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1.等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )点击观看解答视频A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析 ∵a 4＝2，a 5＝5，∴a 4a 5＝a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝10，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg (a 1a 2…a 8)＝lg (a 1a 8)4＝lg (a 4a 5)4＝4lg (a 4a 5)＝4lg 10＝4，选C.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B.73C.83D ．3 答案 B解析 由等比数列的性质得：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73，故选B. 3.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ，若a 3a 4a 8＝8，则Ⅱ9＝( )点击观看解答视频A ．512B ．256C ．81D ．16答案 A解析 由题意可知，a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 35＝8，Ⅱ9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Ⅱ9＝83＝512.故选A.4．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．答案 2n －1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9a 2a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 4＝9a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8a 4＝1， ∵数列{a n }是递增的等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8，可得公比q ＝2，∴前n 项和S n ＝2n－1. 5．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案 －12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1×(4a 1－6)6．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5，∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d .∵b 3，b 4，b 5成等比数列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)，∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20，∴数列{b n }的公比q ＝105＝2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3.(2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54， ∴数列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比数列，b11－q n1－q ＝5×2n－2－54.∴数列{b n}的前n项和S n＝。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
2024全国卷真题分类汇编（教师版）-数列1．（2024年新课标全国Ⅱ卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.2．（2024年高考全国甲卷数学（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A ．2-B ．73C ．1D ．2【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.3．（2024年高考全国甲卷数学（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【详解】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13n n a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅所以1212443434343n n n T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n n n --=+⋅-⋅-()14233143n n n -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.4．（2024年新课标全国Ⅰ卷）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【详解】（1）首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k k a a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.（2）由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.（3）定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.。
学科教师辅导教案学员姓名年级授课老师课时数高三辅导科目数学2h 第次课授课日期及时段2021年月日：—：历S n年高考试a题n集锦——数列9 1．〔2021安徽文〕设为等差数列的前n项和，S84a3,a72，那么a=〔〕〔A〕6〔B〕4〔C〕2〔D〕2【答案】A2．〔2021福建理〕等差数列{a}中，a＋a＝10，a＝7，那么数列{a}的公差为()n154nA．1B．2C．3D．4【答案】B3．〔2021福建理〕等差数列{a n}的前n项和S n，假设a12,S312，那么a6()【答案】C4．(2021·全国Ⅰ理)记S n为等差数列{a n}的前n项和．假设a4＋a5＝24，S6＝48，那么{a n}的公差为() A．1B．2C．4D．845a＋3d＋a＋4d＝24，a＋a＝24，11【解析】设{a n}的公差为d，由S6＝48，得16×5d＝48，解得d＝4.应选C.6a＋25．〔2021辽宁文〕在等差数列{a}中，a+a=16，那么a+a=n48210(A)12(B)16(C)20(D)24【答案】B6.(2021新标2文)等差数列{an}的公差是2，假设a2,a4,a8成等比数列，那么{an}的前n项和S n〔〕A.n(n1)B.n(n1)C.n(n1)D.n(n1)22【答案】A7．〔2021安徽文〕公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，那么a5〔〕【答案】A8．〔2021大纲文〕设等比数列{a n}的前n项和为S n，假设S2=3，S4=15，那么S6=() A.31 B.32 C.63 D.64【答案】C9．〔2021江西理〕等比数列x,3x＋3,6x＋6，⋯的第四等于()A．－24B．0C．12D．24【答案】A10.(2021新标1文)设首项为1，公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，那么〔〕3〔A〕21〔〕〔〕〔〕S n B S n3a n2C S n43a n D S n32a na n【答案】D11.〔2021年新课标2文〕设S n是等差数列{a n}的前n项和,假设a1a3a53,那么S5〔〕A．5B．7C．9D．11【答案】A12.〔2021年新课标2文〕等比数列{a n}满足a11,a3a54a41,那么a2〔〕4【答案】C13、〔2021年全国I理〕等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，那么a100=〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97【答案】C14．〔2021辽宁〕设等差数列{a n}的公差为d，假设数列{2a1a n}为递减数列，那么〔〕A．d0B．d0C．a1d0D．a1d0【答案】D15.〔2021年新课标2理〕等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1 a 3 a 5=21，那么a 3 a 5 a 7 ()〔A 〕21 〔B 〕42 〔C 〕63 〔D 〕84【答案】B16．〔2021大纲理〕等差数列a 的前n 项和为S n ,a 55,S 515，那么数列1的na nan1前100项和为A ．100B．99C．99D．101101101100100【简解】由，解出a 1与d ，从而a n =n ；1111a nan1n(n1)nn11 1 11 1 1 100S 100(1)( )L ( ) 1 101选A22 3100 101 10117、(2021·全国Ⅱ理，3)我国古代数学名着?算法统宗?中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 〞意思是：一座 7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，那么塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．【答案】B 【解析】设塔的顶层的灯数为 a ，七层塔的总灯数为S ，公比为q ，17那么由题意知S 7 7a 1 1－q 7＝a 1 1－27 ＝381，解得a 1 ＝ 381，q ＝2，∴S ＝ 1－q 1－2 ＝3.应选B.18、(2021 ·全国Ⅲ理，9)等差数列{a n }的首项为 1，公差不为0.假设a 2，a 3，a 6成等比数列，那么{a n }的前6项和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．85．【答案】A 【解析】由条件可得22＋5d)，a 1＝1，d ≠0，由a 3＝a 2a 6，可得(1＋2d)＝(1＋d)(1解得d ＝－2.所以S 66×5×－2＝－24.应选A.＝6×1＋219．〔2021 广东理〕递增的等差数列a n 满足a 1 1，a 3a 224，那么a n ______________.【答案】2n-120．(2021上海文)在等差数列 a n 中，假设a 1 a 2 a 3 a 4 30，那么a 2 a 3．【答案】1521.(2021天津)设{a n }是首项为a 1，公差为-1的等差数列，S n 为其前n 项和.假设S 1,S 2,S 4成等比数列，那么a 1的值为__________. 【答案】-1222．(2021·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，S 3＝ 7，S 6＝63，那么a 8＝________.4 4a 11－q 3 ＝7，1，1－q41．【答案】32【解析】设{a n }的首项为a 1，公比为q ，那么a 1＝4663， 解得1q ＝2，a1－q ＝1－q41所以a 8＝4×27＝25＝3223．〔2021江苏〕在各项均为正数的等比数列 {a n }中，假设a 21，a 8a 6 2a 4，那么a 6的值是 ．【简解】由解出 q 2=2;a 6=a 2q 4，填结果424.(2021新标文) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3+3S 2=0，那么公比q =_______【答案】-225.(2021浙江理)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．假设S 23a 22，S 43a 42，那么＝__．q【答案】3226.〔2021年广东理科〕在等差数列 a n 中，假设a 3a 4a 5 a 6 a 725，那么a 2a 8=【答案】10．27.〔2021年安徽文科〕数列{a n }中，a 11，a nan11〔n2〕，那么数列{a n }的2前9项和等于。
高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。
学 科 教 师 辅 导 教 案学员姓名 授课老师授课日期及时段年级 高三课时数2h2018 年 月 日辅导科目数学 第 次课1. （2013安徽文）设—天就题 麴歹（j 2,则a 9=（）（A ） 6 （B ） 4 （C ） 2 （D ） 2 【答案】A2. （2012福建理）等差数列｛a n ｝中，a i + a 5=10, a ，= 7,则数列｛a n ｝的公差为（）A 1B . 2C . 3D . 4【答案】B3. （2014福建理）等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ,若a 1 2§ 12,则a 6 （）【答案】C4. （2017 •全国I 理）记&为等差数列｛a n ｝的前n 项和.若a 4+a 5=24, &=48,则｛a n ｝的公差为（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 8a 4+a 5= 24,【解析】设｛a n ｝的公差为d,由cSs = 48,5. （2012辽宁文）在等差数列｛a n ｝中，已知a 4+a 8=16,则a z +ax（A ） 12 （B ） 16（C ） 20 （D ）24【答案】B6. （2014新标2文）等差数列｛a n｝的公差是2,若a 2,a%a 8成等比数歹【」,A. n(n 1)B. n(n 1)C. n(n. D. n(n“22【答案】A7. （2012安徽文）公比为2的等比数歹【」｛a n ｝的各项都是正数,【答案】A(a + 3d ) +(a1 + 4d ) =24,得-.6X 5 ,一 6a1 + 2-d =48,解得d=4.故选C.则｛a n ｝的前n 项和S n且 a 3 an =16,则 a 5 (3=15,贝U S 6=()8.（2014大纲文）设等比数列｛a n｝的前n项和为S,若&=3,A. 31B. 32C. 63D. 64【答案】C9.（2013江西理）等比数列x, 3x+3,6x+ 6,…的第四项等于（）【答案】A210. (2013新标1文)设首项为1,公比为2的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则(3 (A) S n 2a n 1(B) S n 3a n 2 (C) S n 4 3a n (D) S n 3 2小【答案】D11. (2015年新课标2文)设&是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若为 a 3 a s 3,则S 5 A. 5 B.7 C.9 D . 11【答案】A112. (2015年新课标2又)已知等比数列｛a 。
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高考文科数学数列复习题一、选择题1．已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是( ）A ．5B ．4C ．3D ．22．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ )A ．40B ．42C ．43D ．453．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于( ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4.在等差数列{}n a 中，已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( )A 。
48 B.49 C.50 D.51 5．在等比数列{n a ｝中，2a ＝8，6a ＝64,，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 6。
—1,a,b,c ，-9成等比数列，那么（ ）A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ）A ．(1)2n n +B 。
(1)2n n - C. (2)(1)2n n ++ D 。
（新课标全国卷）17，已知等比数列{}n a 中，a311=a ，公比31=q (1)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：21n n a S -= (2)设n n a a a b 32313log log log +++=Λ，求数列{}n b 的通项公式（大纲全国卷）17，设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知62=a ，30631=+a a ，求n a 和n S（北京卷）12，在等比数列{}n a 中，若211=a ，44=a ，则公比q =________;n a a a +++Λ21=__________20 若数列1:a A n ，2a ，n a a ,3Λ)2(≥n 满足k k a a -+1=1（k=1,2,3)1,-n Λ，则称n A 为E 数列，记n n a a a A S Λ++=21)((1)写出一个E 数列5A 满足031==a a(2)若121=a ，2000=n ，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011=n a(3)在41=a 的E 数列n A 中，求使得)(n A S =0成立的n 的最小值（江西卷）5，设数列{}n a 为等差数列，公差2-=d ，n S 为其前n 项和，若1110S S =,则=1a _______________21，（1）已知两个等比数列{}n a 和{}n b ，满足)0(1>=a a a ，111=-a b ，222=-a b ，333=-a b ，若数列{}n a 唯一，求a 的值（2）是否存在两个等比数列{}n a 和{}n b ，使得11a b -，22a b -，33a b -，44a b -成公差不为0的等差数列若存在，求{}n a 和{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由（安徽卷）7，若数列{}n a 的通项公式为)23()1(--=n a n n ，则=+++1021a a a Λ( )A. 15B. 12C. -12D. -15(2011安徽)18.在数1和100之间输入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记做n T ，再令n n T a lg =，1≥n（1）求数列｛n a ｝的通项公式（2）设1tan tan +=n n n a a b ，求数列｛n b ｝的前n 项和（2011山东）等比数列｛n a ｝中，1a ，2a ，3a 分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数不在下表的同一列（1）求数列｛n a ｝的通项公式（2）若数列｛n b ｝满足：n n n n a a b ln )1(-+=，求数列｛n b ｝的前n 项和（广东）11，已知｛n a ｝是递增等比数列，22=a ，434=-a a ，则此数列的公比=q _______20，设0>b ，数列｛n a ｝满足b a =1，)2(111≥-+=+-n n a nba a n n n (1)求数列｛n a ｝的通项公式(2)证明：对于一切正整数n ，121+≤+n n b a（天津卷）已知数列{}n a 与{}n b 满足1)2(11+-=+++nn n n n a b a b ，2)1(31--+=n n b ，+∈N n ，且21=a (1)求2a ，3a 的值(2)设1212-+-=n n n a a c ，+∈N n ，证明{}n c 是等比数列(3)设n S 为{}n a 的前n 项和，证明)(311221212221+--∈-≤++++N n n a S a S a S a S n n n n Λ（福建卷）17，已知等差数列{}n a 中11=a ，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=K S ,求k 的值（江苏卷）20.设M 为部分正整数组成的集合，数列{}n a 的首项11=a ，前n 项的和为n S ，已知对于任意正整数M k ∈，当整数k n >时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立（1）设M={}1，22=a ，求5a 的值 （2）设M={}4,3，求数列{}n a 的通项公式（浙江卷）17，若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n )32)(4(中最大项是第k 项，则=k __________19，已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （)R a ∈，且11a ，21a ，41a 成等比数列（1）求数列{}n a 的通项公式（2）对+∈N n ，试比较n a a a a 2222111132++++Λ与11a 的大小（辽宁卷）若等比数列{}n a 满足n n n a a 161=+，则公比为__________15,n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，62S S =，14=a ，则=5a ___________(四川卷)已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和（1）当1S ，3S ，4S 成等差数列时，求q 的值（2）当m S ，n S ，1S 成等差数列时，求证：对于任意自然数k ，k m a +，k n a +，k a +1也成等差数列（重庆卷）16，设{}n a 是公比为正数的等比数列，21=a ，423+=a a（1） 求{}n a 的通项公式（2） 设{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n n b a +的前n 项和哈n S（湖北卷）17，成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成等比数列{}n b 中的3b ，4b ，5b（1）求数列{}n b 的通项公式（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列。
数列真题汇编（二）数列求通项15道1.（2016全国3卷文）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0. （I ）求a 2,a 3； （II ）求{a n }的通项公式.解：（Ⅰ）由题意得a 2=12,a 3=14. .........5分（Ⅱ）由a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0得2a n+1(a n +1)=a n (a n +1). 因为{a n }的各项都为正数，所以a n+1a n=12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n =12n−1.2．（2016全国1卷文）已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=13，a nb n+1+b n+1=nb n . （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求{b n }的前n 项和.【解析】（Ⅰ）由已知，a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2，所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n =3n −1. （Ⅱ）由（Ⅰ）和a n b n+1+b n+1=nb n ，得b n+1=b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n =1−(13)n 1−13=32−12×3n−1.3.（2018全国1文）已知数列满足，，求的通项公式．解：∵，∴.4.（三星）(全国II )已知a 1=1,S n+1=4a n +2(n ∈N ∗)， (1)设b n =a n+1−2a n ,求证：{b n }是等比数列； (2)求a n .备注：题目中 已经将关系式构造好了，三项关系变二项关系后是等比数列；基本类型二求通项{}n a 11a =()121n n na n a +=+{}n a 1112n n nn a b b q n−−===12n n a n −=⋅5.（三星）(全国Ⅰ卷)在数列{a n}中,S n=43a n−13×2n+1+23,S n.求首项{a n}与通项n.备注：S n与a n关系变形之后成类型二解：由题意得S n=2a n+1，解得S6=.又a n+1=S n+1−S n=43a n+1−43a n−13(2n+1−2n)，即a n+1=4a n+2n+1，设a n+1+x⋅2n+1=4(a n+x⋅2n)，利用待定系数法可得x=1，又a1+2=4≠0，所以数列{a n+2n}是公比为4的等比数列. 所以a n+2n=4×4n−1，即a n=4n−2n.6. （2020全国3卷理）设数列{a n}满足a1=3，a n+1=3a n−4n．（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．【详解】（1）由题意可得a2=3a1−4=9−4=5，a3=3a2−8=15−8=7，由数列{a n}的前三项可猜想数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n=2n+1，证明如下：当n=1时，a1=3成立；假设n=k时，a k=2k+1成立.那么n=k+1时，a k+1=3a k−4k=3(2k+1)−4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.则对任意的n∈N∗，都有a n=2n+1成立；（2）由（1）可知，a n⋅2n=(2n+1)⋅2nS n=3×2+5×22+7×23+⋯+(2n−1)⋅2n−1+(2n+1)⋅2n，①2S n =3×22+5×23+7×24+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1，② 由①−②得：−S n =6+2×(22+23+⋯+2n )−(2n +1)⋅2n+1 =6+2×22×(1−2n−1)1−2−(2n +1)⋅2n+1=(1−2n)⋅2n+1−2，即S n =(2n −1)⋅2n+1+2.7．（2021全国1卷）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和．【解】(1)b 1=a 2=a 1+1=2,b 2=a 4+a 3+1=a 2+2+1=5 ∵2n 为偶数，∴a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, ∴a 2n+2=a 2n +3即b n+1=b n +3,且b 1=2,∴{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，∴ b n =3n −1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1−1∴{a n }的前20项和为a 1+a 2+...+a 20=(a 1+a 3+...+a 19)+(a 2+a 4+...+a 20)=[(a 2−1)+(a 4−1)+...+(a 20−1)]+(a 2+a 4+...+a 20)=2(a 2+a 4+...+a 20)−10. 由(1)可知,a 2+a 4+...+a 20=b 1+b 2+...+b 10=2×10+10×92×3=155 ,∴{a n }的前 20项和为2x155 -10 =300.8. （2020全国1文）数列{a n }满足a n+2+(−1)n a n =3n −1，前16项和为540，则a 1= ______________.【详解】a n+2+(−1)n a n =3n −1，当n 为奇数时，a n+2=a n +3n −1；当n 为偶数时，a n+2+a n =3n −1. 设数列{a n }前n 项和为S n ， S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70) +(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41) =8a 1+392+92=8a 1+484=540，{}n a 11a =11,,2,n n na n a a n ++⎧=⎨+⋅⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}n b {}n a∴a1=7.故答案为：7.9．（2019全国2卷理）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1=3a n−b n+4，4b n+1=3b n−a n−4.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.解：（1）由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n)，即a n+1+b n+1=12(a n+b n)．又因为a1+b1=l，所以{a n+b n}是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n−b n)+8，即a n+1−b n+1=a n−b n+2．又因为a1–b1=l，所以{a n−b n}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，a n+b n=12n−1，a n−b n=2n−1．所以a n=12[(a n+b n)+(a n−b n)]=12n+n−12，b n=12[(a n+b n)−(a n−b n)]=12n−n+12．10. （2021全国乙卷理）记S n为数列{a n}的前n项和,b n为数列{S n}的前n项积,已知2S n+1b n=2．（1）证明：数列{b n}是等差数列;（2）求{a n}的通项公式．【解析】（1）解法一：由2S n +1b n=2得S n=2b n2b n−1,且b n≠0,b n≠12,取n=1,由S1=b1=2b12b1−1得b1=32,由于b n为数列{S n}的前n项积,所以2b12b1−1⋅2b22b2−1⋅⋅⋅2b n2b n−1=b n,所以2b12b1−1⋅2b22b2−1⋅⋅⋅2b n+12b n+1−1=b n+1,所以2b n+12b n+1−1=b n+1b n,由于b n+1≠0所以22b n+1−1=1b n,即b n+1−b n=12,其中n∈N∗所以数列{b n }是以b 1=32为首项,以d =12为公差等差数列; 解法二：因为b n 为数列{S n }的前n 项积,所以b nb n−1=S n (n ≥2),由2S n+1b n=2可得2b n−1b n+1b n=2(n ≥2),去分母得2b n −2b n−1=1(n ≥2),所以b n −b n−1=12,数列{b n }是公差为12的等差数列.（2）由（1）可得,数列{b n }是以b 1=32为首项,以d =12为公差的等差数列, ∴b n =32+(n −1)×12=1+n2, S n =2b n2bn−1=2+n1+n , 当n=1时,a 1=S 1=32,当n≥2时,a n =S n −S n−1=2+n1+n −1+n n=−1n (n+1),显然对于n=1不成立,∴a n ={32,n =1−1n (n+1),n ≥2.11.（二星）（全国理）若数列{}的前n 项和为S n ＝，则数列{}的通项公式是=______. 解：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.12.（2016全国3卷理科）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0， (Ⅰ)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (Ⅱ)若S 5＝3132，求λ。
