第13章 动力学普遍定理(动量定理)

在运动过程中，系统所受外力对z轴之矩为零，故系统对z轴 的动量矩守恒。
H1 J
H 2JBm B rr
H1 H2
B

J
J
mr2
VB
2grr22
J(2Jm2r) (Jm2r)2
同理可得 C VC 2 gr
综合3：均质细杆AB的质量是M，长2L，放在铅直平面内，两端
动力学普遍定理的综合应用
质点系的动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和 动能定理统称为动力学普遍定理(general theorems of dynamics)。动力学普遍定理给出了描述质点系整体运 动特征的物理量(动量、动量矩和动能)与度量力对系统 的作用效应的物理量(力系的主矢和主矩、力的冲量和 力的功)之间的定量关系。动量定理(质心运动定理)和 动量矩定理为矢量形式，而动能定理为标量形式。
aC aO aCnO
O aO y
C mg
an CO
aCy aCnO2e2gC2e2
轮O受力如图
N x
Nm gmCaym(g12eC 22)
综合5：均质半圆盘的质量是m，半径是r，在水平面上作无滑动 的摆动。现把半圆盘由直径AB铅直时的位置无初速地释放，求 当直径水平时半圆盘的角速度，以及这时半圆盘对平面的正压力。
aC
B
C
a aA
an
τ AC AC
A

0

mg
解：绳切断后AB受力如图。 质心加速度铅直向下，AB杆的角
加速度为。
以C为基点，研究A的加速度为 aA aACaC
投影到铅直向下方向
0aACcosaC
N
aC
2 l
4
aC
aC

o
A
从而摩擦力为
F = fN C = f ( P sin 45o − mg cos 30o )
代入(1)式 代入 式，求得所需时间为
t=
mv P cos 45o − mg sin 30o − f ( P sin 45o − mg cos 30o ) = 0.0941 s
11.2 动量定理
11.2.2 质点系的动量定理
如果作用于质点系的外力的主矢恒等于零，质点系的 动量保持不变。 p＝p0 ＝恒矢量 如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标轴上的投影 恒等于零，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不 变。 若 ∑ Fx (e) = 0 ，则 px＝p0x ＝恒量
例6 如图所示，已知小车重为2 kN，沙箱重1 kN，二者以速度v0＝3.5 m/s 运动。此时有一重为0.5 kN的铅球垂直落入沙中后，测得箱在车上滑动 0.2 s，不计车与地面摩擦，求箱与车之间的摩擦力。 解：研究系统，建立坐标系。
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的 动量为mivi ，作用在该质点上的外力与内力的合力 r (i) r (e) 为Fi 与 i ，由质点的动量定理有 F r (e) r (i) r d (mi vi ) = Fi + Fi (i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n) dt 将n个方程相加，即得 r (e) r (i) r d ∑ ( mv ) = ∑ F + ∑ F dt 改变求和与求导次序，则得 r (e) r (i) r d (∑ mv ) = ∑ F + ∑ F dt
建立如图直角坐标系， 建立如图直角坐标系，则动量的投影为
r m2 vB r 2m1vC B C r m1vC1 C
O
y
C∗
ωt

动力学第十三章达朗伯原理达朗伯原理是一种解决非自由质点和质点系动力学问题的普遍方法。

这种方法是用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题，因此又称为动静法。

本章介绍达朗伯原理和定轴转动刚体的轴承动反力，以及静平衡和动平衡的概念。

第一节达朗伯原理一、质点惯性力的概念当质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由于质点本身的惯性，对施力物体产生反作用力，这种反作用力称为质点的惯性力。

惯性力的大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，但作用于施力物体上。

若用F I表示惯性力，则。

例如，工人沿光滑的水平直线轨道推动质量为m的小车，作用力为F，小车在力的方向上产生加速度a，有。

根据作用反作用定律，此时工人手上必受到小车的反作用力F I，此力是由于小车具有惯性，力图保持其原来的运动状态，对手进行反抗而产生的，即小车的惯性力，有。

二、质点的达朗伯原理设质量为m的质点M，受主动力F和约束反力F N的作用，沿曲线运动，产生加速度a，如图13-1所示。

根据牛顿第二定律，有此时质点由于运动状态发生改变，它的惯性力为将以上两式相加，得(13-1)上式表明：任一瞬时，作用于质点上的主动力、约束反力和虚加在质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。

这就是质点的达朗伯原理。

图13-1必须指出：由于质点的惯性力并不作用于质点本身，而是假想地虚加在质点上的，质点实际上也并不平衡。

式(13-1)反映了力与运动的关系，实质上仍然是动力学问题，但它提供了将动力学问题转化为静力学平衡问题的研究方法。

这种方法对求解质点的动力学问题并未带来明显的方便，但在研究方法上显然是个新的突破，而且，它对求解非自由质点系的动力学问题是十分有益的。

三、质点系的达朗伯原理设有n个质点组成的非自由质点系，取其中任意一质量为m i的质点M i，在该质点上作用有主动力F i，约束反力F Ni，其加速度为a i。

根据质点的达朗伯原理，如在质点M i上假想地加上惯性力，则F i、F Ni和F Ii构成一平衡力系，有对质点系的每个质点都作这样的处理，则作用于整个质点系的主动力系、约束力系和惯性力系组成一空间力系，此时力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩都等于零，即(13-2)上式表明：任一瞬时，作用于质点系上的主动力系、约束力系和虚加在质点系上惯性力系在形式上构成一平衡力系。

高中物理动量定理教案导语：动量定理动力学的普遍定理之一。

内容为物体动量的增量等于它所受合外力的冲量即Ft=Δvm，或所有外力的冲量的矢量和。

以下是整理的高中物理动量定理教案，欢迎阅读参考。

高中物理动量定理教案一、动量运动的物体能够产生一定的机械效果(如弹丸穿透纸靶)，这个效果的强弱取决于物体的质量和速度两个因素，这个效果只能发生在物体运动的方向上。

物理学家们为了描述运动物体的这一特性，引入动量概念。

1、动量：我们把物体的质量和速度的乘积叫做动量。

①定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量用符号p表示，即p=mv②动量是描述物体处于某一运动状态时的物理量，当运动状态一定时，物体的动量也就确定了，所以动量是一个状态量③动量是一个矢量，动量的方向和速度方向相同④动量的单位是千克米/秒(kgm/s)⑤冲量的单位Ns与动量的单位kgm/s是相同的⑥动量在变化，包括几种情况，举例说明.2、动量变化△p.定义：若运动物体在某一过程的始、末动量分别为P和P’，则称：△P=P’-P为物体在该过程中的动量变化. P △P 动量变化△P是矢量，其运算法则为：将表示初始动量的箭尾和表示末动量的箭头共点放置，则：自初始动量中的箭头指向末了动量P’的箭尾的有向线段，即为矢量△p.如P' 图所示. 如果始、末动量都在同一直线上或相互平行，则在该直线上选定一个正方向后，就可以将矢量运算转换成代数运算了。

例1一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度水平向右运动，碰到一块坚硬的大理石后被弹回，沿着同一直线以2 m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化?变化了多少?例2质量为0.5kg的物体以4m/s的速率做匀速圆周运动，则：a：物体的动量是否保持不变?b：物体在半周期内的动量变化是多大?方向如何?一个周期内的动量变化是多大?c：1/4周期内的动量变化是多大?2三、巩固练习：1.对于力的冲量的说法，正确的是：( )A.力越大，力的冲量就越大B.作用在物体上的力大，力的冲量也不一定大C.F1与其作用时间t1的乘积F1t1的大小，等于F2与其作用时间t2的乘积F2t2的大小，则这两个冲量相同D.静置于水平地面上的桌子受到水平推力F的作用，经时间t始终处于静止状态，则此推力的冲量为零2.质量m为3kg的小球，以2m/s的速率绕其圆心O做匀速圆周运动，小球从A转到B过程中动量的变化为多少?从A转到C的过程中，动量变化又为多少?第二节动量定理【新课新入】引入：鸡蛋从一米多高的地方落到泡沫垫上，鸡蛋却没有打破，为什么呢?本节课我们就来学习这方面的知识.【新课教学】一、动量定理问题：一个质量为m的物体，初速度为v，在合力F的作用下，经过一段时间t，速度变为v′，求：①物体的初动量p和末动量p′分别为多少?②物体的加速度a=?③据牛顿第二定律F=ma可推导得到一个什么表达式?1.动量定理：物体所受合力的冲量等于物体动量的改变量，这个结论叫做动量定理。