北京市大兴区2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年北京八中高二（上）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知A （2，√3），B （1，0），则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（5分）（1+x ）4展开式中第3项的二项式系数为（ ） A ．6B ．﹣6C ．24D ．﹣23．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)4．（5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）A ．124B ．14C ．1124D ．385．（5分）已知平面α，β的法向量分别为u →=（3，﹣1，4），v →=（﹣2，3，﹣5），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．α，β的位置关系不确定6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．5127．（5分）已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ） A ．√63B ．√33C ．√22D ．128．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为偶数}，B ＝{两次的点数之和为8}，则P （B |A ）＝（ ） A ．112B ．29C ．13D ．239．（5分）已知直线l 1：x ﹣y +4＝0和直线l 2：x ＝﹣2，抛物线y 2＝8x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ） A ．3√2B ．4√2C ．52√2D ．2+2√210．（5分）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（ ） A ．60B ．120C ．150D ．24011．（5分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝2，点E 为BC 中点，若直线AE 与CD 所成的角为60°，则三棱锥A ﹣BCD 的体积等于（ ）A ．23B ．43C ．2D ．2√2312．（5分）已知曲线W ：√x 2+y 2+|y |＝1，则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．2−√2D ．√2−1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

大兴区2020～2021学年度第一学期期末检测初二数学考试须知1.本试卷共4页，共三道大题，25道小题，满分100分，考试时间120分钟。

2.在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名、考号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，请将答题卡一并交回。

一、选择题（共24分，每小题3分）以下每个题中，只有一个选项是符合题意的.1．下列图形中，是轴对称图形的是A ．B.C . D.2．下列运算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．22aa -=-C ．572a a a ÷=D ．0(2)1(0)a a =≠3.如果把分式3xx y-中的x ，y 都扩大2倍，那么分式的值A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.扩大4倍4.下列各分式中，最简分式是A ．6()8()x y x y -+ B.22y x x y -- C.2222xy y x y x ++ D.222)(y x y x +-5.等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是A.55°B.70°C.40°或70°D.55°或70°6．图中的两个三角形全等，则∠1等于A ．45°B ．62°C ．73°D ．135°7．下列各式从左到右的变形是因式分解的是A ．(1)m a b ma mb m +-=+-B ．229(3)(3)a b a b a b -+=-+-C ．22(1)2m m m m --=--D ．12(12xx x +=+8.如图，点P 在∠AOB 的平分线上，PC ⊥OA 于点C ,∠AOB =30°,点D 在边OB 上，且OD =DP =2．则线段OC 的长度为A .3B .2C .1D .12二、填空题（共24分,每小题3分）9．若分式22x x--的值为0，则x =.10.若22(3)9x m x +-+是完全平方式。

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x ＝1的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°2．如图，已知直线l 1∥l 2，则l 1与l 2间的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√33．圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝1 B ．（x ﹣2）2+y 2＝1 C ．x 2+y 2＝2D ．x 2+（y ﹣2）2＝14．若点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，1）C ．[0，1）D ．（1，+∞）5．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a →+b →，a →−b →一定可以构成空间的另一个基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．2a →−3b →6．已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则“l ⊂α”是“u →⊥n →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）满足|MM 1|＝2|MM 2|，则点M 的轨迹方程为（ ） A ．x 2+y 2+18x +9＝0 B ．x 2+y 2+6x +9＝0 C ．x 2+y 2+6x ﹣9＝0D ．x 2+y 2﹣10x +9＝08．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ，则cos〈AE →，FC →〉=（ ）A ．13B ．23C ．34D ．799．已知圆C 经过点（﹣2，0），半径为√3，其圆心C 的坐标为（a ，b ），则ba的取值范围是（ ）A ．(−∞，−√3]B ．[−√3，√3]C ．[0，√3]D ．(−∞，−√3]∪(√3，+∞)10．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为正方形ADD 1A 1的中心，若P 为平面OD 1B 内的一个动点，则P 到直线A 1B 1的距离的最小值为（ ）A ．√22B ．12C ．√64D ．√33二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a →=(x ，12，0)是单位向量，则x ＝ ．12．圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是 ．13．法向量分别是n →=(1，−1，2)，m →=(−2，0，3)的两个平面的位置关系是 ． 14．已知点P （a ，a +2）为动点，O 为原点，以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点． （1）当a ＝0时，|AB |＝ ；（2）四边形OAPB 的面积的最小值是 ．15．已知直线l 1：x ﹣y +1＝0和直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），给出下列四个结论： ①存在k ，使得l 2的倾斜角为30°； ②不存在k ，使得l 1与l 2重合； ③对任意的k ，l 1与l 2都有公共点； ④对任意的k ，l 1与l 2都不垂直．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）已知点A （﹣1，1）和点B （1，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在x 轴上，求圆C 的方程．17．（14分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面A 1B 1C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）向量m →=(−2，1，1)是否与向量AE →、AD 1→共面？18．（14分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，设向量AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用a →、b →、c →表示向量A 1C →，并求|A 1C →|； （2）证明：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1．19．（14分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0． （1）求m 的取值范围；（2）若直线x ﹣y +1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，求m 的值； （3）在（2）的条件下，过点P （4，4）作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．20．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点．（1）求直线A 1E 与平面A 1DC 所成角的大小；（2）设P 为B 1C 与C 1B 的交点，在线段A 1E 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ？若存在，求A 1Q A 1E的值；若不存在，说明理由．21．（15分）已知M、N是圆O：x2+y2＝16上两个不同的动点，Q是线段MN的中点，点P（2，0）满足∠MPN＝90°．（1）当M的坐标为（4，0）时，求N的坐标；（2）求点Q的轨迹方程；（3）求|MN|的最小值与最大值．2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．直线x ＝1的倾斜角为（ ） A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解：由题意得，直线斜率不存在，故直线倾斜角为90°． 故选：C ．2．如图，已知直线l 1∥l 2，则l 1与l 2间的距离为（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．√3解：由题知，直线l 1过点（﹣1，0），（0，1），直线l 2过点（0，﹣1）， 所以k l 1=1，直线l 1的方程为y ＝x +1，即x ﹣y +1＝0，因为直线l 1∥l 2，所以直线l 2的方程为y ＝x ﹣1，即x ﹣y ﹣1＝0， 所以l 1与l 2间的距离为d =|1−(−1)|√2=√2． 故选：B ．3．圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是（ ） A ．x 2+y 2＝1 B ．（x ﹣2）2+y 2＝1 C ．x 2+y 2＝2D ．x 2+（y ﹣2）2＝1解：圆x 2+（y +2）2＝1的圆心坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）关于x 轴的对称点为（0，2）， 因此，圆x 2+（y +2）2＝1关于x 轴对称的圆的方程是x 2+（y ﹣2）2＝1． 故选：D ．4．若点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣∞，1）C ．[0，1）D ．（1，+∞）解：∵点（a ，0）在圆x 2+y 2＝1的内部，∴√a 2+02＜1，可得﹣1＜a ＜1， 故选：A ．5．已知{a →，b →，c →}是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a →+b →，a →−b →一定可以构成空间的另一个基底的是（ ） A ．a →B ．b →C ．c →D ．2a →−3b →解：对于A ，∵a →=12(a →+b →)+12(a →−b →)，∴a →，a →+b →，a →−b →不能构成空间的另一个基底，故A 错误，对于B ，b →=12(a →+b →)−12(a →−b →)，故不能构成空间的另一个基底，故B 错误，对于C ，不存在x ，y ∈R 使得c →=x(a →+b →)+y(a →−b →)成立，故能构成空间的另一个基底，故C 正确， 对于D ，假设存在x ，y ∈R 使得2a →−3b →=x(a →+b →)+y(a →−b →)，则{x +y =2x −y =−3，解得{x =−12y =52， 故2a →−3b →=−12(a →+b →)+52(a →−b →)，故不能构成空间的另一个基底，故D 错误．故选：C ．6．已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则“l ⊂α”是“u →⊥n →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：已知u →是直线l 的方向向量，n →是平面α的法向量，则u →⊥n →等价于l ∥α或l ⊂α， 所以“l ⊂α”是“u →⊥n →”的充分不必要条件． 故选：A ．7．已知点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）满足|MM 1|＝2|MM 2|，则点M 的轨迹方程为（ ） A ．x 2+y 2+18x +9＝0 B ．x 2+y 2+6x +9＝0 C ．x 2+y 2+6x ﹣9＝0D ．x 2+y 2﹣10x +9＝0解：因为点M 1（﹣3，0）和点M 2（3，0），动点M （x ，y ）， 所以|MM 1|=√(x +3)2+y 2，|MM 2|=√(x −3)2+y 2， 又因为其满足|MM 1|＝2|MM 2|，所以√(x +3)2+y 2=2√(x −3)2+y 2，整理得：x 2+y 2﹣10x +9＝0， 所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2﹣10x +9＝0． 故选：D ．8．如图，四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ，则cos〈AE →，FC →〉=（ ）A ．13B ．23C ．34D ．79解：∵四面体ABCD 的所有棱长都相等，AF ＝FD ，BE ＝EC ， ∴AB ，AC ，AD 两两夹角为60°，且E ，F 分别为BC ，AD 的中点， ∴AE →=12AB →+12AC →，FC →=AC →−AF →=AC →−12AD →， 设四面体ABCD 的棱长为a ，∴AE →⋅FC →=(12AB →+12AC →)⋅(AC →−12AD →) =12AB →⋅AC →−14AB →⋅AD →+12AC →2−14AC →⋅AD →=12a 2cos60°−14a 2cos60°+12a 2−14a 2cos60°=12a 2，又AE →2=(12AB →+12AC →)2=14a 2+14a 2−12a 2cos60°=34a 2，∴|AE →|=√32a ，又|FC →|=√(AC →−12AD →)2=√AC →2+14AD →2−AC →⋅AD →=√a 2+14a 2−a 2cos60°=√32a ，∴cos〈AE →，FC →〉=AE →⋅FC→|AE →|⋅|FC →|=12a 2√32a⋅√32a=23，故选：B ．9．已知圆C 经过点（﹣2，0），半径为√3，其圆心C 的坐标为（a ，b ），则ba的取值范围是（ ）A ．(−∞，−√3]B ．[−√3，√3]C ．[0，√3]D ．(−∞，−√3]∪(√3，+∞)解：由题意，√(a +2)2+b 2=√3，则（a +2）2+b 2＝3， 故点C 在以P （﹣2，0）为圆心，以r =√3为半径的圆上， 由ba =b−0a−0，则ba表示点C 与点O 连线的斜率，作图如下：则直线OA ，OB 为点C 在圆P 上运动时直线OC 的边界， 假设过原点且斜率存在的直线方程为：y ＝kx ， 由直线与圆相切，可得√1+k 2=√3，两边平方可得4k 2＝3+3k 2，解得k ＝±√3， 故直线OA ，OB 的斜率分别为−√3，√3， 则ba ∈[−√3，√3]，故选：B ．10．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 为正方形ADD 1A 1的中心，若P 为平面OD 1B 内的一个动点，则P 到直线A 1B 1的距离的最小值为（ ）A ．√22B ．12C ．√64D ．√33解：如图所示，以DA →，DC →，DD 1→为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则B （1，1，0），D 1（0，0，1），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1）， ∵O 为正方形ADD 1A 1的中心，∴O(12，0，12)，∴A 1B 1→=(0，1，0)，OB →=(12，1，−12)，D 1B →=(1，1，−1)，BB 1→=(0，0，1)，设平面OBD 1的法向量为n →=(x ，y ，z)， 则{OB →⋅n →=0D 1B →⋅n →=0，∴{12x +y −12z =0x +y −z =0，取n →=(1，0，1)，∴A 1B 1→⋅n →=0，且A 1B 1⊄平面OD 1B ， ∴直线A 1B 1∥平面OD 1B ，设直线A 1B 1到平面OD 1B 距离为d ，取直线上一点B 1，与平面OD 1B 上一点B ，则BB 1→=(0，0，1)， 则d =|BB 1→⋅n →||n →|=√22．故选：A ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11．若a →=(x ，12，0)是单位向量，则x ＝ ±√32．解：因为a →=(x ，12，0)是单位向量，所以|a →|=√x 2+14=1，解得x =±√32故答案为：±√32．12．圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是 y ＝1（答案不唯一） ． 解：将圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0化为标准方程得x 2+（y ﹣1）2＝4， 所以圆心为（0，1），所以圆x 2+y 2﹣2y ﹣3＝0的一条对称轴的方程可以是过圆心的任意直线，不妨取y ＝1． 故答案为：y ＝1（答案不唯一）．13．法向量分别是n →=(1，−1，2)，m →=(−2，0，3)的两个平面的位置关系是 相交且不垂直 ． 解：假设存在λ∈R ，使得n →=λm →，则{−2λ=10=−13λ=2，显然方程组无解，所以n →，m →不平行，即两个平面不平行， 因为n →⋅m →=−2+6=4≠0， 所以n →与m →不垂直，所以两个平面的位置关系是相交且不垂直． 故答案为：相交且不垂直．14．已知点P （a ，a +2）为动点，O 为原点，以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点． （1）当a ＝0时，|AB |＝ √3 ；（2）四边形OAPB 的面积的最小值是 1 ．解：（1）当a ＝0时，P （0，2），线段OP 的中点为（0，1），所以，以OP 为直径的圆的方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，联立{x 2+y 2=1x 2+(y −1)2=1，解得{x =±√32y =12， 不妨设点A(√32，12)、B(−√32，12)， 所以|AB|=√3； （2）如图所示：以OP 为直径的圆与圆x 2+y 2＝1相交于A 、B 两点，则∠OAP ＝∠OBP ＝90°， 又因为|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝|OP |，所以，Rt △OAP ≌Rt △OBP ，所以|PA|=|PB|=√|OP|2−|OA|2=√a 2+(a +2)2−1=√2a 2+4a +3=√2(a +1)2+1≥1，当且仅当a ＝﹣1时，等号成立，故四边形OAPB 的面积为S ＝2S △OAP ＝|OA |•|P A |＝|P A |≥1， 因此，四边形OAPB 面积的最小值为1． 故答案为：（1）√3；（2）1．15．已知直线l 1：x ﹣y +1＝0和直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），给出下列四个结论： ①存在k ，使得l 2的倾斜角为30°； ②不存在k ，使得l 1与l 2重合； ③对任意的k ，l 1与l 2都有公共点； ④对任意的k ，l 1与l 2都不垂直．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：对于①，由直线l 2：kx +（k +1）y +k ＝0（k ∈R ），当k +1≠0时，可整理为y =−kk+1x −kk+1，令−kk+1=tan30°，则−√3k =k +1，解得k =1√3+1=−√3−12=1−√32，故①正确； 对于②，由直线l 1：x ﹣y +1＝0，整理可得y ＝x +1，令−k k+1=1，解得k =−12， 此时直线l 2：y ＝x +1，即两直线重合，故②不正确；对于③，由②可知，当k =−12时，两直线重合，有无数个公共点；当k ≠−12时，则−kk+1≠1，即两直线不平行，必定相交，有一个公共点，故③正确；对于④，令−kk+1⋅1=−1，则k ＝k +1，显然无解，故④正确． 故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（14分）已知点A （﹣1，1）和点B （1，3）． （1）求线段AB 的垂直平分线的方程；（2）若圆C 经过A ，B 两点，且圆心在x 轴上，求圆C 的方程． 解：（1）解：因为点A （﹣1，1），点B （1，3）， 所以线段AB 的中点为（0，2），而k AB =3−11−(−1)=1，所以线段AB 的垂直平分线的斜率为﹣1，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ﹣2＝﹣（x ﹣0）， 即x +y ﹣2＝0；（2）由（1）知线段AB 的垂直平分线的方程为x +y ﹣2＝0， 因为圆C 经过A ，B 两点，所以线段AB 的垂直平分线经过圆心C ， 因为圆C 的圆心在x 轴上，所以在方程x +y ﹣2＝0中，令y ＝0得x ＝2，即圆心为C （2，0）， 所以圆的半径为r ＝|AC |=√(−1−2)2+12=√10， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝10．17．（14分）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，E 是DC 的中点，以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面A 1B 1C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值； （2）求点B 1到平面AED 1的距离；（3）向量m →=(−2，1，1)是否与向量AE →、AD 1→共面？解：（1）易知A （1，0，0）、E （0，1，0）、D 1（0，0，1），AD 1→=(−1，0，1)，AE →=(−1，1，0)，设平面AD 1E 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{−x +z =0−x +y =0，取x ＝1，可得m →=(1，1，1)，易知平面A 1B 1C 1D 1的一个法向量为n →=(0，0，1)，则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=13=√33，平面B 1 C 1D 1与平面AED 1夹角的余弦值为√33． （2）易知点B 1（1，2，1），AB 1→=(0，2，1)， 所以点B 1到平面AD 1E 的距离为d =|AB 1→⋅m →||m →|=3=√3． （3）设m →=xAE →+yAD 1→，即（﹣2，1，1）＝x （﹣1，1，0）+y （﹣1，0，1）＝（﹣x ﹣y ，x ，y ）， 所以{−x −y =−2x =1y =1，解得x ＝y ＝1，即m →=AE →+AD 1→， 因此向量m →=(−2，1，1)与向量AE →、AD 1→共面．18．（14分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，设向量AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →． （1）用a →、b →、c →表示向量A 1C →，并求|A 1C →|； （2）证明：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1．解：（1）A 1C →=AC →−AA 1→=AB →+AD →−AA 1→=a →+b →−c →，由已知可得|a →|=|b →|=|c →|=1，a →⋅b →=b →⋅c →=c →⋅a →=12×cos60°=12， 因此，|A 1C →|=√(a →+b →−c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →−2a →⋅c →−2b →⋅c →=√2． （2）证明：在平面BDD 1B 1上，取BD →、BB 1→为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对（λ，μ），使得BP →=λBD →+μBB 1→， 所以A 1C →•BP →=λA 1C →•BD →+μA 1C →•BB 1→＝λ（a →+b →−c →）•（b →−a →）+μ（a →+b →−c →）•c →＝λ（a →•b →−a →2+b →2−a →•b →−c →•b →+a →•c →）+μ（a →•c →+b →•c →−c →2） ＝λ（12−1+1−12−12+12）+μ（12+12−1）＝0，所以A 1C →是平面BDD 1B 1的法向量， 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1．19．（14分）已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0． （1）求m 的取值范围；（2）若直线x ﹣y +1＝0与圆C 交于A ，B 两点，且|AB|=2√2，求m 的值； （3）在（2）的条件下，过点P （4，4）作圆C 的切线l ，求切线l 的方程．解：（1）x 2+y 2﹣4x ﹣2y +m ＝0，x 2﹣4x +4+y 2﹣2y +1＝﹣m +5，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5﹣m ， 则5﹣m ＞0，解得m ＜5，即m 的取值范围是（﹣∞，5）．（2）由（1）可知圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5﹣m ，则圆心C （2，1），半径r =√5−m ， 圆心C 到直线x ﹣y +1＝0的距离d =1+1=√2，故|AB|=2√r 2−d 2=2√2，则5﹣m ﹣2＝2，解得m ＝1．（3）由（2）可得圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4，则圆心C （2，1），半径r ＝2，当过点P （4，4）的直线斜率不存在，则直线方程为x ＝4，圆心到直线x ＝4的距离为2，故直线x ＝4为圆C 的切线；当过点P （4，4）的直线斜率存在，可设直线方程y ﹣4＝k （x ﹣4），则kx ﹣y ﹣4k +4＝0，圆心C 到该直线的距离d ′=|2k−1−4k+4|√1+k =|3−2k|√k +1，由直线与圆C 相切，则d '＝r ，即√1+k2=2，整理可得9﹣12k +4k 2＝4+4k 2，解得k =512， 直线方程为5x ﹣12y +28＝0，综上，l 的方程为：x ＝4或5x ﹣12y +28＝0．20．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点．（1）求直线A 1E 与平面A 1DC 所成角的大小；（2）设P 为B 1C 与C 1B 的交点，在线段A 1E 上是否存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ？若存在，求A 1Q A 1E的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中．AA 1⊥平面ABC ， AB ＝AC ＝1，BC =√2，CC 1＝2，E 分别是B 1B 、B 1C 1的中点， ∴AB 2+AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则A 1（0，0，2），C （0，1，0），D （1，0，1），E （12，12，2），设平面A 1DC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），A 1D →=（1，0，﹣1），A 1C →=（0，1，﹣2），则{m →⋅A 1D →=x −z =0m →⋅A 1C →=y −2z =0，取z ＝1，得m →=（1，2，1），A 1E →=（12，12，0），cos ＜A 1E →，m →＞=A 1E →⋅m→|A 1E →|⋅|m →|=32√22×6=√32， ∴直线A 1E 与平面A 1DC 所成角正弦值为√32， ∴直线A 1E 与平面A 1DC 所成角为π3．（2）由题意知P （12，12，1），假设在线段A 1E 上存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ，设A 1Q →=λA 1E →=（12λ，12λ，0），其中0≤λ≤1，A 1P →=(12，12，−1)，PQ →=A 1Q →−A 1P →=（λ−12，λ−12，1），∵PQ ∥平面A 1DC ，∴PQ →⋅m →=3(λ−1)2+1=3λ2−12=0，解得λ=13， ∴在线段A 1E 上存在点Q ，使得PQ ∥平面A 1DC ，且A 1Q A 1E=13．21．（15分）已知M 、N 是圆O ：x 2+y 2＝16上两个不同的动点，Q 是线段MN 的中点，点P （2，0）满足∠MPN ＝90°．（1）当M 的坐标为（4，0）时，求N 的坐标； （2）求点Q 的轨迹方程； （3）求|MN |的最小值与最大值．解：（1）由题意可知，PN ⊥MP ，而直线MP 为x 轴，所以点N 的横坐标为2， 将x ＝2代入圆O 的方程可得y =±2√3，此时点N 的坐标为(2，−2√3)或(2，2√3)． （2）设点Q （x ，y ），因为∠MPN ＝90°，Q 为MN 的中点，则|PQ|=12|MN|，连接OQ，则OQ⊥MN，且|MQ|=12|MN|=√|OM|2−|OQ|2=|PQ|，所以，√16−(x2+y2)=√(x−2)2+y2，整理可得（x﹣1）2+y2＝7，因此，点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2＝7．（3）因为（2﹣1）2+02＜7，则点P在圆（x﹣1）2+y2＝7内，记圆（x﹣1）2+y2＝7的圆心为E，半径为r=√7，则|PE|＝1，则r﹣|PE|≤|PQ|≤r+|PE|，即√7−1≤|PQ|≤√7+1，所以，当点Q为圆（x﹣1）2+y2＝7与x轴的负半轴的交点时，|PQ|取最大值，当点Q为圆（x﹣1）2+y2＝7与x轴正半轴的交点时，|PQ|取最小值，所以，|MN|=2|PQ|∈[2√7−2，2√7+2]．因此，|MN|的最小值为2√7−2，最大值为2√7+2．。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 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2021-2022学年北京市丰台区高二（上）期末化学试卷一、单选题（本大题共14小题，共42.0分）1.下列电池工作时，O2在正极得电子的是()A B C D锌锰电池铅蓄电池氢氧燃料电池镍镉电池A. AB. BC. CD. D2.下列物质属于弱电解质的是()A. NaClB. CH3COOHC. H2SO4D. NaOH3.下列能级符号不正确的是()A. 2dB. 3pC. 3dD. 4s4.下列各组元素，按原子半径依次减小，元素第一电离能逐渐升高的顺序排列的是()A. K、Na、LiB. Al、Mg、NaC. N、O、CD. Cl、S、P5.下列各组离子在水溶液中因氧化还原反应不能大量共存的是()A. K+、NH4+、HCO3−、OH−B. K+、Fe2+、H+、MnO4−C. Na+、Ba2+、NO3−、SO42−D. Al3+、SO42−、Na+、HCO3−6.水凝结成冰的过程的焓变和熵变正确的是()A. △H>0，△S<0B. △H<0，△S>0C. △H>0，△S>0D. △H<0，△S<07.下列关于金属 24Cr的说法正确的是()A. 基态原子的电子排布式为1s22s22p63s23p63d44s2B. 价电子数为2，最高正价为+2价C. 处于第四周期第ⅥB族D. 属于s区元素8.常温下，下列溶液中，水电离出的c(H+)=1×10−2mol⋅L−1的是()A. 0.01mol⋅L−1盐酸B. 0.01mol⋅L−1NaOH溶液C. pH=2NH4Cl溶液D. pH=2NaHSO4溶液9.N2O与CO在Fe+作用下发生反应的能量变化及反应历程如图所示。

下列说法中，不正确的是()A. 该反应的ΔH<0B. Fe+使反应的活化能减小C. 催化剂通过参与反应改变了反应历程D. 上述过程在Fe+作用下，提高了N2O与CO的平衡转化率10.用压强传感器探究生铁在pH=2和pH=4醋酸溶液中发生腐蚀的装置及得到的图象如下：分析图象，以下结论错误的是()A. 溶液pH≤2时，生铁发生析氢腐蚀B. 在酸性溶液中生铁可能发生吸氧腐蚀C. 析氢腐蚀和吸氧腐蚀的速率一样快D. 两溶液中负极反应均为：Fe−2e−=Fe2+11.用太阳能光伏电池电解水制高纯氢的工作示意图如图。

2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．03．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣154．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（ ） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[0，1]C ．[1，+∞）D ．[1，2]6．在△ABC 中，“C =π2”是“sin 2A +sin 2B ＝1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知定点M （1，3）和抛物线C ：x 2＝8y ，F 是抛物线C 的焦点，N 是抛物线C 上的点，则|NF |+|NM |的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（ ） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞19．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√2310．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（ ） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝ ． 12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝ ． 13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为 ；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是 ．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A，B两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A和B快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X的分布列和数学期望；（3）记评价分数x≥85为“优秀”等级，75≤x＜85为“良好”等级，65≤x＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A，B两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A，B哪家快递公司合适？说明理由．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，过点T （4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线BM 与直线x ＝1相交于点P ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．求证：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值． 20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值； （2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由； （2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项； （3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024．2023-2024学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝（ ） A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |x ＜2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≤1}解：U ＝{x |x ＞1}，集合A ＝{x |x ≥2}，则∁U A ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．若复数z 满足i •（z +i ）＝1，则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．0解：∵i •（z +i ）＝1，∴z +i =1i=−i ，解得z ＝﹣2i ，∴z 的虚部为﹣2． 故选：A ．3．(x 2−1x)6的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．﹣20C ．15D ．﹣15解：通项公式T r +1=∁6r （x 2）6﹣r(−1x)r =（﹣1）r ∁6r x 12﹣3r ， 令12﹣3r ＝0，解得r ＝4．∴展开式中的常数项=∁64=15． 故选：C ．4．设向量a →，b →，若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)，则a →=（ ） A ．(45，−35)B ．(−45，35)C ．(35，−45)D ．(−35，45)解：设a →=（m ，n ），∵若|a →|=1，b →=(−3，4)，b →=λa →(λ＞0)， ∴λm ＝﹣3，λn ＝4，且m 2+n 2＝1，即9λ2+16λ2=1，∴λ2＝25，又λ＞0， ∴λ＝5，∴m =−35，n =45，∴a →=（m ，n ）＝（−35，45）．故选：D ．5．已知函数f （x ）＝2x ﹣1，则不等式f （x ）≤x 的解集为（ ）A．（﹣∞，2]B．[0，1]C．[1，+∞）D．[1，2]解：令g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1，则g′（x）＝2x ln2﹣1，令g′（x）＝0，得2x=1ln2=log2e，即x＝log2（log2e），当x∈（﹣∞，log2（log2e））时，g′（x）＜0，当x∈（log2（log2e），+∞）时，g′（x）＞0，∴g（x）在区间（﹣∞，log2（log2e））上单调递减，在区间（log2（log2e），+∞）上单调递增，又g（0）＝0，g（1）＝0，∴当x∈[0，1]时，g（x）＝f（x）﹣x＝2x﹣x﹣1≤0，∴不等式f（x）≤x的解集为[0，1]．故选：B．6．在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，当C=π2时，则A+B=π2，故sin2A+sin2B=sin2A+sin2(π2−A)=sin2A+cos2A＝1，故充分性成立，当A＝120°，B＝30°，满足sin2A+sin2B＝1，但C≠π2，故必要性不成立，综上所述，在△ABC中，“C=π2”是“sin2A+sin2B＝1”的充分不必要条件．故选：A．7．已知定点M（1，3）和抛物线C：x2＝8y，F是抛物线C的焦点，N是抛物线C上的点，则|NF|+|NM|的最小值为（）A．3B．4C．5D．6解：作出抛物线C：x2＝8y的图象如图：点M（1，3）在抛物线C：x2＝8y内，抛物线的准线方程为y＝﹣2，过M作准线的垂线，垂足为K，垂线交抛物线于N，则此时|NF|+|NM|取最小值为|MK|＝3﹣（﹣2）＝5．8．已知a ＞b ＞0且ab ＝10、则下列结论中不正确的是（ ） A ．lga +lgb ＞0 B ．lga ﹣lgb ＞0 C ．lga ⋅lgb ＜14D ．lga lgb＞1解：∵a ＞b ＞0且ab ＝10，∴a b＞1，b =10a ，a ＞√10（若a ≤√10，则b ＜√10，ab ＜10，与已知矛盾），∴lgab ＝lga +lgb ＝lg 10＝1＞0，A 正确； ∴lg ab =lga ﹣lgb ＞lg 1＝0，B 正确；由a ＞√10，得lga ＞12，∴（lga −12）2＞0，∴lga •lgb ＝lga •lg 10a=lga （1﹣lga ）＝﹣（lga −12）2+14＜14，C 正确；∵lga lgb −1=lga−lgb lgb 中，分子lga ﹣lgb ＞0，但分母lgb 的符号不确定，故lga lgb−1的符号不确定，D 错误． 故选：D ．9．木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF ∥CD ，EF ＝4，则该木楔的体积为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√23D ．8√23解：如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，由四边形ABCD 是边长为2的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥CD ，EF ＝4， 得EG ＝HF ＝1，AG ＝GD ＝BH ＝HC =√3． 取AD 的中点O ，连接GO ，可得GO =√2， ∴S △ADG ＝S △BCH =12×√2×2=√2． ∴该木楔子的体积V ＝V E ﹣ADG +V F ﹣BCH +V AGD ﹣BHC ＝2V E ﹣ADG +V AGD ﹣BHC =2×13×√2×1+√2×2=8√23．10．设无穷等差数列{a n }的公差为d ，集合T ＝{t |t ＝sin a n ，n ∈N *}．则（ ） A ．T 不可能有无数个元素B ．当且仅当d ＝0时，T 只有1个元素C ．当T 只有2个元素时，这2个元素的乘积有可能为12D ．当d =2πk，k ≥2，k ∈N ∗时，T 最多有k 个元素，且这k 个元素的和为0 解：对于A ，不妨令a n ＝n ，则d ＝1，则t ＝sin a n ，由于y ＝sin x 的周期为2π，且对称轴为x =π2+kπ，k ∈Z ，则对任意的a i ，a j ，i ，j ∈N *，i ≠j ，必有sin a i ≠sin a j ，当a n 有无穷项时，T 中有无数元素，A 错误；对于B ，令a n ＝n π，此时d ＝π，此时sin n π＝0，T 中只有一个元素0，B 错误；对于C ，若T 中只有两个元素，根据y ＝sin x 的周期性与中心对称性，sin a n 的值必一正一负，因为若两个值都为正，必不满足等差数列的定义，所以该两个数的乘积必为负，C 错误； 对于D ，当d =2πk ，k ≥2，k ∈N ∗时，在y ＝sin x 的一个周期[0，2π）内，取a 1＝0，此时k ×2πk=2π，比如取k ＝5，此时sin a 1，sin a 2，⋯，sin a 5两两不相等，此时T 有5个元素；而结合y ＝sin x 的周期为2π可知，必有sin a i 必周期性重复出现，所以T 中最多有k 个元素； 再证明和为0，∑ k−1i=0sin(α+2iπk )=12sin πk ∑ k−1i=0[sin(α+2iπk )sin πk ]=12sin πk ∑ k−1i=0[cos(α+2i−1k π)−cos(α+2i+1k π)]=12sin πk[cos(α−πk )−cos （α+2k−1k π）]＝0，D 正确． 故选：D ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 2•a 4＝16，则a 5＝ 16 ．解：因为等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 4=a 12⋅q 4=16，则q 4＝16，所以a 5=a 1⋅q 4=16．故答案为：16．12．若双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，则b ＝ 2 ．解：双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0），则渐近线为y =±ba =±b ， 双曲线x 2−y 2b2=1（b ＞0）的一条渐近线方程为2x ﹣y ＝0，即y ＝2x ，b ＞0，则b ＝2． 故答案为：2．13．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一） ．解：当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，满足a ＞b ＞c ， 但ab ＝2，c 2＝9，ab ＜c 2，故“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则ab ＞c 2”是假命题． 故答案为：﹣1，﹣2，﹣3（答案不唯一）．14．如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆O ，外框是以为O 中心，边长为2的正六边形ABCDEF ，则O 到线段AC 的距离为 1 ；若P 是圆O 上的动点，则AC →⋅AP →的取值范围是 [6﹣2√3，6+2√3] ．解：如图以O 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点P （cos θ，sin θ）（0≤θ≤2π），由题意知，A （﹣2，0），O （0，0），C （1，−√3），直线AC 的斜率k =−√31−(−2)=−√33，AC 的方程为y ﹣0=√33（x +2），即x +√3y +2＝0，故O 到线段AC 的距离d =2√1+(√3)2=1；又AC →=（3，−√3），AP →=（2+cos θ，sin θ），AC →⋅AP →=6+3cos θ−√3sin θ＝6+2√3（√32cos θ−12sin θ）＝6+2√3sin （π3−θ）∈[6﹣2√3，6+2√3]．故答案为：1；[6﹣2√3，6+2√3]．15．设函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）满足如下性质：（i ）若将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，（ii ）若将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的图象关于原点对称．给出下列四个结论：①f （1）＝f （3）；②f （0）＝0；③f （2）+f （4）＝0；④f(−12)f(112)≤0．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．解：∵将f （x ）的图象向左平移2个单位，则所得的图象关于y 轴对称，∴f （x ）的图象关于x ＝2对称，∴f （﹣x ）＝f （x +4），∴f （1）＝f （3），∴①正确；∵将f （x ）图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再向左平移12个单位，则所得的函数为f （2x +1），又f （2x +1）的图象在R 上关于原点对称，∴f （﹣2x +1）+f （2x +1）＝0，∴2f （1）＝0，∴f （1）＝0， ∴f （x ）关于（1，0）对称，∴f （﹣x ）＝﹣f （x +2），又f （﹣x ）＝f （x +4）， ∴f （x +4）＝﹣f （x +2），∴f （x +2）＝﹣f （x ）， ∴f （x +4）＝f （x ），∴f （x ）的周期T ＝4，∵f （﹣x ）＝﹣f （x +2），∴f （0）＝﹣f （2），而x ＝2是f （x ）的对称轴，∴f （2）不一定为0， ∴f （0）＝0不一定成立，∴②错误；∵f （0）＝﹣f （2），∴f （2）+f （0）＝0，由周期性可知f （0）＝f （4）， ∴f （2）+f （4）＝0，∴③正确； ∵f （x ）的周期T ＝4，∴f （112）＝f （4+32）＝f （32），又f （x +2）＝﹣f （x ），∴f （32）＝﹣f （−12），∴f （112）＝f （4+32）＝f （32）＝﹣f （−12），∴f （−12）f （112）=−[f(−12)]2≤0，∴④正确．故答案为：①③④．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程，16．（14分）如图．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点．（1）求证：平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）求直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．（1）证明：由BB 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，可得BB 1⊥CD ， 由CA ＝CB ，D 为AB 中点，可得CD ⊥AB ， 又AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以CD ⊥平面ABB 1A 1，又CD ⊂平面CDE ， 所以平面CDE ⊥平面ABB 1A 1；（2）解：由（1）知：DA ，DC ，BB 1两两垂直， 过D 作Dz ∥BB 1，则DA ，DC ，Dz 两两垂直， 故以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由CA ＝CB =√5，AA 1=AB ＝2，D 、E 分别为AB ，AA 1的中点， 可得B （﹣1，0，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），E （1，0，1）， 则CE →=(1，−2，1)，CB →=(−1，−2，0)，CC 1→=(0，0，2)， 设平面BCC 1B 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅CB →=−x −2y =0n →⋅CC 1→=2z =0，令x ＝2，则y ＝﹣1，z ＝0，可得平面BCC 1B 1的一个法向量为n →=(2，−1，0)，设直线CE 与平面BCC 1B 1所成角为θ，则有sinθ=|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →||n →|=4√6×√5=2√3015，故直线CE 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为2√3015．17．（13分）在△ABC中，a＝1，b＝2．（1）若c=2√2，求△ABC的面积：（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求∠A．条件①：∠B＝2∠A；条件②：∠B=π3+∠A；条件③：∠C＝2∠A．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）在△ABC中，a＝1，b＝2，c=2√2，由余弦定理，可得cos C=a2+b2−c22ab=1+4−82×2×1=−34，又C∈（0，π），可得sin C=√1−916=√74，故S△ABC=12ab⋅sinC=12×1×2×√74=√74；（2）若选条件①：由题意有B＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin2AsinA=2cos A＝2，即cos A＝1，又A∈（0，π），cos A≠1，故△ABC不存在；若选条件②：由题意有B=π3+A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinBsinA=ba，即sin(π3+A)sinA=2，即32sinA−√32cosA=0，即√3sin(A−π6)=0，所以sin(A−π6)=0，又A∈（0，π），所以A−π6∈(−π6，5π6)，故A−π6=0，即A=π6；若选条件③：由题意有C＝2A，a＝1，b＝2，则由正弦定理，可得sinCsinA=ca，即sin2AsinA=2cosA=ca，由余弦定理，可得b2+c2−a22bc=c2a，即4+c2﹣1＝2c2，解得c=√3，故cos A=c2a=√32，又A∈（0，π），所以A=π6；综上，只能选择条件②或③，解得A=π6．18．（13分）为了解客户对A，B两家快递公司的配送时效和服务满意度情况，现随机获得了某地区客户对这两家快递公司评价的调查问卷，已知A，B两家公司的调查问卷分别有120份和80份，全部数据统计如下：假设客户对A ，B 两家快递公司的评价相互独立．用频率估计概率，（1）从该地区选择A 快递公司的客户中随机抽取1人，估计该客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率；（2）分别从该地区A 和B 快递公司的样本调查问卷中，各随机抽取1份，记X 为这2份问卷中的服务满意度评价不低于75分的份数，求X 的分布列和数学期望；（3）记评价分数x ≥85为“优秀”等级，75≤x ＜85为“良好”等级，65≤x ＜75为“一般”等级、已知小王比较看重配送时效的等级，根据该地区A ，B 两家快递公司配送时效的样本评价分数的等级情况．你认为小王选择A ，B 哪家快递公司合适？说明理由．解：（1）根据题中数据，该地区参与A 快递公司调查的问卷共120份，样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的问卷共29+47＝76 份，所以样本中对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的频率为76120=1930，估计该地区客户对A 快递公司配送时效的评价不低于75分的概率1930； （2）X 的所有可能取值为0，1，2，记事件C 为“从该地区A 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，事件D 为“从该地区B 快递公司的样本调查问卷中随机抽取1份，该份问卷中的服务满意度评价不低于75分”，由题设知，事件C ，D 相互独立，且P(C)=24+56120=23，P(D)=12+4880=34， 所以P （X ＝0）＝P （CD ）＝（1−23）×（1−34）=112，P （X ＝1）＝P （CD ∪C D ）＝（1−23）×34+23×(1−34)=512，P （X ＝2）＝P （CD ）=23×34=12，所以X的分布列为：故X的数学期望E（X）＝0×112+1×512+2×12=1712；（3）答案不唯一，答案示例1：小王选择A快递公司合适，理由如下：根据样本数据，估计A快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是29120，估计B快递公司配送时效评价为“优秀”的概率是1 5，因为29120＞15，故小王选择A快递公司合适，答案示例2：小王选择B快递公司合适，理由如下：由（1）知，估计A快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是1930，由样本数据可知，估计B快递公司配送时效评价为“良好”以上的概率是16+4080=5680=710，因为1930＜710，故小王选择B快递公司合适．19．（15分）已知椭圆C的两个顶点分别为A（﹣2，0），B（2，0），焦点在x轴上，离心率为√3 2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为原点，过点T（4，0）的直线l交椭圆C于点M，N，直线BM与直线x＝1相交于点P，直线AN与y轴相交于点Q．求证：△OAQ与△OTP的面积之比为定值．解：（1）由题意可得a＝2，e=ca=√32，可得c=√3，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，所以椭圆C的方程为：x24+y2＝1；证明：（2）显然直线l的斜率存在且不为0，由题意设直线l的方程为x＝my+4，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立{x=my+4x24+y2=1，整理可得：（4+m2）y2+8my+12＝0，则Δ＝82m2﹣4×12×（4+m2）＞0，即m2＞12，且y1+y2=−8m4+m2，y1y2=124+m2，可得y1y2y1+y2=−128m=−32m，即2my1y2＝﹣3（y1+y2），设直线BM的方程为y=y1x1−2（x﹣2），令x＝1，可得y P=−y1x1−2=−y1my1+2，直线AN 的方程为y =y 2x 2+2（x +2），令x ＝0，可得y Q =2y 2x 2+2=2y 2my 2+6， 所以S △OAQ S OTP=12|OA|⋅|y Q |12|OT|⋅|y P |=24•|2y 2my 2+6y 1my 1+2|＝|my 1y 2+2y 2my 1y 2+6y 1|＝|−32(y 1+y 2)+2y 2−32(y 1+y 2)+6y 1|=13•|y 2−3y 1−y 2+3y 1|=13，为定值． 即证得：△OAQ 与△OTP 的面积之比为定值，且定值为13．20．（15分）已知函数f(x)=ax +ln1−x1+x． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为0，求a 的值； （2）当a ＝4时，求f （x ）的零点个数；（3）证明：0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件． 解：（1）函数f(x)=ax +ln1−x 1+x 的导数为f ′（x ）＝a +1+x 1−x •−2(1+x)2=a +2x 2−1， 可得曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为a ﹣2＝0，解得a ＝2； （2）当a ＝4时，f （x ）＝4x +ln 1−x 1+x ，由1−x1+x＞0，解得﹣1＜x ＜1，f （x ）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，f （﹣x ）+f （x ）＝﹣4x +ln 1+x 1−x +4x +ln 1−x1+x=0+ln 1＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，则f （0）＝0， 当0＜x ＜1时，f （x ）的导数为f ′（x ）＝4+2x 2−1=4x 2−2x 2−1， 当0＜x ＜√22时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当√22＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）在x =√22处取得最大值，又x →1时，f （x ）→﹣∞，所以0＜x ＜1时，f （x ）有一个零点；由奇函数的性质可得﹣1＜x ＜0时，f （x ）有一个零点， 则当a ＝4时，f （x ）的零点个数为3；（3）证明：由f （x ）＝ax +ln 1−x1+x为单调函数，即f （x ）在（﹣1，1）内递增，或递减．由f ′（x ）＝a +2x 2−1，若f （x ）在（﹣1，1）内递增，则f ′（x ）≥0，即a ≥21−x 2恒成立． 由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≥21−x 2不恒成立，即f （x ）在（﹣1，1）内不为递增函数． 若f （x ）在（﹣1，1）内递减，则f ′（x ）≤0，即a ≤21−x 2恒成立． 由g （x ）=21−x 2∈[2，+∞），则a ≤2， 所以，f （x ）为单调函数的充要条件为a ≤2， 而{a |0≤a ≤2}⫋（﹣∞，2]，则0≤a ≤2是f （x ）为单调函数的充分而不必要条件．21．（15分）若各项为正的无穷数列{a n }满足：对于∀n ∈N *，a n+12−a n 2=d ，其中d 为非零常数，则称数列{a n }为D 数列．记b n ＝a n +1﹣a n ．（1）判断无穷数列a n =√n 和a n ＝2n 是否是D 数列，并说明理由； （2）若{a n }是D 数列，证明：数列{b n }中存在小于1的项； （3）若{a n }是D 数列，证明：存在正整数n ，使得∑ n i=11a i＞2024． 解：（1）数列a n =√n 是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(√n +1)2−(√n)2=1满足D 数列定义，数列a n =2n 不是D 数列．理由如下：a n+12−a n 2=(2n+1)2−(2n )2=22n+2−22n =3⋅22n 不是常数；（2）以下证明：d ＞0．假设d ＜0，由a n+12−a n 2=d 知{a n 2}为等差数列，故a n 2=a 12+(n −1)d ，因为{a n }是各项为正的无穷数列，当n 取大于[−a 12d ]+1 的整数时，a n 2≤a 12+([−a 12d]+2−1)d ＜0，与已知矛盾，所以假设不成立，所以d ＞0，以下证明{a n } 是递增数列．因为d ＞0，a n+12=a n 2+d ＞a n 2，且{a n }是各项为正的无穷数列，所以a n +1＞a n ， 所以{a n } 是递增数列，以下证明：∀t ＞0，∃k ∈N *，当n ≥k 时，a n ＞t ， 若t ＜a 1，当n ＞1时，显然a n ＞t ， 若t ≥a 1，取k =[t 2−a 12d]+2， 当n ≥k时，a n2≥a 12+([t 2−a 12d ]+2−1)d ＞t 2，即a n ＞t 成立， 因为b n =a n+1−a n =d a n+1+a n ＜d2a n，取t =d 2，当m ≥k 时，a n ＞t ，此时，b n ＜d2⋅d 2=1．所以若{a n } 是D 数列，则数列{b n }中存在小于1的项； （3）由（2）知，∃k ∈N ，当n ≥k 时，b n ＜1，即a π+1＜a n +1， 以此类推，0＜a k +m ＜a k +m ﹣1+1＜a k +m ﹣2+2＜…＜a k +m ，m ∈N ， 所以1a k+m＞1a k +m，m ∈N *，设此时 2s−1≤a k ＜2s ，s ∈N *，令 n ＝k +m ，所以∑n i=11a i＞∑k+mi=k1a i＞1a k＞1a k+1+1a k+2+⋯+1a k+m＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+m，因为12s+12s+1+12s+2+⋯+1s2s+(2s−1)＞12s+2s=12，所以当m＝2s+2×2024﹣1，m∈N*，∑n i=11a i ＞∑k+mi=k1a i＞12s+12s+1+12s+2+⋯+12s+(2s+2×2024−1)=(12s+12s+1+⋯+12s+(2s−1))+(12s+1+12s+1+1+⋯+12s+1+(2s+1−1))+...+(12s+2×2024+12s+2×2024+1+⋯+12s+2×2024+(2s+2×2024−1))＞2×20242=2024．所以存在正整数n，使得∑n i=11a n＞2024．。

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

2023-2024学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．椭圆x 29+y 24=1的长轴长是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．42．双曲线x 24−y 22=1的渐近线方程是（ ）A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√22xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x3．若直线l 的方向向量为（2，1，m ），平面α的法向量为（1，12，2），且l ⊥α，则m ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．两条平行直线x ﹣y ＝0与x ﹣y ﹣1＝0间的距离等于（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．25．过点（1，0）且被圆x 2+（y +2）2＝1截得的弦长最大的直线方程为（ ） A ．2x +y ﹣2＝0B ．2x ﹣y ﹣2＝0C ．x +2y ﹣1＝0D ．x ﹣2y ﹣1＝06．圆C 1：x 2+y 2＝2与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2的位置关系是（ ） A ．相交B ．相离C ．内切D ．外切7．采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：907 966 181 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（ ） A ．310B ．720C ．25D ．9208．若方程x 2m−3+y 24−3m =1表示双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(−∞，43)∪(3，+∞)B ．(43，3)C ．(−∞，−43)∪(3，+∞)D ．(−43，3)9．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2−y 28=1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限内的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是（ ）A ．23B ．45C ．35D ．2510．平面内与定点F 1（﹣a ，0），F 2（a ，0）距离之积等于a 2（a ＞0）的动点的轨迹称为双纽线．曲线C 是当a ＝2√2时的双纽线，P 是曲线C 上的一个动点，则下列结论不正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点对称B ．满足|PF 1|＝|PF 2|的点P 有且只有一个C ．|OP |≤4D ．若直线y ＝kx 与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为（﹣1，1） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷1. 空间向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗B. CB ⃗⃗⃗⃗⃗C. OC ⃗⃗⃗⃗⃗D. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 圆x 2+y 2−2y −3=0的半径是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 3. 抛物线x 2=8y 的焦点到准线的距离是( ) A. 1B. 2C. 4D. 8 4. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2，则a 2=( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 若等差数列{a n }满足a 3=−1，a 4=1，则其前n 项和的最小值为( ) A. −9B. −8C. −7D. −6 6. 设{a n }是各项不为0的无穷数列，“∀n ∈N ∗，a n+12=a n a n+2”是“{a n }为等比数列”的( ) A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 设F 1，F 2是椭圆C:x 29+y 24=1的两个焦点，点P 在椭圆C 上，|PF 1|=4，则|PF 2|=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AB =BC =√5，AC =AA 1=2.D ，E ，F 分别为AA 1，A 1C 1，BB 1的中点，则直线EF 与平面BCD 的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 直线在平面内D. 相交且不垂直9. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知a 1=−4，a 4=12，则数列{S n }( )A. 无最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，无最小项D. 有最大项，有最小项10. 已知M是圆(x−1)2+y2=1上的动点，则M到直线y=kx+1(k∈R)距离的最大值为( )A. 2B. √2+1C. 3D. 2√2+111. 3与7的等差中项为______.12. 直线y=x+1关于y轴对称的直线的方程为______.13. 已知双曲线x2−y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则a=______.a214. 能说明“若等比数列{a n}满足a1<a2，则等比数列{a n}是递增数列”是假命题的一个等比数列{a n}的通项公式可以是______.15. 平面内，动点M与点F(1,0)的距离和M到直线x=−1的距离的乘积等于2，动点M的轨迹为曲线C.给出下列四个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于x轴对称；③曲线C与x轴有2个交点；④点M与点F(1,0)的距离都不小于√3−1.其中所有正确结论的序号为______.16. 已知点A(0,1)和点B(2,3)是圆C直径的两个端点．(Ⅰ)求线段AB的中点坐标和圆C的方程；(Ⅰ)过点A作圆C的切线l，求切线l的方程．17. 已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a3=5.(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅰ)设{b n}是等比数列，b1=2，b3=2b2，求数列{a n+b n}的前n项和T n.18. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F.(Ⅰ)求F的坐标和抛物线C的准线方程；(Ⅰ)过点F的直线l与抛物线C交于两个不同点A，B，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求|AB|的长．条件①：直线l的斜率为1；条件②：线段AB的中点为M(3,2).注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是棱DD1的中点．(Ⅰ)求证：C1D//平面AB1E；(Ⅰ)求平面AB1E与平面A1B1C1D1夹角的余弦值；(Ⅰ)求点C1到平面AB1E的距离．20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过点P(2,1)，且a=2b.(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率；(Ⅰ)设O为原点，直线OP与直线l平行，直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线PM，PN分别与x轴交于点E，F.当E，F都在y轴右侧时，求证：|OE|+|OF|为定值．21. 已知{a n}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得a i≤k，a j≥k，其中i≤j.令b k为满足a i≤k的所有i中的最大值，c k为满足a j≥k的所有j中的最小值．(Ⅰ)若无穷递增数列{a n}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；(Ⅰ)若{a n}是无穷等比数列，a1=1，公比q是大于1的整数，b3<b4=b5，c3=c4，求q 的值；(Ⅰ)若{a n}是无穷等差数列，a1=1，公差为1m，其中m为常数，且m>1，m∈N∗，求证：b1，b2，⋯，b k，⋯和c1，c2，⋯，c k，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．答案和解析1.【答案】D【解析】解：空间向量OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：D.利用向量线性运算法则直接求解．本题考查向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：圆x 2+y 2−2y −3=0，即x 2+(y −1)2=4，故它的半径为2，故选：B.由题意，把圆的一般方程化为标准方程，从而得到它的半径．本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：抛物线x 2=8y ，所以p =4，抛物线x 2=8y 的焦点到准线的距离是：4.故选：C.直接利用抛物线的性质写出结果即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．4.【答案】C【解析】解：∵S n =n 2，∴当n =1时，a 1=S 1=1，当n =2时，S 2=a 1+a 2=22，解得a 2=3，故选：C.根据题意，分别令n =1，求a 1，n =2，即可得出答案．本题考查数列的前n 项和求数列的通项，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则d =a 4−a 3=1−(−1)=2，故a 2=a 3−d =−1−2=−3，a 1=a 2−d =−3−2=−5，∵a 3<0，a 4>0，∴其前n 项和的最小值为a 1+a 2+a 3=−5−3−1=−9.故选：A.根据已知条件，先求出等差数列{a n }的公差为d ，再结合a 3<0，a 4>0，即可求解． 本题主要考查等差数列的前n 项和，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：{a n }是各项不为0的无穷数列，∀n ∈N ∗，a n+12=a n a n+2，则{a n }为等比数列，充分性成立，{a n }为等比数列，则∀n ∈N ∗，a n+12=a n a n+2，必要性成立，综上所述，“∀n ∈N ∗，a n+12=a n a n+2”是“{a n }为等比数列”的充分必要条件．故选：C.根据已知条件，结合充分条件与必要条件的定义，即可求解．本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵椭圆方程为x 29+y 24=1，点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|=2a =6，∵|PF 1|=4，∴|PF 2|=2，故选：B.根据椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a =6，代入|PF 1|的值可得|PF 2|的值．本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：如图，取AC 中点M ，连接EM ，BM ，∵AB =BC =√5，D ，E ，F 分别为AA 1，A 1C 1，BB 1的中点，∴MB ⊥AC ，∵在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，∴EM//CC 1，∴EM ⊥平面ABC ，∵AC ，MB ⊂平面ABC ，∴EM ⊥AC ，EM ⊥MB ，∵AC =AA 1=2，∴AM =12AC =1，∴MB =√AB 2+AM 2=2，∴以M 为坐标原点，MA ，MB ，ME 所成直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则B(0,2,0)，C(−1,0,0)，D(1,0,1)，E(0,0,2)，F(0,2,1)，设平面BCD 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +2y =0n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −2y +z =0，令y =−1，得n ⃗ =(2,−1,−4)， ∵n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2≠0，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1≠0，∴直线EF 与平面BCD 相交，且不垂直于平面BCD.故选：D.根据图形位置关系证明线线垂直，建立空间直角坐标系，通过计算平面BCD 的法向量，直线EF 的方向向量，判断平面BCD 的法向量是否与直线EF 的法向量垂直，判断直线EF 与直线CD 是否垂直，能得到直线与平面的位置关系．本题考查线面垂直的判定与性质、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．9.【答案】D【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q.因为a 1=−4，a 4=12，所以q 3=a 4a 1=12−4=−18，所以q =−12， 所以S n =a 1(1−q n )1−q =−4[1−(−12)n ]1−(−12)=−83+83×(−12)n ，n ∈N ∗，若n 为奇数，则S n =−83−83×(12)n ，此时S 1<S 3<...<S n ，S 1=−4，若n 为偶数，则S n =−83+83×(12)n ，此时S 2>S 4>...>S n >−83，所以S 1最小，S 2最大．故选：D.由a 1=−4，a 4=12，求出公比q ，然后根据等比数列的前n 项和公式求出S n ，再分n 为奇数和n 为偶数两种情况求出S n 的最值．本题考查等比数列的性质，考查了分类讨论思想，方程思想和转化思想，属于中档题． 10.【答案】B【解析】解：直线y =kx +1(k ∈R)经过定点P(0,1)，由圆(x −1)2+y 2=1，可得圆心C(1,0)，半径r =1.则圆心C 到直线的距离取得最大值时，CP 与直线垂直，∴M 到直线y =kx +1(k ∈R)距离的最大值=√12+(−1)2+r =√2+1.故选：B.直线y =kx +1(k ∈R)经过定点P(0,1)，由圆(x −1)2+y 2=1，可得圆心C(1,0)，半径r =1.可得圆心C 到直线的距离取得最大值时，CP 与直线垂直，进而得出结论．本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线距离公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：3与7的等差中项为3+72=5.故答案为：5.根据已知条件，结合等差中项的定义，即可求解．本题主要考查等差中项的定义，属于基础题．12.【答案】y=−x+1【解析】解：直线y=x+1关于y轴对称的直线的方程为y=−x+1.故答案为：y=−x+1.由已知结合直线关于直线对称的特点可求．本题主要考查了直线关于直线的对称，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+2y=0，则a=2.故答案为：2.利用双曲线的渐近线方程求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．14.【答案】a n=(−1)n(答案不唯一)【解析】解：例如等比数列a n=(−1)n满足a1<a2，但等比数列{a n}不是递增数列．故答案为：a n=(−1)n(答案不唯一).由已知结合等比数列的通项公式及数列单调性的性质即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及数列的单调性，属于基础题．15.【答案】②③④【解析】解：设动点的坐标为M(x,y)，因为曲线C是平面内与定点F(1,0)和定直线x=−1的距离的积等于2的点的轨迹，所以√(x−1)2+y2⋅|x+1|=2，因为当x=0时，y=0，√(0−1)2+02⋅|0+1|≠2，所以曲线C不过坐标原点，故①错误；因为将√(x−1)2+y2⋅|x+1|=2中的y用−y代入，该等式不变，所以曲线C关于x轴对称，故②正确；令y=0时，√(x−1)2+y2⋅|x+1|=2⇒|x−1||x+1|=2⇒x=±√3，故曲线C与x轴有2个交点，故③正确；因为√(x−1)2+y2⋅|x+1|=2，所以y2=4(x+1)2−(x−1)2≥0，解得−√3≤x≤√3，所以若点M在曲线C上，则|MF|=√(x−1)2+y2=2|x+1|≥1+√3=√3−1，故④正确．故答案为：②③④．将所求点用(x,y)直接表示出来，然后根据条件列出方程即可求出轨迹方程，令x=0，y=0可判断①；根据−y代入可判断②；令y=0可解x的值，进而可判断③；利用消元法，然后利用函数的单调性求最值可判断④．本题主要考查轨迹方程，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得AB的中点C(1,2)，且圆心C(1,2)，半径r=|AC|=√12+(2−1)2=√2，所以圆C的方程为：(x−1)2+(y−2)2=2；(Ⅰ)因为k AC=2−11−0=1，所以过A定点的切线方程为y=−x+1，即切线l的方程为：y=−x+1.【解析】(Ⅰ)由A，B的坐标可得中点C的坐标，进而可得以AB为直径的圆的半径r的大小，求出圆的方程；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得直线AC的斜率，进而可得过A点的切线的斜率，求出过A点的切线方程．本题考查圆的方程的求法及过一点与圆相切的直线方程的求法，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵等差数列{a n}满足a1=1，a2+a3=5，∴2a1+3d=5，解得d=1，∴a n=1+(n−1)⋅1=n；(Ⅰ)∵{b n}是等比数列，b1=2，b3=2b2，∴2q2=2⋅2q，解得q=2，∴b n=2⋅2n−1=2n，∴a n+b n=n+2n，∴T n=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=n(1+n)2+2(1−2n)1−2=n(n+1)2+2n+1−2.【解析】(Ⅰ)由题意解得d=1，代入等差数列的通项公式即可求解；(Ⅰ)由题意解得q=2，代入等比数列的通项公式求得b n=2n，利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由抛物线C：y2=4x的方程可得焦点F(1,0)，准线方程为x=−1；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得F(1,0)，若选条件①：直线l 的斜率为1，则直线l 的方程为y =x −1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =x −1y 2=4x，整理可得：x 2−6x −1=0， 显然Δ>0成立，且x 1+x 2=6，由抛物线的性质可得|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8；若选条件②：线段AB 的中点为M(3,2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 22=3，y 1+y 22=2，即x 1+x 2=6，因为直线l 过焦点F 的弦长|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8，所以弦长|AB|=8.【解析】(Ⅰ)由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程；(Ⅰ)若选条件①，可得直线l 的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB|的值；若选条件②，由中点坐标，可得A ，B 的横坐标之和，由抛物线的性质可得|AB|的值．本题考查抛物线的性质的应用及直线与平温馨的综合应用，属于中档题．19.【答案】(Ⅰ)证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体，所以B 1C 1=BC 且B 1C 1//BC ，可得四边形B 1C 1BC 是平行四边形，所以C 1D//AB 1，又C 1D ⊄平面AB 1E ，AB 1⊂平面AB 1E ，所以C 1D//平面AB 1E ；(Ⅰ)解：建系如图，A(0,0,0)，E(0,1,1)，B 1(1,0,2)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，令m ⃗⃗⃗ =(2,1,−1)，因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面AB 1E 的法向量，平面A 1B 1C 1D 1的法向量是n ⃗ =(0,0,1)，所以平面AB 1E 与平面A 1B 1C 1D 1夹角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ ||=1√6=√66. (Ⅰ)解：C 1(1,1,2)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)，点C 1到平面AB 1E 的距离d =|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |=|2+1−2|√6=√66， 所以点C 1到平面AB 1E 的距离√66.【解析】(Ⅰ)利用线面平行的判定定理即可证明；(Ⅰ)用向量数量积计算两平面所成角余弦值；(Ⅰ)用向量数量积点C 1到平面AB 1E 的距离．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)以及a =2b ， ∴x 24b 2+y 2b 2=1，又椭圆过点P(2,1)， ∴44b 2+1b 2=1，解得b 2=2，∴a 2=8，∵a =2√2，c =√6∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1，离心率e =√32；(Ⅰ)∵k OP =12，又直线OP 与直线l 平行，∴设直线l 的方程为y =12x +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x +m x 2+4y 2=8，消去y 得2x 2+4mx +4m 2−8=0， ∴x 1+x 2=−2m ，∴x 1x 2=2m 2−4，直线MP 的方程为y −1=1−y 12−x 1(x −2)， 令y =0得x =2−2−x11−y 1，故点E(2−2−x 11−y 1,0)，同理可得F(2−2−x 21−y 2,0)， ∵E ，F 都在y 轴右侧，∴|OE|+|OF|=|2−2−x 11−y 1|+|2−2−x 21−y 2|=2−2−x 11−y 1+2−2−x 21−y 2 =4−(2−x 1)(1−y 2)+(2−x 2)(1−y 1)(1−y 1)(1−y 2)=4−(2−x 1)(1−m −12x 2)+(2−x 2)(1−m −12x 1)(1−y 1)(1−y 2)=4−4(1−m)−(1−m)(x 1+x 2)−(x 1+x 2)+x 1x 2(1−y 1)(1−y 2)=4−4(1−m)−(1−m)⋅(−2m)−2m+2m 2−4(1−y 1)(1−y 2)=4(定值). 【解析】(Ⅰ)由已知可得x 24b 2+y 2b 2=1，椭圆过点P(2,1)，可求b ，进而可求椭圆C 的方程和离心率；(Ⅰ)设直线l 的方程为y =12x +m ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立方程组可得x 1+x 2=−2m ，∴x 1x 2=2m 2−4，直线MP 的方程为y −1=1−y12−x 1(x −2)，可得E 点的坐标，同理可得F 的坐标，进而计算可得|OE|+|OF|为定值．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)若无穷递增数列{a n }的前四项是1，2，3，5，由a i ≤4，a j ≥4，其中1≤i ≤j ≤4，a 3=3<4，a 4=5>4，则b 4=3，c 4=4；(Ⅰ)若{a n }是无穷等比数列，a 1=1，公比q 是大于1的整数，若q =2，则{a n }：1，2，4，8，16，32，...，b 3为满足a i ≤3的所有i 中的最大值，即为b 3=2，同理可得b 4=b 5=3，而c 3为满足a j ≥3的所有j 中的最小值，即为c 3=3，则c 4=3，此时b 3<b 4=b 5，c 3=c 4，符合题意；当q =3，则{a n }：1，3，9，27，81，243，...，此时b 3=2，b 4=2，不满足b 3<b 4； 当q =4，则{a n }：1，4，16，64，256，...，此时b 3=1，b 4=2，b 5=2，c 3=2，c 4=2，即b 3<b 4=b 5，c 3=c 4，符合题意；当q ≥5时，则{a n }：1，q ，q 2，q 3，q 4，q 5，...，此时b 3=1，b 4=1，不满足b 3<b 4； 综上可得，q =2或4；(Ⅰ)证明：若{a n }是无穷等差数列，a 1=1，公差为1m ，其中m 为常数，且m >1，m ∈N ∗， 可得a n =1+n−1m ，n ∈N ∗，则a 1=1，a 2=1+1m ，a 3=1+2m ，...，a m−1=2−2m ，a m =2−1m ，a m+1=2，...，a 2m+1=3，所以b 1=1，b 2=m +1；因为a (k−1)m =1+k −1−1m =k −1m ，a (k−1)m+1=k ，a (k−1)m+2=k +2m >k ，所以b k =1+(k −1)m ，所以b 1，b 2，⋯，b k ，⋯为等差数列，通项公式为b k =1+(k −1)m ，k ∈N ∗；又c 1=1，c 2=m +1，因为a (k−1)m =1+k −1−1m =k −1m <k ，a (k−1)m+1=k ，a (k−1)m+2=k +2m >k ，可得c k =1+(k −1)m ，则c 1，c 2，⋯，c k ，⋯是等差数列，且c k =1+(k −1)m ，k ∈N ∗.【解析】(Ⅰ)由b k ，c k 的定义，结合{a n }的前四项，可得结论；(Ⅰ)分别讨论q =2，q =3，q =4，q ≥5，写出{a n }的前几项，求得b 3，b 4，b 5，c 3，c 4，检验可得结论；(Ⅰ)由等差数列的通项公式求出前几项，求得b 1，b 2，b k ，c 1，c 2，c k ，即可得到结论．本题考查数列的应用，以及等差数列和等比数列的通项公式，考查分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

2023-2024学年北京市大兴区高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数f(x)=ax+1，若f′(1)=2，则a=( )A. 2B. −2C. 3D. −32.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+1，则数列{a n}的通项公式为( )A. a n=n+1B. a n=2n−1C. a n=2n+1D. a n=2 ,n=1,2n−1,n≥23.已知函数f(x)=x2，则limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx等于( )A. 1B. 2C. x2D. 2x4.已知数列{a n}是等比数列，若a1=2，a2a3=32，则a4的值为( )A. −4B. −2C. 4D. 165.已知函数f(x)在x=x0处可导，则“f′(x0)=0”是“x=x0是f(x)的极值点”的( )A. 充分必要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6.若数列{a n}满足a n+1=2a n 0≤a n<122a n−1 12≤a n<1，若a1=67，则a20的值为( )A. 67B. 57C. 37D. 177.已知数列{a n}满足a n+1−a n=2n−11，且a1=10，则a n的最小值是( )A. −15B. −14C. −11D. −68.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x21+x22等于( )A. 23B. 43C. 83D. 1639.“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列{a n}为“斐波那契数列”，S n为数列{a n}的前n项和，若S2022=m，则a2024=( )A. mB. m+1C. m−1D. 2m+110.已知函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,12) C. (0,1) D. (0,+∞)二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2020-2021学年北京市大兴区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.在平面直角坐标系中，斜率为√3的直线倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°2.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n1+a n，则a6的值为()A. 16B. 14C. 3D. 63.经过点(1,0)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为()A. x−2y−1=0B. 2x−y−2=0C. 2x+y−2=0D. 2x+y−1=04.某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为()A. 0.24B. 0.36C. 0.6D. 0.845.已知空间向量a⃗=(1,2,3)，则向量a⃗在坐标平面Oxy上的投影向量是()A. (1,2，0)B. (1,0，3)C. (0,2，3)D. (1,0，0)6.已知圆C经过原点，且其圆心在直线x−y−2=0上，则圆C半径的最小值为()A. 1B. √2C. 2D. 2√27.我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍.小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第()A. 3天B. 4天C. 5天D. 6天8.已知点M在抛物线y2=8x的上，F为抛物线的焦点，直线FM交y轴于点N.若M为线段FN的中点，则|FN|=()A. 3B. 6C. 6√2D. 129.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则椭圆C的离心率为()A. √23B. √33C. 23D. √6310.已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1−2，若∀n∈N∗，λa n≤4+S2n恒成立，则实数λ的最大值是()A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.双曲线x2−y2=1的渐近线方程为______ ．12. 已知入射光线经过点M(0,1)被x 轴反射，反射光线经过点N(2,1)，则反射光线所在直线的方程为______ ．13. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n −1，则数列{a n }中能构成等比数列的三项可以为______ .(只需写出一组)14. 如图，在四面体ABCD 中，其棱长均为1，M ，N 分别为BC ，AD 的中点.若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z = ______ ；直线MN 和CD 的夹角为______ ．15. 将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以P n 表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：①P 3=78；②P 4=1516；③当n ≥2时，P n+1<P n ；④P n =12P n−1+14P n−2+18P n−3(n ≥4)．其中，所有正确结论的序号是______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 从2名男生(记为B 1和B 2)和3名女生(记为G 1，G 2和G 3)组成的总体中，任意依次抽取2名学生．(Ⅰ)分别写出有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样的样本空间；(Ⅱ)在(Ⅰ)中的两种抽样方式下，分别求出抽到的2人为1名男生和1名女生的概率．17.已知前n项和为S n的数列{a n}中，a1=5．(Ⅰ)若{a n}是等比数列，S3=35，求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若{a n}是等差数列，S5=S6，求S n的最大值．18.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点．(Ⅰ)证明：D1E⊥A1D；(Ⅱ)求点E到平面ACD1的距离；(Ⅲ)求平面AD1E与平面ACD1夹角的余弦值．19.已知直线l1：2x−y+2=0与直线l2：x−ay−2=0，a∈R．(Ⅰ)若l1//l2，求a的值；(Ⅱ)求证：直线l2与圆x2+y2=4恒有公共点；(Ⅲ)若直线l2与圆心为C的圆(x−a)2+(y−1)2=4相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，求a的值．20.如图四棱锥P−ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，PC=√2，E为PD的中点．(Ⅰ)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；(Ⅱ)设F是BE的中点，判断点F是否在平面PAC内，并证明结论．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线l：x−my−4=0与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；(Ⅲ)设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°,180°)，∵tanθ=√3，∴θ=60°，故选：B．设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°,180°)，已知tanθ=√3，可得θ．本题考查了直线的倾斜角、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵a1=1，a n+1=a n1+a n，∴1a n+1=1+a na n=1a n+1，即1a n+1−1a n=1，又1a1=1，∴数列{1a n}是首项、公差均为1的等差数列，∴1a n =n，a n=1n，∴a6=16，故选：A．先由题设推导出1a n+1−1a n=1，进而说明数列{1a n}是首项、公差均为1的等差数列，求得其通项公式，再求得结果即可．本题主要考查等差数列定义及基本量的计算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：设与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把点(1,0)代入可得：2+m=0，解得m=−2．∴经过点(1,0)且与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为：2x+y−2=0．故选：C．设与直线x−2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把点(1,0)代入解得m，即可得出．本题考査了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：某班级举办投篮比赛，每人投篮两次，小明每次投篮命中的概率都是0.6， 则他至少投中一次的概率为： P =1−(1−0.6)(1−0.6)=0.84． 故选：D ．利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：空间向量a ⃗ =(1,2,3)，则向量a ⃗ 在坐标平面Oxy 上的投影向量是(1,2，0)， 故选：A ．直接利用向量在平面上的投影，求出结果．本题考查的知识要点：向量在平面上的投影，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：圆C 经过原点，且其圆心在直线x −y −2=0上，圆C 半径的最小值就是原点到直线的距离， 所以最小值为：√2=√2．故选：B ．结合已知条件，通过点到直线的距离公式转化求解即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为1，公比分别为2，12． 设两鼠穿透此墙至少在第n 天， 由题意可得：2n −12−1+1−(12)n1−12=10，化为：2n −2×(12)n −9=0，令f(x)=2x −21−x −9，则f(3)=8−14−9=−54<0，f(4)=16−18−9=558>0．∴两鼠穿透此墙至少在第4天．故选：B．大老鼠与小老鼠每天挖墙的进度都形成等比数列：首项都为1，公比分别为2，12.利用等比数列的求和公式列出方程即可得出．本题考查了等比数列的定义与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由抛物线的方程可得F(2,0)，设点N的坐标为(0,m)，因为M为FN的中点，则x M=2+02=1，又点M在抛物线上，所以y M=±2√2，所以M(1,±2√2)，则|FN|=2|FM|=2√(2−1)2+(±2√2)2=2×3=6，故选：B．先由抛物线方程求出点F的坐标，再根据中点坐标公式求出点M的横坐标，进而可以求出点M的纵坐标，从而可以求解．本题考查了抛物线的方程以及性质，涉及到中点坐标公式的应用，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：由题意可得以A1A2为直径的圆的圆心为原点，半径为a，则圆心到直线bx−ay+2ab=0的距离为：d=√a2+b2=a，解得a2=3b2，所以椭圆的离心率为e=ca =√1−b2a=√1−13=√63，故选：D．由已知即可求出圆的圆心和半径，利用直线与圆相切即可求解．本题考查了椭圆的性质以及直线与圆相切的性质，涉及到点到直线的距离公式的应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：由S n=2n+1−2，得a1=S1=22−2=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1−2−(2n−2)=2n，验证n=1时a n=2n成立，∴a n=2n，又S n=2n+1−2，∴S2n=22n+1−2，∵∀n∈N∗，λa n≤4+S2n恒成立，∴λ≤4+S2na n =4+22n+1−22n=2(2n+12n)，当n=1时，2(2n+12n)有最小值为5．∴λ≤5．则则实数λ的最大值是5．故选：C．由数列的前n项和求得数列的通项公式，代入λa n≤4+S2n，分离参数λ，求出2(2n+12n)的最小值，即可求得实数λ的最大值．本题是数列与不等式的综合题，考查由数列的前n项和求通项公式，考查数列的函数特性，是中档题．11.【答案】y=±x【解析】【分析】由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，即可得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，属于基础题．【解答】解：由双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，则双曲线x2−y2=1的渐近线方程为y=±x．故答案为：y=±x．12.【答案】x−y−1=0【解析】解：由题意可得法线为：x=1，与x轴的交点为(1,0)．∴反射光线所在直线的方程为：y−0=1−02−1(x−1)，化为：x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．由题意可得法线为：x=1，与x轴的交点为(1,0).利用点斜式即可得出：反射光线所在直线的方程．本题考査了反射光线的性质、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2，8，32【解析】解：数列{a n }的通项公式为a n =3n −1，由a 1=2，a 3=8，a 11=32， 则数列{a n }中能构成等比数列的三项可以为：2，8，32． 故答案为：2，8，32．利用数列{a n }的通项公式为a n =3n −1，及其等比数列的性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】−12 45°【解析】解：由M ，N 分别为BC ，AD 的中点可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以x =y =−12，z =12， ∴x +y +z =−12． 连接BN 、CN ，在四面体ABCD 中，其棱长均为1， 所以BN =CN =√32，而BC =1，所以MN =(√32)(12)=√22，取AC 的中点E ，EN//CD ，所以∠ENM 即为直线MN 和CD 的夹角， 在三角形MNE 中，EN =EM =12，MN =√22，所以cos∠ENM =(12)2+(√22)2−(12)22×12×√22=√22， 即直线MN 和CD 的夹角为45°． 故答案为：−12，45°．根据空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，数形结合，先用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC −、AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再对比已知条件MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分别求出x ，y ，z 的值，然后就可以得到x +y +z 的值． 本题考查了空间向量的加法、减法运算，共线向量定理，考查了推理能力与计算能力、数形结合，属于中档题．15.【答案】①③④【解析】解：对于①，将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次， 以P n 表示没有出现连续3次正面的概率， ∴P 3=1−(12)3=78，故①正确；对于②，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有： 正正正正或正正正反或反正正正，∴P 4=1−316=1316，故②错误； 对于④，共分三种情况：(i)如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n −1次不出现连续三次正面是相同的， ∴这个时候不出现连续三次正面的概率是12×P n−1； (ii)如果第n 次出现正面，第n −1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n −2次不出现连续三次正面是相同的， ∴这个时候不出现连续三次正面的概率是14×P n−2；(iii)如果第n 次出现正面，第n −1次出现正面，第n −2次出现反面， 那么前n 次不出现连续三次正面和前n −3次不出现连续三次正面是相同的， ∴这时候不出现三次连续正面的概率是18×P n−3，综上，P n =12×P n−1+14×P n−2+18×P n−3(n ≥4)，故④正确； 对于③，由④知，n ≥4时，{P n }单调递减，又P 1=P 2>P 3>P 4， ∴n ≥2时，数列{P n }单调递减，即当n ≥2时，P n+1<P n ，故③正确． 故答案为：①③④．对于①，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出P 3；对于②，利用列举法能求出P 4；对于④，如果第n 次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n −1次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是12×P n−1；如果第n 次出现正面，第n −1次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n −2次不出现连续三次正面是相同的，这个时候不出现连续三次正面的概率是14×P n−2；如果第n 次出现正面，第n −1次出现正面，第n −2次出现反面，那么前n 次不出现连续三次正面和前n −3次不出现连续三次正面是相同的，这时候不出现三次连续正面的概率是18×P n−3，由此能求出P n (n ≥4)；对于③，由n ≥4时，{P n }单调递减，P 1=P 2>P 3>P 4，得到当n ≥2时，P n+1<P n ．本题考查概率的求法，考查对立事件和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)从2名男生(记为B1和B2)和3名女生(记为G1，G2和G3)组成的总体中，任意依次抽取2名学生，有放回简单随机抽样的样本空间为：Ω={(B1,B1)，(B1,B2)，(B1,G1)，(B1,G2)，(B1,G3)，(B2,B1)，(B2,B2)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B2,G3)，(G1,B1)，(G1,B2)，(G1,G1)，(G1,G2)，(G1,G3)，(G2,B1)，(G2,B2)，(G2,G1)，(G2,G2)，(G2,G3)，(G3,B1)，(G3,B2)，(G3,G1)，(G3,G2)，(G3,G3)}．不放回简单随机抽样的样本空间为：Ω={(B1,B2)，(B1,G1)，(B1,G2)，(B1,G3)，(B2,B1)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B2,G3)，(G1,B1)，(G1,B2)，(G1,G2)，(G1,G3)，(G2,B1)，(G2,B2)，(G2,G1)，(G2,G3)，(G3,B1)，(G3,B2)，(G3,G1)，(G3,G2)}．(Ⅱ)有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为：{(B1,G1)，(B1,G2)，(B1,G3)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B2,G3)，(G1,B1)，(G1,B2)，(G2,B1)，(G2,B2)，(G3,B1)，(G3,B2)}．∴有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率P1=1225．不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，分别为：{(B1,G1)，(B1,G2)，(B1,G3)，(B2,G1)，(B2,G2)，(B2,G3)，(G1,B1)，(G1,B2)，(G2,B1)，(G2,B2)，(G3,B1)，(G3,B2)}．∴不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率P2=2025=45．【解析】(Ⅰ)利用列举法能写出有放回简单随机抽样的样本空间和不放回简单随机抽样的样本空间．(Ⅱ)有放回简单随机抽样时，利用列举法求出抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，由此能求出有放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率；不放回简单随机抽样时，利用列举法求出抽到的2人为1名男生和1名女生包含的基本事件有12个，由此能求出不放回简单随机抽样时，抽到的2人为1名男生和1名女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵{a n}是等比数列，且a1=5，S3=35，设其公比为q，则5+5q+5q2=35，解得q=2，或q=−3．∴当q=2时，a n=5×2n−1；当q =−3时，a n =5×(−3)n−1．(Ⅱ)若{a n }是等差数列，且S 5=S 6，得a 6=0， 又a 1=5，∴公差d =a 6−a 16−1=−55=−1，则等差数列的前n 项和S n =5n +n(n−1)2×(−1)=−12n 2+112n ，其对称轴方程为n =112，∵n ∈N ∗，∴当n =5或6时，(S n )max =15．【解析】(Ⅰ)设等比数列的公比为q ，由已知列式求得q ，然后分类写出等比数列的通项公式； (Ⅱ)由{a n }是等差数列，且S 5=S 6，得a 6=0，进一步求得等差数列的公差，写出等差数列的前n 项和，利用二次函数求最值．本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，训练了利用二次函数求最值，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】(Ⅰ)证明：∵AE ⊥平面ADD 1A 1，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，∴AE ⊥A 1D ，∵四边形ADD 1A 1是矩形，AD =AA 1， ∴四边形ADD 1A 1是正方形，∴A 1D ⊥AD 1，又AD 1⊂平面AD 1E ，AE ⊂平面AD 1E ，AD 1∩AE =A ， ∴A 1D ⊥平面AD 1E ，又D 1E ⊂平面AD 1E ， ∴D 1E ⊥A 1D .(Ⅱ)解：分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，A(1,0，0)，C(0,2，0)，D 1(0,0，1)，E(1,1，0)， D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)， 设平面ACD 1的一个法向量是n ⃗ =(x,y ，z)， 由{n ⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0, 取x =1，得n⃗ =(1,12,1)， 由点到平面的距离公式，得点E 到平面ACD 1的距离d =|n ⃗⃗ ⋅D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=|1+12−1|√1+14+1=13；(Ⅲ)解：由(Ⅱ)得，平面ACD 1的一个法向量是n⃗ =(1,12,1)，又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设平面AD 1E 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+z 1=0，取z 1=1，可得m⃗⃗⃗ =(1,0,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2⋅32=2√23． 又平面AD 1E 与平面ACD 1的夹角为锐角， ∴平面AD 1E 与平面ACD 1的夹角的余弦值为2√23．【解析】本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间距离及空间角，属于中档题．(Ⅰ)通过证明A 1D ⊥平面AD 1E ，得出D 1E ⊥A 1D ；(Ⅱ)分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD 1的一个法向量，再求出D 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由空间向量求距离公式求解；(Ⅲ)求出平面AD 1E 的一个法向量，结合(Ⅱ)中求出的平面ACD 1的一个法向量，由两平面法向量所成角的余弦值求解平面AD 1E 与平面ACD 1夹角的余弦值．19.【答案】解：(Ⅰ)∵l 1//l 2，直线l 1：2x −y +2=0与直线l 2：x −ay −2=0，a ∈R ，∴2×(−a)−(−1)×1=0，解得a =12， 验证知，a =12，l 1//l 2，故a 的值是12； (Ⅱ)l 2：x −ay −2=0，a ∈R ，过点(2,0)，将点(2,0)代入圆的方程得，22+0=4，即点(2,0)在圆x 2+y 2=4上， 故直线l 2与圆x 2+y 2=4恒有公共点；(Ⅲ)由题意，△ABC 为直角三角形，故圆心到直线的距离是半径的√22倍，即圆心到直线的距离是√2，由圆心坐标是(a,1)，由点到直线的距离公式知，圆到直线的距离是√1+a 2，故√1+a 2=√2，解得a =±1， 所以a 的值±1．【解析】(Ⅰ)根据两直线平行的条件建立方程，解方程得出参数的值；(Ⅱ)求出直线所过的定点，确定此点在圆上或圆内，即可得出直线与圆恒有公共点；(Ⅲ)根据直线与圆的位置关系，计算出圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而建立方程，解出参数的值．本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系，根据所给的位置关系建立相应的方程是解答的关键，本题考查了方程的思想，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)取AD 中点O ，连接PO ，CO ，由已知△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，∴PO ⊥AD ，又AD =2，∴PA =PD =√2，PO =OD =1， 而AB ⊥AD ，AB =1，BC =12AD =1， 所以四边形ABCO 为正方形，即AD ⊥CO ，而PC =√2，PO =1，OC =1，所以PC 2=PO 2+OC 2，即PO ⊥OC ，而AD ∩OC =O ，所以PO ⊥平面ABCD ，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以P(0,0，1)，A(0,−1,0)，C(1,0，0)，B(1,−1,0)， 设平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 而PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−1)， 由{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{−y −z =0x +y =0，可取n⃗ =(1,−1,1)， 设直线PB 与平面PAC 所成角为θ， 则sinθ=|cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√3×√3=13，所以直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值为13； (Ⅱ)F 在平面PAC 内，证明：E 为PD 中点，由(Ⅰ)知E(0,12,12)，又F 是BE 的中点，所以F(12,−14,14)， CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−14,14)， 设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即{ −12=−x −y −14=−x 14=y ，解得{x =14y =14， 故有唯一一组实数对(14,14)使得CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因此符合向量基本定理，故CF 与CA ，CP 共面，即F 在平面PAC 内．【解析】(Ⅰ)先根据已知条件寻找三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，然后求出平面PAC 的一个法向量，最后根据线面所成角的公式进行求解；(Ⅱ)先求出点F 的坐标，然后设CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，寻找满足条件的x 与y ，从而可判定点F 是否在平面PAC 内．本题主要考查了直线与平面所成角，以及向量共面定理，解题的关键是利用空间向量的方法求解立体几何问题，同时考查学生空间想象能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：因为2a =2⋅2b ，2c =2√3，所以a =2b ，c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)解：设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，联立方程组{x −my +4=0x 24+y 2=1，可得(m 2+4)y 2−8my +12=0， 则由韦达定理可得，y 1+y 2=8mm 2+4,y 1y 2=12m 2+4，则x 1x 2=(my 1−4)(my 2−4)=m 2y 1y 2−4m(y 1+y 2)+16=64−4m 2m 2+4，又以线段DE 为直径的圆经过原点，所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=76−4m 2m 2+4=0，解得m =±√19；(Ⅲ)证明：由题意A(−2,0)，B(2,0)，设H(x 0,y 0)，则直线BH 的方程为y −0=yx 0−2(x −2)，直线AH 的方程为y −0=y 0x 0+2(x +2)， 由中点坐标公式可得，P(1+x 02,y 02)，所以直线PQ 的方程为y −y 02=−x 0−2y 0(x −1−x 02)，联立直线PQ 和直线AH 的方程可得x Q =3x 03+10x 02−12x 0−406x 02−24，所以MN 2=|x Q −1−x 022|=(23)2，故MN =23，所以线段MN 的长为定值．【解析】(Ⅰ)利用长轴以及短轴的定义，结合焦距，得到a ，b ，c 的关系，从而得到答案；(Ⅱ)联立直线和椭圆的方程，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，然后利用韦达定理以及OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求解即可得到答案；(Ⅲ)设H(x 0,y 0)，利用点斜式求出直线BH 和直线AH 的方程，得到点P 的坐标，从而得到直线PQ 的方程，联立直线PQ 和直线AH 的方程，解得Q 点的横坐标，求解MN 的长度即可证明．本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，主要考查了直线与椭圆的应用、椭圆的标准方程的求解、点斜式直线方程的求解，在涉及直线与圆锥曲线位置关系的时候，经常用“设而不求”的思想，结合韦达定理进行研究．。

2021-2022学年北京市大兴区高一（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知a ＞b ，则一定成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．a 3＞b 3C ．1a ＜1bD ．|a |＞|b |2．若集合P ＝{0，1}，则下列结论正确的是（ ）A ．∅＝PB ．{0}∈PC ．N ⊆PD ．{1}⫋P3．下列函数中是奇函数且定义域为R 的是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝x ﹣1C ．y ＝x 3D ．y ＝2x4．函数y ＝x 2﹣2x ﹣1，x ∈[﹣1，2]的值域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．[﹣1，2]C ．[﹣2，1]D ．[﹣1，1]5．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=(√x)2B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x6．已知函数f （x ）的定义域为[0，2]，则“f （0）＜f （2）”是“f （x ）在定义域上是增函数”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．令a ＝1.70.1，b ＝1.70.2，c =0.9√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c8．设函数f(x)=a 0(1+r)x ，且f （3）＝20，f （4）＝22，则f （5）＝（ ）A ．24B ．24.2C ．26D ．26.59．若任意的正数x ，y 都能使k √xy ≤4x +y 成立，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2]B ．（0，2]C ．（﹣∞，4]D ．（2，4]10．某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时1000mg 的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以20%的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在1000mg 以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：0.21.8≈0.0552，0.21.9≈0.0470，0.83.1≈0.5007，0.83.2≈0.4897）A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x ∈Z ，x 2≤1”的否定是 ．12．已知x ＞﹣1，则当x ＝ 时，x +1x+1取得最小值，且最小值为 ．13．已知函数f （x ）满足对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），则函数f （x ）可能的一个解析式是 ．14．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n 位上的数字为y ，那么你认为：y （填“是”或“不是”）n 的函数，理由是 ．15．已知函数f(x)={x 2+4x ，x ＜0x 2+mx ，x ≥0是偶函数． （1）m ＝ ；（2）若f （x ）在区间[a ，a +1]上单调递减，则a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，集合B ＝{x |x ＞m }．（Ⅰ）当m ＝1时，求A ∩B ，∁R B ；（Ⅱ）写出一个m 值，使得A ∪B ＝B ．17．（14分）①计算：√(π−4)2−823+(12)−1；②已知10m＝2，10n＝3，求103m−2n2的值．18．（14分）已知二次函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求二次函数f（x）的零点；（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（Ⅲ）若f（x）≥﹣x对一切实数x都成立，求a的取值范围．19．（14分）已知函数f(x)=1−x．x（Ⅰ）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅲ）若f（2x+1）＞f（4x），求x的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝2x，函数g（x）＝﹣x+3．（Ⅰ）在同一直角坐标系中画出f（x），g（x）的图象；（Ⅱ）∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．①用解析法表示函数m（x），并写出函数m（x）的值域；②讨论关于x的方程m（x）＝k的根的个数．（直接写出结论）21．（15分）如果函数f（x）满足：存在非零常数T，对于∀x∈R，都有f（x+T）＝Tf（x）成立，则称函数f（x）为T函数．（Ⅰ）判断f（x）＝2x是否是T函数，并说明理由；（Ⅱ）已知f（x）＝a x（其中a＞0）的图象过点（2，2），证明：f（x）是T函数；（Ⅲ）若f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R），写出f（x）是T函数的充要条件，并证明．2021-2022学年北京市大兴区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知a＞b，则一定成立的是（）A．a2＞b2B．a3＞b3C．1a ＜1bD．|a|＞|b|解：对于A，令a＝1，b＝﹣3，满足a＞b，但a2＜b2，故A错误，对于B，∵f（x）＝x3在R上单调递增，又∵a＞b，∴f（a）＞f（b），即a3＞b3，故B正确，对于C，令a＝1，b＝﹣3，满足a＞b，但1a ＞1b，故C错误，对于D，令a＝1，b＝﹣3，满足a＞b，但|a|＜|b|，故D错误．故选：B．2．若集合P＝{0，1}，则下列结论正确的是（）A．∅＝P B．{0}∈P C．N⊆P D．{1}⫋P 解：∵P＝{0，1}，∴∅⊆P，{0}⊆P，P⊆N，{1}⫋P，故选：D．3．下列函数中是奇函数且定义域为R的是（）A．y＝x2B．y＝x﹣1C．y＝x3D．y＝2x 解：A选项中y＝x2为偶函数，故A选项错误；B选项中y＝x﹣1为奇函数，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），故B选项错误；C选项中y＝x3为奇函数且定义域为R，故C选项正确；D选项中y＝2x为指数函数，非奇非偶函数，故D选项错误．故选：C．4．函数y＝x2﹣2x﹣1，x∈[﹣1，2]的值域是（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]解：y＝x2﹣2x﹣1＝y＝（x﹣1）2﹣2，∵x∈[﹣1，2]，∴（x﹣1）2∈[0，4]，∴y∈[﹣2，2]，故选：A．5．若f （x ）与g （x ）是同一个函数，且f （x ）＝x ，则g （x ）可以是（ ）A ．g(x)=(√x)2B ．g(x)=√x 33C ．g(x)=√x 2D ．g(x)=x 2x 解：对于A ，函数g （x ）=(√x)2=x 的定义域是[0，+∞），函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数g （x ）=√x 33=x 的定义域是R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C ，函数g （x ）=√x 2=|x |的定义域为R ，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的对应关系不同，不是同一函数；对于D ，函数g （x ）=x 2x =x 的定义域是{x |x ≠0}，函数f （x ）＝x 的定义域是R ，两个函数的定义域不同，不是同一函数．故选：B ．6．已知函数f （x ）的定义域为[0，2]，则“f （0）＜f （2）”是“f （x ）在定义域上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：由函数f （x ）的定义域为[0，2]，若“f （0）＜f （2）”不能够推出“f （x ）在定义域上是增函数”，故函数f （x ）的定义域为[0，2]，则“f （0）＜f （2）”是“f （x ）在定义域上是增函数”的不充分条件， 由函数f （x ）的定义域为[0，2]，若“f （x ）在定义域上是增函数”，能够推出“f （0）＜f （2）”， 故函数f （x ）的定义域为[0，2]，则“f （0）＜f （2）”是“f （x ）在定义域上是增函数”的必要条件， 综上，函数f （x ）的定义域为[0，2]，则“f （0）＜f （2）”是“f （x ）在定义域上是增函数”的必要不充分条件．故选：B ．7．令a ＝1.70.1，b ＝1.70.2，c =0.9√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c 解：∵1.70.2＞1.70.1＞1.70＝1，0＜0．9√2＜0．90=1，∴b ＞a ＞c ，故选：D ．8．设函数f(x)=a 0(1+r)x ，且f （3）＝20，f （4）＝22，则f （5）＝（ ）A ．24B ．24.2C ．26D ．26.5解：根据题意，函数f(x)=a 0(1+r)x ，且f （3）＝20，f （4）＝22，则f(4)f(3)=a 0(1+r)4a 0(1+r)3=1+r =2220=1110，又由f(5)f(4)=a 0(1+r)5a 0(1+r)4=1+r =1110，变形可得f （5）＝22×1110=24.2， 故选：B ．9．若任意的正数x ，y 都能使k √xy ≤4x +y 成立，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2]B ．（0，2]C ．（﹣∞，4]D ．（2，4]解：因为k √xy ≤4x +y 对任意的正数x ，y 都成立，所以k ≤xy ， 因为4x+y√xy ≥2√4xy√xy =4，当且仅当4x ＝y 时，等号成立，此时4x+y√xy 的最小值为4，所以k ≤4．故选：C ．10．某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时1000mg 的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以20%的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在1000mg 以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：0.21.8≈0.0552，0.21.9≈0.0470，0.83.1≈0.5007，0.83.2≈0.4897）A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时解：设时间为x ，血液中药物的浓度为y ，则y ={1000x ，0＜x ≤22000(1−20%)x−2，x ＞2， 当0＜x ≤2时，1000x ＞1000，解得1＜x ≤2；当x ＞2时，2000（1﹣20%）x ﹣2＞1000，即0．8x−2＞12，即0.8x ﹣2＞0.83.1， 解得2＜x ＜5.1．综上所述，1＜x ＜5.1，故该药物对病人有疗效的时长大约为4小时．故选：C ．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．命题“∃x ∈Z ，x 2≤1”的否定是 ∀x ∈Z ，x 2＞1 ．解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题“∃x ∈Z ，x 2≤1”的否定是：∀x ∈Z ，x 2＞1．故答案为：∀x ∈Z ，x 2＞1．12．已知x ＞﹣1，则当x ＝ 0 时，x +1x+1取得最小值，且最小值为 1 ． 解：因为x ＞﹣1，所以x +1＞0，所以x +1x+1=x +1+1x+1−1≥2√(x +1)⋅1x+1−1＝1， 当且仅当x +1=1x+1，即x ＝0时，等号成立，所以x +1x+1的最小值为1． 故答案为：0；1．13．已知函数f （x ）满足对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），则函数f （x ）可能的一个解析式是 f （x ）＝0 ．解：令f （x ）＝0，则对任意实数a ，b 都有f （a +b ）＝f （a ）f （b ），故答案为：f （x ）＝0（答案不唯一）．14．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．如果记圆周率小数点后第n 位上的数字为y ，那么你认为：y 是 （填“是”或“不是”）n 的函数，理由是 函数关系任意的一个自变量都有唯一的一个函数值与之对应 ．解：根据函数的定义，可知对于任意的一个自变量都有唯一的一个函数值与之对应，因此数字y 与n 存在函数关系，这位少年能准确的说出数字．故答案为：是；函数关系任意的一个自变量都有唯一的一个函数值与之对应．15．已知函数f(x)={x 2+4x ，x ＜0x 2+mx ，x ≥0是偶函数． （1）m ＝ ﹣4 ；（2）若f （x ）在区间[a ，a +1]上单调递减，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣3]∪[0，1] ．解：（1）由函数f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）＝f （1），∴（﹣1）2+4×（﹣1）＝12+m ，∴m ＝﹣4；（2）由（1）知f （x ）={x 2+4x ，x ＜0x 2−4x ，x ≥0， 所以f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2]和[0，2]，又f （x ）在区间[a ，a +1]上单调递减，∴a +1≤﹣2或{a ≥0a +1≤2，∴a≤﹣3或0≤a≤1故答案为：m＝﹣4；（﹣∞，﹣3]∪[0，1]．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（14分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＞m}．（Ⅰ）当m＝1时，求A∩B，∁R B；（Ⅱ）写出一个m值，使得A∪B＝B．解：（Ⅰ）当m＝1时，B＝{x|x＞m}＝{x|x＞1}，∵A＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}，∁R B＝{x|x≤1}，（Ⅱ）当m＝﹣1时，A⊆B，则A∪B＝B，∴m＝﹣1．17．（14分）①计算：√(π−4)2−823+(12)−1；②已知10m＝2，10n＝3，求103m−2n2的值．解：①原式＝|π﹣4|﹣23×23+2＝4﹣π﹣4+2＝2﹣π；②10m＝2，10n＝3，则103m−2n2=（103m÷102n）12=[（10m）3÷（10n）2]12=（23÷32）12=2√23．18．（14分）已知二次函数f（x）＝（x﹣1）（x﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a＝2时，求二次函数f（x）的零点；（Ⅱ）求关于x的不等式f（x）＞0的解集；（Ⅲ）若f（x）≥﹣x对一切实数x都成立，求a的取值范围．解：（Ⅰ）因为f（x）＝（x﹣1）（x﹣a），当a＝2时f（x）＝（x﹣1）（x﹣2），令f（x）＝0，即（x﹣1）（x﹣2）＝0，解得x＝1或x＝2，即函数的零点为1和2；（Ⅱ）依题意f（x）＞0，即（x﹣1）（x﹣a）＞0，当a＞1时，解得x＞a或x＜1；当a＝1时，即（x﹣1）2＞0，解得x≠1；当a＜1时，解得x＞1或x＜a；综上可得，当a＞1时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（a，+∞）；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当a＜1时，原不等式的解集为（﹣∞，a）∪（1，+∞）；（Ⅲ）因为f（x）≥﹣x对一切实数x都成立，即（x﹣1）（x﹣a）≥﹣x恒成立，即x2﹣ax+a≥0恒成立，所以Δ＝a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，即a∈[0，4]．19．（14分）已知函数f(x)=1−xx．（Ⅰ）用定义证明f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值；（Ⅲ）若f（2x+1）＞f（4x），求x的取值范围．证明：（Ⅰ）f（x）=1−xx=1x−1，设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）=1x1−1−1x2+1=x2−x1x1x2，∵x2＞x1＞0，∴x2﹣x1＞0，x2x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴f（x）max＝f（1）＝0；（Ⅲ）由（Ⅰ）f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；∵f（2x+1）＞f（4x），∴2x+1＜4x＝22x，即x+1＜2x，解得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞）．20．（14分）已知函数f（x）＝2x，函数g（x）＝﹣x+3．（Ⅰ）在同一直角坐标系中画出f（x），g（x）的图象；（Ⅱ）∀x∈R，用m（x）表示f（x），g（x）中的较小者，记为m（x）＝min{f（x），g（x）}．①用解析法表示函数m（x），并写出函数m（x）的值域；②讨论关于x的方程m（x）＝k的根的个数．（直接写出结论）解：（Ⅰ）函数f（x）＝2x，函数g（x）＝﹣x+3，在同一直角坐标系中画出f（x），g（x）的图象如图所示：（Ⅱ）①由（1）中的图象可知，m（x）={2x，x≤1−x+3，x＞1，作出函数m（x）的图象如图所示：由图象可知，函数m（x）的值域为（﹣∞，2]；②由①中的图象可得，当k＞2时，方程m（x）＝k无实数根；当k＝2或k≤0时，方程m（x）＝k只有一个实数根；当0＜k＜2时，方程m（x）＝k有两个实数根．21．（15分）如果函数f（x）满足：存在非零常数T，对于∀x∈R，都有f（x+T）＝Tf（x）成立，则称函数f（x）为T函数．（Ⅰ）判断f（x）＝2x是否是T函数，并说明理由；（Ⅱ）已知f（x）＝a x（其中a＞0）的图象过点（2，2），证明：f（x）是T函数；（Ⅲ）若f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R），写出f（x）是T函数的充要条件，并证明．解：（Ⅰ）f（x）不是T函数，理由如下：若函数f（x）＝2x是T函数，则f（x+T）＝T•f（x），即2（x+T）＝2Tx恒成立，故（T﹣1）x＝T恒成立，上式不可能恒成立，故f（x）不是T函数．（Ⅱ）证明：∵f（x）＝a x（其中a＞0）的图象过点（2，2），∴a2＝2，∴a=√2，∴f（x）=(√2)x，若函数f（x）＝（√2）x是T函数，则f（x+T）＝T•f（x），即（√2）x+T＝T（√2）x恒成立，故(√2)T=T成立，∴T＝2，∴T＝2时，f（x）为T函数．（Ⅲ）f（x）是T函数的充要条件为a＝b＝0，理由如下，证明：若函数f（x）＝ax2+bx+c是T函数，则f（x+T）＝T•f（x），即a（x+T）2+b（x+T）+c＝T（ax2+bx+c）恒成立，∴ax2+（2aT+b）x+aT2+bT+c＝aTx2+Tbx+aT2+Tc，故{a=aT2aT+b=TbaT2+bT+c=Tc，∴{T=1a=0b=0，∴f（x）＝c，此时，f（x+T）＝Tf（x），∴a＝b＝0是f（x）是T函数的充要条件．。

2020-2021学年北京市大兴区高二下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知，则f'（x）＝（）A．B．C．D．解：∵，∴．故选：D．2．的展开式中常数项为（）A．1 B．6 C．15 D．20解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得展开式中常数项为＝20，故选：D．3．从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（）A．B．C．35D．53解：根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题，有A53种不同方法，故选：A．4．随机变量X的分布列如表所示：X 1 2 3 4 P0.1 m0.3 2m 则P（X≤2）＝（）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m＝1，可得m＝0.2，所以P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．故选：C．5．已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤2）＝0.84，则P（X≤0）＝（）A．0.16 B．0.42 C．0.5 D．0.84解：因为随机变量X～N（1，σ2），则μ＝1，又P（X≤2）＝0.84，所以P（X≤0）＝P（X≥2）＝1﹣P（X≤2）＝1﹣0.84＝0.16．故选：A．6．以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是（）A．r1B．r2C．r3D．r4解：由题中给出的4幅散点图可以看出，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图3是正相关，相关系数大于0，其中图1的点相对更集中，所以相关性更强，故样本相关系数最大的是r1．故选：A．7．甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为（）A．B．C．D．。