偏微分方程 云南财经大学95页PPT

t

t nt , x ix , y jy , z kz
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式

以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2


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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算



例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
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5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：

2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
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5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题

u , y
u1
, u2
T
u
x x x
则方程组（2）可表示为
u
A
u
h
0
y x
（2）多维一阶方程组方程组
见8页
同理
u1
y
a1
u1 x
h1
0
u
p
y
ap
u p x
hp
0
（3）
可表示为
u
A
u
h
0
y x
（4）
其中
u1 y
,,
u p y
T
u , y
h1,, hp T h
n
考虑两个自变量的二阶偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
2b xy
c
y 2
d
x
e y
fu
g
线性: a,b,c,d ,e, f , g 是x,y的二元函数;
拟线性:
a, b, c, d , e,
f
,
g
是
x,
y, u,
u x
,
u y
的函数;
对于二阶线性偏微分方程
2u
2u 2u u u
a x2
ui xk
1
p xi
ui ,
i 1, 2,（3 动量守恒）
3
uk
k1 xk
（0 质量守恒）
其中，u (u1, u2 , u3 )表示速度， 表示粘滞系数
（二）定解问题
1.
定解条件
边界条件 初始条件
2.定解问题 方程 定解条件
初值问题（Cauchy问题） 定解问题 边值问题（Drichlet / Numann / Robin）

泊松方程： 适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。 波动方程式：未知函数 u(x,y,z,t):
热传导方程式： 其中 k 代表该材料的热导率。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的 偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解 条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作 为一个整体，称为定解问题。
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
),
这里a
2
k
/
c.
当物体有内部热源的时候，方程为
u t
a
2
(
2u x2
2u y 2
2u y 2
)
f
(x,
y, z,t).
因为
c t2 udtdV t2
k(x, y, z) u dSdt
t2
c F(x, y, z,t)dtdV.
t1 t
T (x) cos T (x x) cos 0
T (x) sin T (x x) sin ma
这里α，β，a分别是两个力和水平方向的夹角，以及弦线 在竖直方向的加速度。
注意到弦仅仅在接近水平位置振动，所以α和β都是很小 的量，于是前一个方程可以近似为
T (x) T (x x) 0
(u
- u1)。
第三边界条件，表示外界温度为u1,表面 的热量和温度差成正比。
2.1 一些常见的偏微分方程
Poisson 方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不 可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类 方程。下面的方程是Poisson 方程的第一边值问题。
偏微分方程讲义 建模、数值解和Matlab工具箱

di( a 1 , g 2,3)
对于左边界：
条件
描述
u0 anduc u0 anduc
u0 anduc
超音速入口 亚音速入口 超音速出口
u0 anduc 亚音速出口
边界条件设定
给定3个边界条件 给定2个边界条件 无需给定边界条件 给定1个边界条件
知识点
Slide 14
5. 椭圆型方程：Laplace方程
Uu
E
0
1
0
AU f ((232)u3)u2u/2c21
(3)u c2 32u2 1 2
1
u
推导
u f(U)u2 p
u(Ep)
守恒变量：质量 密度、动量密度、 能量密度
u1 U u u2
E u3
u 1,uu 2/u 1,Eu 3
E p 1 u2 1 2
p
c/a 0
I A 0 a 2 b c 0 ( 3 )
特征方程（3）有两个互异实根 -> 矩阵A可对角化 -> 双曲型
特征方程（3） 有两个相同实根，且无法对角化 -> 抛物型
特征方程（3）无实根
-> 椭圆型
Slide 11
4. 讨论Euler方程组
一维非定常流动：
f(U)AU
x
x
U f(U) 0 t x
则有：
duaubuc ds x y
特征相容关系 （特征线上物理量的简化方程）
✓偏微方程在特征线上变成了常微分方程 Slide 7
演示： 如何利用特征线计算物理量
a(x,y)ub(x,y)uc(x,y)
x
y
特征线法是空气动力学重要的计算方 法。早期（计算机出现之前），是主 y 要的CFD手工计算方法之一。

t
t
n j
tn j1
x x
EXCEL
0.01, x 0.1
t n1 j
t
n j
2(TW
t
n j
)
3
t
n j
t
n j1
x
t n1 j
0.02TW
0.68t
n j
0.3t
n j1
此微分方程，是在不考虑流体本身热传 导时的套管传热微分方程.由计算结果可 知，当计算的时间序列进行到72时，传 热过程已达到稳态，各点上的温度已不 随时间的增加而改变。如果改变套管长 度或传热系数，则达到稳态的时间亦会 改变。
b2 4ac 0 b2 4ac 0 b2 4ac 0
• 物理实际问题的归类：
• 波动方程(双曲型）一维弦振动模型：
2u t 2
2
2u x 2
• 热传导方程（抛物线型）一维线性热传导方程
u t
2u x 2
• 拉普拉斯方程（椭圆型ux22）稳态y2u2 静 电0 场或稳态温度分布场）
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un i 1
b
un i1
uin
x
f (ix, nt)
ui0
(i x )
un m1
umn
x
0
u0n 1(nt )
(i 1,2, ,m) (n 0,1, 2, ) (n 0,1,2, )
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一维流动热传导方程
将上式进行处理得到：
un1 i
t
f
(ix, nt )
(a2
t (x)2
1的)偏t )
微
分
采
用
向
后
欧

解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
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§4 三类方程的简化形式
1.双曲方程型方程：
1 )u
2Cu F ]
第21页/共28页
小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
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例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单 的函数形式,即η=x 或η=y)
原方程化简后的标准形式为：
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例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵
a11 1 a12 1 a22 3 故
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
a122 a11a22 4 0

t 2K 2t t (TW t ) u 2 rC P C P l l
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式

以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz

1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2

同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。

a ij(x 1 ,
i,j 1
,x n) x i xj f( x 1,
, x n,u ,x 1 ,
,x n).
完全非线性PDE： PDE中对最高阶导数不是线性的。
举例（未知函数为二元函数）
1. u 0 x
解为： u f (y)
2.
u au 0 t x
变换
x x at
解为： uf(xa)t
i,n j 1 a ij( x u 1 , , x u n ,u ,x 1 , ,x n ) x i2 u x j f( x u 1 , , x u n ,u ,x 1 , ,x n ) .
半线性PDE： 拟线性PDE中，最高阶导数的系数仅为
自变量的函数。例如：
n
2 u u u
t 0,0xL
u(x,t) (x)
t0
u(x,t)x0 g(t),u(x,t)xL h(t)
何为适定性？
存在性
唯一性
适定性
连续依赖性（稳定性）
稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的 定解问题解的偏差也将非常小．
若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已 知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为
广义解
线性PDE
半线性PDE
非线性PDE
拟线性PDE
完全非线性PDE
自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．
PDE中对所含未知函数及其各阶导数的 线性PDE： 全体都是线性的。例如：
i,n j 1 a i j( x 1 , ,x n ) x i 2 u x j j n 1 b j( x 1 , ,x n ) x u j c ( x 1 , ,x n ) u f( x 1 , ,x n ) ,

9
《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程

由(1.10)，可推出 C1C2 0
只有零解。
2020/5/12
6
情形（C）
0 方程的通解为
X (x ) C 1 cox s C 2sin x ,
由边界条件X(0) = 0推出 C1 0,
再由 X(L)C 2sin L0, 知道为了使 C2 0, 必须
sin L0.
于是有 Lk, (k 1,2 ).,3本, 征值
k 1 C k (t) k La 2C k(t s)ik n L xf(x,t)(2.12)
(2.3)
k
u(x,0)k1Ck(0)sinLx0
(2.13)
(2.4)
ut(x,0)k 1Ck (0)sik nL x0
(2.14)
2020/5/12
22
(2.12)，(2.13)，(2.14)
27
(II) 本征值问题
X X 0 ,( 0 x L )
X(0)X(L)0
本征值
kkL 222, (k1,2,3,).
本征函数 X k(x)C ksikn L x, (k1 ,2, )
T k(t)B kex (p k L a)2t , (k 1 ,2 , )
2020/5/12
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(III) 特解的叠加
0 mn
2020/5/12
11
分离变量法的解题步骤
第一步 令 u(x,t)X(x)T(t)适合方程和边界条件，
从而定出 X (x) 所适合的常微分方程齐次边值问题，以及
T (t) 适合的常微分方程。
本征
求解该常微分方程齐次边值问题，
第二步 求出全部本征值和本征函数，并求
值问 题
出相应的 T (t) 的表达式。

1.1.5. 非线性偏微分方程 我们把不是线性偏微分方程的偏微分方程统称为非线性偏 微分方程。在非线性偏微分方程中， 如果关于未知函数的所有 最高阶偏导数都是线性的, 则称它为拟线性偏微分方程。
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
如果给定一个函数 u (x) , 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
它被称为三维Laplace方程。
利用Laplace算子


2 x2
2 y2
2 z2
，三维Laplace方程写成
u 0
对于函数 u u(x1, x2, , xn ,t) 的n维Laplace方程，利用
Laplace算子

2 x12

2 x22


2 xn2
则偏微分方程的一般形式为
实自变量 未知函数
5
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《偏微分方程》第一章 绪论 第6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
6
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《偏微分方程》第一章 绪论 第7页
1.1.2. 偏微分方程的解
m

, xn , t )的n维波动方程
19
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《偏微分方程》第一章 绪论 第20页
例1.1.2 热传导方程 在三维空间中, 考察一均匀、各向同性的物体G, 假定其内部 有热源, 并且与周围介质有热交换, 求物体内部温度的分布和变化 规律。 问题: 设函数u (x, y, z, t )为物体G在点(x, y, z)处时刻t的温度, 求u所 满足的方程。 我们可利用能量守恒定律和富里叶(Fourier)热传导定律来建 立数学模型, 导出热传导方程 (略) 。
3
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《偏微分方程》第一章 绪论
教材及参考资料
第 4页
教 材：偏微分方程(第三版) ，陈祖墀，高教出版社。 参考书目： 1. 数学物理方程(第二版),谷超豪、李大潜等,高教出版社。 2. 现代偏微分方程导论, 陈恕行, 科学出版社。 3.偏微分方程讲义(俄罗斯数学教材选译)，高教出版社。
11
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《偏微分方程》第一章 绪论 第12页
注：Lu可视为线性算子L作用在函数u上。例如
2 2 2 2 2 Lu ( 2 a 2 2 2 )u t xn x1 x2 2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 t xn x1 x2 2 2 2 2 2 2 x1 x2 xn 2 2 2 2u 2u u ( 2 2 2 )u 2 2 x1 x2 xn x1 x2
2 2 Laplace算子 2 2 x1 x2
, xn , t ) 的n维Laplace方程，利用
2 2 写成 xn
y ( y1, y2 , , ym ) 是参数，则

2
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和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔· 伯努利也研究了 数学物理方面的问题, 提出了解弹性系振动问题的一般 方法, 对偏微分方程的发展起了比较大的影响, 拉格朗 日也讨论了一阶偏微分方程, 丰富了这门学科的内容 . 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪, 那时候,数学 物理问题的研究繁荣起来了, 许多数学家都对数学物理 问题的解决做出了贡献. 这里应该提一提法国数学家傅 里叶, 他年轻的时候就是一个出色的数学学者. 在从事热 流动的研究中, 写出了《热的解析理论》, 在书中他提出 了三维空间的热方程, 也就是一种偏微分方程. 他的研究 对偏微分方程的发展的影响是很大的 .
utt a 2uxx 0, x , t 0, u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x).
所描述的是无限长弦或边界对弦的振动的影响可忽略不 计的弦振动规律 .
16
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初始条件的提法只有一种,而是边界条件的提法则有 三种 . (1)狄立克莱边界条件 在这种情形, 对未知函数u在有界区域的边界上给出 其值. 例如
utt a 2u xx 0 utt a 2 (u xx u yy ) 0 utt a 2 (u xx u yy u zz ) 0
10
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(5.1.04)
例3. 拉普拉斯(Laplace)方程
u xx u yy 0 u xx u yy u zz 0
完全非线性偏微分方程
如果一个偏微分方程具有不含有未知函数及其偏导数 的项, 则称其为非齐次偏微分方程, 否则称其为齐次偏微 分方程 .
x2uxx 2xyuxy y 2uyy 1 e y