11.1.2构成空间几何体的基本元素
教学目标
1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.
2.了解轨迹和图形的关系.
3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．
教学知识梳理
知识点一构成几何体的基本元素
1．定义：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．
2．构成空间几何体的基本元素：点、线、面．
3．从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体．
知识点二长方体
1．基本元素：长方体有12条棱，8个顶点，6个面．
2．面：围成长方体的各个矩形．
3．棱：相邻两个面的公共边．
4．顶点：棱和棱的公共点．
知识点三平面
1．特征：平面是处处平直的面，是无限延展的．
2．画法：通常画一个平行四边形表示一个平面．
3．命名：用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．
知识点四空间中直线、平面的位置关系
特殊位置关系的几个定义比较
位置关系定义图形及符号表示
平行线面
若直线和平面没有公共点，则说
直线和平面平行
AB∥平面α面面
若两个平面没有公共点，则说这
两个平面平行
平面α∥平面β
垂直线面
若一条直线和一个平面有交点，
且这条直线和平面内任何过交点
的直线都垂直，则说直线与平面l⊥平面α
垂直
面面若两个平面相交，并且其中一个
平面通过另一个平面的一条垂
线，则说这两个平面互相垂直平面α⊥平面β
距离点面
点到平面的垂线段的长度，称作
点到平面的距离
两平
面
夹在两平行平面间垂线段的长度
称作两平面间的距离
教学案例
题型一几何体的基本元素
例1试指出下图中组成各几何体的基本元素．
解(1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面．
(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面．
(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面．
反思感悟点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识．
跟踪训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的有________．(填序号)
①长方体的顶点一共有8个；
②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；
③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；
④长方体由六个平面围成．
【答案】①
题型二空间中点、线、面的位置关系的判定
例2如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延
展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：
(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？
(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？
解(1)有平面ADD′A′与平面ABCD.
(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.
(3)有平面ADD′A′.
(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.
(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．
反思感悟(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．
(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．
跟踪训练2下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是
________．(填序号)
①直线AA1与直线BB1平行；
②直线AA1与平面C1D1DC相交；
③直线AA1与平面ABCD垂直；
④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等．
【答案】①③④
【解析】①正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1∥BB1；
②不正确，由于AA1∥平面C1D1DC，所以直线AA1与平面C1D1DC没有交点；
③正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD；
④正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．
题型三几何体的表面展开图
例3把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形．
解画出的相应图形如图所示(答案不唯一)．
反思感悟多面体表面展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
跟踪训练3一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
【答案】60°
【解析】将平面图形翻折，折成空间图形，如图．由图可知AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形．所以∠ABC＝60°.
课堂小结
1．点、线、面是构成几何体的基本元素．
2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．
3．平面的记法
(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；
(2)用平面图形的顶点表示．
4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，
