北京市高二上学期开学数学试卷(理科)

卜人入州八九几市潮王学校武邑二零二零—二零二壹上学期高二开学摸底考试数学试卷本套试卷分第I卷〔选择题〕、第II卷〔非选择题〕两局部.一共150分，考试时间是是120分钟.第I卷一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.)1.集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|〔x-1〕〔x+2〕＜0｝,那么A∩B=〔〕A.｛--1,0｝B.｛0,1｝C.｛-1,0,1｝D.｛,0,，1，2｝【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进展交集的运算即可．【详解】B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．应选：A．【点睛】此题考察列举法、描绘法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.等差数列中，，那么〔〕A.8B.16C.24D.32【答案】D【解析】【分析】利用等差数列通项公式直接求解．【详解】∵等差数列{a n}中，a5=8，∴a2+a4+a5+a9=a1+d+a1+3d+a5+a1+8d=a5+〔3a1+12d〕=4a5=4×8=32．应选：D．【点睛】此题考察等差数列的四项和的求法，考察等差数列等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是根底题．3.各项都是实数的等比数列{}，前n项和记为,假设,,那么等于〔〕A.50B.60C.70D.90【答案】C【解析】【分析】由等比数列的性质，得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，由此能求出S30的值．【详解】∵在等比数列中，S10=10，S20=30，由等比数列的性质，得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，∴〔S20﹣S10〕2=S10•〔S30﹣S20〕，∴〔30﹣10〕2=10〔S30﹣30〕，解得S30=70．应选：C．【点睛】此题考察等差数列的前30项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4.的面积为，且，那么等于()A.30°B.30°或者150°C.60°D.60°或者120°【答案】D【解析】【分析】由面积公式得，进而可求得，从而得解．【详解】由面积公式得，∴，A=60°或者120°，应选：D．【点睛】此题主要考察正弦定理之下的三角形面积公式与特殊角的三角函数值，属于根底题．5.设入射光线沿直线射向直线，那么被反射后，反射光线所在的直线方程是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：反射光线和入射光线关于直线对称，所以设入射光线上的任意两点，其关于直线对称的两个点的坐标分别为，且这两个点在反射光线上，由直线的两点式可求出反射光线所在的直线方程为，所以D为正确答案．考点：1、直线的对称性；2、直线方程的求法．6.设为直线，是两个不同的平面，那么以下事件中是必然事件的是〔〕A.假设，，那么B.假设，，那么C.假设，，那么D.假设，，那么【答案】B【解析】【分析】利用空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．【详解】对于A，假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α与β相交，故A错误；对于B，假设l⊥α，l⊥β，由线面垂直的性质得α∥β，故B正确；对于C，假设l⊥α，l∥β，那么α⊥β，故C错误；对于D，假设α⊥β，l∥α，那么l⊂β或者l∥β或者l与β相交．应选：B．【点睛】7.函数，那么函数的值域为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数与指数函数的图象与性质，求出函数f〔x〕的值域．【详解】函数，∴f〔x〕=，又﹣〔x﹣1〕2+1≤1，∴0＜≤2，∴函数f〔x〕的值域为〔0，2]．应选：B．【点睛】此题考察了二次函数与指数函数的图象与性质应用问题，属于根底题．8.设且，那么以下不等式中恒成立的是〔〕．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】举出反例a=-2，b=1，可判断A，B，C均不成立，进而得到答案．【详解】对于A，取a=-2，b=1，显然不成立；对于B，取a=-2，b=1，显然不成立；对于C,取a=-2，b=1,显然不成立；对于D，函数y=x3在R上单调递增，时有应选：D【点睛】此题考察了函数的单调性、不等式的性质，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．9.假设直线与直线互相垂直，那么的值是〔〕．A. B.C.， D.，，【答案】C【解析】此题主要考察平面直线的位置关系．根据任意两条直线，的垂直断定定理：，将题目中的参数代入上式得到：，解得或者．故此题正确答案为．10.点在直线上，为原点，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：直线上的点到原点的间隔的最小值，即原点到直线的间隔，根据点到直线的间隔公式得：，故答案为A.考点：1.定点到直线上的点的间隔的最小值；2.点到直线的间隔公式.11.关于函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的四个结论：P1：最大值为；P2：把函数f(x)＝sin2x－1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的图象；P3：单调递增区间为(k∈Z)；P4：图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确的结论有()．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】化简函数的解析式，求出函数的最值判断①的正误；利用三角函数的图象的平移判断②的正误；求出函数的单调增区间判断③的正误；求出函数的对称中心判断④的正误．【详解】对于①，因为f〔x〕=2sinxcosx﹣2cos2x=sin〔2x﹣〕﹣1，所以最大值为﹣1，故①错误．对于②，将f〔x〕=sin2x﹣1的图象向右平移个单位后得到f〔x〕=sin〔2x﹣〕﹣1的图象，而函数f〔x〕=2〔sinx﹣cosx〕cosx=sin2x﹣cos2x﹣1=sin〔2x﹣〕﹣1．故②错误．对于③，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即增区间为[kπ+，kπ+〔k∈Z〕，故③正确．对于④，由2x﹣=kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，所以函数的对称中心为〔π+，﹣1〕〔k∈Z〕．故④正确．应选：B．【点睛】此题考察三角函数的化简求值，函数的单调性以及函数的图象的平移，三角函数的对称中心，是中档题．12.不等式对于恒成立，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围．【详解】不等式〔a﹣2〕x2﹣2〔a﹣2〕x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0恒成立，满足题意；当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，即有，即，解得﹣2＜a＜2．综上可得，a的取值范围为〔﹣2，2]．应选：B．【点睛】此题考察了不等式恒成立问题，主要考察的是二次函数的图象和性质，注意讨论二次项系数是否为0，是易错题．第II卷二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.)13.角的终边经过点且,那么=_____________.【答案】【解析】【分析】由角α的终边经过点P〔x，4〕，根据cosα的值求出x的值，确定出P的坐标，利用同角三角函数间的根本关系求出sinα的值.【详解】∵角α的终边经过点P〔x，4〕，且，∴cosα==，即x=0,x=3或者x=﹣3，∴P〔±3，4〕，∴sinα=，故答案为:【点睛】此题考察三角函数的定义，同角三角函数间的根本关系，纯熟掌握根本关系是解此题的关键．14.数列，，，，…的第5项是____________．【答案】【解析】【分析】根据分子、分母及各项符号的变化情况得到结果.【详解】由数列：数列，，，，…可知：奇数项的符号为“+〞，偶数项的符号为“-〞，每项的绝对值为∴数列：，，，，…的一个通项公式是a n=(−1)n+1∴第5项是故答案为：．【点睛】此题考察了通过观察求数列的通项公式，考察了推理才能，属于根底题．15.△中，，，，那么_________【答案】【解析】试题分析：由题意，由余弦定理知.考点：1.余弦定理.16.点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两局部,那么b 的取值范围是________【答案】【解析】【分析】解法一：先求得直线y=ax+b〔a＞0〕与x轴的交点为M〔﹣，0〕，由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①假设点M和点A重合，求得b=；②假设点M在点O和点A之间，求得＜b＜；③假设点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．解法二：考察临界位置时对应的b值，综合可得结论．【详解】解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为=1，由于直线y=ax+b〔a＞0〕与x轴的交点为M〔﹣，0〕，由直线y=ax+b〔a＞0〕将△ABC分割为面积相等的两局部，可得b＞0，故﹣≤0，故点M在射线OA上．设直线y=ax+b和BC的交点为N，那么由可得点N的坐标为〔，〕．①假设点M和点A重合，那么点N为线段BC的中点，故N〔，〕，把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．②假设点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即=，即=，可得a=＞0，求得b＜，故有＜b＜．③假设点M在点A的左侧，那么b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．设直线y=ax+b和AC的交点为P，那么由求得点P的坐标为〔，〕，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即•〔1﹣b〕•|x N﹣x P|=，即〔1﹣b〕•|﹣|=，化简可得2〔1﹣b〕2=|a2﹣1|．由于此时b＞a＞0，0＜a＜1，∴2〔1﹣b〕2=|a2﹣1|=1﹣a2．两边开方可得〔1﹣b〕=＜1，∴1﹣b＜，化简可得b＞1﹣，故有1﹣＜b＜．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是，解法二：当a=0时，直线y=ax+b〔a＞0〕平行于AB边，由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．由于a＞0，∴b＞1﹣．当a逐渐变大时，b也逐渐变大，当b=时，直线经过点〔0，〕，再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．综上可得，1﹣＜b＜，故答案为：．【点睛】此题主要考察确定直线的要素，点到直线的间隔公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算才能以及综合分析才能，分类讨论思想，属于难题．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分,解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17.解以下不等式〔1〕．〔2〕．【答案】(1);(2)见解析.【解析】【分析】〔1〕首先将二次项系数化正，求出对应方程的根，直接写出解集即可；〔2〕按照a的正负、两根的大小关系讨论求解即可．【详解】〔〕∵∴，∴，解得或者，∴不等式的解集是或者．〔〕当，的图像开口向下，与轴交点为，，且，∴的解集为：，当时，，∴无解，当时，抛物线的图像开口向上，与轴交点为，，当时，不等式可化为，解得，当时，解得或者，当时，解得或者，综上，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是或者，当时，不等式的解集是，当时，不等式的解集是或者．【点睛】〔1〕解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．〔2〕解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进展讨论：首先根据二次项系数的符号进展分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进展分类，最后当根存在时，再根据根的大小进展分类．18.．(1)假设，求的值．(2)假设，且，求的值．【答案】(1);(2)【解析】【分析】〔1〕利用诱导公式化简，然后结合同角根本关系式即可得到结果；〔2〕根据f〔α〕=sinαcosα=，两边加上1，利用同角三角函数间的根本关系化简，根据α的范围判断cosα﹣sinα为负数，开方即可求出值．【详解】(1)(2)由．可知：又因为，所以，即．所以．【点睛】此题考察了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的根本关系，纯熟掌握诱导公式是解此题的关键．19.设△的内角所对边的长分别为，且有。

高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。

北京市2023—2024学年第一学期阶段练习高二数学（答案在最后）2023.10班级__________姓名__________学号__________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共12道小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知点()2,1,0A 和点()0,3,4B -，则向量AB =（）A.()2,4,4-- B.()2,4,4- C.()2,2,4-- D.()2,2,4-【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.【详解】由()2,1,0A 和点()0,3,4B -，所以()2,4,4AB =--.故选：A2.设,,i j k 是两两不共线的向量，且向量24a i j k =-++ ，32b i j k =-- ，则23a b -=（）A.1125i j k-+B.1125i j k --+C.111011i j k -++D.111011i j k-- 【答案】C 【解析】【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可.【详解】因为24a i j k =-++ ，32b i j k =--，所以()()23224332111011a b i j k i j k i j k -=-++---=-++ .故选：C3.点M (3,-2,1)关于yOz 平面对称的点的坐标是A.(-3,2,1) B.(-3,2,-1)C.(3,2,-1)D.(-3,-2,1)【答案】D 【解析】【分析】根据空间直角坐标系对称点的坐标特点即可得到结果.【详解】点M (3,-2,1)关于平面yOz 的对称点坐标为(-3,-2,1).所以本题答案为D.【点睛】本题考查空间直角坐标系，注意仔细审题，属基础题.4.已知(1,0,1),(1,1,2)a b =--= ，则向量a 在b方向上的投影数量为（）A.3-B.2-C.2-D.62【答案】B 【解析】【分析】代入向量投影的计算公式即可求出结果.【详解】向量a 在b方向上的投影数量为cos ,2a b a b a a b a a b b -⨯+⨯+-⨯⋅⋅⋅=⋅==-⋅，故选：B.5.与向量(1,AB =-共线的单位向量是（）A.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.112,,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C.11,,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D.112,,222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和112,,222⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则B a A λ= ，再根据1a = 求出λ，即可得解.【详解】设与向量(1,AB =- 共线的单位向量为a，则(),A a B λλλ=-= ，所以1a =，解得12λ=±，所以112,,222a ⎛⎫- ⎪⎝=⎪⎭ 或112,,222a ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B6.已知向量()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+= B.1λμ+=- C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】首先表示出a b λ+，a b μ+ ，依题意可得()()0a b a b λμ+⋅+= ，由数量积的坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1,0a =r，()1,1,0b =- ，所以()1,1,0a b λλλ+=+- ，()1,1,0a b μμμ+=+- ，因为()()a b a b λμ+⊥+ ，所以()()0a b a b λμ+⋅+=，即()()()()11110λμλμ+++--=，所以1λμ=-.故选：D7.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =.点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.132212a b c-+-r r rC.211322a b c-++ D.121232a b c +- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】22,3OM MA OM OA =∴= ，N Q 为BC 的中点，()12ON OB OC ∴=+,()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++ .故选：C.8.已知平面α⊥平面β，l αβ= ．下列结论中正确的是（）A.若直线m ⊥平面α，则//m βB.若平面γ⊥平面α，则//γβC.若直线m ⊥直线l ，则m β⊥D.若平面γ⊥直线l ，则γβ⊥【答案】D 【解析】【分析】A ，利用线面平行的判定定理；B ，面面垂直没有传递性；C ，利用面面垂直的性质定理；D ，利用面面垂直的判定定理；【详解】A ，若m α⊥，αβ⊥，则//m β或m β⊂，故A 错误；B ，若γα⊥，αβ⊥，则//γβ或γ与β相交，故B 错误；C ，若m l ⊥，αβ⊥，l αβ= ，必须m α⊂，利用面面垂直的性质定理可知m β⊥，故C 错误；D ，若l γ⊥，l αβ= ，即l β⊂，利用面面垂直的判定定理知γβ⊥，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间直线，平面直线的位置关系的判断，熟练掌握平行和垂直位置关系的判定和性质是解题的关键，属于基础题.9.如图，在三棱锥A BCD -中，,,DA DB DC 两两垂直，且2DB DC ==，点E 为BC 中点，若直线AE 与CD 所成的角为60︒，则三棱锥A BCD -的体积等于（）A.23B.43C.2D.3【答案】D【解析】【分析】由题意可证AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，则AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，利用余弦定理求出AD ，根据三棱锥体积公式即可求得体积．【详解】如图，∵2DB DC ==，点E 为BC 的中点，∴DE BC ⊥，DE =∵DA ，DB ，DC 两两垂直，DB DC D = ，∴AD ⊥平面DBC ，取BD 的中点F ，连接EF ，∴AEF ∠为直线AE 与CD 所成的角，且1EF =，由题意可知，60AEF ∠=︒，设AD x =，连接AF ，则222212AF x AE x =+=+，，在AEF △中，由余弦定理，得222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠=⋅，即2212=x =AD =∴三棱锥A BCD -的体积11122223323BCD V S AD =⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AAAB BC ===，点B 到平面1ACD 的距离为（）A.69B.13C.23D.63【答案】C 【解析】【分析】将点B 到平面1ACD 距离转化为三棱锥1B ACD -的高，然后利用等体积的方法求距离即可.【详解】由题意得点B 到平面1ACD 距离为三棱锥1B ACD -的高，设点B 到平面1ACD 距离为d ，取AC 中点O ，连接1OD ，因为1111ABCD A B C D -为长方体，所以11AD CD =，所以1OD AC ⊥，221215AD =+=112AC =+=，()221232522OD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以11B ACD D ABC V V --=，113211211232232d ⨯=⨯⨯⨯⨯，解得23d =.故选：C.11.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）A.20°B.40°C.50°D.90°【答案】B 【解析】【分析】画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点A 处的纬度，计算出晷针与点A 处的水平面所成角.【详解】画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.12.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.13.设a ，b 为单位向量，且1a b += ，则a b ⋅= ____________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】由向量的数量积及运算律计算可得解.【详解】由题意得1a b == ，又1a b +=，21a b ∴+= 即()21a b+= ，整理得2221a a b b +⋅+= ，代入1a b == ，得12a b ⋅=- .故答案为：12-.14.若空间三点()4,1,3A ，()2,5,1B -，(),4,4C m 共线，则实数m =____________.【答案】5【解析】【分析】根据三点共线，转化为向量共线，即可求解.【详解】()2,6,2AB =--- ，()4,3,1AC m =-，由空间三点共线，则//AB AC ，即AC AB λ=，所以423612m λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，得12λ=-，5m =.故答案为：515.已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，12CC =，则平面11A BC 与平面ABCD 所成的角的余弦值为____________.【答案】3【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，则()14,0,2A ，()4,4,0B ，()10,4,2C ，∴()10,4,2A B =-，()114,4,0A C =- ，设平面11A BC 的一个法向量为(),,m x y z=，则111420440A B m y z A C m x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2z =，则()1,1,2m = ，平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面11A BC 与平面ABCD 所成的角为θ，则平面11A BC 与平面ABCD所成角的余弦值||6cos ||||3m n m n θ⋅===⋅．故答案为：3．16.如图，在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA两两夹角均为π3，则1AC BD ⋅=____________；请选择该平行六面体的三个顶点，使得经过这三个顶点的平面与直线1AC 垂直.这三个顶点可以是____________.【答案】①.0②.点1,,A B D 或点11,,C B D （填出其中一组即可）【解析】【分析】（1）以向量AB ，AD ，1AA为基底分别表达出向量1AC uuu r 和BD ，展开即可解决；（2）由上一问可知10AC BD ⋅=，用上一问同样的方法可以证明出110AC A D ⋅= ，这样就证明了平面1A BD 与直线1AC 垂直.【详解】（1）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === ，则有BD AD AB c b =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故221()()AC BD c b c b a c b c a c b c b a b⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅--⋅2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯=+--=；（2）令1a AA = ，b AB = ，c AD =，则1a b c === ，π,,,3a b a c b c === 则有11A D AD AA c a =-=- ，111AC AC CC AB AD AA b c a =+=++=++ ，故2211()()AC A D c a c b a c b c a c a c a b a⋅=-⋅++=+⋅+⋅-⋅-⋅- 2211111111111111111111022222222=+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=+--=，故11AC A D ⊥ ，即11AC A D ⊥，又由（1）知1AC BD ⊥，1A D BD D ⋂=，1,A D BD ⊂平面1A BD ，故直线1AC ⊥平面1A BD ；同理可证直线1AC ⊥平面11B D C .故答案为：0；点1,,A B D 或点11,,C B D 17.如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA=，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上.点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________.【答案】2【解析】【分析】设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，则题意所求距离最小值即为P C '长度的最小值，且P C DE '⊥时P C '的长度最小，利用三角形面积相等关系即可求解.【详解】由题意知，点P 到直线1CC 的距离即为点P 在平面ABCD 上的射影到点C 的距离.设点P 在平面ABCD 上的射影为P '，显然点P 到直线1CC 的距离的最小值为P C '长度的最小值，当P C DE '⊥时，P C '的长度最小，此时11111222DCE S DC CE =⋅=⨯⨯=，12DCE S DE CP ''=⋅= ，所以122CP '=，解得2CP '=，即点P 到直线1CC 的距离的最小值为2.故答案为：2.18.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+ ，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法中，正确的有_________（请填入所有正确说法的序号）①当1λ=时，1AB P △的周长为定值②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值③当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 【答案】②④【解析】【分析】①结合1λ=得到P 在线段1CC 上，结合图形可知不同位置下周长不同；②由线面平行得到点到平面距离不变，故体积为定值；③结合图形得到不同位置下有1A P BP ⊥，判断出③错误；④结合图形得到有唯一的点P ，使得线面垂直.【详解】由题意得：1BP BC BB λμ=+ ，[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，所以P 为正方形11BCC B 内一点，①，当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，即1CP BB μ= ，[0,1]μ∈，所以P 在线段1CC 上，所以1AB P △周长为11AB AP B P ++，如图1所示，当点P 在12,P P 处时，111122B P AP B P AP +≠+，故①错误；②，如图2，当1μ=时，即1BP BC BB λ=+ ，即1B P BC λ= ，[0,1]λ∈，所以P 在11B C 上，1113P A BC A BC V S h -=⋅ ，因为11B C ∥BC ，11B C ⊄平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以点P 到平面1A BC 距离不变，即h 不变，故②正确；③，当12λ=时，即112BP BC BB μ=+ ，如图3，M 为11B C 中点，N 为BC 的中点，P 是MN 上一动点，易知当0μ=时，点P 与点N 重合时，由于△ABC 为等边三角形，N 为BC 中点，所以AN ⊥BC ，又1AA ⊥BC ，1AA AN A = ，所以BN ⊥平面1ANMA ，因为1A P ⊂平面1ANMA ，则1BP A P ⊥，当1μ=时，点P 与点M 重合时，可证明出1A M ⊥平面11BCC B ，而BM ⊂平面11BCC B ，则1A M BM ⊥，即1A P BP ⊥，故③错误；④，当12μ=时，即112BP BC BB λ=+ ，如图4所示，D 为1BB 的中点，E 为1CC 的中点，则P 为DE 上一动点，易知11A B AB ⊥，若1A B ⊥平面1AB P ，只需11A B B P ⊥即可，取11B C 的中点F ，连接1,A F BF ，又因为1A F ⊥平面11BCC B ，所以11A F B P ⊥，若11A B B P ⊥，只需1B P ⊥平面1A FB ，即1B P BF ⊥即可，如图5，易知当且仅当点P 与点E 重合时，1B P BF ⊥故只有一个点P 符合要求，使得1A B ⊥平面1AB P ，故④正确.故选：②④【点睛】立体几何的压轴题，通常情况下要画出图形，利用线面平行，线面垂直及特殊点，特殊值进行排除选项，或者用等体积法进行转化等思路进行解决.三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知向量()236a m = ,,，()1,0,2= b ，()()132R c m =∈ ,,（1）求()a b c ⋅- 的值；（2）求cos b c ,；（3）求a b - 的最小值.【答案】（1）6-（2）104（3）【解析】【分析】（1）根据空间向量的减法运算法则和数量积运算公式直接计算；（2）根据空间向量夹角公式直接计算即可；（3）根据条件写出模的表达式，再直接求最小值即可.【小问1详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以()0,b c -= ，又因为()6a m = ,，所以()(6a b c ⋅-==- .【小问2详解】因为()1,0,2= b，()2c = ，所以cos 4b c b c b c⋅=== ,.【小问3详解】因为()6a m = ,，()1,0,2= b ，所以()a b m -=- ，所以()(()2222214128a b m m -=-++=-+ ，当1m =时，2a b - 取得最小值28，则a b -最小值为.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（1）求直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值；（2）求直线11A C 与平面1ACE 所成角的正弦值.【答案】（1）36（2）33【解析】【分析】（1）利用空间向量的方法求异面直线所成角即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可.【小问1详解】如图，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，()12,0,2A ，()0,0,0C ，()10,2,2B ，()1,1,0E ，()12,0,2A C =--uuu r ，()11,1,2B E =--uuu r ，()()1111112,0,21,1,23cos ,6404114AC B E AC B E AC B E ⋅--⋅--===++⨯++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以直线1AC 与直线1B E 所成角的余弦值为36.【小问2详解】()10,0,2C ，()112,0,0AC =- ，()1,1,0CE = ，设平面1A CE 的法向量为(),,m x y z = ，则12200m A C x z m CE x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1x =，则1y =-，1z =-，所以()1,1,1m =-- ，111111cos ,3m AC m AC m AC ⋅===u r uuu u r u r uuu u r u r uuu u r ，所以直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值为33.21.如图，PA ⊥平面ABC ，ABBC ⊥，22AB PA BC ===，M 为PB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PBC ；（2）求二面角A PCB --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）首先证明BC ⊥平面PAB ，即可得到AM BC ⊥，再由AM PB ⊥，即可得证；（2）在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．利用向量法能求出二面角A PC B --的余弦值．【小问1详解】因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．因为BC AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，AM ⊂平面PAB ，所以AM BC ⊥．因为PA AB =，M 为PB 的中点，所以AM PB ⊥，BC PB B = ，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AM ⊥平面PBC ．【小问2详解】如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则AP ，AB ，Az 两两互相垂直，建立空间直角坐标系A xyz -．则()0,0,0A ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，()0,2,1C ，()1,1,0M ．所以()2,0,0AP = ，()0,2,1AC = ，()1,1,0AM = ，设平面APC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AP x n AC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =，得()0,1,2n =- ，由（1）可知()1,1,0AM = 为平面BPC 的法向量，设二面角A PC B --的平面角为α，由图可知二面角A PC B --为锐角，则cos n AM n AM α⋅== A PC B --的余弦值为1010．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，3BAD π∠=，E 是线段AD 的中点，连结BE.（1）求证：BE PA ⊥；（2）在线段PB 上是否存在点F ，使得//EF 平面PCD ？若存在，求出PF PB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）12，理由见解析【解析】【分析】（1）根据菱形和等边三角形的性质得到BE AD ⊥，根据面面垂直的性质定理得到BE ⊥平面PAD ，最后根据线面垂直的性质证明即可；（2）根据中位线和平行四边形的性质得到EF DH ∥，然后根据线面平行的判定定理即可得到EF ∥平面PCD .【小问1详解】连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，π3BAD ∠=，所以三角形ABD 为等边三角形，因为E 为AD 中点，所以BE AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以BE PA ⊥.【小问2详解】当点F 为PB 中点，即12PF PB =时，EF ∥平面PCD ，理由如下：取PB 中点F ，PD 中点H ，连接EF ，FH ，DH ，因为,F H 分别为,PB PD 中点，所以FH BC ∥，12FH BC =，因为四边形ABCD 为菱形，E 为AD 中点，所以ED BC FH ∥∥，12ED BC FH ==，所以四边形EFHD 为平行四边形，EF DH ∥，因为EF ⊄平面PCD ，DH ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .23.已知集合{}128X x x x = ，，，是集合{20072008200920222023}S = ，，，，，的一个含有8个元素的子集.（1）当{20072008201120132017201920222023}X =，，，，，，，时，设(18)i j x x X i j ∈≤≤，，，（i ）写出方程2i j x x -=的解()i j x x ，；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程()18i j x k i x j -=≤≤，至少有三组不同的解.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【解析】【分析】（1）(i)根据两数之差为2进行解答即可；(ii)由题两数的差均为正，利用列举法解答；（2）利用反证法进行证明．【小问1详解】(i)方程2i j x x -=的解为：()2013,2011，()2019,2017，(ii)以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差(即上一列差数中相邻两数和)：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．【小问2详解】证明：不妨设12820072023x x x ≤<<<≤ ，记()11,2,,7i i i a x x i +=-= ，()21,2,,6i i i b x x i +=-= ，共13个差数，假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1，两个2，两个3，两个4，两个5，两个6，则()()()1271262126749a a a b b b +++++++≥++++= ，又()()127126a a a b b b +++++++ ()()818721x x x x x x =-++--()()817222161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与上式矛盾.所以假设错误，原命题成立.。

北京市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0（）A . 外离B . 外切C . 相交D . 内切2. （2分）如图是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，A′B′=A′C′，则△ABC是（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形3. （2分） (2017高二下·株洲期中) f（x）是定义在D上的函数，若存在区间[m，n]⊆D，使函数f（x）在[m，n]上的值域恰为[km，kn]，则称函数f（x）是k型函数．给出下列说法：①f（x）=3﹣不可能是k型函数；②若函数y=﹣ x2+x是3型函数，则m=﹣4，n=0；③设函数f（x）=x3+2x2+x（x≤0）是k型函数，则k的最小值为；④若函数y= （a≠0）是1型函数，则n﹣m的最大值为．下列选项正确的是（）A . ①③B . ②③C . ②④D . ①④4. （2分）若圆上有且只有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . +πB . +2πC . 2 +2πD . 2 +π6. （2分） (2017高一上·武邑月考) 直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）已知直线与平面平行，P是直线上的一点，平面内的动点B满足：PB与直线成,那么B 点轨迹是（）.A . 双曲线B . 椭圆C . 抛物线D . 两直线8. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点,且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C：(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路程是（）A . 4C .D .10. （2分） (2016高二上·合川期中) （理）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A . [ ，1]B . [ ，1]C . [ ， ]D . [ ，1]11. （2分） (2016高一下·钦州期末) 圆x2+y2+4x﹣6y﹣3=0的圆心和半径分别为（）A . （﹣2，3），4B . （﹣2，3），16C . （2，﹣3），4D . （4，﹣6），1612. （2分）直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A .C .D .二、填空题 (共4题；共13分)13. （1分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________14. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知四面体ABCD的顶点都在同一个球的球面上，BC= ，BD=4，且满足BC⊥BD，AC⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该球的球面面积为________．15. （1分）长方体的长、宽、高之和为12，对角线长为8，则它的全面积为________．16. （10分）(2018·郑州模拟) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，为线段上的点，且， .（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.三、解答题 (共6题；共60分)17. （15分） (2015高二上·和平期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E为PC的中点，EF⊥PB，垂足为F点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求证：PB⊥平面EFD；（3）求异面直线BE与PA所成角的大小．18. （5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程．19. （5分）(2017·漳州模拟) 如图1，四边形ABCD是菱形，且∠A=60°，AB=2，E为AB的中点，将四边形EBCD沿DE折起至EDC1B1 ，如图2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面AEB1；（Ⅱ）若二面角A﹣DE﹣C1的大小为，求三棱锥C1﹣AB1D的体积．20. （15分） (2015高二下·广安期中) 四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD=60°，PA=PD= ，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（1）求证：AD⊥PB；（2）若Q是PC中点，求二面角E﹣DQ﹣C的余弦值；（3）若，当PA∥平面DEQ时，求λ的值．21. （10分） (2017高一下·衡水期末) 已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，其中m＜5．（1）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|= ，求m的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线l：x﹣2y+c=0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围，若不存在，说明理由．22. （10分） (2016高二上·德州期中) 已知直线l1：mx﹣y=0，l2：x+my﹣m﹣2=0．（1）求证：对m∈R，l1与l2的交点P在一个定圆上；（2）若l1与定圆的另一个交点为P1，l2与定圆的另一个交点为P2，求当m在实数范围内取值时，△PP1P2的面积的最大值及对应的m．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共13分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。