【解析】北京市密云区2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京市密云区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1．命题0p x x ∀∈≥R ：，的否定是（ ）A ．0p x x ⌝∀∈<R ：，B ．0p x x ⌝∃∈≤R ：，C ．0p x x ⌝∃∈<R ：，D ．0p x x⌝∀∈≤R ：， 2. 已知向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，则-a b 等于 ( ) A ．1 B C ．3 D ．93．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是( ) A.13 B. 12 C. 23 D. 144．“0,0a b >>”是“曲线221ax by +=为椭圆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D 5．执行右边的程序框图，若输入1t =-，则输出t 的值等于（ A ．3 B ．5 C ．7 D ．156．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是（ ） A ．至少有一个黑球 B ．恰好一个黑球 C ．至多有一个红球 D ．至少有一个红球7．已知1F ，2F 是双曲线的两个焦点，过2F 作垂直于实轴的直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点，若∠21π=Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（ ）A ．22+B ．12+C ．2D ．12-FD ABC A 1B 1C 1D 1E G0 50 70 90 110 130 150 分数0.020.010.005 8. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F ，G 分别 是线段B B 1，AB 和1A C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1DG ．给出下列结论：①对于任意给定的点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意给定的点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意给定的点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ；④对于任意给定的点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ． 其中正确结论的个数是（ ）A ． 4个B ．3个C ．2个D ．1个第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的 男、女生人数如表所示.已知在全年级学生中随机 抽取1名，抽到二班女生的概率是0.2.则x =____； 现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在 三班抽取的学生人数为___.10．双曲线221412x y -=的离心率等于_____11．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为12．在某次摸底考试中，随机抽取100在90分以上的人数约为 人，的中位数为 ．13．抛物线24y x =的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，与准线l 交于点B ，且AK l ⊥于K ，如果||||AF BF =，那么AKF △的面积是14. 平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C ．关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论： ① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤； ③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤. 其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）一次考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表:(Ⅰ)分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩哪科更稳定; (Ⅱ)从以上5名同学中选2人参加一项活动,求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率.（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）16．（本题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[40,50)和[60,70)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60,70)的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a b c ，，，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a b c ∈N ，，．当数据a b c ，，的方差2s 最小时，写出a b c ，，的值.（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-，其中x 为数据12,,,n x x x 的平均数）17. （本小题满分13分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AC CB CC ===，E 是AB 中点.（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A CE ；（Ⅱ）求直线11A C 与平面1A CE 所成角的正弦值.ABCA 1B 1C 1E各分数段人数18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ， 2PA AB ==，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若二面角E AF B --，求BF BC 的值.19. （本小题满分13分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.20. （本小题满分14分）已知,,A B C 为椭圆22:22W x y +=上的三个点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若,A C 所在的直线方程为1y x =+，求AC 的长；（Ⅱ）设P 为线段OB 上一点，且3OB OP =，当AC 中点恰为点P 时，判断OAC ∆的面积是否为常数，并说明理由.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）DPCBFAE北京市密云区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试题参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．24，9 10．2,y = 11．2312．2600，97.5 13．．①②③ 备注：第9题、第10题、第12题两小问，均第一问3分，第二问2分.第14题答对一个不给分，答对两个给2分三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共13分）(Ⅰ)解: 5名学生数学成绩的平均分为:93)9795939189(51=++++ ………………2分5名学生数学成绩的方差为:8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- ……………3分 5名学生物理成绩的平均分为:90)9392898987(51=++++ ……………………5分5名学生物理成绩的方差为:524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+-…………6分 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. …………………7分 (Ⅱ)设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有:,21A A ,31A A ,41A A ,51A A ,32A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共10个. ………………9分事件A 包含基本事件有:,41A A ,51A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共7个. ………………11分107)( =A P 则 所以,5名学生中选2人, 选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率为 107.……13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人， ……………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人. ……4分 （Ⅱ）解：设 “恰有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ， ……………5分设体育成绩在[40,50)的样本学生为a,b;体育成绩在[60,70)的样本学生为A,B; 4名学生中选2人包含基本事件有:ab ,Aa ,Ab ,Ba ,Bb ,AB 共6个 ……………7分 事件A 包含基本事件有: Aa ,Ab ,Ba ,Bb 共4个. ……………8分 由题意，得42()63P A ==， 因此恰有1人体育成绩在[60,70)的概率是23. ……………9分 （Ⅲ）解：a , b , c 的值分别是为79, 84, 90；或79, 85, 90. ……………13分 17. （本小题满分13分） （Ⅰ）解：证明:因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11CC AC ,CC BC ^^，又90ACB?o ，即AC BC ^………………2分 如图所示，建立空间直角坐标系C xyz -.(200)A ,,,1(022)B ,,,(110)E ,,,1(202)A ,,，所以 1=(222)AB ,,-uuu r，=(110)CE ,,u u r ， 1=(202)CA ,,uuu r. ……………… 4分又因为 10AB CE ?u u u r u u r ，110AB CA ?uuu r uuu r， ………… 6分 所以 1AB CE ^，11AB CA ^，1AB ^平面1A CE . …………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，1=(222)AB ,,-uuu r是平面1A CE 的法向量， ………………9分11==(200)C A CA ,,uuu r uu r， ………………10分则 111111111cos C A AB C A ,AB C A AB ×狁=uuu u r uuu ruuu u r uuu r uuu u r uuu r =. ……………12分 设直线11A C 与平面1A CE 所成的角为q ， 则111sin =cos C A ,AB 狁uuu u r uuu rq 3=. 所以直线11AC 与平面1A CE 所成角的正弦值为3. ……………13分18. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．……………..2分又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，…………….4分 所以EF //平面PAC ． ……………..5分 （Ⅰ）证明：法2分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. ……………..1分 (0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(1,2,0)F ， (2,2,0)C . 于是(0,0,2)PA =-，(2,2,0)AC =. 设平面PAC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,PA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得20, 220.z x y -=⎧⎨+=⎩ 取1x =-，则1y =，0z =， (2)分得 (1,1,0)=-n ． ……………..3分(1,1,1)EF =-因为 0EF ⋅=n ，所以EF ⊥n ……………..4分所以//EF PAC 平面 ……………..5分（Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥． 因为PA ⊥ 底面ABCD ，所以PA BC ⊥. PAAB A =所以BC ⊥平面PAB ． ……………..6分由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知AB PA =，点E 是PB 的中点，所以PB AE ⊥． ……………..7分又因为=PB BC B ，所以AE ⊥平面PBC . (8)分因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥． ……………..9分（Ⅱ）证明：法2设(,2,0)F m ……………..6分于是(0,1,1)AE =，(,2,2)PF m =-. ……………..7分因为0AE PF ⋅= ……………..8分所以AE PF ⊥ ……………..9分（Ⅲ）(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =. 设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则 q m =-，r m =， (10)分得 (2,,)m m =-n ． (11)分由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,ABAD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为)2,00(，=AP ． ……………..12分根据题意，11||||4APAP ⋅==⋅n n ，解得23m =． ……………..13分由于2BC AB ==，所以13BF BC =. ……………..14分19. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， ……………… 2分 所以 122p -=-， 解得1p =， ……………… 4分 所以 抛物线的方程为22y x =. ……………… 5分 （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y .将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. ……………… 7分 所以 124x x =. ……………… 8分由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =， ……………… 9分注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. ……………10分 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， ………………12分 即 OM ON ⊥. ………13分 20. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：由2222,1x y y x ⎧+=⎨=+⎩ 得2340x x +=，解得0x =或43x =-， ……………2分所以,A C 两点的坐标为(0,1)和41(,)33--， ……………4分所以AC =……………5分（Ⅱ）①若B 是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B ，因为3OB OP =，P 在线段OB上，所以3P，求得AC =6分 所以OAC ∆的面积等于4291. …………7分 ②若B 不是椭圆的左、右顶点，设:(0)AC y kx m m =+≠，1122(,),(,)A x y C x y ，由22,22y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， …………8分 122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+，所以，AC 的中点P 的坐标为222(,)2121km mk k -++，……………9分 所以2263(,)2121km mB k k -++，代入椭圆方程，化简得22219k m +=.…………10分 计算AC =221k =+………11分=9m .………………12分 因为点O 到AC 的距离O AC d -=.……………13分 所以，OAC ∆的面积2OAC O AC S AC d ∆-1=⋅4291==.综上，OAC ∆面积为常数49. (14)。

2019-2020学年北京市密云区高三（上）期末数学试卷题号 一 二 三 总分 得分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x ∈R|x >1}，B ={x ∈R|x 2≤4}，则A ∪B =( )A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)2. 已知双曲线方程为x 2−3y 2=6，则双曲线的离心率等于( )A. √3B. 2√33C. 2D. 33. 定义在R 的函数y =f(x)在[0,2]上单调递增，且对任意的x 有f(x +2)=f(2−x)，则下列结论成立的是( )A. f(1)<f(52)<f(72) B. f(72)<f(1)<f(52) C. f(72)<f(52)<f(1)D. f(52)<f(1)<f(72)4.，满足f(2π3−x)=−f(x)，且对任意x ∈R ，都有f(x)⩾f(π4).当ω取最小值时，函数f(x)的单调递减区间为( )A. [π12+kπ3,π4+kπ3],k ∈ZB. [π12+2kπ,π4+2kπ],k ∈Z C. [−π12+kπ3,π12+kπ3],k ∈Z D. [−π12+2kπ,π12+2kπ],k ∈Z5. “tanx =−1”是“x =−π4+2kπ(k ∈Z)”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件6. 下列函数中，是偶函数，且在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =|x|B. y =3−xC. y =1xD. y =−x 2+47. 如图，六个边长为1的正方形排成一个大长方形，AB 是长方形的一条边，Pi(i =1,2，…，10)是小正方形的其余各个顶点，A. 10B. 6C. 4D. 38.安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有()A. 13B. 18C. 22D. 289.已知函数f(x)={x 2,x≤02x−1,x>0，若f(x)≥1，则x的取值范围是()A. (−∞,−1]B. [1,+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)10.给出下列结论：①若a⃗≠0⃗，a⃗⋅b⃗ =0，则b⃗ =0⃗；②若a⃗⋅b⃗ =b⃗ ⋅c⃗，则a⃗=c⃗；③(a⃗⋅b⃗ )c⃗=a⃗(b⃗ ⋅c⃗ )；④a⃗[b⃗ (a⃗⋅c⃗ )−c⃗(a⃗⋅b⃗ )]=0；⑤若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |,则a⃗⊥b⃗ 其中正确的为()A. ②③④B. ①②⑤C. ④⑤D. ③④⑤第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.已知复数z=1−i2i在复平面内对应的点为Z，则Z关于虚轴对称的点位于第______象限．12.抛物线y2=x的焦点和准线的距离等于______ ．13.已知等比数列{a n}满足a5=2a4，a2=1，数列{a n}的前n项和S n，则S6=______ ．14.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若6a=4b=3c，则cosB=______ ．15.四棱锥P−ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P−ABCD的表面积为______．16.若某商场将彩电价格由原价2250元/台提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖__________元．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）17.已知角α的终边过点P(1,−3)，求的值．cosα√1+tan2α18.某市为了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．(Ⅰ)求这次铅球测试成绩合格的人数；(Ⅱ)用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；(Ⅲ)经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、19.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，BC=2AB,∠ABC=60∘，PA=PB，点M为AB的中点。

北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜05．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．48．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ； （Ⅱ）证明：BD ⊥CE ．16．（13分）如图，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PA=2BC=2，M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．17．（13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程．18．（13分）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值．19．（14分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC ∥AB ，BC ⊥CD ，EA ⊥ED ，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0）D．（0，2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论．【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程，根据a，b，c之间的关系是解决本题的关键．2．已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，椭圆的离心率e==．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，【点评】本题考查椭圆的离心率公式，考查计算能力，属于基础题．3．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则 l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l⊂β或l∥β；在B中，由线面垂直的判定定理得l⊥β；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．4．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【考点】四种命题．【分析】根据已知中的原命题，结合逆否命题的定义，可得答案．【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D【点评】本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．6．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，由双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，c2=a2+b2，即可求得a和b的值，即可求得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查计算能力，属于基础题．7．已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．8．用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【考点】平行投影及平行投影作图法；棱锥的结构特征．【分析】利用正方体和正四面体的性质，分析4个选项，即可得出结论．【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确． 故选D ．【点评】本题考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”的否定是 对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0 ． 【考点】特称命题．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．【解答】解：因为命题“存在x ∈R ，使得x 2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0． 故答案为：对任何x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0．【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础．10．已知点M （0，﹣1），N （2，3）．如果直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，那么a 等于 1 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的斜率． 【分析】利用相互垂直的直线的斜率之间关系即可得出． 【解答】解：∵点M （0，﹣1），N （2，3），∴k MN ==2，∵直线MN 垂直于直线ax+2y ﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间关系，属于基础题．11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值为 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD ，BD 1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．12．一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，由此能求出该三棱柱的侧视图的面积．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为： =2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．【点评】本题考查三棱柱的侧视图的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=3求得P点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x=2，P|=2，代入抛物线方程得：|yP=×|OF|×2=．∴S△POF故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键．14．学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h （所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x ．【考点】抛物线的标准方程．【分析】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n），即可得出结论．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．【点评】本题考查抛物线的方程，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【考点】直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，推导出PC∥OE，由此能证明PC∥平面BDE．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16．（13分）（2016秋•西城区期末）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，从而AM⊥BC，再求出AM⊥PB，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．17．（13分）（2016秋•西城区期末）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为x 2+y 2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l 的斜率为时，求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，求出圆心到直线l 的距离，即可求l 与圆C 相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求出A 的坐标，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l 的方程为y=x ，圆C 圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l 的距离为=．…所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ） 设A （x 1，y 1），因为A 为OB 的中点，则B （2x 1，2y 1）．…（8分） 又A ，B 在圆C 上，所以 x 12+y 12﹣6y 1+4=0，4x 12+4y 12﹣12y 1+4=0．…（10分） 解得y 1=1，x 1=±1，…（11分）即A （1，1）或A （﹣1，1）．…（12分） 所以，直线l 的方程为y=x 或y=﹣x ．…（13分）【点评】本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016秋•西城区期末）已知F 1为椭圆+=1的左焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于两点P ，Q ．（Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （k ≠0），点P 关于原点的对称点为P ′，点Q 关于x 轴的对称点为Q ′，P ′Q ′所在直线的斜率为k ′．若|k ′|=2，求k 的值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）直线l 的倾斜角为45°，直线l 的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得|PQ|；（Ⅱ）设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得丨k ′丨=丨丨=丨丨=2，即可求得k 的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F 1（﹣1，0），设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 又直线l 的倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x 2+8x ﹣8=0，…（3分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=﹣．…（4分）丨PQ 丨=•=•=，∴|PQ|=；…（Ⅱ）由，整理得：（3+4k 2）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，…（6分）则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=，…（8分）依题意P ′（﹣x 1，﹣y 1），Q ′（x 2，﹣y 2），且y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），∴丨k ′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x 1﹣x 2丨==，…（11分）∴丨k ′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k 2=9，k=±，k 的值±．．…（13分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（14分）（2014•东城区二模）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．【考点】平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE 和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键．20．（14分）（2016秋•西城区期末）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l 1⊥l 2，求梯形A 1A 2B 2B 1面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据抛物线的性质即可求出答案，（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和，即可得到△OA 1B 1∽△OA 2B 2，即A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1，根据韦达定理和直线垂直的关系得到直线A 1B 1方程为x=ty+2p ，A 2B 2方程为x=ty+4p ，再根据弦长公式和两直线之间的距离公式，以及梯形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线W 1，W 2的准线分别为x=﹣和x=﹣p ，所以，抛物线W 1，W 2准线间的距离为（Ⅱ）设l 1：y=k 1x ，代入抛物线方程，得A 1，A 2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA 1B 1∽△OA 2B 2， 所以A 1B 1∥A 2B 2．（Ⅲ）设A （x 1，y 1）B （x 2，y 2），直线A 1B 1方程为x=ty+m 1， 代入曲线y 2=2px ，得y 2﹣2pty ﹣2pm 1=0，所以y 1+y 2=2pt ，y 1y 2=﹣2pm 1．由l 1⊥l 2，得x 1x 2+y 1y 2=0，又y 12=2px 1，y 22=2px 2，所以+y 1y 2=0，由y 1y 2=﹣2pm 1，得m 1=2p ．所以直线A 1B 1方程为x=ty+2p ， 同理可求出直线A 2B 2方程为x=ty+4p ，所以|A 1B 1|=|y 1﹣y 2|=2p •，|A 2B 2|=4p •，平行线A 1B 1与A 2B 2之间的距离为d=，所以梯形A 1A 2B 2B 1的面积≥12p 2当t=0时，梯形A 1A 2B 2B 1的面积达最小，最小值为12p 2．【点评】本题考查了抛物线的性质直线和抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，以及转化能力，属于中档题．。

北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距正（主）视图俯视图离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l时，求l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.A BCDPEA BCPM18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；；12.；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.ABCDPE O因为BC AB ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 105AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --……………13分17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分 所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ===. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分 所以2122834k x x k-+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分 依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -==， ……………11分结合2122834k x x k -+=+，可得k '=2=. ……………12分解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2分 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D，(0,B，(C-，(2,0,E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(2,DC =-. …………6分设(,,)x y z=n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n .……………8分 所以BE 和平面CDE所成的角的正弦值3. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,CE =-,(0,BD =-. 则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分12||||OAOA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+， 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y =-= ……………12分22||4A B =，平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅= ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p . ……………14分。

北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A.与平行B.与相交C.与异面D. 以上三个答案均有可能7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；④曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.16. 已知圆，其中.（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）18. 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.19. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证: ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。

北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．2．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A ．B ．1C ．2D ．43．双曲线4x 2﹣y 2=1的一条渐近线的方程为（ ）A ．2x+y=0B ．2x+y=1C ．x+2y=0D ．x+2y=14．在空间中，“直线a ，b 没有公共点”是“直线a ，b 互为异面直线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知A ，B 为圆x 2+y 2=2ax 上的两点，若A ，B 关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ）A ．B ．0C ．D ．16．已知直线l 的方程为x ﹣my+2=0，则直线l （ ）A ．恒过点（﹣2，0）且不垂直x 轴B ．恒过点（﹣2，0）且不垂直y 轴C ．恒过点（2，0）且不垂直x 轴D ．恒过点（2，0）且不垂直y 轴7．已知直线x+ay ﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a 的取值是（ ）A ．2B ．±2C ．﹣2D ．08．已知两直线a ，b 和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ）A ．若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥αB ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥αC ．若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥bD ．若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ． 12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 ．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面四边形ABCD 的两组对边均不平行．①在平面PAB 内不存在直线与DC 平行；②在平面PAB 内存在无数多条直线与平面PDC 平行；③平面PAB 与平面PDC 的交线与底面ABCD 不平行；上述命题中正确命题的序号为 ．15．已知向量，则与平面BCD 所成角的正弦值为 ．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 的三个顶点坐标为A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．19．已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．北京市海淀区2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0 C．D．1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，故选：B．7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2 B．±2 C．﹣2 D．0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a•a=0，解得a值排除重合可得．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D ，若a ⊥α且α⊥β，则a ∥β或者a 在平面β内，故D 错误；故选：C ．9．已知点A （5，0），过抛物线y 2=4x 上一点P 的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B ，若|PB|=|PA|，则cos ∠APB=（ ）A ．0B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出P 的坐标，设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==，可得∠APB=120°，即可求出cos ∠APB ．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P 的横坐标为3，不妨取点P （3，2），设P 在x 轴上的射影为C ，则tan ∠APC==， ∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos ∠APB=﹣． 故选：C ．10．如图，在边长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则线段B 1P 的长度的最大值为（ ）A ．B ．2C ．D ．3【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B 1P 的长度的最大值．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设P （a ，b ，0），则D 1（0，0，2），E （1，2，0），B 1（2，2，2），=（a ﹣2，b ﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2）， ∵B 1P ⊥D 1E ，∴=a ﹣2+2（b ﹣2）+4=0，∴a+2b ﹣2=0，∴点P 的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD 中点F ，则点P 在线段AF 上，当A 与P 重合时，线段B 1P 的长度为：|AB 1|==2； 当P 与F 重合时，P （0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B 1P 的长度||==3， 当P 在线段AF 的中点时，P （1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B 1P 的长度||==． ∴线段B 1P 的长度的最大值为3．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．已知命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ： ∃x ∈R ，x 2＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：“∀x ∈R ，x 2≥0”，则￢p ：∃x ∈R ，x 2＜0． 故答案为：∃x ∈R ，x 2＜0．12．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．若曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为 （2，+∞） ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m ＞0且m ﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：曲线C ：mx 2+（2﹣m ）y 2=1是焦点在x 轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【考点】棱锥的结构特征．【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断；③用反证法利用线面平行的性质即可证明．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC 是直角三角形；（2）若△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m 的值．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程．【分析】（1）证明•=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC 是直角三角形；（2）求出△ABC 的外接圆的方程，利用△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m 的值．【解答】（1）证明：∵A （0，0），B （8，4），C （﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC 是直角三角形；（2）解：△ABC 的外接圆是以BC 为直径的圆，方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，∵△ABC 的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．如图所示的几何体中，2CC 1=3AA 1=6，CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，E 为棱A 1D 中点，平面ABE 分别与棱C 1D ，C 1C 交于点F ，G ．（Ⅰ）求证：AE ∥平面BCC 1；（Ⅱ）求证：A 1D ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角D ﹣EF ﹣B 的大小，并求CG 的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出CC 1∥AA 1，AD ∥BC ，从而平面AA 1D ∥平面CC 1B ，由此能证明AE ∥平面CC 1B ． （Ⅱ）法1：推导出AA 1⊥AB ，AA 1⊥AD ，AB ⊥AD ，以AB ，AD ，AA 1分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A 1D ⊥平面ABE ．法2：推导出AA 1⊥AB ，AB ⊥AD ，从而AB ⊥A 1D ，再由AE ⊥A 1D ，能证明A 1D ⊥平面ABE ．（Ⅲ）推导出平面EFD ⊥平面ABE ，从而二面角D ﹣EF ﹣B 为90°，设，且λ∈[0，1]，则G （2，2，3λ），再由A 1D ⊥BG ，能求出CG 的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC 1⊥平面ABCD ，且AA 1⊥平面ABCD ，所以CC 1∥AA 1，因为ABCD 是正方形，所以AD∥BC，因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），，，因为，所以，所以A1D⊥平面ABE．法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，所以AB⊥A1D．因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，所以A1D⊥平面ABE．（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，所以平面EFD⊥平面ABE．因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．19．已知椭圆G ：的离心率为，经过左焦点F 1（﹣1，0）的直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于C 点，且点C 在线段AB 上．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若|AF 1|=|CB|，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b 2=a 2﹣c 2=3，则椭圆G 的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，可设直线l ：y=k （x+1），由消y ，并化简整理得（4k 2+3）x 2+8k 2x+4k 2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，因为点C ，F 1都在线段AB 上，且|AF 1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x 1，﹣y 1）=（x 2，y 2﹣y C ），所以﹣1﹣x 1=x 2，即x 1+x 2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．。

2019-2020学年北京市密云区高二上学期期末考试英语试题及答案第I卷（共85分）第一部分：知识运用（共两节，共45分）第一节:语法填空（共10小题；每小题1.5分，共15分）A阅读下列短文，根据短文内容填空。

在未给提示词的空白处仅填写1个适当的单词，在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。

Because deaf people can’t hear,they have special ways of communicating.For example,they can learn to understand what someone is saying by looking at the mouth of the speaker.This____1____(call)lipreading.Also,speaking is very difficult for the deaf,because they can’t hear their own voices.____2____,it is possible with special training.According____3____many deaf people all around the world,the most practical and popular way of communicating is with sign language.B阅读下列短文，根据短文内容填空。

在未给提示词的空白处仅填写1个适当的单词，在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。

Henry was a good speaker and writer and decide to put these talents to use insupport of his cause.____4____(additional),he mailed copies of his book to governmental leaders throughout Europe.Four men from the Geneva Public Welfare Society joined Henry and organized a conference on the topic in1863.Thirty six people____5____(represent)fourteen European governments attended it,____6____became known as the Geneva Convention.C阅读下列短文，根据短文内容填空。

2019-2020学年高二（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac2＞bc2C．a2＞b2D．1a ＜1b2．抛物线x2＝8y的焦点坐标为（）A．（4，0）B．（0，4）C．（2，0）D．（0，2）3．命题“∃x∈R，x2﹣3x+4＞0”的否定是（）A．不存在x0∈R，x2﹣3x+4＜0B．存在x0∈R，x2﹣3x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣3x+4≤0D．∀x∈R，x2﹣3x+4＜04．平面α的法向量为n→，直线l的方向向量为m→，则“n→⋅m→=0”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则不等式{f(x)＞f′(x)0＜x＜4的解集为（）A．（0，1）B．(1，43)C．(43，2)D．（1，4）6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人最后一天走的路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里7．若数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n+1＝a n﹣a n﹣1，（n≥2，n∈N*），则a2019=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．28．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为直线l1，l2，直线l经过双曲线C 的右焦点F 且垂直于l 1，设直线l 与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，若FB →=3AF →，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．32C ．√62D ．4√33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），M （﹣1，1，2），则线段MN 的长度为 ． 10．已知双曲线x 2a −y 2=1（a ＞0）的离心率是√5，则a ＝ ．11．曲线f （x ）＝（x +1）cos x 在点（0，f （0））处的切线方程是 ．12．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝1有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程 ．13．已知二次不等式ax 2+2x +b ＞0的解集{x |x ≠−1a}，且a ＞b ，则a 2+b 2a−b的最小值为 ．14．已知椭圆G ：x 26+y 2b =1(0＜b ＜√6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2+a 4＝8． （Ⅰ）设b n =2a n ，求证：数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n +b n }的前n 项和．16．已知函数f(x)=13x 3−x 2−3x −2(x ∈R)． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）判断函数f （x ）零点的个数，并说明理由．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PCD ⊥平面ABCD ，△PCD 为等边三角形，AB =AD =12CD =1，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，M 是棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：AD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）证明：直线CM与平面PAB相交．18．已知函数f(x)=e xx+a(x−lnx)，a∈R．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√22，点M(√2，1)在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：√2x−2y+m=0(m≠0)与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点，求证：|PM|＝|QM|．20．给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=1n+a（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=1k（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2−12m−1．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac2＞bc2C．a2＞b2D．1a ＜1b解：∵a＞b，∴a+c＞b+c．而c＝0时，ac2＞bc2不成立；取a＝2，b＝﹣3时，a2＞b2与1a＜1b都不成立．故选：A．2．抛物线x2＝8y的焦点坐标为（）A．（4，0）B．（0，4）C．（2，0）D．（0，2）解：抛物线x2＝8y的焦点坐标为：（0，2）．故选：D．3．命题“∃x∈R，x2﹣3x+4＞0”的否定是（）A．不存在x0∈R，x2﹣3x+4＜0B．存在x0∈R，x2﹣3x+4≤0C．∀x∈R，x2﹣3x+4≤0D．∀x∈R，x2﹣3x+4＜0解：∵命题“∃x∈R，x2﹣3x+4＞0”是一个特称命题，∴本命题的否定是一个全称命题，∴命题“∃x∈R，x2﹣3x+4＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣3x+4≤0”故选：C．4．平面α的法向量为n→，直线l的方向向量为m→，则“n→⋅m→=0”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：∵a→是直线l的方向向量，u→是平面α的法向量，∴若a→⋅u→=0，则l∥α成立，反之若l∥α，则a→⊥u→，即a→⋅u→=0成立，则a→⋅u→=0是l∥α的充要条件，故选：C．5．已知函数f （x ）与f '（x ）的图象如图所示，则不等式{f(x)＞f′(x)0＜x ＜4的解集为（ ）A ．（0，1）B ．(1，43)C ．(43，2)D ．（1，4）解：根据导数与单调性的关系可知，当f ′（x ）＜0时，函数单调递减，当f ′（x ）＞0，函数单调递增，结合图象可知，图象中实线为f ′（x ）的图象，虚线为f （x ）的图象， 由{f(x)＞f′(x)0＜x ＜4可得，0＜x ＜1， 故选：A ．6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人最后一天走的路程为（ ） A ．3里B ．6里C ．12里D ．24里解：记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q =12的等比数列，由S 6＝378，得S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得：a 1＝192，∴a 6=192×125=6，故选：B ．7．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n +1＝a n ﹣a n ﹣1，（n ≥2，n ∈N *），则a 2019=（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n +1＝a n ﹣a n ﹣1， 所以当n ＝2时，a 3＝a 2﹣a 1＝1，当n ＝3时，a 4＝a 3﹣a 2＝﹣1，当n ＝4时，a 5＝a 4﹣a 3＝﹣1﹣1＝﹣2， 当n ＝5时，a 6＝a 5﹣a 4＝﹣2+1＝﹣1， 当n ＝6时，a 7＝a 6﹣a 5＝1， 当n ＝7时，a 8＝a 7﹣a 6＝2， …，所以：数列的周期为6． 故2019＝336×6+3， 即a 2019＝a 3＝1． 故选：C ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，直线l 经过双曲线C 的右焦点F 且垂直于l 1，设直线l 与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，若FB →=3AF →，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．32C ．√62D ．4√33解：如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为直线l 1：y =b a x ，l 2：y =−b ax ，直线l 的方程为y =−ab （x ﹣c ），联立{y =ba x y =−ab (x −c)，解得A （a 2c ，ab c ）， 联立{y =−ba x y =−ab (x −c)，解得B （a 2ca −b ，−abc a 2−b 2）． 由FB →=3AF →，得（b 2ca 2−b 2，−abc a −b）＝（3b 2c，−3ab c），∴b 2c a 2−b 2=3b 2c，即2c 2＝3a 2，∴e =c a =√62．故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），M （﹣1，1，2），则线段MN 的长度为 √6 ．解：空间直角坐标系中，点M （1，0，1），N （﹣1，1，2）， 所以线段AB 的长度为|MN |=√(−1−1)2+(1−0)2+(2−1)2=√6． 故答案为：√6． 10．已知双曲线x 2a 2−y 2=1（a ＞0）的离心率是√5，则a ＝12．解：双曲线x 2a −y 2=1（a ＞0）的离心率是√5， 可得：√a 2+1a =√5，解得a =12．故答案为：12．11．曲线f （x ）＝（x +1）cos x 在点（0，f （0））处的切线方程是 y ＝x +1 ． 解：f （x ）＝（x +1）cos x 的导数为f ′（x ）＝cos x ﹣（x +1）sin x ， 可得曲线在点（0，f （0））处的切线斜率为k ＝cos0﹣0＝1， 且切点为（0，1），可得曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝x +1， 故答案为：y ＝x +1．12．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝1有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程 x ±y ＝k ，k ≠0．（k 是任意非零实数都正确） ． 解：双曲线的渐近线方程为：x ±y ＝0，在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线x 2﹣y 2＝1有且只有一个公共点， 所以直线方程为：x ±y ＝k ，k ≠0．故答案为：x ±y ＝k ，k ≠0．（k 是任意非零实数都正确）13．已知二次不等式ax 2+2x +b ＞0的解集{x |x ≠−1a }，且a ＞b ，则a 2+b 2a−b的最小值为 2√2 ．解：∵二次不等式ax 2+2x +b ＞0的解集{x |x ≠−1a}， ∴a ＞0，且对应方程有两个相等的实根为−1a由根与系数的故关系可得−1a⋅(−1a)=b a，即ab ＝1 故a 2+b 2a−b=(a−b)2+2a−b=（a ﹣b ）+2a−b ，∵a ＞b ，∴a ﹣b ＞0，由基本不等式可得 （a ﹣b ）+2a−b ≥2√(a −b)2a−b=2√2， 当且仅当a ﹣b =√2时取等号 故a 2+b 2a−b的最小值为：2√2故答案为：2√2 14．已知椭圆G ：x 26+y 2b =1(0＜b ＜√6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP |的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是 ①② ． 解：椭圆G ：x 26+y 2b 2=1(0＞b ＞√6)的两个焦点分别为F 1（√6−b 2，0）和F 2（−√6−b 2，0），短轴的两个端点分别为B 1（0，﹣b ）和B 2（0，b ），设P （x ，y ），点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|， 由椭圆定义可得，|PB 1|+|PB 2|＝2a ＝2√6＞2b ， 即有P 在椭圆y 26+x 26−b 2=1上．对于①，将x 换为﹣x 方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得，当P 满足x 2＝y 2，即有6﹣b 2＝b 2，即b =√3时，|OP |取得最小值，可得x 2＝y 2＝2，即有|OP |的最小值为2，故②正确， 对于③，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且0＜b ＜√6， 则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故③不正确； 故答案为：①②三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2+a 4＝8． （Ⅰ）设b n =2a n ，求证：数列{b n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n +b n }的前n 项和．解：（Ⅰ）证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得：2+d +2+3d ＝8，解得d ＝1，∴a n ＝2+（n ﹣1）×1＝n +1． 由b n =2a n得b n ＝2n +1，又∵b n+1b n=2n+22n+1=2，b 1＝22＝4，∴数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n +b n ＝（n +1）+2n +1，∴数列{a n +b n }的前n 项和为（2+3+4+…+n +1）+（22+23+…+2n +1）=n(2+n+1)2+22(1−2n)1−2=n(n+3)2+2n +2﹣4． 16．已知函数f(x)=13x 3−x 2−3x −2(x ∈R)．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）判断函数f （x ）零点的个数，并说明理由．解：（Ⅰ）由f （x ）=13x 3−x 2−3x −2，得f ′（x ）＝x 2﹣2x ﹣3，由f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；由f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3．∴函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调减区间为（﹣1，3）．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）有极大值f（﹣1）=−13−1+3−2=−13＜0，f（x）的极小值为f（3）=13×33−32−3×3−2=−11＜0，且当x→+∞时，f（x）→+∞．∴函数f（x）零点的个数只有1个零点．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD为等边三角形，AB= AD=12CD=1，∠BAD＝∠ADC＝90°，M是棱PD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角M﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）证明：直线CM与平面PAB相交．解：（Ⅰ）证明：取CD中点O，连结PO，∵△PCD 为等边三角形，∴PO ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥AD ，∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，∴AD ⊥DC ，∵PO ∩DC ＝O ，∴AD ⊥平面PCD ．（Ⅱ）解：以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则D （0，﹣1，0），P （0，0，√3），M （0，−12，√32），B （1，0，0），C （0，1，0），BM →=（﹣1，−12，√32），BC →=（﹣1，1，0）， 设平面BCM 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BM →=−x −12y +√32z =0n →⋅BC →=−x +y =0，取x ＝1，得n →=（1，1，√3）， 平面BCD 的法向量m →=（0，0，1），设二面角M ﹣BC ﹣D 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√5=√155． ∴二面角M ﹣BC ﹣D 的余弦值为√155． （Ⅲ）证明：A （﹣1，1，0），CM →=（0，−32，√32），AP →=（1，﹣1，√3），AB →=（0，1，0），设平面PAB 的法向量p →=（a ，b ，c ），则{p →⋅AP →=a −b +√3c =0p →⋅AB →=b =0，取a =√3，得p →=（√3，0，﹣1）， ∵P →⋅CM →=−√32≠0， ∴直线CM 与平面PAB 相交．18．已知函数f(x)=e x x+a(x −lnx)，a ∈一、选择题． （Ⅰ）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （Ⅱ）若f （x ）＞0在[1，+∞）上恒成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）x ＝1时，f （1）＝e +a ，∵f ′（x ）=(e x+ax)(x−1)x 2， ∴f ′（1）＝0，故切线方程是y ＝e +a ；（Ⅱ）问题等价于f （x ）min ＞0，f ′（x ）=(e x+ax)(x−1)x 2， ∵x ≥1，∴x ﹣1≥0，x 2＞0，①a ≥0时，显然e x +ax ＞0，f ′（x ）≥0，f （x ）在[1，+∞）递增，故f （x ）min ＝f （1）＝e +a ，显然e +a ＞0，a ≥0符合题意；②a ＜0时，令h （x ）＝e x +ax ，h ′（x ）＝e x +a ，令h ′（x ）＝0，解得：x ＝ln （﹣a ），若ln （﹣a ）＜1即﹣e ＜a ＜0时，h ′（1）＝e +a ≥0，当x ≥1时，h ′（x ）＝e x +a ≥0，函数y ＝h （x ）在[1，+∞）上递增，故x ＝1时，函数有最小值h （1）＝e +a ≥0，当x ≥1时，显然e x +ax ≥0，函数y ＝f （x ）在[1，+∞）递增，故x ＝1时，函数有最小值f （1）＝e +a ，由题意e +a ＞0，故﹣e ＜a ＜0符合题意，若ln （﹣a ）＞1即a ＜﹣e 时，显然f （1）＝e +a ＜0，不合题意， 综上，若f （x ）＞0在[1，+∞）上恒成立，则a ＞﹣e ，故a 的范围是（﹣e ，+∞）．19．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，点M(√2，1)在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：√2x −2y +m =0(m ≠0)与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：|PM |＝|QM |．解：（Ⅰ）由题意可得：{ e =c a =√222a 2+1b 2=1c 2=a 2−b 2解得：a 2＝4，b 2＝2， 所以椭圆的方程为：x 24+y 22=1；（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆的方程{√2x −2y +m =0x 2+2y 2−4=0，整理可得：4x 2+2√2mx +m 2﹣8＝0，△＝8m 2﹣4×4（m 2﹣8）＞0，即﹣4＜m ＜4，且m ≠0，且x 1+x 2=−√22m ，x 1x 2=m 2−84因为k MP +k MQ =1x 1−22x 2−2=(√2x 1+m 2−1)(x 2√2)+(√2x 2+m 21√2)(x 1−2)(x 2−2) =√2x 1212√2m+4√22[x 1x 2−2(x 1+x 2)+2]=2√2(m 2−8)4−2√2m(m−4)4−8√2m 4+16√242[x 1x 2−2(x 1+x 2)+2]=2√2m 2−16√2−2√2m2+8√2m−8√2m+16√2 8[x1x2−2(x1+x2)+2]=0，所以∠MPQ＝∠MQP，即△MPQ为等腰三角形，所以|PM|＝|QM|．20．给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．已知数列{a n}的通项公式为a n=1n+a（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的一个3子阶数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=1k（k为常数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m≤2−12m−1．【解答】（1）解：∵a2，a3，a6成等差数列，∴a2﹣a3＝a3﹣a6．又∵a2=12+a，a3=13+a，a6=16+a，代入得12+a −13+a=13+a−16+a，解得a＝0．（2）证明：设等差数列b1，b2，…，b m的公差为d．∵b1=1k，∴b2≤1k+1，从而d＝b2﹣b1≤1k+1−1k=−1k(k+1)．∴b m＝b1+（m﹣1）d≤1k−m−1k(k+1)．又∵b m＞0，∴1k−m−1k(k+1)＞0．即m﹣1＜k+1．∴m＜k+2．又∵m，k∈N*，∴m≤k+1．（3）证明：设c1=1t（t∈N*），等比数列c1，c2，…，c m的公比为q．∵c2≤1t+1，∴q=c2c1≤t t+1．从而c n＝c1q n﹣1≤1t(t t+1)n−1（1≤n≤m，n∈N*）．∴c1+c2+…+c m≤1t+1t(t t+1)1+1t(t t+1)2+⋯+1t(t t+1)m−1=t+1t[1−(t t+1)m]，设函数f（x）＝x−1x m−1，（m≥3，m∈N*）．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）＝x−1x m−1为单调增函数．∵当t∈N*，∴1＜t+1t≤2．∴f（t+1t）≤2−12m−1．即c1+c2+…+c m≤2−12m−1．。

绝密★启用前2019-2020学年北京市密云区高二上学期期末数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b > B ．22ac bc >C ．a c b c +>+D ．11a b< 答案：C利用不等式的性质可得C 正确，通过取特殊值即可得,,A B D 错误. 解：12>-Q ，但是1112<-不成立，故D 不正确； 12Q ->-，但是()()2212->-不成立,故A 不正确； ,a b a c b c >∴+>+Q ，C 正确；0c =时，2200ac bc =>=，不成立，故选B .点评：用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性 2．抛物线28x y =的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()0,2答案：D抛物线交点坐标为(0,)2p，算出p 即可. 解：由282x y px ==，得4p =，故抛物线28x y =的焦点坐标为()0,2.故选：D. 点评：本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.3．命题“x R ∃∈，2+40x x >-3”的否定是（ ） A ．不存在0x R ∈，2+40x x <-3 B ．存在0x R ∈，2+40x x ≤-3 C ．x R ∀∈，2+40x x ≤-3 D ．x R ∀∈ ，2+40x x <-3答案：C,()x M p x ∃∈的否定为,()x M p x ∀∈⌝.解：根据特称命题的否定是全称命题可知x R ∃∈，2+40x x >-3的否定为：x R ∀∈，2+40x x ≤-3.故选：C. 点评：本题考查特称命题的否定，要注意两个方面的变化：一是量词符号，二是命题的结论，本题是一道容易题.4．已知直线l 的方向向量为m u r ,平面α的法向量为n r,则“0m n ⋅=u r r ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断,即可求得答案. 解：Q 0m n ⋅=u r r∴m n ⊥u r rQ 0m n ⋅=u r r ,即m n ⊥u r r,不一定有l ∥α,也可能l α⊂ ∴“0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”的不充分条件 Q l ∥α,可以推出m n ⊥u r r,∴“0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”是必要条件,综上所述, “0m n ⋅=u r r”是“l ∥α”必要不充分条件. 故选:B.点评：本题主要考查了判断必要不充分条件,解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义,属于中档题.5．已知函数()f x 与()'f x 的图象如图所示，则不等式组()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（ ）A ．()0,1B ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,4答案：A由()f x 与()'f x 的关系判断出哪支是()f x 的图象，哪支是()'f x 的图象即可.解：结合图象，若实线是()f x 的图象，虚线是()'f x 的图象，则在(0,2)上()'0f x <，则()f x在(0,2)单调递增，不满足题意，故实线那支为()'fx 的图象，虚线那支为()f x 的图象，故不等式组()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A. 点评：本题考查()f x 与()'f x 图象之间的联系，考查学生逻辑推理能力，是一道基础题.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A ．24里B ．12里C ．6里.D ．3里答案：C由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程． 解：解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列， 由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=， 故选C ． 点评：本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 7．若数列{}n a 中，121,2a a ==，11,n n n a a a +--=*(2,)n n ≥∈N ，则2019a ＝（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2答案：C用1n +去换11n n n a a a +-=-中的n ，得21n n n a a a ++=-，相加即可找到数列{}n a 的周期. 解：由11n n n a a a +-=-①，得21n n n a a a ++=-②，①+②，得21n n a a +-=-，即3n n a a +=-，故6n n a a +=，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，2019633633211a a a a a ⨯+===-=.故选：C. 点评：本题考查周期数列的应用，在求项数比较大的项时，我们通常考虑是否为周期数列，本题是一道容易题.8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，直线l 经过双曲线C 的右焦点F 且垂直于1l ，设直线l 与1l ，2l 分别交于A ，B 两点，若3FB AF =u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．23B ．32C ．62D ．433答案：C由已知可得FA b =，OA a =，过F 作FG OB ⊥于G ，易得FG b =，22BG b =，从而22OB a b =+，在OAB ∆中，利用勾股定理222OB OA AB =+即可建立,,a b c 之间的关系. 解：如图1，1:0l bx ay +=，2:0l bx ay -=，由已知，22FA b a b==+，3FB b =，所以2222OA OF FA c b a -=-=，如图2，过F 作FG OB ⊥于G ，易证AOF FOG ∆≅∆，所以FG b =，故OG OA a ==，2222922BG BF GF b b b =--=，从而22OB a b =+，在OAB ∆中，222OB OA AB =+，所以222(2)16a b a b +=+，化简 得2a b =，故双曲线离心率为2161()122c b e a a ==+=+=. 故选：C. 点评：本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，关键是找到,,a b c 之间的关系，建立方程或不等式，本题是一道中档题.二、填空题9．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），N （-1，1，2），则线段MN 的长度为____________根据两点间距离公式计算． 解：MN ==． 点评：本题考查空间两点间距离公式，属于基础题．10．已知双曲线2221x y a-=（0a >则a =_________．答案：12利用e ==1b =解方程即可.解：由已知，1b =，所以c e a ====12a =. 故答案为：12. 点评：本题考查已知离心率求参数，考查学生的计算能力，是一道基础题.11．曲线()(1)cos f x x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程是_________________． 答案：1y x =+先求出(0)f 与'(0)f ，再利用点斜式即可得到答案.解：由已知，'()cos (1)sin f x x x x =-+，所以'(0)1f =，又(0)1f =，故切线方程为'(0)(0)(0)y f f x -=-，即1y x =+.故答案为：1y x =+. 点评：本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题. 12．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线221x y -=有且只有一个公共点，请写出任意符合条件的一条直线l 方程_______________．答案：1;1;(0);(0)x x y x a a y x a a ==-=+≠=-+≠ （答案不唯一） 分别讨论直线l 斜率不存在、存在两种情况，再联立双曲线方程消元讨论即可. 解：当直线l 斜率不存在时，1x =或1x =-，满足题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y kx a =+，联立双曲线方程可得222(1)210k x kax a ----=，当1k =时，2210ax a ---=，若0a ≠，则方程有唯一解212a x a+=-，满足题意，此时直线l 方程为(0)y x a a =+≠，若0a =，则方程无解，不满足题意；同理，当1k =-时，2210ax a --=，若0a ≠，则方程有唯一解212a x a+=，满足题意， 此时直线l 方程为(0)y x a a =-+≠，若0a =，则方程无解，不满足题意；当1k ≠±时，则方程有两个不等的根或无实根，不满足题意.故答案为：1;1;(0);(0)x x y x a a y x a a ==-=+≠=-+≠（答案不唯一） 点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，其实本题可以数形结合得到，是一道容易题.13．已知二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值为__________.答案：根据题意得出0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，可得出1b a =，然后将所求代数式转化为()2a b a b-+-，并利用基本不等式求出该代数式的最小值. 解：由于二次不等式220ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，则0440a ab >⎧⎨∆=-=⎩，1ab ∴=且0a >，a b >Q ，0a b ∴->.()()()2222222a b ab a b a b a b a ba b a b a b-+-++∴===-+≥=----.当且仅当a b -=.因此，22a b a b+-的最小值为故答案为：点评：本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了不等式的解集与方程根的关系，把所要求的式子化简为可利用基本不等式的形式是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.14．已知椭圆G ：2221(06x y b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是__________． 答案：①②分析：运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当p 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，OP 的值取得最小，即可判断②正确；通过b 的变化，可得③不正确. 详解：椭圆(222:1066x y G b b+=<<的两个焦点分别为)216,0F b -和()226,0F b --，短轴的两个端点分别为()10,B b -和()20,B b ， 设(),P x y ，点P 在椭圆G 上， 且满足1212PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，122262PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上， 对于①，将x 换为x -方程不变， 则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确.； 对于②，由图象可得，当P 满足22x y =， 即有226b b -=， 即3b =OP 取得最小值，可得222x y ==时， 即有22222OP x y =+=+=取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于,x y 轴对称，且06b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 有2个，故③不正确. ，故答案为①②.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，属于难题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.三、解答题15．已知等差数列{}n a 中，1242,8a a a =+=. （1）设2n an b =，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和. 答案：（1）证明见解析 （2）()()3422-1++n n n（1）直接利用等比数列的定义证明；（2）采用分组求和法分别求出数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项和，再相加即可. 解：解：（1）设{}n a 的公差为d ，由2416a a +=，可得()()1138a d a d +++=，即1248a d +=. 又12a =，可得1d =.故()()112111n a a n d n n =+-=+-⋅=+ 依题意，12n n b +=，因为211222n n n n b b +++==（常数）. 故{}n b 是首项为4，公比2的等比数列. （2）{}n a 的前n 项和为()()1322n n a a n n ++={}n b 的前n 项和为n+1n 1422421)112n b b q q --⋅==---（ 故{}n n a b +的前n 项和为()342n n n ++（2-1）. 点评：本题考查等差、等比数列定义，分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道基础题. 16．已知函数321()32()3f x x x x x R =---∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）判断函数()f x 零点的个数，并说明理由.答案：（1）函数()f x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增；函数()f x 在区间(1,3)-上单调递减. （2）一个，理由见解析（1）2()23f x x x '=--，列表得到'()f x 在区间(,)-∞+∞上的正负符号即可得到()f x 的单调性； （2）计算1(1)3f -=-，(3)11f =-，(9)0f >，由（1）的结论及零点存在定理即可得到答案. 解：（1）解：由题意得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得11x =-，23x =． ()f x 与'()f x 在区间(,)-∞+∞上的情况如下:函数()f x 在区间(,1)-∞-，(3,)+∞上单调递增; 函数()f x 在区间(1,3)-上单调递减. （2）根据第一问，由函数单调性可知 当1x =-时，()f x 有极大值1(1)3f -=-； 当3x =时，()f x 有极小值(3)11f =-；在区间(,1)-∞-单调递增，在区间(1,3)-上单调递减，可知在(3)∞-，上，恒有()0f x <； 当9x =时， (9)0f >，(举例不唯一)(3,)+∞上单调递增，由零点存在定理可知，有且只有一个实数(3,)t ∈+∞，使得()0f t =. 所以函数()f x 有且只有一个零点 点评：本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数的问题，涉及到零点存在性定理的应用，是一道基础题.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，等边三角形PCD 所在的平面垂直于底面ABCD ，112AB AD CD ===， 90BAD ADC ∠=∠=o ，M 是棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角M BC D --的余弦值；（Ⅲ）判断直线CM 与平面PAB 的是否平行，并说明理由．答案：（Ⅰ）见解析 (Ⅱ)155（Ⅲ）直线CM 与平面PAB 不平行 （Ⅰ）根据面面垂直的性质定理直接证得结果；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求解出平面MBC 和平面BCD 的法向量，然后求出法向量夹角的余弦值，由二面角为锐二面角，可得到所求二面角的余弦值；（Ⅲ）求解平面PAB 的法向量，可知CM u u u u v与法向量不垂直，由此得到结论为不平行. 解：（Ⅰ）证明：Q 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⋂平面ABCD CD =，AD ⊂平面ABCD 且AD CD ⊥AD ∴⊥平面PCD（Ⅱ）取CD 的中点O ，连结OB ，OPPC PD =Q OP CD ∴⊥12AB CD =Q AB OD ∴=又90BAD ADC∠=∠=oQ∴四边形ABOD是平行四边形//OB AD∴OB OC∴⊥AD⊥Q平面PCD AD OP∴⊥OB OP∴⊥建立如图所示空间直角坐标系O xyz-则()1,1,0A-，()1,0,0B，()0,1,0C，(3P，130,,22M⎛-⎝⎭330,,22CM⎛⎫∴=-⎪⎪⎝⎭u u u u v，()1,1,0CB=-u u u v设(),,m x y zv=为平面MBC的一个法向量，由m CMm CB⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u vvu u u vv得3322y zx y⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩令1x=，得1y=，3z=(3m=v因为z轴垂直于平面BCD，所以取平面BCD的一个法向量()0,0,1nv=315cos,551m nm nm n⋅===⨯v vv vv v所以二面角M BC D--的余弦值为155（Ⅲ）直线CM与平面PAB不平行理由如下：()0,1,0AB=u u u v，(1,0,3PB=-u u u v设(),,v x y zv=为平面PAB的一个法向量，由v ABv PB⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv得30yx z=⎧⎪⎨=⎪⎩令1z=，得3x=)3,0,1v=v333030102CM v⎛⎫⋅=-⨯=≠⎪⎝⎭u u u u v v所以CM u u u u v 与v v不垂直，又因为CM ⊄平面PAB所以直线CM 与平面PAB 不平行 点评：本题考查面面垂直的性质、空间向量法解二面角、线面位置关系的判定问题.采用空间向量法解决二面角问题的关键是能够明确二面角大小等于两平面法向量所成角或其补角.18．已知函数()(ln )xe f x a x x x=+-，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()1(1)f ，处的切线方程； （2）若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围. 答案：（1）y e a =+ （2）a e ≥-（1）先求出(1)f 与'(1)f ，再利用点斜式即可得到答案.（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0，在求()y f x =的最小值时需分0a ≥，0a <两种情况讨论即可. 解：解：（Ⅰ）当1x =时，(1)+f e a =，因为'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y e a =+．（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0.'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 因为1x ≥所以10x -≥， 20x >. ①当0a ≥时，显然+0x e ax >，'22(1)1(+)(1)()()=0x x e x x e ax x f x a x x x---=+≥ 函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =，显然+0e a ≥，所以0a ≥符合条件.②当0a <时，令()+x h x e ax =，'()+xh x e a =解得=ln()x a -，若ln()1a -≤即0e a -≤<时，'(1)+0h e a =≥ 当1x ≥时，'()+0xh x e a =≥函数()y h x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+0h e a =≥， 当1x ≥时，显然+0x e ax ≥.函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 依题意有+0e a ≥，所以0e a -≤<符合条件.若ln()1a ->即a e <-时，显然(1)+0f e a =<，不符合. 综上，若函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，则a e ≥-. 点评：本题考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常构造函数，转化为最值来处理.19．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的离心率为2，点M ）在椭圆上. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线:l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线MA ，MB 与x 轴分别交于P ，Q 两点，求证：PM QM =．答案：（1）22142x y += （2）证明见解析（1）由已知解方程组22222121c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩即可；（2）要证明PM QM =，只需证MPQ MQP ∠=∠，也就是证直线MA 与MB 的斜率和为0，即120k k +=，而12k k +=可.解：解：（1）因为M ）在椭圆22221x y a b+=上，所以22211a b +=因为离心率2，所以2c a =，有222a b c =+解得24a =所以，椭圆的标准方程为22142x y +=（2）由2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩得22480x m ++-=．因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点M ，所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩解得40m -<<或04m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x +=，21284m x x -=, 112my +=，222my +=． 显然直线MA 与MB 的斜率存在，设直线MA 与MB 的斜率分别为1k ，2k ，由（Ⅰ）可知M则12k k +=1221(1)((1)(m mx x ++-+--===28)(m m ----+=2=220==．因为120k k +=，所以MPQ MQP ∠=∠． 所以PM QM =．点评：本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的数据运算与转化与化归的核心素养，是一道有难度的题.20．给定一个数列{}n a ，在这个数列里，任取*(3,)m m m N ≥∈项，并且不改变它们在数列{}n a 中的先后次序，得到的数列称为数列{}n a 的一个m 阶子数列．已知数列{}n a 的通项公式为1n a n a=+（*,n N a ∈为常数），等差数列236,,a a a 是数列{}n a 的一个3阶子数列． （1）求a 的值；（2）等差数列12,,...,m b b b 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列，且 11b k= （k 为常数，*,2)k N k ∈≥，求证：1m k ≤+； （3）等比数列12,,...,m c c c 是{}n a 的一个*(3,)m m m N ≥∈ 阶子数列， 求证：1211 (22)m m c c c -+++≤-．答案：（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析．试题分析：（1）由236,,a a a 成等差数列得3262a a a =+，可解得a ；（2）{}k b 是等差数列，由11b k =，知211b k <+，从而211111(1)d b b k k k k =-<-=-++，这样数列{}n b 是递减的，但它是{}n a 的子数列，因此各项就均为正，由此有111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+，从而有110(1)m k k k -->+，可得结论；（3）与（2）设11c t=，类似得211c t q c t <≤+，从而11*111()(1,)1n n n c c q n m n N t t --=≤≤≤∈+，1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++L L ＝1[1()]1m t t t t +-+＝11()1m t t t t -+-+．下面要证1111()212m m t t t t --+-≤-+，这可由证明函数11()(3,*)m g x x m m N x -=-≥∈的单调性得其最大值得到结论．试题解析：（1）因为236,,a a a 成等差数列，所以2336a a a a -=-． 又因为212a a =+，313a a =+，616a a=+， 代入得11112336a a a a-=-++++，解得0a =． （2）设等差数列12,,,m a a a L 的公差为d ． 因为11b k =，所以211b k ≤+， 从而211111(1)d b b k k k k =-≤-=-++． 所以111(1)(1)m m b b m d k k k -=+-≤-+． 又因为0m b >，所以110(1)m k k k -->+． 即11m k -<+．所以2m k <+．又因为*,m k N ∈，所以1m k ≤+．（3）设11c t= （*t N ∈），等比数列123,,m c c c c L 的公比为q ．因为211c t ≤+，所以211c t q c t =≤+．从而11*111()(1,)1n n n c c qn m n N t t --=≤≤≤∈+．所以1211231111()()()111m m t t t c c c c t t t t t t t -++++≤++++++L L＝1[1()]1mt t t t +-+ ＝11()1m t t t t -+-+． 设函数*11(),(3,)m f x x m m N x-=-≥∈． 当(0,)x ∈+∞时，函数11()m f x x x -=-为单调增函数．因为当*t N ∈，所以112t t +<≤．所以111()22m t f t -+≤-． 即1211......22m m c c c -+++≤-．【注：若有其它解法，请酌情给分】【考点】新定义，等差数列的性质，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式与前n 项和公式，放缩法证明不等式．。

2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知椭圆的一个焦点为（2，0），则a的值为（）A．B．C．6D．82．（4分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝a n﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（）A．5B．6C．7D．83．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2≤1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1 4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．a2＜b2D．a3＜b35．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（）A．B．6C．9D．186．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或08．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当时，数列x﹣f（x），f（x），x（）A．是等差数列，也是等比数列B．是等差数列，不是等比数列C．是等比数列，不是等差数列D．不是等差数列，也不是等比数列9．（4分）设有四个数的数列{a n}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（）A．m≥6B．C．m≤6D．m≥210．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②C．②③D．③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为．12．（5分）不等式＜0的解集为．13．（5分）能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a、b值是a＝，b＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为万元；当n＝时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯x i的左边有且只有灯x i﹣1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要次操作；如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要次操作．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{a n}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，且S n＝62，求n的值．18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠P AB＝90°．P A＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），a i﹣1+a j+1＝a i+a j与a i+1+a j﹣1＝a i+a j至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”．（Ⅰ）求证：若数列{a n}为等差数列，则{a n}为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{a n}为“和谐数列”，则数列{a n}从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{a n}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得a p＝p，a1+a2+a3+…+a p＝﹣p，求p的所有可能值．2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（4分）已知椭圆的一个焦点为（2，0），则a的值为（）A．B．C．6D．8【分析】判断椭圆的焦点所在的轴，然后转化求解a即可．【解答】解：椭圆的一个焦点为（2，0），所以椭圆的长轴是x轴，所以，解得a＝2．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．2．（4分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＝a n﹣1+2（n∈N*，n≥2），则a3＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】结合等差数列的定义及通项公式即可求解．【解答】解：由题意可知数列是以a1＝2为是首项，以2为公差的等差数列，则a3＝6．故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的定义及通项公式的应用，属于基础试题．3．（4分）已知命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p为（）A．∀x≥1，x2≤1B．∃x＜1，x2＞1C．∀x＜1，x2＞1D．∃x≥1，x2＞1【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：命题p：∃x＜1，x2≤1，则￢p：∀x＜1，x2＞1；故选：C．【点评】本题考查命题的否定，注意运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化思想，属于基础题．4．（4分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．a2＜b2D．a3＜b3【分析】利用不等式的性质，逐项分析即可．【解答】解：取a＝﹣2，b＝﹣1，a＝2b，故选项A错误；当b＝0时，ab＝b2＝0，故选项B错误；取a＝﹣1，b＝0，显然选项C错误；由y＝x3为R上的增函数可知，当a＜b时，a3＜b3，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．5．（4分）已知向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，那么||＝（）A．B．6C．9D．18【分析】根据题意，设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1），分析可得x、y的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量＝（﹣1，2，1），＝（3，x，y），且∥，则设＝k，即（3，x，y）＝k（﹣1，2，1），则有k＝﹣3，则x＝﹣6，y＝﹣3，则＝（3，﹣6，﹣3），故||＝＝3；故选：A．【点评】本题考查空间向量的平行以及模的计算，关键是求出x、y的值．6．（4分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（4分）已知向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或0【分析】由，，共面，得，由此能求出x的值．【解答】解：∵向量＝（1，x，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面，∴，∴（1，x，2）＝（n，m，2m），解得n＝1，m＝x，2＝2m，∴x＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量共面的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（4分）德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数f（x）＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当时，数列x﹣f（x），f（x），x（）A．是等差数列，也是等比数列B．是等差数列，不是等比数列C．是等比数列，不是等差数列D．不是等差数列，也不是等比数列【分析】根据题意，求出f（x）和x﹣f（x）的值，即可得数列x﹣f（x），f（x），x；据此分析可得答案．【解答】解：根据题意，当时，f（x）＝2，则x﹣f（x）＝（+1）﹣2＝﹣1，数列x﹣f（x），f（x），x，即﹣1，2，+1，其不是等差数列，也不是等比数列；故选：D．【点评】本题考查数列的表示方法，关键是求出f（x），属于基础题，9．（4分）设有四个数的数列{a n}，该数列前3项成等比数列，其和为m，后3项成等差数列，其和为6．则实数m的取值范围为（）A．m≥6B．C．m≤6D．m≥2【分析】本题先根据等差数列列出后3项，然后根据等比中项的性质算出第1项，再写出m关于d的表达式，根据二次函数的性质可得出实数m的取值范围．【解答】解：由题意，后3项成等差数列，其和为6，故可设公差为d，后3项可写成2﹣d，2，2+d．又∵前3项成等比数列，根据等比中项的性质，可知第1项为．∴数列{a n}为：，2﹣d，2，2+d．∴m＝+2﹣d+2＝d2﹣3d+6＝（d﹣3）2+≥．故选：B．【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的性质，二次函数的知识，考查了函数思想的应用及计算能力．本题属中档题．10．（4分）曲线C：x3+y3＝1．给出下列结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②C．②③D．③【分析】将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，曲线C 关于原点不对称；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y，即有﹣x3﹣y3＝1，则x3+y3＝﹣1，所以曲线C关于原点不对称，故①错误；曲线C：x3+y3＝1过点M（x，），M到原点O（0，0）的距离：|MO|＝≥1，故②正确；曲线C：x3+y3＝1经过（1，0），（0，1）两个整数点，故③正确；故正确的结论的序号是：②③，故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查曲线的对称性、曲线上的点到原点的距离和整点问题等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11．（5分）设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为8．【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，结合椭圆的定义可得若M为椭圆上一点，则有|MF1|+|MF2|＝2a＝10，又由题意，分析可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆的方程为+＝1，其中a＝＝5，若P为椭圆上一点，则有|PF1|+|PF2|＝2a＝10，又由P到左焦点F1的距离是2，则P到右焦点的距离为10﹣2＝8；故答案为：8．【点评】本题考查椭圆的几何性质，注意利用椭圆的定义分析．12．（5分）不等式＜0的解集为（0，1）．【分析】由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，由此解得不等式的解集．【解答】解：由不等式＜0可得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．13．（5分）能说明“若a＞b，则”为假命题的一组a、b值是a＝1，b＝﹣1．【分析】结合不等式的性质即可进行判断．【解答】解：利用a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但是，故此时若a＞b，则”为假命题．故答案为：1，﹣1．【点评】本题主要考查了命题的真假判断，属于基础试题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y＝x 的距离为c，可得：＝b＝，可得，即c＝2a，所以双曲线的离心率为：e＝．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．15．（5分）某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费（含购买费用）为n2+3n+100万元；当n＝10时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．【分析】第一空：根据增长规律可求得第n年捕捞所需费用为2n+2，进而求出总费用；第二空：表示出平均花费，利用基本不等式即可求出n＝10时平均花费最低．【解答】解：因为第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元，则第n年捕捞所需费用为4+2（n﹣1）＝2n+2，所以总花费为+100＝n2+3n+100；平均花费＝＝n++3≥2+3＝23，当且仅当n2＝100即n＝10时，平均花费最小，故答案为：n2+3n+100；10．【点评】本题考查函数模型的实际应用，涉及基本不等式求最值，属于综合题．16．（5分）若x1，x2，x3，…，x9表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯x1在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的i∈{x∈N|2≤x≤9}，要求灯x i的左边有且只有灯x i﹣1是开灯状态时才可以对灯x i进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯x4关闭最少需要3次操作；如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要21次操作．【分析】（1）把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要3次操作；（2）按照规则，适当对灯x1操作，先把灯x6打开，再一步一步把前面的灯打开即可．【解答】解：（1）如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯x2关闭，再把x1灯关闭，再把x4灯关闭，最少需要3次操作；（2）如果除灯x6外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么：第1次操作：把x2灯关闭，第2次操作：把x1灯打开，第3次操作：把x4灯关闭，第4次操作：把x1灯打开，第5次操作：把x2灯打开，第6次操作：把x1灯关闭，第7操作：把x3灯关闭，第8次操作：把x1灯打开，第9次操作：把x2灯关闭，第10次操作：把x1灯关闭，第11次操作：把x6灯打开，第12次操作：把x1灯打开，第13次操作：把x2打开，第14次操作：把x1灯关闭，第15次操作：把x3灯打开，第16次操作：把x1灯打开，第17次操作：把x2灯关闭，第18次操作：把x1灯关闭，第19次操作：把x4灯打开，第20次操作：把x1灯打开，第21次操作：把x2灯打开，至少需要21次操作，可以使所有灯都开着，故答案为：3，21．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（13分）已知等比数列{a n}的公比为2，且a3，a4+4，a5成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，且S n＝62，求n的值．【分析】本题第（Ⅰ）题先根据数列{a n}的公比为2的等比数列写出a3，a4，a5．然后根据等差中项的性质有2（a4+4）＝a3+a5，代入解出a1，即可得到数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题根据等比数列的求和公式写出前n项和为S n，然后S n＝62，化简，解关于n 的方程即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{a n}为公比为2的等比数列，故，a4＝8a1，a5＝16a1，依题意，得2（a4+4）＝a3+a5，即2（8a1+4）＝4a1+16a1，整理，得4a1＝8，解得a1＝2．∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ）根据（1），可知＝．故2n+1﹣2＝62，整理，得2n+1＝64，解得n＝5．∴n的值是5．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，以及等比数列的求和公式．考查了方程思想的应用和计算能力．本题属中档题．18．（13分）已知函数f（x）＝x2+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（a）＞f（1），求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集．【分析】（I）结合已知函数解析式及二次不等式的解法即可求解，（II）结合二次不等式的恒成立可转化为求最值问题，可求，（III）结合二次不等式的解法，对a进行分类讨论即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由f（a）＞f（1）得a2+a2＞1+a，整理得2a2﹣a﹣1＞0，解得或a＞1}．（Ⅱ）f（x）≥﹣4对∀x∈R恒成立，则f（x）min≥﹣4，所以，整理得a2﹣16≤0，解得{a|﹣4≤a≤4}（Ⅲ）解x2+ax＝0，得x1＝0，x2＝﹣a，①当﹣a＞0时，即a＜0时，x＜0或x＞﹣a；②当﹣a＜0时，即a＞0时，x＜﹣a或x＞0；③当﹣a＝0时，即a＝0时，x≠0．综上，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜0或x＞﹣a}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x ＜﹣a或x＞0}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次不等式的恒成立问题的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档试题．19．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB＝90°，求△AFB的面积．【分析】（Ⅰ）由离心率及焦点坐标和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，A，F的坐标，设B的坐标，由∠AFB＝90°，得直线BF，AF的斜率之积为﹣1，即B在椭圆上，求出B的坐标，进而求出AF，BF的长，求出面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意c＝1，，解得，，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）设点B（x0，y0），因为点B在椭圆上，所以，因为∠AFB＝90°，所以k F A•k FB＝﹣1，得，由①②消去y0得，，解得x0＝0（舍），，代入方程②得，所以，所以，又，所以△AFB的面积．【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．20．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面ABP，BC∥AD，∠P AB＝90°．P A＝AB＝2，AD＝3，BC＝m，E是PB的中点．（Ⅰ）证明：AE⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角C﹣AE﹣D的余弦值是，求m的值；（Ⅲ）若m＝2，在线段AD上是否存在一点F，使得PF⊥CE．若存在，确定F点的位置；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥平面P AB．AE⊥BC．AE⊥PB．由此能证明AE⊥平面PBC．（Ⅱ）建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能求出m的值．（Ⅲ）设F（0，0，t）（0≤t≤3）．当m＝2时，C（0，2，2）.，．由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛盾．从而在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为AD⊥平面P AB，BC∥AD，所以BC⊥平面P AB．又因为AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC．在△P AB中，P A＝AB，E是PB的中点，所以AE⊥PB．又因为BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC．（Ⅱ）解：因为AD⊥平面P AB，所以AD⊥AB，AD⊥P A．又因为P A⊥AB，所以，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），B（0，2，0），C（0，2，m），E（1，1，0），P（2，0，0），D（0，0，3），，．设平面AEC的法向量为＝（x，y，z）．则即令x＝1，则y＝﹣1，，于是＝（1，﹣1，）．因为AD⊥平面P AB，所以AD⊥PB．又PB⊥AE，所以PB⊥平面AED．又因为，所以取平面AED的法向量为＝（﹣1，1，0）．所以|cos＜＞|＝＝，即，解得m2＝1．又因为m＞0，所以m＝1．（Ⅲ）解：结论：不存在．理由如下：证明：设F（0，0，t）（0≤t≤3）．当m＝2时，C（0，2，2）.，．由PF⊥CE知，，﹣2﹣2t＝0，t＝﹣1．这与0≤t≤3矛盾．所以，在线段AD上不存在点F，使得PF⊥CE．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查实数值的求法，考查满足线线垂直的点是否存在的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（14分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），抛物线C上横坐标为1的点到焦点F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）过（﹣1，0）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，交直线x＝﹣4于点E，直线BF交直线x＝﹣1于点D．是否存在这样的直线l，使得DE∥AF？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l的方程．【分析】（Ⅰ）通过横坐标为1的点到焦点的距离为3，求出p得到抛物线方程．得到准线方程．（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．利用韦达定理，方法一：直线BF的方程为，求出D的坐标，利用直线DE与直线AF的斜率相等．推出．转化求解直线的斜率，得到直线方程．方法二：利用DE∥AF，得到，转化求解直线的斜率，然后求解直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以，解得p＝4，所以y2＝8x，所以准线方程为x＝﹣2．（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x+1）（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得消去y得k2x2+（2k2﹣8）x+k2＝0．由△＝（2k2﹣8）2﹣4k4＞0，解得．所以且k≠0．由韦达定理得，x1x2＝1．方法一：直线BF的方程为，又x D＝﹣1，所以，所以，因为DE∥AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等．又E（﹣4，﹣3k），所以．整理得，即，化简得，，即x1+x2＝7．所以，整理得，解得．经检验，符合题意．所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．方法二：因为DE∥AF，所以，所以．整理得x1x2+（x1+x2）＝8，即，整理得．解得，经检验，符合题意．所以存在这样的直线l，直线l的方程为或．【点评】本题主要考查了直线与抛物线相交问题弦长问题，点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（13分）若无穷数列a1，a2，a3，…满足：对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），a i﹣1+a j+1＝a i+a j与a i+1+a j﹣1＝a i+a j至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”．（Ⅰ）求证：若数列{a n}为等差数列，则{a n}为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{a n}为“和谐数列”，则数列{a n}从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{a n}是各项均为整数的“和谐数列”，满足a1＝0，且存在p∈N*使得a p＝p，a1+a2+a3+…+a p＝﹣p，求p的所有可能值．【分析】（I）结合等差数列的性质即可进行证明，（II）结合等差数列的定义进行转化即可求解证明，（III）对p的所有可能的值进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式及性质可求．【解答】（Ⅰ）证明：因为数列{a n}为等差数列，所以对任意两个正整数i，j（j﹣i≥3），有a i+1﹣a i＝a j﹣a j﹣1＝d，所以a i+1+a j﹣1＝a i+a j．所以数列{a n}为“和谐数列”．（Ⅱ）证明：因为数列{a n}为“和谐数列”，所以当i＝1，j＝4时，只能a i+1+a j﹣1＝a i+a j成立，a i﹣1+a j+1＝a i+a j不成立．所以a2+a3＝a1+a4，即a2﹣a1＝a4﹣a3．当i＝1，j＝5，6，7，8，9…时，也只能a i+1+a j﹣1＝a i+a j成立，a i﹣1+a j+1＝a i+a j不成立．所以a2+a4＝a1+a5，a2+a5＝a1+a6，a2+a6＝a1+a7，…，即a2﹣a1＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝a7﹣a6＝…，所以a2﹣a1＝a4﹣a3＝a5﹣a4＝a6﹣a5＝…令a2﹣a1＝d，则数列{a n}满足a n﹣a n﹣1＝d（n≥4）．所以，数列{a n}从第3项起为等差数列．（Ⅲ）解：①若p＝1，则a p＝a1＝1，与a1＝0矛盾，不合题意．②若p＝2，则a1＝0，a2＝2，但a1+a2＝2≠﹣2，不合题意．③若p＝3，则a1＝0，a3＝3，由a1+a2+a3＝﹣3，得a2＝﹣6，此时数列{a n}为：0，﹣6，3，﹣3，﹣9，…，符合题意．④若p≥4，设a2﹣a1＝d，则．所以，即．因为p﹣1≠0，所以p+d+p﹣（p﹣3）d＝0．所以p＝4不合题意．所以．因为p为整数，所以为整数，所以p＝5，6，8，12．综上所述，p的所有可能值为3，5，6，8，12．【点评】本题考查等差关系的确定与等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．。

2019-2020学年北京市密云区高二（上）期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若a>b>0，则下列不等式中总成立的是()A. ba >b+1a+1B. a+1a>b+1bC. a+1b>b+1aD. 2a+ba+2b>ab2.抛物线的标准方程是y2=−12x，则其焦点坐标是()A. (3,0)B. (−3,0)C. (0,3)D. (0,−3)3.命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A. ∀x∉R，x2≠xB. ∀x∈R，x2=xC. ∃x∉R，x2≠xD. ∃x∈R，x2=x4.已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是()A. m⊥n，n⊂αB. m//β，α⊥βC. n⊥α，n⊥β，m⊥βD. α∩β=n，α⊥β，m⊥n5.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)⋅f′(x)<0的解集为()A. (−2,0)B. (−∞,−2)∪(−1,0)C. (−∞,−2)∪(0,+∞)D. (−2,−1)∪(0,+∞)6.《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著．其中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第四天走的路程(单位：里)为A. 192B. 48C. 24D. 67.数列{a n}中，已知a61=2000，且a n+1=a n+n，则a1等于()A. 168B. 169C. 170D. 1718.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F且平行于其一条渐近线的直线l与另一条渐近线交于点A，直线l与双曲线交于点B，且|BF|=2|AB|，则双曲线的离心率为()A. 2√33B. √2C. √3D. 2第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.在空间直角坐标系中，点A(1,−2,1)与点B(0,1，−1)的距离为______ ．10.双曲线x24−y2=1的离心率等于________．11.函数f(x)=xcosx+sinθ在(0,0)处的切线方程为________．12.设P为直线y=b3a x与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=_____.13.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b≤0的解集为{x|x=−1a}，且a>b，则a−ba2+b2的最大值为________．14.下列关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10−|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|−|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；④双曲线x216−y210=1与椭圆x230+y24=1有相同的焦点．其中真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等比数列{a n}的首项为2，等差数列{b n}的前n项和为S n，且a1+a2=6，2b1+a3=b4，S3=3a2．(Ⅰ)求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=b an，求数列{c n}的前n项和．16.已知函数f(x)=x3−3x2−9x−6．(1)求函数f(x)的单调增区间．(2)分析函数f(x)零点的个数．17.如图，三棱锥D−ABC中，AD=CD，AB=BC=4√2，AB⊥BC．(1)求证：AC⊥BD；(2)若二面角D−AC−B的大小为150°且BD=4√7，M为DC的中点，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．18.已知函数f(x)=13x3−alnx−13(a∈R,a≠0)(1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1(−3,0)，且点P(2,√2)在C上．(1)求C的方程；(2)设点P关于x轴的对称点为点Q.不经过P点且斜率为√24的直线1与C交于A，B 两点，直线PA，PB分别与x轴交于点M，N，求证：∠MPQ=∠NPQ．20.已知首项为32的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设T n=S n−1S n(n∈N∗)，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．答案和解析1.【答案】C【解析】由a>b>0，得1a <1b，即有a+1b>b+1a．2.【答案】B【解析】解：抛物线的标准方程是y2=−12x，可知焦点坐标在x轴上，P=6，焦点坐标(−3,0)．故选：B．利用抛物线的标准方程求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查全称命题与特称命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，即可写出结果．【解答】解：命题的否定是“∃x∈R,x2=x”，故选D．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解：对于A，若m⊥n，n⊂α，则m可能在α内或与α相交，故A错误；对于B、若m//β，α⊥β，则m可能在α内或m//α或或m⊥α，故B错误；对于C、当n⊥β，m⊥β时，m//n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故C正确，对于D、若α∩β=n，α⊥β，m⊥n，则m可能在α内或与α相交，故D错误，故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查识图能力，利用导数判断函数的单调性是重点．根据函数y=f(x)(x∈R)的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，即可得不等式f(x)f′(x)<0的解集．【解答】解：由f(x)图象单调性可得f′(x)在(−∞,−1)，(0,+∞)上大于0，在(−1,0)上小于0，∴f(x)f′(x)<0的解集为(−∞,−2)∪(−1,0)．故选：B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的求和公式的实际应用，属中档题．利用等比数列的前n项和公式和通项公式求解即可得结果．【解答】解：记每天走的里程数为{a n}，易知{a n}是以12为公比的等比数列，其前6项和S6=378，则S6=a1(1−1 26 )1−12=378，解得a1=192，所以a4=192×(12)3=24．选C．【解析】 【分析】本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题． 【解答】解：∵a 61=2000,a n+1−a n =n ，则a 61=(a 61−a 60)+(a 60−a 59)+⋯+(a 2−a 1)+a 1=60+59+⋯+1+a 1 =60×(60+1)2+a 1=2000， ∴a 1=170． 故选C ．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．求出A 、B 坐标，焦点坐标，然后利用|BF|=2|AB|，结合双曲线方程，求解离心率即可． 【解答】 解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)， 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点F 且平行于其一条渐近线的直线l 与另一条渐近线交于点A ，{y =ba x y =−b a (x −c)，解得A(c 2,bc 2a )，|BF|=2|AB|，解得B(2c 3,bc3a)， 直线l 与双曲线交于点B ，4c 29a2−c 29a 2=1，e >1，解得e =√3．故选C ．9.【答案】√14【解析】解：空间直角坐标系中，点A(1,−2,1)与点B(0,1，−1)的距离为：|AB|=√(0−1)2+(1+2)2+(−1−1)2=√14．故答案为：√14．根据空间直角坐标系中两点间的距离公式，直接求值即可．本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．10.【答案】√52【解析】解：由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，则c2=a2+b2=4+1=5，则a=2，c=√5，即双曲线的离心率e=ca =√52，故答案为：√52根据双曲线的方程，求出a，b，c，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的离心率的计算，求出a，c是解决本题的关键，比较基础．11.【答案】x−y=0【解析】【分析】本题考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题目．利用导数求出切线的斜率，再由点斜式写出切线方程．【解答】解：∵点(0,0)在曲线f(x)上，∴f(0)=0，即sinθ=0，f′(x)=cosx−xsinx，∴f′(0)=cos0+sinθ=1，∴所求切线方程为y=x．故答案为x−y=0．12.【答案】3√24【解析】解：设F1(−c,0)，则∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=b3ax上的点∴(−c,−bc3a )在双曲线x2a2−y2b2=1上∴c2a2−(−bc3a)2b2=1∴c2a2=98∴e=ca=3√24故答案为：3√24设F1(−c,0)，利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=b3a x上的点，可得(−c,−bc3a)在双曲线x2a2−y2b2=1上，由此可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题．13.【答案】√24【解析】【分析】本题主要考查二次不等式以及利用基本不等式求最值，属于中档题，由题意根据二次函数的性质得到，ab=1，且a>0，再转化式子利用基本不等式求解即可．【解答】解：由题意得Δ=22−4ab=0，且a>0，即ab=1．因为a>b，所以a−b>0，所以a−ba2+b2=a−b(a−b)2+2ab=a−b(a−b)2+2=1(a−b)+2(a−b)≤2√2=√24，当且仅当a−b=√2时，等号成立．故答案为√24．14.【答案】②④【解析】解：对于①，根据椭圆的定义，当k >|AB|时是椭圆，∴故为假命题； 对于②，由|PA|=10−|PB|，得|PA|+|PB|=10>|AB|，所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的图象，且2a =10，2c =8，所以a =5，c =4，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a +c =5+3=9，所以为真命题．对于③，设A ，B 为两个定点，P 为动点，若|PA|−|PB|=6，当6<|AB|时，则动点P 的轨迹为双曲线，故为假命题； 对于④，双曲线x 216−y 210=1的焦点为(±√26,0)，椭圆x 230+y 24=1的焦点(±√26,0)，故为真命题． 故答案为：②④．①，根据椭圆的定义，当8>|AB|时是椭圆；②，利用椭圆的定义，求出a 、c ，|PA|的最大值为a +c ； ③，利用双曲线的定义判断； ④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．本题考查了圆锥曲线的命题的真假判定，掌握圆锥曲线的定义是关键，属于基础题．15.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ．由a 1+a 2=6，得 a 1+a 1q =6.因为a 1=2，所以q =2． 所以a n =a 1q n−1=2⋅2n−1=2n ．由{2b 1+a 3=b 4,S 3=3a 2,得 {2b 1+8=b 1+3d,3b 1+3d =12,解得{b 1=1,d =3. 所以b n =b 1+(n −1)d =3n −2． (Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n ，b n =3n −2． 所以c n =b a n =3×2n −2．从而数列{c n }的前n 项和T n =3×(21+22+23+⋯+2n )−2n =3×2×(1−2n )1−2−2n =6×2n −2n −6．【解析】(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d.利用已知条件列出方程组，求解即可．(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n ，b n =3n −2.求出c n =b a n =3×2n −2.然后分组求解即可． 本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力．16.【答案】解：(1)∵f(x)=x 3−3x 2−9x −6，∴f′(x)=3x 2−6x −9=3(x +1)(x −3)， 由f′(x)=3(x +1)(x −3)<0，得−1<x<3，∴函数f(x)的递增区间是(−∞,−1)，(3,+∞)．(2)∵f(x)=x3−3x2−9x−6，∴f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，由f′(x)=3(x+1)(x−3)=0，得x1=−1，x2=3．列表如下：∴当x=−1时，函数取得极大值f(−1)=−1−3+9−6=−1；当x=3时，函数取得极小值f(3)=27−27−27−6=−33；当x趋近−∞时，f′(x)趋近+∞；当x趋近+∞时，f′(x)趋近−∞；所以，函数只有一个零点．【解析】本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，函数的零点问题，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；(2)求出函数的最小值，通过讨论a的范围，从而求出函数的零点的个数即可．17.【答案】解：(1)证明：取AC中点O，连接BO，DO，∵AD=CD，AB=BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO=O，∴AC⊥平面BOD，又BD⊂平面BOD，∴AC⊥BD．(2)解：由(1)知∠BOD是二面角D−AC−B的平面角，∴∠BOD=150°，∵AC⊥平面BOD，AC⊂平面ABC，∴平面BOD⊥平面ABC且交于OB，，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，Oz为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB =4，在△BOD 中由余弦定理得OD =4√3，∴A(0,−4,0)，B(4,0，0)，C(0,4，0)，D(−6,0，2√3)，∴M(−3,2，√3)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−7,2，√3)，平面ABC 的法向量n⃗ =(0,0，1)， 设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sinθ=|n ⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3√56=√4228．【解析】(1)取AC 中点O ，连结BO ，DO ，推导出AC ⊥BO ，AC ⊥DO ，从而AC ⊥平面BOD ，由此能证明AC ⊥BD ．(2)∠BOD 是二面角D −AC −B 的平面角，从而∠BOD =150°，推导出平面BOD ⊥平面ABC ，在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，Oz 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)当a =3时，f(x)=13x 3−3lnx −13，f(1)=0，∴f′(x)=x 2−3x ，∴f′(1)=−2，切点为(1,0)， ∴曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为： y −0=(−2)⋅(x −1)，即2x +y −2=0． (2)对任意的x ∈[1,+∞)，使f(x)≥0恒成立，只需对任意的x ∈[1,+∞)，f(x)min ≥0， ∴f′(x)=x 3−a x，(x >0)，当a <0时，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)的递增区间为(0,+∞)；当a >0时，令f′(x)=0，解得：x =√a 3或x =−√a 3(舍)，x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴函数f(x)的递增区间为(√a 3,+∞)，递减区间为(0,√a 3)，①当a <0时，函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)min =f(1)=13−aln1−13=0，∴a <0满足题意；②当0<a ≤1时，0<√a 3≤1，函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x)min =f(1)=13−aln1−13=0，∴0<a ≤1满足题意；③当a >1时，√a 3>1，函数f(x)在(1,√a 3)上是减函数，在(√a 3,+∞)上是增函数，∴f(x)min =f(√a 3)=a−alna−13<f(1)=0，∴a >1不满足题意．综上，a 的取值范围为(−∞,0)∪(0,1]．【解析】(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数f(x)的最小值大于等于0，从而求出a 的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性．最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．19.【答案】解：(1)设右焦点为F 2，则F 2(3,0)，由题意知|PF 1|=√(2+3)2+(√2)2=3√3，|PF 2|=√(2−3)2+(√2)2=√3， 由椭圆的定义，得|PF 1|+|PF 2|=4√3=2a ，所以a =2√3， 又椭圆C 的半焦距c =3，所以b 2=a 2−c 2=12−9=3， 所以椭圆C 的方程为x 212+y 23=1，(2)证明：设直线l 的方程为y =√24x +t(t ≠√22)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，图6由{y =√24x +tx 212+y 23=1得3x 2+4√2tx +8t 2−24=0， 则△=32t 2−24(4t 2−12)=32(9−2t 2)>0，x 1+x 2=−4√2t 3，x 1x 2=8t 2−243，所以k AF +k BF =y 1−√2x 1−2+y 2−√2x 2−2=√24x 1+t−√2x 1−2+√24x 2+t−√2x 2−2=√22x 1x 2+(−3√22+t)(x 1+x 2)−4(t −√2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=4√23t 2−4√2+4t−4√23t 2−4(t−√2)x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=0，如图6所示，由点P 关于x 轴的对称点为点Q ，则PQ ⊥x 轴， 又直线PA ，PB 分别与x 轴交于点M ，N ，所以∠MPQ =∠NPQ ．【解析】(1)根据椭圆的定义求得a ，再根据c 求得b ，可得C 的方程；(2)联立直线与椭圆后，由韦达定理得A ，B 两点横坐标之和，之积，然后推出AF ，BF 的斜率之和为0，再得到两角相等． 本题考查了直线与椭圆的综合，属难题．20.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为q ，∵S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列．∴S 5+a 5−(S 3+a 3)=S 4+a 4−(S 5+a 5)即4a 5=a 3，故q 2=a 5a 3=14又∵数列{a n }不是递减数列，且等比数列的首项为32∴q =−1∴数列{a n }的通项公式a n =32×(−12)n−1=(−1)n−1⋅32 (Ⅱ)由(Ⅰ)得S n =1−(−12)n ={1+12n ,n 为奇数1−12n ,n 为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1=32 故0<S n −1S n≤S 1−1S 1=32−23=56当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以1>S n ≥S 2=34 故0>S n −1S n≥S 2−1S 2=34−43=−712综上，对于n ∈N ∗，总有−712≤S n −1S n≤56故数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为−712【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为q ，由S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，求出q 值，可得答案． (Ⅱ)由(Ⅰ)可得S n 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出S n −1S n在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n 项和公式，数列的基本性质等基础知识，考查分类讨论思想，考查运算能力、分析问题和解析问题的能力．。

北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合M ={−1,0，1，5}，N ={−2,1，2，5}，则M ∩N =( )A. {−1,1}B. {1,2，5}C. {1,5}D. φ2. 函数y =sin (−x2+π4)的最小正周期为( )A. πB. 2πC. 4πD. π23. 下列函数中，既是偶函数，又在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =1−x 2D. y =x 24. 命题“∀x ∈[1,2],x 2−3x +2⩽0”的否定为( )A. ∀x ∈[1,2],x 2−3x +2>0B. ∀x ∉[1,2],x 2−3x +2>0C. ∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0D. ∃x 0∉[1,2],x 02−3x 0+2>05. 已知函数y =f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345y −2−0.31 0.43 0.89 1.21 则函数f (x )一定存在零点的区间是( )A. B.C. D.6. 为了得到函数f(x)=sin(3x +π4)的图象，只需将函数g(x)=sinx 图象上的点( )A. 先将横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变，再向右平移π12个单位长度B. 先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变 C. 先向左平移3π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变 D. 先向右平移3π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变 7. 设m ∈R ，i 是虚数单位，则“m =1”是“复数m 2−m +mi 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0，有5不同的实数解，则m 的取值范围是( )A. (−1,1e )B. (0,+∞)C. (0,1e )D. (0,1e ]二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. log 28−(−23)0=______．10. 已知实数x >0，y >0，且4x +1y =2，则xy 的最小值为______． 11. 函数y =tan(x −π6)的定义域是_____________，当x =19π3时y =________．12. 命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆命题是______ ． 13. 如果函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则a =______．14. 若log 3x =−1log 23，则x =__________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 已知集合M ={x|2x −4=0}，集合N ={x|x 2−3x +m =0}，(1)当m =2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N =⌀时，求实数m 的取值范围．16. 直角坐标系xoy 中，锐角α的终边与单位圆的交点为P ，将OP 绕O 逆时针旋转到OQ ，使∠POQ =α，其中Q 是OQ 与单位圆的交点，设Q 的坐标为(x,y)． (1)若P 的横坐标为35，求yx ；(2)求x +y 的取值范围．17.函数f(x)=3x2+5x−2．(1)求f(3)，f(a+1)的值；(2)若f(a)=−4，求a的值．18.已知函数的最大值为5．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．19.已知函数f(x)=x2−3x−4在[0,m]上的值域为[−25,−4]，求m的取值范围．4+2√2 20.若所有属于a+b√2(a∈Z,b∈Z)的数组成的集合为A，则6+2√2是不是A中的元素？25是不是A中的元素？-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵M={−1,0，1，5}，N={−2,1，2，5}，∴M∩N={1,5}．故选C找出两集合的公共元素即可得到两集合的交集．此题了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：本题主要考查三角函数的周期的计算，属于基础题．根据三角函数的周期公式进行计算即可．解：，由三角函数的周期公式可得函数的周期T=2π12=4π，故选C.3.答案：D解析：解：y=1x是奇函数；y=e−x，不是偶函数；y=1−x2是偶函数，但是在(−∞,0)上单调递增，y=x2满足题意．故选：D．判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可．本题考查二次函数的性质，函数的奇偶性以及函数的单调性，是基础题．4.答案：C解析：本题考查全称量词命题的否定，属基础题． 把“∀”变为“∃”，并否定结论． 【解答】解：∀x ∈[1,2],x 2−3x +2⩽0的否定为：∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0，故选C ．5.答案：B解析：本题考查了函数零点存在性原理.利用函数零点存在性原理直接得结论． 解：由于f(2)=−0.31>0，f(3)=0.43<0，由函数零点存在性定理可知：函数f (x)在区间(2,3)内一定有零点． 故选B ．6.答案：B解析：本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论． 解：把函数g(x)=sinx 的图象先向左平移个单位，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的13，纵坐标不变， 可得函数f(x)=sin(3x +π4)的图象， 故选B ．7.答案：C解析：解：若复数m 2−m +mi ，(m ∈R,i 为虚数单位)为纯虚数， 则{(1−m)m =0m ≠0，即{m =1或0m ≠0，解得m =1， ∴“m =1”是“复数m 2−m +mi ，(m ∈R,i 为虚数单位)为纯虚数”的充要条件． 故选：C ．根据充分条件和必要条件的定义，结合复数的有关概念即可得到结论．本题主要充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键．8.答案：C解析：本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，是较难题．利用导数研究函数y=lnxx的单调性并求得最值，求解方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m=0得到f(x)=m或f(x)=−12.画出函数图象，数形结合得答案．解：设y=lnxx ，则y′=1−lnxx2，由y′=0，解得x=e，当x∈(0,e)时，y′>0，函数为增函数，当x∈(e,+∞)时，y′<0，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f(e)=1e．方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m=0化为[f(x)−m][2f(x)+1]=0．解得f(x)=m或f(x)=−12．如图画出函数图象：可得m的取值范围是(0,1e).故选C．9.答案：2解析：解：log 28−(−23)0=3−1=2． 故答案为：2．可以求出log 28=3,(−23)0=1，从而可求出原式的值． 考查对数的运算，以及x ≠0时，x 0=1．10.答案：4解析：解：由4x +1y =2可得，4y +x =2xy ≥2√4xy ， 所以xy ≥4(当且仅当x =4，y =1时取等号)． 故答案为：4．先将4x +1y =2整理成4y +x =2xy ，再利用基本不等式的性质即可得解． 本题考查基本不等式的应用，属于基础题．11.答案：{x|x ≠kπ+2π3,k ∈Z}， √33解析：本题主要考查函数定义域的求法以及诱导公式，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．根据正切函数的性质即可求出函数的定义域，利用诱导公式可求得函数值． 解：要使函数有意义，则x −π6≠kπ+π2，k ∈Z ， 则x ≠kπ+2π3，k ∈Z ，故函数的定义域为{x|x ≠kπ+2π3,k ∈Z}，当x =19π3时，．故答案为{x|x ≠kπ+2π3,k ∈Z}， √33．12.答案：“若a 2>b 2，则a >b ”解析：解：命题“若a >b ，则a 2>b 2”的逆命题是“若a 2>b 2，则a >b ”， 故答案为：“若a 2>b 2，则a >b ”根据已知中的原命题，结合逆命题的定义，可得答案．本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题．13.答案：2解析：本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法求参数的方法，考查运算能力，属于中档题． 由奇函数的定义可得，f(−x)+f(x)=0，再化简整理，即可得到a ． 解：函数f(x)=a⋅3x +4−a 4(3x −1)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0， 即有a⋅3−x +4−a 4(3−x −1)+a⋅3x +4−a 4(3x −1)=0，则a2+13−x −1+13x −1=0， 化简得到，a2+3x1−3x +13x −1=0， 即a2=1， 故a =2． 故答案为：214.答案：12解析：解：∵log 3x =−1log23=log 312，∴x =12． 15.答案：解：(1)∵M ={2}，当m =2时，N ={1,2}，∴M ∩N ={2}，M ∪N ={1,2}…(5分) (2)∵2∉N ，∴22−3×2+m ≠0…(10分) 解得：m ≠2解析：(1)解方程求出M ，N ，进而结合集合交集，并集，补集的定义，可得答案． (2)由2∈M 可得：当M ∩N =⌀时，2∉N ，即22−3×2+m ≠0．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题．16.答案：(1)−247；(2)(−1,√2]．解析：(1)∵P 的横坐标为35，∴cosα=35，sinα=45，∴tanα=43，∴yx =tan2α=2tanα1−tan 2α=2×431−(43)2=−247.法二：∵P 的横坐标为35，∴cosα=35，sinα=45，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=925−1625=−725，sin2α=2sinαcosα=2×45×35=2425，∴yx =sin2αcos2α=−247.(2)x +y =cos2α+sin2α=√2sin(2α+π4)，α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，2α+π4∈(π4,5π4)，∴sin(2α+π4)∈(−√22,1]，∴√2sin(2α+π4)∈(−1,√2],∴x +y 的取值范围是(−1,√2]．17.答案：解：(1)f(3)=3×32+5×3−2=40，f(a +1)=3(a +1)2+5(a +1)−2=3a 2+11a +6． (2)∵f(a)=3a 2+5a −2=−4， ∴3a 2+5a +2=0， 解得a =−1或a =−23．解析：本题考查了函数的解析式，根据解析式求值即可，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意，f(x)=cos2x −√3sin2x −a=−2sin(2x −π6)−a ，因为函数f(x)的最大值为5，即2−a =5， 故a =−3．(Ⅱ)令g(x)=−2sin(2x −π6)， f(x)的周期以及单调性与g(x)相同， 所以f(x)的最小正周期是2π2=π， 由正弦函数的性质， 令，解得， 所以f(x)的单调递减区间是解析：本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调区间，属于中档题．(Ⅰ)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，然后由函数f(x)的最大值为5，即可求出； (Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质，可得f(x)的最小正周期及单调递减区间．19.答案：解：f(x)=x 2−3x −4图象开口向上，对称轴为x =32， f (32)=−254，f(0)=−4，f(3)=−4， 又因为所给值域中包括最小值，所以m 的取值范围是[32，3]．解析：本题考察二次函数的单调性、最值，用数形结合思想来解决该问题．根据二次函数单调性、最值结合图象判断m 的取值范围．20.答案：6+2√2是A 中的元素；25+2√2不是A 中的元素．解析：由于a,b ∈Z ，所以是A 中的元素，此时a =6,b =2；25+2√2不是A 中的元素，因为25∉Z 。

密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷 2020.6一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|0}M x x =∈R ≥，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是 A. {0,1} B. 2{|1}x x = C. 2{|0}x x > D. R2．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为A.sin y x =B.cos y x =C.||y x x =D. ln ||y x =3. 已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是A ．22x y >B ．11x y> C ．11()()33x y >D ．332x y -+>4.已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f = A ．16 B ．8 C ．4 D ． 25.已知双曲线221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y +=，则其离心率为C. D.6.已知平面向量和a b ，则“||||=-b a b ”是“1()02-=b a a ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知圆22:(1)2C x y +-=，若点P 在圆C 上，并且点P 到直线y x =的距离为2，则满足条件的点P 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设函数1()sin()2f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若51()82f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．13ω=，24ϕ11π=-B ．23ω=，12ϕπ= C ．13ω=，24ϕ7π= D ．23ω=，12ϕ11π=-9. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为A ．2B ．2C ．22D ．2310. 已知函数()f x 的定义域为 ，且满足下列三个条件：①对任意的 ，且，都有；② ；③ 是偶函数；若，，(2020)c f =，则 ，， 的大小关系正确的是 A ．a b c << B ．C ．D ．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．抛物线2()y mx m =为常数过点(1,1)-，则抛物线的焦点坐标为_______.12．在61()x x+的展开式中，常数项为_______.（用数字作答）．13. 已知n S 是数列{n a }的前n 项和，且211(*)n S n n n =-∈N ，则1a =_________，n S 的最小值为_______．14. 在ABC 中，三边长分别为4a =，5b =，6c =，则ABC 的最大内角的余弦值为_________，ABC 的面积为_______．15. 已知集合22{,,A a a x y x y ==-∈∈Z Z}．给出如下四个结论： ①2A ∉，且3A ∈；②如果{|21,}B b b m m ==-∈N*，那么B A ⊆；③如果{|22,}C c c n n ==+∈N*，那么对于c C ∀∈，则有c A ∈； ④如果1a A ∈，2a A ∈，那么12a a A ∈． 其中，正确结论的序号是__________．三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.16.（本小题满分14分）C 1 A 1 B 1如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥． （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小．17.（本小题满分15分）已知函数 ．（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当π[0,]2x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥_______，求实数的取值范围．请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分．18.（本小题满分14分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（Ⅰ）将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率；（Ⅱ）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制．规定：消费金额为2000元、2700元和3200元的消费者分别为普通会员、银卡会员和金卡会员．预计去年消费金额在(0,1600]、(1600,3200]、(3200,4800]内的消费者今年都将会分别申请办理普通会员、银卡会员和金卡会员．消费者在申请办理会员时，需一次性预先缴清相应等级的消费金额．该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励．其中，普通会员、银卡会员和金卡会员中的“幸运之星”每人分别奖励500元、600元和元．方案2 每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励．如果每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）．以方案的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．19.（本小题满分14分）(800,1600] 40 30 20 10 0[0,800](1600,2400] (2400,3200] (4000,4800](3200,4000] 820253584消费金额/元人数已知椭圆：过点P ，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和离心率；（Ⅱ）过点6(,0)5Q -作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．20.（本小题满分14分）已知函数()ln ,f x x a x a =-∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （Ⅱ）设函数1()()ah x f x x+=+，试判断函数()h x 是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．（Ⅲ）当0x >时，写出ln x x 与2x x -的大小关系．21.（本小题满分14分）设n 为正整数，集合A =12{|(,,,),{0,1},1,2,,}n k t t t t k n αα=∈=．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n =3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值； （Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤．（Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α,β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷参考答案 2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDBACCBDD二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．1(,0)4- 12．20 13．10-；30- 14．18；157415. ①②④． 备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=． 因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥． 因为1DC BD ⊥，BDDC D =，所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， C 1ABC A 1 B 1第16题图DDCAB C A 1 B 1第16题图zx y所以1(0,0,1)A D =-，1(1,1,2)A B =--，1(1,0,1)C D =-，1(0,1,2)C B =-． 设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩，令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为π6． 17. （本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为22(cos cos sin f x x x x x +-2cos 2x x + =π2sin(2)6x +．所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ， 所以πππ2π22π,262k x k k -+++∈Z ≤≤， 解得ππππ,36k x k k -++∈Z ≤≤．所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ[π,π],36k k k -++∈Z ，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π()26f =．所以2m ≤． 若选择②由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为π()12f =-．所以1m -≤．18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人， 消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），从这12人中抽取2人，共有212C 种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C +种不同方法．所以，()P A =11284421219=33C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=， 按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为121525C P C ==，所以03012133323281(0)()()()()5555125P C C η==+=， 21233236(200)()()55125P C η===，3033328(300)()()55125P C η===． 所以η的分布列为：数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为2(28602123)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元），因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2222222131,4152,6.a b a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率3е2=．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． 设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+． 所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++B AM N Qxy12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0所以AM AN ⊥，即o90MAN ∠=是定值．方法二（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+，22(2,)AN x y =+． 所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥，即o90MAN ∠=是定值．20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，第 11 页 共 11 页当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====，11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=，对于任意的2,3,,k n =，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====．所以01n A A A A =．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =；对于1,2,,1k n =-，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈，且10k n x x +===；n n e A ∈．令01{,,,}n B e e e =，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。