双曲线的定义及标准方程

双曲线知识点一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：1 双曲线定义：(1) 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 注意：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.(2).第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）. 222a c b -=，|1F 2F |=2c..3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二．双曲线的内外部：(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.三．双曲线的简单几何性质22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R;⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称;⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0）; ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x ab y ±= ②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）M 2M 1PK 2K 1A 1A 2F 2F 1oyx④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑤ 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x四．双曲线)0,(12222>=-b a b y a x 与 )0,(12222>=-b a bx a y 的区别和联系标准方程 )0,(12222>=-b a b y a x )0,(12222>=-b a b x a y性质焦点 )0,(),0,(c c -，),0(),,0(c c -焦距 c 2范围 R y a x ∈≥,||R x a y ∈≥,||顶点 )0,(),0,(a a -),0(),,0(a a -对称性关于x 轴、y 轴和原点对称五.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则()22221212121141||AB k x x k x x x x k a ∆=+-=++-=+，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则()21212122211114AB y y y y y y k k=+-=++-。

双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0；(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线．(2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线．(3)当a >c 时，P 点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)1．方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示的曲线(1)当m >0，n >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线．(2)当m <0，n <0时，则表示焦点在y 轴上的双曲线．2．方程的常见设法(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线的方程为y ＝±b a x ，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .2．若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .4．若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.5．若P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2内切圆的圆心，则圆心I 的横坐标为定值a .6．等轴双曲线(1)定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．(2)性质：①a ＝b ；②e ＝2；③渐近线互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．7．共轭双曲线(1)定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．(2)性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1.1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．()(2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．()(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(（4）．双曲线x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是m （5）．若双曲线x )x ±ny ＝0.( )2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 222．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( )()A ．2B ．22C ．4D ．423．(2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.454．(教材改编)过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是()A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．825．已知双曲线E ：x 216－y 2m 2＝1的离心率为54，则双曲线E 的焦距为__________．双曲线的定义的应用例题：（1）已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是()A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为()A.x 22－y 216＝1(x ≤－2) B.x 22－y 214＝1(x ≥2)C.x 22－y 216＝1 D.x 22－y 214＝1（3）已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______________(4)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝__________.(5)已知F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为()A ．1B ．52C ．2D ．5(6)．(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上，若△AF 1F 2的周长为10a ，则△AF 1F 2的面积为()A ．215a 2B ．15a 2C ．30a 2D ．15a 2(8)P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为()A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1(9)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|－|P1P2|的最小值是()A．4B．6C．8D．16(10)双曲线C的渐近线方程为y＝±233x，一个焦点为F(0，－7)，点A的坐标为(2，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△P AF周长的最小值为()A．8B．10C．4＋37D．3＋317双曲线的标准方程求双曲线标准方程的方法:(1)定义法(2)待定系数法①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)；②与双曲线x2a2－y2b2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；③与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2＜k＜a2)．例题：（1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；(3)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．(2)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为(－3,0)，且C 的离心率为32，则双曲线C 的方程为()A.y 24－x 25＝1 B.y 25－x 24＝1 C.x 24－y 25＝1 D.x 25－y 24＝1(3)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是()A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1（4）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为()A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1（5）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是()A ．x12－y 2＝1B ．x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D ．x 223－y 232＝1（6）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为()A ．x 24－y 212＝1B ．x 212－y 24＝1C ．x 23－y 29＝1D ．x 29－y 23＝1(7)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在双曲线的右支上，点N 为F 2M 的中点，O 为坐标原点，|ON |－|NF 2|＝2b ，∠ONF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为23，则该双曲线的方程为__________．双曲线的几何性质求双曲线的渐近线方程例：（1）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±12xD ．y ＝±2x（2）已知双曲线T 的焦点在x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形．若点A 在x 轴上，点B ，C 在双曲线T 上，且双曲线T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线T 的渐近线方程为()A ．y ＝±153xB ．y ＝±53xC ．y ＝±33x D ．y ＝±55x (3)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝12的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±3xB ．y ＝±33x C ．y ＝±22x D ．y ＝±2x(4)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形F 1NF 2M 的周长为p ，面积为S ，且满足32S ＝p 2，则该双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±32x B ．y ＝±233xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x求双曲线的离心率(范围)例：(1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为()A.72B.132C.7D.13（2）．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为__________．(3)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点P ，Q ，若|PQ |＝2|QF |，∠PQF ＝60°，则该双曲线的离心率为()A ．3B ．1＋3C ．2＋3D ．4＋23(4)(2020·全国卷Ⅲ)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝()A ．1B ．2C ．4D ．8(5)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是()A ．(2，5)B.⎪⎭⎫⎝⎛2535，C.⎪⎭⎫⎝⎛2545，D ．(5，2＋1)双曲线几何性质的综合应用例：（1）已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是()A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3333， B.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-6363，C.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322322， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332332，逻辑推理(2020·新高考卷Ⅰ)(多选)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.()A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0，n >0，则C 是两条直线直线与双曲线的位置关系例题：若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，求k 的值．双曲线课后练习1．方程x2m＋2＋y2m－3＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A．－3＜m＜0B．－1＜m＜3C．－3＜m＜4D．－2＜m＜3 2．在平面直角坐标系中，已知双曲线C与双曲线x2－y23＝1有公共的渐近线，且经过点P(－2，3)，则双曲线C的焦距为()A.3B．23C．33D．433.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，|PF1|＝6，则|PF2|为()A．13B．14C．15D．224．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则C的渐近线方程为()A．y＝±13x B．y＝±33x C．y＝±3x D．y＝±3x5．若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右顶点A到一条渐近线的距离为223a，则双曲线的离心率为()A．223B．13C．3D．226．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_____________7．已知双曲线x24－y25＝1的左焦点为F，点P为其右支上任意一点，点M的坐标为(1,3)，则△PMF周长的最小值为()A．5＋10B．10＋10C．5＋13D．9＋138．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB 的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A．12B．1C．2D．49.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|.若cos ∠F 1PF 2＝14，则该双曲线的离心率等于()A.22 B.52C ．2 D.3＋110．(2020·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．3211．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，△F 2AB 是以A 为直角顶点的直角三角形，且∠AF 2B ＝30°，若该双曲线的离心率为e ，则e 2＝()A ．11＋43B ．13＋53C ．16－63D ．19－10312．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M ，且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为()A.52 B.5C.2D ．213．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长为8，右焦点为F ，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF ，O 为坐标原点，若S △OMF ＝6，则双曲线C 的离心率为)______________14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝120°，则双曲线的渐近线方程为__________；若双曲线C 的实轴长为4，则△F 1PF 2的面积为__________．15．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于_____________16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线分别交双曲线的左、右两支于M ，N .若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，且|MF 2|＝|NF 2|，则双曲线的离心率为____________.17．已知点P (1，3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线上，F 为双曲线C 的右焦点，O 为原点．若∠FPO ＝90°，则双曲线C 的方程为_____________，其离心率为__________.18．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．19．(2021·山东淄博二模)已知动点P 在双曲线C ：x 2－y 23＝1上，双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，下列结论错误的是()A ．C 的离心率为2B ．C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，|PF 1||PF 2|2的最大值为14。

双曲线及其标准方程一、要点精讲1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.说明：⑴在双曲线定义中，如果常数212F F a =，则轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线；如果212F F a >，则轨迹不存在； 如果02=a ，则轨迹为线段21F F 的垂直平分线． ⑵双曲线的定义中，“差的绝对值”和“小于21F F ”都十分重要，不可忽视．如果没有“绝对值”，则动点的轨迹只能是双曲线的一支；若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则a MF MF 221=-表示双曲线的右支，a MF MF 221-=-表示双曲线的左支．2．双曲线的标准方程二、课前热身1．已知定点()0,21-F ，()0,22F ，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中为双曲线的是（ ）(A) 321±=-PF PF (B) 421±=-PF PF (C) 521±=-PF PF (D) 42221±=-PF PF(A) 4 (B) 2 (C) 8 (D) 162. 设θ是第三象限角，方程θθcos sin 22=+y x 表示（ ）(A)焦点在x 轴上的椭圆 (B) 焦点在y 轴上的椭圆 (C)焦点在x 轴上的双曲线 (D) 焦点在y 轴上的双曲线3. 已知双曲线的焦距为26，且13252=c a ，则双曲线的标准方程是 (A)11692522=-y x (B) 11692522=-x y (C) 11442522=-y x (D) 11442522=-y x 或11442522=-x y 4．已知双曲线116922=-y x 上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为 ．5. 已知两点()0,51-F ，()0,52F ，动点P 满足621=-PF PF ，求动点P 的轨迹方程．6．求以椭圆192522=+y x 长轴端点作焦点，且过点()3,24的双曲线方程．三、典例精析题型一：双曲线的定义及应用1. 1F 、2F 是双曲线1922=-my x 的左、右焦点，AB 是过1F 的一条弦（A 、B 均在双曲线的左支上），若2ABF ∆的周长为30，则弦长|AB|＝ ．2. 双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦点为1F 、2F ，弦AB 过1F 且在双曲线的同一支上，若AB BF AF 222=+，则2ABF ∆的周长为（ ）。

双曲线定义、标准方程一. 教学内容：双曲线定义、标准方程（一）双曲线的定义1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。

（1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|（2）定义重点：①绝对值②小于|F1F2|若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。

（二）双曲线的标准方程（1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简图象特征：［注意］1. 位于标准位置，才能有标准方程；3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。

4. 记住a、b、c的关系：一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。

理解：①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。

③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

（几何意义）2. 焦半径及焦半径公式定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。

（4）等轴双曲线：渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）【典型例题】例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。

解：6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。

因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。

设爆炸点P的坐标为（x，y），则小结：远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。

双曲线及其标准方程自主预习·探新知情景引入通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？ 新知导学 1．双曲线的定义(1)在平面内到两个定点F 1、F 2距离之__差__的绝对值等于定值2a (大于0且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点__，两焦点之间的距离叫做双曲线的__焦距__.(2)定义中为何强调“绝对值”和“0<2a <|F 1F 2|”．①在双曲线的定义中，条件0<2a <|F 1F 2|不应忽视，若2a ＝|F 1F 2|，则动点的轨迹是__两条射线__；若2a >|F 1F 2|，则动点的轨迹是__不存在__.②双曲线定义中应注意关键词“__绝对值__”，若去掉定义中“__绝对值__”三个字，动点轨迹只能是__双曲线的一支__. 2．双曲线方程焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为__x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)__，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为__y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)__.其中在双曲线的标准方程中a 、b 、c 的关系为__a 2＋b 2＝c 2__. 3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系1．双曲线x 2－y 23＝1的焦点坐标是( B ) A ．(0，±2) B ．(±2,0) C ．(0，±2)D ．(±2，0)2．已知两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中，是双曲线的是( A )A ．||PF 1|－|PF 2||＝5B ．||PF 1|－|PF 2||＝6C ．||PF 1|－|PF 2||＝7D ．||PF 1|－|PF 2||＝0[解析] A 中，∵|F 1F 2|＝6，∴||PF 1|－|PF 2||＝5<|F 1F 2|，故动点p 的轨迹是双曲线；B 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝6＝|F 1F 2|，∴动点P 的轨迹是以F 1或F 2为端点的射线(含端点)；C 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝7>|F 1F 2|，∴动点P 的轨迹不存在；D 中，∵||PF 1|－|PF 2||＝0，即|PF 1|＝|PF 2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线，故选A ． 3．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( D )A ．32B ．42C ．33D ．43[解析] c ＝a 2＋b 2＝12＝23，焦距2c ＝4 3.4．(2019－2020学年辽宁葫芦岛协作校考试)若方程x 2m ＋3＋y 24－m ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是__(4，＋∞)__.[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞04－m ＜0，解得m ＞4.故答案为(4，＋∞)．5．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝__－8__.[解析] 双曲线方程为x 216－y 216＝1，∴a ＝4，∴||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝8， 又∵P 在左支上，F 1为左焦点， ∴|PF 1|－|PF 2|＝－8.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 双曲线的定义典例1 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[思路分析] 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解．[规范解答] 设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)、C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∴22<|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x 22－y 214＝1(x ≥2)．『规律总结』 1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． ┃┃跟踪练习1__■(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)双曲线x 24－y 212＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，点在P双曲线上，若|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( B ) A ．1 B ．9 C ．1或9D ．7[解析] 双曲线x 24－y 212＝1的a ＝2，b ＝23，c ＝4＋12＝4，点在P 双曲线的右支上，可得|PF 1|≥a ＋c ＝6，点在P 双曲线的左支上，可得|PF 1|≥c －a ＝2，由|PF 1|＝5可得P 在双曲线的左支上， 可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝4， 即有|PF 2|＝5＋4＝9.故选B ． 命题方向❷ 双曲线的标准方程典例2 若θ为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝15，则曲线x 2sin θ＋y 2cos θ＝1是( A )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆[规范解答] ∵sin θ＋cos θ＝15，∴sin θcos θ＝－1225<0，又θ为三角形的一个内角，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin θ>0，cos θ<0，故选A ． ┃┃跟踪练习2__■已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( A ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3)D ．(0，3)[解析] 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，可得m 2＝1，所以－1<n <3. 命题方向❸ 待定系数法求双曲线的标准方程 典例3 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)、(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． [思路分析] (1)依据双曲线的定义直接由条件求出 a 、c ，再求b .(2)∵焦点在x 轴上，故可设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，代入点的坐标，解方程组求出a 2、b 2，也可以直接设方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B <0)． [规范解答] (1)由已知得，c ＝5,2a ＝8，即a ＝4. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9. ∵焦点在x 轴上，∴所求的双曲线标准方程是x 216－y 29＝1.(2)设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝124m ＋8n ＝1，∴⎩⎨⎧m ＝18n ＝－14，∴双曲线方程为x 28－y 24＝1.『规律总结』 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论； (2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． ┃┃跟踪练习3__■根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(2)过点P (3，154)，Q (－163，5)且焦点在坐标轴上．[解析] (1)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝a 2＋b 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(2)已知双曲线经过两个已知点，因焦点位置不确定，需分类讨论求解，或设出一般方程求解． (1)解法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20，① ∵双曲线经过点(32，2)， ∴18a 2－4b2＝1.② 由①②得a 2＝12，b 2＝8， ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.解法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.(2)解法一：当焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧ 9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，此方程无解．当焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.解法二：设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n ＝1，mn <0.∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.命题方向❹ 焦点三角形问题典例4 设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点P 在双曲线右支上．(1)若∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积；(2)若∠F 1PF 2＝60°时，△F 1PF 2的面积是多少？若∠F 1PF 2＝120°时，△F 1PF 2的面积又是多少？[思路分析] 由于三角形面积S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ，所以只要求出|PF 1|·|PF 2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|. [规范解答] (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，如图所示．由双曲线定义，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16.∵∠F 1PF 2＝90°，∴r 21＋r 22＝4c 2＝4×(13)2＝52. ∴2r 1r 2＝52－16＝36， ∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2＝9.(2)若∠F 1PF 2＝60°，在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos60°＝(r 1－r 2)2＋r 1r 2，而r 1－r 2＝4，|F 1F 2|＝213，∴r 1r 2＝36. 于是S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin60°＝12×36×32＝9 3.同理可求得若∠F 1PF 2＝120°时，S △F 1PF 2＝3 3. 『规律总结』 双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有 (1)定义：|r 1－r 2|＝2a .(2)余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ(3)面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，求问题就会顺利解决． ┃┃跟踪练习4__■设P 为双曲线x 216－y 29＝1上一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为__93__.[解析] 由双曲线x 216－y 29＝1知：a ＝4，b ＝3，故c ＝16＋9＝5，所以|F 1F 2|＝2c ＝10.又由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝8，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝64，① 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°，即|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|＝100，② ①－②，得|PF 1||PF 2|＝36，所以S △PF 1F 2＝12 |PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×36×32＝9 3.故填9 3. 命题方向❺ 双曲线的实际应用典例5 相距2 000 m 的两个哨所A 、B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时间迟4 s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．[思路分析] 爆炸点与哨所A 、B 的“距离差”等于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”，且爆炸点距B 哨所较近． [规范解答] 设爆炸点为P ，由已知可得 |P A |－|PB |＝330×4＝1 320>0.因为|AB |＝2 000>1 320，所以点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上． 建立如图平面直角坐标系，使A 、B 两点在x 轴上，线段AB 的中点为坐标原点．由2a ＝1 320,2c ＝2 000得，a ＝660，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝564 400. 因此，点P 所在曲线的方程是 x 2435 600－y 2564 400＝1(x >0)．『规律总结』 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． ┃┃跟踪练习5__■A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 正北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此经过4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，则炮击的方向角是__北__(南、北)偏__东__(东、西)__30__度．[解析] 如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B (－3,0)、A (3,0)、C (－5,23)．因为|PB |＝|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上． 因为k BC ＝－3，BC 中点D (－4，3)，所以直线PD ：y －3＝13(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上． 设P (x ，y )，则双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥0)②联立①、②式，得x ＝8，y ＝53，所以P (8,53)． 因此k P A ＝538－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.故答案为：北；东；30. 学科核心素养 双曲线的其他形式 (1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)． 典例6 下列各选项中，与x 212－y 224＝1共焦点的双曲线是( C )A ．x 212＋y 214＝1B ．y 224－x 212＝1C ．x 210－y 226＝1D ．x 210＋y 226＝1[规范解答] 方法一：因为所求曲线为双曲线，所以可排除选项A ，D ；又双曲线x 212－y 224＝1的焦点在x 轴上，所以排除选项B ．方法二：与x 212－y 224＝1共焦点的双曲线系方程为x 212＋λ－y 224－λ＝1，对比四个选项中的曲线方程，发现只有选项C 中的方程符合条件(此时λ＝－2)．故选C ． ┃┃跟踪练习6__■与双曲线x 264－y 236＝1有相同焦点，且过点⎝⎛⎭⎫10，4153的双曲线方程为__x 260－y 240＝1__. [解析] 设所求双曲线的方程为x 264＋λ－y 236－λ＝1(－64<λ<36)．将x ＝10，y ＝4153代入方程，得10064＋λ－803(36－λ)＝1，解得λ＝－4或λ＝3083(舍去)．故所求双曲线的方程为x 260－y 240＝1.易混易错警示典例7 已知双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，求k 的值．[错解] 将双曲线方程化为标准方程x 21k －y 28k ＝1.因为焦点在y 轴上，所以a 2＝8k ，b 2＝1k ，所以c ＝a 2－b 2＝8k －1k ＝3，即7k ＝9，所以k ＝79. [辨析] 上述解法有两处错误：一是a 2、b 2确定错误，应该是a 2＝－8k ，b 2＝－1k ；二是a 、b 、c 的关系式用错了．在双曲线中应为c 2＝a 2＋b 2. [正解] 将双曲线方程化为kx 2－k 8y 2＝1，即x 21k －y 28k＝1.因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝3，a 2＝－8k ，b 2＝－1k ，所以a 2＋b 2＝－8k －1k ＝－9k＝c 2＝9.所以k ＝－1.课堂达标·固基础1．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是( B )A ．12B ．1C ．1或－2D ．1或12[解析] 由题意得4－a 2＝a ＋2， ∴a 2＋a －2＝0， ∴a ＝1或－2(舍去) 故选B ．2．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点(a >0)，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是( D ) A ．x 22－y 23＝1B ．x 23－y 22＝1C ．x 2－y 24＝1 D ．x 24－y 2＝1[解析] 由题意知c ＝5， ∵PF 1⊥PF 2，∴在△ABC 中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 又|PF 1|·|PF 2|＝2， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， ∴a 2＝4， ∴b 2＝1.∴方程为x 24－y 2＝1.故选D ．3．(2019－2020福州一中学段模考)已知双曲线x 216－y 220＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，且PF 2的中点M 在以O 为圆心OF 1为半径的圆上，则|PF 2|＝( C ) A ．12 B ．9 C ．4D ．2[解析] 如图，连接F 1M 、F 1P ，由圆的性质可得F 1M ⊥F 2P ，又M 为PF 2的中点， 所以|F 1P |＝|F 1F 2|＝216＋20＝12，则|PF 2|＝|F 1P |－8＝4.故选C ．4．(2020·浙江湖州期末调研)双曲线C ：x 22－y 2＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝__22__. 5．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)c ＝6，经过点(－5,2)，且焦点在x 轴上；(2)已知双曲线两个焦点的坐标为F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6.[解析] (1)因为c ＝6，且焦点在x 轴上，故可设标准方程为x 2a 2－y 26－a 2＝1(a 2<6)． 因为双曲线经过点(－5,2)，所以25a 2－46－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.(2)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为2a ＝6,2c ＝10，所以a ＝3，c ＝5. 所以b 2＝52－32＝16.所以所求双曲线标准方程为y 29－x 216＝1.课时作业·练素能 A 级 基础巩固一、选择题1．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是( C )A ．16B ．4C ．8D ．22m 2－82．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是( D )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线[解析] 方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm>0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线．3．(2019－2020学年房山区期末检测)已知双曲线x 264－y 236＝1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点．若点P 到F 1的距离为15，则点P 到F 2的距离是( A ) A ．31 B ．1 C ．－1D ．－1或31[解析] 双曲线x 264－y 236＝1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点．所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝16，若点P 到F 1的距离为|PF 1|＝15， ∴|15－|PF 2||＝16，解得|PF 2|＝31或|PF 2|＝－1(舍去)，所以点P 到F 2的距离是31.故选A ．4．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( C )A ．k <－3B ．k >－2C ．－3<k <－2D ．k <－3或k >－2[思路分析] 由于方程表示焦点在x 轴上的双曲线，故k ＋3>0，k ＋2<0.[解析] 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0k ＋2<0，解得－3<k <－2.5．△ABC 中，A (－5,0)、B (5,0)，点C 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin A －sin B sin C ＝( D )A ．35B ．±35C ．－45D ．±45[解析] 在△ABC 中，sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R ＝102R. ∴sin A －sin B sin C ＝|BC |－|AC |2R 102R ＝|BC |－|AC |10.又∵|BC |－|AC |＝±8， ∴sin A －sin B sin C ＝±810＝±45.6．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( D ) A ．16 B ．18 C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 二、填空题7．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5，6)，则双曲线的标准方程为__y 216－x 220＝1__.[解析] 解法一：由已知得，c ＝6，且焦点在y 轴上，则另一焦点坐标是(0,6)． 因为点A (－5,6)在双曲线上，所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a ，即 2a ＝|(－5)2＋(6＋6)2－(－5)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20.因此，所求的双曲线标准方程是y 216－x 220＝1.解法二：由焦点坐标知c ＝6，∴a 2＋b 2＝36， ∴双曲线方程为y 2a 2－x 236－a 2＝1.∵双曲线过点A (－5,6)，∴36a 2－2536－a 2＝1，∴a 2＝16，b 2＝20. 双曲线方程为y 216－x 220＝1.8．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为__y 24－x 25＝1__.[解析] 椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，且c＝3，a 2＋b 2＝9.由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)，由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a 2－15b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1.三、解答题9．已知双曲线经过两点M (1,1)、N (－2,5)，求双曲线的标准方程．[解析] 设所求双曲线的标准方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，将点M (1,1)、N (－2,5)代入上述方程，得到⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝14m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.10．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线左支，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝c 2－a 2＝914.∴双曲线方程为4x 29－4y 291＝1(x ≤－32)．B 级 素养提升一、选择题1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)为定点，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，当a ＝3和a ＝5时，P 点的轨迹分别为( D ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线的一支和一条直线 C ．双曲线和一条射线 D ．双曲线的一支和一条射线 [解析] |F 1F 2|＝(－8－2)2＋(3－3)2＝10a ＝3时，|PF 1|－|PF 2|＝6<10 ∴P 点轨迹为靠近F 2的双曲线一支 a ＝5时，|PF 1|－|PF 2|＝10＝|F 1F 2| ∴P 点轨迹为靠近F 2的一条射线．2．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 的值为( C )A ．k ＝3B ．k ＝4C ．k ＝2D ．k ＝1[解析] 双曲线x 2k －y 23＝1的焦点(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标(±9－k 2，0)，椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得：3＋k ＝9－k 2，k ＞0，解得k ＝2.故选C ．3．(多选题)已知方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围可以是( BC )A ．m ＜2B ．m ＜－2C ．m ＞－1D ．1＜m ＜2[解析] ∵x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，∴(2＋m )(m ＋1)＞0，解得m ＜－2或m ＞－1. ∴m 的取值范围是m ＜－2或m ＞－1.故选BC ．4．(多选题)关于x ，y 的方程x 2m 2＋2＋y 23m 2－2＝1(其中m 2≠23，m 2≠2)，对应的曲线可能是( ABC )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线[解析] 由题，若m 2＋2>3m 2－2>0，解得－2<m <－63或2>m >63，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－63∪⎝⎛⎭⎫63，2时，曲线是焦点在x 轴上的椭圆，A 正确；若3m 2－2>m 2＋2，解得m <－2或m >2，此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆，B 正确；若3m 2－2<0，解得－63<m <63，此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线，C 正确；因为m 2＋2<0时，m 无实数解，所以D 错误．故选ABC ． 二、填空题5．设F 1、F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于__24__.[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24. 6．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，若焦点在x 轴上，那么m ＝__7__，若焦点在y 轴上，那么m ＝__－2__.[解析] 当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2. 三、解答题7．已知双曲线的焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线5x －2y ＋20 ＝0上，两焦点关于原点对称，且c a ＝53，求双曲线的方程．[解析] 易得直线5x －2y ＋20＝0与两坐标轴交点为(－4，0)和(0,10)． 若(－4,0)为焦点，则c ＝4，而c a ＝53，所以a ＝125，b 2＝16－14425＝25625.故双曲线的方程为25x 2144－25y 2256＝1.若(0,10)为焦点，则c ＝10，故a ＝6，b 2＝100－36＝64. 故双曲线的方程为y 236－x 264＝1.综上，双曲线的方程为25x 2144－25y 2256＝1或y 236－x 264＝1.8．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时顶点A 的轨迹，并画出图形． [解析] ∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1，即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2.∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ′＝12c ′＝2b ′2＝c ′2－a ′2，∴⎩⎨⎧a ′＝12b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1.由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点⎝⎛⎭⎫12，0如图所示．。

双曲线及其标准方程知识要点：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程[基础自测]1．思考辨析(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系与椭圆中a，b，c之间的关系相同．()(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．()(3)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.()【答案】(1)×(2)×(3)×2．双曲线x210－y22＝1的焦距为()A．3 2 B．42C．33D．4 3【答案】D【解析】[c2＝10＋2＝12，所以c＝23，从而焦距为4 3.] 3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0【答案】C 【解析】[b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，故选C ．] 题型1、双曲线的定义及应用若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离．(2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． [思路探究] (1)直接利用定义求解．(2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|.【解析】 (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6.解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22. (2)由x 29－y 216＝1， 得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.◎类题训练(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4【答案】A 【解析】[|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A.]◎类题训练(2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________.【答案】9 【解析】[由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9.] 题型2、求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a ＝4，经过点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3104,1；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛415,3，Q ⎪⎭⎫⎝⎛-5,316且焦点在坐标轴上．[思路探究] (1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b 2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20 ①. ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b 2＝1 ②. 由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1.法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. (3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0. ∵点P ，Q 在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.◎类题训练(1)与椭圆x 4＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 23－y 2＝1 C ．x 22－y 2＝1D ．x 2－y 22＝1【答案】C 【解析】[设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b2＝1c 2＝a 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.]◎类题训练(2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1【答案】B 【解析】[由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝(25)2＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，双曲线的方程为x 2－y 24＝1，选B.]题型3、与双曲线有关的轨迹问题[探究问题]1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？ 提示：以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[思路探究] 建立平面直角坐标系→由已知条件得到边长的关系→判断轨迹的形状→写出轨迹方程【解析】以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6.即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．◎类题训练：如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【解析】 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32. [当 堂 小 测]1．已知m ，n ∈R ，则“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】[方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，必有mn ＜0；当mn ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，所以“mn ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的充要条件．]2．以椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是( )A ．x 23－y 2＝1 B ．y 2－x 23＝1C ．x 23－y 24＝1D ．y 23－x 24＝1【答案】B 【解析】[椭圆x 23＋y 24＝1的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，长轴的端点A 1(0,2)，A 2(0，－2)，所以对于所求双曲线a ＝1，c ＝2，b 2＝3，焦点在y 轴上，双曲线的方程为y 2－x 23＝1.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】[由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]4．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________. 【答案】16 【解析】[由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.]5．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．【解析】 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝916a2－15b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1.双曲线的简单几何性质1．双曲线的几何性质x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba 是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点．( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x .( ) (3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)【答案】B 【解析】[双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【答案】(－7，0)，(7，0)【解析】[由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]题型1、根据双曲线方程研究几何性质(1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【答案】A 【解析】(1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)， 化为标准方程x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm .顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)．∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .◎类题训练（1）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1 C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1【答案】C 【解析】[A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C ．]◎类题训练（2）若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【答案】B 【解析】[在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a ＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .]题型2、利用几何性质求双曲线方程(1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A ．x 24－y 212＝1 B ．x 212－y 24＝1 C ．x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 方法：待定系数法求解．【解析】 (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D ．(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ， 若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为： x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12. ① 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以4a 2－9b 2＝1. ② 联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12. ③ 因为点A (2，－3)在双曲线上，所以9a 2－4b 2＝1. ④ 联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1. 【答案】 (1)D (2)y 28－x 232＝1◎类题训练：求满足下列条件的双曲线的标准方程；(1)以直线2x±3y＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y24－x23＝1具有相同的渐近线，且过点M(3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y264－x216＝1离心率相等；【解析】(1)由题意可设所求双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y2329－x28＝1.(2)设所求双曲线方程为y24－x23＝λ(λ≠0)．由点M(3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1.(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型3、求双曲线的离心率(1)若双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A ． 5B ．2C ． 3D ． 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程． 【解析】 (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D ．【答案】 (1)D (2)D◎类题训练（1）设F 1，F 2分别为双曲线x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A ．43B ．53C ．94 D ．3【答案】B 【解析】[考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.] ◎类题训练（2）过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 【答案】2＋3 【解析】[如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a代入x2 a2－y2b2＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－3b)，此时kPF2＝3bc－2a＝ba，得到c＝(2＋3)a，即双曲线C的离心率e＝ca＝2＋ 3.]题型4、直线与双曲线的位置关系1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x216－y29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1，(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值．[思路探究]直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎨⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2， ∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62.∴实数k 的值为±62或0.◎类题训练：已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【解析】法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝8k (3k ＋1)4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点，∴x 1＋x 22＝3，即8k (3k ＋1)2(4k 2－1)＝3，解得k ＝－34. 当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0. 法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1). ∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 14(y 2＋y 1)＝－34. 经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)， 即3x ＋4y －5＝0.[当 堂 小 测]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23x B ．y ＝±49x C ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【答案】C 【解析】[双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62C ．52 D ．1【答案】D 【解析】[e ＝a 2＋3a ＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36B ．x 2－3y 2＝36C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36【答案】A 【解析】[椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2【答案】D 【解析】[由⎩⎨⎧ y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0， 由题意知1－m 2＝0，或⎩⎨⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋8(1－m 2)≥0，解得－2≤m ≤ 2.] 5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．【解析】渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。

专题一双曲线的定义及标准方程
知识点一：双曲线的定义
到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（PF1?PF2?2a?F1F2（a为常数））注意：（1）距离之差的绝对值.
（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在.
知识点二：双曲线的标准方程
x2y2y2x2222焦点在x轴上时2?2?1（c?a?b），焦点在y轴上时2?2＝1（a?b?0）。

abab
x2y2
?1(mn?0)（或mx2?ny2?1?mn?0?）这样设的好处是双曲线方程也可设为：?mn
为了计算方便。