正方形的性质和判定

正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。

知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。

2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。

②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。

3、判定：①的矩形是正方形。

②的菱形是正方形。

③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。

④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。

4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。

（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。

3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。

（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。

【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。

2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。

（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。

正方形的性质与判定
定义：1、四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

2、各边相等且有三个角是直角的四边形叫做正方形。

3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

4、有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。

5、有一个角为直角的菱形是正方形。

6、对角线平分且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。

性质
边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
内角：四个角都是90°；
对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

判定方法
1：对角线相等的菱形是正方形。

2：对角线互相垂直的矩形是正方形，正方形是一种特殊的矩形。

3：四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形。

7.有一个角为直角的菱形是正方形。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

正方形的中点四边形是正方形。

面积计算公式：S=a×a 或：S=对角线×对角线÷2
周长计算公式: C=4a
正方形是特殊的矩形, 菱形，平行四边形，四边形。

小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。

本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。

一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。

2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。

4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。

二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。

2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。

3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。

这是因为正方形的对角线具有这样的性质。

除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。

三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。

判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。

通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。

正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。

因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。

希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。

同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。

19.3 正方形的性质与判定一、温故互查（独立完成后二人小组互相检查）：性质判定方法矩形 边：角：对角线：对称性： 1. 2. 3. 菱形 边：角：对角线：对称性： 1. 2. 3.二、设问导读：阅读课本10198p P 完成下列问题：探究一. 正方形的定义1.有一组________相等的 是正方形;2.有一个角是 的 是正方形;从正方形的定义看，正方形是平行四边形，它既是 形又是 形. 探究二.正方形的性质正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性质，又有菱形的性质。

它特有的性质是： 1．正方形的四个角都是 ， 2.正方形的四条边 ．3.正方形的两条对角线 并且互相 ，每一条对角线 一组对角4．正方形既是 图形，有 条对称轴.又是 图形，对称中心为 探究三：正方形的识别1、矩形满足什么条件时，就是正方形？2、菱形满足什么条件时，就是正方形？3、平行四边形满足什么条件时，就是正方形？4、四边形满足什么条件时，就是正方形？总结正方形的识别方法;1、定义：当 形有一组邻边 且有一个 角时，它就是正方形2、当矩形 时，它就是正方形3、当菱形 时，它就是正方形 三、自学检测：1．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）。

A ．四个角都是直角 B ．对角线互相平分你 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直2．下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A ．对角线互相垂直且相等的四边形B ．一条对角线平分一组对角的矩形C ．对角线相等的菱形D ．对角线互相垂直的矩形 3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）。

A ．对角线相等 B ．对角线互相垂直平分 C ．四条边相等 D ．一条对角线平分一组对角 4.正方形的边长是3,则它的对角线长是5．如右图，E 为正方形ABCD 边AB 上的一点，已知EC=13, EB=5, 求①正方形ABCD 的面积。

②求对角线AC 的长度。

6. 已知如图， E 点在正方形ABCD 的BC 边的延长线上，且CE=AC ，AE 与CD 相交于点F ，•求∠AFC 的度数．四、巩固训练：1．在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，能判定这个四边形是正方形的是( ) A ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，∠A ＝90° B ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ⊥BD C ．AC=BD ，AC ⊥BDD ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD2．如图，在正方形ABCD 中，∠DAF ＝25°，AF 交对角线BD 于E 点，则∠BEC ＝( ) A ．45° B ．60° C ．70° D ．75°3．如图，正方形ABCD 的边长为8，在各边上顺次截取AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝5， 则四边形EFGH 的面积是( ) A ．30B ．34C ．36D ．40AC DB E4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）五、拓展延伸：如图，E是正方形ABCD中CD边延长线上一点，CF⊥AE，F是垂足，CF交AD或AD延长线于G，试判断当点E在CD的延长线上移动时，∠DEG的大小是否变化，若变化，•请求出变化范围；若不变化，请求出其度数．【师生共同探究，总结】：．正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．正方形性质：（1）边的性质：对边平行，四条边都相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，•每条对角线平分一组对角．（4）对称性：是轴对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法：。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。

本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。

以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。

2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。

4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。

二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。

2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。

3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。

三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。

2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。

3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。

根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。

四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。

2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。

3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。

在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。

首先，我们来定义正方形。

正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。

其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。

下面，我们将详细介绍正方形的性质。

正方形具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。

这意味着正方形的周长为4a。

2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。

这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。

3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。

这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。

4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。

这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。

5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。

6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。

7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。

接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。

判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。

2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。

3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。

4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。

5. 判断是否为菱形：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它就是正方形。

这些方法可以单独或者组合使用来判断一个四边形是否为正方形。

总之，正方形是一种具有独特性质的四边形，包括边长相等、内角为直角、对角线相等等。

我们可以通过判断边长、内角、对角线的相等性以及对角线的垂直性来判定一个四边形是否为正方形。

正方形的判定与性质引言正方形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特征。

本文将介绍如何判定一个四边形是否是正方形以及正方形的性质。

判定正方形判定一个四边形是否是正方形可以从不同角度进行考虑。

以下是几种常见的判定方法：1.边长相等一个四边形的四条边长度相等是判定其是否为正方形的一个重要条件。

如果一个四边形的4条边都相等，则可以认为它是正方形。

2.角度相等正方形的特征之一是它的四个角都是直角（90度）。

因此，如果一个四边形的四个角都是90度，则可以判定它是正方形。

3.对角线相等正方形的两条对角线相等且互相平分对方，也是判定一个四边形为正方形的条件之一。

如果一个四边形的对角线相等且平分对方，则可以认为它是正方形。

正方形的性质除了以上的判定条件外，正方形还具有许多独特的性质和特征。

以下是一些常见的正方形性质：1.对称性正方形具有4个对称轴，分别为水平轴、垂直轴和两条对角线。

这意味着正方形可以通过沿着这些轴进行翻转而保持不变。

2.面积和周长正方形的面积等于边长的平方，周长等于4倍边长。

这是正方形最基本的面积和周长公式。

3.相似性正方形与自身全等且相似。

这意味着可以通过变换、旋转和缩放等操作得到无数个相似的正方形。

4.内角和外角正方形的内角都是90度，外角则是270度。

这是正方形内角和外角之间的关系。

结论正方形的判定和性质是数学中的基础知识，对于理解几何形状和解决实际问题都非常重要。

通过判定其边长、角度和对角线是否满足特定条件，我们可以判断一个四边形是否是正方形。

正方形具有对称性、特定的面积和周长公式，以及内角和外角的特征。

通过研究正方形的性质，我们可以深入理解几何形状和它们之间的关系。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。

由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

因此，四边形ABCD是一个正方形。

案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。

解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。

由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。

正方形的性质和判定（讲学稿）一、正方形的定义一般定义：有一组邻边，并且有一个角是角的四边形叫做。

特殊定义：有一组邻边的形叫做。

有一个角是角的形叫做。

二、正方形的性质1、从正方形“从属于矩形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以矩形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。

（2）、可见正方形的“四个角”都是角，两条对角线除了互相，还。

2、从正方形“从属于菱形的范畴”来看，正方形有什么性质（1）、从“特殊定义”来看，正方形是形，所以菱形具有的性质，正方形都（填：该、不该）拥有。

（2）、可见正方形的“四条边”都，两条对角线除了互相，还互相，并且每一条对角线都一组对角。

3、全面总结正方形的性质（1）、正方形的四个角都是角，四条边都，两条对角线互相，且，并且并且每一条对角线都一组对角成度。

（2）、正方形是对称图形，两条对角线的交点是它的；正方形是对称图形，两条对角线、以及对边中点连线所在的直线是它的。

（3）、正方形的“一条”对角线把它分割成“两个”全等的三角形；正方形的“两条”对角线把它分割成“四个”全等的三角形；三、正方形的判定思路1、从定义来看先证明它是平行四边形，再证明它有一组相等，且有一个角是角。

2、从其它方面来看（1）、先证明它是“菱形”，再证明它有；（2）、先证明它是“菱形”，再证明它的对角线；（3）、先证明它是“矩形”，再证明它有；（4）、先证明它是“矩形”，再证明它的对角线；〈总结〉：以上四种判定方法的思路是：要证明一个四边形是“正方形”，我们可以设法证明它既是形，又是形。

四、图形的形状判定练习1、四条边都相等的四边形是形；2、四个角都相等的四边形是形；3、对角线的“四边形”是平行四边形；4、四条边都相等，并且有个角是的四边形是正方形；5、四个角都相等，并且有组的四边形是正方形；6、对角线的“矩形”是正方形；7、对角线的“菱形”是正方形；8、对角线的“平行四边形”是正方形；9、对角线的“四边形”是正方形；10、两组对边都平行的四边形是形；11、两组对边都相等，并且有一组邻边相等的四边形是形；12、一组对边平行且相等，并且有一个角是直角的四边形是形；13、一组对边平行且相等，并且两条对角线相等的四边形是形；14、两组对边都相等，并且两条对角线互相垂直的四边形是形；15、两组对边都平行，并且对角线相等，且互相垂直的四边形是形；五、猜图形的形状1、有一个四边形，它的对角线互相平分，并且有一组对边相等，那么它是形；2、有一个四边形，它的对角线相等，那么它一定是矩形吗？答：；3、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；4、有一个四边形，它的对角线互相平分，那么它一定是平行四边形吗？答：；5、有一个四边形，它的对角线相等且互相平分，那么它一定是矩形吗？答：；6、有一个四边形，它的对角线互相垂直平分，那么它一定是菱形吗？答：；7、有一个四边形，它的对角线相等且互相垂直，那么它一定是正方形吗？答：；8、某四边形，它的对角线相等且互相垂直平分，那么它一定是正方形吗？答：；9、某四边形，它的对角线相等且互相平分，并且有一个角是直角，那么它是形；10、某四边形，它的对角线互相垂直平分，并且有一组邻边相等，那么它是形；11、两条对角线互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；12、两条对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；13、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相垂直，那么它是形；14、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线也相等，那么它是形；15、某四边形，它的四条边都相等，并且对角线互相平分，那么它是形；16、对角线相等且互相平分，并且四条边都相等的四边形是形；17、对角线相等且互相垂直，并且四条边都相等的四边形是形；18、对角线互相垂直平分，并且四条边都相等的四边形是形；19、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；20、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；21、某四边形，它的四个角都相等，并且对角线相等且互相垂直，那么它是形；22、对角线相等且互相平分，并且四个角都相等的四边形是形；23、对角线相等且互相垂直，并且四个角都相等的四边形是形；24、对角线互相垂直平分，并且四个角都相等的四边形是形；25、有一个四边形，它的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗？答：；26、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；27、某四边形，它有一组邻边相等，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；28、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线互相垂直平分，那么它是形；29、某四边形，它有一组邻边互相垂直，并且对角线相等且互相平分，那么它是形；30、对角线相等且互相平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；31、对角线相等且互相垂直平分，并且有一条对角线平分一个内角的四边形是形；32、对角线相等且互相垂直平分，并且两条对角线都平分对角的四边形是形；33、对角线相等且互相垂直平分的四边形是形；六、理解从属关系，让基本图形之“性质”、“判定”皆归于简单平行四边形是特殊的形，菱形是特殊的形，矩形是特殊的形，正方形是特殊的形，也是特殊的形，更是特殊的形，更更是特殊的形。