高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

高中数学《数列》练习题（含答案解析）一、单选题1．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，且48S S ＝13，则816S S ＝（ ）A ．310 B ．37C ．13D ．122．已知等比数列{an }的前n 项和为Sn ，则“Sn +1>Sn ”是“{an }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列； ①数列1，1，1，1，…是无穷数列； ①每个数列都有通项公式；①根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ①数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(1)(21)n n a n +=-⋅+，则2021S =（ ）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20235．已知等差数列{}n a 中，6819,27a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E ”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”的边长的视力4.0的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a -D ．91010a -7．已知数列{}n a ，2141n n a n n ，则下列说法正确的是（ ）A ．此数列没有最大项B ．此数列的最大项是3aC ．此数列没有最小项D ．此数列的最小项是2a8．已知{}n a 是等差数列，公差0d >，其前n 项和为n S ，若2a 、52a+、172a +成等比数列，()12n n n a S +=，则不正确的是（ ） A ．1d= B ．1020a = C ．2n S n n =+ D ．当2n ≥时，32n n S a ≥9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ） A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．1010101110．等差数列{}n a 前n 项和为n S ， 281112a a a ++=，则13S =（ ） A ．32B ．42C ．52D ．62二、填空题11．已知a 是1,2的等差中项，b 是1-，16-的等比中项，则ab 等于___________. 12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6Sa a =+=，则d =_________.13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若891715a a =，则1517S S =______．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS，且1516a a +=-，936S =-，则n S 的最小值是______．三、解答题15．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且满足11221,5a b b a ==+=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)令n n n c a b =+求数列{}n c 的前n 项和n S ；16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n nb a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 17．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？ 18．设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．参考答案与解析：1．A【分析】运用等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， ①41181461582832a d a d a d S S +==⇒=+，显然0d ≠， ①8161182820283161204012010a d d d a d S d S d ++===++， 故选：A 2．D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n na 和12nn a =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D 3．B【分析】根据给定条件，利用数列的定义逐一分析各个命题，判断作答.【详解】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于①，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，①正确； 对于①0.1,0.01,0.001,0.0001,得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，①不正确；对于①，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为1,N n a n =∈，cos 2π,N n b n n *=∈等，即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，①不正确；对于①，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，①不正确， 所以说法正确的个数是1. 故选：B 4．D【分析】根据数列{}n a 的通项公式，可求得12342,2a aa a +=-+=-,依此类推，即可求解.【详解】①1(1)(21)n n a n +=-⋅+，故12343,5,7,9a a a a ==-==-故202112320202021S a a a a a =+++⋅⋅⋅++357940414043=-+-+⋅⋅⋅-+2101040432023=-⨯+=.故选：D. 5．C【分析】利用862d a a =-，直接计算公差即可. 【详解】等差数列{}n a 中，6819,27aa ==，设公差为d ，则86227198d a a =-=-=，即4d =.故选：C. 6．D【分析】由等比数列的通项公式计算．【详解】设第n 行视标边长为n a ，第n 1-行视标边长为()12n a n -≥，由题意可得()12n n a n -=≥，则()1101102nn a n a --=≥，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列， 所以101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4.9的视标边长为91010a -，故选：D. 7．B【分析】令10t n =-≥，则1n t =+，22641411ttyt t t t ，然后利用函数的知识可得答案. 【详解】令10t n =-≥，则1n t =+，22,641411tty tt t t当0=t 时，0y = 当0t >时，146y t t=++，由双勾函数的知识可得y 在()02,上单调递增，在()2,+∞上单调递减 所以当2t =即3n =时，y 取得最大值， 所以此数列的最大项是3a ，最小项为10a = 故选：B ． 8．A【分析】利用等差数列的求和公式可得出1n a na =，可得出10d a =>，根据已知条件求出1a 的值，可求得n a 、n S 的表达式，然后逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，则()()1122nn n n a n a a S ++==，所以，1n a na =， 所以，110n n d a a a +=-=>，因为()()2521722a a a +=+，可得()()2111522172a a a +=+，整理可得21191640a a --=，因为10a >，故12d a ==，A 错；12n a na n ==，则1020a =，B 对；()()112nn n a S n n +==+，C 对；当2n ≥时，()233202n n S a n n n n n -=+-=-≥，即32n n S a ≥，D 对.故选：A. 9．C【解析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=．故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 10．C【分析】将2811a a a ++化成1a 和d 的形式，得到二者关系，求得7a ，利用13713S a =求得结果. 【详解】()()28111111()71031812a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=164a d ∴+=，即74a = ()1131371313134522a a S a +∴===⨯= 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：（1）根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子； （2）化简求得数列的某一项；（3）结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果. 11．6±【分析】根据等差和等比中项的定义求出,a b 得值，即可求解. 【详解】因为a 是1,2的等差中项，所以12322a +==， 因为b 是1-，16-的等比中项，所以2(1)(16)16b =-⨯-=，4b =±，所以6ab =±.故答案为：6±. 12．1【分析】由等差中项性质可求4a ，又510S =依据等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程即可求得公差 【详解】由266a a +=有43a =，而510S = ①结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：1【点睛】本题考查了等差数列，利用等差中项求项，结合已知条件、前n 项和公式、通项公式求公差13．1【分析】利用等差数列性质及前n 项和公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，891715a a =，所以1151511588117171179915(15(152152117(17)(1717)2))2a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯． 故答案为：1 14．42-【分析】根据给定条件求出等差数列{}n a 的首项、公差，探求数列{}n a 的单调性即可计算作答.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由1591636a a S +=-⎧⎨=-⎩得112416989362a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1122a d =-⎧⎨=⎩， 因此，()1212214n a n n =-+-⨯=-，令0n a =，解得7n =，于是得数列{}n a 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正， 所以6S 或7S 最小，最小值为()656122422⨯⨯-+⨯=-． 故答案为：42-15．(1)21n a n =-，12n n b -=(2)221nn S n =+-【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式得到2d =，根据通项公式的求法得到结果；（2）1221n n n n c a b n -+=+=-分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的公差为d , 由已知,有215d ++=解得2d =，所以{}n a 的通项公式为21,n a n n *=-∈N , {}n b 的通项公式为12,n n b n -*=∈N .（2）1221n n n n c a b n -+=+=-，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：212(121)21122n n n n n S n -+-=+=+--.16．（1）2n a n =-；（2）1n nT n =+.【解析】（1）由30S =，55S =-，可得113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩求出1,a d ，从而可得{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，从而可得11111(1)1n n b b n n n n +==-++，然后利用裂项相消求和法可求得n T 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，55S =-.所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩，所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-， （2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n nT n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 【点睛】此题考查等差数列前n 项和的基本量计算，考查裂项相消求和法的应用，考查计算能力，属于基础题17．（1）2n a n =；（2）第2年该公司开始获利.【分析】（1）根据题意得出数列的首项和公差，进而求得通项公式 （2）根据题意算出总利润，进而令总利润大于0，解出不等式即可. 【详解】（1）由题意知，数列{}n a 是12a =，公差2d =的等差数列， 所以()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=.（2）设引进这种设备后，净利润与年数n 的关系为()F n ，则()()2121222520252n n F n n n n n -⎡⎤=-+⨯-=--⎢⎥⎣⎦. 令()0F n >得220250n n -+<，解得1010n -<+ 又因为n *∈N ，所以2n =，3，4，…，18， 即第2年该公司开始获利.18．（1）11()3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可； （2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==. （2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ， 230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012111012222333---++++111233---+n nn n ．设0121111101212222Γ3333------=++++n n n ， ① 则1231111012112222Γ33333-----=++++n nn ． ①由①-①得1121113312111113322Γ13233332313--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭-n n n n n n n ． 所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ． 因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ． 故2nn S T <． [方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1)313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n n T --=++++，① 231112133333n n n n n T +-=++++，① ①-①得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---， 所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅， 所以2n n S T <. [方法三]：构造裂项法由（①）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n n c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243n n c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二． [方法四]：导函数法设()231()1-=++++=-n n x x f x x x x x x ，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n n x x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥==---⎢⎥⎣⎦， 则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='-n nn nx n x f x x x nx x ． 又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭' 13113311(1)4334423n n n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n nS T,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nnc n，使1+=-n n nb c c，求得nT的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.。

1.〔此题总分值14 分〕设数列a的前n项和为S n,且S n4a n3(n1,2,)，n〔1〕证明: 数列a n是等比数列；〔2〕假设数列b满足b n1a n b n(n1,2,)，b12，求数列b n的通项公n式．2.〔本小题总分值12分〕等比数列a的各项均为正数，且n2 2a3a1,a9aa.123261.求数列a n的通项公式.2.设blogaloga......loga,求数列n31323n 1bn的前项和.3.设数列a满足n2n1 a12,a1a32nn〔1〕求数列a的通项公式；n〔2〕令b n na n，求数列的前n项和S n3.等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．〕，求数列{b n}的前n项和S n．〔Ⅰ〕求数列{a n}的通项公式；n﹣1*〔Ⅱ〕设b n=〔4﹣a n〕q〔q≠0，n∈N× 5.数列{a n}满足，，n∈N．〔1〕令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；〔2〕求{a n}的通项公式．...4.解：〔1〕证：因为S n4a n3(n1,2,)，那么S n14a n13(n2,3,)，所以当n2时，a SS14a4a1，nnnnn4整理得aa1．5分nn3由S43，令n1，得a14a13，解得a11．n an所以分a是首项为1，公比为n43的等比数列．7〔2〕解：因为4n1 a()，n3由b1ab(n1,2,)，得nnn4n1 bb()．9分n1n3由累加得()()()b n bbbbbbb12`132nn14n11()43n1＝23()1，〔n2〕，43134n1 当n=1时也满足，所以)1b3(．n35.解：〔Ⅰ〕设数列{a n}的公比为q，由 2a39a2a6得32a39a4所以21q。

有条件9可知a>0,故1q。

311a。

故数列{a n}的通项式为a n=33由2a13a21得2a13a2q1，所以1n。

〔Ⅱ〕b logaloga...logan111111(12...n)n(n1)2故12112() bn(n1)nn1n111111112n ...2((1)()...()) bbb223nn1n1 12n...所以数列1{}bn2n 的前n 项和为n16.解：〔Ⅰ〕由，当n≥1 时，a1[(a1a)(a a1)(a2a1)]a1nnnnn2n12n33(222)222(n1)1。

高考文科数学数列专题复习数列常用公式数列的通项公式与前n 项的和的关系a n s , n 11s s ,n 2n n 1( 数列{a n} 的前n 项的和为s n a1 a2 a n ).等差数列的通项公式*a a1 (n 1)d dn a1 d(n N ) ；n等差数列其前n 项和公式为n(a a ) n(n 1)1 ns na1 d n2 2 d 12n (a d)n .12 2等比数列的通项公式an 1 1 n *a a1q q (n N )nq；等比数列前n 项的和公式为na (1 q )1s 1 qn , q 1或sna a q1 n1 q,q 1na ,q 1 1 na ,q 1 1一、选择题1.( 广东卷) 已知等比数列{a n} 的公比为正数，且a3 ·a9 =2 2a ，a2 =1，则a1 =5A. 12B.22C. 2D.22.（安徽卷）已知为等差数列，，则等于A. -1B. 1C. 3D.7 3（. 江西卷）公差不为零的等差数列{a n} 的前n项和为S n .若a4 是a3与a7 的等比中项, S8 32, 则S等于10A. 18B. 24C. 60D. 904（湖南卷）设S n 是等差数列a n 的前n 项和，已知a2 3，a6 11，则S7 等于【】第1页/ 共8页A ．13 B．35 C．49 D．633.（辽宁卷）已知a为等差数列，且a7 －2 a4 ＝－1, a3 ＝0, 则公差d＝n（A）－2 （B）－12 （C）12（D）24.（四川卷）等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a1 ＝1，a2 是a1 和a5 的等比中项，则数列的前10 项之和是A. 90B. 100C. 145D. 1905.（湖北卷）设x R, 记不超过x 的最大整数为[ x ], 令{x }= x -[ x ]，则{ 52 1} ，[ 521],521A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列6.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：他们研究过图1 中的1，3，6，10，⋯，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16⋯这样的数成为正方形数。

高三数学(文科)专题训练二数列1.已知数列a n n N是等比数列，且a n 0,a1 2@ 8.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证:—a11 1 1 ,1；a2 a3 a n⑶设b n 2log2a n 1,求数列b n的前100项和•2.数列｛a n｝中，:a1 8 , a4 2，且满足a n 2 a. 1常数C(1) 求常数C和数列的通项公式;⑵设 T20 |印| ai L |a20| ,(3) T n |a i| |a2| L |a n|, n N3.已知数列a n = 2n, n为奇数；求S2n-1, n 为偶数；，' n4 .已知数列a n的相邻两项a n,a n 1是关于X的方程x2 2n x b n 0 (n N*)的两根，且a i 1 .(1)求证：数列a n 3 2n是等比数列；3(2) 求数列bn的前n项和S n.5. 某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算(即使用多少年时，年平均费用最少)？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少£，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加1.4(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n ,b n的表达式;(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列｛a n｝(n € N*)中，已知a i > 1 , >0 .设b n=log 2a n，且b i + b 3 + b5=6 , b i b3b5=0 .(1) 求数列｛a n ｝、｛b n｝的通项公式a n、b n ；(2) 若数列｛b n｝的前n项和为S n，试比较S n与a n的大小.8. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且a n是S1与2的等差中项，数列｛b n｝中，b i=1 , 点P (b n, b n+i)在直线x-y+2=0 上。

新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值；（2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <．10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<．11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；①对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；①37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n T <．20．在①133a a b +=，①52a =-，①254b S b +=-这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中．若问题中的m 存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列， ， ，且12b =，2312b b +=．是否存在大于2的正整数m ，使得14S ，3S ，m S 成等比数列？21．在①2213(0)n n n a a a +-=>，①211390n n n n a a a a -----=，①222n S n n =-+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =， ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对大于1的自然数n ，是否存在大于2的自然数m ，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．22．在①21n n S b =-，①14(2)n n b b n --=，①12(2)n n b b n -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求出k 的值；若k 不存在，说明理由． 已知数列{}n a 为等比数列，123a =，312a a a =，数列{}n b 的首项11b =，其前n 项和为n S ， ，是否存在k ，使得对任意*n N ∈，n n k k a b a b 恒成立？23．已知函数()log (k f x x k =为常数，0k >且1)k ≠．（1）在下列条件中选择一个 使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列{()}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ①数列{()}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列{()}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241n n n a b n +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．24．在①44a b =，①624S =-这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；①M ，T ，N ；①N ，T ，M ；①T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题． 已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且___依次成等差数列． （①）求{}n a 的通项公式；（①）设,01,1,1,n n n n na ab a a <⎧⎪=⎨>⎪⎩数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1(0n n S pa p +=≠且1p ≠-，*)n N ∈． （1）求{}n a 的通项公式；（2）在①1k a +，3k a +，2k a +①2k a +，1k a +，3k a +这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中：对任意的正整数k ，若将1k a +，2k a +，3k a +按______的顺序排列后构成等差数列，求p 的值．27．设*n N ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______．请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，①69a =，①535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足1(1)n a n n n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．28．已知公差不为0的等差数列的首项12a =，前n 项和为n S ，且 ______（①1a ，2a ，4a 成等比数列；①(3)2n n n S +=；①926a =任选一个条件填入上空）． 设3n a n b =，nn n a c b =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试判断n T 与13的大小．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．29．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；①1S ，22S +，3S 成等差数列；①12n n a S +=+中任选一个，补充在下列的问题中，并解答．在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且 ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b的通项公式nn b =，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．30．在①36S a =，①420S =，①14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，____． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T ．31．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，15b a =，23b =，581b =-． （1）求数列{}n b 的通项公式：（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①132b b a +=，①44a b =这两个条件中任选一个，补充在题干条件中，是否存在k ，使得1k k S S +>且21k k S S ++>？若问题中的k 存在，求k 的值；着k 不存在，说明理由．32．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，315S =，0n a >，1d >，且______从“①21a -为11a -与31a +的等比中项”，“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求n T ．33．在①312S =，①2123a a -=，①824a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，__，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且21b a =，44b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．34．在①4516a a +=；①39S =；①2(n S n r r =+为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答（选择多个条件并分别解答的按第1个评分）．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n a n b =+，求数列{}n b 的前n 项的和．35．已知{}n a 为等差数列，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且1122a b ==，2810a a +=，_____．在①1()n n S b R λλ=-∈；①43212a S S S =-+；①2()n a n b R λλ=∈．这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则按选择第一个解答计分）． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．36．在①5CA CB =-，①ABC ∆的面积为-一个，补充在下面问题中，并解决该问题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ， 已知sin sin 1sin sin sin sin A CB C A B+=++，_______，且1b =．（1）求ABC ∆的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =．若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n n n n a c b a a -+=-．2n ．证明：116n S <． 注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）《数列》答案解析1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)2n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，选①：由1a ，3a ，7a 成等比数列得22111(6)(2)a a d a d +=+， 化简得20d dd =≠，11n d a n ∴=∴=+，于是1(1)2n n b n -=+，∴21213242(1)2n n T n -=+++⋯++，232223242(1)2n n T n =+++⋯++，相减得：212222(1)22n n n n T n n --=+++⋯+-+=-， ∴2n n T n =；选①：()()()13122,122n n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+时，1n =时，12a =，符合上式，1n a n ∴=+，下同①； 选①：81281a a d -==-，22(1)2n a n n ∴=+-=， ∴2n n b n =，231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+， 234121222322n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯+，相减得2311122222222n n n n n T n n +++-=+++⋯+-=--， ∴1(1)22n n T n +=-+．2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， 22b =，3433a a b += ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 解： 选择①（1）35a =，2526a a b +=，11a b =，d q =，111251256a d d a d a d +=⎧>∴⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）， ∴112b q =⎧⎨=⎩，1(1)21n n d n αα∴=+--=-，1112n n n b b q --==， （2）n n n a c b =，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212n n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．选择①22b =，3433a a b +=；（1）设11a b t ==，1d q =>，由22b =，3433a a b +=，可得2tq =，2253t d tq +=， 又d q =，解得2d q ==，1t =， 可得12(1)21n a n n =+-=-；12n n b -=； （2）11(21)()2n n n n a c n b -==-， 前n 项和11111135(21)()242n n T n -=+++⋯+-， 11111135(21)()22482n n T n =+++⋯+-， 两式相减可得21111111()(21)()22422n n n T n -=++++⋯+--，111121(1)()1212n n n --=+---， 化简可得116(23)()2n n T n -=-+．选择①39S ∴=，4528a a b +=，11a b =，d q =，1d >， ∴1113278a d a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==．（2）11211(21)()22n n n n n n a n c c n b ---=∴==-⨯，2211111135()(23)()(21)()2222n n n T n n --∴=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，∴2311111113()5()(23)()(21)()222222n n n T n n -=+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， ∴12111[1()]11111112212[()()](21)()12(21)()3(23)()1222222212m n n n nn T n n n ---=+++⋯+--⨯=+⨯--⨯=-+⨯-，∴116(23)()2n n T n -=-+⨯．3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①14n n n b a a +=，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则 115121736a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，*n N ∈．（2）方案一：选条件① 由（1）知，144122(1)(1)n n n b a a n n n n +===++， 12n n S b b b =++⋯+1111223(1)n n =++⋯+⨯⨯+ 1111112231n n =-+-+⋯+-+ 111n =-+ 1nn =+． 方案二：选条件①由（1）知，(1)(1)2n n n n b a n =-=-，122468(1)2n n n S b b b n ∴=++⋯+=-+-+-⋯+-， ()i 当n 为偶数时， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(1)2]n n =-++-++⋯+--+ 222=++⋯+22n =⨯ n =，()ii 当n 为奇数时，1n -为偶数， 12n n S b b b =++⋯+2468(1)2n n =-+-+-⋯+-，(24)(68)[2(2)2(1)]2n n n =-++-++⋯+--+-- 2222n =++⋯+-1222n n -=⨯- 1n =--，,,1,.n n n S n n ⎧∴=⎨--⎩为偶数为奇数；方案三：选条件①由（1）知，222224n a n n n n b a n n ===，1231224446424n n n S b b b n ∴=++⋯+=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯， 231424442(1)424n n n S n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，两式相减，可得123132424242424n n n S n +-=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ 12118(1444)24n n n -+=⨯+++⋯+-⨯11482414nn n +-=⨯-⨯-12(13)8433n n +-=-．12(31)8499n n n S +-∴=+． 4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ①① ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值； （2）设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．解：（1）①若选择①①； 由题知：6650a S S =-=， 又因为15535()5152a a S a +===-，所以33a =-． 所以6333d a a =-=，解得1d =． 所以6(6)6n a a n n =+-=-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①；由题知：5541a S S =-=-， 又因为15535()5152a a S a +===-， 所以33a =-．所以5322d a a =-=，1d =． 所以3(3)6n a a n d n =+-=-． 所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==- ①若选择①①； 由题知：1666()152a a S +==-，所以161255a a a d +=+=- 由题知：1444()142a a S +==-，所以141237a a a d +=+=-所以15a =-，1d =． 所以6n a n =-．所以125670a a a a a <<⋯<<=<<⋯， 所以6515n S S S ==-． 证明（2）因为6n a n =-， 所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++ 所以11111111122311n T n n n =-+-+⋯+-=-<++． 5．从条件①2(1)n n S n a =+，(2)n a n =，①0n a >，22n n n a a S +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，_____．若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求k 的值． 解：选择①2(1)n n S n a =+，112(2)n n S n a ++∴=+，相减可得：112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+，∴11n na a n n +=+， ∴111n a a n ==，可得：n a n =． 2(2)(12)(2)(3)22k k k k k S ++++++∴==． 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(3)2k k k ++∴=，*k N ∈，解得6k =．选择(2)n a n ，1n n S S -=-=，0n S >1，∴数列是等差数列，首项为1，公差为1．11n n =+-=，解得2n S n =．2n ∴时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．2(2)(123)(2)(2)2k k k S k k ++++∴==++1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，22(21)(2)k k ∴-=+，*k N ∈，解得3k =． 选择①0n a >，22n n n a a S +=，∴21112n n n a a S ++++=，相减可得：221112n n n n n a a a a a ++++--=，化为：11()(1)0n n n n a a a a +++--=， 可得：11n n a a +-=，∴数列{}n a 是首项与公差都为1的等差数列，11n a n n ∴=+-=．(1)2n n n S +∴=， 1a ，k a ，2k S +成等比数列，∴212kk a a S +=，2(2)(12)2k k k +++∴=，*k N ∈，解得6k =．6．在①355a a +=，47S =；①243n S n n =+；①42514S S =，5a 是3a 与92的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若____． （1）求n a ； （2）记2221n nn b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则11265,4347,2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,1,2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：243n S n n =+，∴当2n 时，2214443(1)3(1)22n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+即1(2)2n n a n +=， 当1n =时，21113114a S +⨯===，也适合上式，∴12n n a +=，*n N ∈； 选择条件①：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112115(46)14(2),9(4)(2),2a d a d a d a d ⨯+=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11a =，12d =，或10a =，0d =，不合题意，舍去， ∴12n n a +=，*n N ∈； （2）由（1）可知，22214112()(21)(23)2123n nn b a a n n n n +===-++++， ∴121111112()35572123n n T b b b n n =++⋯+=-+-+⋯+-++1142()32369nn n =-=++． 7．已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在表的同一列．请从①12a =，①11a =，①13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12(1)n n n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）若选择条件①12a =，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件①11a =，则放在第一行的第二列，结合条件可得11a =，24a =，37a =，则32n a n =-，则*n N ∈，若选择条件①13a =，则放在第一行的任何一列，结满足条件的等差数列{}n a 都不存在， 综上可得32n a n =-，则*n N ∈， （2）由（1）知，12(1)(32)n n b n +=--， 当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -∴=+++⋯+=-+-+⋯+-，1212343411()()()()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-++-+⋯+-+，2123(132)933()3222n n n a a a a n n +-=-+++⋯+=-⨯=-+，当n 为奇数时，22219393(1)(1)(32)22222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=--，2293,22932,22n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪∴=⎨⎪--⎪⎩为偶数为奇数8．在①2n S n n =+，①3516a a +=，3542S S +=，①171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_____，12112,2a ab a b ==．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 解：选①：当1n =时，112a S ==，当2n 时，12n n n a S S n -=-=，又1n =满足2n a n =，所以2n a n =．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =； 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1nS n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①：设公差为d ，由1353512616,16,42,81342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩得解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12b =，2q =，所以2n n b =．由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1nS n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++，故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 选①： 由11111,,,11n n n n n n a a a a an a a n a n n n n +++====+得所以即，74172856S a a ===，所以12a =，所以22,n n a n S n n ==+．设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，得12,2,2n n b q b ===所以． 由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，又可知211111(1)1n S n n n n n n ===-+++， 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋯+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++． 9．在①2342a a a +=，①22n n S a =-，①425S S =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在已知等比数列{}n a 的公比0q >前n 项和为n S ，若 _____，数列{}n b 满足11,13n n n b a b b =+=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列1{}n n n a b b +的前n 项和n T ，并证明13n T <． 解：（1）若选择①2342a a a +=，可得231112a q a q a q +=，化为220q q --=，解得2(1q =-舍去），又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； 选择①22n n S a =-，可得11122a S a ==-，解得12a =，又122222a a S a +==-，解得24a =，可得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n nn b a ==++； 选择①425S S =，可得4211(1)(1)511a q a q q q--=--，即215q +=，解得2q =，又因为1n n n a b b +=，113b =，解得12a =，所以2n n a =，11112n n n b a ==++； （2）证明：111211(21)(21)2121n n n n n n n n a b b +++==-++++， 2231111111111()()()212121212121321n n n n T ++=-+-+⋯+-=-+++++++， 由11021n +>+，可得13n T <． 10．在①131n n S S +=+，①211,2139n n a S a +==-③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足____，____；又知正项等差数列{}n b 满足12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）证明：12326n b b b a a a ++⋯+<． 解：选择①①：（1）解：由131n n S S +=+⇒当2n 时，有131n n S S -=+，两式相减得：13n n a a +=，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有2112313()S S a a =+=+，又219a =，113a ∴=，2113aa =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 选择：①①：（1）解：由1213n n S a +=-⇒当2n 时，1213n n S a -=-，两式相减得：1233n n n a a a +=-+，即113n n a a +=，2n ．又当1n =时，有1212132S a a =-=，又219a =，113a ∴=，2113aa =也适合，所以数列{}n a 是首项、公比均为13的等比数列，所以1()3n n a =；设正项等差数列{}n b 的公差为d ，12b =，且1b ，21b -，3b 成等比数列，2213(1)b b b ∴-=，即2(21)2(22)d d +-=+，解得：3d =或1d =-（舍)，23(1)31n b n n ∴=+-=-，故1()3n n a =，31n b n =-．（2）证明：由（1）可得311()3n n b a -=，∴1211[1()]313927[1()]1262726127n n n b b b a a a -++⋯+==-<-． 11．给出以下三个条件：①数列{}n a 是首项为2，满足142n n S S +=+的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足2132()n n S R λλ+==+∈的数列； ①数列{}n a 是首项为2，满足132n n S a +=-的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n a 与n S 满足______，记数列21222log log log n n b a a a =++⋯+，21n n n n nc b b ++=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：选①，由已知142n n S S +=+⋯①， 当2n 时，142n n S S -=+⋯①，①-①可得14n n a a +=，当1n =时，2142S S =+可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-= 2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知2132n n S λ+==+⋯①211.32n n S λ--==+⋯①， ①-①可得21212132232n n n n a +--=-=． 当1n =时，12a =满足212n n a -=．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-= 2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 选①，由已知132n n S a +=-⋯①， 当2n 时，12n n S S -=-⋯①， ①-①可得14n n a a +=，当1n =时，可得28a =，满足214a a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列．即可得212n n a -=．221222log log log 13(21)n n b a a a n n =++⋯+=++⋯+-= 2221(1)111(1)(1)1n n n n n n n c b b n n n n n n +++====-+++．∴数列{}n c 的前n 项和1111111()1223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 12．在①5462a b b =+，①35144()a a b b +=+，①24235b S a b =三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设{}n a 是公比大于0的等比数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等差数列．已知11a =，32212S S a a -=+，435a b b =+，________．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设112233n n n T a b a b a b a b =+++⋯+，求n T ． 解：方案一：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--= 解得2q =或1q =-，0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为435d a b b =+，5462a b b =+，∴113431316b d b d +=⎧⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）由（1）可知：12,n n n a b n -==，012111221222(1)22n n n n n T a b a b a b n n --∴=++⋯+=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，∴12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）∴1211212222221212nn nn n n n T n n n ---=+++⋯+-⨯=-⨯=--⨯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯-（9分）∴(1)21n n T n =-+．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）方案二：选条件①：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=． 解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ，435a b b =+，135141344()235b d a a b b b d +=⎧+=+∴⎨+=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=．∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）． 方案三：选条件①（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．11a =，32212S S a a -=+，220q q ∴--=，解得2q =或1q =-， 0q >，2q ∴=，∴12n n a -=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）设等差数列{}n b 的公差为d ． 435a b b =+，4235S a b =，∴11340b d b d +=⎧⎨-=⎩ 解得111b d =⎧⎨=⎩，n b n ∴=，∴12,n n n a b n -==．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）（2）同方案一（2）．13．在①4S 是2a 与21a 的等差中项；①7a 是33S 与22a 的等比中项；①数列2{}n a 的前5项和为65这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题． 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，_______． （1）求n a ；（2）设3()4n n n b a =；是否存在k N ∈，使得278k b >？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．解：（1）{}n a 是公差d 为2的等差数列，若选①4S 是2a 与21a 的等差中项，可得42212S a a =+， 即有112(46)221a d a d +=+，即为16918a d ==，解得13a =； 若①7a 是33S 与22a 的等比中项，可得2732213a S a =，即21111(62)(332)(212)3a a a +⨯=+⨯+⨯， 即2111(12)(2)(42)a a a +=++， 解得13a =；若选①数列2{}n a 的前5项和为65，可得241065a a a ++⋯+=， 即1115(13579)52555065a d a d a +++++=+=+=， 解得13a =；综上可得32(1)21n a n n =+-=+，*n N ∈；（2）33()(21)()44n n n n b a n ==+，由1133523(23)()(21)()()4444n n nn n n b b n n ++--=+-+=，当1n =，2时，可得10n n b b +->，即321b b b >>；当3n ，*n N ∈时，可得10n n b b +-<，即345b b b >>>⋯， 则n b 的最大项为318964b =， 由18927648<， 可得不存在k N ∈，使得278k b >． 14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，____． 给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件①：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件①：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答： （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：选条件①： （1）数列1{}n S a +为等比数列，2211131()()()S a S a S a ∴+=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++．设等比数列{}n a 的公比为q ，22(2)2(2)q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍)，1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）点(n S ，1)n a +在直线1y x =+，11n n a S +∴=+，又11(2,)n n a S n n N -=+∈，两式相减有：12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++． 选条件①：（1）1121222n n n n a a a na -+++⋯+=，12121222(1)(2)n n n n a a a n a n ---∴++⋯+=-． 由两式相减可得：122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列． 1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111()log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．15．在①2351a a a b +=-，①2372a a a =，①315S =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，若 _______，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b nb b ++=-．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2351a a a b +=-，3d ∴=，31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又2372a a a =，(2)(22)2(26)d d d ∴++=+，0d >，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 若选①：（1）11n n n n a b nb b ++=-，∴当1n =时，1212a b b b =-，11b =，213b =，12a ∴=．又315S =，3d ∴=， 31n a n ∴=-；（2）由（1）知：11(31)n n n n b nb b ++-=-，即13n n nb nb +=，113n n b b +∴=．又11b =，所以数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，11()3n n b -∴=，11()33(13)1213nn n T --==--． 16．在①53A B =，①122114a a B -=，①535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d ．设n A ，n B 分别是数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且13b =，23A =，________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设132n a n n n c b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 解：方案一：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，53A B =， ∴112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）由（1）知， 331122()(21)(23)22123n n n c n n n n =+=+-++++，12n n S c c c ∴=++⋯+2311311311[2()][2()][2()]23525722123n n n =+-++-+⋯++-++23111111(222)[()()()]235572123n n n =++⋯++-+-+⋯+-++2(12)311()122323n n -=+--+13(2)223n n n ++=-+． 方案二：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且21221143,A a aB =-=，∴111114232a a d d ⎪⎨-=⎪+⨯+⎩， 整理，得()()1111231,4621a d a a a d d d d +==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解得， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程． 方案三：选条件① （1）由题意，可知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且23A =，535B =，∴11231,541352352a d a d d +=⎧=⎧⎪⎨⎨⨯=⨯+⨯=⎩⎪⎩解得， 11(1)n a n n ∴=+-=，*n N ∈， 321(1)21n b n n =+-=+，*n N ∈，综上所述，可得n a n =，21n b n =+． （2）同方案一第（2）小题解题过程．17．①535a b b =+，①387S =①91012a a b b -=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，16a b =，若对于任意*n N ∈都有21n n T b =-，且(n k S S k 为常数），求正整数k 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解：由21n n T b =-，可得1n =时，11b =；2n 时，1121n n T b --=-，相减可得122n n n b b b -=-，1n n -由此可得{}n b 为首项为1，公比为2的等比数列，故12n n b -=， ①当535a b b =+，1632a b ==，541620a =+=， 设{}n a 的公差为d ，则20324d =+，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当387S =时，132a =，2387a =，设{}n a 的公差为d ，则3(32)87d +=，解得3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．①当91012a a b b -=+时，132a =，9103a a -=， 设{}n a 的公差为d ，则3d =-，所以323(1)353n a n n =--=-．因为当11n 时，0n a >，当11n >时，0n a <， 所以当11n =时，n S 取得最大值， 因此正整数k 的值为11．18．在①1，n a ，n S 成等差数列，①递增等比数列{}n a 中的项2a ，4a 是方程21090x x -+=的两根，①11a =，120n n a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由．已知数列{}n a 和等差数列{}n b 满足 _______，且14b a =，223b a a =-，是否存在(320,)k k k N <<∈使得k T 是数列{}n a 中的项？(n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n b 的前n 项和）。

高考文科数学数列复习题一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ）A ．40B ．42C ．43D ．453．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4.在等差数列{}n a 中,已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( )A.48B.49C.50D.51 5．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 6.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ）A ．(1)2n n + B.(1)2n n - C.(2)(1)2n n ++ D.(1)(1)2n n -+8．已知a bc d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ）A ．122n +- B ．3n C ．2nD ．31n-10．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）A ．2(81)7n - B ．12(81)7n +- C ．32(81)7n +- D ．42(81)7n +-二、填空题（5分×4=20分）11.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．12．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a =13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，2a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n = .14．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将 数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记 A （i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A （4，3） =9a ,则A （10，2）=三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分12分）等差数列的通项为219n a n =-,前n 项和记为n s ，求下列问题:(1)求前n 的和n s （2）当n 是什么值时, n s 有最小值，最小值是多少？ 16、（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()111,211n n a a S n +==+≥ （1）求{}n a 的通项公式;（2）求n S 17、（本小题满分14分）已知实数列是}{n a 等比数列,其中74561,,1,a a a a =+且成等差数列. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)数列}{n a 的前n 项和记为,n S 证明: n S ＜128,3,2,1(=n …).18、（本小题满分14分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （1）求c 的值；（2）求{}n a 的通项公式． 19、（本小题满分14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S 20．（本小题满分14分）设数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=…，a ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +==1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S4.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ． 5.已知数列{a n }满足，，n ∈N ×．（1）令b n =a n+1﹣a n ，证明：{b n }是等比数列； （2）求{a n }的通项公式．高三文科数学数列测试题答案 1~5 CBBCA 6~10 BABCD 11.(51)2n n +-12.4 13.3122n a n =- 14. 93 15.略解（1）略（2）由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩得10n =，10910210(17)2260s ⨯=⨯--⨯=- 16.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为()q q ∈R ，由6711a a q ==，得61a q -=，从而3341a a q q -==，4251a a q q -==，5161a a q q -==．因为4561a a a +，，成等差数列，所以4652(1)a a a +=+， 即3122(1)qq q ---+=+，122(1)2(1)q q q ---+=+．所以12q =．故116111642n n n n a a q q q ----⎛⎫=== ⎪⎝⎭．（2）116412(1)1128112811212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 17．（1）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又21213a S =+= ∴213a a = 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=. (2) 1(13)311322n nnS ⨯--==-18.解：（1）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （2）当2n ≥时，由于21a a c -=， 322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，，． 19.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（2）1212n n n a n b --=． 122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-． 20．(1)2112333...3,3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分 （2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

高考文科数学解答题专项训练（2）数列1.设等差数列满足, .)1(求{}n a 的通项公式；)2(求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的n 值.解: (1)设等差数列首项为, 公差为, 则⇒⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=+299952111d a d a d a 112+-=n a n …………………………….6分 （2）由（1）知n n d n n na S n 102)1(21+-=-+=………………………….10分 又 当时, 取得最大值………...12分2. 等差数列中, (1)求{}n a 的通项公式;(2)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【答案】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为,所以.解得,.所以的通项公式为. (Ⅱ)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以.3. 在等比数列中,,且为和的等差中项,求数列的首项、公比及前项和.【答案】解:设{}n a 的公比为q .由已知可得211=-a q a ,211134q a a q a +=,所以2)1(1=-q a ,0342=+-q q ,解得 3=q 或 1=q ,由于2)1(1=-q a .因此1=q 不合题意,应舍去,故公比,首项.所以,数列的前n 项和213-=n n S 4. 已知等差数列的公差不为零, , 且成等比数列。

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+；【答案】5. 正项数列{an}满足.(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令1(1)n nb n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】解:(21)20n n ---=2n n n n （1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0 由于{an}是正项数列,则.(2)由(1)知2n =n a ,故11111()(1)(1)(2)2(1)n n b n a n n n n ===-+++ 11111111(1...)(1)222312122n T n n n n ∴=-+-++-=-=+++n 6. 已知等差数列的前项和满足,.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和. 【答案】(1)设{a}的公差为d,则S=.由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得 {}n =2-.n a a n 故的通项公式为(2)由(I)知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==----- 从而数列.7.已知数列{}n a 中,11a =,前n 项和23n n n S a +=. (1)求23,a a ;(2)求{}n a 的通项公式.【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用. 解:(1)由11a =与23n n n S a +=可得 22122122333S a a a a a +==+⇒==,3312331233224633S a a a a a a a a +==++⇒=+=⇒= 故所求的值分别为.(2)当2n ≥时,23n n n S a +=① 1113n n n S a --+=② ①-②可得112133n n n n n n S S a a --++-=-即 1112111133331n n n n n n n a n n n n n a a a a a a n ---++-++=-⇔=⇔=- 故有21211211311212n n n n n a a a n n n n a a a a a n n ---++=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-- 而211112a +==,所以{}n a 的通项公式为22n n n a += 8. 已知等差数列/的前/项和为/, 且满足: /, /.（1）求数列的通项公式；（2）设/, 数列/的最小项是第几项, 并求出该项的值.解：（1）设公差为/, 则有/, 即/ ………………2分解得 ………………4分 所以/ . ………………6分（2） ………………8分 {}n a 113a d =⎧⎨=⎩23[1+(32)]=22-n n n n S n -=所以 ………………10分 当且仅当/, 即/时取等号,故数列/的最小项是第4项, 该项的值为23 . ………………12分9.已知等差数列和正项等比数列, , , ＝（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（2）若, 求数列的前项和解（1）依题意, 为等差数列, 设其公差为； 为正项等比数列, 设其公比为, 则可知 ∵ 1073=+a a ∴可知2105=a ,即55=a又 ∴ , 解得故 n d n a a n =-+=)1(1…………………………………………………………………3分 由已知＝＝4, ∴ , 即∴ 1112--==n n n qb b 所以 , ………………………………………………………………6分（2）∵ n n n b a c ⋅=＝12-⋅n n∴ n T ＝12102232221-⨯++⨯+⨯+⨯n n∴ n T 2 ＝ n n n n 22)1(2322211321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯-以上两式相减, 得－＝………………………9分 ＝n n n 221)21(1⨯---⨯＝12)1(-⨯-n n ∴ n T ＝12)1(+⨯-nn ………………………………………………………………12分 10. 数列满足, （）.（1）证明: 数列是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设, 求数列的前项和.解析：（1）由已知可得, 即, 即∴ 数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列 ……………………5分（2）由（1）知, ∴ ………………………8分（3）由（2）知2n n b n =⋅231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅23484831123n n n b n n n -+==+-≥=23121222(1)22n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ………………10分相减得: 11222n n n ++=--⋅∴ 1(1)22n n S n +=-⋅+ …………………………………12分。

大学文科数学试题（附答案）一、 判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分）1.任意修改收敛数列{}n a 的前100项，数列{}n a 仍收敛，且极限不变. ( )2.若0lim[()()]0x x f x g x →−=，则必有00lim ()lim ()x x x x f x g x →→=. ( )3.函数()f x 在某个区间上的极大值一定大于极小值. ( )4.当0→x 时，无穷小量34x x −+是关于x 的4阶无穷小量. ( )5.概率的公理化定义虽然不能用来直接确定事件的概率，但它给了概率所必须满足 的最基本规律，为建立严格的概率理论提供了坚实的基础． ( )6.微分方程xyx y dx dy tan +=的通解是Cx x y =sin . （ ） 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1.已知(sin )cos 12x f x =+，则(cos )2xf =___________.2.直线L 与x 轴平行且与曲线y x e x=−相切，则切点坐标为_____________.3.已知()f x 的一个原函数是2x e −，则'()=xf x dx ⎰________________________.4.利用定积分的几何意义，计算0=⎰_________(0)a >，这个结果表示的是________________________的面积.5.函数1xy x =的极大值点是 ，极大值为 .6.三台机器在一天内正常工作的概率分别为：第一台0.9，第二台0.7，第三台0.6，且它们发生故障是相互独立的，则三台机器同时发生故障的概率________． 三、计算题（要求有计算过程,共6题，每题4分,共24分）1.102030(1)(35)lim (611)n n n n →∞−+−;2.301lim sin 3x x x →+;3.152lim ()1xx x x −→+∞++; 4. 设()y y x =是方程cos()0x y e xy +−=所确定的隐函数，求0x dy =;5.; 6.dxxee⎰1|ln|．四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分）1.把长度为l的线段分成两段，分别围成正方形和圆形，问如何分该线段可以使得正方形和圆的面积之和最小（即求此时正方形的周长和圆的周长）？2.求曲线3(03)y x x=≤≤分别绕x轴和y轴旋转所得到的旋转体的体积.3.甲、乙、丙三个分厂生产同一批次规格相同的灯管，产量之比为1：2：1.已知甲、乙、丙三个分厂产品的合格率依次是0.93,0.92,0.98.现任取一灯管，求(1) 取到不合格灯管的概率；(2) 若取到不合格灯管,求它是由乙分厂生产的概率.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.叙述函数)(xfy=在],[ba上的拉格朗日中值定理的作用与几何意义，并画出几何示意图．2.简述古典概型的特点，并举一个古典概型在教育系统的应用实例．3.微分方程研究的内容是什么？举几个微分方程在现实应用中的成功实例．大学文科数学试题 答案一、判断题（对画“√”，错画“×”, 共6题，每题3分,共18分） 1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√ 二、填空题（共6题，每题3分，共18分）1．22sin 2x； 2. ()01,−； 3.22(21)x x e C −−++； 4. 24a π，半径为a 的四分之一的圆的面积； 5. 1,ee e ； 6. 0.012.三、计算题（要求有计算过程, 共6题，每题4分,共24分）1. 203036；2. 16； 3. 5e −； 4. dx −；5. ln 1|C −+；6. 22e−.四、应用题（共3题，第1题7分，第2题8分,第3题10分，共25分） 1. 正方形的周长为44lπ+，圆的周长为4l ππ+. 2.（1）3326021877x V y dx x dx πππ===⎰⎰； （2）22727237295y V x dy y dy πππ===⎰⎰. 3.（1）令B 为任取一件为不合格灯管，i A 分别为任取一件为甲、乙、丙分厂生产的灯管1,2,3i =, 则由全概率公式得)(B P =31()(|)i i i P A p B A ==∑0.250.070.50.080.250.020.0625⨯+⨯+⨯=.（2）利用贝叶斯公式 31()()(|)(|)()()(|)i i i i i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑, 1,2,3i =. 计算得2(|)P A B =0.50.08=64%0.0625⨯.五、问答题（共3题，每题5分，共15分）1.拉格朗日中值定理是联系函数局部性质与整体性质的纽带．其几何意义是：联结两点的一条光滑曲线上至少存在一条切线与这两点的连线平行（示意图从略）.2. 古典概型的特点是：有限性（每次试验有有限个样本点）；等可能性（每次试验，每个样本点出现的可能性相同）．例如，主考教师从装有n道题的袋中随机抽一题进行测试，就属于古典概型．3. 微分方程研究含有未知函数的导数或微分的方程，然后从中求得这个未知函数．19世纪，天文学家利用微分方程发现海王星，20世纪，科学家利用微分方程推断出阿尔卑斯山肌肉丰满的冰人的遇难时间，如今微分方程更是广泛用于预测人口数量，进行天气预报等方面，这些都是微分方程的成功应用实例．。

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和.3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得143n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分（2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

高考文科数学数列复习题一、选择题1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22．在等差数列中，已知则等于（ ）{}n a 1232,13,a a a =+=456a a a ++A ．40 B ．42 C ．43 D ．453．已知等差数列的公差为2，若、、成等比数列，则等于（ ）{}n a 1a 3a 4a 2a A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－104.在等差数列中,已知( ){}n a 11253,4,33,n a a a a n =+==则为A.48B.49C.50D.515．在等比数列{}中，＝8，＝64，，则公比为（　）n a 2a 6a q A ．2 B ．3 C ．4 D ．86.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）A ． B. C. D.3,9b ac ==3,9b ac =-=3,9b ac ==-3,9b ac =-=-7．数列满足（）{}n a 11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则A ．B.C.D.(1)2n n +(1)2n n -(2)(1)2n n ++(1)(1)2n n -+8．已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　a b c d ，，，223y x x =-+()b c ，ad Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2-9．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等{}n a 12a =n n S {}1n a +n S 于（）A ．B ．C ．D ．122n +-3n 2n 31n-10．设，则等于（4710310()22222()n f n n N +=+++++∈ ()f n ）A ．B ．C ．D ．2(81)7n -12(81)7n +-32(81)7n +-42(81)7n +-二、填空题（5分×4=20分）11.已知数列的通项，则其前项和 ．52n a n =-+n n S =12．已知数列对于任意，有，若，则{}n a *p q ∈N ，p q p q a a a ++=119a =36a =13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，2a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项a n =.14．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，将{}n a 数列中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记{}n a A （i,j)表示第i 行从左至右的第j 个数，例如A （4，3）=,则A （10，2）=9a 三、解答题（本大题共6题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本小题满分12分）等差数列的通项为,前n 项和记为，求下列问题:219n a n =-n s (1)求前n 的和 （2）当n 是什么值时, 有最小值，最小值是多少？n s n s 16、（本小题满分12分）数列的前n 项和记为，{}n a n S ()111,211n n a a S n +==+≥（1）求的通项公式;（2）求{}n a n S 17、（本小题满分14分）已知实数列等比数列,其中成等差数列.是}{n a 74561,,1,a a a a =+且(1)求数列的通项公式;}{n a (2)数列的前项和记为证明: ＜128…).}{n a n ,n S n S ,3,2,1(=n18、（本小题满分14分）数列中，，（是常数，），且成公比{}n a 12a =1n n a a cn +=+c 123n = ，，，123a a a ，，不为的等比数列．1（1）求的值；c （2）求的通项公式．{}n a 19、（本小题满分14分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，{}n a {}n b 111a b ==3521a b +=5313a b +=（1）求，的通项公式；{}n a {}n b （2）求数列的前n 项和n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S 20．（本小题满分14分）设数列满足，．{}n a 211233333n n n a a a a -++++=…a ∈*N （1）求数列的通项；{}n a （2）设，求数列的前项和．n nnb a ={}n b n n S 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n = ，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且{}n a 212326231,9.a a a a a +==1.求数列的通项公式.{}n a 2.设 求数列的前项和.31323log log ......log ,n n b a a a =+++1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭3.设数列满足{}n a 21112,32n n n a a a -+=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和n n b na =nS 4.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．5.已知数列{a n }满足，，n ∈N ×．（1）令b n =a n+1﹣a n ，证明：{b n }是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．g r e高三文科数学数列测试题答案1~5 CBBCA 6~10 BABCD 11. 12.4 13. 14. 93(51)2n n +-3122n a n =-15.略解（1）略（2）由得，100n n a a +≤⎧⎨≥⎩10n =10910210(17)2260s ⨯=⨯--⨯=-16.解：（1）设等比数列的公比为，{}n a ()q q ∈R 由，得，从而，，．6711a a q ==61a q -=3341a a q q -==4251a a q q -==5161a a q q -==因为成等差数列，所以，4561a a a +，，4652(1)a a a +=+即，．3122(1)qq q ---+=+122(1)2(1)q q q ---+=+所以．故．12q =116111642n n n n a a q q q ----⎛⎫=== ⎪⎝⎭A （2）116412(1)1128112811212n n n n a q S q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-<⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-17．（1）由可得，两式相减得121n n a S +=+()1212n n a S n -=+≥()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥又 ∴ 故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.21213a S =+=213a a =13n n a -=(2) 1(13)311322nnn S ⨯--==-18.解：（1），，，12a =22a c =+323a c =+因为，，成等比数列，所以，1a 2a 3a 2(2)2(23)c c +=+解得或．0c =2c =当时，，不符合题意舍去，故．0c =123a a a ==2c =（2）当时，由于2n ≥，21a a c -=，322a a c -=，1(1)n n a a n c --=-所以．1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又，，故．12a =2c =22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，当时，上式也成立，所以．1n =22(12)n a n n n =-+= ，，19.解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且{}n a d {}n b q 0q >4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得，．2d =2q =所以，1(1)21n a n d n =+-=-．112n n n b q --==（2）．1212n n n a n b --=，①122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，②3252321223222n n n n n S ----=+++++ ②－①得，22122221222222n n n n S ---=+++++- 221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ ．1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-20．(1)2112333 (3),3n n n a a a a -+++=221231133...3(2),3n n n a a a a n ---+++=≥1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n = ，则3411-=--n n a S (2,3,)n = ，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得143n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为43的等比数列． 7分（2）解：因为14()3n n a -=，由1(1,2,)n n n b a b n +=+= ，得114()3n n n b b -+-=． 9分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(3341)34(1211-=--+--n n ，（2≥n ），当n=1时也满足，所以1)34(31-=-n n b ．2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由得所以。

1. （福建卷）已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．642. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．233. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )1894. (全国卷II ) 如果数列{}n a是等差数列，则( )(A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )(A)1845a a a a >(B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =6. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( )（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）6707. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。

已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7。

8. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 .9. (全国卷II ) 在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______10. （上海）12、用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。

高中数学数列练习题及答案解析第二章数列1 ．{an} 是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n 等于．A ．667B．668C．669D．6702 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．33B．7C．84D．1893 ．如果a1 ，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠ 0，则．A ．a1a8> a4a5B．a1a8< a4a5C．a1＋a8< a4＋a5D．a1a8＝a4a54 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ．1B．313C．D．8421 的等差数列，则5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n 项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．005B．006C．007D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－4B．－6C．－8D．－108 ．设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ．1B．－1 C．2D．1a2?a1 的值是．b2a5S5 ＝，则9＝．a3S599 ．已知数列－ 1 ，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则A ．11111B．－C．－或D．2222210 ．在等差数列{an} 中，a n≠ 0，an－ 1 －an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．第 1 页共页A ．38B．20 C．10D．9二、填空题11 ．设 f ＝ 12?x ，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得 f ＋ f ＋⋯＋ f ＋⋯＋f ＋ f 的值为12．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.82713 ．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．314 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.15 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.16 ．设平面内有n 条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f 表示这n 条直线交点的个数，则f＝；当n> 4时，f ＝．三、解答题17 ．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知第页共页111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc18 ．设{an} 是公比为q 的等比数列，且a1，a3，a2 成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝求证：数列{20 ．已知数列{an} 是首项为a且公比不等于 1 的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.第页共页n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n第二章数列参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1 ＝21 ，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1· a8＝a1＝a12＋7a1d，a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．a4· a5＝＝3 ．C解析：解法 1 ：设a1＝中两根之和也为2，∴ a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴ 11735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．44441111 ，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x ＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x＋n＝04444715，分别为m或n，1616第页共页∴｜m－n｜＝1 ，故选C．解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝a p＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝差数列为1357，，，，444715 ，n＝，16161 ．7，于是可得等4∴ m＝∴｜m－n｜＝5 ．B解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120． 1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003·a004< 0，0 ，a004< 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．同解法 1 的分析得a003>根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧第页共页零点B的左侧，007，4第二章数列2 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．3B．7C．8D．1894 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ． 1B ． 1 的等差数列，则4C．1D．5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n 项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．00B．00C．00D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－B．－C．－D．－108 ．设S n 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ． 1B ．－1a5S5＝，则9＝．a3S5C．D． 1a2?a1 的值是．b29 ．已知数列－1，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－ 4 成等比数列，则A ． 1B ．－ 1C ．－11 或D． 1二、填空题12 ．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.13 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.14 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.三、解答题15 ．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知18 ．设{an} 是公比为q? 的等比数列，且a1 ，a3，a2成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列.abcabc19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1 ＝1，an＋1＝求证：数列{n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n20 ．已知数列{an} 是首项为a 且公比不等于1的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.第二章数列参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1＝21，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．3 ．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1 · a8＝a1 ＝a12＋7a1d，∴ a4· a5＝＝a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．4 ．C解析：解法 1 ：设a1＝两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x＋n ＝0 中444411735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1 ＝，a3＝是另一个方程的两个根．4444715，分别为m或n，16161 ，故选C．∴｜m－n｜＝解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap ＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝数列为7，于是可得等差41357，，，，444715 ，n＝，16161 ．∴m＝∴｜m－n｜＝5 ．B解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120．1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，同a004 < 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．解法 1 的分析得a003> 0，根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧都在其右侧，Sn> 0 的最大自然数是006．7 ．B解析：∵{an} 是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1 ，a3，a4 成等比数列，∴ 2＝a1 ，解得a1 ＝－8，∴ a2＝－8＋2＝－6．8 ． A 零点 B 的左侧，007，00899?a5S95 解析：∵9＝＝＝·＝ 1 ，∴选A．5?a3S55929 ．A解析：设d和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝q4，∴ d＝－ 1 ，q2＝2，第二章数列1 ．{an} 是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n 等于．A ．66B．66C．66D．6702 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．3B．7C．8D．1893 ．如果a1 ，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠ 0，则．A ．a1a8> a4a B．a1a8< a4a C．a1＋a8< a4＋aD．a1a8＝a4a54 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ． 1B ． 1 的等差数列，则4C．1D．5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．00B．00C．00D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－B．－C．－D．－108 ．设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ． 1B ．－1a5S5＝，则9＝．a3S5C．D． 1a2?a1 的值是．b29 ．已知数列－1，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－ 4 成等比数列，则A ． 1B ．－ 1C ．－11 或D． 1210 ．在等差数列{an} 中，an≠ 0，an－ 1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．A ．3B．20 C．10 D．9二、填空题第 1 页共页11 ．设 f ＝12x? ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得 f ＋ f ＋⋯＋ f ＋⋯＋f＋ f 的值为.12 ．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.82713 ．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．314 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.15 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.16 ．设平面内有n 条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f 表示这n 条直线交点的个数，则f＝；当n> 4时，f＝．三、解答题17 ．已知数列{an} 的前n 项和S n＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知18 ．设{an} 是公比为q? 的等比数列，且a1 ，a3，a2成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2 时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．第页共页111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1 ＝1，an＋1＝求证：数列{20 ．已知数列{an} 是首项为 a 且公比不等于1 的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n第二章数列第页共页参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1 ＝21 ，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．3 ．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1· a8＝a1＝a12＋7a1d，∴ a4· a5＝＝a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．4 ．C解析：解法 1 ：设a1＝两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x ＋n＝0中444411735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1 ＝，a3＝是另一个方程的两个根．4444715，分别为m或n，16161 ，故选C．∴｜m－n｜＝解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1· x2＝m，x3· x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝数列为7，于是可得等差41357，，，，444715 ，n＝，1616第页共页∴ m＝∴｜m－n｜＝5 ． B 1．解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120．1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，同a004 < 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．解法 1 的分析得a003> 0，根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧都在其右侧，Sn> 0 的最大自然数是006．7 ．B解析：∵{an} 是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1 ，a3，a4 成等比数列，∴ 2＝a1 ，解得a1 ＝－8，∴ a2＝－8＋2＝－6．8 ．A第页共页零点B的左侧，007，008。

高考数学（文科）总复习专题6数列练习题（附解析）第1练 数列的概念与简单表示法[基础保分训练]1.数列23，－45，67，－89，…的第5项是________.2.在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝________.3.已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<12，2a n－1，12≤a n<1，若a 1＝67，则a 2019的值为________.4.设数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，10－3是数列的第________项.5.数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，a 3＝________. 6.已知数列{a n }中，a n ＝nn －15.6(n ∈N *)，则数列{a n }的最大项为第________项.7.数列{a n }的通项公式a n ＝－n 2＋10n ＋11，则该数列前________项的和最大.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝a ，a 2＝a 2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，S 56＝6，则a ＝________. 9.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________. 10.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，给出下列说法：①数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 10，a 9； ②数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 9，a 10； ③数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 9； ④数列{a n }中的最大项和最小项分别是a 1，a 10. 其中，说法正确的是________.(填序号)[能力提升训练]1.已知数列：21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为________.2.已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是________. 3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1，若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对∀n ∈N *恒成立，则整数λ的最大值为________4.已知数列{a n }满足2a n a n ＋1＋a n ＋3a n ＋1＋2＝0，其中a 1＝－12，设b n ＝n －λa n ＋1，若b 3为数列{b n }中唯一最小项，则实数λ的取值范围是________.5.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则称这个数列为“有限和数列”，试写出一个“k 最大的有限和数列”________.6.正整数数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －n ，a n >n ，a n ＋n ，a n ≤n ，将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，k ∈N *，n k ＋1＝________________.(用n k 表示)答案精析基础保分训练1.10112.193.37 4.9 5.6 6.16 7.10或11解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11， ∴a 1＝20>0，a n ＝－n 2＋10n ＋11＝－(n －5)2＋36，当(n －5)2<36时，a n ＝－(n －5)2＋36>0， 当(n －5)2>36时，a n ＝－(n －5)2＋36<0， 当n ＝11时，a n ＝0， ∴当S n 最大时，有n ＝10,11. 8.－3或2解析 由题设可得a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1， 即a n ＋3＝－a n ，故a n ＋6＝a n ，而a 1＝a ，a 2＝a 2，a 3＝a 2－a 1＝a 2－a ，a 4＝－a 1＝－a ，a 5＝－a 2，a 6＝a 5－a 4＝－a 2＋a ，所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，而56＝6×9＋2，所以S 56＝a 1＋a 2＝a ＋a 2＝6， 解得a ＝－3，a ＝2. 9.a n ＝2n －11 10.①解析 已知a n ＝n －98n －99＝1＋99－98n －99(n ∈N *)，设f (x )＝1＋99－98x －99，∵99－98>0，∴f (x )在(0，99)和(99，＋∞)上都是减函数. 大致图象如图所示.∴当n ＝9时，a n 取得最小值；当n ＝10时，a n 取得最大值.故填①. 能力提升训练 1.2解析 数列可看成 21，12， 31，22，13， 41，32，23，14， …，以此类推，第N 大项为N ＋11，N2，…，1N ＋1(N ≥2，N ∈Z )，共有N ＋1小项， 完整前N 大项共有小项个数为2＋3＋…＋N ＋1＝N 2＋3N2，当N ＝6时，共27项，故这个数列的第30项为第7大项中的第3小项，即为63＝2.2.(－∞，6)3.4解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－22，得a 1＝4； 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n， ∴a n ＝2a n －2a n －1－2n， 即a n ＝2a n －1＋2n， ∴a n 2n －a n －12n －1＝1.又a 12＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以2为首项，1为公差的等差数列，a n2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n. ∵a n >0，∴不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n ，等价于5－λ>2n －32n .记b n ＝2n －32n ，当n ≥2时，b n >0，b n ＋1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6.∴当n ≥3时，b n ＋1b n<1， 又b 1<0，b 2<b 3，∴(b n )max ＝b 3＝38.∴5－λ>38，即λ<5－38＝378，∴整数λ的最大值为4. 4.(5,7)解析 因为2a n a n ＋1＋a n ＋3a n ＋1＋2＝0， 所以2(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－a n ＋a n ＋1＝0， 2(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－(a n ＋1)＋(a n ＋1＋1)＝0， 1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，所以1a n ＋1＝1a 1＋1＋2(n －1)＝1－12＋1＋2(n －1)＝2n ， b n ＝n －λa n ＋1＝2n (n －λ)，因此要使b 3为数列{b n }中唯一最小项，需λ2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，72，所以λ∈(5,7). 5.2,1，－1,0，…解析 可以先写3，再写后一项为－1,1,0，－1，…，即最多有4个不同的数字， 本题可以有无数个解.6.n k ＋1＝3n k ＋1，或n k ＋1＝n k ＋3k(k ＝1,2,3…) 解析 因为a 1＝1，n ≥1，a 2＝1＋1＝2，a 3＝2＋2＝4，由题设可知a n ＋1＝1⇒a n ＝n ＋1，而通过计算不难看出其规律：要么被3整除余1， 即3n k ＋1的形式，要么是3k＋n k 的形式， 故n k ＋1＝3n k ＋1，或n k ＋1＝n k ＋3k (k ＝1,2,3，…).第2练 等差数列及其前n 项和[基础保分训练]1.等差数列{a n }中，a 1＝5，a 2＋a 5＝0，则{a n }中为正数的项的个数为________.2.数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列.若a n ＝b n ，则n 的值为________.3.已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，S 4＝5，S 9＝20，则a 7＝________.4.{a n }是公差为2的等差数列，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋…＋a 99＝________.5.若一个等差数列的第二项为5，最后4项的和为48，且所有项的和为63，则这个数列有________项.6.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和之比为7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，则a 11b 11＝________.7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8>0且S 9<0，则当S n 最大时，n 的值为________. 8.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________.9.在等差数列{a n }中，a 1＝21，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则d 的取值范围是________.10.在等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，a 1＝－29，S 10＝S 20，则S n 最小时，n ＝____________.[能力提升训练]1.公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝16，则S 10＝________.2.在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ＋3·2n－5且a 1＝5，若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n(λ为常数)为等差数列，则其公差为________.3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－2018，S 20182018－S 20162016＝2，则a 2＝________.4.已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n ＝a n ＋1，b n ＝a na n ＋t(t ∈N *)，若b 1，b 2，b m 成等差数列，则t m的最大值为________.5.已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为2＋22，则AC 边长的最小值是________.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________.答案精析基础保分训练1.32.53.34.1825.76.43 7.48.4解析 由a 1，a 3，a 13成等比数列可得a 23＝a 1a 13， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )， 整理得d 2－2d ＝0， 解得d ＝2， 所以2S n ＋16a n ＋3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n n －2×2＋161＋n －＋3＝n 2＋8n ＋1＝n ＋2－n ＋＋9n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－2≥2n ＋9n ＋1－2＝4 (当且仅当n ＋1＝9n ＋1， 即n ＝2时取等号). 9.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－218 10.15解析 设等差数列{a n }的公差是d ，由a 1＝－29，S 10＝S 20得，10×(－29)＋10×92×d ＝20×(－29)＋20×192×d ，解得d ＝2，则S n ＝－29n ＋n n －2×2＝n 2－30n ，∴当n ＝15时，前n 项和最小.能力提升训练 1.30 2.323.－2016解析 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，S 20182018－S 20162016＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为S 11＝a 1＝－2018，公差为1的等差数列， 所以S 22＝－2018＋1＝－2017，所以S 2＝2×(－2017)＝－4034，所以a 2＝S 2－a 1＝－4034－(－2018)＝－2016. 4.54解析 由题意得2S n ＝a n ＋1，则4S n ＝(a n ＋1)2,4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，作差得a n ＋1－a n ＝2， 由2S 1＝a 1＋1得a 1＝1，a n ＝2n －1，由b 1，b 2，b m 成等差数列，可得b m ＝2b 2－b 1，2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ，当t ＝1时，2m －1＝2m ，不成立，所以t ≠1，分离m 化简得m ＝3＋4t －1，故(t ，m )＝(2,7)，(3,5)，(5,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫t m max ＝54.5.2 2解析 ∵A ，32B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝3B ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π4，∴由S △ABC ＝12ac sin B ＝2(1＋2)，得ac ＝4(2＋2)，∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac ，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴b 2≥(2－2)ac ＝8，当且仅当a ＝c 时，等号成立，解得b ≥22， ∴b 的最小值为2 2. 6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－85，－43解析 ∵a 2＝8＝a 1＋d ，∴a 1＝8－d ，S n ＝na 1＋n n －2d ＝(8－d )n ＋n n －2d＝12dn 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32d n ，对称轴为n ＝32－8d ，∵S n ≤S 7，∴S 7为S n 的最大值，由二次函数性质可得，⎩⎪⎨⎪⎧132≤32－8d ≤152，d <0，得－85≤d ≤－43，即d 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－85，－43.第3练 等比数列及其前n 项和[基础保分训练]1.如果－1，a ，b ，c ，－25成等比数列，那么b ＝________.2.已知x,2x ＋2,3x ＋3是一个等比数列的前三项，则x 的值为________.3.已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.4.已知等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝1，a 6a 7a 8＝64，则a 5＝________.5.已知数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n ＋1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n ＋1}是等比数列，则λ的值等于________.6.已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 3a 4＝－a 27＝－64，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫a 4a 63π＝________.7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3，S 12－S 8＝12，则S 8＝________. 8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 9.在等比数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝36，a 3＋a 6＝72，若a n ＝1024，则n ＝________. 10.已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________.[能力提升训练]1.三个实数a ，b ，c 成等比数列，a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是________.2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为________. 4.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且a 2＝27，a 3·a 6·a 9＝127，则当T n最大时，n 的值为________.5.设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9－S 7＝3(a 4＋a 5)，则9a 2＋3a 6的最小值为________.6.设S n 为数列{a n }的前n 项和，2a n －a n －1＝3·2n －1(n ≥2)且3a 1＝2a 2，则S n ＋a n ＝________.答案精析基础保分训练1.－52.－43.94.25.26.－ 3解析 由题意得a 2a 3a 4＝a 33＝－64， 所以a 3＝－4.又a 27＝64，所以a 7＝－8或a 7＝8(由于a 7与a 3同号，故舍去). 所以a 4a 6＝a 3a 7＝32， 因此tan ⎝⎛⎭⎪⎫a 4a 63π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫323π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π－π3＝－tan π3＝－ 3.7.9 8.243 9.10 10.3n－1解析 因为a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ， 所以(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， 所以a n ＋1－3a n ＝0或a n ＋1＋2a n ＝0. 因为数列各项是正项，所以a n ＋1a n＝3， 所以数列是等比数列，且其公比为3， 所以数列{a n }的前n 项和为－3n1－3＝3n－1.能力提升训练 1.[－3,0)∪(0,1] 2.323(1－4－n ) 解析 ∵等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝2，a 5＝a 1q 4＝14，解得a 1＝4，q ＝12，∴a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4×12n ＝8×14n －1，∴{a n a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，∴a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .3.57解析 由数列的递推关系可得，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，a 1＋1＝2，据此可得，数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＋1＝2×2n －1，a n ＝2n －1，分组求和得S 5＝－251－2－5＝57.4.4或5解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为a 2＝27，a 3·a 6·a 9＝127，所以a 6＝13，所以q 4＝a 6a 2＝181，所以q ＝13，所以a 1＝81，T n ＝a n1q＝3＝3，所以当n ＝4或5时，T n 取最大值.5.6解析 设正项等比数列{a n }的公比为q >0， ∵S 9－S 7＝3(a 4＋a 5)， ∴a 8＋a 9＝3(a 4＋a 5)， ∴(q 4＋q 5)a 4＝3(1＋q )a 4， ∵a 4≠0，∴q 4＋q 5＝3(1＋q )，可得q 4＝3，12n n (-)292n n -+2981242n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭则9a 2＋3a 6≥29a 2×3a 6＝2×27×1q4＝6，当且仅当9a 2＝3a 6，即a 2＝13时取等号.6.3·2n解析 由2a n －a n －1＝3·2n －1(n ≥2)，得a n 2n ＝14·a n －12n －1＋34，∴a n 2n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12n －1－1， 由2a n －a n －1＝3·2n －1(n ≥2)，且3a 1＝2a 2，可得2a 2－a 1＝6，即2a 1＝6，a 1＝3.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1是以12为首项，14为公比的等比数列，则a n 2n －1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，∴a n ＝2n (21－2n＋1)＝21－n＋2n，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋...＋12n －1＋(2＋22＋23＋ (2))＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＋－2n1－2＝2·2n －21－n.∴S n ＋a n ＝3·2n.第4练 数列的递推关系及通项[基础保分训练]1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧20－n ，n 为奇数，13＋n ，n 为偶数，则a 20a 15＝________.2.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝－2a n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.3.已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝1a n －1＋1，则a 2019＝________. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2019＝________.5.在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n 对所有的正整数n 都成立，且a 6＝23，则a 5＝________.6.正项数列{a n }中，满足a 1＝1，a 2＝12，1a n ＋1＝1a n ·1a n ＋2(n ∈N *)，那么a n ＝________.7.已知数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 5＝________. 8.数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋2n，则a 9＝________. 9.数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n ，则a n ＝________. 10.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，n ∈N *，则此数列的通项公式a n ＝________.[能力提升训练]1.已知数列{a n }的通项为a n ＝n －254n －255，当a n 取得最小值时，n 的值为________.2.已知数列{a n }，若a 1＝2，a n ＋1＋a n ＝2n －1，则a 2019＝________.3.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足2S 2n －(3n 2－n －4)S n －2(3n 2－n )＝0，n ∈N *，则数列{a n }的通项公式是________.4.对于数列{a n }，若任意m ，n ∈N *(m >n )，都有a m －a n ≥t (m －n )(t 为常数)成立，则称数列{a n }具有性质P (t )，若数列{a n }的通项公式为a n ＝3n，且具有性质P (t )，则t 的最大值为________.5.已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a n ＋1，n <6，a n －5，n ≥6，若对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，则实数a的取值范围是______________. 6.设数列{a n }满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝nn ＋2(n ∈N *)，a 1＝12，则a n ＝________.答案精析基础保分训练 1.165 2.(－2)n －1＋1 3.34.22019解析 ∵S n ＝2a n －2，∴当n ＝1时，a 1＝2a 1－2，解得a 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －2)－(2a n －1－2) ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n.∴a 2019＝22019.5.16.12n －1解析 由已知⎝⎛⎭⎪⎫1a n ＋12＝1a n ·1a n ＋2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，又1a 1＝1，1a 2＝2，∴q ＝2，∴1a n ＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 7.10 8.511 9.1n10.2n －1解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1， 又由当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，即a 1＝1，所以数列{a n }构成首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为a n ＝1·2n －1＝2n －1.能力提升训练 1.15解析 数列的通项公式，a n ＝n －254n －255＝1＋255－254n －255，据此可得，1>a 1>a 2>a 3>...>a 15， 且a 16>a 17>a 18>a 19> (1)据此可得当a n 取得最小值时，n 的值为15. 2.2020解析 由a n ＋1＋a n ＝2n －1，可得a n ＋1－n ＝－[a n －(n －1)]，因为a 1－(1－1)＝2－0＝2，所以数列{a n －(n －1)}是以2为首项，以－1为公比的等比数列， 所以a n －(n －1)＝2×(－1)n －1，所以a n ＝n －1＋2×(－1)n －1，所以a 2019＝(2019－1)＋2×(－1)2019－1＝2020.3.a n ＝3n －2解析 由满足2S 2n －(3n 2－n －4)S n －2(3n 2－n )＝0，n ∈N *.因式分解可得[2S n －(3n 2－n )](S n ＋2)＝0， ∵数列{a n }的各项均为正数， ∴2S n ＝3n 2－n ，当n ＝1时，2a 1＝3－1，解得a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n 2－n －[3(n －1)2－(n －1)]＝6n －4， ∴a n ＝3n －2，当n ＝1时，上式成立.∴a n ＝3n －2. 4.6解析 由题意可得，t ≤a m －a nm －n对任意的m >n 恒成立， a n ＝3n，且具有性质P (t )，则t ≤3m－3nm －n 恒成立，即m－tm －n－tnm －n≥0恒成立，据此可知数列{3n－tn }是递增数列或常数列， 据此可得，3n ＋1－t (n ＋1)≥3n －tn ，整理可得，t ≤2×3n恒成立，由于n ∈N *，故(2×3n)min ＝2×31＝6， 故t ≤6，t 的最大值为6.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，712 解析 ∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a n ＋1，n <6，a n －5，n ≥6，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1， ∴12－a <0，a 5>a 6,0<a <1. ∴12－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ×5＋1>a ， 0<a <1， 解得12<a <712.6.n 2n ＋1解析 ∵na n ＋1－(n ＋1)a n ＝nn ＋2(n ∈N *)， ∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，∴a n n －a n －1n －1＝1n －1n ＋1，…，a 22－a 11＝12－13.累加可得a n n －a 1＝12－1n ＋1.∵a 1＝12，a n n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，∴a n ＝n 2n ＋1，a 1＝12也符合.第5练 数列求和[基础保分训练]1.数列112，214，318，4116，…，前n 项和为________.2.数列{a n }中，a n ＝(－1)nn ，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.3.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n－12n ，其前n 项和S n ＝32164，则项数n ＝________.4.数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－2，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2019项的和为________.5.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋，则S 5＝________.6.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝11＋2，a 3＝11＋2＋3，a 4＝11＋2＋3＋4，…，a n ＝11＋2＋3＋4＋…＋n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7.已知正数数列{a n }是公比不等于1的等比数列，且lg a 1＋lg a 2019＝0，若f (x )＝21＋x2，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2019)＝________.8.在有穷数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若把S 1＋S 2＋…＋S nn称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2017项的数列{a n }：a 1，a 2，…，a 2017，若其“优化和”为2018，则有2018项的数列：1，a 1，a 2，…，a 2017的“优化和”为________.9.数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －1)，则该数列的前80项之和为________.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝6，且a n ＝a n －1＋λn (n ≥2).则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为________.[能力提升训练]1.已知数列{a n }中第15项a 15＝256，数列{b n }满足log 2b 1＋log 2b 2＋…＋log 2b 14＝7，且a n ＋1＝a n ·b n ，则a 1＝________.2.已知函数f (n )＝n 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n －32π，且a n ＝f (n )，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 200＝________.3.已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，且b n ＝a n cos 2n π3，记S n 为数列{b n }的前n 项和，则S 24＝________.4.已知数列{a n }，定义数列{a n ＋1－2a n }为数列{a n }的“2倍差数列”，若{a n }的“2倍差数列”的通项公式为a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，且a 1＝2，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 33＝________.5.数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2019等于________. 6.设f (x )＝cos x－x，根据课本中推导等差数列前n 项和的方法可以求得f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值是________.答案精析基础保分训练1.1－12n ＋n 2＋n 2 2.5 3.6 4.－25.566.2n n ＋17.2019解析 ∵正数数列{a n }是公比不等于1的等比数列， 且lg a 1＋lg a 2019＝0，∴lg(a 1·a 2019)＝0，即a 1·a 2019＝1. ∵函数f (x )＝21＋x2，∴f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝21＋x 2＋21＋1x 2＝2＋2x 21＋x 2＝2，令T ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2019)， 则T ＝f (a 2019)＋f (a 2018)＋…＋f (a 1)，∴2T ＝f (a 1)＋f (a 2019)＋f (a 2)＋f (a 2018)＋…＋f (a 2019)＋f (a 1)＝2×2019，∴T ＝2019.8.2018解析 因为a 1，a 2，…，a 2017的“优化和”为a 1＋a 1＋a 2＋…＋a 1＋a 2＋…＋a 20172017，故2017a 1＋2016a 2＋2015a 3＋…＋a 20172017＝2018，也就是2017a 1＋2016a 2＋2015a 3＋…＋a 2017 ＝2017×2018.又1，a 1，a 2，…，a 2017的“优化和”为 2018×1＋2017a 1＋2016a 2＋2015a 3＋…＋a 20172018＝2018＋2017×10182018＝2018.9.120 10.2n n ＋1解析 由题意，可得a 2＝a 1＋2λ＝1＋2λ，a 3＝a 2＋3λ＝1＋5λ＝6， 解得λ＝1，则a n －a n －1＝n ，n ≥2，可得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， ∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2，n ＝1时，a 1＝1＝1×22，满足上式. 则1a n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ＝2⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 能力提升训练 1.2 2.20100解析 a n ＝f (n )，当n 为偶数时，f (n )＝n 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n －32π＝n 2，当n 为奇数时，f (n )＝n 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n －32π＝－n 2，故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 200＝－1＋22－32＋42－…－1992＋2002＝(2－1)(1＋2)＋…＋(200－199)(200＋199)＝1＋2＋3＋…＋199＋200＝20100. 3.304解析 ∵na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)， ∴a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差与首项都为1的等差数列， ∴a nn＝1＋(n －1)×1，可得a n ＝n 2. ∵b n ＝a n cos 2n π3，∴b n ＝n 2cos 2n π3，令n ＝3k －2，k ∈N *，则b 3k －2＝(3k －2)2cosk －π3＝－12(3k －2)2，k ∈N *，同理可得b 3k －1＝－12(3k －1)2，k ∈N *，b 3k ＝(3k )2，k ∈N *.∴b 3k －2＋b 3k －1＋b 3k ＝－12(3k －2)2－12(3k －1)2＋(3k )2＝9k －52，k ∈N *，则S 24＝9×(1＋2＋…＋8)－52×8＝304.4.239＋2解析 根据题意得a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，a 1＝2，∴a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 表示首项为1，公差为1的等差数列，∴a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n， ∴S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，∴－S n ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ·2n ＋1，＝－2＋(1－n )2n ＋1，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2，S 33＝(33－1)233＋1＋2＝239＋2.5.20191010解析 ∵对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，且a 1＝1， ∴令m ＝1代入得，a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)， 以上n －1个式子相加可得，a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ＝n －n ＋2，则a n ＝a 1＋12(n －1)(n ＋2)＝12n (n ＋1)，n ＝1时，适合此式，∴1a n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 2019＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12019－12020＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12020＝20191010. 6.5932解析 令S ＝f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝cos1°cos29°＋cos2°cos28°＋…＋cos59°－，①则S ＝cos59°－＋cos58°－＋…＋cos1°cos29°②①＋②可得2S ＝cos1°＋cos59°cos29°＋cos2°＋cos58°cos28°＋…＋cos1°＋cos59°cos29°，∵cos x ＋－x－x＝cos x ＋12cos x ＋32sin x32cos x ＋12sin x ＝3，∴2S ＝593，S ＝5932.第6练 数列中的易错题1.函数f (x )对任意正整数a ，b 满足条件f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，ff＋f f＋f f＋…＋f f的值是________.2.设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 15，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为________.3.已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的n 的最大值为________.4.在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)(n ∈N *，n ≥2)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 为________.5.已知数列{b n }为等比数列，且首项b 1＝1，公比q ＝2，则数列{b 2n －1}的前10项的和为________.6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －2，若数列{b n }满足b n ＝10－log 2a n ，则使数列{b n }的前n 项和取最大值时的n 的值为________.7.已知数列{a n }是公差d 不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则b 2＋b 3b 3＋b 4的值为________.8.已知{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋1，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 9.数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2，若b n ＝(n －10)a n ，则数列{b n }的最小项为________. 10.定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”，已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2018a 2016＝________. 11.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则22019是这个数列的第________项. 12.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7，若a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项，则所有的正整数m 的取值集合为________.13.在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝________.14.已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝________.15.已知数列{a n }为正项的递增等比数列，a 1＋a 5＝82，a 2·a 4＝81，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 的前n 项和为T n ，则使不等式2019⎪⎪⎪⎪⎪⎪13T n －1>1成立的最大正整数n 的值为____________.16.设f ′(x )是函数f (x )的导数，若f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋2，数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1008，则∑2019i ＝1f (a i )＝__________. 答案精析1.20182.S 253.194.3n－1 5.410－13 6.9或10 7.12 8.679.第5项 10.4×20162－1解析 由题意可得，a 3a 2＝3，a 2a 1＝1， 则a 3a 2－a 2a 1＝2，结合“等差比数列”的定义可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列， 则a n ＋1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1， 据此有a 2018a 2017＝2×2017－1＝2×2016＋1， a 2017a 2016＝2×2016－1， a 2018a 2016＝a 2018a 2017×a 2017a 2016＝4×20162－1. 11.2018 解析 由已知得1a n ＋1＝1a n ＋12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，d ＝12为公差的等差数列， 所以1a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，所以a n ＝2n ＋1，令a n ＝2n ＋1＝22019， 解得n ＝2018. 12.{2}解析 由a 22＋a 23＝a 24＋a 25，得2a 1＋5d ＝0，由S 7＝7得a 1＋3d ＝1，联立解得a 1＝－5，d ＝2，所以a n ＝2n －7，a m ·a m ＋1a m ＋2＝m －m－2m －3＝2n －7，令b ＝2m －3，得到b －6＋8b ＝2n －7，所以8b为偶数且b ≥－1且b 为奇数，故b ＝－1或b ＝1，进而得到m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，n 不为正整数，舍去，故m ＝2.13.n (n ＋1)解析 递推关系a m ＋k ＝a m ＋a k 中， 令k ＝1可得，a m ＋1＝a m ＋a 1＝a m ＋2，即a m ＋1－a m ＝2恒成立，据此可知，该数列是一个首项a 1＝2， 公差d ＝2的等差数列， 其前n 项和为S n ＝na 1＋n n －2d ＝2n ＋n n －2×2＝n (n ＋1).14.2n 2＋6n解析 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n ，可得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2n ＋2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝12＋3×1＝4＝2×1＋2，满足a n ＝2n ＋2，所以a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，则a n ＝(2n ＋2)2＝4(n ＋1)2，故a nn ＋1＝n ＋2n ＋1＝4n ＋4，易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是首项为a 12＝8，公差为4的等差数列，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n＋4n ＋2＝2n 2＋6n .15.6解析 数列{a n }为正项的递增等比数列，a 1＋a 5＝82，a 1·a 5＝a 2·a 4＝81，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝82，a 1·a 5＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 5＝81，则q ＝3，∴a n ＝3n －1，T n ＝21＋23＋232＋…＋23n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .∵2019⎪⎪⎪⎪⎪⎪13T n －1>1，即2019×13n >1，3n<2019，此时最大正整数n 的值为6.16.4038解析 根据题意，三次函数f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋2，则f ′(x )＝x 2－4x ＋83，则f ″(x )＝2x －4，若f ″(x )＝2x －4＝0，则x ＝2， 又由f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋2，则f (2)＝2，即点(2,2)是三次函数f (x )＝13x 3－2x 2＋83x ＋2的对称中心，则有f (x )＋f (4－x )＝4，数列{a n }的通项公式为a n ＝n －1008，为等差数列，则有a 1＋a 2019＝a 2＋a 2018＝…＝2a 1010＝4，则∑2019i ＝1f (a i )＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 2018)＋f (a 2019) ＝f (a 1)＋f (a 2019)＋f (a 2)＋f (a 2018)＋…＋f (a 1009)＋f (a 1011)＋f (a 1010) ＝4×1009＋2＝4038.第7练 数列小题综合练[基础保分训练]1.在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1－1a n，则a 2019的值为________.2.在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝29，则a 3＋a 6＋a 9＝________.3.已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为________.4.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－kn ，请写出一个能说明“若{a n }为递增数列，则k ≤1”是假命题的k 的值________.5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝(－1)n·n ，则数列{a n }的前20项的和为________.6.已知数列{a n }的通项公式a n ＝n ＋100n，则|a 1－a 2|＋|a 2－a 3|＋…＋|a 99－a 100|＝________.7.以S n ，T n 分别表示等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5的值为________.8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 8＝36，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________.9.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推.记此数列为{a n }，则a 2019＝________.10.已知数列{a n }满足：a n －(－1)na n －1＝n (n ≥2)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 40＝________.[能力提升训练]1.已知数列{a n }中，a n >0，a 1＝1，a n ＋2＝1a n ＋1，a 100＝a 96，则a 2018＋a 3＝________. 2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________. 3.已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81＝________.4.已知数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2019的答案精析基础保分训练 1.132.133.34.(1,3)内任意一个实数均可5.－1006.1627.2148.nn ＋1解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 8＝36，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，8a 1＋28d ＝36，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ，则1a n a n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为11－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.9.410.440解析 由a n －(－1)na n －1＝n (n ≥2)可得： 当n ＝2k 时，有a 2k －a 2k －1＝2k ，① 当n ＝2k －1时，有a 2k －1＋a 2k －2＝2k －1，② 当n ＝2k ＋1时，有a 2k ＋1＋a 2k ＝2k ＋1，③ ①＋②得a 2k ＋a 2k －2＝4k －1，③－①得a 2k ＋1＋a 2k －1＝1，则S 40＝(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…＋a 39)＋(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 40)＝1×10＋(7＋15＋23＋…)＝10＋7×10＋10×92×8＝440.能力提升训练 1.52解析 ∵a 1＝1，a n ＋2＝1a n ＋1， ∴a 3＝1a 1＋1＝12. ∵a 100＝a 96，∴a 96＝a 100＝1a 98＋1＝11a 96＋1＋1，整理得a 296＋a 96－1＝0， 解得a 96＝－1＋52或a 96＝－1－52，∵a n >0，∴a 96＝－1＋52.∴a 98＝1a 96＋1＝－1＋52，a 100＝1a 98＋1＝－1＋52，…，a 2018＝1a 2016＋1＝－1＋52. ∴a 2018＋a 3＝－1＋52＋12＝52.2.4解析 因为S 4＝2(a 2＋a 3)，所以a 2＋a 3≥5，又S 5＝5a 3，所以a 3≤3，而a 4＝3a 3－(a 2＋a 3)，故a 4≤4，当a 2＝2，a 3＝3时等号成立，所以a 4的最大值为4.3.640解析 因为S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1， 所以S n －S n －1＝2，即{S n }为等差数列，首项为1，公差为2， 所以S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 所以S n ＝(2n －1)2，因此a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640. 4.2解析 由a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1得a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，所以数列{a n }为单调递增数列，a n＋1－1＝a n (a n －1)，所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，所以m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2019＝3－1a 2020－1.因为a 1＝43>1，a n ＋1－a n ＝(a n －1)2>0，a 2＝1＋49，a 3＝1＋5281，a 4＝1＋69166561>2，所以a 2020>2,0<1a 2020－1<1,2<3－1a 2020－1<3，所以m 的整数部分是2. 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，52 解析 由题意得a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，所以a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n (n ≥2)，相减得2n －1·a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n，所以a n ＝2n ＋2，n ＝1也满足. 因此数列{a n －kn }的前n 项和为S n ＝12n (4－k ＋2n ＋2－kn )＝12n (6－k ＋2n －kn )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－k <0，72≤6－kk －≤92，所以125≤k ≤52.6.8解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ，∴b 1＝a 1＋a 2＋a 3＝6，b 2＝a 4＋a 5＋a 6＝9， ∴b 2－b 1＝3d ＋3d ＋3d ＝9－6，解得d ＝13，∴a 1＋a 1＋13＋a 1＋23＝6，解得a 1＝53，∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝53n ＋16n (n －1)＝n n ＋6，∴b n ＝a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ＝53＋(3n －2－1)×13＋53＋(3n －1－1)×13＋53＋(3n －1)×13＝3n ＋3＝3(n ＋1)，∴b n ·S nn2＝n ＋n n ＋6n 2＝n ＋n ＋2n＝n 2＋10n ＋92n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋9n ＋10≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2n ·9n ＝8，当且仅当n ＝3时取等号，故答案为8.第8练 高考大题突破练—数列[基础保分训练]1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n 2－2n . (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)设T n 是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n a n ＋1的前n 项和，求T n .2.已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，满足b 1＝a 2＝2，a 5＋a 9＝14，b 4＝a 15＋1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .3.已知函数f (x )＝x ＋1x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n a n ＋1，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2019对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .[能力提升训练]4.已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足2S n ＝a n ＋1－1，n ∈N *. (1)求数列{a n }通项公式a n ；(2)设b n ＝na n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n ，并证明：T n ≤n ·S n .答案精析基础保分训练1.(1)证明 由已知得当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，则a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时满足上式，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)，∴a n －a n －1＝6n －5－6×(n －1)＋5＝6为常数， ∴数列{a n }为等差数列. (2)解 由(1)可知2a n a n ＋1＝2n －n ＋＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，∴T n ＝13⎝ ⎛1－17＋17－113＋113－119⎭⎪⎫＋…＋16n －5－16n ＋1＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝2n6n ＋1. 2.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 等比数列{b n }的公比为q ， ∵a 2＝2，a 5＋a 9＝14， ∴a 1＋d ＝2,2a 1＋12d ＝14， 解得a 1＝d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，∴b 1＝a 2＝2，b 4＝a 15＋1＝16＝2q 3， ∴q ＝2，∴b n ＝2n. (2)c n ＝a n ·b n ＝n ·2n，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n， 2T n ＝22＋2×23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，两式相减得 －T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝n－2－1－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2.∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.3.解 (1)由题意得a n ＋1＝1a n＋11a n＝a n ＋1，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n .。

一、数列多选题1．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（ ） A ．－4B ．－2C ．0D ．2答案：AB 【分析】由题意可得，利用裂项相相消法求和求出，只需对于任意的恒成立，转化为对于任意的恒成立，然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ，， 则，，，，上述式子累加可得：，， 对于任意的恒成立解析：AB 【分析】 由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++， 则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-， 上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 2．已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23 C ．32D ．3答案：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】 因为数列满足，， ； ； ；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3； 故选：． 【点睛】 本题主要解析：BD 【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论． 【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-；4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3； 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =答案：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =答案：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD5．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 答案：AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误.令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.6．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值答案：ABD 【分析】由，判断，再依次判断选项.因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB解析：ABD 【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.7．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD 【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】 得， ∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.8．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC 【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案． 【详解】 当时，． 当时，． 当时，上式＝． 所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．解析：ABC 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a c b ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．9．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <答案：AD 【分析】先根据题意得，，再结合等差数列的性质得，，，中最大，，即：.进而得答案. 【详解】解：根据等差数列前项和公式得：， 所以，， 由于，， 所以，， 所以，中最大， 由于， 所以，即：解析：AD 【分析】先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.【详解】解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（ ） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S >答案：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出正确；根据题意可知数列为递减数列，则，又，进而可知，判断出不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知，，故正确. 【详解】根据题意可知数列为递增解析：ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >，∴前9项的和最小，故A 正确；()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >， 181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确.故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

高考数列文科总复习1.【2012高考全国文6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n【答案】B【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。

【解析】由12n n S a +=可知，当1n =时得211122a S == 当2n ≥时，有12n n S a += ① 12n n S a -= ② ①－②可得122n n n a a a +=-即132n n a a +=，故该数列是从第二项起以12为首项，以32为公比的等比数列，故数列通项公式为2113()22n n a -⎧⎪=⎨⎪⎩(1)(2)n n =≥，故当2n ≥时，1113(1())3221()3212n n n S ---=+=-当1n =时，11131()2S -==，故选答案B7.【2102高考福建文11】数列{a n }的通项公式2cosπn a n =，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.0 【答案】A ．考点：数列和三角函数的周期性。

难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。

解答： 02cos )14(2)14(cos)14(14=⨯+=+⨯+=+ππn n n a n ， )24(c o s )24(2)24(c o s )24(24+-=⨯+=+⨯+=+n n n n a n ππ， 023c o s )34(2)34(c o s )34(34=⨯+=+⨯+=+ππn n n a n ，442cos )44(2)44(cos)44(44+=⨯+=+⨯+=+n n n n a n ππ， 所以++14n a ++24n a ++34n a 244=+n a 。