2013高中数学精讲华第01章 集合与简易逻辑

2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =；②y x =，y =；③y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10xy =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___． 2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____． 3.写出下列函数定义域：(1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________； (3)1()f x x =的定义域为______________； (4)()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}． (2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞． (3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】①②③④R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①12y x =- ②()f x = 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠，故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈；（2）22x y x =+()x R ∈；（3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域． （1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．解法二：由221x y x =+，则21y x y=-，20x ≥，∴01y y ≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)． （3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】(,0]-∞1．函数f (x )＝x21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ． ∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．第2课 函数的表示方法【考点导读】(1,2)(2,3)⋃ (0,1] (,4]-∞ 13[,0)(,1]44-⋃1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________． 2.设函数1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +．3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________． 5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式． 分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+． 解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式． 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出()y f x =的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈第5题67x - 64x + 413|1|2323--=x y (0≤x ≤2)1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ）Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f x g x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．第3课 函数的单调性【考点导读】14-1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性． 【基础练习】 1.下列函数中： ①1()f x x=； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-． 其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___． 2.函数y x x =的递增区间是___ R ___． 3.函数y =__________． 4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数； ②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______． 【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数； （2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+，又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．(,1]-∞- (1,)+∞所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数． （2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数；所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论． 例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -===又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】(0,1)1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--.4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-． 5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >．第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数． 【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x-=；③()25f x x =-+；④()x xf x e e -=-． 其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ．3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x xf x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lgf x x x=+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断． 解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x xf x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =， 22(0),()(0).x x x f x x x x⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =． 解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---． 当0x =时，(0)0f =．综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________．5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取 值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈．所以，1,1,0a b c ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；252.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法． 【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y =12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x =2log ()y x =- 2log (3)y x =-． 2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31xy =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21xy x -=-． 解：（1）将3xy =的图像向下平移1个单位，可得31xy =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-的图像．如下图所示：3.作出下列各个函数图像的示意图：（1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2x y =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示；（4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．图3向右平移1个单位 向上平移3个单位作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位图44. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像． 分析：根据图像变换得到相应函数的图像． 解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分； 将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分． 例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像； （2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题． 解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】11B ）2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到． 3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ． 5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21x y =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-． 2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-． 4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈． （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=2123)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式． 分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段，由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；[1,2]（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f ==若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ． （1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2ax =， 当12a≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-； 当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，a ∴=； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =． 综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小；（2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算． 【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -；（2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+．3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____；（2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____． 【范例解析】 例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值；（2）若3log 41x =，求332222x xx x--++的值． 分析：先化简再求值． 解：（1）由13a a-+=，得11222()1a a --=，故11221a a--=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x xx x---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56． 分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=；（2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn ++===++++．点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数． 例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示． 解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -． 3．已知函数1()lg1xf x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ． 4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值； （2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()1f x >+得，当102x <<12x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()1f x >的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x=，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 【基础练习】1.指数函数()(1)xf x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2xf x =的图像，则()f x =222x -+．3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]．4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-． 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2．【范例解析】例1.比较各组值的大小： （1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62；（2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3．分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>．点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值；解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （2）方程()0f x =没有负根． 分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x xx x f x f x a a x x --=-+++，1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -< 故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x ax -=-+．又001xa <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ） A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+2．设713=x ，则（ A ）A ．－2<x <－1B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <13．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位4．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a5．函数xa y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__．6．若关于x 的方程4220x xm ++-=有实数根，求实数m 的取值范围． 解：由4220x xm ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x xa f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x xa f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-，当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a 的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xxx x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x xx x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xxx x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明． 解：（1）解：由0x bx b+>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞．第6题（2）()log ()()a x bf x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-，12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点． 2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负。

一．课题：简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用．三．教学重点：复合命题的构成及其真假的判断，四种命题的关系．四．教学过程：（一）主要知识：1．理解由“或”“且”“非”将简单命题构成的复合命题；2．由真值表判断复合命题的真假；3．四种命题间的关系．（二）主要方法：1．逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，解题时注意类比；2．通常复合命题“或”的否定为“且”、“p且q”的否定为“p⌝”、“全为”的否定是“不全为”、“都是”的否定为“不都⌝或q是”等等；3．有时一个命题的叙述方式比较的简略，此时应先分清条件和结论，该写成“若p，则q”的形式；4．反证法中出现怎样的矛盾，要在解题的过程中随时审视推出的结论是否与题设、定义、定理、公理、公式、法则等矛盾，甚至自相矛盾．（三）例题分析：例1．指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假：（1）菱形对角线相互垂直平分．（2）“”解：(1)这个命题是“p且q”形式，菱形的对角线相互垂直；菱形的对角线相互平分，∵p为真命题，q也是真命题∴p且q为真命题．（2）这个命题是“p或q”形式，:p；:q，∵p为真命题，q是假命题∴p或q为真命题．注：判断复合命题的真假首先应看清该复合命题的构成形式，然后判断构成它的简单命题的真假，再由真值表判断复合命题的真假．例2．分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．解：否命题为：若，则,x y 不全为零逆命题：若,x y 全为零，则220x y += 逆否命题：若,x y 不全为零，则220x y +≠ 注：写四种命题时应先分清题设和结论．例3．命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．解：方法一：原命题是真命题， ∵0m >，∴，因而方程20x x m +-=有实根，故原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题是“若20x x m +-=无实根，则”．∵20x x m +-=无实根 ∴即，故原命题的逆否命题是真命题．例4．（考点6智能训练14题）已知命题p ：方程有两个不相等的实负根，命题q ：方程无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解：由命题p 可以得到： ∴ 由命题q 可以得到：∴∵p 或q 为真，p 且q 为假 有且仅有一个为真当p 为真，q 为假时，当p 为假，q 为真时， 所以，m 的取值范围为或．例5．（《高考A 计划》考点5智能训练第14题）已知函数对其定义域内的任意两个数，当时，都有，证明：至多有一个实根．解：假设()0f x =至少有两个不同的实数根，不妨假设，由方程的定义可知：即由已知12x x <时，有这与式①矛盾因此假设不能成立 故原命题成立．注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．例6．（《高考A 计划》考点5智能训练第5题）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程：有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）A.假设,,a b c 都是偶数B.假设,,a b c 都不是偶数C.假设,,a b c 至多有一个是偶数D.假设,,a b c 至多有两个是偶数（四）巩固练习：1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ） A.若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确 2．“若，则没有实根”，其否命题是 （ ） A 若，则20ax bx c ++=没有实根B 若240b ac ->，则20ax bx c ++=有实根C 若，则20++=有实根ax bx cD 若240++=没有实根ax bx c-≥，则20b ac五．课后作业：《高考计划》考点5，智能训练3，4，8，13，15，16．内容总结（1）一．课题： TC "§简易逻辑" 简易逻辑二．教学目标：了解命题的概念和命题的构成（2）2．由真值表判断复合命题的真假。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

第一章集合与简易逻辑在我们探索数学的奇妙世界时，集合与简易逻辑就像是两座重要的基石，为更深入的数学学习打下坚实的基础。

首先，咱们来聊聊什么是集合。

集合啊，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起组成的一个整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，这个集合里的元素就是每一个同学。

再比如，所有正整数也能组成一个集合。

集合通常用大写字母来表示，像 A、B、C 等等。

而集合里的元素呢，就用小写字母表示。

如果一个元素 a 属于集合 A，咱们就记作a∈A，如果不属于，那就记作 a∉A。

集合的表示方法有好几种。

一种是列举法，就是把集合里的元素一个一个列出来，像{1, 2, 3, 4, 5}，这就很清楚地表示了一个由 1 到 5 这几个数字组成的集合。

还有一种是描述法，通过描述元素所具有的特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 的整数}，意思就是这个集合里的元素都是大于 0 的整数。

集合之间有一些关系，比如子集。

如果集合 A 里的所有元素都在集合 B 里，那 A 就是 B 的子集，记作 A⊆B。

要是 A 是 B 的子集，而且B 里还有 A 没有的元素，那 A 就是 B 的真子集，记作 A⊂B。

集合的运算也是很重要的一部分。

比如并集，就是把两个集合里的所有元素合在一起组成的新集合。

集合A 和集合B 的并集记作A∪B。

交集呢，就是两个集合里共同拥有的元素组成的集合，记作A∩B。

补集则是在一个给定的全集 U 中，属于 U 但不属于集合 A 的元素组成的集合，记作∁UA。

接下来再说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学思考中都起着至关重要的作用。

命题是简易逻辑中的一个重要概念。

命题就是能够判断真假的陈述句。

比如“2 加 2 等于4”，这就是一个真命题；“地球是方的”，这显然就是个假命题。

命题有原命题、逆命题、否命题和逆否命题。

原命题为“若 p，则q”，逆命题就是“若 q，则p”，否命题是“若¬p，则¬q”，逆否命题是“若¬q，则¬p”。

1.1 集 合〖考纲要求〗理解集合、子集的概念，了解空集、属于、包含、相等的意义. 〖复习要求〗掌握子集的概念，正确使用符号：∈，∉，⊆，⊂，≠，Γ ，H 等〖复习建议〗集合是高考必考内容，一般考查两方面：集合自身的知识与集合语言与集合思想的应用。

复习时要抓住元素这个关键，遇到集合问题，首先要弄清集合里的元素是什么。

注意区别：a 与{a }；{a ，b }与{(a ，b )}，φ与{φ}〖双基回顾〗集合元素具有的三大特征是： 、 、 ；集合的表示方法： 、 、 ；集合的分类：有限集与无限集。

元素与集合只有两种关系： 、 ；子集的定义与集合的相等： n 元集合子集的个数= ；全集的意义；交集、并集、补集的定义与运算 提示：“和”、“或”、“且”体现在集合的运算中应该是 .一、知识点训练：1、用适当符号填空：0 {0，1}；{a ，b } {b ，a }；0 φ；{3＋17} {x |x ＞6＋3}2、用列举法表示{y |y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= .{(x ,y )|y =x 2－1，|x |≤2，x ∈Z}= . 3、M ={x |x 2＋2x －a =0，x ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（ ） (A )a ≤－1 (B ) a ≤1 (C ) a ≥－1 (D ) a ≥1. 4、已知集合A ={x |x 2－p x ＋15=0}，B ={x |x 2－5x ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = . 5、已知集合A ={x |－1≤x ≤2}，B ={x |x ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 6、已知集合A ={x |x ≤2}，B ={x |x ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .二、典型例题分析：1、如果a ∈A 则a-11∈A（1）当2∈A 时，求A （2）如果A 是单元素集，求A .2、A ={x |x =y 2－2y －8}，B ={y |y =－x 2＋2x ＋3}，求A ∩B .3、已知A ={x |x 2－a x ＋a 2－19=0}，B ={x |log 2(x 2－5x ＋8)=1},C ={x |12822=-+x x }，且A ∩B H Φ，A∩C =Φ，求实数a 及集合A .4、已知集合A ={x |x ≥|x 2－2x |}，B ={x ||1|1xx x x -≥-}，C ={x |a x 2＋x ＋b ＜0}，如果（A ∪B ）∩C =φ，A ∪B ∪C =R ，求实数a 、b 的值.*5、S =[－1，a ]，A ={y |y =x ＋1，x ∈S }，B ={z|z=x 2，x ∈S }，如果A =B ，求a 的值.*6、设f （x ）=x 2＋p x ＋q ，A ={x |f （x ）=x ，x ∈R}，B ={x |f (x －1)=x ＋1，x ∈R},C ={x |f (f (x ))=x }. （1）如果A ={2}，求B .（2）如果证明A 是C 的子集三、课堂练习：1、如果{x |x 2－3x ＋2=0}⊇{x |a x －2=0}，那么所有a 值构成的集合是 .2、A ={x |x =a 2＋1，a ∈Z}，B ={y |y =b 2－4b ＋5，b ∈Z}，则A 、B 的关系是 .3、满足{0，1}ΓM ⊆{0，1，3，5，6}的集合M 的个数为 .4、设集合A ={x |10＋3x －x 2≥0}，B ={x |x 2＋a ＜0}，如果B ⊆A ，那么实数a 的取值范围是 .四、课堂小结：1、学习集合，关键在搞清集合中元素的构成.2、掌握元素互异性在集合中的应用.3、能利用集合中元素满足的条件进行解题.五、能力测试： 姓名 得分 .1、全集I={x |x ≤4，x ∈N *}，A ={1，2，3}，A ∩B ={2，3}，那么B =…………………………（ ） (A ){2，3} (B ) {2，3}或者{2，3，4} (C ){1，4} (D ) {1，4}或者{1}2、集合A ={3－2x ，1，3}，B ={1，x 2}，并且A ∪B =A ，那么满足条件的实数x 个数有………（ ） (A )1 (B ) 2 (C )3 (D ) 43、三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（ ） (A )A =B =C (B ) A ⊆B (C )A =C ，A ≠B (D ) A =C ⊆B4、已知非空集合M ，N ，定义M －N ={x |x ∈M ，x ∉N }，那么M －（M －N ）=……………………（ ） (A )M ∪N (B ) M ∩N (C )M (D ) N5、设M ={x |x ∈Z}，N ={x |x =2n ，n ∈Z }，P ={x |x =n ＋21}，则下列关系正确的是………………（ ） (A )N ⊂M (B ) N ⊂P (C )N =M ∪P (D ) N =M ∩P6、全集I={2，3，a 2＋2a －3}，A ={|a +1|，2}，A ={5}，则a =……………………………………（ ） (A )2 (B ) –3或者1 (C )－4 (D )－4或者27、集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（ ） (A )a ＞1 (B ) a ≥1 (C ) a ＜1 (D ) a ≤18、集合A ={y |y =x 2+1}，B ={y |y =x +1}，则 A ∩B =………………………………………………（ ） (A ){(1,2),(0,1)} (B ){0,1} (C ){1,2} (D )),1[+∞9、A ={x |x ≠1，x ∈R}∪{y |y ≠2，x ∈R }，B ={z|z ≠1且z ≠2，z ∈R}，那么……………………（ ） (A )A =B (B )A ⊂B (C )A ⊃B (D )A ∩B =φ10、A ={x |f (x )=0},B ={x |g(x )=0},那么方程f 2(x )＋g 2(x )=0的解集是……………………………（ ） (A )A ∩B (B )A ∪B (C )A ∩B (D ) A ∪B11、非空集合S ⊆{1，2，3，4，5}，并且满足a ∈S 则6－a ∈S ，那么这样的集合S 一共有 个. 12、设集合M ={x |x ＜5}，N ={x |x ＞3}，那么“x ∈M 或者x ∈N ”是“x ∈M ∩N ”的 条件. 13、用列举法化简集合M ={x |Z x Z x∈∈-,36}= . 14、如果集合A ={x |a x 2+2x +1=0}只有一个元素，则实数a 的值为 . 15、集合A ={x |x 2－3x ＋2=0}， B ={x |x 2－a x ＋a －1=0} ，C ={x |x 2－m x ＋2=0}，若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.*16、求集合{x |x 2＋(b ＋2)x ＋b ＋1=0，b ∈R}的各元素之和.1.2 不等式的解法——绝对值不等式〖考纲要求〗在掌握一元一次与一元二次不等式解法的基础上掌握绝对值不等式解法.〖复习建议〗掌握绝对值的概念，会把绝对值问题转化为简单的问题；掌握去绝对值的基本方法：找零点分区间讨论法与换元法.一、知识点训练：1、不等式|2x －7|<3的解为………………………………………………………………………（ ） (A )x >2 (B )2<x <5 (C )x <5 (D ) x >02、不等式(x －1)02≥+x 的解为……………………………………………………………（ ） (A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠13、方程12|12|-+=-+x x x x 的解是…………………………………………………………………（ ） (A )x =－2 (B ) x ≠1 (C ) x ≤－2或者x ＞1 (D ) －2≤x ＜1 4、不等式525≤-x 的解集为 ； 5、不等式129->-x x 的解集为 ；二、典型例题分析：1、解不等式：(1)392+≤-x x(2)x x 2212>-1332)3(2-<+-x x x2、⑴已知适合不等式5|3|||≤-++x p x 的x 的最大值为4，求实数p 之值（p =0）.⑵已知适合不等式a x x >--+|3||1|的解集为R ，求实数a 的取值范围.3、关于x 的不等式2)1(|2)1(|22-≤+-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x 的解集依次为A 、B ，如果A 是B 的子集，求实数a 的取值范围.三、课堂练习：1、不等式x x ≤-52 的解集为 ；2、不等式x x x ≥+-11的解集为 ； 3、如果不等式kx x >+|1|的解集为R ，则实数k 的取值范围是 .四、课堂小结：解绝对值不等式时，常需要分类讨论，有时也可以用绝对值的几何意义求解，以简化计算.五、能力测试：1、关于x 的不等式a x x <++-|2||1|解集为空集，则实数a 的取值范围是………………（ ） （A ）(3,＋∞) （B ）[3,＋∞) （C ）(－∞,3] （D ）(－∞,3)2、不等式|log |2|log 2|22x x x x +<-的解集为…………………………………………………（ ） （A ）(1，2) （B ）(0，1) （C ）(1，＋∞) （D ）(2，＋∞)3、若321><x x和同时成立，则x 满足是 ； 4、不等式02||2<--x x 的解集为 . 5、解不等式||1212x x ≤- 6、解下列不等式：5252)1(≤--x 432)2(+>+x x (3)311≥-+x x7、关于x 的不等式23+>ax x 与不等式|x －2－c |＜c －2同解，求a 与c 的值.8、函数)(x f =2x －1，)(x g =1－x 2，定义函数⎩⎨⎧<-≥=))(|)((|)())(|)((| |)(|)(x g x f x g x g x f x f x F ，试化简此函数解析式，并研究其最值.1.3 不等式的解法——一次与二次〖考纲要求〗熟练掌握一元一次与一元二次不等式的解法.〖复习建议〗掌握不等式的性质，知道解不等式的基本思想：化归与转化，掌握一元一次不等式：.一、知识点训练：1、x =3在不等式 ax ＞b 的解集中，那么…………………………………………………………（ ） (A)a ＞0，3a ＞b (B)a ＜0，3a ＜b(C) a ＞0，b =0 (D) a ≠0，3a ＞b 或者a =0，b ＜0 2、不等式ax 2+bx +c ＞0（a ≠0）的解集为Φ，那么………………………………………………（ ）(A)a ＜0，△＞0 (B)a ＜0，△≤0 (C) a ＞0，△≤0 (D) a ＞0，△≥0 3、不等式(x －1)02≥+x 的解为………………………………………………………………（ ）(A )x ≥1 (B )x >1 (C ) x ≥1或者x =－2 (D ) x ≥－2且x ≠1 4、不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为3121<<-x ，则a ；b . 5、不等式组⎩⎨⎧<-+>-+0820222x x x x 的解集为 .二、典型例题分析：1、 如果不等式(a ＋b )x ＋(2a －3b )<0的解集为}31|{-<x x ，求不等式(a －3b )x ＋b －2a >0的解集.2、不等式2)1()12(2≤->-m x m x 对满足的一切实数m 的值都成立，求实数x 的取值范围.3、解关于x 的不等式0)(22>-+-m m x x4、如果不等式b x ax +<的解集为（4，16），求a 、b 的值.5、已知a ≠b ，解关于x 的不等式222)]1([)1(x b ax x b x a -+≥-+.三、课堂练习：1、在实数集内，关于x 的一元二次不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是空集，则………… ( ) (A )04,02>-<ac b a 且 (B )04,02≤-<ac b a 且(C ) 04,02≤->ac b a 且 (D ) 0402>->ac b a 且2、0)(≥x f 解集是F ，0)(<x g 解集是G ，定义域都为R ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 解集是 ……（ ）(A )G F (B ) G F (C ) G F (D ) G F 3、不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为212->-<x x 或，那么不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为 . 4、关于x 的不等式：ax 2＋4x －1≥－2x 2－a 恒成立，那么实数a ∈ .四、课堂小结：一元一次不等式的解法：关键是学会讨论，知道其解集情况与系数之间的关系。

集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一)集合与简易逻辑1.1集合(一) 第一章集合与简易逻辑2 1.1集合(一)课题§1.1集合(一) 教学目标1、理解集合的概念和性质。

2、了解元素与集合的表示方法。

3、熟记有关数集。

4、培养学生认识事物的能力。

教学重点集合概念、性质教学难点集合概念的理解教学设备投影仪、多媒体一、新课引入在初中数学学习过程中，我们就已经开始接触“集合”。

例如：1、在初中代数里，①、由所有自然数组成的自然数集；所有整数组成的整数集等等；②、对于一元一次不等式2x-1 3来说，所有大于2的实数都是它的解，因此我们称该不等式的解集为x 2，表明这个不等式的解是由所有大于2的数组成的集合；③、大于1小于10的所有偶数。

2．在初中几何里，①、把垂直平分线看作是到线段两端点距离相等的点的集合；②、将角平分线看作是到角的两边距离相等的点的集合；③、把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

在生活中，我们也在不知不觉中与“集合”打交道。

例如：①、高一（3）班全体男同学；②、某位同学的所有文具；③、中国的四大发明。

二、进行新课通过以上实例，我们可以归纳出：1、集合的定义（1）集合（集）：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）。

进一步指出：集合的表示：一般用大括号表示集合，{元素，元素，…元素}，那么上几例可表示为……集合还可用一个大写的拉丁字母表示，如：a={1，3，5，7，9} 常见数集的专用符号：非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。

记作n 正整数集：非负整数集内排除0的集。

记作n*或n+ 整数集：全体整数的集合。

记作z 有理数集：全体有理数的集合。

记作q 实数集：全体实数的集合。

记作r 注：①、自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

②、非负整数集内排除0的集。

记作n*或n+ 。

q、z、r等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成z* 请同学们熟记上述符号及其意义。

第一章 集合与简易逻辑1.1 集合1）常用的数集有以下几类：2）集合的特征：确定34）集合的表示方法：。

5）集合的分类：有限集、无限集。

1.2 子集、全集、补集1）子集A B ⊂：集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ，我们也说集合A 是集合B 的子集。

一般地：a :空集是任何集合的子集； b :任何集合是它本身的子集。

B A ≠⊂：集合A 真包含于集合B 。

一般地：空集是任何非空集合的真子集。

2）全集与补集S 是全集，A 是S 的一个子集，S C A 是补集（或余集），{,}S C A x x S x A =∈∉。

1.3 交集、并集交集：{,}A B x A x B ⋂=∈∈且。

并集：{,}A B x A x B ⋃=∈∈或。

交集并集1.4 含绝对值的不等式的解法1）{}(0)x a a x a a <=-<<<， 2）{,}(0)x a x a x a a >=<-><或。

1.5 一元二次不等式解法1）求根； 2）画图。

1.6 逻辑联结词1）与命题：2）或命题3）非命题：1.7 四种命题（1）四种命题的形式：1）原命题：若p 则q ； 2）逆命题：若q 则p ； 3）否命题：p ⌝则q ⌝； 4）逆否命题：若q ⌝则p ⌝； （2）四种命题的相互关系：（3）原命题与其他三个命题的真假关系： 1）原命题为真，它的逆命题不一定为真； 2）原命题为真，它的否命题不一定为真； 3）原命题为真，它的逆否命题一定为真；。

第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。

集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。

例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。

规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。

定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。

定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =；（3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。

集合和简易逻辑
集合是由一组确定的元素组成的。

集合中的元素是无序的，且每个元素在集合中只能出现一次。

集合可以以各种形式表示，例如用大括号{}包围元素列表，或使用特定的集合符号表示。

例如，给定两个集合A和B，可以定义集合的交集（表示为A∩B）为包含同时属于A和B的所有元素的集合。

集合的并集（表示为A∪B）是包含属于A或B （或两者）的所有元素的集合。

集合的差集（表示为A-B）是指所有属于A但不属于B的元素的集合。

简易逻辑是一种基于真和假的推理系统。

它使用逻辑运算符（如与、或、非）对命题进行组合，并根据预定义的逻辑规则推导出其他命题。

简易逻辑中的命题可以是真（真命题）或假（假命题）。

逻辑运算符包括：
- 与运算（表示为∧或&&）：只有在两个命题都为真时，整个表达式才为真。

- 或运算（表示为∨或）：只要有一个命题为真，整个表达式就为真。

- 非运算（表示为¬ 或!）：将真命题变为假命题，将假命题变为真命题。

逻辑推理可以通过应用真值表来确定整个逻辑表达式的真假。

真值表列出了逻辑表达式中各个命题的真值，并根据逻辑运算符确定整个表达式的真值。

集合和简易逻辑在数学和计算机科学中都有广泛的应用，用于构建和解决各种问题。

（一）集合的知识体系一．集合的概念1．定义：某些指定的对象集中在一起(描述性)。

2．集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。

二．集合的表示法列举法，描述法，图示法(韦恩图)。

三．常用集合的表示自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C。

四．子集的概念A是B的子集，记作：A⊆B ⇔若x∈A，则x∈BA是B的真子集，记作：A≠⊂B ⇔ A⊆B 且存在x∈B使x∉A五．集合的运算1．A、B的交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}2．A、B的并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}3．U中A的补集：∁U A={x|x∈U且x∉A}六．一元二次不等式解法一化：化成一般式ax2+bx+c>0(<0)。

二求：求相应方程的根(即解方程ax2+bx+c=0)。

三写：根据图象写出解集。

七．绝对值不等式解法(关键是去绝对值)1．性质法：|x|<a⇔ -a<x<a, |x|>a⇔ x<-a或x>a2．平方法：|f(x)|<|g(x)| ⇔f 2(x)<g 2(x)3．几何法：根据绝对值的几何意义解答.4．定义法：包括分类讨论与零点分段.5．图象法：即数形结合.（二）简易逻辑的知识体系一．命题1．命题概念：能判断真假的陈述句。

2．逻辑联结词——或、且、非。

或：两个命题至少一个成立，记为p∨q；且：两个命题都成立，记为p∧q；非：对一个命题的p否定，记为⌝p (或的否定是“且”，且的否定是“或”)。

3．三类复合命题的真值表p∨q：有真则真，同假则假；p∧q：同真则真，有假则假；﹁p：p与﹁p真假相反。

4．全称命题与特称命题的否定含有“任意”“一切”“所有”等全称量词的命题叫全称命题。

含有“存在”“有些”“某个”等存在量词的命题叫特称命题。

全称命题：∀x∈M，p(x) 的否定是特称命题：∃x0∈M，⌝p(x0)；特称命题：∃x0∈M，p(x0) 的否定是全称命题：∀x∈M，⌝p(x)5．四种命题及相互关系原命题：若p 则q逆命题：若q则p否命题：若﹁p则﹁q逆否命题：若﹁q则﹁p互为逆否的两个命题是等价的，即真假相同。

第一章集合与简易逻辑在我们探索数学世界的旅程中，集合与简易逻辑就像是打开知识宝库的两把钥匙。

它们看似基础，却蕴含着深刻的智慧和广泛的应用。

集合，简单来说，就是把一些具有特定性质的对象放在一起构成的一个整体。

比如说，一个班级里所有的同学可以组成一个集合，一个书架上的所有书籍也能构成一个集合。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

确定性就是说，一个元素要么在集合里，要么不在，不能模棱两可；互异性呢，就是集合里的元素不能重复；无序性意味着元素的排列顺序不影响集合本身。

我们用大括号来表示集合，比如{1, 2, 3}就是一个包含数字 1、2、3 的集合。

如果集合 A 中的所有元素都在集合 B 中，那么我们就说集合A 是集合 B 的子集。

举个例子，如果集合 A ＝｛1, 2}，集合 B ＝｛1, 2, 3}，那么 A 就是 B 的子集。

如果 A 是 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不在 A 中，那 A 就是 B 的真子集。

集合的运算也是很重要的一部分。

交集就是两个集合中共同的元素组成的新集合。

比如集合 C ＝｛1, 2, 3}，集合 D ＝｛2, 3, 4}，那么 C 和 D 的交集就是{2, 3}。

并集则是把两个集合中的所有元素放在一起组成的新集合，C 和 D 的并集就是{1, 2, 3, 4}。

补集呢，是在一个给定的全集里，除去某个集合中的元素，剩下的元素组成的集合。

说完集合，咱们再来说说简易逻辑。

逻辑在我们的日常生活和数学推理中都起着至关重要的作用。

命题是逻辑中的一个基本概念。

一个能够判断真假的陈述句就是命题。

比如“今天是晴天”，如果今天确实是晴天，那这个命题就是真的；如果今天不是晴天，那这个命题就是假的。

命题有真有假，我们根据命题的真假来进行推理和判断。

原命题、逆命题、否命题和逆否命题是一组相互关联的概念。

原命题为“若 p，则q”，逆命题就是“若 q，则p”，否命题是“若¬p，则¬q”，逆否命题是“若¬q，则¬p”。

第一章集合与简易逻辑在数学的广袤天地中，集合与简易逻辑就像是两座基石，支撑着众多数学知识的大厦。

让我们一同踏上探索这两个重要概念的旅程。

首先，什么是集合呢？集合，简单来说，就是把一些具有特定属性的对象放在一起所组成的整体。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，书架上的所有书籍也能组成一个集合。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性这三个重要特点。

确定性指的是对于一个元素，它要么属于这个集合，要么不属于，不存在模棱两可的情况。

互异性呢，就是说集合中的元素不能重复。

而无序性则意味着集合中元素的排列顺序并不重要，｛1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。

表示集合的方法有列举法、描述法和图示法。

列举法就是把集合中的元素一个一个地列出来，像{1, 2, 3}。

描述法则是通过描述元素的共同特征来表示集合，比如{x ｜ x 是大于 0 小于 5 的整数}。

图示法常见的有韦恩图，能让我们更直观地理解集合之间的关系。

接着来聊聊集合之间的关系。

如果一个集合中的所有元素都属于另一个集合，那么这个集合就叫做另一个集合的子集。

如果两个集合互相包含，那它们就是相等的集合。

还有一种特殊的关系叫真子集，就是一个集合是另一个集合的子集，但两个集合不相等。

集合的运算也是很重要的一部分。

交集就是两个集合中共同的元素组成的集合；并集则是把两个集合中的所有元素合在一起组成的新集合；而补集呢，是在一个给定的全集里，某个集合之外的部分。

说完了集合，咱们再来说说简易逻辑。

简易逻辑在数学推理和日常生活中的判断中都有着广泛的应用。

逻辑连接词像是“且”“或”“非”，它们能帮助我们组合和改变命题的真假性。

“且”连接的两个命题都为真时，整个命题才为真；“或”连接的两个命题只要有一个为真，整个命题就为真；“非”则是对原命题的否定。

命题有真有假。

能够判断真假的陈述句就是命题。

原命题、逆命题、否命题和逆否命题之间有着有趣的关系。

原命题和逆否命题的真假性是相同的，逆命题和否命题的真假性也是相同的。

第二教时
教材： 1、复习 2、《课课练》及《教学与测试》中的有关内容 目的： 复习集合的概念；巩固已经学过的内容，并加深对集合的理解。

过程：
一、 复习：（结合提问）
1．集合的概念 含集合三要素
2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法
3．集合的分类：有限集、无限集、空集、单元集、二元集
4．关于“属于”的概念
二、 例一 用适当的方法表示下列集合：
1． 平方后仍等于原数的数集
解：{x|x 2=x}={0,1}
2． 比2大3的数的集合
解：{x|x=2+3}={5}
3． 不等式x 2-x-6<0的整数解集
解：{x ∈Z| x 2-x-6<0}={x ∈Z| -2<x<3}={-1,0,1,2}
4． 过原点的直线的集合
解：{(x,y)|y=kx}
5． 方程4x 2+9y 2-4x+12y+5=0的解集
解：{(x,y)| 4x 2+9y 2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}
6． 使函数y=61
2-+x x 有意义的实数x 的集合
解：{x|x 2+x-6≠0}={x|x ≠2且x ≠3,x ∈R}
三、 处理苏大《教学与测试》第一课 含思考题、备用题
四、 处理《课课练》
五、 作业 《教学与测试》 第一课 练习题。

2013高中数学精讲精练第二章函数【方法点拨】函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。

其中最重要的一条是“不漏不重”．4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①y x =，y =y x =，y =y =y =；④1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩，x y x =；⑤lg 1y x =-，lg 10x y =．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．2.设集合{02}M x x =≤≤，{02}N y y =≤≤，从M 到N 有四种对应如图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有_____②③____．3.写出下列函数定义域： (1) ()13f x x =-的定义域为______________； (2) 21()1f x x =-的定义域为______________； (3)1()f x x =的定义域为______________； (4)0()f x =_________________．4．已知三个函数:(1)()()P x y Q x =；(2)y =(*)n N ∈； (3)()log ()Q x y P x =．写出使各函数式有意义时，()P x ，()Q x 的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．5.写出下列函数值域：(1) 2()f x x x =+，{1,2,3}x ∈；值域是{2,6,12}．①②③④ R {1}x x ≠± [1,0)(0,)-⋃+∞ (,1)(1,0)-∞-⋃- ()0Q x ≠ ()0P x ≥ ()0Q x >且()0P x >且()1Q x ≠(2) 2()22f x x x =-+； 值域是[1,)+∞．(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]．【范例解析】例1.设有函数组：①21()1x f x x -=-，()1g x x =+；②()f x =，()g x =③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有③④．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．解：在①中，()f x 的定义域为{1}x x ≠，()g x 的定义域为R ，故不是同一函数；在②中，()f x 的定义域为[1,)+∞，()g x 的定义域为(,1][1,)-∞-⋃+∞，故不是同一函数；③④是同一函数．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例2.求下列函数的定义域：①12y x =- ②()f x =； 解：（1）① 由题意得：220,10,x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩解得1x ≤-且2x ≠-或1x ≥且2x ≠， 故定义域为(,2)(2,1][1,2)(2,)-∞-⋃--⋃⋃+∞．② 由题意得：12log (2)0x ->，解得12x <<，故定义域为(1,2)．例3.求下列函数的值域：（1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）221x y x =+()x R ∈； （3）y x =-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．（1） 解：2242(2)2y x x x =-+-=--+，[0,3)x ∈，∴函数的值域为[2,2]-；（2） 解法一：由2221111x y x x ==-++，21011x <≤+，则21101x -≤-<+，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)． 解法二：由221x y x =+，则21y x y =-，20x ≥，∴01y y≥-，01y ∴≤<，故函数值域为[0,1)．（3t =(0)t ≥，则21x t =-，2221(1)2y t t t ∴=--=--，当0t ≥时，2y ≥-，故函数值域为[2,)-+∞．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________．2．函数)34(log 1)(22-+-=x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数21()1y x R x=∈+的值域为________________． 4.函数23y x =-+的值域为_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0，x <－1或x ≥1， 即A =(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ． (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．∵a <1，∴a +1>2a ，∴B=(2a ，a +1) ．∵B ⊆A ， ∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， ∴21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时， 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)．(,0]-∞ (1,2)(2,3)⋃ (0,1] ,4] 13[,0)(,1]44-⋃第2课 函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数()23f x x =+，()35g x x =-，则(())f g x =_________；(())g f x =__________．2.设函数1()1f x x=+，2()2g x x =+,则(1)g -=_____3_______；[(2)]f g =17；[()]f g x =213x +． 3.已知函数()f x 是一次函数，且(3)7f =，(5)1f =-,则(1)f =__15___．4.设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝_____________．5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数()y f x =的最小值等于4，且(0)(2)6f f ==，求()f x 的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解． 解法一：设2()(0)f x ax bx c a =++>，则26,426,4 4.4c a b c ac b a⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪-⎪=⎪⎩解得2,4,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法二：(0)(2)f f =，∴抛物线()y f x =有对称轴1x =．故可设2()(1)4(0)f x a x a =-+>．第5题67x - 64x + 413 |1|2323--=x y (0≤x ≤2)将点(0,6)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．解法三：设()() 6.F x f x =-，由(0)(2)6f f ==，知()0F x =有两个根0，2， 可设()()6(0)(2)F x f x a x x =-=--(0)a >，()(0)(2)6f x a x x ∴=--+，将点(1,4)代入解得2a =．故所求的解析式为2()246f x x x =-+．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x（分）的关系．试写出()y f x =解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．【反馈演练】1．若()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则(2)f x =（ D ） Ａ． 2()f x Ｂ．2[()()]f xg x + Ｃ．2()g x Ｄ． 2[()()]f x g x ⋅ 2．已知1(1)232f x x -=+，且()6f m =，则m 等于________． 3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ， 则00000,,2.0,2x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故．14-第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中： ①1()f x x =； ②()221f x x x =++； ③()f x x =-； ④()1f x x =-．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．2.函数y x x =的递增区间是___ R ___．3.函数y =__________．4.已知函数()y f x =在定义域R 上是单调减函数，且(1)(2)f a f a +>，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的增函数；②定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是减函数；③定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上也是增函数，则函数()f x 在R 上是增函数；④定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是增函数，在区间(0,)+∞上也是增函数，则函,1]- (1,)+∞数()f x 在R 上是增函数．其中正确命题的序号有_____②______．【范例解析】例 . 求证：（1）函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调递增函数；（2）函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定． 证明：（1）对于区间3(,]4-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，因为22121122()()231(231)f x f x x x x x -=-+---+-2221122233x x x x =-+-1212()[32()]x x x x =--+， 又1234x x <≤，则120x x -<，1232x x +<，得1232()0x x -+>， 故1212()[32()]0x x x x --+<，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <．所以，函数2()231f x x x =-+-在区间3(,]4-∞上是单调增函数．（2）对于区间(,1)-∞-内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 因为1212122121()()11x x f x f x x x ---=-++12123()(1)(1)x x x x -=++， 又121x x <<-，则120x x -<，1(1)0x +<，2(1)0x +<得，12(1)(1)0x x ++> 故12123()0(1)(1)x x x x -<++，即12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <． 所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-上是单调增函数． 同理，对于区间(1,)-+∞，函数21()1x f x x -=+是单调增函数； 所以，函数21()1x f x x -=+在区间(,1)-∞-和(1,)-+∞上都是单调增函数． 点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值1x ，2x ；（2）作差12()()f x f x -，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．例2.确定函数()f x =分析：作差后，符号的确定是关键．解：由120x ->，得定义域为1(,)2-∞．对于区间1(,)2-∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <，则12()()f x f x -=== 又120x x -<0>，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．所以，()f x 在区间1(,)2-∞上是增函数．点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．【反馈演练】1．已知函数1()21x f x =+，则该函数在R 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数2()45f x x mx =-+在(,2)-∞-上是减函数，在(2,)-+∞上是增函数，则(1)f =__25___.3.函数y =1[2,]2--. 4. 函数2()1f x x x =-+的单调递减区间为1(,1],[,1]2-∞-．5. 已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：设对于区间(2,)-+∞内的任意两个值1x ，2x ，且12x x <， 则12121211()()22ax ax f x f x x x ++-=-++2112(12)()0(2)(2)a x x x x --=<++， 120x x -<，1(2)0x +>，2(2)0x +>得，12(2)(2)0x x ++>，120a ∴-<，即12a >． (0,1)第4课 函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①5()5f x x x =+；②421()x f x x -=；③()25f x x =-+；④()x x f x e e -=-．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．2. 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数=a －1 ． 3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）A .R x x y ∈-=,3B .R x x y ∈=,sinC .R x x y ∈=,D .R x x y ∈=,)21(【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）2(12)()2x x f x +=； （2）()lg(f x x =；（3）221()lg lg f x x x =+； （4）()(1f x x =- （5）2()11f x x x =+-+； （6）22(0),()(0).x x x f x x x x⎧-+≥⎪=⎨<+⎪⎩ 分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．解：（1）定义域为x R ∈，关于原点对称；2222(12)2(12)()222x x x x x x f x ----+⋅+-===⋅2(12)()2x x f x +=, 所以()f x 为偶函数．（2）定义域为x R ∈，关于原点对称；()()lg(lg(lg10f x f x x x -+=-+==，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数．（3）定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，关于原点对称；()0f x =，()()f x f x ∴-=-且()()f x f x -=，所以()f x 既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为[1,1)x ∈-，不关于原点对称；故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（5）定义域为x R ∈，关于原点对称；(1)4f -=，(1)2f =，则(1)(1)f f -≠且(1)(1)f f -≠-，故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为x R ∈，关于原点对称；22()()(0),()(0).()()x x x f x x x x ⎧--+-->⎪-=⎨-<-+-⎪⎩，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧-->⎪∴-=⎨<-⎪⎩又(0)0f =，22(0),()(0).x x x f x x x x ⎧--<⎪∴-=⎨≥-⎪⎩()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数． 点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即()()f x f x -=-或()()f x f x -=判断，注意定义的等价形式()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=．例2. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且当0x >时，2()22f x x x =-+，求函数()f x 的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则(0)0f =．解：设0x <，则0x ->，2()22f x x x ∴-=++．又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，2()()22f x f x x x ∴=--=---．当0x =时，(0)0f =． 综上，()f x 的解析式为2222,0()0,0022,x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪<---⎩． 作出()f x 的图像，可得增区间为(,1]-∞-，[1,)+∞，减区间为[1,0)-，(0,1]．点评：（1）求解析式时0x =的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“⋃”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“x -”实现转化；（4）根据图像写单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ D ）A ．()()76f f >B ．()()96f f >C ．()()97f f >D ．()()107f f >2. 在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数3. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为____1，3 ___． 4．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ________． 5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（－2，2）．6. 已知函数21()ax f x bx c+=+(,,)a b c Z ∈是奇函数．又(1)2f =，(2)3f <,求a ，b ，c 的值；解：由()()f x f x -=-，得()bx c bx c -+=-+，得0c =．又(1)2f =，得12a b +=，而(2)3f <，得4131a a +<+，解得12a -<<．又a Z ∈，0a ∴=或1． 若0a =，则12b Z =∉，应舍去；若1a =，则1b Z =∈． 所以，1,1,0a bc ===．综上，可知()f x 的值域为{0,1,2,3,4}．25第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．【基础练习】1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：（1）2x y = 12x y -= 123x y -=+；（2）2log y x = 2log ()y x =-2log (3)y x =-．2.作出下列各个函数图像的示意图：（1）31x y =-； （2）2log (2)y x =-； （3）21x y x -=-． 解：（1）将3x y =的图像向下平移1个单位，可得31x y =-的图像．图略；（2）将2log y x =的图像向右平移2个单位，可得2log (2)y x =-的图像．图略；（3）由21111x y x x -==---，将1y x =的图像先向右平移1个单位，得11y x =-的图像，再向下平移1个单位，可得21x y x -=-3.作出下列各个函数图像的示意图： （1）12log ()y x =-； （2）1()2x y =-； （3）12log y x =； （4）21y x =-．解：（1）作12log y x =的图像关于y 轴的对称图像，如图1所示；（2）作1()2xy =的图像关于x 轴的对称图像，如图2所示；（3）作12log y x =的图像及它关于y 轴的对称图像，如图3所示； （4）作21y x =-的图像，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，如图4所示．向右平移1个单位 向上平移3个单位 作关于y 轴对称的图形 向右平移3个单位4. 函数()|1|f x x =-的图象是（ B ）【范例解析】例1.作出函数2()223f x x x =-++及()f x -，()f x -，(2)f x +，()f x ，()f x 的图像．分析：根据图像变换得到相应函数的图像．解：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称； ()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；将()y f x =的图像向左平移2个单位得到(2)y f x =+的图像；保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．图略．点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：()y f x =-与()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =-与()y f x =的图像关于x 轴对称；()y f x =--与()y f x =的图像关于原点对称；图3 图4()y f x =保留()y f x =的图像在x 轴上方的部分，将x 轴下方的部分关于x 轴翻折上去，并去掉原下方的部分；()y f x =将()y f x =的图像在y 轴右边的部分沿y 轴翻折到y 轴的左边部分替代原y 轴左边部分，并保留()y f x =在y 轴右边部分．例2.设函数54)(2--=x x x f .（1）在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图像；（2）设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B 之间的关系，并给出证明.分析：根据图像变换得到)(x f 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．解：（1）（2）方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+，由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减，在]2,1[-和),5[∞+上单调递增，因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . 由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142.【反馈演练】111--=x y 的图象是（B2. 为了得到函数x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象向右平移1个单位长度得到．3．已知函数kx y x y ==与41log 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为2，则k =14-． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y =f (x )的图象关于直线21=x 对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．5. 作出下列函数的简图：（1）2(1)y x x =-+； （2）21xy =-； （3）2log 21y x =-．第6课 二次函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1. 已知二次函数232y x x =-+,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为32x =；顶点坐标为 31(,)24-，与x 轴的交点坐标为(1,0),(2,0)，最小值为14-．2. 二次函数2223y x mx m =-+-+的图像的对称轴为20x +=,则m =__－2___，顶点坐标为(2,3)-，递增区间为(,2]-∞-，递减区间为[2,)-+∞．3. 函数221y x x =--的零点为11,2-．4. 实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件为0ac <；有两正根的充要条件为0,0,0b c a a ∆≥->>；有两负根的充要条件为0,0,0b ca a ∆≥-<>．5. 已知函数2()23f x x x =-+在区间[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________．【范例解析】例1.设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈．（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）若2a =时，求)(x f 的最小值．分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数．当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠．此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．[1,2]（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=212 3)(22x x x x x x x f 由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式． 分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况． 解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论： （1）当0>a 时，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由10x a=-<知()f x在2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ； （2）当0=a 时，()f x x =，2]x ∈，有)(a g =2；（3）当0<a 时，，函数()y f x =，2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段， 若1x a=-]2,0(∈即22-≤a 时，)(ag f == 若1x a =-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ． 综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ． 点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间2]上的单调性．【反馈演练】1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx x y 是单调函数的充要条件是0b ≥． 2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++．3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251--D ．251+- 4．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ．（1）求()g a 的表达式；（2）求()g a 的最大值．解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =， 当12a ≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a -<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-； 当12a ≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-； 综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a a g a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩． （2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2；（2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4．解：（1）当0a <时，max ()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-；当01a ≤≤时，max ()()f x f a =，令()2f a =，12a ±∴=（舍）； 当1a >时，max ()(1)f x f =，即2a =．综上，可得1a =-或2a =．（2）当0a >时，max ()(2)f x f =，即814a +=，则38a =； 当0a <时，max ()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-． 综上，38a =或3a =-． 8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．第7课 指数式与对数式【考点导读】1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．【基础练习】1.写出下列各式的值：(0,1)a a >≠=3π-； 238=____4____； 3481-=127； log 1a =___0_____； log a a =____1____；log 4=__－4__．2.化简下列各式：(0,0)a b >>（1）2111333324()3a ba b ---÷-=6a -； （2）2222(2)()a a a a ---+÷-=2211a a -+． 3.求值：（1）35log(84)⨯=___－38____； （2）33(lg 2)3lg 2lg 5(lg 5)+⋅+=____1____；（3）234567log 3log 4log 5log 6log 7log 8⨯⨯⨯⨯⨯=_____3____．【范例解析】例1. 化简求值：（1）若13a a -+=，求1122a a --及442248a a a a --+-+-的值； （2）若3log 41x =，求332222x xx x --++的值． 分析：先化简再求值．解：（1）由13a a -+=，得11222()1a a --=，故11221a a --=±；又12()9a a -+=，227a a -+=；4447a a -∴+=，故44224438a a a a --+-=-+-． （2）由3log 41x =得43x=；则33227414223x x x x x x ---+=-+=+． 点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．例2.（1）求值：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+； （2）已知2log 3m =，3log 7n =，求42log 56．分析：化为同底．解：（1）原式=lg10lg3lg 240136lg10lg9lg 5+-+-+1lg810lg8=+=； （2）由2log 3m =，得31log 2m =；所以33342333log 563log 2log 73log 56log 4213log 2log 71mn m mn++===++++． 点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．例3. 已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值． 分析：将a ，b 都用c 表示．解：由35a b c ==，得1log 3c a =，1log 5c b =；又112a b+=，则log 3log 52c c +=， 得215c =．0c >，c ∴=点评：三个方程三个未知数，消元法求解．【反馈演练】1．若21025x =，则10x -=15． 2．设lg321a =，则lg0.321=3a -．3．已知函数1()lg 1x f x x-=+，若()f a b =，则()f a -=－b ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(,21x xx x f x 若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．5．设已知f (x 6) = log 2x ，那么f (8)等于12． 6．若618.03=a ，)1,[+∈k k a ，则k =__－1__．7．已知函数21(0)()21(1)xc cx x c f x c x -+⎧⎪=⎨⎪+≤⎩＜＜＜，且89)(2=c f ． （1）求实数c 的值；（2）解不等式182)(+＞x f ． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <， 由29()8f c =，即3918c +=，12c =． （2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤由()18f x >+得，当102x <<时，解得142x <<． 当112x <≤时，解得1528x <≤，所以()18f x >+的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．第8课 幂函数、指数函数及其性质【考点导读】1.了解幂函数的概念，结合函数y x =，2y x =，3y x =，1y x =，12y x =的图像了解它们的变化情况；2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．【基础练习】1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是(1,2)．2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左，沿y 轴方向向下平移2个单位，得到()2x f x =的图像，则()f x =222x -+． 3.函数220.3x x y --=的定义域为___R __；单调递增区间1(,]2-∞-；值域14(0,0.3]． 4.已知函数1()41x f x a =++是奇函数，则实数a 的取值12-． 5.要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围2m ≤-．6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为1(,0)2． 【范例解析】例1.比较各组值的大小：（1）0.20.4，0.20.2，0.22， 1.62； （2）b a -，b a ，a a ，其中01a b <<<；（3）131()2，121()3． 分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．解：（1）0.20.200.20.40.41<<=，而0.2 1.6122<<，0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<．（2）01a <<且b a b -<<，b a b a a a -∴>>．（3）111322111()()()223>>． 点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数,求,a b 的值； 解：因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= －f （－1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++ 例3.已知函数2()(1)1x x f x a a x -=+>+，求证： （1）函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）方程()0f x =没有负根．分析：注意反证法的运用．证明：（1）设121x x -<<，122112123()()()(1)(1)x x x x f x f x a a x x --=-+++， 1a >，210x x a a ∴->，又121x x -<<，所以210x x ->，110x +>，210x +>，则12()()0f x f x -<故函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数．（2）设存在00x <0(1)x ≠-，满足0()0f x =，则00021x x a x -=-+．又001x a <<，002011x x -∴<-<+ 即0122x <<，与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．【反馈演练】 1．函数)10()(≠>=a a a x f x且对于任意的实数y x ,都有（ C ）A ．)()()(y f x f xy f =B ．)()()(y f x f xy f +=C ．)()()(y f x f y x f =+D ．)()()(y f x f y x f +=+ 2．设713=x ，则（ A ） A ．－2<x <－1 B ．－3<x <－2C ．－1<x <0D ．0<x <1 3．将y =2x 的图像 ( D ) 再作关于直线y =x 对称的图像，可得到函数2log (1)y x =+的图像．A ．先向左平行移动1个单位B ．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D ． 先向下平行移动1个单位 4．函数b x ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ C ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a 5．函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为___2__．6．若关于x 的方程4220x x m ++-=有实数根，求实数m 的取值范围．解：由4220x x m ++-=得，219422(2)224x x x m =--+=-++<，(,2)m ∴∈-∞ 7．已知函数2()()(0,1)2x x a f x a a a a a -=->≠-． （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在R 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．解：（1）定义域为R ，则2()()()2x x a f x a a f x a --=-=--，故()f x 是奇函数． （2）设12x x R <∈，12121221()()()(1)2x x x x a f x f x a a a a-+-=-+-， 当01a <<时，得220a -<，即01a <<；当1a >时，得220a ->，即a >综上，实数a的取值范围是(0,1))⋃+∞．第9课 对数函数及其性质【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4． 2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞．【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________．（2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ；③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ．则其中正确命题的序号是_____________．分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax -在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.a a a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 例3.已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由 得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减，由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln ln 2.其中值最大的序号是___④___.2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个.6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4x f x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-， 即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值．故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log a x b f x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）讨论()f x 的单调性，并证明．解：（1）解：由0x b x b +>-，故的定义域为()(,)b b -∞-⋃+∞． （2）()log ()()a x b f x f x x b-+-==---，故()f x 为奇函数． （3）证明：设12b x x <<，则121221()()()()log ()()ax b x b f x f x x b x b +--=+-， 12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-． 当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数；第6题当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个．【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根；③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根；④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根．其中，正确的结论有___________．分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a =-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >．求证：（1）0a >且12-<<-ab ； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换．证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b c a a =--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3b a-，也可利用根的分布来做．【反馈演练】。