双曲线的定义及其标准方程(1)

高二数学科学案（ 双曲线标准方程1）

授课时间 周星期 授课班级 授课教师 方法、技巧、规律 （3）在双曲线中a,b,c之间的关系为_____________a,b,c丧者的大小关系为________

(4)在双曲线的标准方程中，根据__________确定其焦点在哪个坐标轴上。

三 应用

1 认识双曲线标准方程

例1：请判断下列方程哪些表示双曲线？若是，请求出 a、b、c和它的焦点坐标。

（1）22132xy （2）22144xy

（3）22169144xy （4）22431xy

（5）22221(0)1xymmm

练习（1）、若”133“”3“,22表示双曲线方程是则kykxkRk的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（2）已知11122kykx表示双曲线，则k的取值范围____________。

探究;．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．

课题 双曲线定义及其标准方程

学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．

2.掌握双曲线的标准方程．

重点 双曲线定义及其标准方程

难点 双曲线的标准方程推导方法

学习过程 一．知识回顾

1：A、椭圆的定义：在平面内到_________ 的______等于_______（ ）的点的轨迹叫椭圆.

B、椭圆的标准方程：

焦点在x轴上： 焦点在y轴上：

2：在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c写出符合条件的椭圆方程．

问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？

问题2:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差的绝对值”，那么点的轨迹又会怎样？

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

一.情境设置

(1)复习提问：(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题 1：椭圆的定义是什么？ 问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆改在双曲线呢？

(2)探究新知:

1.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系(2) 设点（3）列式（4）化简方程

学生得到: 双曲线的标准方程:

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：12222byax(0a,0b)；

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：12222bxay(0a,0b)

②cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba

其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

(2).焦点的位置判断:

三.数学应用

例1已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到21FF，的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

例2求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）3,4,abx焦点在轴上；（2）25,25aAy经过点（，），焦点在轴上；

四.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是)0,0(12222babyax焦点在x轴上，)0,0(12222babxay焦点在y轴上,cba,,有关系式222bac成立，且0,0,0cba 其中a与b的大小关系:可以为bababa,,

双曲线的定义及其标准方程

双曲线是一个平面曲线，其形状类似于两个向外开口的抛物线。它的定义是：点F（称为焦点）到平面上任意一点P的距离与点P到一条直线L（称为准线）的距离之差为定值e（称为离心率）的点P的轨迹。双曲线的离心率e大于1。

双曲线的标准方程是：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

其中，a是双曲线的横轴长度的一半，b是双曲线的纵轴长度的一半。焦点到准线的距离为c，有以下关系式：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

双曲线有两条渐近线，分别是直线y=±b/a×x。双曲线的形状和位置可以通过a、b和c的值来确定。当a>b时，双曲线开口方向沿着横轴；当b>a时，双曲线开口方向沿着纵轴。

双曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。在数学中，双曲线是一种基本的曲线形式，被广泛用于微积分、代数和几何学中；在物理学中，双曲线的形状出现在许多问题中，如天体力学和电磁学中的场线。

2.3.1双曲线的定义及其标准方程

目的：1、掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义。2、能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，并能熟练的写出两类标准方程。3、能解决较简单的求双曲线标准方程的问题。

重点：双曲线的定义和标准方程。

难点：双曲线标准方程的推导。

教学过程：

一、复习：1、演示椭圆轨迹的形成过程，复习椭圆的定义、焦点、焦距、标准方程的推导、两类形式。2、椭圆标准方程中，字母a,b,c的关系如何？为什么令a2-c2=b2?

二、新课讲解

1、双曲线的定义：

① 设问：与两个定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？常数是0呢？

② 绘图：两条曲线合起来叫做双曲线，每一支叫做双曲线的一支。其中右边一支满足|MF1|>|MF2|,左边一支|MF2|〉|MF1|

③ 定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距

▲ 若常数为0，则M点的轨迹是线段垂直平分线;若常数为|F1F2|,则M点的轨迹是直线F1F2上除去线段F1F2中间部分的以F1,F2为端点的两条射线；若常数大于|F1F2|，则M点的轨迹不存在。

2、双曲线标准方程的推导

现引导回忆求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤推导双曲线的标准方程

第一步：建立坐标系

第二步：根据定义写出M点的轨迹构成的点集

第三步：列出方程，即：(x+c)2+y2 -(x-c)2+y2 =±2a

第四步：化方程f(x,y)=0为最简形式。

得出双曲线的标准方程：x2a2 -y2b2 =1(a>0,b>0)

▲强调：表示双曲线焦点在x轴上，其中c2=a2+b2,类似的得到焦点在y轴上的双曲线标准方程：y2a2 -x2b2 =1，焦点F1(0,c)F2(0,-c) ，其中c2=a2+b2

3：简单应用

例1、已知双曲线两个焦点的坐标为F1（-5，0）,F2（5，0）双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。