北京市东城区2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)

2021-2022学年北京市东城区七年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列四个数中，的倒数是（）A．3B．C．D．﹣32．2021年4月29日11时23分，空间站天和核心舱发射升空．7月22日上午8时，核心舱组合体轨道近地点高度约为384000米，用科学记数法表示384000应为（）A．3.84×105B．3.84×106C．38.4×104D．384×1033．单项式2x2y的次数是（）A．1B．2C．3D．44．下列图形中，能折叠成正方体的是（）A．B．C．D．5．比a的平方小1的数可以表示为（）A．（a﹣1）2B．a2﹣1C．a2+1D．（a+1）26．如图是一个运算程序，若x的值为﹣1，则运算结果为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．47．表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是（）A．a+b＞0B．ab＞0C．a+2＞0D．a﹣b＜08．据北京市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属11家公园及中国园林博物馆共12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为（）A．（1+5.7%）x＝105.23B．（1﹣5.7%）x＝105.23C．x+5.7%＝105.23D．x﹣5.7%＝105.239．下列说法正确的是（）A．若x+1＝0，则x＝1B．若|a|＞1，则a＞1C．若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞ABD．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（）A．S甲＞S乙B．S甲＜S乙C．S甲＝S乙D．不确定二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．若∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，则∠A与∠B的关系是．（填“互余”或“互补”）12．如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是．13．若（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是．（写出一个即可）14．已知m，n为正整数，若a2b+3a﹣4a m﹣1b n合并同类项后只有两项，则m＝，n ＝．15．在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为．16．[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为；若x+2[x]+3[x]+4[x]+…+100[x]＝10100，则x＝．三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-19题，每小题8分，第20题4分，第21题10分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：（1）12+（﹣17）﹣（﹣3）；（2）2×（﹣7）÷（﹣）+（﹣2）2．18．化简多项式2x+y2﹣（y2﹣x），当x＝1，y＝时，求该多项式的值．19．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）有一艘船．同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．（保留作图痕迹）20．若一个角的补角是它的余角的6倍，求这个角的度数．21．解方程：（1）5x+2＝3x﹣18；（2）﹣＝1．22．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝90°，∠BOD和∠COD互补．（1）根据已知条件，可以判断∠AOD＝∠COD，将如下推理过程补充完整（括号内填推理依据）．推理过程：因为∠BOD和∠COD互补，所以∠BOD+∠COD＝°．（）因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．所以∠BOD+∠AOD＝180°，所以∠AOD＝∠COD．（）（2）求∠AOD的度数．23．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：第一步，设共有x辆车；第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为（用含x的式子表示）；第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为（用含x的式子表示）；第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为．24．如图，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的平分线．（1）画出射线OC；（2）若射线OD在∠AOB的内部，且∠BOD＝20°，求∠COD的度数．25．如图，点A，B，C不在同一条直线上．（1）画直线AB；（2）尺规作图：作射线CF交直线AB于点D，使得AD＝2AB（不写作法，保留作图痕迹）．26．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）甲10005乙50010（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？27．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．参考答案一、选择题（本题共20分，每小题2分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列四个数中，的倒数是（）A．3B．C．D．﹣3【分析】根据倒数的概念即可得到答案．解：﹣的倒数是﹣3，故选：D．2．2021年4月29日11时23分，空间站天和核心舱发射升空．7月22日上午8时，核心舱组合体轨道近地点高度约为384000米，用科学记数法表示384000应为（）A．3.84×105B．3.84×106C．38.4×104D．384×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：384000＝3.84×105．故选：A．3．单项式2x2y的次数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据单项式次数的定义来求解．单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．解：根据单项式定义得：单项式2x2y次数是2+1＝3．故选：C．4．下列图形中，能折叠成正方体的是（）A．B．C．D．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．解：A．折叠后有一行两个面无法折起来，缺少一个面，故本选项不合题意；B．折叠后是三棱柱，故本选项不合题意；C．折叠后能折叠成正方体，故本选项符合题意；D．折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺少一个面有两个面重合，不能折成正方体，故本选项不合题意；故选：C．5．比a的平方小1的数可以表示为（）A．（a﹣1）2B．a2﹣1C．a2+1D．（a+1）2【分析】直接利用“a的平方”即为a2，再减1得出答案．解：由题意可得：a2﹣1．故选：B．6．如图是一个运算程序，若x的值为﹣1，则运算结果为（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【分析】根据运算程序可得算式﹣3﹣|﹣1|，先算绝对值，再算减法即可求解．解：依题意有：﹣3﹣|﹣1|＝﹣3﹣1＝﹣4．故选：A．7．表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，以下四个式子中正确的是（）A．a+b＞0B．ab＞0C．a+2＞0D．a﹣b＜0【分析】根据所给数值在数轴上的位置，判断出a、b的范围，进而对所给代数式的正误进行判断即可．解：由图可知：﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴a+b＜0，故A不符合题意；ab＜0，故B不符合题意；a+2＜0，故C不符合题意；a﹣b＜0，故D符合题意；故选：D．8．据北京市公园管理中心统计数据显示，10月1日至3日，市属11家公园及中国园林博物馆共12个景点接待市民游客105.23万人，比去年同期增长了5.7%，求去年同期这12个景点接待市民游客人数．设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为（）A．（1+5.7%）x＝105.23B．（1﹣5.7%）x＝105.23C．x+5.7%＝105.23D．x﹣5.7%＝105.23【分析】根据10月1日至3日接待市民游客人数和增长率列出方程求解即可．解：设去年同期这12个景点接待市民游客x万人，则可列方程为：（1+5.7%）x＝105.23．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．若x+1＝0，则x＝1B．若|a|＞1，则a＞1C．若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞ABD．若AM＝BM，则点M为线段AB的中点【分析】根据线段中点的定义：线段上一点，到线段两端点距离相等的点，可进行判断解答．解：若x+1＝0，则x＝﹣1，故A错误，不符合题意；若|a|＞1，则a＞1或a＜﹣1，故B错误，不符合题意；若点A，B，C不在同一条直线上，则AC+BC＞AB，故C正确，符合题意；若AM＝BM，则点M不一定为线段AB的中点，故D错误，不符合题意．故选：C．10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（）A．S甲＞S乙B．S甲＜S乙C．S甲＝S乙D．不确定【分析】根据图形分别求出S甲＝πab2，S乙＝πba2，再求出S甲﹣S乙＝πab（b﹣a），根据差的正负即可比较大小．解：∵S甲＝π×b2×a＝πab2，S乙＝π×a2×b＝πba2，∴S甲﹣S乙＝πab2﹣πba2＝πab（b﹣a），∵a＞b，∴b﹣a＜0，∴S甲﹣S乙＜0，∴S甲＜S乙，故选：B．二、填空题（本题共12分，每小题2分）11．若∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，则∠A与∠B的关系是互余．（填“互余”或“互补”）【分析】互为余角的两角和为90°，∠A+∠B计算可判断．解：∵∠A＝38°15'，∠B＝51°45'，∴∠A+∠B＝90°；∴∠A与∠B的关系是互余．故答案为：互余．12．如图，正方体纸盒上相对两个面上的数互为相反数，则正方体纸盒六个面上的数中，最小的是﹣2．【分析】由图可知，0，1和2是相邻的面，找出它们每一个面的对面上的数，比较即可解答．解：由题意得：0的对面是0，1的对面是﹣1，2的对面是﹣2，∴正方体纸盒六个面上的数中，最小的是﹣2，故答案为：﹣2．13．若（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，则m的值可以是1（答案不唯一）．（写出一个即可）【分析】直接利用一元一次方程的定义进而得出2m﹣1≠0，即可得出答案．解：∵（2m﹣1）x+1＝0是关于x的一元一次方程，∴2m﹣1≠0，解得：m，∴m的值可以是1．故答案为：1（答案不唯一）．14．已知m，n为正整数，若a2b+3a﹣4a m﹣1b n合并同类项后只有两项，则m＝3，n＝1．【分析】根据同类项的法则即可求出答案．解：由题意可知：a2b与4a m﹣1b n是同类项，∴m﹣1＝2，n＝1，∴m＝3，n＝1，故答案为：3，1．15．在数轴上，点A到原点O的距离为4，则线段OA的中点所表示的数为2或﹣2．【分析】分两种情况，点A在原点的左侧，点A在原点的右侧．解：分两种情况：当点A在原点的左侧，∵点A到原点O的距离为4，∴点A表示的数是：﹣4，∴线段OA的中点所表示的数为：﹣2，当点A在原点的右侧，∵点A到原点O的距离为4，∴点A表示的数是：4，∴线段OA的中点所表示的数为：2，综上所述：线段OA的中点所表示的数为：2或﹣2，故答案为：2或﹣2．16．[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为5；若x+2[x]+3[x]+4[x]+…+100[x]＝10100，则x＝2．【分析】要解此方程，必须先去掉[]，根据[x]是整数，2[x]，3[x]，n[x]都是整数，所以x必是整数，即可求解．解：[x]表示不超过数x的最大整数，当x＝5.2时，[x]表示的整数为5；由于10100是整数，[x]是整数，2[x]，3[x]，…，100[x]都是整数，所以x必是整数．所以原方程化为x+2x+3x+4x+…+100x＝10100，合并同类项得（1+2+3+…+100）x＝10100，适于x＝10100，所以x＝2．故答案为：5，2．三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18-19题，每小题8分，第20题4分，第21题10分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25题6分，第26-27题，每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：（1）12+（﹣17）﹣（﹣3）；（2）2×（﹣7）÷（﹣）+（﹣2）2．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果．解：（1）原式＝12﹣17+3＝﹣（17﹣12）+3＝﹣5+3＝﹣2；（2）原式＝2×（﹣7）÷（﹣）+4＝（﹣14）÷（﹣）+4＝28+4＝32．18．化简多项式2x+y2﹣（y2﹣x），当x＝1，y＝时，求该多项式的值．【分析】先根据整式的加减运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．解：原式＝2x+y2﹣y2+x＝3x+y2，当x＝1，时，原式＝3×1+＝3．19．如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的东北方向（北偏东45°）有一艘船．同时，从B地发现这艘船在它的北偏西60°方向．在图中画出这艘船的位置O．（保留作图痕迹）【分析】利用方向角分别得出北偏东45°方向以及北偏西60°方向的位置进而得出答案．解：如图．这艘船的位置O即为所求．20．若一个角的补角是它的余角的6倍，求这个角的度数．【分析】设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°．根据题意，列方程得180﹣x＝6（90﹣x），求解即可．解：设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°．根据题意，列方程得180﹣x＝6（90﹣x），解得x＝72．答：这个角是72°．21．解方程：（1）5x+2＝3x﹣18；（2）﹣＝1．【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可．解：（1）移项，得5x﹣3x＝﹣20．合并同类项，得2x＝﹣20．系数化为1，得x＝﹣10．所以方程的解为x＝﹣10．（2）去分母，得3（2x+1）﹣2（x﹣1）＝6．去括号，得6x+3﹣2x+2＝6．移项，得6x﹣2x＝6﹣2﹣3．合并同类项，得4x＝1．系数化为1，得．所以方程的解为．22．如图，点O在直线AB上，∠BOC＝90°，∠BOD和∠COD互补．（1）根据已知条件，可以判断∠AOD＝∠COD，将如下推理过程补充完整（括号内填推理依据）．推理过程：因为∠BOD和∠COD互补，所以∠BOD+∠COD＝180°．（补角的定义）因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．所以∠BOD+∠AOD＝180°，所以∠AOD＝∠COD．（同角的补角相等）（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）由同角的互补可证明；（2）由（1）得∠AOD＝∠COD，再由∠BOC＝90°，可得结论．解：（1）推理过程：因为∠BOD和∠COD互补，所以∠BOD+∠COD＝180°．（补角定义）因为点O在直线AB上，所以∠AOB＝180°．所以∠BOD+∠AOD＝180°．所以∠AOD＝∠COD．（同角的补角相等）．故答案为：180；补角的定义；同角的互补相等；（2）因为∠AOB＝180°，∠BOC＝90°，所以∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣90°＝90°．由（1）知∠AOD＝∠COD，所以OD是∠AOC的平分线．所以．23．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法．中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车．则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：第一步，设共有x辆车；第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为3（x﹣2）（用含x 的式子表示）；第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”．可得人数为2x+9（用含x的式子表示）；第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为3（x﹣2）＝2x+9．【分析】直接利用总人数不变得出方程进而得出答案．解：某小组选择用一元一次方程解决问题，请补全他们的分析过程：第一步，设共有x辆车；第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2 辆空车”，可得人数为3（x﹣2）（用含x的式子表示）；第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为2x+9（用含x的式子表示）；第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为：3（x﹣2）＝2x+9．故答案为：3（x﹣2），2x+9，3（x﹣2）＝2x+9．24．如图，∠AOB＝120°，射线OC为∠AOB的平分线．（1）画出射线OC；（2）若射线OD在∠AOB的内部，且∠BOD＝20°，求∠COD的度数．【分析】（1）作∠BOC＝60°即可；（2）根据角平分线的定义求出∠BOC＝60°，根据∠COD＝∠BOC﹣∠BOD即可得出答案．解：（1）如图所示：射线OC即可所求；（2）如图所示：因为OC是∠AOB的平分线，且∠AOB＝120°，所以，因为∠BOD＝20°，所以∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝40°．答：∠COD的度数为40°．25．如图，点A，B，C不在同一条直线上．（1）画直线AB；（2）尺规作图：作射线CF交直线AB于点D，使得AD＝2AB（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）根据直线定义即可画直线AB；（2）利用尺规分左右两侧作出AD＝2AB，进而可以作射线CF．解：（1）如图，直线AB即为所求；（2）如图，射线CF1和CF2即为所求．26．某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：运输公司起步价（单位：元）里程价（单位：元/千米）甲10005乙50010（1）仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？（2）仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？（3）根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？【分析】（1）由收费方式分别求出甲、乙运输公司的收费，然后再比较大小即可．（2）设当运输距离为x千米时，两家公司的收费相同，由两家公司的收费方式列方程，然后解出即可；（3）根据（1）、（2）可以得出结论．解：（1）甲运输公司收费为1000+5×120＝1600（元），乙运输公司收费为500+10×120＝1700（元）．∵1600＜1700，∴该工厂选择甲运输公司更划算；（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，根据题意，得1000+5x＝500+10x，解得x＝100，答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家；（3）当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．27．对于点M，N，给出如下定义：在直线MN上，若存在点P，使得MP＝kNP（k＞0），则称点P是“点M到点N的k倍分点”．例如：如图，点Q1，Q2，Q3在同一条直线上，Q1Q2＝3，Q2Q3＝6，则点Q1是点Q2到点Q3的倍分点，点Q1是点Q3到点Q2的3倍分点．已知：在数轴上，点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2．（1）点B是点A到点C的倍分点，点C是点B到点A的倍分点；（2）点B到点C的3倍分点表示的数是1或4；（3）点D表示的数是x，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，写出x的取值范围．【分析】（1）通过计算，的值，利用题干中的定义解答即可；（2）设这点为E，对应的数字为a，利用分类讨论的思想方法根据＝3分别列出方程，解方程即可得出结论；（3）分两种情况：①点D在点B的左侧，②点D在点C的右侧，分别计算出x的两个临界值即可得出结论．解：（1）∵点A，B，C分别表示﹣4，﹣2，2，∴BA＝﹣2﹣（﹣4）＝2，BC＝2﹣（﹣2）＝4，CA＝2﹣（﹣4）＝6．∵，∴点B是点A到点C的倍分点，∵，∴点C是点B到点A的倍分点．故答案为：；；（2）设这点为E，对应的数字为a，则＝3．当点E在B，C之间时，∵＝3，∴，解得：x＝1．当点E在C点的右侧时，∵＝3，∴＝3，解得：x＝4．综上，点B到点C的3倍分点表示的数是1或4．故答案为：1或4．（3）①点D在点B的左侧，∵＝2，解得：x＝﹣3．∴x的最小值为﹣3．②点D在点C的右侧，∵，解得：x＝5，∴x的最大值为5，综上，线段BC上存在点A到点D的2倍分点，则x的取值范围为：﹣3≤x≤5．。

2021-2022学年北京八中高二（上）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知A （2，√3），B （1，0），则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（5分）（1+x ）4展开式中第3项的二项式系数为（ ） A ．6B ．﹣6C ．24D ．﹣23．（5分）若直线y ＝kx 与双曲线x 29−y 24=1相交，则k 的取值范围是（ ）A ．(0，23) B ．(−23，0)C ．(−23，23)D ．(−∞，−23)∪(23，+∞)4．（5分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）A ．124B ．14C ．1124D ．385．（5分）已知平面α，β的法向量分别为u →=（3，﹣1，4），v →=（﹣2，3，﹣5），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．α，β的位置关系不确定6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五人随机地排成一行，则甲、乙两人相邻，丙、丁两人不相邻的概率为（ ） A ．15B ．14C ．13D ．5127．（5分）已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ） A ．√63B ．√33C ．√22D ．128．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为偶数}，B ＝{两次的点数之和为8}，则P （B |A ）＝（ ） A ．112B ．29C ．13D ．239．（5分）已知直线l 1：x ﹣y +4＝0和直线l 2：x ＝﹣2，抛物线y 2＝8x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（ ） A ．3√2B ．4√2C ．52√2D ．2+2√210．（5分）为迎接第24届冬季奥运会，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，每人只能安排到1个项目，则所有排法的总数为（ ） A ．60B ．120C ．150D ．24011．（5分）如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB ＝DC ＝2，点E 为BC 中点，若直线AE 与CD 所成的角为60°，则三棱锥A ﹣BCD 的体积等于（ ）A ．23B ．43C ．2D ．2√2312．（5分）已知曲线W ：√x 2+y 2+|y |＝1，则曲线W 上的点到原点距离的最小值是（ ） A ．12B ．√22C ．2−√2D ．√2−1二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2021-2022年高二数学上学期期末试卷理（含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）2．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．|a|﹣|b|=|a﹣b| C． D．ab＜b23．（5分）一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（）A．B．C．D．4．（5分）设{an }是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．156．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为11．（5分）已知f（x）=则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为．13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．广东省揭阳一中xx高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣7x+10＜0}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，3）∪（5，+∞）B．（﹣∞，3）∪∪∪（5，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．分析：先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．解答：解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪所以四棱锥的体积为：，所以h=．故选B．点评：本题是基础题，考查三视图与直观图的关系，考查几何体的体积的计算，考查计算能力．4．（5分）设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3=1，再由S3=++1=7可得q=，进而可得a1的值，由求和公式可得．解答：解：设由正数组成的等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，由题意可得a32=a2a4=1，解得a3=1，∴S3=a1+a2+a3=++1=7，解得q=，或q=（舍去），∴a1==4，∴S5==故选：C点评：本题考查等比数列的求和公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）已知如程序框图，则输出的i是（）A．9 B．11 C．13 D．15考点：循环结构．专题：计算题．分析：写出前5次循环的结果，直到第五次满足判断框中的条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出i故选C点评：解决程序框图中的循环结构的问题，一般先按照框图的流程写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）已知θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；三角函数的求值；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用平方法，可得sinθcosθ＜0，再将方程化为标准方程，运用作差法，即可判断分母的大小，进而确定焦点的位置．解答：解：θ是三角形的一个内角，且sinθ+cosθ=，则平方可得，1+2sinθcosθ=，则sinθcosθ=﹣＜0，即sinθ＞0，cosθ＜0，x2sinθ﹣y2cosθ=1即为=1，由于﹣=＜0，则＜，则方程表示焦点在y轴上的椭圆．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意转化为标准方程，考查三角函数的化简和求值，属于中档题和易错题．7．（5分）方程|x|（x﹣1）﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：数形结合法．分析：将方程转化为函数y=k与y=|x|（x﹣1），将方程要的问题转化为函数图象交点问题．解答：解：如图，作出函数y=|x|•（x﹣1）的图象，由图象知当k∈时，函数y=k与y=|x|（x﹣1）有3个不同的交点，即方程有3个实根．故选A．点评：本题研究方程根的个数问题，此类问题首选的方法是图象法即构造函数利用函数图象解题，其次是直接求出所有的根．8．（5分）对于任意实数x，符号表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数，例如=2；=2；=﹣3，这个函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么+++…+的值为（）A．21 B．76 C．264 D．642考点：对数的运算性质．专题：压轴题；新定义．分析：利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知++++…+=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．解答：解：∵=0，到两个数都是1，到四个数都是2，到八个数都是3，到十六个数都是4，到三十二个数都是5，=6，∴++++…+=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6=264故选C．点评：正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）在△ABC中∠A=60°，b=1，S△ABC=，则=2．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：由题意和三角形的面积公式求出c，再由余弦定理求出a，代入式子求值即可．解答：解：由题意得，∠A=60°，b=1，S△ABC=，所以，则，解得c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×=13，则a=，所以==2，故答案为：2．点评：本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式和定理是解题的关键．10．（5分）为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查了部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：先根据分段函数的定义域，选择解析式，代入“不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5”求解即可．解答：解：①当x+2≥0，即x≥﹣2时．x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：2x+2≤5解得：x≤．∴﹣2≤x≤．②当x+2＜0即x＜﹣2时，x+（x+2）f（x+2）≤5转化为：x+（x+2）•（﹣1）≤5∴﹣2≤5，∴x＜﹣2．综上x≤．故答案为：（﹣∞，]点评：本题主要考查不等式的解法，用函数来构造不等式，进而再解不等式，这是很常见的形式，不仅考查了不等式的解法，还考查了函数的相关性质和图象，综合性较强，转化要灵活，要求较高．12．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．考点：等差数列的前n项和；等差数列．专题：压轴题．分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，∴，即∴∴，5+3d≤6+2d，d≤1∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；13．（5分）设点O为坐标原点，A（2，1），且点F（x，y）坐标满足，则||•cos∠AOP 的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足的可行域，再根据平面向量的运算性质，对||•cos∠AOP 进行化简，结合可行域，即可得到最终的结果．解答：解：满足的可行域如图所示，又∵||•cos∠AOP=，∵=（2，1），=（x，y），∴||•cos∠AOP=．由图可知，平面区域内x值最大的点为（5，2）||•cos∠AOP的最大值为：故答案为：．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．14．（5分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足，，则抛物线的方程为y2=4x．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题．分析：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）则可知x1+x2+x3=0，进而表示出A，B，C三点的横坐标，根据抛物线定义可分别表示出|FA|，|FB|和|FC|，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解答：解：设向量的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由得x1+x2+x3=0∵X A=x1+，同理X B=x2+，X C=x3+∴|FA|=x1++=x1+p，同理有|FB|=x2++=x2+p，|FC|=x3++=x3+p，又，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故答案为：y2=4x．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和抛物线定义的运用．涉及了向量的运算，考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q，又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；（2）先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件，然后化简命题，求解实数a的范围．解答：解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]点评：充要条件要抓住“大能推小，小不能推大”规律去推导．16．（12分）已知，函数f（x）=．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知，且α∈（0，π），求α的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据已知条件，利用向量的坐标运算，分别求出向量的数量积和向量的模，进一步把函数的关系式通过三角恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）的函数关系式，根据定义域的取值范围．进一步求出角的大小．解答：解：（1）已知：则：f（x）====所以：函数的最小正周期为：…（2分）…（4分）（2）由于f（x）=所以解得：所以：…（6分）因为：α∈（0，π），所以：则：解得：点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的性质的应用，利用三角函数的定义域求角的大小．属于基础题型．17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．分析：解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解答：解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．18．（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数y=﹣x2+2（0≤x≤）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当t=时，求直路l所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：基本不等式；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：（Ⅰ）求当t=时，直路l所在的直线方程，即求抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（Ⅱ）求出x=t时的抛物线y=﹣x2+2（0≤x≤）的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0＜t＜）上的极大值，也就是最大值．解答：解：（I）∵y=﹣x2+2，∴y′=﹣2x，∴过点M（t，﹣t2+2）的切线的斜率为﹣2t，所以，过点M的切线方程为y﹣（﹣t2+2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+2，当t=时，切线l的方程为y=﹣x+，即当t=时，直路l所在的直线方程为12x+9y﹣22=0；（Ⅱ）由（I）知，切线l的方程为y=﹣2tx+t2+2，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令y=0，得x=，故切线l与线段OC交点为（）．地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，则地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积为S=（2﹣）×2=4﹣t﹣=4﹣（t+）≤2．当且仅当t=1时，取等号．∴当t=100米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为xx0平方米．点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值．属中档题型．19．（14分）已知如图，椭圆方程为（4＞b＞0）．P为椭圆上的动点，F1、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F1作∠F1PF2的外角平分线的垂线F1M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合．分析：（1）延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，利用条件求出M是线段NF1的中点，转化出|OM|=4即可求出M点的轨迹T的方程；（2）可以先观察出轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，再利用同底等高的两个三角形的面积相等，，，知道符合条件的点均在过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2上，再利用点Q是轨迹T内部的整点即可求出点Q的坐标．解答：解：（1）当点P不在x轴上时，延长F1M与F2P的延长线相交于点N，连接OM，∵∠NPM=∠MPF1，∠NMP=∠PMF1∴△PNM≌△PF1M∴M是线段NF1的中点，|PN|=|PF1||（2分）∴|OM|=|F2N|=（|F2P|+|PN|）=（|F2P|+|PF1|）∵点P在椭圆上∴|PF2|+|PF1|=8∴|OM|=4，（4分）当点P在x轴上时，M与P重合∴M点的轨迹T的方程为：x2+y2=42．（6分）（2）连接OE，易知轨迹T上有两个点A（﹣4，0），B（4，0）满足S△OEA=S△OEB=2，分别过A、B作直线OE的两条平行线l1、l2．∵同底等高的两个三角形的面积相等∴符合条件的点均在直线l1、l2上．（7分）∵∴直线l1、l2的方程分别为：、（8分）设点Q（x，y）（x，y∈Z）∵Q在轨迹T内，∴x2+y2＜16（9分）分别解与得与（11分）∵x，y∈Z∴x为偶数，在上x=﹣2，，0，2对应的y=1，2，3在上x=﹣2，0，2，对应的y=﹣3，﹣2，﹣1（13分）∴满足条件的点Q存在，共有6个，它们的坐标分别为：（﹣2，1），（0，2），（2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣2），（2，﹣1）．（14分）点评：本题涉及到轨迹方程的求法．在求动点的轨迹方程时，一般多是利用题中条件得出关于动点坐标的等式，整理可得动点的轨迹方程．20．（14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f（x）=（b，c∈N）有且只有两个不动点0，2，且f（﹣2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知各项不为零的数列{a n}满足4S n•f（）=1，求数列通项a n；（3）如果数列{a n}满足a1=4，a n+1=f（a n），求证：当n≥2时，恒有a n＜3成立．考点：反证法与放缩法；数列的函数特性；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，利用韦达定理可求得，代入f（x）=（b，c∈N），依题意可求得c=2，b=2，从而可得函数f（x）的解析式；（2）由4S n﹣=1，整理得2S n=a n﹣（*），于是有2S n﹣1=a n﹣1﹣（**），二式相减得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，讨论后即可求得数列通项a n；（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，取倒数得=﹣2+≤⇒a n+1＜0或a n+1≥2，分别讨论即可．解答：解：（1）依题意有=x，化简为（1﹣b）x2+cx+a=0，由韦达定理得：，解得，代入表达式f（x）=，由f（﹣2）=＜﹣，得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，故f（x）=，（x≠1）．（2）由题设得4S n•=1，整理得：2S n=a n﹣，（*）且a n≠1，以n﹣1代n得2S n﹣1=a n﹣1﹣，（**）由（*）与（**）两式相减得：2a n=（a n﹣a n﹣1）﹣（﹣），即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1+1）=0，∴a n=﹣a n﹣1或a n﹣a n﹣1=﹣1，以n=1代入（*）得：2a1=a1﹣，解得a1=0（舍去）或a1=﹣1，由a1=﹣1，若a n=﹣a n﹣1得a2=1，这与a n≠1矛盾，∴a n﹣a n﹣1=﹣1，即{a n}是以﹣1为首项，﹣1为公差的等差数列．（3）由a n+1=f（a n）得，a n+1=，=﹣2+≤，∴a n+1＜0或a n+1≥2．若a n+1＜0，则a n+1＜0＜3成立；若a n+1≥2，此时n≥2，从而a n+1﹣a n=≤0，即数列{a n}在n≥2时单调递减，由a2=2知，a n≤a2=2＜3，在n≥2上成立．综上所述，当n≥2时，恒有a n＜3成立．点评：本题考查数列的函数特性，着重考查等差数列的判定，考查推理证明能力，考查转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题． 36365 8E0D 踍37704 9348 鍈4 27966 6D3E 派z ^Ko32962 80C2 胂T32069 7D45 絅26795 68AB 梫。

2022-2023学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知数列{a n }中，a n +1＝3a n ，a 1＝2，则a 4等于（ ） A ．18B ．54C ．36D ．722．甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%．甲不输的概率为90%，则乙不输的概率为（ ） A ．60%B ．50%C ．40%D ．30%3．已知空间向量a →=（1，﹣1，0），b →=（3，﹣2，1），则|a →+b →|＝（ ） A ．√5B ．√6C ．5D ．√264．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →+AD →−CC →1=（ ）A ．AC 1→B ．A 1C →C ．D 1B →D ．DB 1→5．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 5是a 2，a 14的等比中项，则数列{a n }前7项和S 7＝（ ） A ．13B ．49C ．26D ．27﹣16．已知向量a →=(x ，2，4)，b →=(3，y ，−2)，c →=(1，−1，0)，若(a →+c →)∥b →，则x +y ＝（ ） A ．﹣1 B ．﹣3C ．−152D ．﹣87．已知a n =1n 2+n，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2022的值为（ ） A ．20222021B ．20202021C ．20232022D ．202220238．在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯灭的概率是（ ）A ．18B ．38C ．58D ．789．数列{a n }满足a n+1={2a n ，0≤a n ≤122a n −1，12≤a n ＜1，若a 1=25．则a 2022等于（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4=18，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＜k ，则k 的取值范围是（ ） A ．[12，23]B ．[12，+∞)C ．[12，23)D ．[23，+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11．已知向量a →=(1，2，−2)，b →=(−2，−4，k)，若a →⊥b →，则k 的值为 ．12．已知等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最大值为 ． 13．天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为 ． 14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =4a n −1(n ∈N ∗)，则a 8＝ ．15．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，CC 1=C 1D 1=√3，C 1B 1＝1，点P 为线段B 1C 上一点，则C 1P →⋅D 1P →的最小值为 ．16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm ×12dm 的长方形纸对折1次共可以得到10dm ×12dm ，20dm ×6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1＝240dm 2，对折2次共可以得到5dm ×12dm ，10dm ×6dm ，20dm ×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2＝180dm 2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折n （n ∈N *）次，那么S 1+S 2+⋯+S n ＝ dm 2．三、解答题（本大题共6小题，共80分。

2022-2023学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。

在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0}2．从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10B．15C．20D．253．已知a＝lge，b＝e2，c=ln1（e＝2.71828⋯），那么（）10A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b4．如图，曲线y＝f（x）在点（2，2）处的切线为直线l，直线l经过原点O，则f′（2）+f（2）＝（）A．1B．2C．3D．45．在（x﹣2）10的展开式中，x6的系数为（）A．16C104B．32C104C．﹣8C106D．﹣16C1066．如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1B．r2＜r3＜r1C．r3＜r1＜r2D．r1＜r3＜r27．已知等比数列{a n}的首项和公比相等，那么数列{a n}中与a3a7一定相等的项是（）A．a5B．a7C．a9D．a108．已知x＝1是函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣a）的极小值点，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）9．在函数y ＝xlnx ，y ＝cos x ，y ＝2x ，y ＝x ﹣lnx 中，导函数值不可能取到1的是（ ） A ．y ＝xlnxB ．y ＝cos xC ．y ＝2xD ．y ＝x ﹣lnx10．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A ．47B ．23C ．13D ．1611．声压级（SPL ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB （分贝）．人类产生听觉的最低声压为20μPa （微帕），通常以此作为声压的基准值．声压级的计算公式为：SPL =20×lgP P ref，其中P 是测量的有效声压值，P ref 声压的基准值，P ref ＝20μPa ．由公式可知，当声压P ＝20μPa 时，SPL ＝0dB ．若测得某住宅小区白天的SPL 值为50dB ，夜间的SPL 值为30dB ，则该小区白天与夜间的有效声压比为（ ） A ．53B ．10C ．32D ．2012．已知函数f(x)=ae x −12x 2(a ∈R)，①当a ≤0时，f （x ）在区间（0，+∞）上单调递减； ②当0＜a ＜1e 时，f （x ）有两个极值点； ③当a ≥1e 时，f （x ）有最大值． 那么上面说法正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题共6小题，每小题3分，共18分。

2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−432．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．153．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．2554．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，则m ∥β B ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．46．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．27．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点P(x 0，√63)，则cos2α＝（ ） A ．−13B ．±13C ．2√33D ．139．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，给出下列三个结论： ①AC ⊥BE ；②△AEF 的面积与△BEF 的面积相等； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22 C ．√2D ．212．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ） A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立 B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立 C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立 D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 ． 14．在△ABC 中，若BC =3，AC =2√6，B =2A ，则B ＝ ．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝﹣2，且a n +1＝a n +a n +2，n ∈N *，则a 5＝ ；数列{a n }的前2023项的和为 ．16．已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l ．给出下列六个论断：①m ⊥α；②m ∥α；③m ∥l ；④n ⊥α；⑤n ∥α；⑥n ∥l ．以其中两个论断作为条件，使得m ∥n 成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝ ，数列{a n }的所有项的和为 ． 18．已知函数f(x)=λsin(π2x +φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝ ．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ． 三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ． （1）求A ；（2）若b =2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：cosC =−√1010；条件②：a ＝2；条件③：sinB =√55． 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．22．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，AB ＝4，点E 在线段AB 上，且AE =34AB ． （1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列：数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−43解：α∈(π2，π)，且sinα=35，∴cos α＜0，cos α=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45， ∴tan α=sinαcosα=−34． 故选：B ．2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．15解：在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，∴{a 1+d =1a 1+3d =5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则a 8＝a 1+7d ＝﹣1+14＝13． 故选：C ．3．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．255解：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由a 4＝a 2q 2，得8＝2q 2，解得q ＝2或q ＝﹣2（舍去），又a 1=a 2q =22=1，所以S 7=1−271−2127．故选：C ．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，则m ∥βB ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β解：对于选项A ：若α⊥β，则m ∥β也可能m ⊥β，故错误． 对于选项B ：若α⊥β，则m ⊥β也可能m ∥β，故错误． 对于选项C ：若m ∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误． 对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．4解：向量a →=（2，1，x ），若|a →|=√5， 则√22+12+x 2=√5，解得x ＝0； 又向量b →=（2，y ，﹣1），且a →⊥b →， 则a →•b →=4+y +0＝0，解得y ＝﹣4； 所以x +y ＝﹣4． 故选：C ．6．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．2解：∵a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32=12ac sin B =12×2×c ×√32， ∴解得：c ＝1，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√4+1−2×2×1×12=√3． 故选：C ．7．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，当{a n }为递增数列时，公差d ＞0，令a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＞0，解得n ＞1−a 1d ，[1−a1d ]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1−a1d]，当n＞N0时，a n＞0，充分性成立；当n＞N0时，a n＞0，a n﹣1＜0，则d＝a n﹣a n﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63)，则cos2α＝（）A．−13B．±13C．2√33D．13解：∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63 )，∴OP2=x02+69=1，∴x0＝±√33，∴cosα＝±√33，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×x02−1=−1 3，故选：A．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，给出下列三个结论：①AC⊥BE；②△AEF的面积与△BEF的面积相等；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值．其中，所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD1B1B，BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，命题①正确；对于②，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题②错误；对于③，三棱锥A ﹣BEF 的体积为V 三棱锥A ﹣BEF =13•S △BEF •h =13×12×12×1×√22=√224， ∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，命题③正确； 对于综上，正确的命题有2个． 故选：C ．10．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项解：在等差数列{a n }中，由a 5，a 6，a 9成等比数列，得a 62=a 5⋅a 9，即（﹣7+5d ）2＝（﹣7+4d ）（﹣7+8d ）， 解得d ＝2或d ＝0（舍），则a n ＝2n ﹣9，当n ≤4，n ∈N *时，a n ＜0；当n ≥5，n ∈N *时，a n ＞0． ∴{a n }的前6项为：﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3， 又T n ＝a 1•a 2•⋯•a n ，故T 3最小，没有最大值． 故选：A ．11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：∵b i 2=a i−1a i ，令i ＝5，∴b 52=a 4a 5，又∵a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6组成一个公比为12的等比数列，∴b 52=a 4a 5=a 4⋅a 4⋅12=12a 42， 又a 4＞0，b 5＞0， ∴a 4b 5=√2．故选：C ．12．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ）A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 解：因为a n+1=14(a n −6)3+6，故a n+1−6=14(a n −6)3， 对于A ，若a 1＝3，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≤﹣3，即a n ≤3， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系a n ≤3成立； 设当n ＝k 时，a k ﹣6≤﹣3成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−54，−274)，故a k +1﹣6≤﹣3成立， 由数学归纳法可得a n ≤3成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1≥94−1=54＞0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，注意a k +1﹣6≤﹣3＜0，故a n+1−6=14(a n −6)3=(a n −6)×14(a n −6)2≤94(a n −6)，结合a n +1﹣6＜0， 所以6−a n+1≥94(6−a n )，故6−a n+1≥3(94)n−1，故a n+1≤6−3(94)n−1， 若存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立，则6−3(94)n−1＞M ， 故6−M 3＞(94)n−1，故n ＜1+log 946−M3，故a n ＞M 恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立．对于B ，若a 1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤a n ﹣6＜0，即5≤a n ＜6， 证明：当n ＝1时，﹣1≤a 1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤a n ＜6成立； 设当n ＝k 时，5≤a k ＜6成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−14，0)，故﹣1≤a k +1﹣6＜0成立， 即由数学归纳法可得5≤a k +1＜6成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1＜0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，若M ＝6，则a n ＜6恒成立，故B 正确．对于C ，当a 1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜a n ﹣6≤1，即6＜a n ≤7， 证明：当n ＝1时，0＜a 1﹣6≤1，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，6＜a k ≤7成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(0，14]，故0＜a k +1﹣6≤1成立，即6＜a k +1≤7 由数学归纳法可得6＜a n ≤7成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2≤14(a n −6)，结合a n +1﹣6＞0可得：a n+1−6≤(a 1−6)(14)n ，所以a n+1≤6+(14)n ，若a n+1≤6+(14)n ，若存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立，则M −6≤(14)n 恒成立，故n ≤log 14(M −6)，n 的个数有限，矛盾，故C 错误．对于D ，当a 1＝9时，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≥3即a n ≥9， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，a k ≥9成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3≥274＞3，故a k +1≥9成立 由数学归纳法可得a n ≥9成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2＞94(a n −6)，结合a n ﹣6＞0可得：a n+1−6＞(a 1−6)(94)n−1=3(94)n−1，所以a n+1≥6+3(94)n−1，若存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立，则M ＞6+3(94)n−1， 故M ＞6+3(94)n−1，故n ＜log 94(M−63)+1，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误． 故选：B ．二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= 1 ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 (π3，0)（答案不唯一） ． 解：f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，f(π3)=2sin π6=1，则g(x)=2sin(x−π3)，取x−π3=kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z，取k＝0，x=π3，此时对称中心为(π3，0)．故答案为：1；(π3，0)（答案不唯一）．14．在△ABC中，若BC=3，AC=2√6，B=2A，则B＝arccos13．解：由正弦定理得BCsinA =ACsinB，即3sinA=2√6sin2A，所以cos A=√63，所以cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1=13，因为0＜B＜π，所以B=arccos 1 3．故答案为：arccos 1 3．15．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝2；数列{a n}的前2023项的和为1．解：依题意，由a n+1＝a n+a n+2，可得a n+2＝a n+1﹣a n，则a1＝1，a2＝﹣2，a3＝a2﹣a1＝﹣2﹣1＝﹣3，a4＝a3﹣a2＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，a6＝a5﹣a4＝2﹣（﹣1）＝3，a7＝a6﹣a5＝3﹣2＝1，a8＝a7﹣a6＝1﹣3＝﹣2，…∴数列{a n}是以6为最小正周期的周期数列，∵2023÷6＝337……1，∴a2023＝a1＝1，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1﹣2﹣3﹣1+2+3＝0，∴数列{a n}的前2023项的和为：a1+a2+…+a2023＝（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+…+（a2017+a2018+a2019+a2020+a2021+a2022）+a2023＝0+0+…+0+1＝1．故答案为：2；1．16．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．（填上你认为正确的一组序号）解：由平面α和三条不同的直线m，n，l．①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．得：若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．∴以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．故答案为：①④（或③⑥）．17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝48，数列{a n}的所有项的和为384．解：∵数列{a n}的后7项成等比数列，a n＞0，∴a7=√a5a9=√12×192=48，∴a3=a52a7=12248=3，∴公比q=√a5a3=√123=2．∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{a n}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378＝384．故答案为：48；384．18．已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝√3．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ②③ ． 解：在图2中，过B 作BD 垂直x 轴于D ， 由题意可得T =2ππ2=4，∴A ′D ＝2，∴A ′B =√λ2+4，∴AB =√A′B 2+AA′2=√2λ2+4=√10，解得λ=√3或λ=−√3（舍去），∴f （x ）=√3sin （π2x +φ），当x ＝0时，√3sin φ=√32，∵0＜φ＜π，∴φ=π6或φ=5π6，当φ=π6显然不符合图象的变化情况，故舍去， ∴φ=5π6，故①错误； 由题意可得AC =√3+1=2，BC ＝2， ∴cos ∠BAC =10+4−42√10×2=√104，∴AB →•AC →=|AB →|•|AC →|•cos ∠BAC =√10×2×√104=5，故②正确；∵AC ＝BC ＝2，∴过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ，故③正确； ∵|AQ |≤2，二面角为直二面角可得|A ′Q |≤1，∴T 表示的区域的面积为π×12×∠BA′C 2π＜π4，故④错误． 故答案为：√3；②③．三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设{a n }是公差为d 的等差数列， {b n }是公比为q 的等比数列， 由b 2＝3，b 3＝9，可得q =b 3b 2=3， b n ＝b 2q n ﹣2＝3•3n ﹣2＝3n ﹣1； 即有a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 则d =a 14−a 113=2， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n ＝a n +b n ＝2n ﹣1+3n ﹣1，则数列{c n }的前n 项和为[1+3+…+（2n ﹣1）]+（1+3+9+…+3n ﹣1）=12n •2n +1−3n 1−3＝n 2+3n−12．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x =A2sin2x −√3cos2x 的一个零点为π6，∴f （π6）=A 2×√32−√32=0， ∴A ＝2，f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）， ∴T =2π2=π； （2）当x ∈[0，π2]时，2x −π3∈[−π3，2π3]，2sin （2x −π3）∈[−√3，2]，∴f （x ）max ＝2，∴m ≥2，即m ∈[2，+∞）．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ．（1）求A；（2）若b=2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：cosC=−√1010；条件②：a＝2；条件③：sinB=√55．注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．解：（1）在△ABC中，2asinB=√2b⇒2sinAsinB=√2sinB，因为B∈（0，π），sin B＞0，所以2sinA=√2⇒sinA=√22，又A∈（0，π），所以A=π4或A=3π4．（2）若选①，即cosC=−√1010，则π2＜C＜π，所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，sinC=3√1010，则A=π4，则sinB=sin(π−(A+C))=sin(A+C)=sin(π4+C)=√22×(−√1010)+3√1010×√22=√55，由正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC，a=2655√22=2√15，c=26553√1010=6√3，则△ABC存在且唯一确定，△ABC面积为S=12acsinB=12×2√15×6√3×√55=18．若选②，即a＝2，又b=2√6，2asinB=√2b，所以sinB=√3，矛盾，所以②不成立．若选③，由sinB=√55，b=2√6，2asinB=√2b，得a=2√15，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当A=π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2−4√3c−36=0⇒c=6√3或c=−2√3舍；当A=3π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2+4√3c−36=0⇒c=2√3或c=−6√3舍，此时△ABC存在但不唯一确定，所以不合题意．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且AE=34 AB．（1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ， 因为AB ＝4，AE =34AB ，所以AE ＝3，BE ＝1， 所以ABAD=BC BE=2，∠ABC ＝∠EBC ，所以Rt △CBE ∽Rt △BAD ，所以BD ⊥CE ，又因为PD ⊥CE ，PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以CE ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，又因为ABCD 是矩形，AD ⊥CD ， 所以AD ，CD ，PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则C （0，4，0），P （0，0，2），E （2，3，0），A （2，0，0）， 所以PC →=（0，4，﹣2），CE →=（2，﹣1，0）， 设平面PCE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则有{n →⋅PC →=4y −2z =0n →⋅CE →=2x −y =0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝4，于是n →=（1，2，4），因为PD ⊥平面ABCD ，取平面CED 的法向量为m →=（0，0，1），则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=41×1+4+16=4√2121，由图可知二面角P ﹣CE ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值为4√2121； （3）由（2）知AP →=（﹣2，0，2）， 而平面PCE 的一个法向量为n →=（1，2，4），所以点A 到平面PCE 的距离为|AP⋅n →||n →|=√1+4+16=2√217． 23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形， ∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ， 且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形， ∴GE ∥BF ， ∵DE ∥AF ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴平面EDC ⊥平面ABCD ， 作GN ⊥CD 于N ， 则GN ⊥平面EDC ， 连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角， 在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2， ∴sin ∠GEN =GNGE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105；（Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形， ∴EC ∥FH ， ∴EC ∥平面AFH ， 连接AH 交BD 于M ， 则CE ∥平面AFM ， 此时BM MD=BH AD=2，∴BM BD=23．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值． 解：（Ⅰ）根据定义，P （2）数列应满足∀n ∈N *，a n +1≥a n +2， 即a n +1﹣a n ≥2恒成立，对于数列A ：有5﹣3＝2≥2，8﹣5＝3≥2，13﹣8＝5≥2，21﹣13＝8≥2， 均满足，∴数列A 是P （2）数列；对于数列B ：∵5﹣π＜2，不满足，∴数列B 不是P （2）数列； （Ⅱ）不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列． 理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列， 则∀n ∈N *，都有b n +1≥b n +λ，∴b n +1﹣b n ≥λ恒成立， ∵b n+1=b n +√n +3−√n +1， ∴b n +1﹣b n =√n +3−√n +1=2√n+3+√n+11√n ， 当n ＞1λ2时，b n +1﹣b n 1√n λ，这与假设矛盾，∴不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列； （Ⅲ）∵数列{a n }是P （1）数列，∴a n +1≥a n +1， ∴a m ≥a m ﹣1+1≥a m ﹣2+2≥…≥a 1+m ﹣1≥m ，∴a m ﹣1≤a m ﹣1，a m ﹣2≤a m ﹣1﹣1，a m ﹣3≤a m ﹣2﹣1≤a m ﹣3，…，a 2≤a 3﹣1≤a m ﹣（m ﹣2）， a 1≤a 2﹣1≤a m ﹣（m ﹣1），∴a 1+a 2+a 3+…+a m ≤ma m ﹣[1+2+3+…+（m ﹣1）]=ma m −m(m−1)2，∴150≤ma m −m(m−1)2，∴a m ≥150m +m 2−12， ∴a m +m ≥150m +m 2−12=30−12=592， ∵数列{a n }是整数数列，∴a m +m 的最小值不小于30， 假设a m +m ＝30，必有150m+3m 2−12≤30，解得253≤m ≤12，∵m ∈N *，∴m 可取9，10，11，12， 当m ＝9时，a m ＝21，存在满足条件的数列，a 1＝10，a 2＝14，a 3＝15，a 4＝16，a 5＝17，a 6＝18，a 7＝19，a 8＝20，a 9＝21， 当m ＝10时，a m ＝20，存在满足条件的数列，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，a 5＝15，a 6＝16，a 7＝17，a 8＝18，a 9＝19，a 10＝20， 当m ＝11时，a m ＝19，存在满足条件的数列，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝11，a 4＝12，a 5＝13，a 6＝14，a 7＝15，a 8＝16，a 9＝17，a 10＝18，a 11＝19， 当m ＝12时，a m ＝18，存在满足条件的数列，a 1＝7，a 2＝8，a 3＝9，a 4＝10，a 5＝11，a 6＝12，a 7＝13，a 8＝14，a 9＝15，a 10＝16，a 11＝17，a 12＝18， 以上都是a m +a n ＝30的充分条件， ∴a m +m 的最小值为30，此时取得最小值时a m 的所有可能取值为18，19，20，21．。

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知空间中直线l 的一个方向向量，平面的一个法向量，则()A.直线l 与平面平行B.直线l 在平面内C.直线l 与平面垂直D.直线l 与平面不相交3.设F 为抛物线C ：的焦点，则F 到其准线的距离为()A.1 B.2 C.3D.44.已知是数列的前n 项和，，则()A.1B.3C.5D.85.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：支付金额元支付方式大于1000仅使用A 20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是()A.B.C.D.7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为()A.2041年年B.2061年年C.2081年年D.2101年年8.在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为()A. B.1C.D.29.已知，则“，a ，b ，2为等比数列”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误．．的是()A.当，时，曲线C关于中心对称B.当，时，曲线C是轴对称图形C.当，时，曲线C所围成的面积小于D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2021-2022学年北京市东城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）一元二次方程2250x x +-=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A ．2，1，5B ．2，1，5-C ．2，0，5-D ．2，0，52．（2分）下列四个图形中，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（2分）将抛物线2y x =向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是( ) A ．23y x =+B ．23y x =-C ．2(3)y x =+D ．2(3)y x =-4．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，点(2,3)A 关于原点对称的点的坐标是( ) A ．(2,3)-B ．(2,3)-C ．(3,2)D ．(2,3)--5．（2分）用配方法解方程241x x +=，变形后结果正确的是( ) A ．2(2)5x +=B ．2(2)2x +=C ．2(2)5x -=D ．2(2)2x -=6．（2分）中国象棋文化历史久远，在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“⋯”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“⋅”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“⋯”上方的概率是( )A ．18B ．16C ．14D ．127．（2分）如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，点C 为O 上一点，若70ACB ∠=︒，则P ∠的度数为( )A ．70︒B ．50︒C ．20︒D ．40︒8．（2分）如图，线段5AB =，动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿线段AB 运动至点B ．以点A 为圆心，线段AP 的长为半径作圆．设点P 的运动时间为t ，点P ，B 之间的距离为y ，A 的面积为S ．则y 与t ，S 与t 满足的函数关系分别是( )A ．正比例函数关系、一次函数关系B ．一次函数关系，正比例函数关系C ．一次函数关系，二次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系 二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）抛物线23(1)2y x =--+的顶点坐标是 ．10．（2分）若关于x 的一元二次方程220x x m ++=的一根为1-，则m 的值是 ． 11．（2分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式： ．12．（2分）社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球．将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率为 ．13．（2分）2021年全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x ，则可列方程为 ．14．（2分）如图，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆，若110DAE ∠=︒，40B ∠=︒，则C ∠的度数为 ．15．（2分）斛是中国古代的一种量器．据《汉书⋅律历志》记载：“斛底，方而圜(huán)其外，旁有庣(ti āo)焉．”意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆．”如图所示．问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．16．（2分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE CF=，AE，DF交于点P，则APD∠的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分）17．（5分）解方程：2280--=．x x18．（5分）如图，AB为O的弦，OC ABOM MC=，⊥于点M，交O于点C．若O的半径为10，:3:2求AB的长．19．（5分）下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程． 已知：O （如图1)．求作：O 的内接等腰直角三角形ABC ． 作法：如图2． ①作直径AB ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作直线MO 交O 于C ，D 两点； ④连接AC ，BC ．所以ABC ∆就是所求作的等腰直角三角形． 根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC ∴= ．AB 是直径，ACB ∴∠= ( )（填写推理依据）． ABC ∴∆是等腰直角三角形．20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =++的部分图象经过点(0,3)A -，(1,0)B ． （1）求该抛物线的解析式；（2）结合函数图象，直接写出0y <时，x 的取值范围．21．（5分）如图．在平面直角坐标系xOy 中，OAB ∆的顶点坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(4,3)B -．将OAB ∆绕点O 顺时针旋转90︒得到△OA B ''，点A 旋转后的对应点为A '．（1）画出旋转后的图形△OA B ''，并写出点A '的坐标； （2）求点B 经过的路径BB '的长（结果保留)π．22．（5分）2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A ，B ，C ，D 四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字． （1）“A 志愿者被选中”是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然” )； （2）用画树状图或列表的方法求出A ，B 两名志愿者同时被选中的概率． 23．（6分）已知关于x 的一元二次方程2(4)40x k x k -++=． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根小于2，求k 的取值范围．24．（6分）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长为25)m 的空地上修建一个矩形小花园ABCD ．小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如图所示．设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为y 2m ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？25．（6分）如图，AC 是O 的弦，过点O 作OP OC ⊥交AC 于点P ，在OP 的延长线上取点B ，使得BA BP =．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为4，25PC =，求线段AB 的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,)m 和(2,)n 在抛物线2y x bx =-+上． （1）若0m =，求该抛物线的对称轴；（2）若0mn <，设抛物线的对称轴为直线x t =． ①直接写出t 的取值范围；②已知点1(1,)y -，3(2，2)y ，3(3,)y 在该抛物线上，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27．（7分）如图，在等边三角形ABC 中，点P 为ABC ∆内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，连接PP '，BP '． （1）用等式表示BP '与CP 的数量关系，并证明； （2）当120BPC ∠=︒时，①直接写出P BP '∠的度数为 ；②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中．O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦(A B A '''，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”． （1）如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是 ；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m = ； （2）已知直线3(0)3y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC ∆中，3AC =，1AB =．若线段AB 是O 的关于直线3(0)3y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．【解答】解：一元二次方程2250x x +-=的二次项系数，一次项系数，常数项分别是2，1，5-， 故选：B ．2．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．是中心对称图形，故本选项符合题意；D ．不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C ．3．【解答】解：抛物线2y x =向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：23y x =+．故选：A ．4．【解答】解：点(2,3)A ，A ∴点关于原点对称的点为(2,3)--，故选：D ．5．【解答】解：241x x +=， 则24414x x ++=+，即2(2)5x +=， 故选：A ．6．【解答】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处， 位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是2184=， 故选：C ．7．【解答】解：连接OA 、OB ， 70ACB ∠=︒，2140AOB ACB ∴∠=∠=︒，PA ，PB 是O 的切线，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥，360909014040P ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选：D ．8．【解答】解：5y t =-，属于一次函数关系， 2S t π=，属于二次函数关系，故选：C ．二、填空题（每题2分，共16分） 9．【解答】解：23(1)2y x =--+是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(1,2)．故答案为(1,2)．10．【解答】解：把1x =-代入方程，得2(1)2(1)0m -+⨯-+=， 解得1m =． 故答案是：1．11．【解答】解：开口向上，并且与y 轴交于点(0,2)的抛物线的表达式为22y x =+， 故答案为：22y x =+（答案不唯一）．12．【解答】解：由图可知，随着“摸球游戏”的次数增多，“摸出黑球”的频率逐渐稳定在0.2左右， 所以，“摸出黑球”的概率为0.2， 故答案为：0.2．13．【解答】解：依题意得：210(1)12.1x +=． 故答案为：210(1)12.1x +=．14．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转得到ADE ∆， 110DAE BAC ∴∠=∠=︒， 40B ∠=︒，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故答案为：30︒． 15．【解答】解：如图，四边形CDEF 为正方形， 90D ∴∠=︒，CD DE =， CE ∴为直径，45ECD ∠=︒，由题意得 2.5AB =， 2.50.2522CE ∴=-⨯=，22CD ∴== 216．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， AD CD ∴=，90ADE DCF ∠=∠=︒，在ADE ∆和DCF ∆中， AD CD ADE BCD DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADE DCF SAS ∴∆≅∆， DAE CDF ∴∠=∠，90CDF ADF ADC ∠+∠=∠=︒， 90ADF DAE ∴∠+∠=︒， 90APD ∴∠=︒，取AD 的中点O ，连接OP ，则112122OP AD ==⨯=（不变）， 根据两点之间线段最短得C 、P 、O 三点共线时线段CP 的值最小， 在Rt COD ∆中，根据勾股定理得，2222215CO CD OD +=+ 所以，51CP CO OP =-． 故答案为：90︒51-．三、解答题（共68分，17-22题，每题5分，23-26题，每题6分，27-28题，每题7分） 17．【解答】解：(4)(2)0x x -+=， 40x -=或20x +=，所以14x =，22x =-．18．【解答】解：设3OM x =，2MC x =，O 的半径为10， 3210x x ∴+=，解得：2x =， 即6OM =， 连接OA ，OC AB ⊥，OC 过圆心O ，AM BM ∴=，90AMO ∠=︒，由勾股定理得：22221068BM AM OA OM ==--， 8816AB ∴=+=．19．【解答】解：（1）如图所示：（2）证明：连接MA ，MB ．MA MB =，OA OB =，MO ∴是AB 的垂直平分线．又直线MO 交O 于点C ， AC BC ∴=．AB 是直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）， ABC ∴∆是等腰直角三角形．故答案为：BC 、90︒，直径所对的圆周角是直角．20．【解答】解：（1）将(0,3)A -，(1,0)B 代入22y ax x c =++得302ca c -=⎧⎨=++⎩，解得13a c =⎧⎨=-⎩，223y x x ∴=+-． （2）令2230x x +-=， 解得3x =-或1x =，∴抛物线经过(3,0)-，(1,0)，抛物线开口向上， 0y ∴<时，31x -<<．21．【解答】解：（1）如图所示，△OA B ''即为所求．点A '的坐标为(0,5)-；（2）由图知，90AOA ∠'=︒，22345OB =+=，∴点B 在旋转过程中所走过的路径长90551802BB ππ⨯'==． 22．【解答】解：（1）“A 志愿者被选中”是随机事件， 故答案为：随机； （2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中A ，B 两名志愿者同时被选中的结果有2种，A ∴，B 两名志愿者同时被选中的概率为21126=． 23．【解答】（1）证明：△222[(4)]16816(4)0k k k k k =-+-=-+=-，∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：2(4)40x k x k -++=，(4)()0x x k ∴--=， 14x ∴=，2x k =．方程有一根小于2， 2k ∴<，k ∴的取值范围为2k <．24．【解答】解：（1）由题意得：2(402)240y x x x x =-=-+，040225x <-，∴15202x <， y ∴与x 之间的函数关系式为215240(20)2y x x x =-+<；（2）由（1）知，222402(10)200y x x x =-+=--+， 20-<，15202x <， ∴当10x =时，y 有最大值，最大值为200，答：当10x =时，小花园的面积最大，最大面积是2200m ． 25．【解答】（1）证明：OA OC =， C OAC ∴∠=∠，PB BA =， BPA BAP ∴∠=∠，CPO BPA ∠=∠， CPO BAP ∴∠=∠， OP OC ⊥， 90COP ∴∠=︒， 90C CPO ∴∠+∠=︒， 90CAO BAP ∴∠+∠=︒，即90BAO ∠=︒， OA 是O 的半径，AB ∴是O 的切线；（2）解：90COP ∠=︒，4OC =，PC =2OP ∴=， 设BA BP x ==， 90BAO ∠=︒，222AB AO OB ∴+=，2224(2)x x ∴+=+， 3x ∴=，∴线段AB 的长为3．26．【解答】解：（1）若0m =，则点(1,0)在抛物线2y x bx =-+上， 01b ∴=-+，解得1b =，∴抛物线的对称轴为直线112(1)22b x =-=-=⨯--；（2）①2y x bx =-+，∴抛物线开口向下且经过原点，当0b =时，抛物线顶点为原点，0x >时y 随x 增大而减小，0m n >>不满足题意， 当0b <时，抛物线对称轴在y 轴左侧，同理，0n m >>不满足题意， 当0b >时，抛物线对称轴在y 轴右侧，1x =时0m >，2x =时0n <， 即抛物线和x 轴的2个交点，一个为(0,0)，另外一个在1和2之间，∴抛物线对称轴在直线12x =与直线1x =之间， 即112t <<； ②点1(1,)y -与对称轴距离3(1)22t <--<， 点3(2，2)y 与对称轴距离13122t <-<，点3(3,)y 与对称轴距离5232t <-< 312y y y ∴<<．27．【解答】解：（1）BP CP '=， 证明：ABC ∆是等边三角形， AB AC ∴=，60BAC ∠=︒， 2360∴∠+∠=︒将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到AP '，AP AP '∴=，60PAP '∠=︒，1260∴∠+∠=︒， 13∴∠=∠，()ABP ACP SAS '∴∆≅∆， BP CP '∴=；（2）①当120BPC ∠=︒时， 则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒， ABP ACP '∆≅∆， 45∴∠=∠， 47P BP '∴∠=∠+∠ 5608=∠+︒-∠ 606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠ 12060=︒-︒ 60=︒，故答案为：60︒；②2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，//BN CP ∴且BN CP =， BN BP '∴=，96∠=∠，又8660∠+∠=︒， 8960∴∠+∠=︒， 60PBN P BP '∴∠=︒=∠，又BP BP =，P B BN '=，∴△()P BP NBP SAS '≅∆，2PP PN PM '∴==，又APP '∆为正三角形，PP AP '∴=， 2AP PM ∴=．28．【解答】解：（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图， 发现线段11A B 的对称线段是O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45︒，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦，线段33A B =O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22//A B 直线y x m =-+，线段22A B∴线段22A B 的对称线段线段22A B ''线段22A B ，且线段22A B ''=平移这条线段，使其在O 上，有两种可能， 第一种情况：2A '、2B '的坐标分别为(0,1)、(1,0)， 此时3m =；第二种情况：2A '、2B '的坐标分别为(1,0)-、(0,1)-， 此时2m =， 故答案为：3或2；（2）直线(0)y b b =+>交x 轴于点C ，当0y =时，0y b =+=，解得：x ，OC ∴=，b 最大时就是OC 最大， b 最小时就是CO 长最小，线段AB 是O 的关于直线(0)y x b b =+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线y b =+对称线段A B ''在O 上， 3AC AC ∴''==，在△A CO '中，AC OA OC AC OA '-''+'，∴当A '为(1,0)-时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为(2,0)，将点C 代入直线y x b =+中，20b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=15322CD ∴=-=，在Rt △B DC '中，B C '=∴当A '为(1,0)时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为(4,0)，将点C 代入直线y x b =+中，40b +=，解得：b = 过点B '作B D AC '⊥'于点D ， 1A B AO B O ''='='=， 60B A D ∴∠''=︒，12A D ∴'=，B D '=17322CD ∴=+=，在Rt △B DC '中，B C '=43 3，13BC=；最小值为233，7BC=．b∴的最大值为。

2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。

2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共8小题）.1. 一元二次方程2x x--=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是3610A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D.3，-6，-12. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD3. 抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）A. 36°B. 44°C. 54°D. 56°5. 关于频率和概率关系，下列说法正确的是（）.A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等6. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，以A 为圆心AC 为半径画圆，交AB 于点D ，则阴影部分面积是（ ）A.3π- B.6π C.6π-D.π-7. 关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ） A. k 为任何实数，方程都没有实数根B. k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种8. 随着时代的进步，人们对PM 2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM 2.5的值y 1（ug/m 3）随时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时PM 2.5的值的极差（即0时到t 时PM 2.5的最大值与最小值的差），则y 与t 的函数关系大致是（ ）A. B.C. D.二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为___．10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则n＝___．11. 如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________.12. 如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE则OD长为___．13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是___.15. 已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和CD围成的图形（图中阴影部分）的面积S是___.16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为___.三、解答题：17解一元二次方程：2x2﹣2x﹣1＝0．18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝12 MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A（）（填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）．19. 已知关于x的方程2240x x k++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若1k=，求该方程的根．20. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，4OC=，AC=．(1)求点O到AC的距离；(2)求ADC∠的度数．22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：每条线路被选择的可能性相同．（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率． 23. 如图，用一条长40m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为m x ．（1）边BC 的长为___________m ，矩形ABCD 的面积为___________2m （均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是2120m ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是()2,A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(),0B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．25. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD ＝90°，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且∠CED ＝∠BAC ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 延长线交于点F ，若//DE AC ，AB ＝4，AD ＝2，求AF 的长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）①直接写出抛物线的对称轴是________； ②用含a 代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．27. 在△ABC 中，AB ＝，CD ⊥AB 于点D ，CD ． （1）如图1，当点D 是线段AB 中点时， ①AC 的长为 ；②延长AC 至点E ，使得CE ＝AC ，此时CE 与CB 的数量关系为 ，∠BCE 与∠A 的数量关系为 ．（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画∠BCE （点E 与点D 在直线BC 的异侧），使∠BCE ＝2∠A ，CE ＝CB ，连接AE ． ①按要求补全图形； ②求AE 的长．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 一元二次方程2--=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是x x3610A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D.3，-6，-1【答案】D【解析】【详解】对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.故方程3x 2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1. 故选D.2. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B 【解析】【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答． 【详解】∵以点P 为圆心，所得的圆与直线l 相切， ∴直线l 垂直于过点P 的半径， ∵PB ⊥l ，∴PB 的长是圆的半径， 故选：B ．【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键． 3. 抛物线y ＝（x ﹣3）2+1的顶点坐标是（ ） A. （3，1） B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】【分析】根据题目中二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：2(3)1y x =-+，∴此函数的顶点坐标为(3,1)，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记：顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是(,)h k ，对称轴是直线x h =．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝36°，那么∠BAD 等于（ ）A. 36°B. 44°C. 54°D. 56°【答案】C 【解析】【分析】根据题意由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由∠ACD=36°，可求得∠ABD 的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ACD=36°， ∴∠ABD=36°∴∠BAD=90°-∠ABD=54°， 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用． 5. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【解析】【详解】A 、频率只能估计概率； B 、正确； C 、概率是定值；D 、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选B ．6. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，以A 为圆心AC 为半径画圆，交AB 于点D ，则阴影部分面积是（ ）A.3π- B.6πC.6π- D.π-【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到BC==60A∠=︒，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：ABC中，90C∠=︒，30B∠=︒，1AC=，∴BC==60A∠=︒，∴ABCACDS S S∆=-阴影扇形21601123606ππ⨯=⨯=．故选：B．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7. 关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．8. 随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据极差的定义，分别从0t =、010t <、1020t <及2024t <时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案．【详解】解：当0t =时，极差285850y =-=， 当010t <时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43； 当1020t <时，极差2y 随t 的增大保持43不变； 当2024t <时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98； 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是能从函数图象获取相应信息．二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ___． 【答案】22y x =- 【解析】【分析】令抛物线的对称轴为y 轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为2y x m =+，然后把已知点的坐标代入求出m 即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为2y x m =+， 把(0,2)-代入得2m =-，所以满足条件的抛物线解析式为22y x =-． 故答案为：22y x =-（答案不唯一）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则n ＝___． 【答案】1 【解析】【分析】根据随机摸出一个球，它是白球的概率为23，结合概率公式得出关于n 的方程，解之可得n 的值，继而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：2223n =+， 解得1n =，经检验：1n =是分式方程的解， 所以1n =， 故答案是：1．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及解分式方程的步骤．11. 如图，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，当点B 的对应点D 恰好落在AC 边上时，∠CAE 的度数为___________.【答案】50° 【解析】【分析】由旋转可得∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ，则∠CAE=∠CEA ，再由三角形的外角性质可得∠CDE=∠CAE+∠AED 可求出∠CAE 的度数． 【详解】∵△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ∴∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ， ∴∠CAE=∠CEA ， 则∠AED=∠CEA-30°又∵∠CDE=∠CAE+∠AED 即∠CAE+∠CAE-30°=70° 解得∠CAE=50° 故答案为：50°．【点睛】本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系．12. 如图，AB 是⨀O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若∠ABC ＝30°，OE 则OD 长为 ___．【答案】 【解析】【分析】先利用垂径定理得到AD AC =，再根据圆周角定理得到60AOD ∠=︒，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD 的长． 【详解】解：CD AB ⊥，∴AD AC =，223060AOD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，则∠EDO =30°在Rt ODE △中，22OD OE ===，故答案是：【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：【答案】0.9 【解析】【分析】用频率估计概率即可．【详解】解：∵大量实验时成活的频率稳定在0.902， ∴估计树苗移植成活的概率是0.9． 故答案为：0.9．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R ，圆的半径为r ，则R 与r 满足的数量关系是 ___.【答案】4R r =##14r R = 【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形弧长是：901802R Rππ=， 圆的半径为r ，则底面圆的周长是2r π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：22Rr ππ=，即：4R r =，R 与r 之间的关系是4R r =．故答案是：4R r =．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．15. 已知：如图，半圆O 的直径AB ＝12cm ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，则弦AC ，AD 和CD 围成的图形（图中阴影部分）的面积S 是 ___.【答案】26cm π 【解析】【分析】如图，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，由点C ，D 是这个半圆的三等分点可得60AOC COD ∴∠=∠=︒，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出1302CAD COD ∠=∠=︒，再根据OA OC OD ==得，AOC △，COD △都是等边三角形，所以60ACM DOM ∠=∠=︒，AC OC OD ==，可证()ACM DOM AAS ≅，故=COD S S 阴扇形，由扇形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，180603AOC COD DOB ︒∴∠=∠=∠==︒， 1302CAD COD ∴∠=∠=︒，OA OC OD ==，AOC ∴，COD △都是等边三角形，60ACM DOM ∴∠=∠=︒，AC OC OD ==，在ACM △与DOM △中，AMC DMO ACM DOM AC DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM DOM AAS ∴≅，ACMDOM SS ∴=，2260()60362=6(cm )360360COD AB S S πππ⨯⨯⨯⨯∴===阴扇形． 故答案为：26cm π．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，证明ACM DOM ≅，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题的关键．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，N 是A ′B ′的中点，连接MN ，若BC ＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN 的最大值为 ___.【答案】6 【解析】【分析】连接CN ，根据直角三角形斜边中线的性质求出142CN A B =''=，利用三角形的三边关系即可得出结果．【详解】解：连接CN ，如图所示：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4BC =，60B ∠=︒，30A ∴∠=︒，28AB A B BC ∴=''==，NB NA '='，142CN A B ∴=''=， 2CM BM ==，6MN CN CM ∴+=，MN ∴的最大值为6，故选：6．【点睛】本题考查旋转的性质、含30角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．三、解答题：17. 解一元二次方程：2x 2﹣2x ﹣1＝0．【答案】1x ，2x ． 【解析】【分析】先计算2=4b ac -，然后利用求根公式x =．【详解】解：2x 2﹣2x ﹣1＝0， ∵221a b c ==-=-，，， ∴ ()22=4=2+42=12b ac --⨯，∴ x =，∴1x 2x ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并能灵活应用是关键．18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线PA 和直线PB ，使PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝12 MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A（）（填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）．【答案】（1）答案见解析；（2）三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】(1)根据直线的定义，线段的定义，圆的定义作图即可；(2) 连接PE和PF，根据OE=MN，OA=OM=12MN，得到点A是OE的中点，利用PO=PE，证得PA⊥OA于点A，同理PB⊥OB于点B，即可得到结论．【详解】（1）补全图形如图：（2）证明：连接PE 和PF ， ∵OE=MN ，OA=OM=12MN ， ∴点A 是OE 的中点， ∵PO=PE ，∴PA ⊥OA 于点A （ 三线合一 ）． 同理PB ⊥OB 于点B ， ∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴PA ，PB 是⊙O 的切线．（ 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线 ）． 故答案为：三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．．【点睛】此题考查尺规作图--圆，根据语句描述画射线，等腰三角形的三线合一的性质，圆的切线的判定定理，正确理解语句作出图形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 19. 已知关于x 的方程2240x x k ++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根．【答案】（1）5k <；（2）13x =-，21x =【解析】【分析】（1）根据根的判别式△＞0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）将k ＝1代入方程x 2+2x ＋k−4＝0，解方程即可求出方程的解； 【详解】（1）()22414204∆=-⨯⨯-=-k k ．方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．解得5k <；（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式△＝b 2−4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和直线y ＝x ﹣3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）2(1)4y x =--；（2）0m <或3m >． 【解析】【分析】（1）设顶点式2(1)4(0)y a x a =--≠，再把(3,0)代入求出a 得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；（2）先画出直线3y x =-，则可得到直线3y x =-与抛物线的交点坐标为(0,3)-，(3,0)，然后写出抛物线在直线3y x =-上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=．解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）画出直线3y x =-，则可得到直线3y x =-与抛物线的交点坐标为(0,3)-，(3,0)，由上图象可得0m <或3m >．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．21. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，4OC =，AC =． (1)求点O 到AC 的距离； (2)求ADC ∠的度数．【答案】；(2)135°． 【解析】【分析】（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】(1)作OM AC ⊥于M ，∵AC =∴AM CM == ∵4OC =，∴OM ==； (2)连接OA ，∵OM MC =，090OMC ∠=， ∴045MOC MCO ∠=∠=， ∵OA OC =， ∴045OAM ∠=， ∴090AOC ∠=， ∴045B ∠=， ∵0180D B ∠+∠=， ∴0135D ∠=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：每条线路被选择的可能性相同．（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率． 【答案】（）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率．【详解】（1）依题意，共4条路线，每条线路被选择的可能性相同．∴小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是14； （2）依题意，列表可得∴小美和小红恰好选择同一条路线的概率为41=164． 【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． 23. 如图，用一条长40m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为m x ．（1）边BC 的长为___________m ，矩形ABCD 的面积为___________2m （均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是2120m ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．【答案】（1）()20x -；()220x x -+；（2）不可以，见解析【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式求得边BC 的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD 的面积；（2）根据矩形的面积公式得到关于x 的方程，通过解方程求得答案． 【详解】解：（1）根据题意，知边BC 的长为：（20−x ）m ， 矩形ABCD 的面积为：（20−x ）x ＝（−x 2＋20x ）m 2； 故答案是：（20−x ）；（−x 2＋20x ）；（2）若矩形ABCD 的面积是120m 2，则−x 2＋20x ＝120．∵△＝b 2−4ac ＝−80＜0， ∴这个方程无解．∴矩形ABCD 的面积不可以是120m 2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是()2,A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(),0B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b值．【答案】（1）2k =．（2）①3b =；②1b =或3. 【解析】【分析】（1）由直线解析式求得A （2，1），然后代入双曲线y=kx中，即可求得k 的值； （2）①根据系数k 的几何意义即可求得n 的值，得到P 的坐标，继而求得直线PA 的解析式，代入B （b ，0）即可求得b 的值；②分两种情况讨论求得即可． 【详解】（1）∵直线y=12x 与双曲线y=k x的一个交点是A （2，a ）， ∴a=12×2=1， ∴A （2，1）， ∴k=2×1=2； （2）①若m=1，则P （1，n ）， ∵点P （1，n ）是双曲线y=kx上不同于A 的一点， ∴n=k=2， ∴P （1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y=-x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0=-b+3，∴b=3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB=2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y=2x求得x=1，∴P（1，2），由①可知，此时b=3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB=2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时-2，代入y=2x求得x=-1，∴P（-1，-2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y=x-1，∴b=1，综上，b的值为3或1．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，AB ＝4，AD ＝2，求AF 的长．【答案】（1）相切，理由解析；（2）83AF = 【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得CF 2AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =-=-，根据勾股定理列方程可解答．【详解】解：（1）相切． 理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒． 90CED CDE ∴∠+∠=︒． CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠， FAD FCB ∴∆∆∽．∴AD AFCB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =-=-． 在Rt ADF 中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴-=+．解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是求出4BC =．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）①直接写出抛物线对称轴是________； ②用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）①x ＝1；②b ＝－2a ；（2）-1≤a≤23-或10＜a≤11 【解析】【分析】(1) ①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式2b x a=-进一步求解即可；(2)如图，分两种情况：①a>0，②a<0，据此依次讨论即可． 【详解】解：（1）①抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，∴A （0,3），将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴B （2,3），点A 和点B 关于对称轴对称，∴对称轴是：x ＝1；②对称轴为直线2b x a=-=1 ∴b ＝－2a ；（2）由题可知：A （0，3），B （2，3）， ①若a ＞0时，如图1所示，有七个整点， 当x=1时，y=a+b+3=a-2a+3=-a+3， ∵恰有7个整数点（不包括边界）， ∴-8≤-a+3＜-7， ∴10＜a≤11；。

2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷1. 已知向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，那么实数k的值为( )A. 12B. −12C. −2D. 22. 直线l:x−y−√3=0的倾斜角是( )A. 45∘B. 135∘C. 60∘D. 90∘3. 抛物线y2=−2x的准线方程是( )A. y=12B. y=−1 C. x=12D. x=14. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”(英文为：“TogetherforaSharedFuture”)，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：A. 18B. 16C. 112D. 145. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，S n+1=S n+2n，那么a3=( )A. 4B. 5C. 7D. 96. 已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，那么直线A1C与平面AA1D1D 所成角的正弦值为( )A. √66B. √356C. √33D. √637. 如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )A. 15B. 14C. 13D. 128. 圆心为(−1,2)，半径r=3的圆的标准方程为( )A. (x−1)2+(y+2)2=9B. (x+1)2+(y−2)2=9C. (x−1)2+(y+2)2=3D. (x+1)2+(y−2)2=39. 已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD 面积的最小值为( )A. √2B. √32C. √23D. 4√2310. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为( )A. 19B. 536C. 16D. 1311. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )A. 8kmB. 6kmC. 4kmD. 2km12. 对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{a n}是无界的．记数列{a n}的前n项和为S n，下列结论正确的是( )A. 若a n=1，则数列{a n}是无界的nB. 若a n=nsinn，则数列{a n}是有界的C. 若a n=(−1)n，则数列{S n}是有界的D. 若a n=2+1，则数列{S n}是有界的n213. 已知空间向量a⃗=(1,−1,0)，b⃗ =(m,1,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数m=______.14. 在等差数列{a n}中，a1=2，a4=a2+6，则a n=______.15. 两条直线l1：3x−4y−2=0与l2：3x−4y+8=0之间的距离是______.16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是2，且每道题答对与否互不影响，则甲恰3好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.17. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程______.18. 已知点P是曲线ax2+by2=1(其中a，b为常数)上的一点，设M，N是直线y=x上任意两个不同的点，且|MN|=t.则下列结论正确的是______.①当ab>0时，方程ax2+by2=1表示椭圆；②当ab<0时，方程ax2+by2=1表示双曲线；③当a =124，b =18，且t =4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有6个；④当a =124，b =18，且0<t <4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有8个．19. 某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立． 收银台 顾客 A 收银台 B 收银台 C 收银台 甲 a 0.20.4 乙0.3b 0.3(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅰ)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率．20. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA ⊥AD ，PA =AB =2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PA ⊥AB.(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； (Ⅰ)求点B 到平面ACQ 的距离．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21. 已知圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4及点P(3,1).(Ⅰ)判断圆C 和圆C 1的位置关系； (Ⅰ)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，一个顶点为A(0,1).(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅰ)若求点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，且|AB|=43√2，求点B 的坐标．23. 已知无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.设y 1=a(0≤a ≤1). (Ⅰ)若a =14，求y 3的值； (Ⅰ)若y 3=0，求a 的值；(Ⅰ)给定整数M(M ≥3)，是否存在这样的实数a ，使数列{y n }满足： ①数列{y n }的前M 项都不为零；②数列{y n }中从第M +1项起，每一项都是零．若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{a n }，并写出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，∴−48=1−2=k1，∴k=−12，故选：B.利用空间向量共线的坐标运算求解即可．本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由直线l:x−y−√3=0，得y=x−√3，则直线l的斜率k=1，其倾斜角为45∘.故选：A.化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的方程为y2=−2x，∴该抛物线的准线方程为x=12.故选：C.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．4.【答案】B【解析】解：字母e的频数为4个，则字母“e”出现的频率是424=16.故选：B.根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查频数分布表，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：依题意，由S n+1=S n+2n，可知S n+1−S n=2n，当n=2时，a3=S3−S2=22=4.故选：A.先将题干已知条件进行转化，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)代入进行计算即可得到a3的值．本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：连接A1D，如图所示：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，故直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，在长方形AA1D1D中，A1D=√AD2+A1A2=√5，CA1=√A1D2+CD2=√6在Rt△CA1D中，sin∠CA1D=CDCA1=1√6=√66，故选：A.根据棱柱的结构特征，可得直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有C42=6种，选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，故所求的概率为P=26=13.故选：C.由已知结合古典概率公式即可求解．本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9；故选：B.根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，∵四棱锥P−ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，DH=BH，∵O为BD的中点，∴OH⊥BD，∵OC⊂平面ABCD，∴OC⊥PO，∵AB=2，PO=4，∴BD=2√2，OC=√2，在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，为√2√4+2=43，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，∴OH∈[43,4]，又∵S△HBD=12×2√2×OH，∴当OH=43时，△HBD的面积最小，为4√23.故选：D.取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知PO⊥OC，OH⊥BD，所以在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△HBD面积的最小值．本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，又2x+y≤16=24，则x+y≤4，则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种，则事件“2x+y≤16”的概率为636=16，故选：C.根据古典概型概率计算公式可解．本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设震中为P ，依题意有|PB|−|PA|=6<|AB|=10，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A ，P ，B 三点共线时，取等号， 所以|PB|−6+|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B 站的距离至少为8km. 故选：A.设震中为P ，根据双曲线的定义以及|PA|+|PB|≥|AB|=10可求出结果． 本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于A ，∵|a n |=|1n |=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得|a n |≤M 恒成立，∴数列{a n }是有界的，A 错误； 对于B ，|a n |=|nsinn|=n|sinn|，∵|sinn|≤1，∴|a n |≤n ，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得|a n |≤M 恒成立， ∴数列{a n }是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =−1； ∴|S n |≤1，∴存在正数M =1，使得|S n |≤M 恒成立， ∴数列{S n }是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2≤4(2n−1)(2n+1)=4(12n−1−12n+1)， ∴S n =2n +1+122+132+…+1n 2≤2n +4(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=2n +4(1−12n+1)=2n +8n 2n+1=2(n −22n+1+2)，∵y =x −22x+1在(0,+∞)上单调递增，∴n −22n+1∈[13,+∞),∴不存在正数M ，使得|S n |≤M 恒成立，∴数列{S n }是无界的，D 错误． 故选：C.根据已知|a n |≤1恒成立，A 错误；a n =nsinn ，|a n |不存在最大值，即数列{a n }无界；C 项分别在n 为偶数和n 为奇数情况下求和，由此可确定；D 项采用放缩法可判断．本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．13.【答案】1【解析】解：因为a ⃗ =(1,−1,0)，b ⃗ =(m,1,−1)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， 所以m −1=0，解得m =1， 故答案为：1.由a ⃗ ⊥b ⃗ ，可建立关于m 的方程，解出即可．本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3n −1【解析】解：等差数列{a n }中，a 1=2，a 4=a 2+6， 所以a 4−a 2=2d =6， 所以d =3，则a n =a 1+3(n −1)=3n −1. 故答案为：3n −1.由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：两条直线l 1：3x −4y −2=0与l 2：3x −4y +8=0之间的距离是√3+4=2.故答案为：2.由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】40243 310【解析】解：设甲能够答对X 道题目， 则X ∼B(5,23)，P(X =2)=C 52(23)2×(1−23)3=40243，若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为C 32C 52=310.故答案为：40243；310.根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．17.【答案】x2−y24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程)【解析】解：∵渐近线方程为2x±y=0，设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，所以双曲线的方程为x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).故答案为：x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，写出结果即可．本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．18.【答案】②③④【解析】解：方程ax2+by2=1中，当a=b>0时，可表示圆；当ab<0时，ax2+by2=1表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为x 224+y28=1椭圆与直线y=x均关于原点对称，设点P(2√6cosθ,2√2sinθ)，则点P到直线y=x的距离d=|2√6cosθ−2√2sinθ|√2=4|sin(θ−π3)|∈[0,4]；对③：t=4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t=4，d=2√2<4，满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，图1若P不是直角顶点，如图2，则|MN|=t=4，d=4，满足△PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，图2故t=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；<4，对④：0<t<4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t，d=t√2满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个．若P不是直角顶点，如图3，则|MN|=t，d=t<4，满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，图3故0<t<4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；故答案为：②③④．对①②，根据方程ax2+by2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；对③④，求出点P到直线y=x的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论．本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，甲选择A 收银台的概率为a =1−0.2−0.4=0.4，乙选项B 收银台的概率为b =1−0.3−0.3=0.4；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率为0.4×0.3=0.12；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率为1−(1−0.4)×(1−0.3)=0.58. 【解析】(I)根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； 本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)选取条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PA ⊥平面ABCD ； 选取条件②：PA ⊥AB ，证明：∵PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD =A ， ∴PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 则平面ABCD 的一个法向量为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，如图所示：PA =AB =2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，Q(0,1,1)，设平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取y =−1，则x =1，z =1，∴平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， 设平面ACQ 与平面ABCD 夹角为α，则cosα=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=22×√3=√33，故平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为√33； (Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， B(2,0,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，∴点B 到平面ACQ 的距离|n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√3=2√33. 【解析】(Ⅰ)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论； (Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法，即可得出答案；(Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C(1,−2)，半径R =3.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1(3,1)，r =2. ∴|CC 1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13， ∵3−2<√13<3+2， ∴圆C 和圆C 1相交．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，即kx −y +1−3k =0， 则√1+k =3，解得k =0或k =−125， ∴要求的切线方程为y −1=0或12x +5y −41=0.【解析】(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C ，半径R.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1，r.求出圆心距离|CC 1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，根据直线与圆相切的性质即可得出k.本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，上顶点为A(0,1)，所以b =1,ca =√22，即a =√2c ，因为a 2=b 2+c 2，所以2c 2=b 2+c 2，所以b =c =1， 所以a =√2， 所以椭圆E 的方程为x 42+y 2=1.(Ⅰ)由题意易知，斜率不存在时不符合要求．当直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y =kx +1， 由{y =kx +1x 2+2y 2=2，整理得(1+2k 2)x 2+4kx =0， 因为A(0,1)，则B(−4k2k 2+1,1−2k22k 2+1)，由|AB|=4√23，得|AB|=√1+k 2⋅|−4k2k 2+1|=4√23，化简得k 4+k 2−2=0， 解得k 2=1或−2(舍)， 所以点B 的坐标为(±43,−13).【解析】(Ⅰ)根据椭圆中a ，b ，c 的关系求解即可；(Ⅰ)易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +1，联立直线与椭圆的方程，求出B 点坐标，由|AB|=43√2，化简可得k 的方程，解方程求出k 2的值即可求出B 点坐标．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.y 1=a(0≤a ≤1)， ∵y 1=a =14，∴y 2=2y 1=12，y 3=2−2y 2=1. (Ⅰ)y 3=0，(1)当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，∴y 2=0， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=0， 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=1，. (2)当12≤y 2≤1时，y 3=2−2y 2，∴y 2=1， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=12∉[0,12). 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=12. 综上，a =0，1，12. (Ⅰ)存在这样的a.∵y M+1=0，y M ≠0，∴由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12， (1)当0≤y M−2<12时，y M−1=2y M−2，∴y M−2=14， (2)当12≤y M−2≤1时，y M−1=2−2y M−2，∴y M−2=34， 依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−12M−1，n=1，2，3，⋅⋅⋅，2M−2.【解析】(Ⅰ)由y 1=a =14，能求出y 2和y 3.(Ⅰ)y 3=0，当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，求出y 2=0，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=0，若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=1；当12≤y 2≤1时，求出y 2=1，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=12∉[0,12).若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=12.(Ⅰ)存在这样的a.由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12，当0≤y M−2<12时，求出y M−2=14，当12≤y M−2≤1时，求出y M−2=34，依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，由此能求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2021-2022学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，{|12}B x x =-<<，则(A B = )A ．{0，1}B ．{1-，0，1}C ．{0，1，2}D ．{1-，0，1，2}2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．()f x lnx = B ．()2x f x = C ．3()f x x =D ．()sin f x x =3．在等比数列{}n a 中，若23216a a =，则4(a = ) A ．32 B ．16 C ．8 D ．44．在二项式52()x x -的展开式中，含3x 项的系数为( )A ．5B ．5-C ．10D ．10-5．在平面直角坐标系中，角α的终边过点(1,0)-，将α的终边绕原点按逆时针方向旋转120︒与角β的终边重合，则cos (β= ) A ．12 B ．12-C ．32D ．32-6．人类已进入大数据时代．目前，全球年数据产生量已经从TB 级别跃升到PB ，EB 乃至ZB 级别(11024TB GB =，11024PB TB =，11024EB PB =，11024)ZB EB =．由国际数据公司IDC 的研究结果得到2008年至2020年全球年数据产生量（单位：)ZB 的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2008年至2020年全球年数据产生量y 和时间x 的函数模型是( ) A ．y a bx =+ B ．y a b x =+ C ．y a blnx =+D ．x y a be =+7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，过P 作l 的垂线，垂足为M ．若||||MF PF =，则||(PM = )A ．2BC ．4D ．8．已知直线:1l y mx m =--，P 为圆22:4210C x y x y +--+=上一动点，设P 到直线l 距离的最大值为()d m ，当()d m 最大时，m 的值为( )A ．12-B ．32-C ．23D ．29．已知点A ，B ，C 不共线，λ，μ为实数，AP AB AC λμ=+，则“01λμ<+<”是“点P 在ABC ∆内（不含边界）”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知{}n a 是各项均为正整数的数列，且13a =，78a =，对*k N ∀∈，11k k a a +=+与1212k k a a ++=有且仅有一个成立，则127a a a +++的最小值为( )A ．18B ．20C ．21D ．23二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2021-2022学年北京市东城区景山学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分）1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．2．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y＝5B．4x﹣2y＝5C．x+2y＝5D．x﹣2y＝53．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形4．已知坐标原点到直线x+y+a＝0的距离小于，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．D．5．若直线（1+a）x+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（）A．1或﹣1B．2或﹣2C．1D．﹣16．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x+y﹣1＝0D．2x﹣y﹣5＝0 7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与平面AB1C1D所成的角分别为（）A．60°，90°B．45°，30°C．60°，30°D．45°，90°8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．9．已知直线l：ax﹣y﹣2＝0和点P（2，1），Q（﹣3，2），若l与线段PQ相交，则数a 的取值范围是（）A．B．或C．D．或10．圆心为的圆与直线l：x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分）11．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1＝0平行的直线方程是．12．以点A（2，0）为圆心，且经过点B（﹣1，1）的圆的方程是．13．点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则x2+y2的最小值是．14．已知直线l经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．15．圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程是x2+y2﹣1＝0，则实数a的值是．三、解答题（共55分）16．已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y+1＝0．（Ⅰ）求直线l方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．17．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（1，4），C（3，﹣2）．（Ⅰ）高CD所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求平面BCD与平面的CDC1夹角的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．20．已知圆的半径为5圆心在x轴上，圆心横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．21．如图所示，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且，ED∥AF且∠DAF＝90°．（Ⅰ）求BD和面BEF所成的角的正弦值；（Ⅱ）求点C到直线BD的距离；（Ⅲ）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题3分）1．若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A．B．C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据tan120°利用诱导公式及特殊角的三角函数值得到直线l的斜率即可．解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，所以直线l的斜率k＝tan120°＝tan（180°﹣60°）＝﹣tan60°＝﹣．故选：B．2．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）A．4x+2y＝5B．4x﹣2y＝5C．x+2y＝5D．x﹣2y＝5【分析】先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．解：线段AB的中点为，k AB＝＝﹣，∴垂直平分线的斜率k＝＝2，∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣＝2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5＝0，故选：B．3．已知点A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】直接利用空间两点间的距离公式求出三角形AB，AC，BC的长；再根据三个边的长度即可判断三角形的形状．解：因为三角形ABC顶点分别为A（1，﹣2，11），B（4，2，3），C（6，﹣1，4）所以：AB＝；AC＝；BC＝＝所以：AC2+BC2＝89＝AB2由勾股逆定理得：∠ACB＝90°即三角形为直角三角形．故选：B．4．已知坐标原点到直线x+y+a＝0的距离小于，则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．D．【分析】由点到直线的距离公式及题意可得a的范围．解：由点到直线的距离公式可得d＝，由题意可得，解得﹣2＜a＜2，故选：A．5．若直线（1+a）x+y+1＝0与圆x2+y2﹣2x＝0相切，则a的值为（）A．1或﹣1B．2或﹣2C．1D．﹣1【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1＝0的距离等于半径，求得a的值．解：圆x2+y2﹣2x＝0 即（x﹣1）2+y2＝1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1＝0的距离d＝＝1，求得a＝﹣1，故选：D．6．若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3＝0B．2x+y﹣3＝0C．x+y﹣1＝0D．2x﹣y﹣5＝0【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k＝1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2＝25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，AB的斜率k＝＝＝1可得直线AB的方程是y+1＝x﹣2，化简得x﹣y﹣3＝0故选：A．7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与平面AB1C1D所成的角分别为（）A．60°，90°B．45°，30°C．60°，30°D．45°，90°【分析】用平移直线法求异面直线成角；寻找直线与平面成角，转化为解直角三角形问题．解：不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为2，作辅助线如图，O为正方形A1B1BA 中心，因为A1B∥D1C，所以异面直线A1D与D1C所成的角为∠DA1B，因为△DA1B是正三角形，所以∠DA1B＝60°，因为A1B⊥平面AB1C1D，AB在平面AB1C1D内投影是OD，所以∠A1DO是直线A1D与平面AB1C1D所成的角，sin∠A1DO＝＝＝，所以∠A1DO＝30°，故选：C．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．【分析】点A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系，不妨令PA＝AB＝1，根据坐标运算即可判断．解：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB，点A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系，不妨令PA＝AB＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），∴＝（﹣1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（1，0，﹣1），＝（0，1，0），＝（0，0，﹣1），∴•＝﹣1+1+0＝0，•＝1+0+1＝2，•＝0+1+0＝1，•＝0+0+1＝1，故选项B的数量积最大．故选：B．9．已知直线l：ax﹣y﹣2＝0和点P（2，1），Q（﹣3，2），若l与线段PQ相交，则数a 的取值范围是（）A．B．或C．D．或【分析】根据已知条件，结合斜率公式，即可求解．解：∵直线l：ax﹣y﹣2＝0恒过定点A（0，﹣2），且点P（2，1），Q（﹣3，2），∴，，∵l与线段PQ相交，∴或a．故选：D．10．圆心为的圆与直线l：x+2y﹣3＝0交于P、Q两点，O为坐标原点，且满足，则圆C的方程为（）A．B．C．D．【分析】根据所给的圆心设出圆的方程，对于本题是一个选择题目，可以有选择题目特殊的解法，观察四个选项可以看出只有一个圆的方程式正确的．解：∵圆心为，∴设圆的方程式在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即故选：C．二、填空题（每小题3分）11．过点（1，2）且与直线x+2y﹣1＝0平行的直线方程是x+2y﹣5＝0．【分析】设过点（1，2）且与直线x+2y﹣1＝0平行的直线方程为x+2y+m＝0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程．解：设过点（1，2）且与直线x+2y＝0平行的直线方程为x+2y+m＝0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m＝0，m＝﹣5，故所求的直线方程为x+2y﹣5＝0，故答案为：x+2y﹣5＝0．12．以点A（2，0）为圆心，且经过点B（﹣1，1）的圆的方程是（x﹣2）2+y2＝10．【分析】由A和B的坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|的长，即为所求圆的半径，又A为所求圆的圆心，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解：∵A（2，0），B（﹣1，1），∴|AB|＝＝，即圆的半径r＝，又圆心为A（2，0），则圆的方程为（x﹣2）2+y2＝10．故答案为：（x﹣2）2+y2＝1013．点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则x2+y2的最小值是8．【分析】x2+y2的最小值，就是直线到原点距离的平方的最小值，求出原点到直线的距离的平方即可．解：原点到直线x+y﹣4＝0的距离．点P（x，y）在直线x+y﹣4＝0上，则x2+y2的最小值，就是求原点到直线的距离的平方，为：故答案为：814．已知直线l经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是x+y＝5或2x﹣3y＝0．【分析】当直线过原点时，方程为y＝x，当直线不过原点时，设直线的方程为x+y ＝k，把点A（3，2）代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．解：当直线过原点时，方程为y＝x，即2x﹣3y＝0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝k，把点A（3，2）代入直线的方程可得k ＝5，故直线方程是x+y﹣5＝0．综上，所求的直线方程为x+y＝5或2x﹣3y＝0，故答案为：x+y＝5或2x﹣3y＝0．15．圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程是x2+y2﹣1＝0，则实数a的值是2．【分析】先分别将圆的方程化为标准方程，根据对称性可知两圆的圆心连线的斜率为﹣1，半径相等，可求实数a的值解：由题意，将圆的方程化为标准方程为：（x﹣2+（y+1）2＝，x2+y2＝1∵圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0关于直线x﹣y＝1对称的圆的方程是x2+y2﹣1＝0∴∴a＝2故答案为：2三、解答题（共55分）16．已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y+1＝0．（Ⅰ）求直线l方程；（Ⅱ）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【分析】（Ⅰ）联立方程组求得已知两直线的交点坐标，设出与x﹣3y+1＝0垂直的直线方程3x+y+c＝0，代入交点坐标求得c，则直线l方程可求；（Ⅱ）化直线l的方程为截距式，代入三角形面积公式得答案．解：（Ⅰ）由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2）．设直线l的方程为3x+y+c＝0．代入点P坐标得3×（﹣2）+2+c＝0，得c＝4，∴所求直线l的方程为3x+y+4＝0；（Ⅱ）由直线l的方程3x+y+4＝0，得，知它在x轴、y轴上的截距分别是，∴直线l与两坐标轴围成三角形的面积．17．已知△ABC的顶点A（﹣3，0），B（1，4），C（3，﹣2）．（Ⅰ）高CD所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由中点坐标公式写出D的坐标，再结合点A的坐标，即可写出直线CD的方程；（Ⅱ）由A，B两点坐标可得直线AB的斜率与方程，由CD⊥AB，求出CD以及AB的距离，然后求解三角形的面积．解：（Ⅰ）因为A（﹣3，0），B（1，4），所以AB的斜率：＝1又C（3，﹣2），所以高CD所在直线的方程为：y+2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣1＝0．（Ⅱ）因为A（﹣3，0），B（1，4），所以直线AB的方程为y＝x+3，即x﹣y+3＝0，CD＝＝4，AB＝＝4，△ABC的面积：＝16．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE．【分析】对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行．对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求平面BCD与平面的CDC1夹角的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交．【分析】（1）分别证明AC⊥BE，AC⊥EF，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．（3）判断平面BCD的法向量是否与直线FG的法向量垂直，即可证明结论．【解答】（1）证明：在三棱柱ABC﹣AA1B1C1中，因为CC1⊥平面ABC，则四边形A1ACC1为矩形，又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF，因为AB＝BC，则AC⊥BE，又BE∩EF＝E，且BE，EF⊂平面BEF，（2）解：由（1）可知，AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，又CC1⊥平面ABC，则EF⊥平面ABC，又BE⊂平面ABC，则EF⊥BE，以点E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则B（0，2，0），C（﹣1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1），所以，设平面BCD的法向量为，则，即，令y＝﹣1，则x＝2，z＝﹣4，故，又平面CC1D的一个法向量为，所以＝，故平面BCD与平面的CDC1夹角的余弦值为；（3）证明：由（2）可知，平面BCD的一个法向量为，又，因为，所以直线FG与平面BCD相交．20．已知圆的半径为5圆心在x轴上，圆心横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29＝0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax﹣y+5＝0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2＝25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5＝0即y＝ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0．由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故Δ＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在实数a＝，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．21．如图所示，边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且，ED∥AF且∠DAF＝90°．（Ⅰ）求BD和面BEF所成的角的正弦值；（Ⅱ）求点C到直线BD的距离；（Ⅲ）线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）用向量数量积计算直线与平面成角的正弦值；（Ⅱ）转化为求等边三角形的高；（Ⅲ）用向量数量积，由垂直条件列方程，根据方程有解判断存在性．解：（Ⅰ）因为平面ADEF⊥平面ABFC，平面ADEF∩平面ABFC＝AF，又因为∠DAF＝90°，所以AD⊥平面ABFC，又因为ABFC是正方形，所以AB、AC、AD两两垂直，建系如图，由题意知B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），＝（﹣2，0，2），＝（﹣1，1，2），＝（0，2，0）令＝（2，0，1），因为•＝0，•＝0，所以是平面BEF的法向量，所以BD和面BEF所成的角的正弦值为＝＝．（Ⅱ）因为AB＝AC＝AD＝2，BD＝DC＝BC＝2，所以点C到直线BD的距离为BC•sin60°＝2•＝．（Ⅲ）假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，，λ＞0，P（），C（0，2，0），＝（），＝（0，2，0），要使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，只要•＝0，•＝0，即2﹣（1+2λ）＝0，解得，所以当＝时，过P、A、C三点的平面和直线DB垂直．。

2021-2022学年北京市东城区高二（上）期末英语试卷1.（填空题，12分）On a freezing January morning,Jonny Benjamin,then a 20-year-old college student,climbed on the edge of Waterloo Bridge in London.That morning,Jonny（1）___ from a mental health hospital,where he'd been diagnosed （诊断） with a severe disease.He headed straight to the（2）___ ，convinced that his disease was a life sentence.Hundreds of people passed by.Only one man called Neil Laybourn,then 25，（3）___ and quietly walked to Jonny's side."You're alright,man？Why are you sitting on a bridge？"At first Jonny wanted Neil to leave him（4）___ ，but something in Neil's calm,down-to-earth manner touched him.Jonny felt （5）___ ，like he could talk to him."It's cold here.Why not have some coffee in a warm cafe？Everything will be OK. " For the first time after the diagnosis Jonny felt perhaps it really might.He（6）___ back.The police,having received calls from passers-by,were waiting there.They quickly put him into a police car,（7）___ he was to panic and jump.He lost sight of Neil,the person who'd brought him hope.Jonny ended up back in hospital.Eventually,he was（8）___ enough to return to university and finish his degree.Over the next six years,Jonny often thought about the（9）___ who had talked him round.（10）___ to thank him in person,he posted a Facebook message nicknaming the good man Mike.His Find-Mike post was （11）___ millions of times around the world,as far as Canada.Jonny was overexcited when Neil called him two weeks after his post.They had areunion,finally having that coffee they had first planned all those years ago."Many people walked past,but because of Neil's（12）___ and sympathy,I've lived a good life." Jonny said.（1）A.called B.heard C.escaped D.recovered （2）A.bridge B.hotel C.college D.clinic（3）A.nervously B.bravely C.anxiously D.calmly（4）A.out B.alone C.aside D.off（5）A.passion B.happiness C.power D.faith（6）A.walked B.climbed C.leaned D.returned（7）A.in case B.now that C.so that D.even though （8）A.kind B.clever C.well D.old（9）A.friend B.doctor C.stranger D.policeman （10）A.Afraid B.Ashamed C.Surprised D.Eager（11）A.shared B.praised C.opened D.published （12）A.courage B.kindness C.patience D.devotion2.（填空题，8分）If you are looking for a place to eat in Calgary,you've got a variety of choices,like Italian,Thai,Mexican,modern comfort food,and vegetarian cuisine.For anyone that wants to narrow down their must-eat list,here are the best restaurants in Calgary.Foreign ConceptADDRESS：10111 St SW，Calgary,ABT2 R，CanadaPHONE：403-719-7289Foreign Concept is run by award-winning chef Duncan Ly and chef Hyungjae Lim.Serving modern Asian cuisine,the dishes take their inspiration from Ly's Vietnamese roots and Lim's Korean background.No matter what you order,dishes always emphasize seasonal and local ingredients（食材）.Bold flavors won't disappoint you at Foreign Concept!Alumni SandwichesADDRESS：72517 Ave SW，Calgary,AB T2 S，CanadaPHONE.403-455-7257The simple sandwich isn't so ordinary anymore at Alumni Sandwiches.The place is friendly and inviting,and there are always around 10 sandwich flavours available,so whether you're a vegetarian,meat eater,picky eater,or prepared for a fancy dinner,something on the menu is sure to appeal to you.Don't miss the Caesar salad,made with whatever greens happen to be in season. Bow Valley Ranche RestaurantADDRESS：15979 Bow Bottom Trail SE，Calgary,AB T2 J，CanadaPHONE：403-476-1311If it's fine dining you're looking for,Bow Valley Ranche Restaurant is one of your best choices in Calgary.The food is always excellent and the setting is equally impressive.Only a short drive from Calgary's downtown,Bow Valley puts emphasis on Canadian produce and proteins,from Rocky Mountain game meats（野味）to seasonal vegetables.RougeADDRESS：12408 Ave SE，Calgary,AB T2 G，CanadaPHONE：403-531-2765Less than a ten-minute drive from downtown,Rouge is an award-winning restaurant set in a historic house in Calgary's Inglewood neighborhood.The menu here puts the focus firmly on fresh,seasonal ingredients,highlighting their natural beauty.Many of those ingredients are grown in the on-site garden,making the dishes even more special.（1）A man who likes Asian cuisine may prefer to eat at ___ .A.Alumni SandwichesB.RougeC.Bow Valley Ranche RestaurantD.Foreign Concept（2）According to the passage,Alumni Sandwiches ___ .A.provides fruit saladsB.offers different choiceses Rocky Mountain produceD.is set in a friendly historic house（3）In what way are the four restaurants similar？ ___A.They use seasonal ingredients.B.All their chefs have won awards.C.They are not far from downtown.D.Their settings are equally friendly.（4）The passage is probably taken from ___ .A.a food diaryB.a research paperC.a news reportD.a travel brochure3.（填空题，8分）Huang Danian,the well-known Chinese geophysicist,was born in 1958 in Guangxi,China.As a keen and able student,Huang went to the UK in 1993 to further his studies. By the time Huang moved back to China in 2008，he had been living and working in the UK for 15 years.He had a good job and a life there,but he gave it all up to return to home driven by the idea that he needed to contribute to his country.As one of the world's leading experts in deep earth exploration technology,Huang was invited to participate in the "Thousand Talent" programme.He took up a position at Jilin University,Changchun.Huang was named lead scientist on China's deep earth exploration programme,developing advanced cameras that can see through the Earth's crust（外壳）so that it can be analysed without having to dig into it.He set up an advanced lab,sometimes paying for equipment with his own money.Some described him as a "lunatic"（a "madman"），but this passion and drive enabled Huang to push forwards China's deep earth exploration technology into a world-leading position.Huang's devotion contributed to China's lunar probe（月球探测器）Yutu being landed on the moon in 2013 and the launch of the spacecrafts Shenzhou-11 and Tiangong-2 in 2016.Huang's health also paid the price for his commitment to his work.He began having fainting fits（昏厥）in 2012，but paid them little attention,stating he did not have time to go to see adoctor- his work always came first.In November 2016，Huang fainted and was taken to hospital,where he was diagnosed with cancer.The disease was so advanced that he had just a couple of months to live.Like the true scientist he was,Huang never gave up,but always tried to push forwards.Even from his hospital bed,he continued his work,writing letters of reference for his colleagues and replying to questions from his students.Huang died in January 2017，aged just 58.More than 800 people attended his funeral to celebrate a life that burned so bright,but was so short.（1）Huang returned to China in 2008 because ___ .A.he desired to devote himself to his motherlandB.the "Thousand Talent" program attracted himC.Jilin University offered him a top positionD.he wasn't satisfied with the life in the UK（2）What is Paragraph 3 mainly about？ ___A.China's aerospace development.B.Huang's working attitude and style.C.Huang's great contributions to China.D.China's deep earth exploration technology.（3）What can we learn from the last two paragraphs？ ___A.The working environment caused Huang's disease.B.Huang worked continuously despite his poor health.C.Huang was taken to hospital after he fainted in 2012.D.A large sum of money was paid to treat Huang's illness.（4）Which of the following can be used to describe Huang Danian？ ___A.Generous and honest.B.Passionate and patient.C.Modest and courageous.D.Patriotic and committed.4.（填空题，8分）Improve Cloud SecuritySensitive customer data has constantly been found exposed on cloud servers without password protection.To ease the problem,database software makers have been trying to make security easier for cloud database managers.At the Enigma Conference in San Francisco,Kenn White,a security manager at database software maker MongoDB，will describe a new technique,called field level encryption,to make data safer on the cloud.Field level encryption works by scrambling data before it's sent to a cloud database and rearranging it in order when the data is needed for use.The promise of the product is to protect the contents of a cloud database,even if bad guys access it.MongoDB's new feature comes as more and more companies move user data to cloud servers,rather than run their own costly data centers.It was predicted that cloud computing would be a ﹩214 billion industry by the end of 2019.That would be up more than 17% from 2018，when it was ﹩182 billion.Companies have rushed to the cloud without understanding all of the possible security consequences.Many companies have left countless databases exposed,revealing personal data.A database containing details about who lives in 80 million US households was left unprotected in 2019，just like the data on Facebook users.Database managers want to store their data in an unreadable form,but they also want to be able to find specific pieces of information in the database with a simple search term.For example,someone might want to look up health care patients by their Social Security numbers,even if those numbers are stored as random characters.To make this possible,field level encryption lets database managers encrypt a search term on their machine and send it to the database as a query.The database matches the encrypted version of the search term with the record it's storing and then sends it back to you.This approach only works with specific kinds of data.For example,field level encryption isn't useful for long text entries,like notes in a patient's medical chart,because you can't search for individual words.Still,for data like account numbers,passwords and government ID numbers,field level encryption protects data and maintains a usable database.Most importantly,White said,it's simple to set up.Database managers turn it on with a one-time configuration change when they set up the database. "That's really powerful," he said in an interview.（1）The underlined word "scrambling" in paragraph 2 probably means ___ .A.mixingB.collectingC.hidingD.storing（2）What can field level encryption do？ ___A.Secure the safety of Internet pages.B.Protect files with a unique style of storage.C.Stop bad guys from accessing the database.D.Enable companies to store files on the cloud.（3）What can be inferred from the passage？ ___panies should move user data to cloud servers.B.Cloud computing achieved a 17% increase in 2019.panies may be unaware of the risks of the cloud.D.No companies were willing to run their own data centers.（4）The author wrote the passage mainly to ___ .A.present some factsB.offer security adviceC.introduce a techniqueD.recommend a product5.（问答题，9分）In much of the western world,governments now require people to wear masks when they are in crowded public spaces.That is good news,for masks could both save lives and allow people to get back to work.And to help economies restart safely,government should require people to wear face coverings in crowded public spaces.People think of masks as something protecting them from dirty things in the air.But in the case of COVID-19，their more important job is to protect others from an infected wearer.That is because of one of the unusual characteristics of this disease：it seems likely that infection by people who have not,or not yet,developed symptoms（症状） makes up about a third to a half of the cases.So even if everybody with symptoms stays at home,the virus will still spread.Masks block the respiratory droplets（呼吸道飞沫） that carry the virus,so make risky situations safer.There are signs that masking is useful.Even home-made face coverings can block droplets.Experiments show that a piece of cloth over the mouth and face can block 60% of droplets—not as good as a medical mask,but much better than nothing.East Asian countries' success in controlling the disease argues in favour of masks.Wearing masks to protect against pollution or disease is common there,so people covered their faces as soon as they were informed of COVID-19. In the West,mask-wearing is alien.And in all of the countries where mask-wearing is common practice,the epidemic （流行病） was quickly controlled.This is not unquestionable evidence in favour of masks.Other factors distinguish those mask-wearing countries from bare-faced Western nations：some,such as China and South Korea,have strict track-and-trace systems and carry out mass coronavirus testing.Yet the combination of this natural global experiment,laboratory studies and asymptomatic transmission（无症状传播）suggests that masks can help keep people safe.Lockdown destroyseconomies.Social distancing damages them.Masks cost next to nothing.They will not by themselves stop an epidemic.Hand-washing,track-and-trace systems and widespread testing are all crucial,too.But masks can do their bit to protect people and rebuild economies.（1）What is the key job of masks in COVID-19 epidemic according to the writer？ ___（2）Please paraphrase the underlined sentence in your own words. ___（3）Please underline the inappropriate part in the following statement and explain why. ___ （4）Please briefly present what can be done to fight against COVID-19. （about 40 words） ___6.（填空题，10分）AJust like spoken language,body language varies from culture to culture.The gesture for "OK" has different（1）___ （meaning） in different cultures.In Japan,someone who witnesses another person employing the gesture might think it means money.In France,a person encountering an identical gesture may interpret it as meaning zero.However,you should avoid （2）___ （make） this gesture in Brazil and Germany,as it （3）___ （consider） impolite.BTu Youyou,a committed and patient scientist,was born in Ningbo,China,（4）___ 30 December 1930，and graduated from Peking University Medical School in 1955.After she graduated,she （5）___ （work）at the China Academy of Traditional Chinese Medicine in Beijing.In 1967，the Chinese government formed a team of scientists with the objective of discovering a new treatment for malaria,and Tu Youyou was among the first researchers（6）___ （choose）.In the beginning,Tu Youyou went to Hainan,（7）___ malaria was more common,to study malaria patients.CToday we（8）___ （use）chemicals in almost every part of our lives,hoping to make life faster and more convenient.（9）___ we are most familiar with may be the chemical we use at home to kill flies and other disease-carrying pests.Farmers also use them in the soil（10）___ （help） their plants grow fast and become strong.However,the discovery of new ways to use chemicals have brought problems as well as benefits.7.（填空题，3分）involve thanks to available break down overcome comfort（1）As long as you don't lose heart,you'll find a way to ___ the difficulty.（2）___ the work of John Snow,we now know how to prevent cholera.（3）A smile can help us get through difficult situations and ___ barriers.（4）A good teacher is able to ___ her students when they are upset.（5）Mr.Leach is on holiday and is not ___ for the moment.（6）It is beneficial for teenagers to ___ themselves in social activities after school.8.（填空题，4分）severe present distant different（1）I was asked to give a ___ about my vacation plan in English.（2）The UN sent food to ten African countries ___ affected by the drought last month.（3）The beach is within walking ___ of my house.（4）His methods for studying English ___ from mine completely.9.（问答题，13分）假如你是李华，你的英国朋友Jim所在学校要组织学生来北京游学，其中一天的活动安排为游览主题公园。