2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷1. 下列直线中，斜率为1的是( )A. x+y−2=0B. x−1=0C. x−y+1=0D. x−√2y−1=02. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为( )A. 0.56B. 0.14C. 0.24D. 0.943. 若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为(1,y0)，则实数a的值为( )A. −1B. −12C. 1D. 24. 已知圆C：x2+y2−4y+3=0，则圆C的圆心和半径为( )A. 圆心(0,2)，半径r=1B. 圆心(2,0)，半径r=1C. 圆心(0,2)，半径r=2D. 圆心(2,0)，半径r=25. 农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下(单位：cm)：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21.根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是( )A. 甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差B. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值C. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数D. 甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差6. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件A∪B的概率是( )A. 118B. 29C. 718D. 497. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√3x，则双曲线的离心率为( )A. √62B. 2√33C. √3D. 28. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A. (−1,2,3)B. (1,−2,3)C. (1,2,−3)D. (−1,−2,−3)9. 已知椭圆C的焦点为F1(0,−2)，F2(0,2).过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A. x29+y25=1 B. y29+x25=1 C. x236+y232=1 D. y236+x232=110. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是底面A 1B 1C 1D 1上一点．若AP//平面BEF ，下列说法正确的是( )A. 线段AP 长度最大值为√5，无最小值B. 线段AP 长度最小值为3√22，无最大值 C. 线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22 D. 线段AP 长度无最大值，无最小值11. 某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为______.12. 已知圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，则r =______.13. 如图，在四面体O −ABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，其中x ，y ，z ∈R ，则x =______，y =______，z =______.14. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，F 是抛物线的焦点，直线FM 交x 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则焦点F 坐标是______，|FN|=______.15. 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于2π减去该点处所有面角之和(多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角)，一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是π2，所以正方体在各顶点处的曲率为2π−π2×3=π2.按照以上约定，四棱锥的总曲率为______；若正十二面体(图1)和正二十面体(图2)的总曲率分别为θ1和θ2，则θ1−θ2______0(填“>”，“<”或者“=”).16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图． 组号分组 频数 1[0,2) c 2[2,4) 8 3[4,6) 17 4[6,8) 22 5[8,10) 25 6[10,12) 12 7[12,14) 6 8[14,16) 2 9[16,18) 2合计 100a ，b 的值；(Ⅰ)从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CC1=CB=2，且AC⊥CB，AA1⊥㡳面ABC，E为AB中点．(Ⅰ)求证：BC⊥A1C；(Ⅰ)求证：BC1//平面A1CE.18. 已知直线l：2x−y+4=0与x轴的交点为A，圆O：x2+y2=r2(r>0)经过点A. (Ⅰ)求r的值；(Ⅰ)若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB|.19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1. (Ⅰ)求直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；(Ⅰ)求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；(Ⅰ)求点A到平面A1EC的距离．20. 已知椭圆C：x2a2+y24=1(a>0)的焦点在x轴上，且经过点E(2,√2)，左顶点为D，右焦点为F.(Ⅰ)求椭圆C的离心率和△DEF的面积；(Ⅰ)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y=4的垂线，垂足为G.判断直线AG是否于y轴交于定点？请说明理由．21. 对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i= 1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．(Ⅰ)判断集合B={1,3,5,7,9}是否为平衡集，并说明理由；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7.答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线x +y −2=0即y =−x +2，其斜率为−1；直线x −1=0即x =1，其斜率不存在；直线x −y +1=0即y =x +1，其斜率为1；直线x −√2y −1=0即y =√22x +√22，其斜率为√22.∴斜率为1的是x −y +1=0.故选：C.把直线方程变形，求得直线的斜率得答案．本题考查直线的方程，考查直线斜率的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为0.8×0.7=0.56.故选：A.根据相互独立事件的乘法公式求解即可．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵直线x −ay =0与直线2x +y −1=0的交点为(1,y 0)，∴{1−ay 0=02+y 0−1=0，解得：a =−1. 故选：A.把两直线的交点坐标分别代入两直线方程，求解得答案．本题考查两直线交点的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，即x 2+(y −2)2=1，即圆心为(0,2)，半径r =1；故选：A.根据题意，将圆的方程变为标准方程，分析可得答案．本题考查圆的一般方程，注意一般方程的形式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A ，甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13， 则甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差，故A 错误；对于B ，x −甲=16×(9+10+10+11+12+20)=12，x −乙=16×(8+10+12+13+14+21)=13，故甲种麦苗样本株高的平均值小于乙种麦苗样本株高的平均值，故B 错误；对于C ，甲种麦苗样本株高的中位数为10+112=10.5，乙种麦苗样本株高的中位数为13+142=13.5， 则甲种麦苗样本株高的中位数小于乙种麦苗样本株高的中位数，故C 错误； 对于D ，甲种麦苗株高的方差S 12=16[(9−12)2+(10−12)2+(10−12)2+(11−12)2+(12−12)2+(20−12)2]=413， 乙种麦苗株高的方差S 22=16[(8−13)2+(10−13)2+(12−13)2+(13−13)2+(14−13)2+(21−13)2]=503， 所以甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差，故D 正确．故选：D.根据已知条件，结合平均数，中位数，极差，方差公式，即可求解．本题主要考查中位数，平均数，极差和方差的求解，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，事件A ∪B 表示“两个点数之和等于8或至少有一颗骰子的点数为5”， 又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为36种，事件A ∪B 包含的基本事件为：(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(4,5)，(6,5)(5,5)共14种，则事件A ∪B 的概率为1436=718， 故选：C.根据和事件的概率的求法可解．本题考查和事件的概率的求法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√3x ，∴ba =√3， ∴e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a2=2. 故选：D.根据双曲线的几何性质，化归转化思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．8.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,2,3)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−1,2,3).故选：A.根据关于yOz 平面对称，x 值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：因为椭圆C 的焦点为F 1(0,−2)，F 2(0,2)，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，依题意{c =24a =12a 2=b 2+c2，解得a =3,b =√5，所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1，故选：B.根据已知条件求得a ，b ，由此求得椭圆C 的标准方程．本题考查了椭圆的方程，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，∵MN//B 1D 1//EF ，MN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴AMN//平面BEF ，同理可得AM//平面BEF ，∵MN ∩AM =M ，MN ，AM ⊂平面BEF ，∴点P 的轨迹为线段MN ，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∴MN =√12+12=√2，AN =AM =√22+12=√5， 当P 与点M 或N 重合时，AP max =√5，当P 为线段NM 的中点时，AP min =(√5)−(√22)=3√22，∴线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22. 故选：C.分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，根据面面平的判定定理可得平面AMN//平面BEF ，故点P 的轨迹为线段MN ，当P 与点M 或N 重合时，线段AP 最长，当P 为线段NM 的中点时，线段AP 长度最小，求解即可．本题考查线段长的最值问题，属中档题．11.【答案】90【解析】解：某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人，则高三年级有2400−800−700=900，采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，则240×9002400=90.故答案为：90.根据已知条件，先求出高三年级的人数，再结合分层抽样的定义，即可求解．本题主要考查分层抽样方法，属于基础题．12.【答案】4【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径R =1；圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)的圆心C(3,4)，半径r.|OC|=√32+42=5，∵圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，∴|OC|=R +r ，∴r =5−1=4，故答案为：4.根据两圆外切的性质：圆心距与半径的和的关系即可得出结论．本题考查了两圆外切的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】12 14 14【解析】解：∵D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，∴x =12，y =14，z =14，故答案为：12，14，14.利用空间向量的线性运算求解即可．本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】(0,1)3【解析】解：∵抛物线方程为x 2=4y ，∴抛物线的焦点F(0,1)，焦点到准线的距离p =2，又直线FM 交x 轴于点N ，且M 为线段FN 的中点，∴y M =12y F =12，∴|MF|=p 2+y M =1+12=32，又M 为线段FN 的中点，∴|FN|=2|MF|=3.故答案为：(0,1)；3.根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求解．本题考抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．15.【答案】4π=【解析】解：四棱锥有4个三角形、一个四边形，5个顶点，四棱锥的总曲率为：2π×5−(π×4+2π)=4π；正十二面体有12个正5边形，20个顶点，每个面的内角和为(5−2)π=3π，所以θ1=(2π−3π5×3)×20=4π，正二十面体有20个正三角形，12个顶点，每个面的内角和为π，所以θ2=(2π−π3×5)×12=4π.所以θ1−θ2=0，故答案为：4π；=.根据曲率、总曲率的知识求得正确答案．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得c =100−8−17−22−25−12−6−2−2=6，a =17100×2=0.085，b =25100×2=0.125；(Ⅰ)由题意可得：从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，2人恰好在同一个数据分组的概率为1−12C 21CC 42=1−23=13. 【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图，结合频数分布表求解即可；(Ⅰ)由频数分布表，结合古典概型及概率计算公式求解即可．本题考查了频率分布直方图，重点考查了古典概型及概率计算公式，属基础题．17.【答案】证明：(Ⅰ)由AC ⊥CB ，AA 1⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则A 1(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，E(1,1,0)，C 1(0,0,2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BC ⊥A 1C ；(Ⅰ)BC 1→=(0,−2,2)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，设平面A 1CE 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n →⋅A 1C →=0n →⋅CE →=0,即{−2x −2z =0x +y =0， 令x =1，则n ⃗ =(1,−1,−1)，因为n ⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，所以n ⃗ ⊥BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BC 1⊄平面A 1CE ，所以BC 1//平面A 1CE.【解析】(Ⅰ)由题意建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积即可；(Ⅰ)求出平面A 1CE 的一个法向量，利用法向量与BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，即可证明BC 1//平面A 1CE.本题主要考查了线线、线面平行的证明问题，也考查了空间向量及其应用问题，是中等题．18.【答案】解：(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，∵圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)经过点A ，∴r =√(−2)2+0=2. (Ⅰ)∵点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，∴k l =−12，直线l 的方程为：y =−12(x +2)，即x +2y +2=0，圆心O 到直线l 的距离d =2√5， ∴弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√22−(2√5)2=8√55. 【解析】(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，代入圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)，即可得出r.(Ⅰ)由点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，可得k l =−12，可得直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心O 到直线l 的距离d ，即可得出弦长|AB|=2√r 2−d 2.本题考查了直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(2,0,2)，C(0,3,0)，B(2,3,0)，C 1(0,3,2)，E(2,1,0)，所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，所以cos <A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=−√105， 故直线A 1E 与直线BC 1所成角的余弦值为√105.(Ⅰ)因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，设平面A 1EC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0， 令y =2，则x =2，z =1，于是m ⃗⃗⃗ =(2,2,1)，设BC 1与平面A 1EC 所成角为θ，则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=2√2×3=√26， 所以BC 1与平面A 1EC 所成角的正弦值为√26. (Ⅰ)又A(2,0,0)，∴EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， ∴点A 到平面A 1EC 的距离d =|EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√4+4+1=23. 【解析】(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用空间向量的数量积求解直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值即可；(Ⅰ)求出平面A 1EC 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．(Ⅰ)利用向量法可求点A 到平面A 1EC 的距离．本题主要考查直线与直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查点到面和距离的求法，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为x 2a 2+y 24=1(a >0)经过点E(2,√2)， 所以4a 2+24=1(a >0)，解得a =2√2.所以椭圆C:x 28+y 24=1,c =√8−4=2， 所以e =c a =2√2=√22； 因为左顶点为D ，右焦点为F ，所以D(−2√2,0),F(2,0)，所以S △DEF =12(2√2+2)×√2=2+√2.(Ⅰ)已知直线y =kx +1与椭圆C 交于A ，B 两点．过点B 作直线y =4的垂线，垂足为G ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，则AG 的方程为y y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)， 令x =0，则y =−x 2[4−(kx 1+1)]x 2−x 1+4x 2−4x 1x 2−x 1=kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，① 联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得(1+2k 2)x 2+4kx −6=0， 因为y =kx +1过定点(0,1)，(0,1)在椭圆内，所以y =kx +1与椭圆恒有两个交点，故Δ>0,{x 1+x 2=−4k 1+2k 2x 1x 2=−61+2k2， 所以kx 1x 2=−6k1+2k 2=32(x 1+x 2). 代入①，可得y =32(x 1+x 2)+x 2−4x 1x 2−x 1=−52x 1+52x 2x 2−x 1=52， 故直线AG 与y 轴交于定点(0,52).【解析】(Ⅰ)根据椭圆经过点E(2,√2)可求出a =2√2，从而可求离心率，求出D ，F 的坐标，从而可求△DEF 的面积；(Ⅰ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得kx 1x 2=32(x 1+x 2),AG 的方程为y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)，令x =0，得y =kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，代入kx 1x 2=32(x 1+x 2)化简即可求解． 本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：对于正整数集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }(n ∈N ∗,n ≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i (i =1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为平衡集．根据“平衡集”的定义知，当集合为{1,3,5,7,9}时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的平衡集，所以集合B={1,3,5,7,9}不是平衡集．(Ⅰ)证明：设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M.由题意可知，M−a i(i=1,2,3...,n)均为偶数，因此a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．(1)当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，由于M=a1+a2+...+a n，所以n为奇数．(2)当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，此时可设a1=2b1，因为{a1,a2,...,a n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，所以{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)也为“平衡集”．重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“平衡集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n也为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)知集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，不妨假设：当n=3时，显然任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，设集合{a1,a2,a3,a4,a5}，其中a1<a2<a3<a4<a5}，将集合{a1,a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4①或a5=a1+a3+a4②；将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4③或a5=a2+a3+a4④，由①，③可得a1=a2，矛盾；由①，④可得a1=a2，矛盾；由②，③可得a1=a2，矛盾；由②，④可得a1=a2，矛盾．因此当n=5时，不存在“平衡集”；当n=7时，设集合A={1,3,5,7,9,11,13}，去掉元素1，3+5+7+9=11+13；去掉元素3，1+9+13=5+7+11，去掉元素5，9+13=1+3+7+11；去掉元素7，1+9+11=3+5+13，去掉元素9，1+3+5+11=7+13；去掉元素11，3+7+9=1+5+13，去掉元素13，1+3+5+9=7+11，所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”．因此集合A中元素个数n的最小值是7.故集合A中元素个数n≥7.【解析】(Ⅰ)利用平衡集的定义直接判断求解．(Ⅰ)设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M，推导出a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，从而n为奇数；当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，设a1=2b1，推导出{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，当n=3时，任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，推导出不存在“平衡集”；当n=7时，推导出集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数n≥7.本题考查平衡集的定义、元素与集合的关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2022-2023学年北京市第十二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A =“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A 互斥而不互为对立的是（ ） A ．都是黑球 B ．恰好有1个黑球 C ．恰好有1个红球 D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球， 在A 中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误，在B 中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B 正确， 在C 中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误， 在D 中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D 错误． 故选：B ．2．若向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a b c λ=-=-=，满足条件()1c a b -⋅=-，则λ=（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得()(0,2,1)c a λ-=-，再通过数量积运算即可得解. 【详解】根据向量的运算可得： ()(0,2,1)c a λ-=-，所以()012(2)(1)1c a b λ-⋅=⨯+⨯-+-⨯4131λλ=-+-=--=-，所以2λ=-， 故选：B3．椭圆2221x y +=的焦点坐标为（ ） A ．12(1,0),(1,0)F F - B ．12(0,1),(0,1)F F -C ．12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D ．120,,F F ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据题意可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==，求得22212c a b =-=即可得解.【详解】由2221x y +=可得22112x y +=，故该椭圆焦点在y 轴上，2211,2a b ==， 所以22212c a b =-=，22c =， 故焦点坐标为12220,,0,22F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D4．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 5．已知12,F F 是双曲线22146x y-=的两个焦点，点P 在双曲线上，若15PF =，则2PF =（ ）A ．1或9B ．3或7C ．9D ．7【答案】C【分析】由题知点P 在双曲线左支上，进而根据双曲线的定义求解即可；【详解】解：由题知，2,a b c ===因为P 在双曲线上，且152PF a c =<+=所以，点P 在双曲线左支上，由双曲线定义知2124PF PF a -==，故29PF =； 所以，29PF = 故选：C6．在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（ ） A ．(1,1,3)-- B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，由OA ，OB 不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解. 【详解】由(1,2,1)OA =，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB 不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-， 故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-， 经验算只有B 选项符合条件， 此时1,2λμ==， 故选：B7．2||12x y y -=-表示的曲线为（ ） A ．两个半圆 B ．一个圆 C ．半个圆 D ．两个圆【答案】A【分析】去方程中的绝对值符号，平方整理，再分类讨论方程表示的曲线即可得解. 【详解】依题意，||10x -≥，则有1x ≤-或1x ≥，当1x ≤-时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔--=--⇔++-=， 此时方程表示以点O 2(-1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =-1及左侧的半圆， 当1x ≥时，2222||1211(1)(1)(1)1x y y x y x y -=-⇔-=--⇔-+-=， 此时方程表示以点O 1(1，1)为圆心，1为半径的圆在直线x =1及右侧的半圆， 如图，2||12x y y -=-.故选：A8．已知点A ，B 是椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>长轴上的两个顶点，点P 在椭圆上（异于A ，B 两点），若直线,PA PB 斜率之积为43a ca -，则椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．14C ．23D ．34【答案】C【分析】根据题意可设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，即22222a n m a b-=-，由(,0),(,0)A a B a -，则2222243PA PBn n n b a ck k m a m a m a a a-⋅=⋅==-=+--，整理解方程即可. 【详解】设P 点坐标为(,)m n ，则22221m n a b +=，22222a n m a b-=-，不妨设(,0),(,0)A a B a -， 则22222222243PA PBn n n n b a ck k a n m a m a m a a a b-⋅=⋅===-=+---， 整理可得223440c ac a +-=，即23e 4e 40+-=，23e =或2e =-（舍）， 故选：C9．已知圆22:(7)(1)2C x y -+-=和两点(0,),(0,)(0)A a B a a ->，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则a 的最大值为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，进而根据圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】解：因为圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=， 所以，以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，因为以AB 为直径的圆的方程为222:O x y a +=，圆心为()0,0O ，r a = 因为圆C 的圆心为()7,1C，半径为R =所以r R OC r R -≤=+，即r R r R -≤+，所以，R r R ≤≤，即a ≤≤所以，a的最大值为故选：C10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11D C 的中点，F 是侧面11ADD A 的中心，则F 到平面1EB C 的距离为（ ）A 26B 10C ．32D 3【答案】A【分析】连接1A D ，证明1//A D 平面1CEB ，进而将其转化为D 到平面1EB C 的距离，再根据等体积法求解即可.【详解】解：连接1A D ，因为F 是侧面11ADD A 的中心， 所以1F A D ∈，因为，由正方体的性质知1111//,A B CD A B CD =， 所以，11A B CD 是平行四边形， 所以11//A D CB ，因为1A D ⊄平面1CEB ，1CB ⊂平面1CEB 所以1//A D 平面1CEB ，所以，F 到平面1EB C 的距离与D 到平面1EB C 的距离相等， 设D 到平面1EB C 的距离为h1CEB 中，115,22EB CE BC ==11225262CEB S =⨯-△ 因为111111133D EB C B E CEB C CED D V V S h S B C --==⋅⋅=△△，1136111423323CED S B C ⨯⨯===⋅△，解得266h =所以，F 到平面1EB C 26故选：A11．已知椭圆22:14x E y +=，直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ．且与椭圆E 有且只有个公共点，O 是坐标原点，则OMN 面积的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．2D ．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l 方程为y kx b =+，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数k 和b 之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解. 【详解】若要直线l 与两个坐标轴分别交于点M ，N ， 则直线l 的斜率存在，故设直线l 方程为y kx b =+， 代入到椭圆方程2214x y +=可得222(41)8440k x kbx b +++-=，根据提意可得222222644(41)(44)6416160k b k b k b ∆=-+-=-+=， 所以2241k b +=，根据题意对方程y kx b =+，0,0k b ≠≠， 所以令0x =得y b =，令0y =得bx k=-，所以2211114111422222OMNb b k SOM ON b k k k k k+=⋅=⋅-===+ 111(4)422k k k k=+⋅=， 当且仅当14k k=时取等，所以OMN 面积的最小值是2. 故选：D12．设圆22:2O x y +=，直线:40l x y +-=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，给出下列四个结论：①当四边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为(2,2)②||PA 的取值范围为)+∞③当PAB 为等边三角形时，点P 坐标为(1,3) ④直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，利用||||||||OA OB AP BP ===，求出||2PO =，再设00(,)P x y ，利用004y x =-，解方程||2PO =，可知①不正确；对于②，设00(,)P x y ，利用004y x =-， ||AP ==||AP ≥②正确对于③，根据PAB 为等边三角形，可得30APO BPO ∠=∠=，||OP =P 的坐标，利用||OP =对于④，设出点P 的坐标，求出以||PO 为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦AB 的方程，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立，可得答案. 【详解】对于①，当四边形OAPB 为正方形时，||||||||OA OB AP BP ===，又圆22:2O x y +=的圆心(0,0)O ，半径r =所以||2PO ==， 设点00(,)P x y ，则004y x =-，所以||PO ===2=，化简得200460x x -+=，该方程的判别式16240∆=-<，该方程无解，所以不存在点P 使得四边形OAPB 为正方形，故①不正确；对于②，由①可知，||AP ==≥PA 的取值范围为)+∞，故②正确； 对于③，设点00(,)P x y ，则004y x =-， 当PAB 为等边三角形时，可知60APB ∠=，又OP 平分APB ∠，所以30APO BPO ∠=∠=，在直角三角形PAO 中，由于||OA =所以||sin ||OA APO OP ∠=，即2sin30||OP =，所以||OP =又点00(,4)P x x -=化简得20(2)0x -=，解得02x =，所以0042y x =-=，则(2,2)P ，故③不正确；对于④，设点00(,)P x y ，则004y x =-，00(,4)P x x -，以||PO 为直径的圆的圆心为004(,)22x x -，半径为||2PO =所以以||PO 为直径的圆的方程为222200004(4)()()224x x x x x y -+--+-=， 化简得2200(4)0x y x x x y +---=，联立220022(4)02x y x x x y x y ⎧+---=⎨+=⎩，得00(4)2x x x y +-=， 所以直线AB 的方程为：00(4)2x x x y +-=，将12x y ==代入直线AB 的方程恒成立， 故直线AB 恒过定点11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故④正确.所以正确的答案有2个， 故选：B.二、填空题13．一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，4，x ，7，8（其中7x ≠），若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是__________.【答案】6【分析】先求出众数，进而求得中位数，解出6x =，再由百分位数的求法求解即可. 【详解】由题意知，众数是4，则中位数为5454⨯=，则452x+=，解得6x =，又660% 3.6⨯=，则第60百分位数是6. 故答案为：6.14．过椭圆22143x y +=的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为________．【答案】3【分析】根据题意即求通径大小，先求1c =，令1x =代入椭圆方程求得32y =±即可得解.【详解】由2221c a b =-=，故1c =， 不妨令1x =，代入22143x y +=可得294y =， 所以32y =±，故弦长为3.故答案为：315．已知直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=，若12l l //，则m =________． 【答案】2【分析】由题知()210m m -+-=，进而解方程并检验即可得答案. 【详解】解：因为直线12:210,:(1)10l x my l m x y --=--+=平行， 所以，()210m m -+-=，即220m m --=，解得：1m =-或2m = 当1m =-时，12:210,:210l x y l x y +-=--+=，显然重合，舍； 当2m =时，121:0,:102l x y l x y --=-+=，满足12l l //. 所以，2m = 故答案为：2 16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点P ⎫⎪⎝⎭，双曲线C 的离心率为53，则双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为_______． 【答案】4【分析】利用已知条件先求出双曲线的标准方程，找出一个焦点和一条渐近线， 利用点到直线距离公式求解即可.【详解】由双曲线经过点P ⎫⎪⎝⎭，则222221a b ⎝⎭-=，① 双曲线离心率为：53c e a ==，②又222+=a b c ，③联立①②③解得：2229,16,25a b c ===， 所以双曲线标准方程为：221916x y -= 所以双曲线的一个焦点为()5,0， 一条渐近线为430x y -=，所以双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为：4d ==，故答案为：4.17．已知椭圆22195x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，且1260F PF ︒∠=，则21PF F 的面积是________． 【解析】根据椭圆的定义，得到12PF PF +的值，再由1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，用余弦定理，求出12PF PF ，根据三角形面积公式，即可得出结果.【详解】根据椭圆定义，可得1226PF PF a +==，且椭圆的焦距为124F F ==，又1260F PF ︒∠=，在21PF F 中，由余弦定理，可得222121212121cos 22PF PF F F F PF PF PF +-∠==， 所以()22221121212122PF PF PF PF F F PF PF +--=， 即211236162122PF PF PF PF --=，所以21203PF PF =， 因此21PFF的面积是1221211120sin 223PF F S PF PF F PF =∠=⨯=. . 18．如图，在直三棱柱111ABC A BC 中，11AB BB ==，BC =90ABC ∠=︒，CH xCB =，1(01,01)CP yCB x y =<≤≤≤．记(,)f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ； ②(,)f x y 的最小值为3；③满足(,)3f x y =的点P 有无数个；④当(,)f x y 取最小时，过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，则截面面积为154．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①②③④【分析】过点H 作01HP B C ⊥，根据线面垂直判定定理，面面垂直判定定理证明平面0AHP ⊥平面110A B P ，由此判断①；作展开图，利用平面几何结论判断②，③；确定过点A ，H ，P 作三棱柱的截面，解三角形计算截面面积，判断命题④.【详解】因为三棱锥111ABC A B C 为直三棱锥，所以1BB ⊥平面111A B C ，又11A B ⊂平面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥， 1111BB B C B =，111,BB B C ⊂平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，对于任意点H ，过点H 作01HP B C ⊥，垂足为0P ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，0HP ⊂平面11BB C C ，所以110A B HP ⊥，又1111B CA B B =，111,B C A B ⊂平面110A B P ，所以0HP ⊥平面110A B P ，又0HP ⊂平面0AHP ，所以平面0AHP ⊥平面110A B P ； 所以对于任意点H ，都存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B P ；命题①正确；将ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1B C 的距离，又11AB BB ==，3BC =，90ABC ∠=︒，190B BC ∠=，所以112AC CB AB ===，所以点A 到直线1B C 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3；②正确；当(,)f x y 取最小时，P 为1B C 的中点，因为1AB C 为等边三角形，点B 为线段1AB 的中点，所以H 为1AB C 的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，11,PB M PCH B PM HPC ∠=∠∠=∠，所以1PB M PCH ≅，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，则1//MN AQ ，因为1//BH B Q ，1=BH B Q ，所以四边形1BB QH 为平行四边形，所以11//,HQ BB HQ BB =，又1111,//AA BB AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，又2323133AH ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，11323MN A Q ==， 22233MH MQ HQ =+=， 22112AN AA A N =+=，在下图中过点M 作MG AH ⊥，设,HG x AG y ==， 因为222MH HG AG =+，()222AN AG MN NG =-+， 所以22243x y MH +==，22323x y ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以36x =，52y =， 所以四边形AHNM 的面积35152224MN AH S AG +=⋅=⨯=， 故过点A ，H ，P 的截面面积为154．命题④正确；当52HB ≥时，32AH ≥，则12AH HP AH HB AH +≤+≤，在下图中过点H 作HR BC ⊥，垂足为R ，则AH HP AH HR +≥+， 又2AH HR AH HC +<+<，23AH ≥，故对于任意的点H ，当52HB ≥时，都存在对应的点P ，满足3AH HP +=，故满足(,)3f x y =的点P 有无数个；命题③正确；故答案为：①②③④.【点睛】对于求空间中的线段和的距离最小值的问题，一般通过转化为平面图形中的线段和问题加以解决.三、解答题19．为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来检测培育的某种植物的生长情况，现分别从,,A B C 三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）：假设所有植株的生产情况相互独立．从,,A B C 三组各随机选1株，A 组选出的植株记为甲，B 组选出的植株记为乙，C 组选出的植株记为丙． (1)求丙的高度小于15厘米的概率； (2)求甲的高度大于乙的高度的概率；(3)表格中所有数据的平均数记0μ．从,,A B C 三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次14，16，15（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为1μ，试比较0μ和1μ的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)27(2)1049(3)01μμ<【分析】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”， 事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”，利用互斥事件求出概率即可；（2）由（1）中的事件分析直接求出“甲的高度大于乙的高度” 的概率， （3）依题意分别计算出0μ和1μ比较即可.【详解】（1）设事件i A 为“甲是A 组的第i 株植物”，事件i B 为“乙是B 组的第i 株植物”，事件i C 为“甲是C 组的第i 株植物”，其中1,2,3,,7i =，由题意得：1()()(),1,2,3,,77i i i P A P B P C i ====，设事件D 为“丙的高度小于15厘米”， 由题知12D C C =⋃，且12,C C 互斥， 所以丙的高度小于15厘米的概率为： ()()()()1212112777P D P C C P C P C ==+=+=. （2）设事件E 为“甲的高度大于乙的高度”， 所以甲的高度大于乙的高度的概率为：()()()()()()()415161115262P E P A B P A B P A B P A B P A B P A B =+++++ ()()()()72637374P A B P A B P A B P A B ++++11111111117777777777=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 11111111117777777777+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1110107749=⨯⨯=.（3）由题意得：01(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819)14.67+++++++++++≈，11(1011121314151612131421μ=⨯+++++++++ 1516171813141516171819141615)14.71++++++++++++++≈，所以01μμ<.20．已知圆C 的圆心在直线30x y -=上，且经过点(1,3),(1,5)A B -． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点(2,1)P 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】(1)()()22134x y -+-= (2)34100x y +-=或2x =【分析】（1）由已知设出圆心的坐标(),3a a ，再求出AB 的中点M ，利用AB CM ⊥求出a的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题；（2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出直线的斜率即可解决问题.【详解】（1）因为圆C 的圆心在直线30x y -=上， 所以设圆C 的圆心为：(),3a a ， 由(1,3),(1,5)A B -， 所以AB 的中点()0,4M ， 由题知：AB CM ⊥， 所以1AB CM k k ⋅=-， 即()53341110a a --⋅=----，解得1a =，所以圆心为()1,3C ，半径2R AC ===所以圆C 的标准方程为：()()22134x y -+-=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点(2,1)P ， 所以方程为：2x =，代入()()22134x y -+-=中解得：3y =±(()||33MN =-=满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为：1(2)210y k x kx y k -=-⇔--+=， 由圆心()1,3C 到直线l 的距离为：d ==由2222MN R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2222=+⎝⎭，解得：34k =-，所以直线l 的方程为：34100x y +-=， 综上，直线l 的方程为：34100x y +-=或2x =.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，60BCD ∠=︒，2PA PD ==，E 为BC 的中点，点Q 在侧棱PC 上.（1）求证：AD PB ⊥；.（2）若Q 是PC 的中点，求二面角E DQ C --的余弦值； （3）若PQPCλ=，当//PA 平面DEQ 时，求λ的值.【答案】（1）见解析；（221；（3）23λ=.【详解】分析：（1）先利用等腰三角形的“三线合一”和面面垂直的性质得到线面垂直，再利用菱形的对角线垂直得到线线垂直，进而建立空间直角坐标系，利用两直线的方向向量数量积为0进行求解；（2）先求出两平面的法向量，再利用法向量的夹角公式进行证明；（3）利用三点共线设出Q 的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用两向量数量积为0进行求解. 详解：（1）取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ， ∵ PA PD =， ∴ PO AD ⊥，∵ 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =， ∴ PO ⊥底面ABCD ，∵ 底面ABCD 是菱形，60BCD ∠=︒， ∴ BA BD =，BO AD ⊥，以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -， 由题意可得()0,0,0O ，()1,0,0A ，()3,0B ，()3,0C -，()1,0,0D -，()3,0E -，()0,0,1P ，()2,0,0AD =-，()0,3,1PB -，∵ ·0AD PB =，∴ AD PB ⊥.（2）由题意，12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面DQC 的一个法向量()1,,n x y z =，()DC =-，12DQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由11·0·0n DC n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0102x z ⎧-=+=，令x =1y =，z =(13,1,n =，又平面EDQ 的一个法向量()21,0,0n =， 由121212·21cos ,7n n n n nn ==⋅， 右图可知，二面角E DQ C --. （3）∵ PQ PC λ=，01λ<<， 易得()2,1Q λλ--，设平面DEQ 的一个法向量()3,,n xy z =， ()0,DE =，()2,1DQ λλ=-+-，由33·0·0n DE n DQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()02110x y z λλ⎧=⎪⎨-++-=⎪⎩，取21z λ=-，得()31,0,21n λλ=--， 又()1,0,1PA =-，∵ //PA 平面DEQ ，∴ 3·0PAn =， 即()()()11210λλ-+--=，得23λ=， 所以当23λ=时，//PA 平面DEQ . 点睛：本题考查空间中垂直的转化、空间向量在立体几何中的应用等知识，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力.22．已知椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求椭圆W 的方程；(2)设过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC 交于点E ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知．求||||MD ME 的值． 条件①：直线l 的斜率为1；条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点； 条件③：直线l 过坐标原点O ． 【答案】(1)22143x y += (2)1【分析】（1）由题设()221,0,mx ny m o n m n +=>>≠，进而待定系数求解即可；（2）条件①：由题知直线l 的方程为1y x =-，进而联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，设()()1122,,,C x y D x y 得121288,77x x x x +==-，再根据AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =--得()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，再计算2852x MD -=，()()()12158222x x ME x --=-，再结合韦达定理求比值即可；条件②：由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 的方程为1463y x =-+，进而结合①的方法求解即可；条件③：由题知直线l 的方程为12y x =，进而联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得,D C ⎛⎭⎝⎭，再求得3M ⎫⎪⎭，E ，再求距离，比值即可. 【详解】（1）解：因为椭圆W 以坐标轴为对称轴，且经过两点3(2,0),1,2A B ⎛⎫⎪⎝⎭所以，设椭圆W 的方程为()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠，所以41914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,43m n == 所以，椭圆W 的方程为22143x y += （2）解：条件①：直线l 的斜率为1；因为过点(2,1)P 的直线l 交椭圆W 于C D 、两点，所以，直线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-， 联立方程221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得27880x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以121288,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()2222853524222x MD x y x -=---=-+=， ()()()()()12122112582322222y x x x ME x x x ---=+-=--， 所以()()()()()()()221112212121212185852816510258251081658222x x x MD x x x x ME x x x x x x x x x -----+===----+---()()221212212122228888165228165277718885102162510162777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯--⨯-+-+ ⎪+--+⎝⎭====-+++⎛⎫-+⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件②：直线l 过点B 关于y 轴的对称点；由题知，点B 关于y 轴的对称点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以直线l 的方程为()11421663y x x =--+=-+， 所以联立方程221463143y x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得274110x x --=，设()()1122,,,C x y D x y 所以1212411,77x x x x +==-， 因为AB 方程为()322y x =--，AC 方程为()1122y y x x =-- 所以()223,22M x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，()12212,2y x E x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭所以()()2222233144522226333MD x y x x x =---=--+-=-+， ()()()()()()()1212212211114222810336322222262x x y x x x ME x x x x x ⎛⎫-+- ⎪---⎝⎭=+-=+-=---， 所以()()()212121221211451016820338101620281062x MD x x x x ME x x x x x x x -++--==--+---()()221221212122224111210682061068207771121148166206816610777x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⨯+-⨯--- ⎪++--⎝⎭====-+++⎛⎫-⨯--⨯++ ⎪⎝⎭所以1MDME =条件③：直线l 过坐标原点O ．由题知直线l 的方程为12y x =， 所以联立方程2212143y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23x =，解得x=所以，交点坐标为,⎛ ⎭⎝⎭因为过点D 作垂直于x 轴的直线，与线段AB 交于点M ，与AC交于点E ，所以,D C ⎛ ⎭⎝⎭因为AB 方程为()322y x =--，AC方程为))22y x x -=-所以3M ⎫⎪⎭，)2E ⎫=⎪⎪⎭所以33MD ==-，633ME ==-，所以1MDME =23．对于集合A ，定义函数1,()1,A x A f x x A ∉⎧=⎨-∈⎩，对于两个集合A ，B ，定义运算A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}．(1)若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，写出fA (1)与fB (1)的值，并求出A *B ；(2)证明：*运算具有交换律和结合律，即A *B ＝B *A ，(A *B )*C ＝A *(B *C )．【答案】(1)fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，A *B ＝{1,4,5}；(2)证明见详解.【分析】（1）由新定义的元素即可求出fA (1)与fB (1)的值，再分情况求出A *B ；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】（1）∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4,5}，∴fA (1)＝﹣1，fB (1)＝1，由运算定义知：只需保证元素属于集合A ∪B ，不属于集合A ∩B ，即有A *B ＝{1,4,5}；（2）先证明fA *B (x )＝fA (x )fB (x )：①当x ∈A 且x ∈B 时，fA (x )＝fB (x )＝﹣1，所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，②当x ∈A 且x ∉B 时，fA (x )＝﹣1，fB (x )＝1，所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1，所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )，③当x ∉A 且x ∈B 时，fA (x )＝1，fB (x )＝﹣1．所以x ∈A *B ．所以fA *B (x )＝﹣1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．④当x ∉A 且x ∉B 时，fA (x )＝fB (x )＝1．所以x ∉A *B ．所以fA *B (x )＝1．所以fA *B (x )＝fA (x )fB (x )．从而可得fA *B (x )＝fA (x )fB (x )；因为A *B ＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，B *A ＝{x |fB (x )fA (x )＝﹣1}＝{x |fA (x )fB (x )＝﹣1}，所以A*B＝B*A．因为(A*B)*C＝{x|fA*B(x)fC(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，A*(B*C)＝{x|fA(x)fB*C(x)＝﹣1}＝{x|fA(x)fB(x)fC(x)＝﹣1}，所以(A*B)*C＝A*(B*C)．。

北京市丰台区2022-2023学年高二上学期期中考试化学试卷学校:___________姓名：___________班级：_________一、单选题1．下列有关金属腐蚀和保护的说法，不正确．．．的是 ( ) A ．埋在潮湿土壤里的铁管比在干燥的土壤里更容易被腐蚀 B ．牺牲阳极的阴极保护法利用电解原理保护金属 C ．生铁比纯铁容易生锈D ．镀银的铁制品，镀层损坏后，露出的铁表面更容易被腐蚀 2．下列说法正确的是( ) A ．放热反应一定是自发反应B ．熵增的反应不一定是自发反应C ．固体溶解一定是熵减小的过程D ．非自发反应在任何条件下都不能发生 3．下列关于原电池的叙述正确的是( ) A ．电子流出的一极是原电池的正极 B ．原电池工作时必然存在氧化和还原的过程 C ．构成原电池的两个电极必须是两种不同金属 D ．原电池中电解质溶液的作用是传导电子4．下列物质的应用中，与氧化还原反应无关．．的是( )A ．该反应的H ∆等于断开1mol H-H 和0.5mol O=O 所需总能量减去形成2 mol O-H 释放的总能量( )B ．若生成21 mol H O(g)放出的热量小于285.8 kJC ．1 mol 液态水与1 mol 水蒸气所具有的内能不同D ．21 mol H (g)和20.5 mol O (g)的总能量比21 mol H O(l)的能量高285.8 kJ 6．以太阳能为热源，热化学硫碘循环分解水是一种高效、环保的制氢方法，流程图如下：A ．该过程实现了化学能到太阳能的转化B ．SO 2和I 2在反应过程中是中间产物C ．该过程降低了水分解制氢反应的活化能和△HD ．总反应的热化学方程式为：2H 2O(1)=2H 2(g)＋O 2(g) △H=＋572kJ •mol -17．利用可再生能源提供的能量可高温共电解H 2O 和CO 2，并实现清洁燃料的制备。

其工作流程和反应原理如图所示：下列说法不正确．．．的是( ) A ．装置I 中生成气体a 的电极反应为222O 4e =O ---↑B ．装置Ⅱ中过程①～③均有极性键的断裂和生成C ．装置Ⅲ中消耗1mol C H m n 理论上转移()4mol e m n -+D ．该过程中CO 2的循环利用率理论上可达100％A ．AB ．BC ．CD ．D9．下列过程不需要通电就可以进行的是( ) A ．电离B ．电解C ．电镀D ．电冶金10．下列事实不能．．从平衡移动的角度解释的是( ) A ．打开可乐有气泡产生B ．加热可以增强23Na CO 溶液清洗油污的效果C ．不能混合使用草木灰(主要含23K CO )与铵态氮肥D ．采取较高的温度进行工业合成氨生产(223N 3H 2NH + H 0∆<)11．间接电解法合成苯甲醛的原理如图所示。

丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高 三 数学2024.01本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U AB =ð（A ）{3,2}-- （B ）{3,2,1,2}-- （C ）{3,2,1,0,1}---（D ）{3,2,1,0,2}---2．若(1i)1i z -=+，则||z = （A ）i （B ）1 （C（D ）23．在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（A ）120- （B ）120 （C ）60-（D ）604．在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++=（A ）5.4 （B ）6.3 （C ）7.2（D ）13.55．已知直线y kx =+221x y +=相切，则k =（A ）1± （B ）（C ）（D ）2±6．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tanf x x >的解集是 （A ）{|20}x x -<< （B ）{|01}x x << （C ）{|21}x x -<<ACBOxy2 2 -2（D ）{|12}x x -<<7．在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是图1图2（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48．已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量λμ=+c a b （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0⋅+>c a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9．在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为 （A ）18 （B ）19 （C ）31（D ）3710．已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为 （A ）3.5 （B ）4 （C ）4.5（D ）5第二部分 非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末英语试卷Every evening before my sister Becca and I went to sleep，we would take five minutes to have adance(1).It was a (2) my dad helped to keep when we were little.One day Becca and I were having a huge argument over which TV programme should be chosen.Our dad took us to the living room，" You two are going to (3)!No talking，only rhythmic movement to the music."He said with a smile.After the five- minute dancing，we were laughing so hard that neither of us remembered why we had been(4) .Since that night，our dance party had become something that ended our(5) and cleared our silly misunderstandings.Now it was the night before Becca moved across the country to (6) college.Becca and I sat with my parents at the dinner table as we had so many nights before.It was (7) to think this would be the last time we all ate together for a while.Mom had made Becca's favorite meal，but Becca quickly ate her meal and asked to say bye to her classmates.Mom sighed and (8).I stared at the(9)chair and felt lost and lonely.Some hours passed，and I was about to go to bed when (10) I heard a knock on my door." Julie，you didn 't seriously think I was going to (11) tomorrow without us dancing it out one more time，did you？"Becca asked.I tried to fight the (12) from forming on my lips and threw a pillow at her happily.I bathed in the bittersweet，(13)that these were the moments to cherish.Things would always be changing，and though I hated to think of my sister leaving，the fact that this last dance was as important to her as it was to me made the moment even more(14) .I (15)the thought of Becca leaving tomorrow out of my head，and we danced.1. A. party B. lesson C. competition D. test2. A. diary B. secret C. tradition D. distance3. A. fight B. watch C. sleep D. dance4. A. angry B. happy C. close D. worried5. A. activities B. arguments C. dreams D. relationships6. A. afford B. finish C. attend D. visit7. A. funny B. free C. sad D. normal8. A. admitted B. agreed C. doubted D. trusted9. A. cool B. beautiful C. comfortable D. empty10. A. luckily B. quickly C. suddenly D. peacefully11. A. continue B. develop C. quit D. leave12. A. disease B. smile C. tears D. effect13. A. realizing B. insisting C. announcing D. complaining14. A. ordinary B. special C. popular D. similar15. A. counted B. dropped C. read D. pushed16.ADo you take music and art classes？These classes，which (1) （know）as arts education，allow students to learn new things in a creative way.Many people believe arts education (2) （play）an important part in the lives of students.However，some schools cut music and art programs because these subjects aren't included in the college entrance examination.Different understandings about music and art can affect the future of arts education，so it's important (3) （reflect）theseunderstandings.BIn recent years，we have seen melting ice caps and (4) （rise）sea levels around the world.The number of deadly weather events has increased，such as hurricanes（飓风），wildfires and floods.Scientists say (5) has caused these new patterns is climate change.And they encourage everyone to produce less waste.Other (6) （way）lowering your carbon footprint include walking instead (7) driving，bringing reusable bags to the supermarket，and eating less meat.These actions have many benefits，including less air pollution andCO2 production.CEveryone has a sense of humor，(8) not everybody has a good sense of it.Psychologists are divided on whether humor is inborn or learnable.However，there is one thing that is accepted (9) （wide）so far — the sense of humor is uniquely human.It is associated with happiness and courage.These are qualities (10) can be shared with other forms of life.But if happiness is one of the goals chased in life，then it is the sense of humor that provides the key.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)CI am Fionn Ferreira，an Irish teenager.Thank you judges for this honor and giving this award in my hand.I am very delighted to have won ﹩50，000 for my project.My project came about as I was constantly hearing about plastic pollution on the news.And I also see the real effects on our beaches every day.I discovered，to my shock，that at present no filtration（过滤）for microplastics takes place in any European wastewater treatment centers，so I set up my project and started looking for a solution.Seeing that there was none，I decided to study further，finally finding a way to use the feerofluid（铁磁流体），a liquid which sticks to the plastic allowing it to be removed using magnets（磁体）.After over 1，000 tests I have proved that my method would remove 87% or higher of microplastics.I grew up in West Cork，Ireland.My hometown is surrounded by untouched nature.This has been my first inspiration about how nature works.I soon discovered that science really was in everything.The fact that I lived in such a remote place meant that I had to build my own equipment and lab to do tests and experiments.Inspired by scientists such as Ben Feringa and his work with organic chemistry and nanotechnology（纳米技术），I would like to study chemistry or chemical engineering when finishing my last year of secondary school.Both of these subjects will be suited to me as I really enjoy problem-solving and experiments.One of the most valuable rewards from the science fair for me is the opportunity to present my work to a group of professional judges.Winning the prize is a great honor to me as this is a recognition of my project and ideas.Also，the prize will give my project more attention.There is nothing I would like to see more than my project to be used in removing microplastics in our oceans worldwide.17. Why did Fionn set up the project？______A. To win the prize.B. To clean the air.C. To remove microplastics.D. To build a wastewater center.18. According to paragraph 3，what gave Fionn the creative ideas？______A. The sandy beaches.B. The nature of his hometown.C. The new technology.D. The results of his experiments.19. According to the passage，which word can best describe Fionn？______A. Honest.B. Determined.C. Fearless.D. Humorous.20. This passage might be ______ .A. a news reportB. a science surveyC. a thanks-giving letterD. an awarding speechDCreative LearningThe National Gallery of Art provides the world's best high school programs at Art.These programs will help you develop your art skills and explore original works of art through a single specific theme.Find outwhat you are interested in and sign up.School Studio Workshop Single museum visit，2.5 hours （Grades 7-12）During these 2.5 hours visiting，students can have a deep touring about works of art with the help of National Gallery art teachers.Students may also discuss these beautiful works and share their opinions with the guide teacher.The most exciting part of this workshop is creating an art project in the studio.Museum Maker Exploring Art and Museums，7 classes（Grades 10–12）This program shows how museums operate and what they have to offer.It gives high school students the tools to experience，understand and draw art works.Students will learn more about how an art museum works.Students meet for seven Saturday classes from 10：00 am to 3：00pm.If students can attend all 7 classes on time，they will get final marks.Creative Writing in the Gallery Groups work，90 minutes （Grades 11-12）In this project，students can voice their thoughts while looking at artworks.They can write their feelings in different writing forms，like poetry，essay or description.Both individuals and groups are welcomed.Each session can accommodate（容纳）15 to 30 students.Technologies in the Science Museum Fantastic technologies，4 hours （Grades 1-12）Students can discover the original Science & Tech.In addition to an ever-changing item of exhibits，the museum also offers tons of interactive experiments on energy，health，insects，animals，and local scientific research.Younger visitors learn knowledge through hands-on experiments in mechanics，light，and sound.21. What can you do at School Studio Workshop？______A. Create an art project.B. Do some experiments.C. Practise writing.D. Design museums.22. How long will it take to finish the program of Museum Maker？______A. 1.5 hours.B. 2.5 hours.C. 4 hours.D. 35 hours.23. If your sister is interested in animals，which program can she join in？______A. Technologies in the Science Museum.B. School Studio Workshop.C. Creative Writing in the Gallery.D. Museum Maker.24. What is the purpose of the passage？______A. To describe a special school.B. To discuss education problems.C. To introduce art programs.D. To share a visiting experience.EA high school soccer player leaps into the air，hits the ball with his head and directs it to a teammate.Amid today's growing awareness surrounding head injuries in sports，wouldwearing helmets protect the teen and prevent a possible concussion（脑震荡）？Almost not.Two top doctors who specialize in sports injuries—Dr.James Robinson andrry Lemak，founders of Lemak Sports Medicine，said that there was no good scientific evidence that helmets could reduce the rate of concussion.Both of them regarded proper training，not helmets，as the best concussion prevention for soccer players.That doesn't mean there 's no need to worry about soccer concussions.For boys soccer，concussions accounted for 23 percent of all game injuries and 10 percent of all practice injuries，according to the study.For girls soccer，the study found concussions accounted for 36 percent of game injuries and 31 percent of practice injuries.Knowing that，why isn't a helmet useful？Isn't some protection better than none at all？The doctors outlined several reasons helmets provide little protection.First，wearing a helmet makes the head heavier.A heavier upper part may be more dangerous to the beginners.Secondly—and perhaps most importantly for girls，whose neck muscles are often weaker than boys—a helmet makes the head heavier.Imagine a top-heavy head，Robinson said，which increases the risk of falls.Since girls already face a heightened concussion risk，helmets could be especially dangerous for stly，wearing helmets often gives teens a false sense of security.When helmets were matedated （授权）in hockey，head injuries increased"because they felt unbeatable.""Sometimes the kids wearinghelmets are more daring，"said Chad Harrelson，boys soccer coach at St.Paul's in Mobile，"because they think they have that added layer of protection."Both coaches and doctors agree on three main ways to prevent soccer concussions.Firstly，learn proper rules and follow .Players who understand soccer's rules and behave themselves are less likely to put themselves in harm's way.Secondly，promote proper technique.It's important to have players know where other players are positioned.This reduces contact and can prevent head-to-head collisions or other dangerous situations.Thirdly，strengthen neck muscles which can protect both your necks and heads.25. What can we learn from the words of two top doctors？______A. High quality helmets are a wise choice.B. Athletes need wear helmets.C. Science is on the side of helmets.D. Helmets provide little protection.26. The data in paragraph 3 serves as an evidence to show ______ .A. training is the best preventionB. how girls players get injuredC. boys are more likely to be hurt in trainingD. why concussion should be concerned about27. What is paragraph 5 mainly about？______A. Why helmets are useless.B. How helmets work.C. What causes head injuries.D. Whom helmets are fit for.28. What does the underlined word"norms"in the last paragraph mean？______A. The early examples.B. The set standards.C. The suggestions of the athletes.D. The ways of using helmets.FUniversity educators largely think highly of the wonders of teaching through technology，but experts question whether something is lost when professors and lecturers rely too heavily on electronic media or when interaction with students takes place remotely—in cyberspace rather than the real space of the classroom.Hans Ulrich Gumbrecht，the Professor of Literature at Stanford University，is one such expert."I think this enthusiastic and sometimes childish and blind pushing toward the moretechnology the better，the more websites the better teacher，and so forth，is very dangerous—is，indeed，self-destructive，"he indicates.However，Gumbrecht warns that there are few，if any，studies either supporting or disapproving the assumption that traditional ways of teaching are superior to teaching via the Internet.He says that he could point only to his"insight that real classroom presence should be kept，"and emphasizes the needfor educators to examine critically where technology serves a useful pedagogical（教学法的）function and where it does not.Yet，Gumbrecht allows that，for courses in which knowledge transmission（传递）is the sole purpose，electronic media probably can do the job well enough.Indeed，given the 20th century's knowledge explosion and the increasing costs of higher education，using technology as opposed to real-life teachers for the transmission of information is probably unavoidable，he admits.In any case，knowledge transmission should not be the core function of the university，he maintains，noting that universities should be places where people deal with open questions，places for"intellectual complexity"and"riskful thinking"."We are not about finding or transmitting solutions；we are not about recipes；we are not about making intellectual life easy.Challenges with complexity are what expands your mind.It is something like intellectual gymnastics.And this is what makes you a suitable member of the society." Moreover，discussions in the physical presence of others can lead to the intellectual innovation."There's a qualitative change，and you don't know how it happens.Discussions in the physical presence have the power of being the catalyst（催化剂）for such intellectual breakthroughs.The possibility of in-classroom teaching—of letting something happen which cannot happen if you teach by the transmission of information—is a strength."29. What is Professor Gumbrecht's major concern about teaching？______A. The systems of teaching through technology.B. Students' overdependence on electronic media.C. The trend towards the more technology the better.D. Experts' questions on remote interaction with students.30. Professor Gumbercht might agree that university education should ______ .A. replace the real-life teachers for the increasing costsB. facilitate solution transmission for the knowledge explosionC. prepare students for a well-rounded life for societyD. help students establish core values31. According to the passage，discussion in the physical presence of others can ______ .A. reduce the intellectual complexityB. be the catalyst for the qualitative changesC. lead to swifter and stronger information transmissionD. combine traditional teaching ways well with technology32. Which of the following would be the best title for the passage？______A. Cyberspace Interaction.B. Traditional Teaching Has Its Place.C. The Core Function Of The University.D. Information Transmission Cannot Help You Survive.33. Why are so many people afraid of failure？Quite simply because no one tells us how to fail so that failure can play a role as an experience that will lead to growth in our lives.We forget that failure is part of the human condition and that every person has the right to fail.Most parents work hard at either preventing failure or protecting their children from the knowledge that they have failed.The trouble with failure-prevention methods is that they leave a child unequipped for life in the real world.Actually，the young need to learn that no one can be best at everything，no one can win all the time and that it's possible to enjoy a game even when we don't win.A child who's not invited to a birthday party，who doesn't make the honor roll on the baseball team，feels terrible，of course.But parents shouldn't offer a quick comfort，prize or say，"It doesn't matter，"because it does.The young should be allowed to experience disappointment—and be helped to master it.Failure is never pleasant.It hurts grown-ups and children alike.But it can make a positive contribution to your life once you learn to use it.Even a failure that seems total can stimulate（促进）fresh thinking or a change of direction.After 12 years of studying ballet，a friend of mine went for a professional company.She was turned down."Would further training help？"she asked.The ballet master shook his head."You will never be a dancer"，he said，"You haven't the body for it."In such cases，the way to use failure is to take stock of（估量）the situation courageously，asking，"What have I left？What else can I do？"My friend put away her toe shoes and moved into dance therapy，a field where she's both able and useful.Failure frees one to take risks because there's less to lose.Often there is recovery of energy—a way to find new possibilities.(1) What role does failure play in our lives？______(2) What is the result of failure-prevention methods？______(3) What positive contribution can a total failure make？______(4) When the ballet master shook his head to the author's friend，what did she do？______(5) What do you learn from the friend of the author？______34. 参考阅读回答问题中的文章，结合自己的生活经历和感悟，写出一篇连贯完整的短文。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。

2022-2023学年北京市丰台区高一上学期数学期末试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则A B ⋃=（ ） A ．{}0,1 B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1- D ．{}1,0,1,2-【答案】D【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-， 所以A B ⋃={}1,0,1,2-， 故选：D2．已知a 为实数，则“1a <”是“2a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据12a a <⇒<，但2a <⇒1a <，得到答案. 【详解】12a a <⇒<，但2a <⇒1a <，比如 1.5a =， 则“1a <”是“2a <”的充分而不必要条件. 故选：A3．AB AD CD -+化简后等于（ ） A ．BC B ．CB C ．BD D ．DB【答案】B【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.【详解】因为AB AD CD DB CD CD DB CB -+=+=+=， 故选：B .4．已知偶函数()f x 在区间(],1-∞-上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ） A ．()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()5322f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．()()5232f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】由条件可得函数在[1,)+∞上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据5322->->，可得5(3)()(2)2f f f ->->，进而得出结论. 【详解】因为偶函数()f x 在区间(],1-∞-上单调递减，所以函数在[1,)+∞上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大， 又5322->->，所以5(3)()(2)2f f f ->->， 故选：D .5．已知函数()ln 26f x x x =+-，则它的零点所在的区间为（ ） A ．0,1 B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】由函数()ln 26f x x x =+-，求得()()2ln 220,3ln30f f =-<=>，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 26f x x x =+-，可得()()2ln 220,3ln30f f =-<=>，即()()230f f ⋅<， 由零点的存在定理，可得函数()f x 的零点所在的区间为()2,3. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的零点存在定理得应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，结合零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 6．已知2a >，则12a a +-的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】将式子变形为1222a a -++-，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为2a >，所以20a ->，则11222422a a a a +=-++≥=-- （当且仅当122a a -=-，也即3a =时取等号）所以12a a +-的最小值为4， 故选：C .7．声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110xf x -=⨯．火箭发射时，声音的等级约为160dB ；一般噪音时，声音的等级约为90dB ，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（ ） A ．510倍 B ．610倍 C ．710倍 D ．810倍【答案】C【分析】根据声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg 110xf x -=⨯．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解. 【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为160dB ， 所以11210lg160110x -=⨯，解得4110x =； 因为一般噪音时，声音的等级约为90dB ， 所以21210lg90110x -=⨯，解得3210x -=，； 所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的71210x x =倍， 故选：C8．已知0.6log 0.5a =，0.60.5b =，0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数单调性并借助特殊值1为“桥梁”，即可判断作答. 【详解】因函数0.6log y x =在(0,)+∞上单调递减，而0.50.6，于是得0.60.6log 0.5log 0.61>=，函数0.5x y =在R 上单调递减，而00.61<<，于是得又10.600.50.50.51<<=， 即1a b c >>>，所以a b c >>. 故选：A9．在某校举办的“学宪法，讲宪法”活动中，每个学生需进行综合测评，满分为10分，学生得分均为整数．其中某年级1班和2班两个班级学生的得分分布条形图如下：给出下列四个结论：①1班学生得分的平均分大于2班学生得分的平均分； ②1班学生得分的方差小于2班学生得分的方差；③1班学生得分的第90百分位数等于2班学生得分的第90百分位数；④若两班中某同学得分为7分，且在他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④【答案】D【分析】①分别求得平均分比较； ②分别求得方差比较；③分别求得第90百分位数比较；④由低于7分的人数判断.【详解】①1班学生得分的平均分()114462076849410266540V =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=., 2班学生得分的平均分()215664788169410273540V =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.,故错误； ②1班学生得分的方差: ()()()()2222211[44 6.65206 6.6567 6.6548 6.6540S =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-， ()()2249 6.65210 6.65]2716+⨯-+⨯-=.；2班学生得分的方差()()()()2222221[657.35877.351687.35497.3540S =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-， ()()2249 6.652107.35]61+⨯-+⨯-=.5,故错误；③1班学生得分的第90百分位数是9，2班学生得分的第90百分位数是9，故正确； ④若两班中某同学得分为7分，1班低于7分的是24人，2班低于7分的是10人， 因为他所在的班级属于中上水平，则该同学来自1班，故正确． 故选：D10．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x -=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-．若()154f t ≥，则t 的最大值是（ ） A ．134-B ．145-C ．114-D ．94-【答案】C【分析】由(]0,2x ∈时， ()[]0,1f x ∈，利用()()22f x f x -=得到(4,2]x ∈--，()[]0,4f x ∈，且[]150,44∈，在求得(4,2]x ∈--时的解析式，由()154f t ≥求解. 【详解】解：当(]0,2x ∈时，()()()222211f x x x x x x =-=-+=--+，则()f x 在(0,1]上递增，在[1,2]上递减，且()[]0,1f x ∈， 由()()22f x f x -=知：(2,0]x ∈-时，()[]0,2f x ∈，(4,2]x ∈--时，()[]0,4f x ∈，且()f x 在(4,3]--上递增，在(3,2]--上递减， 因为[]150,44∈，当(4,2]x ∈--时， ()()()2442f x f x f x =+=+， 因为(0,2]4x +∈，所以()()()()()244244846f x f x x x x x =+-==-++-+， 令()2154684x x -++≥，解得131144x -≤≤-，所以满足()154f t ≥，的t 的最大值是114-， 故选：C二、填空题11．已知幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，则()3f =________．【答案】9【分析】根据题意，将点的坐标代入函数即可求出函数的解析式，然后将3x =代入即可求解.【详解】因为幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，所以(2)24f α==，则2α=，所以2()f x x =， 则(3)9f =， 故答案为：9. 12．函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是_____________．【答案】【详解】试题分析：函数有意义得：，解得即函数定义域为．【解析】求函数定义域．13．能说明“[]1,2x ∀∈，20x a -<”是假命题的一个实数a 的取值是________． 【答案】4((],4-∞中任一值均可)【分析】根据题意可知：命题2[1,2],0x x a ∃∈-≥为真命题，列出不等式解之即可. 【详解】因为命题：[]1,2x ∀∈，20x a -<为假命题， 所以命题：2[1,2],0x x a ∃∈-≥为真命题， 也即2[1,2],x x a ∃∈≥成立，所以4a ≤， 故答案为：4（(],4∞-中的任一值均可）14．已知函数()()23,2,ax x af x x x a -+≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩给出下列四个结论： ①当0a =时，()()13f f -=；②若()f x 存在最小值，则a 的取值范围为(],0-∞； ③若()f x 存在零点，则a 的取值范围为((),30,-∞-+∞；④若()f x 是减函数，则a 的取值范围为220,11,22⎛⎡⎤+ ⎢⎥ ⎝⎦⎣⎦． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④. 【详解】①当0a =时，()()23,02,0x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()()21[(12)](9)3f f f f -=--==，故①正确； ②当2a ≥时，2()(2),f x x x a =-<有最小值0，此时()3,f x ax x a =-+≥为减函数，且()f x →-∞，无最小值，故()()23,2,ax x af x x x a -+≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩无最小值，当02a <<时，2()(2),f x x x a =-<无最小值，()3,f x ax x a =-+≥无最小值， 故()()23,2,ax x af x x x a -+≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩无最小值， 当0a ≤时，()3,f x ax x a =-+≥为增函数，最小值为23a -+，2()(2),f x x x a =-<单调递减，所以只需满足223(2)a a -+≤-，解得1a ≤1a ≥+0a ≤，故②正确；③令2()(2)0,f x x x a =-=<若有解，则2a >，令()30,f x ax x a =-+=≥若有解，则3a a≥，解得a ≤0a <≤()f x 存在零点，则a 的取值范围为((,0,3(2,)⎤-∞⋃+∞⎦，故③错误；④若()f x 是减函数，则需满足0a -<且2a ≤且22(2)3a a -≥-+，解得01a <≤或122a +≤≤，故④正确. 故答案为：①②④三、解答题15．某校高中部有高一学生600人，高二学生480人，高三学生420人．某研究小组为了调查该校高中部不同年级学生课后作业量的情况，现采用分层随机抽样的方法在三个年级共抽取100名学生，应抽取高一学生的人数为多少？ 【答案】40【分析】利用分层抽样比求解. 【详解】解：应抽取高一学生的人数为60010040600480420⨯=++.16．已知关于x 的不等式20x ax b ++>的解集为{}21A x x x =-或． (1)求实数a ，b 的值；(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，使得A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围． 条件①：集合{}1B x m x m =≤≤+； 条件②：集合{}21B x m x m =≤≤+．注：如果选择多个条件分别作答，挍第一个解答计分．【答案】(1)12a b =⎧⎨=-⎩(2)详见解析；【分析】（1）根据不等式20x ax b ++>的解集为{}21A x x x =-或，由2121ab -+=-⎧⎨-⨯=⎩求解；（2）选①集合{}1B x m x m =≤≤+，根据A B ⋂=∅，由211m m ≥-⎧⎨+≤⎩求解；选②集合{}21B x m x m =≤≤+，分B =∅和 B ≠∅两种情况，根据A B ⋂=∅求解.【详解】（1）解：因为关于x 的不等式20x ax b ++>的解集为{}21A x x x =-或,所以2121a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=-⎩；（2）选①集合{}1B x m x m =≤≤+， 因为A B ⋂=∅，所以211m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解得 20m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]20-，． 选②集合{}21B x m x m =≤≤+，当B =∅时，21m m >+，解得1m >，符合题意；当B ≠∅时，则12211m m m ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，10m -≤≤，综上：实数m 的取值范围[]()101-⋃+∞，，． 17．如图，在平行四边形ABCD 中，2AE AB =，13DF DE =．设AB a =，AD b =．(1)用a ，b 表示AC ，DE ；(2)用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线． 【答案】(1)AC a b =+，2DE a b =-； (2)答案见详解.【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则，可得AC ，由DE DA AE =+结合已知可得DE ； （2）根据AF AD DF =+可推出()23AF b a +=，即23AF AC =.再根据有公共点A ，可证得三点共线. 【详解】（1）解：根据向量加法的平行四边形法则，可得AC AB AD a b =+=+. 22DE DA AE AD AB a b =+=-+=-.（2）证明：由（1）知，2DE a b =-，所以121333DF DE a b ==-，所以AF AD DF =+2133a b b =-+()2233a Ab C ==+，所以，AF ，AC 共线.又直线AF ，直线AC 有公共点A ， 所以，A ，F ，C 三点共线.18．某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：(]0,100，(]100,200，(]200,300，(]300,400，(]400,500，(]500,600，并整理得到如下频率分布直方图：(1)求样本中停车时长在区间(]400,500上的频率；(2)若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(]100,400上的车辆数；(3)为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及25%的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 【答案】(1)0.03 (2)820(3)不超过137.5分钟【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1求解.（2）先算出区间(]100,400上的频率，然后再求间(]100,400上的车辆数. （3）求得是第25百分位数.【详解】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1，设(]400,500的频率为x ，可列等式为()0.00020.00130.00160.00320.003410010.03x x ++++⨯+=∴=所以样本中停车时长在区间(]400,500上的频率为0.03（2）根据频率分布直方图可知在区间(]100,400上的频率为()0.00320.00340.00161000.82++⨯=，所以计该天停车时长在区间(]100,400上的车辆数为：0.821000820⨯=（3）设免费停车时间长不超过y 分钟，又因为(]0,100的频率为0.1325%<，并且(]0,200的频率为0.4525%>，所以y 位于(]100,200之间，则满足 ()0.131000.00320.25137.5y y +-⨯=∴=确定免费停车时长为不超过137.5分钟.19．已知函数()1222xf x ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭．(1)判断()f x 的奇偶性，并证明；(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，画出()f x 的图象，并写出该函数的值域；(3)写出不等式()f x x >的解集．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断；（2）利用指数函数的图象和性质求解；（3）在同一坐标系中，作出函数(),y x y f x ==的图象求解.【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，又()()11222222x xf x f x -⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 是偶函数；（2）()f x 的图象如图所示：由函数的图象知：函数的值域[0,2)；（3）在同一坐标系中，作出函数(),y x y f x ==的图象，如图所示：，由图象知：不等式()f x x >的解集为： ()(),00,1-∞⋃.20．已知函数()4f x x x=-． (1)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并用定义进行证明；(2)设()3g x a x =-，若[]11,4x ∀∈，[]21,4x ∃∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)[6,9].【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；（2）由函数单调性求出函数值域，若[]11,4x ∀∈，[]21,4x ∃∈，使得()()12f x g x =可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）()f x 在区间()0,∞+上的单调递增，证明如下：设12,(0,)x x ∀∈+∞且120x x <<， 则2112212121211212()(4)4444()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+-=⋅， 因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1240x x +>， 所以21122112()(4)()()0x x x x f x f x x x -+-=>⋅，即21()()f x f x >， 所以()f x 在区间()0,∞+上的单调递增.（2）由（1）知[]11,4x ∀∈时，()133f x -≤≤，即[1,4]x ∈时，()[3,3]f x A ∈=-，因为()3g x a x =-当[1,4]x ∈时为减函数，所以()[12,3]g x B a a ∈=--，若[]11,4x ∀∈，[]21,4x ∃∈，使得()()12f x g x =，则A B ⊆,即12333a a -≤-⎧⎨-≥⎩，解得69a ≤≤， 故实数a 的取值范围为[6,9]21．已知集合{}4U x Z x =∈≤．若集合A 是U 的含有()*k k ∈N 个元素的子集，且A 中的所有元素之和为0，则称A 为U 的“k 元零子集”．将U 的所有“k 元零子集”的个数记为()f k ．(1)写出U 的所有“2元零子集”；(2)求证：当*k ∈N ，且8k ≤时，()()9f k f k =-；(3)求()()()129f f f +++的值．【答案】(1){}{}{}{}4,4,3,3,2,2,1,1----；(2)详见解析；(3)31【分析】（1）根据“k 元零子集”的定义列举；（2）根据“k 元零子集”的定义列举；（3）由（2）的结论求解.【详解】（1）解：因为{}{}Z |44,3,2,1,0,1,2,3,4U x x =∈≤=----， 所以U 的所有“2元零子集”是{}{}{}{}4,4,3,3,2,2,1,1----； （2）当1k =时，1元零子集是{}0，则()1f k =；当2k =时，2元零子集是{}{}{}{}4,4,3,3,2,2,1,1----，则()4f k =；当3k =时，3元零子集是{}{}{}{}4,04,3,03,2,02,1,01----，，，，，则()4f k =； 当4k =时，4元零子集是{}{}{}{}{}{}4,3,34,4,2,244,1,143,2,233,1,132,1,12------------，，，，，，，则()6f k =； 当5k =时，5元零子集是{}{}{}{}{}{}4,3,034,4,2,0244,1,0143,2,0233,1,0132,1,012------------，，，，，，，，，，，，，则()6f k =； 当6k =时，6元零子集是{}{}{}{}4,3,2,234,4,2,1,1244,3,1,1343,21,123------------，，，，，，，，，，，则()4f k =； 当7k =时，7元零子集是{}{}{}{}4,3,2,0234,4,2,1,01244,3,1,01343,21,0123------------，，，，，，，，，，，，，，，则()4f k =； 当8k 时，，8元零子集是{}4,3,2,11234----，，，，，则()1f k =， 故当*k ∈N ，且8k ≤时，()()9f k f k =-；（3）由（2）知：()()()129f f f +++，14466441131=++++++++=.。

丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习高 三 数 学 2023.01第一部分 （选择题40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U =R ，集合{|10}A x x =−<≤，则UA =（A ）(1)(0+)−∞−∞,,（B ）(1](0+)−∞−∞,,（C ）(1)[0+)−∞−∞,, （D ）(1][0+)−∞−∞,, 2．已知复数i(1i)z =+，则在复平面内，复数z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3．在42()x x−的展开式中，常数项为（A ）-24 （B ）24 （C ）-48 （D ）484．已知向量(2)λ=,a ，(1)λ=,b，则“λ=//a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．下列函数是偶函数，且在区间(01),上单调递增的是 （A ）21y x =− （B ）tan y x = （C ）cos y x x = （D ）e e x x y −=+ 6． 已知抛物线2:2C y px =(0)p >过点A (1，焦点为F .若点(0)B m ,满足AF BF =,则m 的值为（A ）2 （B1 （C ）2或1− （D1或11.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。

2.本次练习所有答题均在答题卡上完成。

选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。

非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。

3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效，在练习卷、草稿纸上答题无效。

2022-2023学年北京市师大附中高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知向量，且，那么（ ）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= a bxy =A ． B ．9 C ． D ．1818-9-【答案】D【分析】，则，使得，据此计算即可.a bR λ∃∈a b λ= 【详解】依题意，由可知，，使得，于是，解得a b R λ∃∈a b λ= 1321x y l l l ì-=ïï=íï=ïî1363x y l ì=-ïïï=-íï=-ïïî于是. 18xy =故选：D.2．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( ) O ()2,2A -OA A ． B ． ()()22112x y -++=()()22118x y -++=C ． D ．()()22112x y ++-=()()22118x y ++-=【答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒ 【详解】由题知圆心为，半径()11-，r ∴圆的方程为﹒ 22(1)(1)2x y -＋＋＝故选：A ﹒3．已知双曲线的渐近线方程为，则实数m 的值为（ ）221x y m-=12y x =±A ． B ．4 C ． D ．144-14-【答案】B【分析】利用双曲线方程得出，再利用渐近线定义得，解方程求出值.0m >12y x =±=m 【详解】已知方程表示的曲线为双曲线，所以，221x y m-=0m >该双曲线的渐近线为，又，得出12y x =±=0m > 4m =4．若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为22(0)y px p =>22195x y +=（ ） A ． B ．C ．D ．=1x -1x =2x =2x =-【答案】D【分析】先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程.【详解】∵椭圆的右焦点坐标为，22195x y +=(2,0)∴抛物线的焦点坐标为， (2,0)∴抛物线的准线方程为， 2x =-故选：D.5．已知直线l 过点，且与直线垂直，则直线l 的一般式方程为（ ） (3,1)A -230x y -+=A ． B ．C ．D ．230x y ++=250x y ++=210x y +-=220x y +-=【答案】B【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线l 20x y m ++=()3,1-m 方程【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为， l 230x y -+=l 20x y m ++=因为直线过点，所以，得， l ()3,1-610m -++=5m =所以直线方程为， l 250x y ++=故选：B.6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面的距离是（ ）QGCA ．B ．C D 1412【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可. QGC 【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，，设平(0,2,0)C ()1,0,2Q (0,0,2)G (1,1,0)A (1,2,2)QC =--(1,0,0),(1,1,0)QG AC =-=- 面的法向量为，则，即，则平面的一个法向量为QGC (,,)n x y z = 00n QC n QG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0220x x y z -=⎧⎨-+-=⎩QGC ，(0,1,1)n =则点A 到平面的距离QGC d 故选：C7．如图，在正方体中，E 是棱CD 上的动点．则下列结论不正确的是（）1111ABCD A B C D -A ．平面 1//D E 11AB BA B ．11EB AD ⊥C ．直线AE 与所成角的范围为 11B D (,42ππD ．二面角的大小为11E A B A --4π【答案】C【分析】由平面平面，平面，即可判断A ；建立空间直角坐标系计11//CDD C 11A B BA 1D E ⊂11CDD C 算即可判断选项B ；求的范围即可判断选项C ；先找出二面角的平面角为11EB AD ⋅11|cos(,)|AE B D 即可判断选项D ，进而可得正确选项．1DA A ∠【详解】对于选项A ：因为平面平面，平面， 11//CDD C 11A B BA 1D E ⊂11CDD C 所以平面，故选项A 正确；1//D E 11A BBA如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，(1,0,0)A (0,,0),01E m m ≤≤，，，对于选项B ：，，1(1,1,1)B 1(0,0,1)D 1(1,0,1)A 1(1,1,1)EB m =- 1(1,0,1)AD =-因为，所以，即， 11(1,1,1)(1,0,1)1010EB AD m ⋅=-⋅-=-++=11EB AD ⊥ 11EB AD ⊥故选项B 正确；对于选项C ：，，设直线与所成角为，(1,,0)AE m =- 11(1,1,0)B D =--AE 11B D θ则，11cos |cos ,|AE B D θ=〈〉=当，此时最小为，0m =θ4π当时最小等于0，此时最大为，所以， 1m =cos θθ2π,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即直线与所成角的范围为，故选项C 不正确；AE 11B D ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦对于选项D ：二面角即二面角， 11E A B A --11D A B A --因为，，111DA A B ⊥111AA A B ⊥平面，平面， 1DA ⊂11EA B 1AA ⊂11AA B 所以即为二面角的平面角，1DA A ∠11E A B A --在正方形中，，所以二面角的大小为，11ADD A 14DA A π∠=11E A B A --4π故选项D 正确， 故选：C.8．设是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“”是“对任意正整数n ，”的{}n a 0q <212n n a a ->（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．【详解】是首项为正数的等比数列，若公比，则数列中奇数项为正，偶数项为负，一定{}n a 0q <有，充分性满足，212n n a a ->但是时，数列各项均为正，，也就是说时，得不出，不必01q <<2212n n n a a q a -=<221n n a a -<0q <要． 故选：A ．9．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，xoy C 228150x y x +-+=2y kx =+使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆有公共点，则的最小值是（ ） C k A ．B ．C ．D ．43-54-35-53-【答案】A【分析】化圆的方程为，求出圆心与半径，由题意，只需与直线C 22(4)1x y -+=22(4)4x y -+=有公共点即可．2y kx =+【详解】解：圆的方程为，整理得：，即圆是以为圆 C 228150x y x +-+=22(4)1x y -+=C (4,0)心，1为半径的圆；又直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，2y kx =+C 只需圆与直线有公共点即可．∴22:(4)4C x y '-+=2y kx =+设圆心到直线的距离为， (4,0)C 2y kx =+d则，即，2d =234k k -…．403k ∴-…的最小值是．k ∴43-故选：．A 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“与直线有公共22(4)4x y -+=2y kx =+点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．10．已知曲线，点，下面有四个结论： 2:||44C x x y +=F ①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4；③曲线C 上任意点P 满足；||2PF ≥④曲线C 与曲线有5个不同的交点． (22)(22)0x y x y --+-=则其中所有正确结论的序号是（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．①②③【答案】D【分析】根据点对称即可判断①；根据椭圆的几何性质可判断②；根据双曲线和椭圆上的点到的距离可做出判断③；由直线与曲线的关系可判断④.)F【详解】①：在上时，也在上，曲线关于轴对称，故①对；(),x y C (),x y -C ∴C x ②：当 ，此时曲线是椭圆的右半部分.矩形的面积为封闭图形面积不220,44x x y >+=ABCD 4,∴超过故②对；4,③：当时 ，，0x ≥2214x y +=)02PF x ===≤≤ ，当时，2x =min 2PF =当 时，，综上，可知曲线上任意点满足，故③对.0x <2214x y -=2PF >C P 2PF ≥④：与曲线相交于点，与曲线相交于点， 220x y --=(2,0),(0,1)-220x y +-=(2,0),(0,1)当 时，，此时双曲线的渐近线方程为，与，0x <2214x y -=12y x =±220x y --=220x y +-=平行，故不会有交点.所以共有3个交点，故④错. 故选：D.二、填空题11．已知等比数列中，，则数列的前5项和____________． {}n a 1231,27a a a =={}n a 5S =【答案】121【分析】设等比数列的公比为q ，由条件结合等比数列通项公式列方程求 q ，利用等比数列求{}n a 和公式求．5S 【详解】设等比数列{an }的公比为q ，因为，，所以，解得， 181a =2327a a =23127q ⨯=3q =则数列的前5项和.{}n a ()5511312113S -==-故答案为：．12112．已知圆，若直线与圆C 相交得到的弦长为22:(1)(1)4C x y -++=1y kx =+k =____________． 【答案】##-0.7534-【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式和几何法求出圆的弦长，列出关于k 的方程，解之即可.【详解】由圆，得圆心，半径， 22:(1)(1)4C x y -++=(1,1)C -2r =则圆心到直线即的距离为(1,1)C -1y kx =+10kx y -+=， d 222d r +=有，解得.21=34k =-故答案为：.34-13．已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，若22219x y b +=(03)b <<12,F F P ，则的面积为____________． 120PF PF ⋅=12PF F △【答案】3【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据3a =c =12F F =126PF PF +=有.即可求出，进而求出三角形的面积.120PF PF ⋅= 221224PF PF +=126PF PF ⋅=【详解】由已知可得，，，所以，3a =c e a ==c =12F F =因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，， P 126PF PF +=所以.()222121212236PF PF PF PF PF PF +=++⋅=又，所以为直角三角形，则，120PF PF ⋅= 12PF F △222121224PF PF F F +==所以，所以. 126PF PF ⋅=1212132PF F S PF PF =⋅=△故答案为：3.14．已知正方体的棱长为2，点M ，N 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，点P 在平面1111ABCD A B C D -内，点Q 在线段A 1N 上，若，则PQ 长度的最小值为____.1111D C B A PM =1 -【分析】取的中点，连接，得到，求得，得到点在以11B C O ,OM OP MO OP ⊥11A N OP ==P O 为圆心，1为半径的半圆上，在平面图形中，求得，结合，即可求解. 1111D C B A 1A NO S 11322A N OH ⋅=【详解】如图所示，取的中点，连接，则平面，所以， 11BC O ,OM OP MO ⊥1111D C B A MO OP ⊥因为的棱长为2，是的中点， PM =1111ABCD A B C D -N 11D C所以，11A N OP ==所以点在以为圆心，1为半径的位于平面内的半圆上，P O 1111D C B A单独画出平面及相关点、线，如图所示， 1111D C B A 所以点到的距离减去半径就是长度的最小值， O 1A N PQ 连接，作交于， 1,A O ON 1OH A N ⊥1A N H 则，11113221111212222A NO S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 所以，解得11322A N OH ⋅=OH =所以.PQ1. 1三、双空题15．角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过86m =63105168421→→→→→→→→个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m 为正整数），{}n a 1a m =①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则1,,231,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时13m =1n a =91a =m 所有可能取值的和为_______． 【答案】 9 385【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可.【详解】m =13，依题意， ， 314020105168421m +=→→→→→→→→共9共 步骤；若， ， 或，91a =872,4a a ==68a =61a =若， 68a =2143215214321128,25632,6421,421620,405,103,6a a a a a a a a a a a a a ⎧==⎧==⎨⎪==⎪⎩=⎨==⎧⎪==⎨⎪==⎩⎩若，61a =132********8,1652,41,2,4a a a a a a a a a ⎧=⎧==⎨⎪===⎨⎩⎪===⎩ 的集合为 ，其和为385；1a {}256,42,40,6,32,5,4故答案为：9,385.四、解答题16．已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且成等比数列． {}n a n n S 10110S =124,,a a a （1）求数列的通项公式； {}n a （2）若，求数列的前项和．1(1)(1)n n n b a a =-+{}n b n n T 【答案】（1）；（2） 2n a n =11(1221n -+【分析】（1）根据为等差数列，前项和为，，且成等比数列．利用公式{}n a n n S 10110S =124,,a a a 即可求解公差和首项，可得数列的通项公式；{}n a （2）将的带入求解的通项公式，利用“裂项求和”即可得出． n a {}n b 【详解】（1）根据为等差数列，．{}n a 0d ≠前项和为，且，即，…①n n S 10110S =11101045a d =+∵成等比数列．可得：．∴…②124,,a a a 2214a a a =⋅2111()(3)a d a a d +=+由①②解得：，∴数列的通项公式为122a d =⎧⎨=⎩{}n a 2n a n =（2）由，()()n n 111n b a a =-+即=．()()12n 12n 1n b =-+11122n 12n 1⎛⎫- ⎪-+⎝⎭那么：数列的前项和{}n b n12n n T b b b =+++ 111111(123352121n n =-+-++--+ . 11(1)221n =-+【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．如图.在正方体中，E 为的中点．1111ABCD A B C D -1DD(1)求证：平面ACE ；1//BD (2)求直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见详解【分析】（1）连连接BD 与AC 交于点O ，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判1//OE BD 定定理可得. （2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计AD ACE 算即可.【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，因为O ，E 为中点，所以,又平面，平面，1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE所以平面；1//BD ACE （2）建立如图所示的空间直角坐标系令，所以2AB =()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,,0,0,2,1A D C E()()()0,2,0,2,2,0,0,2,1AD AC AE === 设平面的一个法向量为ACE (),,n x y z = 所以，令 2200200x y n AC y z n AE ⎧+=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎩1,1,2y x z =-==所以，()1,1,2n =- 所以直线AD 与平面ACE18．如图，在三棱柱中，平面，是边长为的正三角形，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ABC 2分别为 的中点．13,,AA D E =,AB BC(1)求证：平面．CD ⊥11AA B B (2)求二面角的余弦值．1B AE B --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，进而根据判定定理即可证明；CD AB ⊥1AA CD ⊥（2）取的中点为，连接，证明，，进而建立如图所示的11A B F DF DF AB ⊥CD AB CD DF ⊥⊥，空间直角坐标系D -xyz ，利用坐标法求解即可；【详解】（1）解：在三棱柱中，因为平面，平面， 111ABC A B C -1AA ⊥ABC CD ⊂ABC 所以．1AA CD ⊥又为等边三角形，为的中点，ABC D AB 所以．CD AB ⊥因为平面，11,,AB AA A AB AA =⊂ 11AA B B 所以平面 ．CD ⊥11AA B B （2）解：取的中点为，连接，11A B F DF 因为在三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点， 111ABC A B C -11AA B B ,D F 11,AB A B 所以，1//DF AA 因为平面，平面，1AA ⊥ABC AB ⊂ABC 所以1AA AB ⊥所以．由（1）知，DF AB ⊥CD AB CD DF ⊥⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，由题意得111(1,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(1,3,0),,2A B C A B E ⎛--- ⎝所以，．13,(2,3,0)2AE AB ⎛=-=- ⎝设平面的法向量， 1AB E (,,)n x y z =则，令，则． 1302230n AE x z n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ 1x=2,3y z==21,3n ⎛= ⎝ 由题意可知，平面的一个法向量BAE 1(0,3,0).AA = 因为．111cos ,AA n AA n AA n ⋅===⋅ 由已知可得二面角为锐角， 1B AE B --所以二面角 1B AE B --19．已知椭圆：的离心率为，且经过点， C ()222210x y a b a b+=>>1231,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（1）求椭圆的标准方程；C （2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直()1,0l A B x Q线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．QA QB x Q 【答案】（1）；（2）存在，使得两条不同直线，恰好关于轴对称. 22143x y +=(4,0)Q QA QB x 【解析】（1）将点坐标代入方程，结合离心率公式及，即可求出，进而可222a b c =+2,a b ==求得椭圆的标准方程；C （2）设直线l 的方程为，与椭圆联立，可得，的表达式，根据题意可得，直1x my =+12y y +12yy 线，的斜率互为相反数，列出斜率表达式，计算化简，即可求出Q 点坐标.QA QB 【详解】（1）有题意可得，解得， 22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2,1a b c ===所以椭圆的方程为. C 22143x y +=（2）存在定点，满足直线，恰好关于x 轴对称，(4,0)Q QA QB 设直线l 的方程为，由， 1x my =+221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得，，22(43)690m y my ++-=22(6)4(43)(9)0m m ∆=-⨯+⨯->设，定点，由题意得，1122(,),(,)A x y B x y (,0)Q t 12,t x t x ≠≠所以， 12122269,4343m y y y y m m +=-=-++因为直线，恰好关于x 轴对称，QA QB 所以直线，的斜率互为相反数，QA QB 所以，即， 12120y y x t x t+=--1221()()0y x t y x t -+-=所以，即，11221)1()(0y y my t my t +-++-=1212(1)()02y y t y m y +-+=所以，即， 22962()(1)(04343m m t m m ⋅-+--=++6(4)0m t --=所以当时，直线，恰好关于x 轴对称，即.4t =QA QB (4,0)Q 综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x 轴对称.x (4,0)Q QA QB 【点睛】本题考查椭圆的方程及几何性质，考查直线与椭圆的位置关系问题，解题的关键是将条件：直线，恰好关于x 轴对称，转化为直线，的斜率互为相反数，再根据韦达定理QA QB QA QB 及斜率公式，进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.20．已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，A (2，y 0)是E 上一点，且|AF |＝2.（1）求E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线y ＝x －3交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，证明：直线BM 过定点.【答案】（1）x 2＝4y ；（2）证明见解析.【解析】（1）利用抛物线的定义与性质求得的值，即可写出抛物线方程；p （2）设点、，由直线的方程和抛物线方程联立，消去，利用韦达定理和()11,B x y ()22,M x y BM y 、、三点共线，化简整理可得的方程，从而求出直线所过的定点．A PB BM BM 【详解】（1）由题意得，解得， 002224p AF y py ⎧=+=⎪⎨⎪=⎩021p y =⎧⎨=⎩所以，抛物线的标准方程为.E 24x y =（2）证明：设点、，设直线的方程为，()11,B x y ()22,M x y BM y kx b =+联立，消去得， 24y kx b x y=+⎧⎨=⎩y 2440x kx b --=由韦达定理得，，124x x k +=124x x b =-由轴以及点在直线上，得，MP x ⊥P 3y x =-()22,3P x x -则由、、三点共线，得， A P B 21214122x kx b x x -+-=--整理得，()()()12121241260k x x k x b x b ---++--=将韦达定理代入上式并整理得，()()12230x k b -+-=由点的任意性，得，得，B 230k b +-=32b k =-所以，直线的方程为，即直线过定点.BM ()2323y kx k k x =-+=-+BM ()2,3【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的应用问题，利用韦达定理处理由、、三点共线是解第二问的关键，是中档题．A PB 21．已知有限数列为单调递增数列．若存在等差数列，对于A 中任意12:,,,m A a a a 121:,,,m B b b b + 一项，都有，则称数列A 是长为m 的数列．i a 1i i i b a b +≤<Ω（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：Ω①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若，证明：数列a ，b ，c 为数列；(,,)a b c a b c R <<∈Ω（3）设M 是集合的子集，且至少有28个元素，证明：M 中的元素可以构成一{|063}x N x ∈≤≤个长为4的数列．Ω【答案】（1）①数列，，，是数列；②数列，，，是数列；（2）证明见解1458Ω24816Ω析；（3）证明见解析．【分析】（1）由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当，和三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解； b a c b -=-b a c b -<-b a c b ->-（3）假设中没有长为的数列，先考虑集合，得到存在一个，使M 4Ω{16,161,,1615}k M k k k =++L k 得中没有一个元素属于，再考虑集合，得到k M M ,{164,1641,k j M k j k j =+++1642,1643}k j k j ++++存在一个，使得中没有一个元素属于，进而证得集合中至多有个元素，即可得到结j ,k j M M M 27论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列，，，是数列；数列，，，是数列． 1458Ω24816Ω（2）①当时，令，，，，b ac b -=-1b a =2b b =3b c =42b c b =-所以数列，，，为等差数列，且，1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω②当时，令，，，，b ac b -<-12b b c =-2b b =3b c =42b c b =-所以数列，，，为等差数列，且．1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω③当时，令，，，， b a c b ->-1b a =22a c b +=3b c =432c a b -=所以数列，，，为等差数列，且．1b 2b 3b 4b 1234b a b b b c b <<<≤≤≤所以数列，，为数列．a b c Ω综上，若，数列，，为数列．a b c <<a b c Ω（3）假设中没有长为的数列，M 4Ω考虑集合，，，，．{16,161,,1615}k M k k k =++L 0k =123因为数列，，，，是一个共有5项的等差数列，016324864所以存在一个，使得中没有一个元素属于．k k M M 对于其余的，k 再考虑集合，，，，．,{164,1641,1642,1643}k j M k j k j k j k j =+++++++0j =123因为，，，，是一个共有5项的等差数列， 164k j +1644k j ++1648k j ++16412k j ++16416k j ++所以存在一个，使得中没有一个元素属于．j ,k j M M 因为中个数成等差数列，所以每个中至少有一个元素不属于．,k j M 4,k j M M 所以集合中至少有个元素不属于集合．{|063}x x ∈N ≤≤16431937+⨯+⨯=M 所以集合中至多有个元素，这与中至少有个元素矛盾．M 643727-=M 28所以假设不成立．所以中的元素必能构成长为4的数列．M Ω【点睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。

2022-2023学年北京市朝阳区高二（上）期末数学试卷1. 已知{a n }为等差数列，a 5=4，则a 4+a 6=( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 已知点M(a,2)(a >0)到直线l ：x −y +3=0的距离为1，则实数a =( ) A. √2−1 B. √2C. 2−√2D. √2+1 3. 设函数f(x)=x +lnx ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. x −y −1=0B. 2x −y −1=0C. x −y −2=0D. 2x −y −2=0 4. 已知F 是抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P(3,y 0)在抛物线C 上，则|PF|=( )A. 2√3B. 2√3+1C. 3D. 45. 已知直线l 1：x +ay +1=0，直线l 2：(a +2)x +3y −1=0，则“a =1”是“l 1//l 2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在四面体OABC 中，G 是BC 的中点，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗B. −a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ C. −12a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ D. 12a ⃗ −b ⃗ −c ⃗7. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( ) A. a <−√3或a >√3 B. x 1是f(x)的极小值点 C. x 1+x 2=13 D. x 1x 2=−138. 在平面直角坐标系xOy 中，设F 1，F 2是双曲线C:x2−y 22=1的两个焦点，点M 在C 上，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△F 1F 2M 的面积为( )A. √3B. 2C. √5D. 49. 如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ，B 是直线l 上的两点，C ，D 是平面β内的两点，且DA ⊥l ，CB ⊥l ，DA =4，AB =6，CB =8，若平面α内的动点P 满足∠APD =∠BPC ，则四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为( )A. 24B. 24√3C. 48D. 48√310. 斐波那契数列{F n }(n ∈N ∗)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：F 1=F 2=1，当n >2时，F n =F n−1+F n−2.若F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m，则m=( )A. 98B. 99C. 100D. 10111. 函数f(x)=x ⋅e x 的导函数f′(x)=______.12. 已知平面α的法向量为n ⃗ =(1,2,−2)，直线l 的方向向量为u ⃗ =(−2,m,4)，且l ⊥α，则实数m =______.13. 过圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心且与直线x −y =0平行的直线的方程是______.14. 设点F 1，F 2分别为椭圆C:x 22+y 2=1的左、右焦点，则椭圆C 的离心率为______；经过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______.15. 已知{a n }是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数n ，2a 2n−1+a 2n >0恒成立，则q 的值可以是______.(只需写出一个)16. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D 在平面直角坐标系xOy 中的方程为x 3+y 3−3axy =0.当a =1时，给出下列四个结论： ①曲线D 不经过第三象限； ②曲线D 关于直线y =x 轴对称；③对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =−x +k 一定有公共点； ④对任意k ∈R ，曲线D 与直线y =k 一定有公共点． 其中所有正确结论的序号是______.17. 设函数f(x)=13x 3−x 2−3x +1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅰ)当x ∈[0,4]时，求f(x)的最大值与最小值．18. 已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，a1=1，a5=9.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列{b n}的前n项和T n.条件①：b n=2a n；条件②：b n=2n+a n；条件③b n=1a n⋅a n+1.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC=π2，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，点O是AB的中点．(Ⅰ)求证：PO⊥CD；(Ⅰ)求二面角A−PO−D的余弦值；(Ⅰ)在棱PC上是否存在点M，使得BM//平面POD？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．20. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，且点P(1,√32)在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅰ)过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y1y2≠0.问：x轴上是否存在点N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．21. 在无穷数列{a n}中，a1=√2，a2=1，a n+2=|a n+1−a n|，n∈N∗.(Ⅰ)求a4a1与a7a4的值；(Ⅰ)证明：数列{a n}中有无穷多项不为0；(Ⅰ)证明：数列{a n}中的所有项都不为0.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵{a n}为等差数列，a5=4，∴a4+a6=2a5=8.故选：C.利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由题意得√2=1，因为a>0，解得a=−1+√2或a=−1−√2(舍).故选：A.由已知结合点到直线的距离公式即可求解．本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：f′(x)=1+1x，则f′(1)=2，又f(1)=1，则由点斜式可得，所求切线方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0.故选：B.先对函数f(x)求导，进而利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式得解．本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵抛物线C的方程为：y2=4x，∴抛物线的焦点F到准线的距离p=2，又P(3,y0)在抛物线C上，∴|PF|=p2+3=4.故选：D.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．5.【答案】C【解析】解：a =1时，直线l 1：x +y +1=0，直线l 2：3x +3y −1=0，所以l 1//l 2，充分性成立；直线l 1//l 2时，a(a +2)−3=0，解得a =1或a =−3， 因为a =−3时，l 1与l 2重合，所以l 1//l 2时a =1，必要性成立； 所以“a =1”是“l 1//l 2”的充分必要条件． 故选：C.分别判断充分性和必要性是否成立即可．本题考查了充分必要条件的判断问题，也考查了两直线平行的判断问题，是基础题．6.【答案】B【解析】解：AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(c ⃗ −a ⃗ +b ⃗ −a ⃗ )=−a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ .故选：B.根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：若函数f(x)=x 3+ax 2+x +1(a ∈R)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)， 则f′(x)=3x 2+2ax +1有2个不同零点，则Δ=4a 2−12>0，解得a >√3或a <−√3，故A 正确， 由于3>0，则函数f′(x)的图像开口向上， 则x 1是f(x)的极大值点，故B 错误， 由x 1⋅x 2=13，x 1+x 2=−2a3，则CD 错误， 故选：A.求出函数的导数，结合二次函数的性质对各个选项分别判断即可． 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2， 因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，即(MF 1−MF 2)2+2MF 1⋅MF 2=12，所以MF 1⋅MF 2=4，三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2=2， 故选：B.由双曲线的定义知：||MF 1|−|MF 2||=2，结合MF 1⊥MF 2，利用勾股定理可得，MF 12+MF 22=F 1F 22=12，结合三角形的面积S =12MF 1⋅MF 2，从而可求．本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：在平面β内，由DA ⊥l ，CB ⊥l ，可得DA//BC ， 又DA =4，CB =8，∴四边形ADCB 为直角梯形， S ADCB =12×(AD +BC)×AB =12×(4+8)×6=36，要使四棱锥P −ABCD 的体积取最大值，只要四棱锥P −ABCD 的高h 取最大值即可， ∵平面α⊥平面β，α∩β=l ，过点P 向l 作垂线交l 于E ，根据面面垂直的性质得PE ⊥α，则PE =ℎ，∵PE 是△PAB 的高，且由DA ⊥l ，CB ⊥l ，知DA ⊥α，CB ⊥α， ∵AP ⊂α，PB ⊂β，∴DA ⊥AP ，BC ⊥PB ， 在Rt △PAD 中，tan∠APD =ADAP，在Rt △PBC 中，tan∠BPC =BC BP， ∵∠APD =∠BPC ，∴ADAP =BCBP ，∴APBP =ADBC =48=12，∴BP =2AP ， 设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中，由余弦定理得cosθ=AP 2+BP 2−AB 22AP⋅BP=5m 2−364m 2， ∵sinθ>0，∴sinθ=√1−cos 2θ=√1−(5m 2−364m 2)2=34m 2√−(m 2−20)2+256， 则S △APB =12PA ⋅PBsinθ=34√−(m 2−20)2+256，∵S △APB =12AB ⋅ℎ=3ℎ， ∴ℎ=14√−(m 2−20)2+256，根据三角形三边关系可得{PA +PB >AB =6|PA −PB|<AB =6，∴{3m >6m <6，解得2<m <6，4<m 2<36，∴当m 2=20时，ℎ=14√−(m 2−20)2+256有最大值为14√256=4，∵四棱锥P −ABCD 的体积为V =12×S ADCB ⋅ℎ≤13×36×4=48， ∴四棱锥P −ABCD 的体积的最大值为48. 故选：C.根据已知可得S ABCD =36，则当四棱锥的高h 最大，即△PAB 的高PE 最大即可，根据面面垂直的性质得出线线垂直关系，结合∠APD =∠BPC ，可得BP =2AP ，设∠APB =θ，AP =m ，在△APB 中根据余弦定理结合面积公式得到ℎ=14√−(m 2−20)2+256，由三边关系得到2<m <6，即可得到ℎ<4，代入体积公式能求出四棱锥P −ABCD 的体积的最大值．本题考查四棱锥结构特征、余弦定理、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由已知得F 12=F 2⋅F 1，且F n−1=F n −F n−2， 所以F 22=F 2⋅(F 3−F 1)=F 2⋅F 3−F 2⋅F 1， F 32=F 3⋅(F 4−F 2)=F 4⋅F 3−F 3⋅F 2，........F m 2=F m ⋅(F m+1−F m−1)=F m ⋅F m+1−F 3⋅F m−1， 累加整理可得F 12+F 22+.....+F m 2=F m ⋅F m+1；又因为F 100=F 12+F 22+F 32+⋯+F m2F m=F m+1.即F m+1是该数列的第100项，所以m =99，所以B 选项正确． 故选：B.利用累加法即可求解．本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．11.【答案】(1+x)e x【解析】解：函数的导数f′(x)=e x +xe x =(1+x)e x ， 故答案为：(1+x)e x根据函数的导数运算公式即可得到结论．本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式．12.【答案】−4【解析】解：根据题意，若l ⊥α，则n ⃗ //u ⃗ ， 必有1−2=2m =−24，解可得m =−4， 故答案为：−4.根据题意，分析可得n ⃗ //u ⃗ ，由此分析可得答案．本题考查空间向量的应用，涉及线面垂直的判断方法，属于基础题．13.【答案】x −y +1=0【解析】解：因为圆C ：(x +1)2+y 2=1的圆心为(−1,0)，故过圆心(−1,0)且与直线x −y =0平行的直线为y =x +1，即x −y +1=0. 故答案为：x −y +1=0.先求出圆心C 的坐标，然后结合直线平行的斜率关系即可求解直线方程． 本题主要考查了直线的点斜式方程的应用，属于基础题．14.【答案】√22 0【解析】解：由椭圆C:x 22+y 2=1可得，a =√2,b =1，所以c =1，则离心率e =c a=√22.根据椭圆的对称性可得，P ，Q 点关于原点对称， 设P(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0).且S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2×12|F 1F 2||y 0|=2|y 0|， 当|y 0|最大时，面积最大，则此时P ，Q 为短轴顶点， 不妨设P(0,1)，F 1(−1,0)，F 2(1,0)， 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)， 所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1×1+(−1)×(−1)=0. 故答案为：√22;0.根据已知求出a ，b ，c 的值，即可得到离心率；根据对称性可得，S PF 1QF 2=2S △PF 1F 2=2|y 0|，所以P ，Q 为短轴顶点写出P ，F 1，F 2的坐标，即可得到结果． 本题考查了椭圆的性质，属于基础题．15.【答案】−3(答案不唯一)【解析】解：依题意，2a 1q 2n−2+a 1q 2n−1=a 1q 2n−2(2+q)>0， 又a 1<0,q 2n−2=(q n−1)2>0， 则2+q <0，即q <−2， 所以q 的值可以是−3. 故答案为：−3(答案不唯一).根据题意可建立关于q 的不等式，解不等式可得q 的范围，进而得解．本题主要考查等比数列的通项公式以及不等式的性质，考查运算求解能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：当a =1时，方程为x 3+y 3−3xy =0，当x ，y <0时，x 3+y 3−3xy <0，故第三象限内的点不可能在曲线上，①正确； 将点(y,x)代入曲线方程，得x 3+y 3−3xy =0，故曲线关于直线y =x 对称，②正确； 当k =−1，联立{x 3+y 3−3xy =0x +y =−1，其中x 3+y 3−3xy =(x +y)(x 2+y 2−xy)−3xy =0，将x +y =−1代入，得−(x +y)2=0，即x +y =0，则方程组无解， 故曲线D 与直线x +y =−1无公共点，③错误； 联立{x 3+y 3−3xy =0y =k，可得x 3+k 3−3xk =0有解，设t(x)=x 3+k 3−3xk ，则t′(x)=3x 2−3k =3(x −√k)(x +√k)， 当k >0时，t(x)在(−∞,−√k),(√k,+∞)单调递增， (−√k,√k)单调递减，值域为R ，所以t(x)=0成立， 当k =0时，t(0)=0成立；当k <0时，t′(x)=3x 2−3k >0，t(x)单调递增， t(−k)=−k 3+k 3+3k 2>0，t(k)=k 3+k 3−3k 2<0， 所以∃x 0∈(k,−k)，t(x 0)=0成立，所以曲线D 与直线y =k 一定有公共点，故④选项正确． 故答案为：①②④．当x ，y <0时，判断x 3+y 3−3xy =0是否成立；将点(y,x)代入方程，判断与原方程是否相同；联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解，再逐一判断结论即可．本题主要考查曲线与方程和命题的真假判断与应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)定义域为R ，f′(x)=x 2−2x −3=(x +1)(x −3)，f′(x)>0⇒x <−1或x >3，f′(x)<0⇒−1<x <3，故f(x)的单调递减区间为(−1,3)，单调递增区间为(−∞,−1)，(3,+∞)； (Ⅰ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增，故f(x)min =f(3)=−8，由f(0)=1>f(4)=−173，故f(x)max =1. 【解析】(Ⅰ)求出导数，判断导数的符号解决问题； (Ⅰ)求出当x ∈[0,4]时f(x)的单调性，即可求出结论． 本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则d=a5−a15−1=9−14=2，∴a n=1+2⋅(n−1)=2n−1，n∈N∗，S n=n⋅1+n(n−1)2⋅2=n2.(Ⅰ)方案一：选择条件①由(Ⅰ)，可得b n=2a n=22n−1=2⋅4n−1，则数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，∴T n=2(1−4n)1−4=2(4n−1)3.方案二：选择条件②由(Ⅰ)，可得b n=2n+a n=2n+(2n−1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=(21+a1)+(22+a2)+⋅⋅⋅+(2n+a n)=(21+22+⋅⋅⋅+2n)+(a1+a2+⋅⋅⋅+a n)=21−2n+11−2+S n=2n+1−2+n2=2n+1+n2−2.方案三：选择条件③由(Ⅰ)，可得b n=1a n⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12⋅(12n−1−12n+1)，则T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n=12⋅(1−13)+12⋅(13−15)+⋅⋅⋅+12⋅(12n−1−12n+1)=12⋅(1−13+13−15+⋅⋅⋅+12n−1−12n+1)=12⋅(1−12n+1)=n2n+1.【解析】(Ⅰ)先设等差数列{a n}的公差为d，再根据等差数列的定义计算出公差d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式及S n；(Ⅰ)在选择条件①的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式并进行转化，即可发现数列{b n}是以2为首项，4为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件②的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用分组求和法及等比数列的求和公式即可计算出前n项和T n；在选择条件③的情况下，先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和T n.本题主要考查数列求通项公式，以及求前n 项和问题．考查了转化与化归思想，等差数列和等比数列求和公式的运用，分组求和法，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA =PB =3，点O 为AB 的中点，∴PO ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，交线为AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥CD.(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，OE =2，OE//BC ，∵∠ABC =90∘，∴AB ⊥BC ，AB ⊥OE ，由(1)知，PO ⊥平面ABCD.以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,2√2)，D(−1,3,0)， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2√2)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,3,0)， 设平面POD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +3y =0，令x =3，得m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)，取平面APO 的法向量为n ⃗ =(0,1,0)， 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√10×1=√1010，因为二面角A −PO −D 的平面角为锐角，所以二面角A −PO −D 的余弦值为√1010.(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M ，使得BM//平面POD ，此时CM CP=λ，因为C(1,1,0)，所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−2√2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ,2√2λ)，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,−λ+1,2√2λ)， 因为BM//平面POD ，m ⃗⃗⃗ =(3,1,0)为平面POD 的一个法向量，所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−3λ−λ+1=0，解得λ=14，因此侧棱PC 上存在点M ，当CM CP =14时，满足BM//平面POD.【解析】(Ⅰ)根据点O 为AB 的中点，得到PO ⊥AB ，结合平面PAB ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此证明PO ⊥CD ；(Ⅰ)取线段CD 的中点E ，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法求出二面角A −PO −D 的余弦值；(Ⅰ)设侧棱PC 上存在点M 且CMCP =λ，使得BM//平面POD ，求出BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，根据平面的平行向量与其法向量互相垂直，得到BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，解出λ，由此即可得到在侧棱PC 上存在点M ，当CMCP=14时，满足BM//平面POD.本题主要考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得2a =4，即a =2，将P 点的坐标代入椭圆的方程可得14+34b2=1，解得b 2=1，所以椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(Ⅰ)由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +4，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题意可得A ，B 的纵坐标同号， 假设存在N(t,0)，t ≠0，联立{x =my +4x 2+4y 2=4，整理可得：(4+m 2)y 2+8my +12=0， 可得Δ=64m 2−4×12×(4+m 2)>0，即m 2>12， 且y 1+y 2=−8m4+m 2，y 1y 2=124+m 2， 设直线NA ，直线NB 与y 轴的交点分别为P ，Q ，设直线NA 的方程为：y =y 1x 1−t (x −t)，令x =0，可得y P =−ty1x 1−t ，同理可得直线NB 与y 轴的交点Q 的纵坐标为y Q =−ty2x 2−t ，由题意可得y P +y Q =0，即=−ty1x1−t+(−ty2x2−t)=0，整理可得：ty1(my2+4−t)+ty2(my1+t−4)，因为t≠0，即2my1y2+(4−t)(y1+y2)=0，即24m4+m2+(4−t)⋅(−8m)4+m2=0，整理可得：m(t−1)=0，t=1时不论m为何值，等式恒成立，即N(1,0)，所以存在N(1,0)满足条件．【解析】(Ⅰ)由题意可得a的值，再将点P的坐标代入椭圆的方程，可得b的值，进而求出椭圆的方程；(Ⅰ)由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，设直线AN，BN的方程，令x=0，可得两条直线与y轴的交点的纵坐标，由题意可得所得的纵坐标之和为0，可得N点的坐标．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由a1=√2,a2=1,a n+2=|a n+1−a n|,n∈N∗可得，a3=|a2−a1|=√2−1,a4=|a3−a2|=2−√2,a5=|a4−a3|=3−2√2，a6=|a5−a4|=√2−1,a7=|a6−a5|=3√2−4，所以a4a1=√2√2=√2−1，a7a4=√2−42−√2=√2−1；证明：(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，则会存在一个数m，当n≥m时，a n=0，则a m=0，a m+1=0，由a m+1=|a m−a m−1|可得a m−1=0；由a m=|a m−1−a m−2|可得a m−2=0…由a3=|a2−a1|可得a1=0，与题意矛盾，故假设不成立，所以数列{a n}中有无穷多项不为0；证明：(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，因为a n=|a n−1−a n−2|，所以a n−1≠a n−2，所以由a n−1=|a n−2−a n−3|可得a n−3≠0，同理可得a n−6，a n−9，a n−12，⋯，a n−3k≠0(n−3k>0,k∈N)，当n−3k=1即n=1+3k时，因为k∈N，且a1≠0，所以数列{a3k+1}所有项都不为0，当n−3k=2即n=2+3k时，因为k∈N，且a2≠0，所以数列{a3k+2}所有项都不为0，当n−3k=3即n=3+3k时，因为k∈N，且a3≠0，所以数列{a3k+3}所有项都不为0，综上可得数列{a n}中的所有项都不为0.【解析】(Ⅰ)利用递推公式求a4，a7的值即可；(Ⅰ)假设数列{a n}中有限个项不为0，然后推出与题意矛盾即可求证；(Ⅰ)由(Ⅰ)可得在无穷处能找到一个a n≠0，利用递推公式可得数列{a n}呈周期变化，a n+3,a n+6,a n+9,a n+12,⋯,a n+3k≠0(k∈N2)，令n−3k=1，2，3即可证明．本题考查了数列递推式的应用，属于中档题．。

期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A .1- B.1C.3- D.32.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =- D.16AB =6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1B.2C.3D.47.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.159.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0B.1C.2D.310.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16π二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.期末复习二一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a （）A.1-B.1C.3- D.3C【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.2.已知直线20l y ++=，下列说法中正确的是（）A.直线l 的倾斜角为120︒B.(是直线l 的一个方向向量C.直线lD.)1-是直线l 的一个法向量A【分析】先根据方程得斜率，进而得到直线的倾斜角，以及方向向量和方法向量，从而判断各选项.【详解】因为直线:20l y ++=，所以斜率k =120︒，故A 正确，C 不正确；因为直线l 经过点()0,2A -，()B ，所以直线l 的一个方向向量为()AB =，因向量(与()AB =不共线，故(不是直线l 的一个方向向量，故B 不正确；又因为)13360AB -⋅=--=-≠，所以)1-不是直线l 的一个法向量，故D 不正确.故选：A.3.的是（）A.22142x y += B.221x y -= C.2213y x -= D.24y x=B【分析】根据标准方程逐个求出离心率，即可得到.【详解】对于A ：22142x y +=中2,a b c ===22c e a ==，所以A 错误；对于B ：221x y -=中1,1,a b c ====，则ce a==B 正确；对于C ：2213y x -=中1,2a b c ===，则2c e a ==，所以C 错误；对于D ：24y x =中1e =，所以D 错误；故选：B4.设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,C【详解】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C点睛：这是一道关于充分条件和必要条件判断的题目．考查的主要是充分条件，必要条件，熟练掌握掌握充分条件和必要条件的判定方法．本题中，利用直线平行的条件是解决问题的关键．5.若直线l ：0x y m --=经过抛物线28y x =的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，则下列说法中错误的是（）A.抛物线的焦点为()2,0B.2m =C.抛物线的准线为4x =-D.16AB =C【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，将焦点坐标代入直线方程求出实数m ，将直线方程与抛物线方程联立，求出焦点弦长，依次判断选项即可.【详解】设抛物线方程为22y px =（0p >），则焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，∵抛物线方程为28y x =，∴4p =，22p=，∴抛物线的焦点坐标()2,0F ，准线方程为2x =-，将焦点()2,0F 代入直线l 的方程：0x y m --=得200m --=，∴2m =，∴直线l 的方程为20x y --=，设直线l 与抛物线28y x =两交点坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，点A ，B 到准线的距离分别为A d ，B d ，由2820y x x y ⎧=⎨--=⎩消去y ，化简得21240x x -+=（0∆>），∴1212x x +=，∴由抛物线的定义，12A p AF d x ==+，22B p BF d x ==+，∴1212416AB AF BF x x p =+=++=+=.对于A ，抛物线的焦点坐标()2,0F ，选项A 正确；对于B ，实数m 的值为2m =，选项B 正确；对于C ，抛物线的准线方程为2x =-，选项C 错误；对于D ，弦长16AB =，选项D 正确，故以上说法中，错误的是C 选项.故选：C.6.下列关于圆C ：22(1)4x y +-=的说法中正确的个数为（）①圆C 的圆心为(0,1)C ，半径为2②直线l ：3410x y -+=与圆C 相交③圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交④过点2)作圆C 50y --=A.1 B.2C.3D.4C【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点2)在圆C ，可知点2)在圆C ，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确.【详解】对于①，由22(1)4x y +-=可知，圆心为(0,1)C ，半径为2，故①正确；对于②，圆心(0,1)C 到直线3410x y -+=的距离35d ==2<，所以直线l ：3410x y -+=与圆C 相交，故②正确；对于③，圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=的圆心1(1,2)C -，半径为3，因为圆心距1||CC ==，且3232-<<+，所以圆C 与圆1C ：22(1)(2)9x y ++-=相交，故③正确；对于④，因为点2)在圆C ：22(1)4x y +-=上，所以点2)为切点，所以切点与圆心C3=，所以切线的斜率为，所以切线方程为：2y x -=-50y +-=，故④不正确.故选：C7.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深入的研究.直到3世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线，定比小于、大于和等于1分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点，且|AB |=4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（）A.到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线B.到,A B 两点距离之比等于2的点的轨迹是圆C.到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是椭圆D.到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;根据椭圆以及双曲线的定义可判断C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确；对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B -，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2=，化简为221064(39x y -+=，即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5，即5PA PB +=，由于54>，故到,A B 两点距离之和等于5的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确；对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3，即||||3-=PA PB ,由于34<，故到,A B 两点距离之差等于3的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误，故选：D8.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若点P 满足1311534AP AB AD AA =++，则点P 到直线AB 的距离为（）A.25144 B.512C.1320D.10515B【分析】过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，【详解】解：如图，过P 作PM ⊥平面ABCD 于点M ，过M 作NM AB ⊥于点N ，连接PN ，则PN 即为所求，因为满足1311534AP AB AD AA =++，所以35AN =，13MN =，14MP =，所以512PN ==，故选：B ．【点睛】本题考查了求点到直线的距离的方法，属于基础题．9.已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，点P 是C 1与C 2在第一象限内的交点，则下列说法中错误的个数为（）①椭圆的短轴长为；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率恰好为椭圆C 1离心率的两倍；④ PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形.A.0 B.1C.2D.3A【分析】根据椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，求得m ,n ,再逐项判断.【详解】解：因为椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x yn-=有公共的焦点F 1(−3，0)，F 2(3，0)，所以2216949m n ⎧-=⎨+=⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩则①椭圆的短轴长为，故正确；②双曲线的虚轴长为③双曲线C 2的离心率32e =，椭圆C 1离心率的34e =，故正确；④由22221167145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得833P ⎛ ⎝⎭，则16PF =，211222,6PF a PF F F =-==，所以 PF 1F 2是一个以PF 2为底的等腰三角形，故正确.故选：A10.已知动圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，若直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则圆C 的面积（）A.有最小值为16π9B.有最大值为16π9C.有最小值为16πD.有最大值为16πD【分析】已知直线:50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，而圆C 经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切，则直线l 与圆相切时圆最大，直线l 与圆相离时圆最小，数形结合求出半径即可得到圆C 的面积.【详解】解：已知直线50l y -+=与圆C 最多有一个公共点，则直线l 与圆相切或相离，当直线l 与圆相离时圆最小，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时以原点O 为圆心，1为半径，圆C 的面积2min π1πS =⋅=，故A ，C 选项错误；当直线l 与圆相切时圆最大，满足经过点1(0)F ，，并且与直线1y =-相切的圆如图所示，此时直线l 与直线1y =-为圆2C 的公切线，则圆心需在两直线所成角的角平分线上，因为直线l 60︒，所以角平分线的倾斜角为30︒，斜率为33，联立501y y -+==-⎪⎩，可得63,13A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭所以角平分线的方程为133y x ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即13y x =+，恰好点1(0)F ，在角平分线上，则222r AF r =+，所以222224r r r r ===+，解得24r =，圆C 的面积2max π416πS =⋅=，故B 选项错误；故选：D.二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11.若直线l 与直线2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线l 的方程：________.112y x =--（答案不唯一）【详解】由直线l 与直线210x y --=垂直，设直线l 的方程为12y x c =-+∵直线l 不经过第一象限∴0c ≤∴可令1c =-，即直线l 的方程为112y x =--故答案为112y x =--（答案不唯一）.12.与双曲线224312y x -=有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为_________.22129x y +=【分析】双曲线化为标准形式，求出焦点，即可由共焦点进一步求出椭圆短半轴，即可求得标准方程.【详解】224312y x -=即22134y x -=，焦点为(0,，椭圆长轴26a =，即3a =，故短半轴b ==22129x y +=.故答案为：22129x y +=.13.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 为椭圆的左、右焦点，1B ，2B 为椭圆的上、下顶点，若四边形1122F B F B 是一个正方形，则椭圆的离心率为__________.22【分析】四边形1122F B F B 是个正方形，则其对角线12F F 与12B B 相等，即22c b =，由此结合a ，b ，c 的关系，即可求出离心率.【详解】∵四边形1122F B F B 是一个正方形，∴正方形1122F B F B 的对角线相等，1212F F B B =，∵焦距122F F c =，短轴长122B B b =，∴22c b =即c b =，∴a ===，∴离心率22c e a ===.故答案为：2.14.过点()2,5作圆22:(1)4C x y +-=的切线，则切线方程为__________.2x =或34140x y -+=【分析】当斜率不存在时，检验即可；当斜率存在时，设出直线，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】圆22:(1)4C x y +-=的圆心为()0,1，半径2r =过点()2,5的直线，当斜率不存在时，直线方程为2x =，符合与圆C 相切；当斜率存在时，设直线方程为()25y k x =-+，即250kx y k --+=，2=，解得34k =，此时直线方程为34140x y -+=.故答案为：2x =或34140x y -+=.15.已知O 为坐标原点，抛物线的焦点F 在x 轴上，且过点(1,2)-，P 为抛物线上一点，||3PF =，则抛物线的标准方程为___________，OPF △的面积为_____________.①.24y x =②.【分析】设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，将点(1,2)-代入求出a ，可得抛物线的标准方程；设00(,)P x y ，根据||3PF =以及抛物线的定义求出0x 和0y ，根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】依题意，设抛物线方程为22y ax =(0)a ≠，因为抛物线过点(1,2)-，所以2(2)2a -=，所以2a =，所以抛物线的标准方程为：24y x =.由24y x =可知，准线方程为：=1x -，设00(,)P x y ，则0||1PF x =+，因为||3PF =，所以013x +=，即02x =.所以2004428y x ==⨯=，所以0||y =，所以OPF △的面积为：011||||122OF y ⋅=⨯⨯=.故答案为：24y x =.16.若点()2,0到直线l 的距离小于1，则在下列曲线中：①28y x =；②()2234x y -+=；③22195x y +=；④2213y x -=；与直线l 一定有公共点的曲线的序号是_________.(写出你认为正确的所有序号)①②③④【分析】将问题转化为直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点，分别作出每个选项与圆()2221x y -+=的图象，根据包含关系可确定结果.【详解】若点()2,0到直线l 的距离小于1，则直线l 必经过以()2,0为圆心，1为半径的圆的内部，即直线l 必经过圆()2221x y -+=的内的点；对于①，作出28y x =与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与28y x =都有交点，①正确；对于②，作出()2234x y -+=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与()2234x y -+=都有交点，②正确；对于③，作出22195x y +=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与22195x y +=都有交点，③正确；对于④，作出2213y x -=与()2221x y -+=图象如下图所示，则过圆()2221x y -+=内的点的所有直线与2213y x -=都有交点，④正确.故答案为：①②③④.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中各种曲线图象之间的关系，解题关键是能够将问题转化为经过圆内部的点的直线与曲线永远有公共点，从而根据曲线方程作出图象，根据图象包含关系来确定结果.三、解答题（共3题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.(1)证明见解析；(2)1010.【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角．【详解】(1)在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以EM AD ，且12EM AD =．又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以BN AD ∥，且12=BN AD ，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形MNBE 是平行四边形．所以MN BE ∥．由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ．(2,2,2),(2,0,0)PC CD →→=-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ，所以(0,1,1)m = ．(2,0,1)MN =- ，设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，有：sin cos ,MN m θ= =MN m MN m⋅⋅10．所以直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为1010．【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．18.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.（1）22143x y +=（2）证明见解析，定值为6【分析】（1）根据24AB a ==、离心率和椭圆,,a b c 之间关系可直接求得结果；（2）设(),P m n ，可得直线,PA PB 方程，进而确定,M N 两点坐标，设椭圆右焦点为F ，利用平面向量数量积的坐标运算可证得FM FN ⊥，可知以MN 为直径的圆过点()1,0F ，由此可确定线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长.【小问1详解】由题意知：24AB a ==，解得：2a =，又离心率12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】由（1）得：()2,0A -，()2,0B ，设(),P m n ，则223412m n +=，即224123n m =-；直线():22n PA y x m =++，直线():22n PB y x m =--，M ∴点纵坐标62M n y m =+，N 点纵坐标22N n y m =-，即64,2n M m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，24,2n N m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，又椭圆右焦点为()1,0F ，63,2n FM m ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭ ，23,2n FN m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()()22222231239412999990444m m n FM FN m m m --∴⋅=+=+=+=-=--- ，即FM FN ⊥，∴以MN 为直径的圆过点()1,0F ，又圆心横坐标为4，∴以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为()2416⨯-=.即以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值6.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，本题求解定值问题的关键是能够利用平面向量数量积的坐标运算说明椭圆右焦点即为所求圆与x 轴的其中的一个交点，由圆的对称性可确定定值.19.已知抛物线2:4C y x =，O 为坐标原点，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B .（1）记AFO V 和BFO V 的面积分别为12,S S ，若212S S =，求直线l 的方程；（2）判断在x 轴上是否存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，并说明理由.（1）440x -=；（2）不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理及212y y =-计算可得答案；（2）假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，根据抛物线的性质推出OA OB ⊥不成立，则可得不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形.【小问1详解】设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y ty --=，得124y y t +=①，124y y =-②，又因为212S S =，则212y y =-③由①②③解得24t =±，即直线l 的方程为14x y =±+，即440x ±-=【小问2详解】假设存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形，则,OM AB 互相平分所以线段AB 的中点在x 上，则AB x ⊥轴，此时()()1,2,1,2A B -41OA OB k k ∴=-≠-则OA OB ⊥不成立.故在x 轴上不存在点M ，使得四边形OAMB 为矩形。

2022-2023学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.经过点且倾斜角为的直线的方程是( )A. B.C.D. 3.已知直线l 经过点，，平面的一个法向量为，则( )A. B.C.D. l 与相交，但不垂直4.已知抛物线上的点到其焦点的距离是1，那么实数a 的值为( )A.B.C. 1D. 25.在平行六面体中，点M 满足若，，，则下列向量中与相等的是( )A.B. C. D.6.已知直线l ：，：，则“”是“直线l 与相交”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在正方体中，直线l 是底面ABCD 所在平面内的一条动直线，记直线与直线l所成的角为，则的最小值是( )A. B.C.D.8.已知A ，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点M 中，使得为钝角三角形的是( )A.B.C.D.9.“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点P向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线PM，PN，则就是“天问一号”在点P时对火星的观测角．图所示的Q，R，S，T四个点处，对火星的观测角最大的是( )A. QB. RC. SD. T10.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，P为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是( )A. 当点P在侧面上运动时，直线CN与平面BMP所成角的最大值为B. 当点P为棱的中点时，平面BMPC. 当点P在棱上时，点P到平面CNM的距离的最小值为D. 当点时，满足平面NCP的点P共有2个二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（A 卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．为了了解某小区5000户居民接种新冠疫苗情况，从中抽取了100户居民进行调查．该小区每位居民被抽到的可能性为（ ） A ．110B ．150C ．1100D ．150002．已知空间向量a →=（0，1，3），b →=（x ，y ，1），若a →∥b →，则x ，y 的值分别为（ ） A ．13，0B ．0，3C ．3，0D ．0，133．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设M ＝“甲元件故障”，N ＝“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为（ ）A ．M ∪NB ．M ∩NC ．M ∩ND ．M ∪N4．在空间直角坐标系Oxyz 中，点（1，﹣2，3）关于x 轴对称的点为（ ） A ．（1，2，﹣3）B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，﹣2，3）D ．（﹣1，2，﹣3）5．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →．点M 为A 1D 1中点，则CM →等于（ ）A ．−a →−12b →+c →B ．a →+12b →+c →C ．−a →+12b →−c →D ．−a →−12b →+12c →6．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如图．以下结论中正确的是（ ） A ．图中m 的数值为26B ．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人C ．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数D ．样本数据的第90百分位数为57．已知平面α={P|n →⊥P 0P →}，其中点P 0（1，2，﹣1），向量n →=（1，1，﹣1），则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．（3，2，1）B ．（﹣2，5，4）C ．（﹣3，4，5）D ．（2，﹣4，8）8．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，设该数字为x ．若设事件A ＝“x 为奇数”，事件B ＝“x 为偶数”，事件C ＝“x 为3的倍数”，事件D ＝“x ≤3”，其中是相互独立事件的是（ ）A ．事件A 与事件B B ．事件B 与事件C C ．事件A 与事件DD ．事件C 与事件D9．李明父亲从2022年1月开始，每月1日购买了相同份数的某一种理财产品，连续购买4次，并在5月1日将持有的理财产品全部卖出．已知该理财产品的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且李明父亲在本次投资中没有亏损，那么下列四个折线图中反映了这种理财产品每份价格（单位：万元）可能的变化情况的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在空间直角坐标系Oxyz 中，若有且只有一个平面α，使点A （2，2，2）到α的距离为1，且点B （m ，0，0）到α的距离为4，则m 的值为（ ） A ．2B ．1或3C ．2或4D ．2−√17或2+√17二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷1. 已知向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，那么实数k的值为( )A. 12B. −12C. −2D. 22. 直线l:x−y−√3=0的倾斜角是( )A. 45∘B. 135∘C. 60∘D. 90∘3. 抛物线y2=−2x的准线方程是( )A. y=12B. y=−1 C. x=12D. x=14. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”(英文为：“TogetherforaSharedFuture”)，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：A. 18B. 16C. 112D. 145. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，S n+1=S n+2n，那么a3=( )A. 4B. 5C. 7D. 96. 已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，那么直线A1C与平面AA1D1D 所成角的正弦值为( )A. √66B. √356C. √33D. √637. 如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )A. 15B. 14C. 13D. 128. 圆心为(−1,2)，半径r=3的圆的标准方程为( )A. (x−1)2+(y+2)2=9B. (x+1)2+(y−2)2=9C. (x−1)2+(y+2)2=3D. (x+1)2+(y−2)2=39. 已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD 面积的最小值为( )A. √2B. √32C. √23D. 4√2310. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为( )A. 19B. 536C. 16D. 1311. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )A. 8kmB. 6kmC. 4kmD. 2km12. 对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{a n}是无界的．记数列{a n}的前n项和为S n，下列结论正确的是( )A. 若a n=1，则数列{a n}是无界的nB. 若a n=nsinn，则数列{a n}是有界的C. 若a n=(−1)n，则数列{S n}是有界的D. 若a n=2+1，则数列{S n}是有界的n213. 已知空间向量a⃗=(1,−1,0)，b⃗ =(m,1,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数m=______.14. 在等差数列{a n}中，a1=2，a4=a2+6，则a n=______.15. 两条直线l1：3x−4y−2=0与l2：3x−4y+8=0之间的距离是______.16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是2，且每道题答对与否互不影响，则甲恰3好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.17. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程______.18. 已知点P是曲线ax2+by2=1(其中a，b为常数)上的一点，设M，N是直线y=x上任意两个不同的点，且|MN|=t.则下列结论正确的是______.①当ab>0时，方程ax2+by2=1表示椭圆；②当ab<0时，方程ax2+by2=1表示双曲线；③当a =124，b =18，且t =4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有6个；④当a =124，b =18，且0<t <4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有8个．19. 某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立． 收银台 顾客 A 收银台 B 收银台 C 收银台 甲 a 0.20.4 乙0.3b 0.3(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅰ)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率．20. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA ⊥AD ，PA =AB =2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PA ⊥AB.(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； (Ⅰ)求点B 到平面ACQ 的距离．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21. 已知圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4及点P(3,1).(Ⅰ)判断圆C 和圆C 1的位置关系； (Ⅰ)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，一个顶点为A(0,1).(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅰ)若求点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，且|AB|=43√2，求点B 的坐标．23. 已知无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.设y 1=a(0≤a ≤1). (Ⅰ)若a =14，求y 3的值； (Ⅰ)若y 3=0，求a 的值；(Ⅰ)给定整数M(M ≥3)，是否存在这样的实数a ，使数列{y n }满足： ①数列{y n }的前M 项都不为零；②数列{y n }中从第M +1项起，每一项都是零．若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{a n }，并写出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，∴−48=1−2=k1，∴k=−12，故选：B.利用空间向量共线的坐标运算求解即可．本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由直线l:x−y−√3=0，得y=x−√3，则直线l的斜率k=1，其倾斜角为45∘.故选：A.化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的方程为y2=−2x，∴该抛物线的准线方程为x=12.故选：C.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．4.【答案】B【解析】解：字母e的频数为4个，则字母“e”出现的频率是424=16.故选：B.根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查频数分布表，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：依题意，由S n+1=S n+2n，可知S n+1−S n=2n，当n=2时，a3=S3−S2=22=4.故选：A.先将题干已知条件进行转化，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)代入进行计算即可得到a3的值．本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：连接A1D，如图所示：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，故直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，在长方形AA1D1D中，A1D=√AD2+A1A2=√5，CA1=√A1D2+CD2=√6在Rt△CA1D中，sin∠CA1D=CDCA1=1√6=√66，故选：A.根据棱柱的结构特征，可得直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有C42=6种，选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，故所求的概率为P=26=13.故选：C.由已知结合古典概率公式即可求解．本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9；故选：B.根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，∵四棱锥P−ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，DH=BH，∵O为BD的中点，∴OH⊥BD，∵OC⊂平面ABCD，∴OC⊥PO，∵AB=2，PO=4，∴BD=2√2，OC=√2，在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，为√2√4+2=43，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，∴OH∈[43,4]，又∵S△HBD=12×2√2×OH，∴当OH=43时，△HBD的面积最小，为4√23.故选：D.取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知PO⊥OC，OH⊥BD，所以在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△HBD面积的最小值．本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，又2x+y≤16=24，则x+y≤4，则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种，则事件“2x+y≤16”的概率为636=16，故选：C.根据古典概型概率计算公式可解．本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设震中为P ，依题意有|PB|−|PA|=6<|AB|=10，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A ，P ，B 三点共线时，取等号， 所以|PB|−6+|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B 站的距离至少为8km. 故选：A.设震中为P ，根据双曲线的定义以及|PA|+|PB|≥|AB|=10可求出结果． 本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于A ，∵|a n |=|1n |=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得|a n |≤M 恒成立，∴数列{a n }是有界的，A 错误； 对于B ，|a n |=|nsinn|=n|sinn|，∵|sinn|≤1，∴|a n |≤n ，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得|a n |≤M 恒成立， ∴数列{a n }是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =−1； ∴|S n |≤1，∴存在正数M =1，使得|S n |≤M 恒成立， ∴数列{S n }是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2≤4(2n−1)(2n+1)=4(12n−1−12n+1)， ∴S n =2n +1+122+132+…+1n 2≤2n +4(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=2n +4(1−12n+1)=2n +8n 2n+1=2(n −22n+1+2)，∵y =x −22x+1在(0,+∞)上单调递增，∴n −22n+1∈[13,+∞),∴不存在正数M ，使得|S n |≤M 恒成立，∴数列{S n }是无界的，D 错误． 故选：C.根据已知|a n |≤1恒成立，A 错误；a n =nsinn ，|a n |不存在最大值，即数列{a n }无界；C 项分别在n 为偶数和n 为奇数情况下求和，由此可确定；D 项采用放缩法可判断．本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．13.【答案】1【解析】解：因为a ⃗ =(1,−1,0)，b ⃗ =(m,1,−1)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， 所以m −1=0，解得m =1， 故答案为：1.由a ⃗ ⊥b ⃗ ，可建立关于m 的方程，解出即可．本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3n −1【解析】解：等差数列{a n }中，a 1=2，a 4=a 2+6， 所以a 4−a 2=2d =6， 所以d =3，则a n =a 1+3(n −1)=3n −1. 故答案为：3n −1.由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：两条直线l 1：3x −4y −2=0与l 2：3x −4y +8=0之间的距离是√3+4=2.故答案为：2.由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】40243 310【解析】解：设甲能够答对X 道题目， 则X ∼B(5,23)，P(X =2)=C 52(23)2×(1−23)3=40243，若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为C 32C 52=310.故答案为：40243；310.根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．17.【答案】x2−y24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程)【解析】解：∵渐近线方程为2x±y=0，设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，所以双曲线的方程为x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).故答案为：x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，写出结果即可．本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．18.【答案】②③④【解析】解：方程ax2+by2=1中，当a=b>0时，可表示圆；当ab<0时，ax2+by2=1表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为x 224+y28=1椭圆与直线y=x均关于原点对称，设点P(2√6cosθ,2√2sinθ)，则点P到直线y=x的距离d=|2√6cosθ−2√2sinθ|√2=4|sin(θ−π3)|∈[0,4]；对③：t=4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t=4，d=2√2<4，满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，图1若P不是直角顶点，如图2，则|MN|=t=4，d=4，满足△PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，图2故t=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；<4，对④：0<t<4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t，d=t√2满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个．若P不是直角顶点，如图3，则|MN|=t，d=t<4，满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，图3故0<t<4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；故答案为：②③④．对①②，根据方程ax2+by2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；对③④，求出点P到直线y=x的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论．本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，甲选择A 收银台的概率为a =1−0.2−0.4=0.4，乙选项B 收银台的概率为b =1−0.3−0.3=0.4；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率为0.4×0.3=0.12；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率为1−(1−0.4)×(1−0.3)=0.58. 【解析】(I)根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； 本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)选取条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PA ⊥平面ABCD ； 选取条件②：PA ⊥AB ，证明：∵PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD =A ， ∴PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 则平面ABCD 的一个法向量为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，如图所示：PA =AB =2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，Q(0,1,1)，设平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取y =−1，则x =1，z =1，∴平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， 设平面ACQ 与平面ABCD 夹角为α，则cosα=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=22×√3=√33，故平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为√33； (Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， B(2,0,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，∴点B 到平面ACQ 的距离|n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√3=2√33. 【解析】(Ⅰ)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论； (Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法，即可得出答案；(Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C(1,−2)，半径R =3.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1(3,1)，r =2. ∴|CC 1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13， ∵3−2<√13<3+2， ∴圆C 和圆C 1相交．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，即kx −y +1−3k =0， 则√1+k =3，解得k =0或k =−125， ∴要求的切线方程为y −1=0或12x +5y −41=0.【解析】(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C ，半径R.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1，r.求出圆心距离|CC 1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，根据直线与圆相切的性质即可得出k.本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，上顶点为A(0,1)，所以b =1,ca =√22，即a =√2c ，因为a 2=b 2+c 2，所以2c 2=b 2+c 2，所以b =c =1， 所以a =√2， 所以椭圆E 的方程为x 42+y 2=1.(Ⅰ)由题意易知，斜率不存在时不符合要求．当直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y =kx +1， 由{y =kx +1x 2+2y 2=2，整理得(1+2k 2)x 2+4kx =0， 因为A(0,1)，则B(−4k2k 2+1,1−2k22k 2+1)，由|AB|=4√23，得|AB|=√1+k 2⋅|−4k2k 2+1|=4√23，化简得k 4+k 2−2=0， 解得k 2=1或−2(舍)， 所以点B 的坐标为(±43,−13).【解析】(Ⅰ)根据椭圆中a ，b ，c 的关系求解即可；(Ⅰ)易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +1，联立直线与椭圆的方程，求出B 点坐标，由|AB|=43√2，化简可得k 的方程，解方程求出k 2的值即可求出B 点坐标．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.y 1=a(0≤a ≤1)， ∵y 1=a =14，∴y 2=2y 1=12，y 3=2−2y 2=1. (Ⅰ)y 3=0，(1)当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，∴y 2=0， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=0， 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=1，. (2)当12≤y 2≤1时，y 3=2−2y 2，∴y 2=1， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=12∉[0,12). 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=12. 综上，a =0，1，12. (Ⅰ)存在这样的a.∵y M+1=0，y M ≠0，∴由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12， (1)当0≤y M−2<12时，y M−1=2y M−2，∴y M−2=14， (2)当12≤y M−2≤1时，y M−1=2−2y M−2，∴y M−2=34， 依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−12M−1，n=1，2，3，⋅⋅⋅，2M−2.【解析】(Ⅰ)由y 1=a =14，能求出y 2和y 3.(Ⅰ)y 3=0，当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，求出y 2=0，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=0，若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=1；当12≤y 2≤1时，求出y 2=1，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=12∉[0,12).若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=12.(Ⅰ)存在这样的a.由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12，当0≤y M−2<12时，求出y M−2=14，当12≤y M−2≤1时，求出y M−2=34，依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，由此能求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期中考试数学试卷（A）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为( )A. B. C. D.2.已知圆，则圆心C与半径r分别为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是( )A. B. C. D.4.已知直线l经过点，且与直线垂直，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则下列选项中能使成立的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知直线，，若，则实数( )A. B. 2 C. 或2 D. 或07.若直线与圆相交于两点，且其中O为原点，则k的值为( )A. B. 或 C. D. 或8.已知圆关于直线对称，则实数( )A. B. C. 3 D. 或39.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体各面都是全等的正多边形数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC 的中点，则直线BN和FM夹角的余弦值为( )A. B. C. D.10.已知圆与圆，过动点分别作圆，圆的切线MA，分别为切点，若，则的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为，则直线l的方程为__________.12.已知，，为空间两两垂直的单位向量，且，，则__________.13.已知，，三点共线，则__________.14.已知圆上存在两个点到点的距离均为，则实数n的一个取值为__________.15.已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点.给出下列四个结论：①若点P在线段上运动，则总有；②若点P在线段上运动，则三棱锥体积为定值；③若点P在线段上运动，则直线CP与平面所成角为定值；④若点P满足，则过点，P，C三点的正方体截面面积的取值范围为其中所有正确结论的序号为__________.三、解答题：本题共6小题，共85分。

2021-2022学年北京市丰台区高二（上）期中数学试卷（B卷）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 直线y =x +1的倾斜角是( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 3π4 2. 已知直线l 经过点P(−1,3)，且与直线x −2y +3=0平行，则直线l 的方程为( )A. x −2y −5=0B. 2x +y −1=0C. x −2y +7=0D. 2x +y −5=03. 已知向量a ⃗ =(−2,1,−1)，b ⃗ =(4,−2,x)，若a ⃗ 与b ⃗ 共线，则实数x 的值为( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 同时抛掷2枚质地均匀的硬币，则“两枚硬币均为正面向上”的概率是( )A. 14B. 13C. 23D. 34 5. 如图，若直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A. k 1<k 2<k 3B. k 3<k 2<k 1C. k 3<k 1<k 2D. k 1<k 3<k 26. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗7. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“只有一次中靶”互斥而不对立的是( )A. 至少一次中靶B. 至多一次中靶C. 至多两次中靶D. 两次都中靶8. 如图，已知正方体ABCD −A′B′C′D′的棱长为1，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则a⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )=( )A. 1B. √2C. √3D. 29. 已知向量a ⃗ =(2,0,1)，b ⃗ =(0,2,−1)，c ⃗ =(2,4,m)，若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 共面，则实数m 的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 310. 已知某工厂生产某种产品的合格率为0.9，现采用随机模拟的方法估计4件产品中至少有3件为合格品的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4个随机数为一组，代表4件产品．经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件是合格品的概率为( )A. 310B. 1320C. 910D. 1920 二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知直线l 经过点(1,1)，且与x 轴垂直，则直线l 的方程为______．12. 在空间直角坐标系O −xyz 中，点P(2,3,4)在平面xOy 内的射影的坐标为______．13. 已知事件A 与B 互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A −)=______，P(A ∪B)=______．14. 如图，已知四面体ABCD 的所有棱长都等于2，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =______．15. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．传说古代有神龟出于洛水，其甲壳上刻有图案，如左下图．结构为戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15，洛书九宫格对照表如右下图，若从五个阳数中随机抽取三个数．(1)试验的样本空间包含______个样本点；(2)使得这三个数之和等于15的概率是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,0)，B(2,1)，C(−2,3)．(Ⅰ)求BC边所在直线的方程；(Ⅱ)求BC边的垂直平分线所在直线的方程．17.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋子中依次不放回地摸出2个球．(Ⅰ)写出试验的样本空间；(Ⅱ)求摸出的2个球颜色相同的概率．18.已知向量a⃗=(1,2,2)，b⃗ =(−2,1,−1)．(Ⅰ)求a⃗⋅b⃗ ；(Ⅱ)求|2a ⃗ −b ⃗ |；(Ⅲ)若a ⃗ ⊥(a ⃗ +λb⃗ )(λ∈R)，求λ的值．19. 某单位响应“创建国家森林城市”的号召，栽种了甲、乙两种大树各两棵．设甲、乙两种大树的成活率分别为45和34，两种大树成活与否互不影响．(Ⅰ)求甲种大树成活两棵的概率；(Ⅱ)求甲种大树成活一棵的概率；(Ⅲ)求甲、乙两种大树一共成活三棵的概率．20. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AC =AA 1=2，∠BAC =90°，点E ，F 分别为BC ，CC 1的中点．(Ⅰ)证明：AB 1⊥EF ；(Ⅱ)求直线AB 1与平面AEF 所成的角；(Ⅲ)求点B 1到平面AEF 的距离．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，点E为PA的中点，AB=BC=1，AD=2，PA=√2．(Ⅰ)求证：BE//平面PCD；(Ⅱ)求平面PAD与平面PCD的夹角；(Ⅲ)在线段PC上是否存在点F，使得AF⊥平面PCD？若存在，求出CF的值；若不存CP 在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，直线y=x+1，设其倾斜角为θ，其斜率k=1，则有tanθ=1，则θ=π4．故选：B．根据题意，设直线的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tanθ=1，据此分析可得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率，涉及直线的斜截式方程，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设与直线x−2y+3=0平行的直线l的方程为x−2y+m=0，把点P(−1,3)代入可得：−1−2×3+m=0，解得m=7，∴直线l的方程为x−2y+7=0，故选：C．设与直线x−2y+3=0平行的直线l的方程为x−2y+m=0，把点P(−1,3)代入方程解得m，即可得出．本题考查了直线方程、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：向量a⃗=(−2,1,−1)，b⃗ =(4,−2,x)，若a⃗与b⃗ 共线，则−24=1−2=−1x，解得x=2．故选：D．由向量共线的性质求解即可．本题主要考查向量共线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题知，本题是一个等可能事件的概率．同时抛掷2枚质地均匀的硬币，共有正正，正反，反反，反正四种情况，而两枚硬币均为正面朝上有一种，所以两枚硬币均为正面朝上的概率为14．故选：A ．等可能事件的概率，需求出基本事件的个数和该事件发生的次数，再相除即可得到结果． 该题考查古典概型及其概率计算，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由图可知，直线l 1，l 2的斜率大于0，直线l 3的斜率小于0，且l 2的倾斜角大于l 1的倾斜角，结合正切函数在(0,π2)上为增函数，可得k 3<k 1<k 2，故选：C ．直接由直线的倾斜角与斜率的关系得答案．本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查数形结合思想，是基础题．6.【答案】A【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选：A ．由空间向量的线性运算即可求解．本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：某人打靶时连续射击两次，对于A ，至少一次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误； 对于B ，至多一次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误； 对于C ，至多两次中靶与事件“只有一次中靶”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两次都中靶与事件“只有一次中靶”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立事件，故D 正确．故选：D ．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查互斥而不对立的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，是基础题．8.【答案】A【解析】解：连接AC′、BC′，因为ABCD −A′B′C′D′是棱长为1的正方体，所以AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ ，所以a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ +c ⃗ )=a ⃗ ⋅AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠C′AB =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1⋅1=1，故选：A ．根据正方体结构特性，用向量数量积定义计算判断．本题考查了正方体结构特性，考查了向量数量积的性质及其运算，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵向量a ⃗ =(2,0,1)，b ⃗ =(0,2,−1)，c⃗ =(2,4,m)， 若向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ 共面， ∴存在唯一的实数对(x,y)，使c ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，即(2,4,m)=x(2,0,1)+y(0,2,−1)=(2x,2y,x −y)，∴{2x =22y =4x −y =m，解得x =1，y =2，m =−1∴实数m 的值为−1．故选：B ．利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对(x,y)，使c ⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ ，列出方程组，即可求出m 的值．本题考查了空间向量共面的基本定理的应用问题，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：经随机模拟产生了如下20组随机数：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，1040，5336，2937，9507，49834件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，分别为：1426，8445，0231，4271，1019，9639，3718，1434，5422，38012386，1601，1613，1769，6509，5336，2937，9507，4983据此估计，4件产品中至少有3件合格品的概率为P=19．20故选：D．经随机模拟产生了20组随机数，利用列举法求出4件产品中至少有3件合格品包含的基本事件有19个，据此能估计4件产品中至少有3件合格品的概率．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】x=1【解析】解：直线l经过点(1,1)，且与x轴垂直，则直线l的方程为x=1．故答案为：x=1．满足条件的直线斜率不存在，进而得出方程．本题考查了直线斜率不存在时的直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】(2,3,0)【解析】解：∵P(2,3,4)在平面xOy内射影为P′则P′与P的横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标为0故P′的坐标为(2,3,0)故答案为：(2,3,0)一个点在平面xOy内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0，由已知中点P(2,3,4)的坐标，易得到答案．本题考查的知识点是空间中的点的坐标，其中解答的关键是一个点在平面xOy内的射影的坐标与该点坐标的横纵坐标均相等，竖坐标变为0．13.【答案】0.6 0.9【解析】解：事件A 与B 互斥，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，∴P(A −)=1−P(A)=1−0.4=0.6，P(A ∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9．故答案为：0.6，0.9．利用对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】1【解析】解：因为点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又因为四面体ABCD 的所有棱长都等于2，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠CBD =12×2×2×12=1． 故答案为：1．由向量的线性运算和数量积运算求解即可．本题主要考查空间向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】10 15【解析】解：(1)五个阳数为1，3，5，7，9，从五个阳数中随机抽取三个数，基本事件有：(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)， 共10个，故答案为：10．(2)从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有： (1,5,9)，(3,5,7)，共2个，∴从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率为P=210=15．故答案为：15．(1)五个阳数为1，3，5，7，9，从五个阳数中随机抽取三个数，利用列举法能求出基本事件的个数．(2)从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的基本事件有2个，从五个阳数中随机抽取三个数，使得这三个数之和等于15包含的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：(Ⅰ)直线BC的斜率为k BC=3−1−2−2=−12，所以直线BC的方程为y−1=−12(x−2)，即x+2y−4=0(II))线段BC的中点坐标为(0,2)，BC的垂直平分线的斜率为k=2，BC的垂直平分线的方程为y=2x+2，即2x−y+2=0．【解析】(Ⅰ)利用斜率计算公式可得直线BC的斜率，利用点斜式即可得出．(Ⅱ)利用中点坐标公式可得线段BC的中点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC的垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得出．本题考查了斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)试验的样本空间为：Ω={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．(Ⅱ)设事件A=“摸出的两个球的颜色相同”，所以A={(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，n(A)=4，n(Ω)=12，所以P(A)=n(A)n(Ω)=412=13．【解析】(Ⅰ)利用列举法能求出试验的样本空间．(Ⅱ)设事件A=“摸出的两个球的颜色相同”，利用列举举求出n(A)=4，n(Ω)=12，由此能求出摸出的2个球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)a⃗⋅b⃗ =1×(−2)+2×1+2×(−1)=−2；(Ⅱ)因为a⃗=(1,2,2)，b⃗ =(−2,1,−1)，所以|a⃗|=3，|b⃗ |=√6，所以|2a⃗−b⃗ |=√(2a⃗−b⃗ )2=√4a⃗2−4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=√4×9−4×(−2)+6=5√2；(Ⅲ)因为a⃗⊥(a⃗+λb⃗ )，所以a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=a⃗2+λa⃗⋅b⃗ =9−2λ=0，解得λ=92．【解析】(Ⅰ)由空间向量数量积的坐标运算，即可得解；(Ⅱ)由|2a⃗−b⃗ |=√(2a⃗−b⃗ )2，展开，结合(1)中结论，得解；(Ⅲ)由a⃗⋅(a⃗+λb⃗ )=0，展开运算，即可．本题考查空间向量数量积的坐标运算，遇到模长问题，一般采用平方处理，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)设事件A=“甲种大树成活两棵”，则P(A)=45×45=1625．(Ⅱ)设事件B=“甲种大树成活一棵”，则P(B)=45×(1−45)+(1−45)×45=825．(Ⅲ)设事件C=“乙种大树成活一棵”，则P(C)=34×(1−34)+(1−34)×14=616=38，设事件D=“乙种大树成活两棵”，则P(D)=34×34=916，设事件E=“甲、乙两种大树一共成活三棵”，则P(E)=P(AC∪BD)=P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=1625×38+825×916=2150．【解析】(Ⅰ)利用相互独立事件概率乘法公式能求出事件A =“甲种大树成活两棵”的概率．(Ⅱ)利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出设事件B =“甲种大树成活一棵”的概率．(Ⅲ)设事件C =“乙种大树成活一棵”，事件D =“乙种大树成活两棵”，事件E =“甲、乙两种大树一共成活三棵”，利用P(E)=P(AC ∪BD)=P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：以A 为原点，以AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A(0,0,0)，A 1(0,0,2)，B(2,0,0)，B 1(2,0,2)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，(Ⅰ)∵AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−1)+0×1+2×1=0， ∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB 1⊥EF ；(Ⅱ)设平面AEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)， 由{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ⇒{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0⇒{x +y =02y +z =0⇒{x =−y z =−2y ， 令y =−1，则x =1，z =2，∴平面AEF 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,−1,2)，由AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，设直线AB 1与平面AEF 所成角为α，sinα=|cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=|2×1+0×(−1)+2×2|√12+(−1)2+22√22+02+22 =6√6⋅2√2=√32， ∴直线AB 1与平面AEF 所成角为π3，(Ⅲ)点B 1到平面AEF 的距离d =|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=6√6=√6． 【解析】建立空间直角坐标系，用向量求解比较容易，(I)求出向量的坐标表示，证明垂直即可，(II)求出直线的向量与平面的法向量，求夹角即可，(III)利用点到平面的距离公式求解即可．本题考查线线垂直，线面角，及点到平面的距离，利用向量法求解比较容易，属于中档题．21.【答案】解：以A 为原点，以AB ，AD ，AP所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,√2)，E(0,0,√22)． (Ⅰ)证明：设平面PCD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,√2) 由{CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ⇒{CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0⇒{−x +y =0−x −y +√2z =0⇒{y =x z =√2x ， 令x =1，则y =1，z =√2，∴平面PCD 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)，由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√22)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−1×1+0×1+√22×√2=0，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗⃗ ，∵BE ⊄平面PCD ，∴BE//平面PCD ；(Ⅱ)∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB ，∵AB ⊥AD ，PA ∩AD =A ，∴AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，设平面PAD 与平面PCD 的夹角为θ，则cosθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=|1×1+1×0+√2×0|√12+12+(√2)2=12，∴平面PAD 与平面PCD 的夹角为π3；(Ⅲ)设在线段PC 上存在点F ，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +λCP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)+λ(−1,−1,√2)=(1−λ,1−λ,√2λ)， 若AF ⊥平面PCD ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ，所以1−λ1=1−λ1=√2λ√2，解得λ=12∈[0,1]，所以在线段PC 上存在点F ，使AF ⊥平面PCD ，此时CF CP =12．【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，写出各点坐标，再求出平面PCD 的一个法向量及BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√22)，由向量公式可得法向量与BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，进而得证； (Ⅱ)平面PAD 的一个法向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，再利用向量的夹角公式即可得解；(Ⅲ)设在线段PC 上存在点F ，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，根据题意建立关于λ的方程，解出即可．本题主要考查空间向量在立体几何中的运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．。