坐标，就可以求出系数a .5. 如果知道一元二次函数)(x g 的图像的对称轴是直线e x =，则可以假设)(x g 的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像上两个点的坐标，就可以列出两个方程，从而求出待定系a 、d.6. 为了让学生了解待定系数法在日常生活中的应用，教材的例3求出了扔铅球时铅球在空中飞行轨道（抛物线的一段）的解析表达式.3.10的练习答案1. 设这个一次函数的解析式为b kx y +=，其中k ,b 待定.由于P （2，－5），Q （－1，7）在这个函数的图像上，因此有⎩⎨⎧=+--=+.7,52b k b k 解得 3,4=-=b k因此所求一次函数的解析式为34+-=x y .2. 设这个正比例函数的解析式为kx y =，其中k 待定，由于点（2，8）在这个函数的图像上，因此有8=2k ,解得 k =4.。
