2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月学段考试数学试卷带讲解

北京二中2023—2024学年度第一学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 满足方程()i 14z -=，则z =（）A.2B. C.4D.82.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为A.19B.16C.13D.7183.已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为A.x =4,2s =10B.x =5,2s =11C.x =5,2s =20D.x =5,2s =214.(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--= a b c x ，若,,a b c三向量共面，则实数x =（）A.3B.2C.15D.55.如图，在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则下列结论错误的是（）A.异面直线AB 与CD 所成的角为90°B.直线AB 与平面BCD 成的角为60°C.直线EF ∥平面ACDD.平面AFD ⊥平面BCD6.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A.2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格7.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A.15B.35-C.3-D.17-8.如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p ，则电路能正常工作的概率为（）A.2p p + B.23p p p +- C.3p D.23p p +9.已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象向左平移π3个单位后得到cos 2y x =的图象C.()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()A.3B.3C.32D.2211.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.对任意两个非零的平面向量,αβ ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b和b a都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．14.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.15.已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，则点B 所对应的复数为______．16.若1cos 42πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2θ=__________.17.如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=uuu r uu u r ，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则AM DN ⋅的最小值为_______．18.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下命题：①异面直线1C P 与1B C 所成的角不为定值；②平面1A CP ⊥平面1D B C ；③二面角1P BC D --的大小为定值；④三棱锥1D BPC -的体积为定值．其中真命题的序号为______．三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ；（2）M 是PC 中点.20.在ABC 中，sin 23sin b A a B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为33ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：7sinC 7=；条件②：334b c =；条件③：21cos 7C =．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，M 是侧棱PD 的中点，且AM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．22.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地ABCD E批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）23.对于一个非空集合A ，如果集合D 满足如下四个条件：①{(,),}D a b a A b A ⊆∈∈∣；②a A ∀∈，(,)a a D ∈；③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =；④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D ∈，则称集合D 为A 的一个偏序关系.（1）设{1,2,3}A =，判断集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A 的偏序关系的集合D ；（2）证明：{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系：（3）设E 为集合A 的一个偏序关系，,a b A ∈.若存在c A Î，使得(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，且d A ∀∈，若(,)d a E ∈，(,)d b E ∈，一定有(,)d c E ∈，则称c 是a 和b 的交，记为c a b =∧.证明：对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b∧存在，则一定唯一.北京二中2023—2024学年度第一学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分）1.复数z 满足方程()i 14z -=，则z =（）A.2B.C.4D.8【答案】B【分析】利用复数的运算法则求出复数z ，再利用模的定义即可求出结果.【详解】因为()i 14z -=，所以()44(1i)44i 22i i 11i (1i)2z ----====----+--，所以22i z =--=，故选：B.2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，23，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为A.19B.16C.13D.718【答案】D【详解】试卷分析：本题中汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：1211211,1,1332233-=-=-=甲：乙：丙：.汽车在这三处遇红灯停车一次有以下三种情况：（1）甲红灯，乙丙绿灯：2122(1)3239P =⨯⨯=；（2）乙红灯，甲丙绿灯：1121(2)3239P =⨯⨯=；（3）丙红灯，甲乙绿灯：1111(3)32318P =⨯⨯=；所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为2117(1)(2)(3)991818P P P P =++=++=.故选D.考点：互斥事件，对立事件，独立事件.【思路点晴】本题是随机事件中互斥事件、对立事件、独立事件的综合应用．既要知道汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的，因此汽车通过三处的概率就等于通过每处的概率之积；又要知道遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此根据题目中给出的遇绿灯通行的概率可以算出遇红灯停车的概率．汽车在这三处遇红灯停车一次是由几个互斥事件组成，因此这一事件的发生的概率等于这几个互斥事件发生的概率之和．3.已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为A.x =4,2s =10B.x =5,2s =11C.x =5,2s =20D.x =5,2s =21【答案】C【分析】根据题意，利用数据的平均数和方差的性质分析可得答案．【详解】根据题意，数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数为2，方差为5，则数据121x +，221x +，⋯，21n x +的平均数2215x =⨯+=，其方差222520s =⨯=；故选C ．【点睛】本题考查数据的平均数、方差的计算，关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式，属于基础题．4.(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--=a b c x ，若,,a b c三向量共面，则实数x =（）A.3B.2C.15D.5【答案】D【分析】利用向量共面的坐标运算进行求解即可.【详解】∵(1,1,3),(1,4,2)=-=--a b ，∴a与b不共线，又∵a b c、、三向量共面，则存在实数m ，n 使c ma nb=+即14532m n m n m n x -=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得2,3,5===n m x ．故选：D ．5.如图，在正四面体ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，则下列结论错误的是（）A.异面直线AB 与CD 所成的角为90°B.直线AB 与平面BCD 成的角为60°C.直线EF ∥平面ACDD.平面AFD ⊥平面BCD【答案】B【分析】根据线面垂直的性质判断A ；找到线面角求出正弦值即可判断B ；根据线面平行的判定定理从而判断C ；根据面面垂直的判定定理从而判断D.【详解】如图，在平面ACD 内，过A 作AG CD ⊥，则G 为CD 中点，连接,,,AG AF BG DF ，则,BG CD ⊥DF BC ⊥，因为,AG BG ⊂平面ABG ，AG BG G = ，所以CD ⊥平面ABG ，又因为AB ⊂平面ABG ，所以CD AB ⊥，故A 正确；正四面体ABCD 中，A 在平面BCD 的射影为O ，则O 在BG 上，并且O 为BCD △的中心，则直线AB 与平面BCD 成的角为ABO ∠，又22333323BO BG AB AB ==⨯=，即3cos 3BO ABO AB ==∠，则60ABO ∠≠ ，故B 错误；正四面体ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC ，又因为EF ⊄平面,ACD AC ⊂平面ACD ，所以//EF 平面ACD ，故C 正确；因为正四面体ABCD ，A 在底面BCD 的射影为底面的中心，所以AO ⊥平面BCD ，又因为AO ⊂平面AFD ，所以平面AFD ⊥平面BCD ，故D 正确.故选：B6.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）A.2019年12月份，全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格【答案】D 【分析】先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =， 1.9%a cc-=，则有1 1.9%ac a b =<=+，所以D 正确.故选：D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.7.已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若//AB OC，则实数m 的值为（）A.15B.35-C.3-D.17-【答案】C【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为//AB OC，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题.8.如图，设每个电子元件能正常工作的概率为p ，则电路能正常工作的概率为（）A.2p p + B.23p p p +- C.3p D.23p p +【答案】B【分析】根据电路正常工作的可能情况进行判断即可.【详解】记上端两个电子元件正常工作分别为事件,A B ，下端电子元件正常工作为事件C ，设电路能正常工作为事件M ，根据独立事件的乘法公式，()()()()()()()23,P AB P A P B p P ABC P A P B P C p ====，则()()()()23P M P AB P C P ABC p p p =+-=+-.故选：B9.已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A.()f x 的图象关于直线π6x =对称B.()f x 的图象向左平移π3个单位后得到cos 2y x =的图象C.()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】B【分析】利用图象求出函数()f x 的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断A 选项；利用三角函数图象变换可判断B 选项；利用正弦型函数的单调性可判断C 选项；利用余弦型函数的奇偶性可判断D 选项.【详解】因为()1sin 20==f φ且π02ϕ<<，则π6ϕ=，所以，()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为点2π,13⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最低点，则2ππ3π362ω+=，解得2ω=，所以，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A 选项，因为1π6πsin 2f ⎛⎫==⎪⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线π6x =对称，A 对；对于B 选项，()f x 的图象向左平移π3个单位后，可得到函数ππ5πsin 2sin 2366y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，且5πsin 2cos 26x x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，当5ππ6x -≤≤-时，11ππ3π2662x -≤+≤-，所以，函数()f x 在区间5ππ,6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；对于D 选项，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，D 对.故选：B.10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为()A.33B.3C.32D.22【答案】A【分析】将三棱锥A BCD -放在正方体内部，建立空间直角坐标系即可利用向量求异面直线BM 与CD 夹角的余弦值．【详解】如图，正方体内三棱锥A -BCD 即为满足题意的鳖臑A BCD -，以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则()0,0,0B ，()0,0,1A ，()0,1,0C ，()1,1,0D ，111,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，则111,,222BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,0,0CD =，12cos ,3BM CD BM CD BM CD⋅===⋅，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值33．故选：A ．11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知:()()222221142a b c b c b c ≤+<+≤+,结合余弦定理,可推出A 为锐角,反之无法推出,因此“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分不必要条件.【详解】①在ABC 中,若()12a b c ≤+,则()2214a b c ≤+,即22224()2()a b c b c ≤+≤+,222a b c ∴<+,222cos 02b c a A bc +-∴=>,A ∴为锐角,即“()12a b c ≤+”⇒“A 为锐角”,②若A 为锐角,则222cos 02b c a A bc+-=>,即222b c a +>,无法推出2222b c a +≥,所以“A 为锐角”⇒“()12a b c ≤+”,综上所述:“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分不必要条件,故选:A12.对任意两个非零的平面向量,αβ ，定义αβαβββ⋅=⋅ ，若平面向量,a b 满足0≥> a b ，,a b 的夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b和b a都在集合|Z 2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =（）A.12B.1C.32D.52【答案】C【分析】由题意可可设m ∈Z ，Z t ∈，2m a b = ，2t b a = ，得21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出m ，t 的值，进而得出结论．【详解】解：2cos |Z 2a a b n a b n b b θ⋅⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭，故cos |Z 2b n b a n a θ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭ ．又由||||0a b >，可设m ∈Z ，Z t ∈，令2m a b = ，2tb a = ，且0m t ≥>又夹角π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以21cos ,142mt θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，对m ，t 进行赋值即可得出3,1m t ==所以322m a b == ．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.在一次校园歌手大赛中，6位评委对某选手的评分分别为92，93，88，99，89，95．则这组数据的75%分位数是______．【答案】95【分析】从小到大排列这些数据，按照百分位数的定义进行计算即可.【详解】依题意，先将上述6个分数从小到大排列为：88,89,92,93,95,99，675% 4.5⨯=，向上取整为第5个数，即95.故答案为：9514.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个,若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率为_____.【答案】35【详解】从5个球中任选2个，共有2510C =种选法.2个球颜色不同，共有11326C C =种选法.所以所求概率为63105p ==.15.已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，则点B 所对应的复数为______．【答案】16i+【分析】根据复数在复平面对应点的性质，结合平行四边形的性质进行求解即可.【详解】因为平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数为0，32i +，24i -+，所以(0,0),(3,2),(2,4)O A C -，设(,)B x y ，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线OB 的中点就是对角线AC 的中点，所以03(2)024,1,62222x y x y ++-++==⇒==，因此点B 所对应的复数为16i +，故答案为：16i+16.若1cos 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2θ=__________.【答案】12-【分析】先化简sin2cos(2)cos 2()24ππθθθ=-=-22cos ()14πθ=--，再代值计算即可【详解】解：因为1cos 42πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin2cos(2)cos 2()24ππθθθ=-=-22cos ()14πθ=--2112122⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，故答案为：12-17.如图，在四边形ABCD 中，=60B ∠︒，2AB =，6BC =，且AD BC λ=uuu r uu u r ，2AD AB ⋅=-则实数λ的值为__________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且1MN =u u u u r ，则AM DN ⋅的最小值为_______．【答案】①.13②.114【分析】求出120BAD ∠=︒，由2AD AB ⋅=-利用数量积公式求解λ的值即可；建立坐标系，设(),0M m ，则()1,0N m +，利用数量积的坐标表示，结合二次函数配方法求解即可.【详解】因为AD BC λ=uuu r uu u r ，所以//AD BC uuu r uu u r，因为=60B ∠︒，所以120BAD ∠=︒，所以12co 0s AD AB AD AB ⋅=⋅︒111622223BC AB λλλ=-⋅=-⨯⨯=-⇒= ；建立如图所示的坐标系xoy ，因为=60B ∠︒，2AB =，6BC =，可得((,A D ，设(),0M m ，因为1MN =u u u u r，则()1,0N m +，所以((,,1,AM m DN m ==-，()2221111113244AM DN m m m m m ⎛⎫⋅=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12m =时等号成立，所以AM DN ⋅ 的最小值为114，故答案为：13,114.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．18.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD上运动，给出以下命题：①异面直线1C P 与1B C 所成的角不为定值；②平面1A CP ⊥平面1D B C ；③二面角1P BC D --的大小为定值；④三棱锥1D BPC -的体积为定值．其中真命题的序号为______．【答案】②③④【分析】对于①由题意及图形利用异面直线所成角的概念及求线线角的方法即可求解；对于②利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、结合正方体的性质进行证明判断即可；对于③由题意及平面具有延展性可知实质为平面11ABC D 与平面1BDC 所成的二面角；对于④由题意及三棱锥的体积的算法中可以进行顶点可以轮换求解体积，和点P 的位置及直线1AD 与平面1BDC 的位置即可判断正误．【详解】对于①：因为在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，由正方体的性质可知：111C D B C ⊥，由正方形的性质可知：11BC B C ⊥，而1111111,,D C C B C D C C B =⊂ 平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，而1C P ⊂平面11ABC D ，所以11B C C P ⊥，故这两个异面直线所成的角为定值90︒，所以①不正确；对于②：由正方体的性质可知：1AA AC ⊥，由正方形的性质可知：BD AC ⊥，而1AA AC A = ，1AA ⊂平面1AA C ，AC ⊂平面1AA C ，所以DB ⊥平面1AA C ，而1AC ⊂平面1AA C ，所以1DB A C ⊥，同理11C B A C ⊥，而1DB BC B = ，1,DB BC ⊂平面1D B C ，所以1A C ⊥平面1D B C ，而1AC ⊂平面1A CP ，所以有平面1A CP ⊥平面1D B C ，故②正确；对于③：因为二面角1P BC D --的大小，实质为平面11ABC D 与平面1BDC 所成的二面角，而这两的平面为固定的不变的平面所以夹角也为定值，故③正确；对于④：三棱锥1D BPC -的体积还等于三棱锥的体积1P DBC -的体积，而平面1D B C 为固定平面且大小一定，又因为1P AD ∈，而1//AD 平面1BDC ，所以点A 到平面DBC 1的距离即为点P 到该平面的距离，所以三棱锥的体积为定值，故④正确．故答案为：②③④【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线进而求解；（2）坐标法：通过建立恰当的空间直角坐标系，结合空间坐标运算公式求解；（3）基底法：通过向量的基底转化以及向量的运算法则进行求解.三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于M .求证：（1）//PD 平面ANC ；（2）M 是PC 中点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）作辅助线，构造三角形中位线，利用线面平行的判定定理，由线线平行证明线面平行；（2）先利用线面平行的判定定理证明BC ∥平面ADMN ,再利用线面平行的性质证线线平行，根据平面几何知识可证M 是PC 中点.【详解】证明：（1）连结,BD AC ，设AC BD O = ，连结NO ，ABCD 是平行四边形，O ∴是BD 的中点，在PBD ∆中，N 是PB 的中点，//PD NO ∴，又NO ⊂平面ANC ，PD ⊄平面ANC ，//PD ∴平面ANC ，（2） 底面ABCD 为平行四边形，//AD BC ∴，BC ⊄ 平面ADMN ，AD ⊂平面ADMN ，//BC ∴平面ADMN .平面PBC ⋂平面ADMNMN =，//BC MN ∴，又N 是PB 的中点，M ∴是PC 的中点.【点睛】（1）利用三角形中位线平行于底边证明线线平行，再证线面平行是证明线线平行的常见方法；（2）考查线面平行的性质定理；有一定难度，属于中等题型.20.在ABC 中，sin 2sin b A B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC 7=；条件②：334b c =；条件③：21cos 7C =．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）条件①，由sinC =C 可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1详解】因为sin 2sin b A B =，由正弦定理得，sin sin 2sin B A A B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，得到sin 2A A =，又sin 22sin cos A A A =，所以2sin cos A A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得到cos 2A =，所以π6A =.【小问2详解】选条件①：sinC 7=由（1）知，π6A =，根据正弦定理知，sin 47711sin 72c C a A ===>，即c a >，所以角C 有锐角或钝角两种情况，ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：4b c =因为11π1sin sin 2264ABC S bc A bc ====bc =又4b c =，得到4b =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 42427163672a b c bc A =+-=+-⨯⨯+-=，所以a =选条件③：21cos 7C =因为11π1sin sin 2264ABC S bc A bc ====bc =由21cos 7C =，得到27sin 7C ===，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，由(1)知π6A =，所以1sin 277214B =⨯+=又由正弦定理得，321sin 14sin 4277b Bc C ===，得到334b c =，代入bc =，得到2334c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，2222232cos 42427163672a b c bc A =+-=+-⨯⨯+-=，所以a =21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面PAD 是正三角形，M 是侧棱PD 的中点，且AM ⊥平面PCD ．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）77【分析】（1）由AM ⊥平面PCD ，得到AM CD ⊥，易得AD CD ⊥，进而得到CD ⊥平面PAD ，然后利用面面垂直的判定定理证明；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC 的一个法向量(),,n x y z = ，设AM 与平面PBC 所成角θ，由sin AM n AM nθ⋅=⋅求解.【小问1详解】证明：因为AM ⊥平面PCD ，所以AM CD ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AD CD ⊥，又AD AM A = ，所以CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ；【小问2详解】取AD 的中点O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设AB =2，则()()()(()131,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,3,1,0,0,,0,22A B C P D M ⎛--- ⎪⎝⎭，所以((33,0,,1,2,3,1,2,322AM PB PC ⎛=-==-- ⎪⎝⎭，设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即230230x y z x y z ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令3z =，则32y =，x =0，则30,32n ⎛= ⎝ ，设AM 与平面PBC 所成角θ，所以372sin cos ,72132AM nAM n AM n θ⋅====⋅⋅.22.苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果，各产地的包装规格相同,它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：产地A B C D E 批发价格150160140155170市场份额15%10%25%20%30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，求该箱苹果价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱富士苹果进行检验，①从产地,A B 共抽取n 箱,求n 的值；②从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，求两箱产地不同的概率；（3）由于受种植规模和苹果品质的影响，预计明年产地A 的市场份额将增加5%，产地C 的市场份额将减少5%，其它产地的市场份额不变，苹果销售价格也不变（不考虑其它因素）.设今年苹果的平均批发价为每箱1M 元，明年苹果的平均批发价为每箱2M 元，比较12,M M 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.60；（2）35,5n P ==；（3）12M M <【分析】（1）价格低于160元的概率等价于价格低于160元的市场占有率之和；（2）①根据分层抽样的计算公式进行计算，可得出从产地,A B 共抽出的箱数；②将5箱进行编号，列举出选择两箱的所有可能，然后根据古典概型计算公式进行求解；（3）根据平均值计算公式1111n n x x p x p x p =+++ 进行估算．【详解】（1）设事件A ：“从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱，该箱苹果价格低于160元”.由题意可得：()P A =0.15+0.25+0.20=0.60.（2）①A 地抽取2015%=3⨯；B 地抽取2010%=2⨯所以325n =+=.②设A 地抽取的3箱苹果分别记为123a ,,a a ；B 地抽取的2箱苹果分别记为12b ,b ，从这5箱中抽取2箱共有10种抽取方法.()()()()()()()()()()1213111223212231321,2a ,a ,a ,a ,a ,a ,a ,b a ,a ,a a b b a b b b b b ，，，，，，，，，,来自不同产地共有6种.所以从这n 箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验，两箱产地不同的概率为：63==105P .（3）12M M <【点睛】本题考查了分层抽样、古典概型、平均数等知识，理清题意是解决问题的前提，熟练运用分层抽样、古典概型等公式是关键，属于基础题．23.对于一个非空集合A ，如果集合D 满足如下四个条件：①{(,),}D a b a A b A ⊆∈∈∣；②a A ∀∈，(,)a a D ∈；③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =；④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D ∈，则称集合D 为A 的一个偏序关系.（1）设{1,2,3}A =，判断集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，是不是集合A 的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A 的偏序关系的集合D ；（2）证明：{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系：（3）设E 为集合A 的一个偏序关系，,a b A ∈.若存在c A Î，使得(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，且d A ∀∈，若(,)d a E ∈，(,)d b E ∈，一定有(,)d c E ∈，则称c 是a 和b 的交，记为c a b =∧.证明：对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，则一定唯一.【答案】（1）集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，不是集合A 的偏序关系，{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，，（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据条件显然(1,2)D ∈，(2,3)D ∈，但(1,3)D ∉所以不满足条件④由此可判断，写出一个满足这四个条件的集合即可.（2）依次证明集合R ≤满足题目中的四个条件即可.（3）设为c a b =∧,则c A Î，则(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，假设还存在一个f ，使得f a b =∧，则可以得到(,)f c E ∈，(,)c f E ∈，由条件③可得c f =从而得证.【详解】（1）由{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，显然(1,2)D ∈，(2,3)D ∈，但(1,3)D∉所以不满足条件④,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b c D ∈，则(,)a c D∈所以集合{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}D =，不是集合A 的偏序关系.集合{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，满足条件①②③④,所以集合{(1,1),(1,2)(2,2),(3,3)}，是集合A 的偏序关系.（2）{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣所以{(,)R,R,}{(,)R,R}R a b a b a b a b a b ≤=∈∈≤⊂∈∈∣∣，则满足①又a b ≤，所以a A ∀∈，(,)a a D ∈，则满足②由于a b ≤，则当,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈，则(,)b a D ∉，也满足③由于{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣，,,a b c A ∀∈，若(,)a b D ∈则a b ≤，若(,)b c D ∈，则b c ≤，所以a c≤所以(,)a c D ∈，所以满足④所以{(,)R,R,}R a b a b a b ≤=∈∈≤∣是实数集R 的一个偏序关系（3）对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，设为c a b=∧所以c A Î，(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，假设还存在一个f ，使得f a b=∧则f A Î，(,)f a E ∈，(,)f b E ∈，又对于c A Î有(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，则(,)f c E∈由c A Î，(,)c a E ∈，(,)c b E ∈，对于f A Î，有(,)f a E ∈，(,)f b E ∈，则(,)c f E∈由条件③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =可得c f=所以对A 中的两个给定元素a ，b ，若a b ∧存在，则一定唯一【点睛】关键点睛：本题考查集合中的新定义问题，解答本题的关键是弄清楚定义的意义，特别是③,a b A ∀∈，若(,)a b D ∈且(,)b a D ∈，则a b =，以及c a b =∧的意义，假设还存在一个f ，使得f a b =∧，则可以得到(,)f c E ∈，(,)c f E ∈，属于难题.。

北京二中2022—2023学年度第二学段高二年级学段考试试卷化学选择性必修1常用相对原子质量：N—14，C—12，H—1，O—16一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题2分，共50分)1.下列物质属于弱电解质的是A.CO 2B.H 2OC.HNO 3D.NaOH2.下列反应中，属于吸热反应的是A.Al 与盐酸反应 B.盐酸和NaOH 溶液反应C.乙醇燃烧反应D.Ba(OH)2·8H 2O 晶体与NH 4Cl 固体反应3.下列因素不可能影响化学平衡移动的是A.温度 B.催化剂C.反应物的浓度D.压强4.某原电池总反应为Cu＋2Fe 3＋＝Cu 2＋＋2Fe 2＋，下列能实现该反应的原电池是选项A B C D 电极材料Cu、Zn Cu、C Fe、Zn Cu、Ag 电解液FeCl 3Fe(NO 3)2CuSO 4Fe 2(SO 4)3A.AB.BC.CD.D5.下列物质的溶液在蒸发皿中加热蒸干并灼烧，可以得到该物质的是A.FeSO 4B.MgSO 4C.AlCl 3D.NH 4Cl6.在以下各种情形下，方程式的书写正确的是A.熔融状态下的4NaHSO 电离：244NaHSO Na H SO +-+=++B.23H CO 的电离：2233H CO 2H CO +-+ C.3NaHCO 的水解：3223HCO H O H CO OH--++ D.向硫酸铝溶液中滴加碳酸钠溶液：()3232332Al3CO Al CO +-+=↓7.化学与生产、生活密切相关，下列事实与盐类水解无关的是A.蓝矾可用于饮用水的杀菌消毒B.热纯碱能除去物品表面的油污C.明矾用于净水D.将3FeCl 饱和溶液滴入沸水中制取()3Fe OH 胶体8.在氨水中，存在着电离平衡：NH 3·H 2O NH 4++OH −。

下列说法正确的是A.温度不变时，加水稀释，电离平衡常数K b 增大B.加入NaOH 溶液，平衡一定向逆反应方向移动C.加入NH 4Cl 固体，平衡向逆反应方向移动，c(NH 4+)减小D.加入冰醋酸，平衡向正反应方向移动9.下列说法中，可以证明醋酸是弱电解质的是A.醋酸溶液连接到一电路中，发现灯泡较暗B.某温度下，等浓度的醋酸溶液和盐酸，醋酸溶液中水电离出的H +浓度较大C.100mL 10.1mol L -⋅的醋酸溶液恰好中和10mL 11mol L -⋅的NaOH 溶液D.某温度下，等浓度的醋酸钠溶液和氢氧化钠溶液中，氢氧化钠溶液的pH 较大10.一定条件下，在某2Na S 的稀溶液中，下列说法不正确．．．的是A.加水稀释溶液，()()2HS S c c --增大B.通入少量HCl 气体，水电离的()OH c -减小C.()()()()2OHHS H S H c c c c --+=++D.适当升高温度，溶液中()2Sc -浓度减小11.下列不能用勒夏特列原理解释的是A.FeCl 3溶液配制时需将FeCl 3固体溶于较浓盐酸中，再稀释到指定浓度B.硫酸工业中，SO 2和O 2化合成SO 3(△H<0)过程采用高温、常压C.雪碧拧开瓶盖时看到液体内出现大量气泡并上浮D.NO 2(红棕色)与N 2O 4(无色)转化达到平衡后，压缩体积到一半，颜色加深，但比两倍要浅12.银质器皿日久表面会逐渐变黑，这是生成了Ag 2S 的缘故。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 如图程序的输出结果为（ ）A.B.C.D.2. 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.3. 已知圆 ，直线：，则圆上到直线距离为的点的个数为( )A.B.C.(4,3)(7,7)(7,10)(7,11)∃∈R,−+1≤0x 0x 30x 20∃∈R,−+1<0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1>0x 3x 2∃∈R,−+≥0x 0x 30x 20∀x ∈R,−+1≤0x 3x 2C :+=16(x −2)2(y +1)2l 3x −4y =0C l 2432D.4. 甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为A.，B.，C.，D.，5. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（ ）A.B.C.D.6. 若集合，集合 ，则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 如图所示的大正方形的面积为，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为（ ）A.1( )8586858586858686y =x −2+=1x 2y 2x +y +=02–√x +y −=02–√x +y +1=0x +y −1=0A ={x|y =ln(1+x)}B ={y|y =ln(1−x)}A B ()132B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.9. 若命题，，命题，，若“”为真命题，则实数的取值范围是( )A.B.或C.D.或10. 其食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集到了一部分不同年份的该酒品，并测定了其芳香度（如表）．年份芳香度由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推断该数据为（ ）A.3–√43–√353–√32p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2p ∧q a −2≤a ≤1a ≤−21≤a ≤2a ≥1a =1a ≤−2x 014568y 1.31.85.67.49.3=1.03x +1.13y ∧6.28B.C.D.11. 已知函数，若方程＝有两个解，则实数的取值范围是（　　）A.B.C.D.12. 在三棱柱中， ，侧棱底面，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球的表面上，且球的表面积的最小值为，则该三棱柱的侧面积为 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知命题，，则￢为________．14. 若三条直线，，不能围成三角形，则实数取值范围是________．15. 执行如图所示的程序框图输出的结果是，则空白判断框内应该填入( )6.16.56.8f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1f(x)2a (−∞,2)(−∞,2](−∞,5)(−∞,5]ABC −A 1B 1C 1AB =BC =AC A ⊥A 1ABC O O 4π()63–√33–√32–√3p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p 4x +y +4=0mx +y +1=0x −y +1=0m 55A. B. C. D.16. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若该二十四等边体棱长为，则该二十四等边体的体积为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 求经过点且在轴上的截距等于在轴上截距的倍的直线的方程．18.某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．分别求甲、乙跳远成绩的平均数；通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．19. 已知命题：“方程有两个不相等的实根”，命题是真命题．求实数的取值集合；设不等式的解集为，若是的充分条件，求的取值范围． 20. 在庆祝建党周年的文艺汇演中，需要将，，，，，，七个节目进行排序．z <34z <55z ≤21z ≤551A(−5,2)x y 25(1)(2)p −mx +1=0x 2p (1)m M (2)(x −a)(x −a −4)<0N x ∈N x ∈M a 100A B C D E F G A（1）若，两节目中间恰好插有一个节目，则有多少种不同的排法？（2）由于演出时间的调整，从七个节目中抽取五个节目排序演出，且不安排在第一个和最后一个，不排在正中间（第三个），则有多少种不同的排法？21. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，是的中点．证明：平面；证明：平面．22. 已知圆＝，点，．（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，，若＝，则称点为“好点”．若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围．A B A B P −ABCD ABCD PD ⊥ABCD PD =DC E PC (1)PA//BDE (2)DE ⊥PBC O :+x 2y 2(a >0)a 2A(0,4)B(2,2)AB O a AB P O M N ∠MPN 60∘P AB a参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】赋值语句【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算，的值并输出．【解答】解：程序在运行过程中各变量的结果如下表示：第一行 第二行 第三行 第四行 故程序的输出结果为．故选：．2.【答案】B【考点】全称命题与特称命题【解析】此题暂无解析【解答】B 3.【答案】X Y (X,Y )X =4Y =3X =X +Y =7Y =X +Y =10(7,10)CB【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】利用点到直线的距离公式，圆的标准方程得解，属于基础题.【解答】解：由题设得圆心，半径为，圆心到直线的距离为，在直线的两侧分别有个点和个点到直线的距离为，故圆上到直线的距离为的点为个.故选.4.【答案】B【考点】众数、中位数、平均数、百分位数茎叶图【解析】根据中位数是一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处在中间位置的一个数（或中间两个数据的平均数），求出即可．【解答】解：由茎叶图知，甲的个得分中，出现频率最多的数是，所以甲的众数为.乙的个得分中，按照从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的两个数是和，所以中位数是．故选．5.【答案】A【考点】点到直线的距离公式C (2,−1)43x −4y =0d ==2|3×2−4×(−1)|5212C l 23B 8858588585=8585+852B【解答】解：设所求方程为，圆心到直线的距离为，所以．故选．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，集合，集合 中，则是的充分不必要条件.故选.7.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】求得阴影部分正方形的面积，进而可得答案．【解答】设阴影小正方形的边长为，则在直角三角形中，有，解得＝或＝（舍去），∴阴影部分的面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率为．8.y =−x +m(m <0)r ==1|m|2–√m =−2–√A A ={x|y =ln(1+x)}={x|x >−1}B ={y|y =ln(1−x)}=R A B A x x 2x −51【考点】由三视图求体积【解析】此题暂无解析【解答】解：几何体的直观图如图所示（四棱锥）,∴其体积.故选.9.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式的关系求出，下的的取值范围，然后根据为真命题知，都是真命题，所以求，下的取值范围的交集即可．【解答】解：，，即：在上恒成立，∴在上的最小值为，∴.，，则：方程有解，∴，解得，或.若“”为真命题，则，都是真命题；∴A −BCDE V =×(×2)×=131+223–√3–√A △p q a p ∧q p q p q a p :∀x ∈[1,2]−a ≥0x 2a ≤x 2x ∈[1,2]x 2[1,2]1a ≤1q :∃x ∈R +2ax +2−a =0x 2+2ax +2−a =0x 2Δ=4−4(2−a)≥0a 2a ≤−2a ≥1p ∧q p q {a ≤1,a ≤−2，或a ≥1,∴或.故选．10.【答案】B【考点】求解线性回归方程【解析】由题意求出，代入到回归直线方程，即可求解污损处的数据．【解答】解：由表中数据：，回归方程，∴，∴，解得：？.故选．11.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用函数的零点与方程根的关系分段函数的应用【解析】利用分段函数，求出时的零点，然后求解时的零点，推出结果即可．【解答】函数，当时，方程＝，可得＝，解得＝，函数由一个零点，时，函数只有一个零点，即＝，在时只有一个解．因为＝开口向上，对称轴为：＝，时，函数是减函数，所以，可得：，解得．故选：．a ≤−2a =1D x ¯¯¯y¯¯¯=(0+1+4+5+6+8)=4x¯¯¯16=1.03x +1.13y ∧=1.03×4+1.13=5.25y ∧=(1.3+1.8+5.6++7.4+9.3)=5.25y ¯¯¯16=6.1B x ≥1x <1f(x)={ −4x +a,x <1x 2ln x +1,x ≥1x ≥1f(x)2ln x +12x e x <1−4x +a x 22x <1y −4x +a −2x 2x 2x <1f(1)<2−3+a <2a <5C12.【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积球内接多面体球的表面积和体积【解析】由 ，且，可知三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，设，，可求出外接球的半径，再由三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为1，可求出，即进一步计算可知三棱柱的侧面积为.【解答】解：由题意，三棱柱中，，且底面，则三棱柱为正三棱柱，从而三棱柱外接球的球心在三棱柱上下两个底面中心的连线上，如图所示：设，，则.∵，∴外接球的半径.又∵三棱柱外接球的表面积的最小值为，即外接球的半径的最小值为，则，即，当且仅当，即，时取等号，∴三棱柱的侧面积为.故选.AB =AC =BC A ⊥ABC A 1ABC −A 1B 1C 1AB =a A =h A 1R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR +≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√S =3×a ×h =3ah =33–√ABC −A 1B 1C 1AB =AC =BC A ⊥A 1ABC ABC −A 1B 1C 1O AB =a A =h A 1A =×a =a O ′233–√23–√3O =A =O ′12A 1h 2R =+a 23h 24−−−−−−−√4πR 1+≥2×=ah =1a 23h 24×a 23h 24−−−−−−−√3–√3ah =3–√=a 23h 24a =6–√2h =2–√S =3ah =33–√B二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】，【考点】命题的否定【解析】利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．【解答】根据含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题，，则￢为，．14.【答案】【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】三条直线，，不能围成三角形，可得或或经过直线与的交点，解出即可．【解答】解：由题意，联立，解得，∴直线与的交点为；∵三条直线，，不能围成三角形，∴或或经过直线与的交点，即，或，或，解得，或．故答案为：．15.【答案】∃x ∈(2,+∞)≤4x 2p :∀x ∈(2,+∞)>4x 2p ∃x ∈(2≤8x 2{4,1,−1}:4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3{4x +y +4=0x −y +1=0{x =−1y =0l 1l 3(−1,0):4x +y +4=0l 1:mx +y +1=0l 2:x −y +1=0l 3//l 2l 1//l 2l 3l 2l 1l 3−m =−4−m =1−m +0+1=0m =4m =±1{4,1,−1}B【考点】程序框图【解析】根据程序框图，利用模拟循环的方法，按照条件循环下去即可.【解答】解：根据程序框图知：，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，，循环，，停止，输出结果为．故空白判断框内应该填入.故选.16.【答案】【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】由题意知二十四等边体是棱长为的正方体，沿着八个顶点过棱的中点截去八个三棱锥，根据二十四等边体的棱长为，可以求出正方体的棱长，利用正方体的体积减去个全等的三棱锥（三条互相垂直的棱长且棱长为）的体积即可求解．【解答】x =1y =1z =2x =1y =2z =3x =2y =3z =5x =3y =5z =8x =5y =8z =13x =8y =13z =21x =13y =21z =34x =21y =34z =55z =55z <55B 52–√32a =a =1+a 2a 2−−−−−−√2–√82–√2=a −−−−−−√–√如图：设原正方体的棱长为，则二十四等边体的棱长为由题意可得，所以所以正方体棱长为，则正方体的体积为又截去的个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为故截去体积为所以等边体的体积为故答案为：三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．【考点】直线的一般式方程直线的截距式方程【解析】当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为，把点代入求得的值，即可求得直线方程．综合可得答案．【解答】解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，∴，此时，直线方程为．当直线过原点时，直线的方程为，把点代入可得，∴，即，综上可得，满足条件的直线方程为：或．18.【答案】解：根据题意可知，2a =a +a 2a 2−−−−−−√2–√a =12–√a =2–√22a =2–√××=22–√2–√2–√2–√82–√28××××=1312()2–√222–√22–√324V =2−=2–√2–√352–√352–√3+=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0+=1x 2a y a A(−5,2)a y =kx A(−5,2)k +=1x 2a y a A(−5,2)a =−1x +2y +1=0y =kx A(−5,2)k =−252x +5y =02x +5y =0x +2y +1=0(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15(7+9+11+13+15)=111．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无【解答】解：根据题意可知，．，，∵，，∴甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定．19.【答案】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.【考点】命题的真假判断与应用一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】无5=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)=(8+9+12+12+14)=11x ¯¯¯甲15=(7+9+11+13+15)=11x ¯¯¯乙15(2)=[(8−11+(9−11+s 2甲15)2)2(12−11+(12−11+(14−11]=4.8)2)2)2=[(7−11+(9−11+s 2乙15)2)2(11−11+(13−11+(15−11]=8)2)2)2=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2无【解答】解：命题：方程有两个不相等的实根，∴，解得或，∴或．因为是的充分条件，所以，，或，综上，或.20.【答案】..【考点】古典概型及其概率计算公式排列、组合及简单计数问题列举法计算基本事件数及事件发生的概率计数原理的应用排列、组合的应用【解析】..【解答】看不清，无法录入.21.【答案】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，(1)p −mx +1=0x 2Δ=−4>0m 2m >2m <−2M ={m|m >2m <−2}(2)x ∈N x ∈M N ⊆M N ={x|a <x <a +4}a +4≤−2a ≥2a ≤−6a ≥2(1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂PA ⊂∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连结，设与交于点，连结，∵底面是正方形，∴为中点，又为的中点，，∵平面，平面，∴平面．∵，是中点，∴，∵底面，∴，又∵∴平面，又平面，故，又，∴平面．22.【答案】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC (1)AC AC BD O EO ABCD O AC E PC OE//PA OE ⊂BDE PA ⊂BDE PA//BDE (2)PD =DC E PC DE ⊥PC PD ⊥ABCD PD ⊥BC BC ⊥CD ，PD ∩CD =D ，BC ⊥PCD DE ⊂PCD BC ⊥DE BC ∩PC =C DE ⊥PBC A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O a2所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，故实数的取值范围是．…．【考点】直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系【解析】（1）求出的中点坐标为，求出直线的斜率，的中垂线方程＝，利用直线与圆相切，求解即可．（2）连接，，得到圆的方程为＝，直线上有且只有两个“好点”，推出圆心到直线的距离，求解即可．【解答】由，得的中点坐标为，直线的斜率为，…..所以的中垂线方程为＝，即＝，…..又因为的中垂线与圆相切，所以圆心到中垂线的距离，即．连接，，在中，＝，＝，所以＝＝，…．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，则圆的方程为＝，…..又因为直线的方程为＝，且直线上有且只有两个“好点”，则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√a (,+∞)2–√AB (1,3)AB AB x −y +20a PO OM O ′+x 2y 24a 2AB O AB <2a 42–√A(0,4)B(2,2)AB (1,3)AB −1AB y −31×(x −1)x −y +20AB O O AB =a 22–√a =2–√PO OM Rt △POM ∠OPM 30∘OM a PO 2OM 2a P O 2a O ′O ′+x 2y 24a 2AB x +y −40AB AB O ′O AB <2a 42–√(,+∞)–√故实数的取值范围是．…．a (,+∞)2–√。

2023北京市二中高二分班考试数学试题
及详解
本文档提供了2023年北京市二中高二分班考试的数学试题及详细解析。

试题一
题目：
一辆车从A地出发，匀速行驶到B地，全程120公里，用时2小时。

然后以相同的速度返回A地，此时全程用时3小时。

求此车的速度。

解析：
我们可以使用速度的公式：速度 = 距离 / 时间。

假设车速为v，从A到B的距离为120公里，用时2小时。

那么根据公式，得到：
v = 120 / 2 = 60公里/小时
由于返回A地的全程用时是3小时，所以从B到A的距离也
是120公里。

根据公式，得到：
v = 120 / 3 = 40公里/小时
所以，此车的速度是60公里/小时。

试题二
题目：
已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求函数 f(x+1) 的表达式。

解析：
我们需要将 x+1 代入 f(x) 中，并计算得到函数 f(x+1) 的表达式。

将 x+1 代入 f(x) 中：
f(x+1) = (x+1)^2 + 2(x+1) + 1
展开并化简：
f(x+1) = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 1
合并同类项：
f(x+1) = x^2 + 4x + 4
所以，函数 f(x+1) 的表达式为 x^2 + 4x + 4。

以上为2023年北京市二中高二分班考试数学试题及详解的部分内容。

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北京二中2021-2022学年度第一学段高二班级学段考试试卷化学选修Ⅳ命题人：杨晓琳 审核人：况红燕、常宏 得分：__________ 一、选择题（每小题2分，共50分） 1．下列说法不正确的是（ ）A ．煤燃烧是化学能转化为热能的过程B ．化石燃料和植物燃料燃烧时放出的能量均来源于太阳能C ．给电池进行充电是电能转变成化学能的过程D ．植物通过光合作用将CO 2转化为葡萄糖是太阳能转变成热能的过程 【答案】D【解析】A ．煤燃烧是化学变化，变化过程中放热，是化学能转化为热能，故A 正确；B ．植物通过光合作用把太阳能转变成自身的物质而储存在植物体内，所以植物燃料的能量来源于太阳能，化石燃料是由死去的动植物在地下分解转化而形成的，其能量也来源于太阳能，故B 正确；C ．给电池充电是电解池原理，是电能转化为化学能的过程，故C 正确；D ．植物通过光合作用将CO 2转化为葡萄糖，是太阳能转变成化学能的过程，故D 错误。

故选D 。

2．下列物质的水溶液能导电，属于强电解质的是（ ） A ．冰醋酸 B ．明矾 C ．SO 3 D ．C 2H 5OH 【答案】B【解析】强电解质有强酸（HCl 、H 2SO 4、HNO 3、HBr 、HI 、HClO 4），强碱（NaOH 、KOH 、Cl(OH)2、Ba(OH)2）和盐。

A ．冰醋酸是乙酸，是弱酸，其水溶液能导电，故A 不符题意；B ．明矾是KAl(SO 4)2·12H 2O ，易溶于水，且是盐，是强电解质，其水溶液能导电，故B 符合题意；C ．SO 3是非电解质，SO 3与H 2O 反庆成H 2SO 4，H 2SO 4溶于水能导电，故C 不符合题意；D ．C 2H 5OH 是有机物，属于非电解，其水溶液不导电，故D 不符合题意。

故选B 。

3．在 2A B 3C 4D ++反应中，表示该反应速率最快的数据是（ ） A ．v (A)=0.5mol ·L -1·s -1 B ．v (B)=0.3mol ·L -1·s -1 C ．v (C)= 0.8mol ·L -1·s -1 D ．v (D)=1.0mol ·L -1·s -1 【答案】B【解析】在化学反应中，各物质的速率之比等于化学计量系数之比；比较化学反应速率快慢需用同一物质的速率比较，故以物质B 为标准。

北京二中2022—2023学年度第三学段高二年级学段考试试卷数学一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．选出符合题目要求的一项）1. 在等差数列{}n a 中，若1241,10a a a =+=，则20a = （A ） 38 （B ） 39 （C ）40 （D ）412. 已知数列{}n a 的前n 项和22+1n S n n =-，则 3a = （A ）2 （B ） 3 （C ）4 （D ）53.已知数列{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，3212-=b b ，则{b n }的通项公式 （A ）2=n n b （B ） 23=⨯n n b （C ）123-=⨯n n b （D ）126-=⨯n n b4. 已知双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则a =（A ）3（B （C ）（D ）135. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ （A ）11- （B ）313 （C ） 31-3（D ）96. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则当n =_________，n S 有最大值．（A ）3 （B ）4 （C ）3或4 （D ） 4或57. 设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为直线a x 23=上一点，△12PF F 是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为（A （B ）12 （C ） （D ）348. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则2n S =（A ）121(1)32+-n （B ） 112-n （C ）21(1)34-n （D ）41(1)34-n9. 如果数列{}n a 满足211n n n na a k a a +++-=（k 为常数），那么数列{}n a 叫做等比差数列，k 叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是 ①若数列{}n a 满足12n na n a +=，则该数列是等比差数列；②数列{2}n n ⋅是等比差数列； ③所有的等比数列都是等比差数列； ④存在等差数列是等比差数列．（A ）①②③ （B ）①③④ （C ）①②④（D ）②③④10. 已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且||6=AF ，过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则||||PH PF ⋅的最小值为（A ）16 （B ）6 （C）（D）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11. 在等差数列{}n a 中，已知473,9==a a ，则3579+++a a a a =________．12. 某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：[30,40)，[40,50)，…，[90,100]，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25百分位数是______. 13. 在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且21n n S a =+，则数列的通项公式n a = ．14. 已知数列{}n a 中，12=a ,11ln++=+n n n a a n，则数列的通项公式n a = .15.在棱长为 2 的正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 的平面α分别与棱111,,BB CC DD 交于点E ,F ,G ，记四边形AEFG 在平面11ABB A 上的正投影的面积为1S ，四边形AEFG 在平面11BCC B 上的正投影的面积为2S . 给出下面有四个结论：①四边形AEFG 是平行四边形； ②12S S 的最大值为4； ③12S S +的最大值为6；④四边形AEFG 可以是菱形，且菱形面积的最大值为则其中所有正确结论的序号是_____.三、解答题（共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16（本题满分10分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+-. (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.17（本题满分12分）已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且66=-a ，73=-a . （I ）求{n a }通项公式及n S 的最小值；（II ）数列{n b }为等比数列，且19=b a ，211=b a ，求数列{n b }的前n 项和n T ；（III ）数列{n c }满足(1)=-nn n c a ，其前n 项和为n P ，请直接写出2022P 的值（无需计算过程）.18（本题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥；（Ⅱ）求二面角D PC E --的大小．（III ）在棱PE 上是否存在点M ，使得直线DM 与平面PCE 所若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.19（本题满分12分）已知直线l ：=+x my n （0≠n ）与抛物线24=y x 交于M ，N 两点，且∠MON =90°. （1）求M ，N 两点的横坐标之积和纵坐标之积； （2）求∆MON 面积的最小值.20（本题满分14分）已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的离心率为12，且过点A (－2，0)．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同两点M ，N （都不同于点A ），且直线AM ，AN 的斜率之积等于1. 试问直线l 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．21（本题满分13分）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为(2,3,4,)n n = 阶“Q 数列”：①120n a a a +++=； ②121n a a a +++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；（Ⅱ）若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式； （Ⅲ）记n 阶“Q 数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，求证12k S ≤.。

北京市第二中学2022-2023学年高二下学期第六学段（期末）考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．()f x在区间()2,3-上有2B．()x-处取得极小值f x在=1C．()f x在区间()-上单调递减2,3D．()x=处取得极大值f x在1C．(0,)e D．2e(0,)10．某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标．分值权重表如下：四、填空题七、解答题16．数列{}na 中11a =，11n n a a +=+.等比数列{}nb 的前n 项和为n T .若111b a =+，222b a -=．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)求满足300n nT a +>的最小的n 值．17．已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表．表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表当m取最小值时M的一个基底A．重复一个”．再讨论当4m =时，集合A 的所有情况均不可能是M 的4元基底，而当5m =时，M 的一个基底{}135916A =，，，，，由此可得m 的最小可能值为5．【详解】（1）①{}1,5A =不是{}1,2,3,4,5M =的一个二元基底.理由是{}()1212315,1,0,1l l l l ¹×+×Î-；②{}2,3A =是{}1,2,3,4,5,6M =的一个二元基底.理由是11213,21203,30213=-´+´=´+´=´+´，41212,51213,61313=´+´=´+´=´+´.（2）不妨设12m a a a <<<L ，则形如10i j a a ×+× ()1i j m £££的正整数共有m 个；形如11i i a a ×+× ()1i m ££的正整数共有m 个；形如11i j a a ×+× (1)i j m £<£的正整数至多有2C m个；形如()11i ja a -×+× (1)i j m £<£的正整数至多有2C m 个.又集合{}1,2,3,,M n =L 含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22C C m m m m n +++³，即()1m m n +³.（3）由（2）可知()119m m +³，所以4m ³.当4m =时，()1191m m +-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设{}1234,,,A a a a a =为{}1,2,3,,19M =L 的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，则410a ³.当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾.如果27a =，则16a =或5.易知{}6,7,9,10A =和{}5,7,9,10A =都不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{}6,7,8,11A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{}5,6,7,12A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{}4,5,6,13A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{}3,4,5,14A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{}2,3,4,15A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{}1,2,3,16A =不是{}1,2,3,,19M =L 的4元基底，矛盾.当417a ³时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{}1,3,5,9,16A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，m 的最小可能值为5.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（）A．平均数为3，中位数为2B．中位数为3，众数为2C．平均数为2，方差为2.4D．中位数为3，方差为2.8理疏导后至少有一人的心理等级转为B 的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)22．已知线段AB 的端点B 的坐标是()64，，端点A 的运动轨迹是曲线C ，线段AB 的中点M 的轨迹方程是()()22421x y -+-=．(1)求曲线C 的方程；(2)已知斜率为k 的直线l 与曲线C相交于异于原点O 的两点E F ，，直线OE OF ，的斜率分别为1k ，2k ，且122k k =．证明：直线l 恒过定点．23．设A 是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x A Î，都有1x A -Î或1x A +Î，则称A 为自邻集.记集合{1,2,}(2,N)n A n n n =>ÎL 的所有子集中的自邻集的个数为n a .(1)直接写出4A 的所有自邻集；(2)若n 为偶数且6n >，求证：n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若4n ³，求证：12n n a a -£.MN ÌQ 平面MNQ ，//MN \平面PAB；（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ，又N 是BC 中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-uuu r ，()2,1,0CD =-uuu r ，()2,2,0DN =-uuur，设平面PCD的法向量()1111,,n x y z =ur，则11111133020PD n y z CD n x y ì×=-=ïí×=-+=ïîuuu r ur uuu r ur ，令11x =，则()11,2,2n =ur，设平面PND 的法向量()2222,,n x y z =uu r，即2440m km +-<，所以直线l 的方程为()4y k x =+，即直线l 过定点()4,0P -．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算D ；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.23．(1){}{}{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4,1,2,2,3,3,4(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可；（2）取n A 的一个含5个元素的自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，判定集合{}543211,1,1,1,1n C n x n x n x n x n x A =+-+-+-+-+-Í，再证明C 也是自邻集且B C ¹，从而得出结论；（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，N k *Î，则当4n ³时有1n n n a a b -=+，再分类讨论证明1n n b a -≤即可.【详解】（1）由题意可得，4A 的所有自邻集有：{}{}{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,2,3,4,1,2,2,3,3,4；（2）对于n A 的含5个元素的自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，不妨设12345x x x x x <<<<.因为对于i x B "Î，都有1i x B -Î或1i x B +Î，1i =，2，3，4，5，所以211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-.对于集合5{1C n x =+-，41n x +-，31n x +-，21n x +-，11}n x +-，因为123451x x x x x n £<<<<£，所以11i n x n £+-£，1i =，2，3，4，5，5432111111n x n x n x n x n x +-<+-<+-<+-<+-，所以n C A Í.因为211x x =+，451x x =-，321x x =+或341x x =-.所以21n x +-=()111n x +--，()45111n x n x +-=+-+，341(1)1n x n x +-=+-+或31(n x +-=21)1n x +--，所以对于任意11i n x C +-+Î或11i n x C +--Î，1i =，2，3，4，5，所以集合C 也是自邻集.因为当n 为偶数时，331x n x ¹+-，所以B C ¹.所以对于集合n A 的含5个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应.所以，n A 的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数.（3）记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，N k *Î，当4n ³时，1231n n a b b b --=+++L ，231n n n a b b b b -=++++L ，显然1n n n a a b -=+.下面证明：1n n b a -≤.①自邻集含有2n -，n 1-，n 这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素n 后的集合为D 因为n 1-，2n D -Î，所以D 仍是自邻集，且集合D 中的最大元素是n 1-，所以含有2n -，n 1-，n 这三个元素的自邻集的个数为1n b -.②自邻集含有n 1-，n 这两个元素，不含2n -，且不只有n 1-，n 这两个元素，记自邻集除n 1-，n 之外最大元素为m ，则23m n -≤≤，每个自邻集去掉n 1-，n 这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为m ，可将此时的自邻集分为4n -个；其中含有最大数为2的集合个数为2b ，含有最大数为3的集合个数为3b ，LL ，含有最大数为3n -的集合个数为3n b -.则这样的集合共有233n b b b -+++L 个.③自邻集只含有n 1-，n 这两个元素，这样的自邻集只有1个.综上可得23312331211n n n n n n n b b b b b b b b b b a ------=+++++£+++++=L L ，所以1n n b a -≤，故4n ³时，12n n a a -£得证.【点睛】思路点睛：第二问取自邻集{}23451,,,,B x x x x x =，和集合5{1C n x =+-，41n x +-，31n x +-，21n x +-，11}n x +-，先由定义判定n C A Í，且集合C 也是自邻集，B C ¹.即可证明结论；第三问记自邻集中最大元素为k 的自邻集的个数为k b ，有1n n n a a b -=+，再分三类①自邻集含有2n -，n 1-，n 这三个元素的自邻集的个数为1n b -，②自邻集含有n 1-，n 这两个元素的集合共有233n b b b -+++L 个，③自邻集只含有n 1-，n 这两个元素，这样的自邻集只有1个来证明：1n n b a -≤即可.答案第241页，共22页。

2022-2023学年北京市高二上学期期末数学试题一、单选题1．在等差数列中，若，，则（ ）{}n a 11a =2410a a +=20a =A ．38B ．39C ．40D ．41【答案】B 【分析】根据，求出，然后用公式计算即可.1241,10a a a =+=d 【详解】在等数列中，，{}n a 1241,10a a a =+=所以，1242410a d d +=+=解得，2d =所以，2011939a a d =+=故选：B.2．已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 221n S n n =-+3a =A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据计算可得.332a S S =-【详解】解：因为数列的前项和，{}n a n 221n S n n =-+所以.()()23232323122213a S S =--⨯+--⨯+==故选：B 3．已知数列是首项为的等比数列，且公比大于，，则的通项公式（ ）{}n b 203212b b -={}n b A ．B ．C ．D ．2nn b =23nn b =⨯123n n b -=⨯126n n b -=⨯【答案】C【分析】设公比为，由得到方程，求出，即可得解.q 3212b b -=q 【详解】解：设公比为，由，所以，解得或，q 3212b b -=22212q q -=3q =2q =-又公比大于，所以，03q =所以.123n n b -=⨯4．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）2221(0)x y a a -=>22430x y y +-+==a A ．3BCD ．13【答案】C【分析】求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径，列方程可求出的值a 【详解】解：由，得，所以圆心为，半径为1，22430x y y +-+=22(2)1x y +-=(0,2)双曲线的渐近线方程为，2221(0)x y a a -=>x y a =±因为双曲线的渐近线与圆相切，2221(0)x y a a -=>22430x y y +-+=，化简得，解得（舍去），1=231a =a =a =故选：C5．设为等比数列的前n 项和，，则（ ）n S {}n a 2580a a +=52S S =A ．B ．C ．D ．911-313313-【答案】A【分析】根据等比数列的性质可得，进而求得公比，由前项和公式即可求解.35288a q a =-⇒=-n 【详解】设等比数列的公比为{}n a ,q 由得：，故，2580a a +=35288a q a =-⇒=-2q =-故，()()52151112,1112S a S a a --=-==--所以.5211S S =-故选：A 6．已知为等差数列，为其前n 项和，若，，则当______，有最大{}n a n S 16a =312S a =n =n SA ．3B ．4C ．3或4D ．4或5【答案】C【分析】设为等差数列的公差为.利用基本量代换求出，结合二次函数的性质即可求得.{}n a d 2d =-【详解】设为等差数列的公差为.{}n a d 因为，，16a =312S a =所以，解得：.36312d ⨯+=2d =-所以.()()216272n S n n n n n -=+⨯-=-结合二次函数的性质可得：当或时，有最大值12.3n =4n =n S 故选：C7．设椭圆的左、右焦点分别为，，为直线上一点，()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F P 32x a =是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）21F PF 30︒C AB ．CD ．1234【答案】D【分析】由是底角为的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．21F PF 30︒212PF F F =,a c 【详解】解：由题意可得，，如图，，则，212PF F F =2(,0)F c 121230PF F F PF ∠=∠=︒260PF E ∠=︒，230F PE ∠=︒所以，223222PF EF a c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，∴，∴．3222ac c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭34a c =34e =故选：D ．8．设数列的前n 项和为，且，则（ ）{}n a n S ()111,2,3,2n n n a a n ++== 2n S =A ．B ．C ．D ．121132n +⎛⎫- ⎪⎝⎭112n-21134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭41134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用并项求和和等比数列的求和公式进行求解即可【详解】因为数列的前n 项和为，，{}n a n S ()111,2,3,2n n n a a n ++== 所以()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++ 1321111222n -=+++ 1112421113414nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-=故选：C9．如果数列满足（k 为常数），那么数列叫做等比差数列，k 叫做公比{}n a 211n n n na a ka a +++-={}n a 差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）①若数列满足，则该数列是等比差数列；{}n a 12n na na +=②数列是等比差数列；{}2nn ⋅③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列211n n n na a ka a +++-=k 即可可得到答案.【详解】①数列满足，则，{}n a 12n na na +=2112(1)22n n n na a n n a a +++-=+-=满足等比差数列的定义，故①正确；②数列，{2}nn ⋅+212111(2)2(1)2(1)22n n n n n nn n a a a a n n n n +++++-=+⋅+⋅-+⋅⋅，2(2)2(1)22(1)(1)n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅==-⋅+⋅+不满足等比差数列的定义，故②错误；③设等比数列的公比为，则，q 211n n n na a a a q q +++-==-满足等比差数列，故③正确；④设等差数列的公差为，d 则，22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++-++-=-=++故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；0d =211n n n na a a a +++-=故答案为：①③④故选：B.10．已知抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且，过点A 作直线PF 的垂线，垂足为H ，则的最小值为（ ）6AF =PH PF⋅A．16B ．6C ．D ．【答案】A【分析】先求出抛物线标准方程，得到焦点，准线和，设出，()2,0F :2l x =-(4,A ()2,P t -利用向量法表示出，结合二次函数求最值.PH PF⋅【详解】不妨设抛物线C 的焦点，由抛物线C 的焦点F 到准线l 的距离为4，可得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以抛物线，焦点，准线.4p =2:8C y x =()2,0F :2l x =-因为点A 在抛物线C 上，且，所以，所以，所以，6AF =62A p x +=26Ax +=4A x =所以不妨取.A y =±(4,A 点P 是直线l 上的动点, 不妨取.()2,P t -所以.()()6,,4,PA t PF t ==-因为为在上的射影，PH PAPF 所以()cos ,PH PF PA PA PHPF⋅=⋅PA PF PA PFPA PF ⋅=⋅⋅ PA PF=⋅()()64t t =⨯+⨯-224t =-+(216t =-+(216t =-+.（当且仅当16≥t =故选：A.二、填空题11．在等差数列中，已知，，则______．{}n a 43a =79a =3579a a a a +++=【答案】28【分析】设首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项公式，从而得解.1a d 1a d 【详解】解：在等差数列中，，设首项为，公差为，{}n a 43a =79a =1a d 则，解得，所以，113369a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =-⎧⎨=⎩25na n =-所以.35791591328a a a a +++=+++=故答案为：2812．某公司开发了一款手机应用软件，为了解用户对这款软件的满意度，推出该软件3个月后，从使用该软件的用户中随机抽查了1000名，将所得的满意度的分数分成7组：，，…，，整理得到如下频率分布直方图．这1000名用户满意度的第25[)30,40[)40,50[]90,100百分位数是______．【答案】54【分析】利用频率分布直方图结合百分位数的定义求解即可.【详解】由已知可得，样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)30,400.005100.05⨯=样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)40,500.010100.1⨯=样本中满意度在区间内的样本的频率为，[)50,600.025100.25⨯=所以样本中满意度在区间内的样本的频率为0.15，满意度在区间内的样本的频率为[)30,50[)30,600.40，故用户满意度的第25百分位数在区间内，[)50,60设用户满意度的第25百分位数为，则x ，所以，()0.15500.0250.25x +-⨯=54x =所以这1000名用户满意度的第25百分位数是54.故答案为：54.13．在数列中，是其前n 项和，且，则数列的通项公式______．{}n a n S 21n n S a =+n a =【答案】，.12n n a -=-*n ∈N 【分析】利用，求解数列的通项公式.11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【详解】当时，，解得：，1n =11121S a a ==+11a =-令时，，即，解得：，2n =2221S a =+12221+=+a a a 2112a a =-=-当时，，2n ≥111212122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-故，12n n a a -=所以时，为公比为2的等比数列，2n ≥{}n a所以，2212222n n n n a a q ---==-⨯=-显然时，满足，1n =11a =-12n n a -=-综上：，.12n n a -=-1n ≥故答案为：，.12n n a -=-*n ∈N 14．在数列{an }中，a 1=2，an+1=an+ln ，则通项公式an=_____.11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】2+ln n【分析】利用累加法求得数列的通项公式.【详解】解析：∵an+1=an+ln ，11n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴a 2-a 1=ln =ln 2，111⎛⎫+ ⎪⎝⎭a 3-a 2=ln =ln ，112⎛⎫+ ⎪⎝⎭32a 4-a 3=ln =ln ，113⎛⎫+ ⎪⎝⎭43……an-an-1=ln =ln .11-1n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1n n 以上(n-1)个等式相加，得an-a 1=ln 2+ln +…+ln =ln n.32-1nn ∵a 1=2，∴an=2+ln n.∵a 1=2+ln 1=2，∴{an }的通项公式为2+ln n.答案：2+ln n.15．在棱长为2的正方体中，过点的平面分别与棱，，交于点，1111ABCD A B C D -A α1BB 1CC 1DD E ，，记四边形在平面上的正投影的面积为，四边形在平面上的F G AEFG 11ABB A 1S AEFG 11BCC B 正投影的面积为．给出下面有四个结论：2S ①四边形是平行四边形；AEFG②的最大值为；12S S 4③的最大值为；12S S +6④四边形可以是菱形，且菱形面积的最大值为AEFG 则其中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然,,BE a CF b DG c ===,,a b c 后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④.【详解】解：对①，因为平面分别与平面、平面、平面、平面AEFG 11BCC B 11ADD A 11ABB A 交于、、、，11CDD C EF AG AE GF 易知平面平面，则，而平面平面，则，11//BCC B 11ADD A //AG EF 11//ABB A 11CDD C //AE GF 所以四边形是平行四边形，故①正确；AEFG以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，记点在平面上的投影点为A 1,,AB AD AA ,,x y z G 11BCC B 点，H 点、在平面上的投影点分别为点、.F G 11ABB A I J设，其中，则，，,,BE a CF b DG c ===0,,2a b c ≤≤()()()2,0,,2,2,,0,2,E a F b G c ()0,0,0A 所以，由①可得，所以，()()2,0,,2,0,AE a GF b c ==- AE GF = b a c =+则，020202a a c c ≤≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩易得，，所以，故③错误；12S BE BC a =⨯=22S AB AJ c =⨯=()1224S S a c +=+≤又，当且仅当时取“=”，故②正确；2124442a c S S ac +⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭1,2a c b ===又，，令，所以，()2,2,AF b =()2,2,EG c a =--()440AF EG b c a ⋅=-++-=c a =即， 则此时，平行四边形是菱形，201c a b a a =⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩AF EG ⊥AEFG 而此时，()()2,2,2,2,2,0AFa EG ==-EG =所以菱形的面积，当时，④正确.S =1a =max S ==故答案为：①②④.三、解答题16．已知函数.()22cos cos sin f x x x x x=+-(1)求的最小正周期；()f x (2)若，求函数的最值.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)π(2)最大值为2，最小值为1-【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解；()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由，得到，再利用正弦函数的性质求解.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【详解】（1）解：∵，()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴.22T ππ==的最小正周期为.()f x π（2）∵，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴.()[]1,2f x ∈-∴的最大值为2，最小值为.()f x 1-17．已知等差数列的前n 项和为，且，．{}n a n S 66a =-73a =-(1)求通项公式及的最小值；{}n a n S (2)数列为等比数列，且，，求数列的前n 项和；{}n b 19b a =211b a ={}n b nT(3)数列满足，其前n 项和为，请直接写出的值（无需计算过程）．{}n c ()1nn nc a =-n P 2022P 【答案】(1)，最小值为；324n a n =-7884S S ==-(2)；()3312nn T =-(3)3033.【分析】（1）利用基本量代换求出，得到通项公式和前n 项和公式，利用函数求最值；121,3a d =-=（2）求出通项公式，进而得到数列的前n 项和；{}n b nT（3）利用分组求和法求出，直接代入求解.n P 【详解】（1）设等差数列的公差为.{}n a d 因为，，所以，解得：，66a =-73a =-116,356a d d a +=-=-+121,3a d =-=所以.()14132n a n d a n +-=-=所以.()()2115675334524222n n n a a n n n S ⎛⎫--⎪+-⎝⎭===因为，所以当或时，最小值为*N n ∈7n =8n =()7838458842S S ⨯-===-（2）由（1）可得：，192113,9b a b a ====所以等比数列的公比为，{}n b 21933b q b ===所以.113n nn b b q -=⋅=所以等比数列的前n 项和{}n b ()()()113133311132n n nn b q T q --===---（3）因为数列满足.{}n c ()()()11324nnn n c a n =-=--当为偶数时，；n ()()()3211815123273242n P nn n =-+-++-++-=当为奇数时，n ；()()()()()()()3131211815123303273243242422n n n n n n n P -+=-+-++-++---=--=-所以.()3124,23,2n n n P n n ⎧+-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数所以.20223202230332P ⨯==18．如图，四边形是正方形，平面，，，，为ABCD PA ⊥ABCD EB PA ∥4AB PA ==2EB =F 的中点．PD (1)求证：；AF PC ⊥(2)求二面角的大小．D PCE --(3)在棱上是否存在点，使得直线与平面的PE M DM PCE PM 长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)；5π6(3)重合时，符合题意，,M E PM =【分析】（1）以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系.利用向量法A ,,AD AB APx y z ，，证明；（2）利用向量法求出二面角的余弦值，得到二面角的大小；D PCE --D PC E --（3）利用向量法判断出当与重合时，符合题意，进而求出.M E PM【详解】（1）因为四边形是正方形，平面，所以以为原点，分别ABCD PA ⊥ABCD A ,,AD AB AP为轴正方向，建立空间直角坐标系.x y z ，，因为，，为的中点，所以4AB PA ==2EB =F PD ()0,0,0,A ()0,0,4,P ()4,0,0,D ()4,4,0,C .()0,4,0,B ()0,4,2,E ()2,0,2F 所以.()4,4,4,PC =-()2,0,2AF = 因为，所以，即.()2,0,2420420PC AF ⋅==⨯++-⨯=PC AF ⊥AF PC ⊥（2）因为平面，平面，所以.PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD PA CD ⊥又，,平面,平面,AF PC ⊥AF PA A = AF ⊂PAD PA ⊂PAD 所以平面.CD ⊥PAD 因为平面，所以.AF ⊂PAD CD AF ⊥又，,平面,平面,AF PC ⊥CD PC C = CD ⊂PCD PC ⊂PCD 所以平面,即为面的一个法向量.AF ⊥PCD ()2,0,2AF =PCD 设为面的一个法向量，则,(),,n x y z = PCE 44400420n PC x y z n PE x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 不妨设，则.1y =()1,1,2n = 由图示，二面角为钝角，设其为，所以D PC E --θ.cos n AF n AF θ⋅=-==⨯ 因为，所以，即二面角为.[]0,πθ∈5π6θ=D PC E --5π6（3）假设在棱上存在点，使得直线与平面PE M DM PCE 设,,则.()0,4,2PM PE λλλ==-()01λ≤≤()4,4,42DM DP PM λλ=+=-- 因为直线与平面DMPCE 所以，即，解得：cos ,DM DM n DM n ⋅=⨯.1λ=所以当与重合时，直线与平面M E DM PCE 此时，(0,4,PM PE === 19．已知直线与抛物线交于，两点，且．():0l x my n n =+≠24y x =M N 90MON ∠=︒(1)求，两点的横坐标之积和纵坐标之积；M N (2)求面积的最小值．MON △【答案】(1)，1616-(2)16【分析】(1)先设出，，分别表示出，的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为M N MO ON ，求得，把抛物线的方程代入即可求得和.1-12120x x y y +=12x x 12y y(2)接着联立直线和抛物线方程组，得出直线与轴交点的坐标，根据24x my n y x =+⎧⎨=⎩x P ，表示出面积，利用基本不等式求得面积的最小值.MON MOP NOP S S S =+ MON △【详解】（1）设，，，()11,M x y ()22,N x y 90MON ∠=︒即，，，，OM ON ⊥12120x x y y ∴+=2114y x = 2224y x =，，.221212044y y y y ∴⋅+=1216y y ∴=-1216x x =（2）由题知，令直线方程中，():0l x my n n =+≠0y =可得直线与轴交点，联立，得x P (),0n 24x my ny x =+⎧⎨=⎩，由(1)知，，2440y my n --=12416y y n =-=-，即点坐标为，4n ∴=P ()4,0则MON MOP NOPS S S =+ ()1212OP y y =+，()122y y =+2≥⨯当且仅当时，等号成立.124y y ==面积的最小值为.∴MON △1620．已知椭圆的离心率为，且过点．()2222:10x y C a b a b +=>>12()2,0A -(1)求椭圆的方程；C (2)斜率为的直线与椭圆交于不同两点（都不同于点），且直线，的斜率之积等k l M N ，A AM AN 于1．试问直线是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．l 【答案】(1)；22143x y +=(2)直线过定点.l ()14,0-【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；（2）不妨设直线.设C :l y kx m =+.利用“设而不求法”表示出,得到.即可得到直线()()1122,,M x y N x y ，1AM AN k k ⋅=14m k =过定点.():14l y k x =+()14,0-【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为：.222212a c e a b a c=⎧⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=（2）不妨设直线.设.:l y kx m =+()()1122,,M x y N x y ，联立得：，消去y 得：.22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()2223484120k x kmx m +++-=所以.()()()()22222843441248430km k m k m ∆=-+-=-+>所以.21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++因为直线，的斜率之积等于1，所以,即，AM AN 1AM ANk k ⋅=1212122y yx x ⋅=++所以，整理得：.()()()()121222kx m kx m x x ++=++()()()2212121240k x x km x x m -+-++-=所以，整理得：，解得：()()22222241028343144k m km k k km m ⎛⎫-⨯+--+-= ⎪⎝⎭-++2216280m km k -+=或.2m k =14m k =当时，直线过定点，不合题意，舍去；2m k =():2l y k x =+()2,0A -当时，代入，解得：或（因为时直线14m k =()()224841430k k ∆=-+>18k -<<108k <<0k =与椭圆交于长轴顶点，不合题意），直线过定点.符合题意.():2l y k x =+():14l y k x =+()14,0-故直线过定点，使得直线，的斜率之积等于1.l ()14,0-AM AN 21．设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为阶“Q 数列”：1a 2a n a ()2,3,4,n n = ①；②．120n a a a +++= 121n a a a +++= (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；(2)若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；(3)记n 阶“Q 数列”的前k 项和为，求证．()1,2,3,,k S k n = 12k S ≤【答案】(1)三阶“数列”:,,;四阶“数列”:,,,Q 12-012Q 38-18-1838(2)222019(N ,2018)21009n n a n n *-=∈≤⨯(3)证明见解析【分析】（1）借助新定义利用等差数列,写出一个单调递增的3阶和4阶“数列”;Q （2）利用某阶“数列”是等差数列,根据已知条件分别求出首项和公差即可；2018Q （3）判断k =n 时,,然后证明k ＜n 时,利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可.102n S =≤【详解】（1）不妨设其数列为等差数列,因为阶“数列”单调递增,3Q 则由,可知:,且,1231a a a ++=1230a a a ++=130,0a a <>123230a a a a ++==解得:,所以,故,20a =130a a +=1231301a a a a a ++=-++=解得:,故三阶“数列”：,,;1311,22a a =-=Q 12-012同理，不妨设4阶“数列”为等差数列,公差为,Q d 因为4阶“数列”单调递增,Q 由可知:,12340a a a a +++=1423a a a a +=+即,,所以,且,()2320a a +=230a a +=12340a a a a <<<<1230a d +=因为,所以,12341a a a a +++=12341a a a a --++=即,解得:,1111231a a d a d a d ---++++=14d =将代入中,解得:,14d =1230a d +=138a =-可得四阶“数列”：,,,．Q 38-18-1838（2）设等差数列,,,,公差为,,1a 2a 3a 2018a d 0d >∵,∴,12320180a a a a ++++= 120180a a +=∴,则,100910100a a +=100910100,0a a <>,根据已知条件得：0d > ①,②,123100912a a a a ++++=- 10101011201812a a a +++=两式相减得:,即,210091d =211009d =根据,得,，120182017201802d a ⋅+=1220172017221009a d =-=-⋅.()22220171220191(N ,2018)21009100921009n n a n n n *-∴=-+-=∈≤⋅⨯（3）当时,显然成立;k n =102n S =≤当时,根据条件①得,k n <12k k S a a a =+++ ()12k k n a a a ++=-+++ 即,12k k S a a a =+++ 12k k na a a ++=+++ ∴,12121231221k k k k n k k k n S a a a a a a a a a a a a a ++++=+++++++≤+++++++= ∴.12k S ≤【点睛】关键点点睛：定义新数列,要将不熟悉的问题进行转化,转化为我们熟悉的问题,本题中将“数列”转化为等差数列,利用等差数列的性质进行求解较为简单,第三问的难点是利用绝对值三角Q 不等式进行证明.。

北京市第二中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题(每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的） 1.设,则“”是“”的（ ）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C 。

充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】 试题分析:，所以“”是“”的充分非必要条件，选A.【考点】充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等。

【此处有视频,请去附件查看】2.从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（ ）．A. 至少有一个黑球与都是黑球 B 。

至少有一个黑球与至少有一个红球 C. 恰有一个黑球与恰有个黑球D. 至少有一个黑球与都是红球【答案】C 【解析】 依题意,从装有个红球和个黑球的口袋中任意取个球至少有个黑球包含都是黑球，故至少有个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A 错误,至少有个黑球包含黑红，至少有个红球包含黑红，两者不是互斥事件，故错误，a R∈2211,111a a a aa >⇒>>⇒><-或2222222A11B111111B恰有个黑球与恰有个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故 正确D 至少有个黑球与都是红球是互斥事件,也是对立事件，故错误，故答案为3。

某学校开设类选修课门，类选修课门,一位同学从中共选门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（ )． A 。

种B. 种C 。

种D 。

种【答案】A 【解析】由题意，7门课程选3门有种方法， 若选择的课程均为A 课程，有种方法， 选择的课程均为B 课程,有种方法,满足题意的选择方法有:种. 本题选择A 选项.4。

已知命题,使；命题，都有，给出下列结论：（ )． A. 命题是真命题B. 命题“”是真命题 C 。

2022-2023学年北京市第二中学高二上学期11月学段考试数学试题一、单选题1．在复平面内，复数z 对应的点为1,1，则()1i z +=（ ） A ．2 B ．2iC ．2i -D ．2-【答案】A【分析】由复数的几何意义可得复数z ，利用复数的乘法可求得结果. 【详解】由复数的几何意义可知1i z =-，故()()()1i 1i 1i 2z +=-+=. 故选：A.2．设m n ､是两条不同的直线，αβ､是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若,m n αα⊥⊥，则//m n ②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥ ③若,m n m α⊥∥，则n α⊥ ④若,m αβα⊥∥，则m β⊥ 其中错误的命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】利用线面垂直的性质定理可判断①；利用线面垂直，及面面平行的判定定理可判断②；利用线线，线面，面面的位置关系可判断③④.【详解】对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确； 对于②，垂直于同一直线的两个平面平行，故②正确；对于③，若,m n m α⊥∥，则n α⊥，//n α或n ⊂α，故③错误； 对于④，若,m αβα⊥∥，则m β⊥，//m β或m β⊂，故④错误； 所以错误的命题是③④， 故选：C3．过点()0,0向圆22(3)(4)1x y -+-=作切线，则切线长为（ ）A ．B ．5C D ．24【答案】A【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长.【详解】因为圆22(3)(4)1x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为1r =， 作出图形，连接,OC PC ，易知PC PO ⊥， 因为()0,0O 到()3,4C 的距离为22345OC =+=， 所以切线长为2225126PO OC r =-=-=.故选：A.4．“3m >”是“曲线22(2)1mx m y --=为双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先由双曲线的标准方程求出m 的范围，再结合充分必要的定义判断即可.【详解】由题意可知，22(2)1mx m y --=为双曲线等价于()20m m ->，解得0m <或2m >，显然3m >能推出0m <或2m >，反之不成立，∴应为充分不必要条件， 故选：A ．5．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =，则点P 的轨迹方程是（ ） A ．2212x y +=B ．2212y x +=C ．222x y +=D ．221x y +=【答案】C【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案. 【详解】设(),P x y ，(),M m n ，(),0N m ，则(),NP x m y =-，()0,NM n =， 由2NP NM =，则02x m y n -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2m xn y =⎧⎪⎨=⎪⎩，由点M 在椭圆C ：2212x y +=上，则2212m n +=，即22122x y +=，即点P 的轨迹方程是222x y +=. 故选：C.6．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=， ∴圆心为()1,2--，半径为22， ∴圆心到直线10x y ++=的距离12122d --+==，∴圆上到直线的距离为2的点共有3个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.7．已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理1PA PF +，利用三角形三边关系，可得答案.【详解】由双曲线22145x y -=，则224,5a b ==，即2229c a b =+=，且()()12,,,0330F F -， 由题意，作图如下：22122223449PA PF PA a PF AF a +=++≥+=+=，当且仅当2,,A P F 共线时，等号成立. 故选：C.8．设椭圆2211612x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF ⋅=，则12||||F P P F ⋅的值为 A ．8 B ．10 C ．12 D ．15【答案】D【详解】由已知1212129cos PF PF PF PF F PF ⋅==⋅∠，① 由椭圆定义知，2128,PF PF a +== 222112||2|64|||PF PF PF PF ++=，②由余弦定理得222211212||2cos 416PF PF PF PF F PF c +-∠==，③由①②③得1215PF PF ⋅=. 故选：D.【点晴】本题主要考查椭圆的定义及性质、平面向量数量积公式及余弦定理.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题的解答就是综合考虑椭圆的定义、几何性质以及余弦定理解答的.9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【分析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 所以1//D P 平面EFGHQR , 由中位线定理可得AC//EF , EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外，所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交， 所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB 的面积最小， 最小值为12222⨯ C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.10．已知圆O :222x y +=，直线:240l x y +-=，点()00,P x y 在直线l 上。

2022-2023学年北京市铁路第二中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角是 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】D【解析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线10x ++=的斜率为所以其倾斜角为150︒ 故选：D2．若a ，b 是异面直线，直线//c a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面C ．平行D ．异面或相交【答案】D【解析】通过反证法的思想，可以判断出选项正误.【详解】若a ，b 是异面直线，直线//c a ，则c 与b 不可能是平行直线．否则，若//c b ，则有////c a b ，得出a ， b 是共面直线．与已知a ，b 是异面直线矛盾，故c 与b 的位置关系为异面或相交， 故选：D3．若点()0k ，与()0b ，的中点为()1,0-，则直线y kx b =+必定经过点 A ．1,2 B ．()1,2C ．1,2D ．()1,2--【答案】A【详解】由中点坐标公式可得2k b +=-，所以直线y kx b =+化为()212y kx k k x y =--∴-=+，令10,201,2x y x y -=+=∴==-，定点(1,2)-4．自点 (1,4)A -做22(2)(3)1x y -+-=的切线，则切线长为（ ）A B ．3CD ．5【答案】B【分析】求出圆心到点A 的距离，由勾股定理可得切线长．【详解】圆心为(2,3)C ，∴AC 1r =，∴切线长为223d AC r =-=．故选B ．【点睛】由于圆心，圆外的一点，切点正好是一个直角三角形的三个顶点，故切线长可利用勾股定理求得，不需要求出切点坐标．5．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1,CC AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值等于（ ） A ．105B ．155C ．45D ．23【答案】B【分析】取BC 的中点G ，连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角，在△OEH 中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC 的中点G ．连接GC 1，则GC 1//FD 1，再取GC 的中点H ，连接HE 、OH ，如图所示， ∵E 是CC 1的中点，∴GC 1//EH ，∴∠OEH 为异面直线OE 和1FD 所成的角． 在△OEH 中，3OE =，HE ＝2211115222GC CC CG =+=，OH ＝52． 由余弦定理，可得cos ∠OEH ＝222315255232OE EH OH OE EH +-==⋅⨯⨯．故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 A ．3B ．2C 6D 3【答案】A【详解】由题意可得，直线方程为：tan 603y x x ==30x y -=，圆的标准方程为：()22222x y +-=，圆心到直线的距离：1d ==，则弦长为：2=本题选择A 选项.点睛：圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：12AB x =-.7．已知MA ，MB 是空间两个不共线的向量，32MC MA MB =-，那么必有（ ） A ．MA ，MC 共线 B ．MB ，MC 共线 C ．MA ，MB ，MC 共面 D ．MA ，MB ，MC 不共面【答案】C【分析】根据共面向量定理可作出判断【详解】由题知，MA ，MB 是空间两个不共线的向量，32MC MA MB =-， 由共线向量定理知，A ，B ，C 三点共线， 由共面向量定理知，MA ，MB ，MC 共面. 故选：C8．已知正方体ABCD A B C D -''''，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF 等于（ ）A ．111322AA AB AD '++B ．111222AA AB AD '++C ．111366AA AB AD '+-D ．111366AA AB AD '++【答案】D【分析】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解. 【详解】因为1122AE AA A E AA A C AA AC ''''''=+=+=+ ()111222AA AB AD AA AB AD ''=++=++, 所以11113366AF AE AA AB AD '==++. 故选:D.9．在空间直角坐标系中,正方体1111ABCD A B C D -棱长为2,E 为正方体的棱1AA 的中点,F 为棱AB 上的一点,且190C EF ∠=则点F 的坐标为A ．12,,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．22,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】由正方体的性质可得()()12,0,1,0,2,2E C ，设()2,,0F y ，则()()12,2,1,0,,1EC EF y =-=-，因为190C EF ∠=，1210EC EF y ∴⋅=-=，解得12y =，则点F 的坐标为12,,02⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 10．在平面直角坐标系xOy 中，记以直线2y kx =-上一点P 为圆心，1为半径的圆为⊙P ，所有⊙P 构成的集合为W ，若在W 中存在一个圆，使得该圆与圆228150x y x +-+=有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．1 B ．23C ．43D ．53【答案】C【分析】将原问题转化为两圆存在交点的问题，然后结合题意得到关于k 的不等式，求解不等式即可确定实数k 的最大值．【详解】解：圆228150x y x +-+=方程可化为22(4)1x y -+=，圆心坐标为(4,0)C ，半径为1， 由题意，直线2y kx =-上至少存在一点0(x ,02)kx -， 以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点， 22(4)(2)2x kx -+-， 整理得22(1)(8)160k x k x +-++，此时不等式有解的条件是22Δ(84)64(1)0k k =+-+， 解得403k，故k 最大值为43．故选：C ．二、填空题11．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是__________． 【答案】22(1)(1)2x y -+-= 【详解】由题意知圆的半径2r = ∴圆的方程为()()22112x y -+-=12．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，则四面体-P ABC 的四个面中，直角三角形的个数有______ 个．【答案】4【详解】试题分析：因为PA ⊥ 平面ABC ，所以PA AC PA AB PA BC ⊥⊥⊥，， ，又因为AB 是直径，所以BC AC ⊥ ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥ ，所以一共有四 个直角三角形，分别是,,,PAC PAB ACB PCB 【解析】线面垂直的判定性质定理13．已知向量()21,3,1a m m =+-，()2,,b m m =-，且a b ∥，则实数m 的值为______． 【答案】2-【分析】利用向量共线的性质，直接计算求解即可. 【详解】由题意得(21):23:(1):()2m m m m m +==--⇒=- 故答案为：2-14．圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆的方程是2210x y +-=，则实数a 的值是__________ 【答案】2【详解】圆C 的方程为：22210,x y ax y +-++=∴其圆心C 的坐标为为,1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭又由其关于直线1x y -=对称的圆D 的方程为：2210,x y +-= 圆D 的圆心D 的坐标为()0,0,,C D 关于直线1x y -=对称，CD ∴垂直于该直线，又该直线的斜率为1，所以10102a --=--，解得 2.a =故答案为：2.15．四面体ABCD 的三组对棱分别相等（即,,AB CD AC BD AD BC ===），有以下四个结论： ①四面体ABCD 每组对棱相互垂直；②从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ③连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；④从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中所有正确结论的序号为______． 【答案】③④【分析】对①，作,AE CF 分别垂直BD 于,E F ，FG AE ，证DB ⊥平面GFC ，则当AC 与平面GFC相交时，可得DB 不垂直AC ；对②，（反例）当四面体ABCD 为正四面体时，同一顶点出发的三条棱两两夹角之和为180︒； 对③，每两组对棱中点连成的四边形可证为菱形，则其对角线互相垂直平分； 对④，,,AB AD BD 构成三角形，AC BD =，则,,AB AC AD 可以构成三角形，其它同理 【详解】对①，如图，作,AE CF 分别垂直BD 于,E F ，FG AE ，则FG DB ⊥，又,FG CF ⊂平面GFC ，FG CF F =，则DB ⊥平面GFC ，当,E F 不重合时，则有AC ⋂平面GFC C =，则DB 不垂直AC ，①错；对②，当四面体ABCD 为正四面体时，同一顶点出发的三条棱两两夹角均为60︒，故和为180︒，②错；对③，如图，,,,G H I J 为各边中点，∴GJ 平行且等于HI ，GH 平行且等于IJ ，∵AC BD =，则GJ HI GH IJ ===，∴四边形GHIJ 为菱形，,GI HJ 相互垂直平分，其它同理可得，所以连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分，③对；对④，,,AB AD BD 构成三角形，因为AC BD =，则从A 点出发的三条棱,,AB AC AD 可以构成三角形，同理可得其它，∴从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长，④对； 故答案为：③④三、双空题16．已知两直线()1:2310l mx m y +-+=，2:220l x my m ++=，当1l 和2l 垂直时，m ＝______；当1l 和2l 平行时，m ＝______． 【答案】 0##5 32-【分析】利用两直线的平行垂直与斜率之间的关系即可求解. 【详解】当1l 和2l 垂直时,若0,m =则1:310l y +=，2:0l x =,满足12l l ⊥, 若0,m ≠因为12l l ⊥,所以12212133m k k m m m⎛⎫⋅=-⨯-==- ⎪--⎝⎭, 解得5m =，所以当1l 和2l 垂直时，m ＝0或5. 因为12l l //,所以12k k =,即213m m m -=--，解得1m =或32m =-. 经检验1m =时1:2210l x y ++=，2:2210l x y ++=， 则1l 和2l 重合，不满足题意， 所以32m =-.故答案为: m ＝0或5; 32m =-.四、解答题17．已知直线l 经过两直线3420x y +-=与220x y ++=的交点P ，且垂直于直线310--=x y ． (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． 【答案】(1)340x y ++=； (2)83.【分析】（1）先求出交点P 的坐标，再由题意设直线l 为30x y m ++=，将点P 坐标代入求出m ，从而可求得直线l 的方程；（2）求出直线l 与两坐标轴的交点坐，直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．【详解】（1）由3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得22x y =-⎧⎨=⎩，即点(2,2)P -，由题意设直线l 为30x y m ++=， 因为直线l 过(2,2)P -，所以3(2)20m ⨯-++=，得4m =， 所以直线l 的方程为340x y ++=； （2）当0x =时，4y =-， 当0y =时，43x =-，所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 1484233S =⨯-⨯-=. 18．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，2BAC π∠=，11AA AB AC ===，1CC 的中点为H ．(1)求证：1AB A C ⊥；(2)求二面角1A BC A --的余弦值； (3)求点1B 到平面1A BC 的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)33； (3)33.【分析】（1）通过证明AB ⊥平面1A AC ，即可由线面垂直推证线线垂直； （2）根据二面角的定义，先作出二面角的平面角，再解三角形即可； （3）利用等体积法，结合棱锥的体积公式，即可求得点面距离.【详解】（1）因为1AA ⊥面,ABC AB ⊂面ABC ，则1AB AA ⊥，又90BAC ∠=︒，则AB AC ⊥， 又11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂面11A ACC ，故AB ⊥面11A ACC ，又1AC ⊂面11A ACC ， 故1AB A C ⊥.（2）取BC 中点为O ，连接1,OA OA ，作图如下：因为1AA ⊥面ABC ，又AO BC ⊥，面ABC ⋂面1A BC BC =，AO ⊂面ABC ， 故1A OA ∠即为二面角1A BC A --的平面角； 又因为1AA ⊥面,ABC AO ⊂面ABC ，故1AA AO ⊥；在△1A AO 中，122AO BC ==，11AA =，则22116AO AA AO +， 故113cos AO AOA AO ∠==，即二面角1A BC A --3（3）因为1AA ⊥面,ABC AC ⊂面ABC ，则1AC AA ⊥，又AC AB ⊥， 11,,AA AB A AA AB ⋂=⊂面11A ABB ，则AC ⊥面11A ABB ，则点C 到平面11A BB 的距离为AC ； 又1111111111222A BB SA B BB =⨯⨯=⨯⨯=， 在△1A BC中，1A B =1BC AC 故三角形1A BC为等边三角形，其面积12A BCS =， 设点1B 到平面1A BC 的距离为d ， 由1111B A BC C A B B V V --=，即1111133A BCA BB Sd SAC ⨯=⨯，1111332d =⨯⨯，解得d=点1B 到平面1A BC 19．已知圆G 过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -． (1)求圆G 的方程；(2)设直线l 经过点()6,1M ，且与圆G 相切，求直线l 的方程． 【答案】(1)2224200x y x y +-+-= (2)6x =或815630x y +-=【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解.【详解】（1）设圆G 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 因为圆G 过三点()1,3A ，()4,2B ，()1,7C -，所以1030204205070D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪+-+=⎩ ，解得2420D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩,圆G 的方程为2224200x y x y +-+-=.（2）由(1)知圆G 是以(1,2)-为圆心，以=5r 为半径的圆， （i ）若直线l 的斜率不存在，则此时l 的方程为6x =到圆心的距离为615-=，满足与圆G 相切; （ii ）若直线l 的斜率存在，则设直线方程为1(6),y k x -=- 即160kx y k -+-=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为23551k d k -==+，解得815k =-,所以切线方程为815630x y +-=. 综上，切线方程为6x =或815630x y +-=.20．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ＝2EF ＝4，2AE DE ==．(1)求证：//AB EF ；(2)求直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； 10.【分析】(1)根据题意可得//AB CD ，利用线面平行判定定理证明//AB 平面CDEF ，结合图形即可证明//AB EF ；(2)取AD 的中点O ，BC 的中点M ，连接,OE OM ，则OM AD ⊥、OE AD ⊥，利用线面垂直的判定定理和性质证得OE OM ⊥，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正弦值. 【详解】（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以//AB CD ， 又AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ，又平面ABEF ⋂平面CDEF EF =，AB ⊂平面ABEF ， 所以//AB EF ；（2）取AD 的中点O ，BC 的中点M ，连接,OE OM ， 则OM AD ⊥，由2AE DE ==OE AD ⊥，且1OE =，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⊥平面ABCD AD =，OE ⊂平面ADE ，所以OE ⊥平面ABCD ，由OM ⊂平面ABCD ，得OE OM ⊥， 建立如图空间直角坐标系O xyz -，(0,0,0)(1,0,0)(1,4,0)(1,4,0)(0,0,1)(0,2,1)O A B C E F -，，，，，， 则(1,0,1)(2,0,0)(1,2,1)AE BC BF =-=-=--，，， 设(,,)n x y z =为平面BCF 的一个法向量， 则2020n BC x n BF x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令1y =，得0,2x z ==，所以(0,1,2)n =，210cos ,552n AE n AE n AE⋅===⨯， 设直线AE 与平面BCF 所成角为α，则10sin 5α=. 所以直线AE 与平面BCF 所成角的正弦值为105.21．已知O 为平面直角坐标系的原点，过点()2,0M -的直线l 与圆221x y +=交于P ，Q 两点． (1)若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程；(2)判断是否存在直线l ，使得△OMP 与△OPQ 的面积相等？若存在，求直线l 的斜率；若不存在，说明理由．【答案】(1)1520x +=或1520x +=； 1515，理由见解析.【分析】（1）根据已知条件，求得点O 到所求直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解；（2）设出直线l 的方程，联立圆方程，根据韦达定理，结合点P 为MQ 的中点，即可求得直线斜率. 【详解】（1）过点O 作直线l 的垂线，垂足记作H ，如下所示：因为12OP OQ ⋅=-11cos POQ =⨯⨯∠，又()0,180POQ ∠∈︒，故120POQ ∠=︒， 则△OPH 中，60HOP ∠=︒，又1OP =,故可得1cos602OH OP =︒⨯=， 显然直线l 的斜率存在，设其为k ，则l 方程为：()2y k x =+，22121k k =+，解得15k =l 方程为：)152y x =+， 整理得直线l 方程为：1520x y +=或1520x +=.（2）直线l 的斜率显然存在，设其为k ，则直线l 方程为：()2y k x =+，联立221x y +=可得：()222214410k x k x k +++-=，当21240k =-+>时，设,P Q 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则22121222441,11k k x x x x k k --+==++， 根据题意可得P 为MQ 的中点，则1222x x +=，代入22121222441,11k k x x x x k k --+==++，可得：()221112244132,2111k k x x x k k --+=+=++，解得()()21223131k x k -+=+，将其代入()211241211k x x k -+=+可得：()()222222311341413131k k k k k k +---⨯⨯=+++， 整理得：2527k =，则15k =5161240279=-⨯+=>满足题意. 故直线l 1515【点睛】关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及韦达定理的使用，解决问题的关键是合理利用几何关系从而实现问题的简化，属综合中档题.。

2022-2023学年北京市西城外国语学校高二上学期期中考试（11月）数学试题一、单选题1．已知点()()1,14,A B a -，，直线AB 的斜率为2，则a 的值为（ ） A ．-7 B ．7 C ．5- D ．5【答案】D【分析】利用两点的斜率公式即可求解【详解】因为点()()1,14,A B a -，，直线AB 的斜率为2， 所以1241AB a k +==-，解得5a =， 故选：D2．圆的方程为222100x y x y +++-=，则圆心坐标为（ ） A ．(1,1)- B ．1(,1)2-C ．(1,2)-D ．1(,1)2--【答案】D【分析】根据圆的一般方程可求出结果.【详解】由222100x y x y +++-=可知1D =，2E =， 所以122D -=-，12E -=-， 所以圆心为1(,1)2--.故选：D.3．如果向量()()2,1,312,3a b =-=--，，，则2a b +=（ ）A BC ．D ．【答案】D【分析】利用向量求模的坐标公式即可求解【详解】由()()2,1,312,3a b =-=--，，可得()20,3,3a b +=-，所以(223a b +=+ 故选：D4．已知点()1,2A ，()3,1B ，则线段AB 的垂直平分线方程为（ ） A ．4250x y +-= B ．4250x y --=C ．250x y +-=D ．250x y --=【答案】B【分析】应用两点式求线段AB 的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB 中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程. 【详解】由题设，121312AB k -==--，故线段AB 的垂直平分线的斜率为2，又AB 中点为3(2,)2，所以线段AB 的垂直平分线方程为32(2)2y x -=-，整理得：4250x y --=. 故选：B5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，对角线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．63D ．33【答案】D【分析】连接AC ，可得1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成角，在1Rt A AC ∆中，即可求解. 【详解】连接AC ，则1ACA ∠为1A C 与平面ABCD 所成角，设正方体的边长为a ，则13AC a在1Rt A AC ∆中，1sin ACA ∠= 故选：D【点睛】本题考查了线面角，解题的关键是作出线面角，属于基础题. 6．已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．2- D ．2±【答案】B【分析】由两直线平行直接列方程求解即可. 【详解】由题意可知0a ≠，因为直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行， 所以1142a a -=≠，解得2a =， 故选：B7．已知圆()()22111M x y -+-=：与圆221N x y +=：的位置关系是（ ） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．相离【答案】C【分析】求出两圆圆心坐标与半径，再求出圆心距与半径之和比较，即可判断 【详解】圆()()22111M x y -+-=：的圆心为()1,1M ，半径11r =，圆221N x y +=：的圆心为()0,0N ，半径21r =，又121220MN r r r r =+=-=，，即1212r r MN r r -<<+， 所以两圆相交， 故选：C8．“1a =”是“直线10ax y ++=与直线(2)320a x y +--=垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要【答案】A【详解】(1)a =1时，直线x +y +1=0的斜率为−1，3x −3y −2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；(2)若直线ax +y +1=0与(a +2)x −3y −2=0垂直,则：213a a +-⋅=-；∴解得a =1，或−3； ∴“直线10ax y ++=与直线()2320a x y +--=垂直”不一定得到“1a =”；∴综上得“a =1“是“直线ax +y +1=0与直线(a +2)x −3y −2=0垂直”的充分不必要条件．故选:A.9．已知直线:10l x y -+=和圆()()22:125C x y +++=交于,M N 两点，则MN =（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．25【答案】C【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用222MN r d =-可求得结果. 【详解】由圆的方程可知其圆心()1,2C --，半径5r =， ∴圆心C 到直线l 距离12122d -++==，22223MN r d ∴=-=.故选：C.10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11,B C BB 的中点，G 为面对角线1A D 上的一个动点，则下列选项中不正确．．．的是（ ）A ．三棱锥1B EFG -的体积为定值B ．线段1A D 上存在点G ，使1AC ⊥平面EFG C ．线段1AD 上存在点G ，使平面//EFG 平面1ACDD ．设直线FG 与平面11ADD A 所成角为θ，则sin θ22【答案】C【分析】对于A 选项，利用等体积法判断；对于B 、C 、D 三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】对于A ，易得平面11//ADD A 平面11BCC B ，所以G 到平面11BCC B 的距离为定值，又1B EF S △为定值，所以三棱锥1G B EF -即三棱锥1B EFG -的体积为定值，故A 正确．对于B,如图所示,以D 为坐标原点, DA 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴, 建立空间直角坐标系,则()2,0,0A ，()()2,2,0,0,0,0B D ,()0,2,0C ，()12,0,2A ，()10,0,2D ()()()10,2,2,1,2,2,2,2,1C E F ， 所以()12,2,2AC =--，()2,2,0AC =-，()12,0,2AD =-，()1,0,1EF =-， 设1DG DA λ=（01λ≤≤），则()2,0,2G λλ，所以()21,2,22EG λλ=---，()22,2,21FG λλ=---，若1A C ⊥平面EFG ，所以11A C EG A C FG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即()()()()()()()()221222220222222210λλλλ⎧--+⨯-+-⨯-=⎪⎨--+⨯-+-⨯-=⎪⎩，解得14λ=， 所以当G 为线段1A D 上靠近D 的四等分点时，1A C ⊥平面EFG ，故B 正确； 对于C ，设平面1ACD 的法向量()1111,,n x y z =，则1111111220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，则111y z ==，则()11,1,1n =，设平面EFG 的法向量()2222,,n x y z =,则()()22222220212220n EF x z n EG x y z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+-=⎪⎩，取21x =,则22143,2y z λ-==，则21,,1243n λ⎛⎫= ⎪⎝-⎭, 若平面1ACD //平面EFG ，则12//n n ，设12n kn =,即()431,1,11,,12k λ-⎛⎫= ⎪⎝⎭,解得451,k λ==，01λ≤≤，不合题意， ∴线段1B C 上不存在点G ,使平面//EFG /平面1ACD ，故C 错误；对于D ，平面11ADD A 的法向量为()0,1,0n =，则2sin cos ,8FG n FG n FG nθλ⋅===-，因为22398129842λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭92≥，所以sin θ=所以sin θ，故D 正确 故选：C二、填空题11．以点()0,4A ，()4,6B 为直径的两个端点的圆的标准方程是___． 【答案】()()22255x y -+-=.【分析】求出AB 中点坐标为圆心，求出线段AB长的一半即为半径，进而可得圆的方程. 【详解】由点()0,4A ，()4,6B 可得AB 中点坐标为()2,5，AB ==所以所求圆的圆心坐标为()2,5 所以所求圆的标准方程为：()()22255x y -+-=， 故答案为：()()22255x y -+-=.12．已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点(1,3,0)A --在平面α内，若点(,0,2)B m m -在平面α内，则m =___________ 【答案】2-【分析】利用向量垂直列方程，化简求得m 【详解】根据题意可得(1,3,2)AB m m =+-， 因为平面α的一个法向量()2,2,1n =--，所以()21620AB n m m ⋅=-+-+-=，解得2m =-， 故答案为：2-13．已知点()4,2P ，()1,0Q ，则过点Q 且与OP （O 是坐标原点）平行的直线方程是______． 【答案】1122y x =- 【分析】先求得OP 的直线斜率，根据斜率及点()1,0Q ，求得直线方程. 【详解】由题知，201402OP k -==-，则与OP 平行的直线斜率为12，又改直线过点()1,0Q ，则直线方程为111(1)222y x x =-=-故答案为：1122y x =-14．已知点(x ，y)在直线2x ＋y ＋5＝0________.【分析】x 2+y 2的最小值可看成直线2x +y +5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．【详解】x 2+y 2的最小值可看成直线2x +y +5＝0上的点与原点连线长度的平方最小值， 即为原点到该直线的距离平方d 2，2x +y +5＝0上的点与原点连线的长度，由点到直线的距离公式易得d ==【点睛】本题考查点到直线的距离公式，转化是解决问题的关键，属基础题．15．在平面直角坐标系中，定义2121(,)||||d S T x x y y =-+-为两点1122(,),(,)S x y T x y 之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是___________.（填序号） ①若(0,0),(1,1)A B ，则(,)2d A B =；②到原点的“折线距离”不大于1的点构成的区域面积为1；③原点O 与直线30x y -+=上任意一点M 之间的折线距离(,)d O M 的最小值为3；④原点O 与圆22(2)(4)1x y -+-=上任意一点M 之间的折线距离(,)d O M 的最大值为6【答案】①③④【分析】根据定义直接计算①，设点(),P x y 到原点的“折线距离”不大于1，即可得到1x y +≤，画出图象，求出面积即可判断②，设(),3M x x +即可表示(,)d O M 再根据分段函数的性质计算可得③，依题意设(),M x y ，则(),d O M x y =+，再利用点到直线的距离求出x y +的范围，即可判断④； 【详解】解：对于①若(0,0),(1,1)A B 则(,)10102d A B =-+-=，故①正确；对于②，设点(),P x y 到原点的“折线距离”不大于1，则001x y -+-≤，即1x y +≤，则P 点在下图所示的平面区域内，则所围成的区域的面积为122122⨯⨯⨯=，故②错误；对于③，设(),3M x x +，则23,0(,)33,3023,3x x d O M x x x x x +≥⎧⎪=++=-<<⎨⎪--≤-⎩，函数图象如下所示：则min (,)3d O M =，故③正确；对于④，因为圆22(2)(4)1x y -+-=表示以()2,4为圆心，1为半径的圆， 设(),M x y ，则(),d O M x y x y =+=+，令x y z +=，则0x y z +-= 2412z+-≤，解得6262z ≤()max ,62d O M =④正确；故答案为：①③④三、解答题16．已知三角形的顶点为()()()213214A B C --，，，，，. (1)求BC 边上的中线所在直线方程. (2)求BC 边上的高线所在直线方程. 【答案】(1)20x y +=； (2)310x y +-=【分析】（1）求得BC 的中点坐标，结合A 点坐标，求得中线方程；（2）求得BC 的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过()21A -，，求得高的方程 【详解】（1）BC 的中点坐标为3124(,)(2,1)22+-=-， 故中线的斜率()111222k --==---， 则边BC 上的中线所在直线的方程为()1122+=--y x 即20x y +=； （2）边BC 的斜率为()24331--=-，则其上的高的斜率为13-，且过()21A -，， 则边BC 上的高所在直线的方程为()1123y x -=-+即310x y +-=17．已知圆22:(4)(2) 4.C x y -+-=点()62P ，-(1)试判断点P 与圆C 的位置关系，并说明理由： (2)若过点P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)点P 在圆C 外，理由见解析； (2)6x =或34100x y +-=【分析】（1）根据CP r >可得结果；（2）分类讨论斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于其半径求出切线方程 【详解】（1）点()62P ，-在圆C 外,理由如下： 由已知得圆C 的圆心为()4,2C ，半径2r =， 因为()62P ，-，所以22425,2CP =+= 因为CP r >，所以点()62P ，-在圆C 外；（2）①当直线l 的斜率不存在，方程为6x =，圆心到直线6x =的距离为2， 所以直线6x =是圆的切线；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2(6)y k x +=-，即620kx y k ---=， 由题意有2426221k k k ---=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为32(6)4y x +=--，即34100x y +-=，综上所述，过点P 与圆相切的直线方程为6x =或34100x y +-=18．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点． （1）求异面直线AC 与1BC 所成的角； （2）求证：1//AC 平面1CDB ．【答案】（1）2π（2）证明见解析 【解析】（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，利用勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥．因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，可得1C C ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出． 【详解】解：（1）因为3AC =，4BC =，5AB =， 所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π=，所以AC BC ⊥因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ， 所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-， 设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ， 因为10CA BC =， 所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． （2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 令4x =，则=3y -，3z =，所以(4,3,3)n =- 直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-，因为10AC n =，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与y 轴相切于点()01， (1)求圆C 的方程：(2)若圆C 与直线0l x y m -+=：交于A ，B 两点，120ACB ∠=，求m 的值 【答案】(1)()()22214x y -+-=； (2)12-【分析】（1）设圆心坐标为(),C a b ，半径为r ，依题意可得2a b =，1b =，即可求出圆的半径，从而求出圆的标准方程；（2）根据垂径定理分析得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式运算求解【详解】（1）设圆心坐标为(),C a b ，半径为r ，由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =， 又∵圆C 与y 轴相切于点()0,1，∴1b =，2a =，则02r a =-=， ∴圆C 的圆心坐标为()2,1，则圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=；（2）因为圆C 与直线0l x y m -+=：交于A ，B 两点，120ACB ∠=， 所以圆心C 到直线0l x y m -+=：的距离cos601d r =︒=， 2221111m -+=+，解得12m =-20．已知xOy 平面上的直线:120,R l kx y k k -++=∈，且l 与x 轴和y 轴分别相交于点A B ，. (1)当0k >时，求AOB 面积的最小值.(2)若AOB 的面积为92，求k 的值.【答案】(1)4； (2)1k =或14k =或133178k -±=【分析】（1）求出点A ，B 的坐标，利用k 表示AOB 的面积为S ，利用基本不等式求最值， （2）由（1）可得AOB 的面积并化简，即可得到关于k 的方程，分0k >和0k <即可求解 【详解】（1）直线l ：120kx y k -++=， 令0x =可得12y k =+；令0y =，可得12kx k--=， 所以12,0k A k --⎛⎫⎪⎝⎭，()0,12B k +， 因为0k >， 所以AOB 的面积()11211111221244222k S k k k k k k --⎛⎫⎛⎫=+=⋅++=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111424422422k k ⎛⎫≥⋅+⋅=⋅+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当14k k =即12k =时等号成立，S 的最小值为4， （2）由（1）可得AOB 的面积()()2212121121112222k k k S k k k k++--=+=⋅=⋅，所以()2212129k k +⋅=，整理可得244190k k k ++-=， 易得0k ≠，当0k >时，方程可转化得24510k k -+=，解得1k =或14k =； 当0k <时，方程可转化得241310k k ++=，解得133178k -±=， 综上所述，1k =或14k =或133178k -±=21．在三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：1AA ⊥平面ABC ；（2）在①1AB AC ==；②1BC 与平面11ABB A 所成的角为30；③异面直线1C C 与1A B 所成角的余弦111A BC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析. 【分析】(1)利用面面垂直的性质证得1AC AA ⊥和1AB AA ⊥即可得证；(2)选择条件①②或①③，结合已知求出AA 1，选择条件②③，探求出AB ，AC ，AA 1的关系，无论选择哪两个条件都以 A 为原点，AB ，1AA ，AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.【详解】（1）证明：因为AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC ⋂平面11ABB A AB =，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面11ABB A ， 又因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以1AC AA ⊥，同理：1AB AA ⊥，又因为AB AC A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABC ； （2）选择①②：由（1）知，1AA ⊥平面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱.因为AC AB ⊥，1AB AC ==，所以BC =在直三棱柱111ABC A B C 中，11A C ⊥平面11ABB A ，BA 1是BC 1在平面11ABB A 内射影， 所以11C BA ∠为1BC 与平面11ABB A 所成的角，即1130C BA ∠=，在11Rt C A B △中，111C A =，12C B =，1A B在1Rt ABA △中，1AB =，则1AA以 A 为原点，AB ，1AA ，AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：(1,0,0)B ，(0,0,1)C ，1(12,0)B ，12,0)A ，12,1)C所以1(12,0)BA =-，11(0,0,1)AC =，1(12,1)BC =-，1(0,2,0)BB =. 设平面11A BC 的法向量为111(,,)m x y z =，由11100m BA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11120 0x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令11y =得平面11A BC 的一个法向量为 (2,1,0)m =， 设平面11BC B 的法向量为222(,,)n x y z =，由1100n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220 20x z =-+=⎪⎩，令21x =得平面11BC B 的一个法向量为(1,0,1)n =.所以23cos ,||||32m n m n m n ⋅===⋅，所以二面角111A BC B --3选择①③：因为AC AB ⊥，1AB AC ==，所以2BC =1）知，1AA ⊥平面ABC ，故1AA AB ⊥， 在三棱柱111ABC A B C 中，11//C C A A ，则异面直线1C C 与1A B 所成角为1AA B ∠， 所以16cos AA B ∠=， 在1Rt ABA △中，因为1AB =，1AA AB ⊥，16cos 3AA B ∠=，12tan 2AA B ∠=，所则12AA以 A 为原点，AB ，1AA ，AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：(1,0,0)B ，(0,0,1)C ，1(12,0)B ，12,0)A ，12,1)C所以1(12,0)BA =-，11(0,0,1)AC =，1(12,1)BC =-，1(0,2,0)BB =. 设平面11A BC 的法向量为111(,,)m x y z =，由11100m BA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11120 0x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令11y =得平面11A BC 的一个法向量为 (2,1,0)m =， 设平面11BC B 的法向量为222(,,)n x y z =，由1100n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220 20x z =-+=⎪⎩，令21x =得平面11BC B 的一个法向量为(1,0,1)n =.所以23cos ,||||32m n m n m n ⋅===⋅，所以二面角111A BC B --3选择②③；由（1）知，1AA ⊥平面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱，11A C ⊥平面11ABB A ，BA 1是BC 1在平面11ABB A 内射影，所以11C BA ∠为1BC 与平面11ABB A 所成的角，即1130C BA ∠=，又11//C C A A ，则异面直线1C C 与1A B 所成角为1AA B ∠，所以16cos 3AA B ∠=， 在11Rt A BC △中，设111C A =，则12C B =，所以13A B 在1Rt ABA △中，因为13A B 16cos AA B ∠=，所以12AA 1AB =， 以 A 为原点，AB ，1AA ，AC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：(1,0,0)B ，(0,0,1)C ，1(12,0)B ，12,0)A ，12,1)C所以1(12,0)BA =-，11(0,0,1)AC =，1(12,1)BC =-，1(0,2,0)BB =. 设平面11A BC 的法向量为111(,,)m x y z =，由11100m BA m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11120 0x z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令11y =得平面11A BC 的一个法向量为 (2,1,0)m =， 设平面11BC B 的法向量为222(,,)n x y z =，由1100n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得222220 20x z =-+=⎪⎩，令21x =得平面11BC B 的一个法向量为(1,0,1)n =.所以23cos ,||||32m n m n m n ⋅===⋅，所以二面角111A BC B --3【点睛】方法点睛：直线垂直平面的证明方法：(1)直线与平面的垂直判定定理；(2)平面与平面垂直的性质定理；(3)两条平行直线中一条直线垂直一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.。