正方形的性质与判定复习

正方形的性质与判定

正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质

1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C =

∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD

= 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD =

DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形

判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定

若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：

（1）四边相等且四个角都是直角； （2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定

若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：

（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；

（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例

案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A =

∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A =

∠B = ∠C = ∠D = 90°。因此，四边形ABCD是一个正方形。

案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH =

4cm，EG = FH = 5cm。

解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。计算可得EF² = EG² + FG² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50，FG² = FH² + GH² = 5² + 4² = 25

正方形的判定和性质

探索活动

1、思考：你能类比矩形、菱形的概念给正方形下个定义吗?

正方形的概念：____________并且____________的_________是正方形。

2、探究：（1）比较平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

（2）探索正方形的性质

请大家思考正方形有哪些性质?

正方形是一个特殊的平行四边形，正方形形具有平行四边形的所有性质；正方形还是特殊的

矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质

正方形的性质：

从对称性看：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形

从边看：正方形的四边相等，对边平行

从角看：正方形4个角都是直角

从对角线看：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角思考：正方形具有而一般矩形不具备的性质：正方形具有而一般菱形不具备的性质：

探索正方形的判定方法：问题：有一个角是直角的是正方形；有一组邻边相等的是正方形；对角线相等的是正方形；对角线垂直的是正方形；对角线的四边形是正方形。思路：（1）先说明这个平行四边形是，再说明这个矩形也是；（2）先说明这个平行四边形是，再说明这个菱形也是。归纳总结

例1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，试探索BG与DE的关系.

F

BDA

CG

E

例2.在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH是正

方形吗?为什么?H

G

FEDA

BC

题型一：正方形的性质-求角度

1．如图，正方形ABCD

的对角线相交于点O，则AOB

的度数是（）

A．30B．45

C．60

D．90

【答案】D

【详解】解：∵四边形ABCD

是正方形，

∴ACBD

，

∴90AOB

，

故选：D．

2．如图，在正方形ABCD

中，E为AD上一点，连接

BE，

BE交对角线AC

于点F，连接DF，

若

35ABE，则CFD

的度数为（）

A．80°B．70°C．75°D．45°

【答案】A

【详解】解：∵四边形ABCD

是正方形，

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精品文档 正方形

1、已知：如图，正方形ABCD中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，

MND=_______=_______∠B.

2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则△ABO的周长是（ ）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+62

3、下面的命题是真命题的有 。

A、有一组邻边相等的平行四边形是正方形。B、有一组邻边相等且有一角为直角的四边形为正方形。C、正方形是一组邻边相等的矩形。D、正方形是有一个角为直角的菱形。

 精讲精练

例1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=CA,连接AE交CD于F，求AFD的度数。

变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.

(1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

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例2、（海南省）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（

三、用中学习

1、如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则AFD=

。

2、（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 。

A

B C P D

E

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3.正方形的面积是31，则其对角线长是________.

4.E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD的度数.

5、如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．

随堂练习(教材第24页) (1)已知:如图(1)所示,四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝90°.求证:四边形ABCD是正方形.证明:连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD＝45°,在菱形ABCD中,AB＝AD,∴∠ADB＝∠ABD＝45°,∴∠BAD＝90°,同理,可证∠BCD＝90°,∴菱形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形. (2)已知:如图(2)所示,四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,垂足为点O.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝OB.又∵AC⊥BD,∴AB＝AD,同理,AB＝BC＝CD,∴矩形ABCD也为菱形,∴四边形ABCD是正方形.

习题1.8(教材第25页)

1.已知:如图所示,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,且AC＝BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD也是平行四边形,又∵AC＝BD,∴四边形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形.

2.证明:连接AC交BD于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OC,OD＝OB,AC⊥BD,又∵BE＝DF,∴OF＝OE,∴四边形AECF是菱形.

3.解:四边形EFGH是正方形.证明如下:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝AD,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,∵AE＝BF＝CG＝DH,∴BE＝CF＝DG＝AH,∴ΔEAH≌ΔFBE≌ΔGCF≌ΔHDG,∴HE＝EF＝FG＝GH,∠AEH＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.在RtΔBEF中,∠BFE＋∠FEB＝90°,∴∠AEH＋∠FEB＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四边形EFGH是正方形.

4.解:重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的.证明如下:重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的,即SΔAOB＝SΔBOC＝SΔCOD＝SΔAOD＝S正方形ABCD.重叠部分为四边形时,如图所示,设OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OB,∠EAO＝∠FBO＝45°,AO⊥BD.又∵∠AOE＝90°-∠EOB,∠BOF＝90°-∠EOB,∴∠AOE＝∠BOF,∴ΔAOE≌ΔBOF.∴SΔAOE＋SΔBOE＝SΔBOF＋SΔBOE,∴SΔAOB＝S四边形EBFO.又∵SΔAOB＝S正方形ABCD,∴S四边形EBFO＝S正方形ABCD.