高三文科数学数列专题练习

1 / 12 高三文科数学数列专题练习

1. 已知数列是等比数列,且nanN130,2,8.naaa

〔1〕求数列的通项公式;

〔2〕求证:；

〔3〕设,求数列的前100项和.

1. 解：〔1〕设等比数列的公比为.

则由等比数列的通项公式得,11nnaaq3131aaq284,2q

又0,22naq分

数列的通项公式是.na12223nnna分

123231111211111112221222212nnnaaaa

11,2n6分

11,117,2nn分

123111118.naaaa分

2132log21219,212112,,nnnnnbnbbnnb由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分

数列的前100项和是nb100100991003210200122S分

2 / 12

2.数列{an}中，，，且满足常数18a42a21nnaaC

〔1〕求常数和数列的通项公式；

〔2〕设，

〔3〕 ,

2．解：〔1〕

1256125671251256720520(2)||||||||| =(+a) =2()(++a) =2SS=260nnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaa｜－－－ 〔3〕

3. 已知数列 ， 求nn2,na=2n1,n为奇数；－为偶数；2nS

12321352124621352-12()()2(14)(-1 2222)(3711)341422(41) 23nnnnnnnSaaaaaaaaaaaannnnn－3.解：－）（＋＋＋－－

4 .已知数列的相邻两项是关于的方程N的两根,且na1,nnaax022nnbxxn()*

11a.

〔1〕 求证: 数列是等比数列;

〔2〕 求数列的前项和.

4 .解：证法1: ∵是关于的方程N的两根,1,nnaax022nnbxxn()*

∴ .,211nnnnnnaabaa

3 / 12 由,得, nnnaa21nnnnaa23123111

故数列是首项为,公比为的等比数列. nna23131321a1

证法2: ∵是关于的方程N的两根,1,nnaax022nnbxxn()*

∴ .,211nnnnnnaabaa

∵,nnnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa

故数列是首项为,公比为的等比数列. nna23131321a1

〔2〕解: 由〔1〕得, 即.

∴111121291nnnnnnnaab

. 1229112nn

∴nnaaaaS321

nn111222231232

. 21122311nn

5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算〔即使用多少年时，年平均费用最少〕？

4 / 12

6.

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.5141

〔1〕设n年内〔本年度为第一年〕总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

〔2〕至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

7. 在等比数列{an}〔n∈N*〕中，已知a1＞1，q＞0．设bn=log2an，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0．

〔1〕求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；

〔2〕若数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小．

111213515561355132131323322522111(1),,1,0,{}, log, 01,1,0. 60,6,log6,264,1 64,8.81,. 16.2 nnnnnnnaaqaqababbbaabbbbbbbaaaaaaaaqqqaaqaaaq7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得115214116()2log5. (6)2()(9) (2)(1),5,.22 9,0,0,; 12,47;168,;111 345678,91010974,421,248nnnnnnnnnnnnnnnnnbannbbnnbnSnSaaSnSaaSnSaaS；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、. ,129,; 345678,.(13)nnnnnnnaSnaS综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、

5 / 12

8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，

点P〔bn，bn+1〕在直线x-y+2=0上.

〔1〕求a1和a2的值；

〔2〕求数列{an}，{bn}的通项an和bn；

〔3〕设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

8. 解：〔1〕∵an是Sn与2的等差中项

∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2

a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4 ···3分

〔2〕∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，

又Sn—Sn-1=an，*),2(Nnn

∴an=2an-2an-1，

∵an≠0，

∴，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2n*),2(21Nnnaann

∵点P〔bn，bn+1〕在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，

∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1， ···8分

〔3〕∵cn=〔2n-1〕2n

∴Tn=a1b1+ a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+〔2n-1〕2n，

∴2Tn=1×22+3×23+····+〔2n-3〕2n+〔2n-1〕2n+1

因此：-Tn=1×2+〔2×22+2×23+···+2×2n〕-〔2n-1〕2n+1，

即：-Tn=1×2+〔23+24+····+2n+1〕-〔2n-1〕2n+1，

∴Tn=〔2n-3〕2n+1+6

9. 已知数列的前n项和为且，na11,4nSa1112nnnSSa

数列满足且．nb11194b13nnbbn(2)nnN且

〔１〕求的通项公式；

〔２〕求证：数列为等比数列;

〔３〕求前n项和的最小值．

9. 解： 〔1〕由得, ……2分

6 / 12 ∴ ……………………………………4分111(1)24naandn

〔2〕∵,∴,

∴;1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn

11111113(1)2424nnnnbabnbn

∴由上面两式得,又1113nnnnbaba1111913044ba

∴数列是以-30为首项,为公比的等比数列.…………………8分nnba13

〔3〕由〔2〕得，∴

12111111130()(1)30()243243nnnnbbnn

= ，∴是递增数列 ………11分221111130()(1)20()023323nnnb

当n=1时, <0；当n=2时, <0；当n=3时, <0；当n=4时,11194b23104b351043b

>0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.471049b

且…………………………13分31101(135)3010414312S

10. 已知等差数列的前9项和为153．an

〔1〕求；

〔2〕若，从数列中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第项

，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前n项和.cncnSn

10. 解：〔1〕 ………5分

〔2〕设数列 的公差为d，则

23nan ………9分

Saaaannnnn2482132482232……·()26n …12分