亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第一章简易逻辑综合检测一、选择题1.命题“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题是().A.若x2≥4,则x≥2或x≤-2B.若-2<x<2,则x2<4C.若x>2或x<-2,则x2>4D.若x≥2或x≤-2,则x2≥4【解析】命题“若p,则q”的逆否命题为“若⌝q,则⌝p”.故选D.【答案】D2.设p:log2x<0,q:2x≥2,则p是⌝q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p:log2x<0,即0<x<1;q:2x≥2,即x≥1.∴⌝q:x<1,∴p是⌝q的充分不必要条件,故选A.【答案】A3.“α>β”是“sin α>sin β”成立的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】取α=180°,β=30°,则α>β,但sin 30°>sin 180°,所以充分性不成立;反过来,取α=30°,β=180°,可以得出必要性也不成立.故选D.【答案】D4.下列结论正确的是().A.若向量a∥b,则存在唯一实数λ使a=λbB.已知向量a,b为非零向量,则“a,b的夹角为钝角”的充要条件是“a·b<0”C.“若θ=,则cos θ=”的否命题为“若θ≠,则cos θ≠”D.若命题p:∃x∈R,x2-x+1<0,则⌝p:∀x∈R,x2-x+1>0【解析】选项A中,若b为零向量,a为非零向量,则不存在实数λ,使a=λb;选项B中,当a,b的夹角为180°时,也有a·b<0;选项D中,⌝p应为“∀x∈R,x2-x+1≥0”.故选C.【答案】C5.已知命题p:∀x∈R,2x<3x;命题q:∃x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是().A.p∧qB.(⌝p)∧qC.p∧(⌝q)D.(⌝p)∧(⌝q)【解析】因为当x=-1时,2-1>3-1,所以命题p:∀x∈R,2x<3x为假命题,则⌝p为真命题.令f(x)=x3+x2-1,因为f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以函数f(x)=x3+x2-1在(0,1)上存在零点,即命题q:∃x∈R,x3=1-x2为真命题.所以(⌝p)∧q为真命题.故选B.【答案】B6.已知命题p:若不等式x2+x+m>0恒成立,则m>;命题q:在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,则().A.p假q真B.“p∧q”为真C.“p∨q”为假D.⌝p假⌝q真【解析】易判断出命题p为真命题,命题q为真命题,所以⌝p为假命题,⌝q为假命题,结合各选项知B 正确.【答案】B7.给定两个命题p,q,若⌝p是⌝q的充分不必要条件,则q是p的().A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为⌝p是⌝q的充分不必要条件,所以⌝p⇒⌝q,⌝q⇒/⌝p,所以q⇒p,p⇒/q,所以q是p 的充分不必要条件.【答案】C8.下列有关命题的叙述,错误的个数为().①若p∨q为真命题,则p∧q为真命题;②“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件;③若命题p:∃x0∈R,使得+x0-1<0,则⌝p:∀x∈R,使得x2+x-1≥0;④命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”.A.1B.2C.3D.4【解析】若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,所以p∧q不一定为真,所以①错误.由x2-4x-5>0得x>5或x<-1,所以“x>5”是“x2-4x-5>0”的充分不必要条件,所以②正确.由特称命题的否定是全称命题知③正确.“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故④错误.【答案】B9.下列说法正确的个数是().①若命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则⌝p:∀x∈R,均有x2+x-1>0;②若p是q的必要不充分条件,则⌝p是⌝q的充分不必要条件;③命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题为真命题;④“m=-1”是“直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的充要条件.A.1B.2C.3D.4【解析】①若命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则⌝p:∀x∈R,均有x2+x-1≥0,因此①不正确.②若p是q的必要不充分条件,则⌝p是⌝q的充分不必要条件,因此②正确.③因为命题“若x=y,则sin x=sin y”是真命题,所以其逆否命题也为真命题,因此③正确.④当m=0时,直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直;当m≠0时,若两条直线垂直,则-×=-1,解得m=-1.所以“m=-1”是“直线l1:mx+(2m-1)y+1=0与直线l2:3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件,因此④不正确.综上可得,正确说法的个数为2.【答案】B10.已知命题p:函数f(x)=x2-2mx+4在[2,+∞)上单调递增;命题q:关于x的不等式mx2+2(m-2)x+1>0对任意的x∈R恒成立.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数m的取值范围为().A.(1,4)B.[-2,4]C.(-∞,1]∪(2,4)D.(-∞,1)∪(2,4)【解析】当命题p为真命题时,∵函数f(x)图象的对称轴为直线x=m,∴m≤2.当命题q为真命题时,若m=0,则原不等式为-4x+1>0,该不等式的解集不为R,不符合条件;若m≠0,则有解得1<m<4.∵p∨q为真,p∧q为假,∴p与q必定一真一假.若p真q假,则有解得m≤1;若p假q真,则有解得2<m<4.综上所述,m的取值范围是(-∞,1]∪(2,4).【答案】C11.有下列四个说法:①命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题为假命题;②命题p:∀x∈R,sin x≤1,则⌝p:∃x0∈R,sin x0>1;③“φ=+kπ(k∈Z)”是“函数y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件;④命题p:∃x0∈R,使sin x0+cos x0=;命题q:若sin α>sin β,则α>β,那么(⌝p)∧q为真命题.其中正确的个数是( ).A.4B.3C.2D.1【解析】因为①中的原命题为真,所以其逆否命题也为真,所以①错误.由全称命题的否定是特称命题知②正确.当函数为偶函数时,有φ=+kπ(k∈Z),所以其为充要条件,所以③正确.因为sin x+cosx=sin的最大值为<,所以命题p为假命题,⌝p为真命题,又因为三角函数在定义域内不单调,所以q为假命题,所以(⌝p)∧q为假命题,所以④错误.所以正确的个数为2.【答案】C12.已知a>0,则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是().A.∃x0∈R,ax2-bx≤a-bx0B.∃x0∈R,ax2-bx≥a-bx0C.∀x∈R,ax2-bx≤a-bx0D.∀x∈R,ax2-bx≥a-bx0【解析】因为x0满足方程ax=b,所以x0=.而ax2-bx-=ax2-bx-a·+b·=ax2-bx+,令h(x)=ax2-bx+,则其对应的一元二次方程ax2-bx+=0的判别式Δ=b2-4·a·=0.又a>0,故对∀x∈R,有h(x)≥0恒成立,即对∀x∈R,ax2-bx≥a-bx0恒成立.【答案】D二、填空题13.已知命题p:函数f(x)=log0.5(3-x)的定义域为(-∞,3);命题q:若k<0,则函数h(x)=在(0,+∞)上是减函数.给出下列结论:①命题“p∧q”为真;②命题“p∨(⌝q)”为假;③命题“p∨q”为假;④命题“(⌝p)∧(⌝q)”为假.其中错误的是.(填序号)【解析】由3-x>0,得x<3,故命题p为真,⌝p为假.又由k<0,得函数h(x)=在(0,+∞)上是增函数,故命题q为假,⌝q为真.所以命题“p∧q”为假,命题“p∨(⌝q)”为真,命题“p∨q”为真,命题“(⌝p)∧(⌝q)”为假.【答案】①②③14.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(3-x)>0,若⌝p是⌝q的充分条件,则实数a的取值范围是.【解析】p:a-4<x<a+4,q:2<x<3.由⌝p是⌝q的充分条件可知,q是p的充分条件,即q⇒p,∴解得-1≤a≤6.【答案】[-1,6]15.下列四个结论中,正确的序号是.①“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件;②“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件;④“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件.【解析】①当x=1时,x2=x成立,反之,不一定,所以“x=1”是“x2=x”的充分不必要条件,所以①正确.②函数y=cos2kx-sin2kx=cos 2kx,其最小正周期T==,当k=1时,T=π;当=π时,k=±1.所以②不正确.③转化为等价命题,即判断“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件,由于x2=1时,x=±1,不一定有x=1,所以充分条件不成立,所以③不正确.④a+c>b+d不一定有a>b且c>d,但a>b且c>d时,必有a+c>b+d,所以④正确.综上可知,正确结论的序号为①④.【答案】①④16.命题“对于正数a,若a>1,则lg a>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为m.命题“n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根”是真命题,则log m n的值为.【解析】原命题“对于正数a,若a>1,则lg a>0”是真命题,逆命题“对于正数a,若lg a>0,则a>1”是真命题,所以其否命题与逆否命题都是真命题.所以m=4.因为一元二次方程x2-4x+n=0有整数根,所以由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因为n∈N*,所以n=1,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意.因此,log m n=log43或log m n=log44=1.【答案】log43或1三、解答题17.π为圆周率,a,b,c,d∈Q,已知命题p:若aπ+b=cπ+d,则a=c且b=d.(1)写出⌝p并判断真假;(2)写出p的逆命题、否命题及逆否命题并判断真假.【解析】(1)⌝p:若aπ+b=cπ+d,则a≠c或b≠d.因为a,b,c,d∈Q,由aπ+b=cπ+d,得π(a-c)=d-b∈Q,所以a=c且b=d.故p是真命题,⌝p是假命题.(2)逆命题:若a=c且b=d,则aπ+b=cπ+d.它是真命题.否命题:若aπ+b≠cπ+d,则a≠c或b≠d.它是真命题.逆否命题:若a≠c或b≠d,则aπ+b≠cπ+d.它是真命题.18.给出下列两个命题:命题甲:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为⌀;命题乙:函数y=(2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的取值范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题;(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.【解析】当命题甲为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,解得a>或a<-1.当命题乙为真时,2a2-a>1,解得a>1或a<-.(1)当甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集,所以a的取值范围是.(2)甲、乙中有且只有一个是真命题,有两种情况:当甲真乙假时,<a≤1;当甲假乙真时,-1≤a<-.所以甲、乙中有且只有一个真命题时,a的取值范围为.19.解答下列问题.(1)是否存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件?(2)是否存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件?【解析】(1)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要⊆{x|x<-1或x>3},则只要满足-≤-1,即m≥2.故存在实数m≥2,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.(2)欲使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要⊇{x|x<-1或x>3}.而这是不可能的,故不存在实数m,使得2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.20.设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.【解析】充分性:因为∠A=90°,所以a2=b2+c2.于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),同样,方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).可以发现,x1=x3,所以这两个方程有公共根.必要性:设x是这两个方程的公共根,则由①+②,得x=-(a+c)或x=0(舍去).代入①并整理得a2=b2+c2.所以∠A=90°.所以结论成立.21.已知a∈R,命题p:对于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立;命题q:关于x的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-2>0的解集为空集.当p,q中有且仅有一个为真命题时,求实数a的取值范围.【解析】因为对于x∈[1,2],不等式x2+2ax-2>0恒成立,所以2a>=-x在x∈[1,2]上恒成立.令g(x)=-x,则g(x)在[1,2]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=1,所以2a>1,所以若命题p为真,则a>.当命题q为真时,a应满足a=1或解得-≤a≤1.所以当p,q中有且仅有一个为真命题时,有或所以a∈∪(1,+∞).22.命题p:x2-4mx+1=0有实数解,命题q:∃x0∈R,使得m-2x0-1>0成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题(⌝p)∨(⌝q)为真命题,且命题p∨q为真命题,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为方程x2-4mx+1=0有实根,所以Δ=16m2-4≥0,解得m≤-或m≥.所以实数m的取值范围是∪.(2)设f(x)=mx2-2x-1.当m=0时,f(x)=-2x-1,q为真命题;当m>0时,q为真命题;当m<0时,需有Δ=4+4m>0,解得-1<m<0.综上可得实数m的取值范围是(-1,+∞).(3)因为(⌝p)∨(⌝q)为真,p∨q为真,所以p,q必定一真一假,则或所以实数m的取值范围是(-∞,-1]∪.。
