偏微分方程课件 云南财经大学共95页

第七章 一阶线性偏微分方程

7-1求下列方程组的通积分及满足指定条件的解。

1）tyxdtdyyxdtdx

2）yxdtdyyxdtdx2 ，当0t时，1yx

3）xydzzxdyyzdx

解 1） 方程组的两式相加，得tyxdtyxd)(2)(。

令 yxz，上方程化为一阶线性方程

tzdtdz2，

解之得

412121teCzt

即得一个首次积分为121)4121(),,(Cetyxyxtt。

方程组的两式相减，得tdtyxd)(，

解之得另一个首次积分为 22221),,(Ctyxyxt。

易验证 021111detdet2211xxyx。

因此，11),,(Cyxt和22),,(Cyxt是两个独立的首次积分，

所以，方程组的通积分为

121)4121(),,(Cetyxyxtt，

22221),,(Ctyxyxt。 从中可解得通解为

81414181414122212221ttCeCyttCeCxtt 。

2）方程组的两式相比，得 yxyxdydx2，

变形得恰当方程 02xdyydxydyxdx，

解之得一个首次积分为 12222Cxyyx，

即 ),,(1yxt2122)(Cyyx。

给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得

])[()22(2222yyxxyyxyxxy，

1)(22yyxyyyxyyxy，

1)(22yyxyyyxyyxy

两边积分，得另一个首次积分为

),,(2yxt2arctanCtyxy，

偏微分方程的分类及其求解方法

偏微分方程是数学中的一个重要分支，它是描述现实世界中各种自然现象的一种工具。通俗来说，偏微分方程是一种与时间、空间或空间位置有关的方程式。偏微分方程的应用范围极广，如物理、数学、金融等领域，它的求解方法也因其类别不同而不同。

偏微分方程的分类

偏微分方程可以按照方程中未知函数的数量和自变量的数量分类。

1. 偏导数方程

偏导数方程是指方程中只有一个未知函数，但它依赖于多个独立变量（通常是时间和空间）的变量。常见的偏导数方程包括热传导方程和波动方程。

热传导方程：热传导方程可以描述物质中的热传导过程。在物质内部，热会沿着温度梯度传导，从高温区域传到低温区域。因此，热传导方程与物质的热扩散有关。

波动方程：波动方程可以描述许多物理过程，特别是电磁波、声波和其他类型的波动。波动方程的形式类似于二阶线性常微分方程。

2. 广义保守方程系

广义保守方程是指方程中有多个未知函数和多个独立变量的变量。它们可以描述流体动力学、多相系统等系统。常见的广义保守方程系包括纳维-斯托克斯方程和零阻力欧拉方程。

纳维-斯托克斯方程：纳维-斯托克斯方程可以描述流体运动。纳维-斯托克斯方程可以分为不可压缩纳维-斯托克斯方程和可压缩纳维-斯托克斯方程。

零阻力欧拉方程：零阻力欧拉方程是一种部分解析的解对称的不可压缩流体运动的偏微分方程。它是最基本的转子动量方程之一，在研究飞行器、导弹、宇宙航行器等方面起着重要的作用。

偏微分方程的求解方法

1. 分离变量法

分离变量法是偏微分方程求解的一种基本方法。其主要思想是将多元函数表示为各变量的单元函数乘积形式，再通过互相作为超定条件的单个变量的恒等式得到未知参数。

例如，假设在一维的热传导方程中，温度场函数是t(x,t)，其中x是空间变量，t是时间变量。则可以将温度场函数写成t(x,t)=X(x)T(t)的形式，从而将偏微分方程转化为两个常微分方程。通过求解这些常微分方程可以得到解。

高等数学中的偏微分方程

在高等数学领域中，偏微分方程是一个重要的研究对象。它是通过对函数的偏导数进行求解得到的方程，常常被用来描述自然界中的一些现象和非线性动态系统。本文将介绍偏微分方程的基本概念、分类、解的方法以及在实际应用中的一些例子。

一、基本概念

偏微分方程是包含多个未知函数的方程，其中函数的偏导数是方程的基本构成部分。偏微分方程通常用来描述物理、生物、经济等领域中的问题，在不同的领域中有着不同的应用。

二、分类

根据方程中出现的未知函数的个数和偏导数的阶数，偏微分方程可以分为几个主要类型：椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程和抛物型偏微分方程。具体的分类方法可以根据方程的形式和性质进行。

1. 椭圆型偏微分方程

椭圆型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数均不为零，通常用来描述稳态问题和静电场分布等现象。

2. 双曲型偏微分方程

双曲型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足双曲性条件，通常用来描述波动、传播等动态问题。

3. 抛物型偏微分方程 抛物型偏微分方程的特点是方程中出现的未知函数的二阶偏导数的系数满足抛物性条件，通常用来描述热传导和扩散等问题。

三、解的方法

求解偏微分方程通常是一个复杂的问题，不同类型的方程需要采用不同的方法进行求解。下面介绍几种常用的解的方法。

1. 分离变量法

分离变量法适用于一些特殊的偏微分方程，可以将多元函数的偏导数分离为几个单变量函数的常微分方程，通过求解这些常微分方程得到原方程的解。

2. 特征线法

特征线法适用于一些双曲型偏微分方程，可以通过选取合适的坐标系和变换将方程化为常微分方程，进而求解得到解的形式。

3. 变换方法

变换方法是一种常用的解偏微分方程的技巧，可以通过适当的变量代换将原方程转化为更简单的形式，然后进一步求解。

四、实际应用

偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用。以下是一些例子：

1. 热传导方程 热传导方程是抛物型偏微分方程的一种，在描述热传导过程中起着重要的作用。它可以用来研究物体内部的温度分布以及热传导速率等问题。

第一章 偏微分方程定解问题

引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。如

牛顿定律 22dxdtmg ------(1)

波动方程 222222222(,,,)ftxyzuuuuatxyz------(2)

热传导方程 2222222(,,,)ftxyzuuuuatxyz ------(3)

静电场位方程 2222222(,,)fxyzuuuaxyz ------(4)

激波方程 0uuutx ------(5)

等等。

其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。

这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。

数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。

本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。

为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。

1. 常，偏微分方程

只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。

含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。

2. 阶

上述(1)----(5)均可改写成如下形式

220dxmgdt ------(1’)

22230utauf -------(2’)

230utauf ------(3’)

230auf ------(4’)