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正方形的性质与判定(课堂PPT)

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正方形的性质与判定ppt课件

正方形的性质与判定ppt课件

A
D
P
B
C
巩固训练
3. 如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓 库P和Q分别位于AD和DC上，且PD= QC．证明两条直路BP=AQ且 BP⊥AQ．
巩固训练
4.在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小 路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考虑道路的宽 度）．你有几种方法？（至少说出三种）
如图所示即为所求（答案不唯一）.
BD 相交于点 O.
求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
D
O
B
C
任务二
正方形的性质
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
韦恩图：
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
巩固训练
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等
√
√√ √
√√
角
四个角都是直角
对角线相互平分
√
对 角
对角线相互垂直
线
对角线相等
每条对角线平分一组对角
√
√
√√ √
√√
√
√
√√
巩固训练
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线 上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
A
D
E
B
CF
小结
正方形 的性质
定义 性质

3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)

3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)

第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招

正方形的性质与判定ppt课件

正方形的性质与判定ppt课件

①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有

上册第8课时正方形的性质与判定4市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件

上册第8课时正方形的性质与判定4市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
第一章 特殊平 第8学行时 四正边方形形的性质与鉴定(2)
数学
►► 关键视点 1．正方形的判定方法除了定义外，还有： (1)对角线相等的菱形是正方形； (2)对角线 垂直 的矩形是正方形； (3)有一个角是 直角 的菱形是正方形．
数学
►► 知识小测
2．在四边形 ABCD 中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加
数学 4．如图，在菱添加任何辅助线，请添加一个条件：∠BAD＝90°(答案不唯一) (填一个即可)，使四边形 ABCD 是正方形．
数学 5．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，先把△ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°至△DBE 后，再把△ABC 沿射线平移至△ FEG，DE，FG 相交于点 H，连接 CG.求证：四边形 CBEG 是正方形．
一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是
(D ) A．AB＝CD C.AD＝BC
B.∠D＝90° D.AB＝AD
数学 3．四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，能判定它为 正方形的条件是( D ) A．AO＝CD B.AO＝CO＝BO＝DO C．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD D.AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
数学
证 明 ： 根 据 旋 转 和 平 移 可 得 ∠GEF ＝ 90°， ∠CBE ＝ 90°， CG∥BE，CB＝BE， ∴∠BCG＋∠CBE＝180°， ∴∠BCG＝90°，
∴四边形 CBEG 是矩形． ∵CB＝BE，∴矩形 CBEG 是正方形．
谢谢观看

1.3 正方形的性质与判定 初中数学北师大版九上授课课件

1.3 正方形的性质与判定 初中数学北师大版九上授课课件

求证:AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO. A
D
分析：因为正方形具有矩形和菱形的所
O
有性质,所以结论易证. 证明：∵四边形ABCD是正方形,
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.
∴AC=BD , AC⊥BD, AO=CO,BO=DO.
性质应用
例1：如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，
再由一个直角，得出是矩形；
最后由一组邻边相等可得正 方形；
450 C F
有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形
做一做
顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。
顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？
A H
A
H
E
DE
A
H
D
D
G
E
G
B F
GB C
F
C
正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正 方形？
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形 既是矩形，又是菱形.
又∵CE=CF,
∴△BCE≌△DCF.
B
∴BE=DF.
D E
C
F
(2)延长BE交DE于点M. ∵△BCE≌△DCF, ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.

正方形的性质与判定_优质课件

正方形的性质与判定_优质课件
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ 矩形 ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是
（ 正方形 ）
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
A
D
F
B
C
E
6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
E
A F D C
B
1
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
(13)四个角都相等的四边形是正方形 ( (14)四条边都相等的四边形是正方形 (
) )
×
× ×
× ×
)
选择题:
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN

正方形的性质与判定课件

正方形的性质与判定课件

1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
有一个角是直角
（填上一个条件即可）
探究释疑
发现：
正方形
矩 形
邻边 相等
一组邻边相等的矩形 叫正方形
菱 形
一个角是直角
正方形
发现：
一个角为直角的菱形叫 正方形
∟
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
知识点一：
Байду номын сангаас
对边平行且相等 四条边都相等 对角相等 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线互相垂直 对角线相等 每条对角线平分 一组对角
√
√ √
√ √ √ √
√
√ √ √
√ √
√ √ √ √ √ √ √ √
√
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
∟
图 形 语 言
A
∟
A
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等，每 条对角线平分一 组对角
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
二、 例1、如图，正方形ABCD中， 正 方 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三 问：这些三角形是什么三角形？ 形 角形。 （2）两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 （3）对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用

正方形的性质与判定-优质课件

正方形的性质与判定-优质课件
(2) BH⊥AF
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C

正方形的性质与判定-ppt课件

正方形的性质与判定-ppt课件
∵AF＝5，∴在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝
52－42＝3.∵点 F 为 BC 的中点，∴BC＝2BF＝6.
∴在 Rt△BCE 中，CE＝ BC2＋BE2＝ 62＋22＝2 10.
感悟新知
(2)若AF=CE，求证：四边形ABCD 是正方形.
知3－练
证明：在 Rt△ABF 中，AF2＝AB2＋BF2，
∴四边形ACED 是正方形(正方形的定义).
感悟新知
知3－练
3-1. 如图， 在矩形ABCD 中，点E，F 分别是AB，BC 的
中点，连接AF，CE.
感悟新知
知3－练
(1)若AE=2，AF=5，求CE 的长；
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠B＝90°.
∵点 E 为 AB 的中点，AE＝2，∴AB＝4，BE＝2.
数学表达式
∵在ABCD 中，AB=BC(或
AB=AD 或BC=CD 或
AD=CD)，且∠ A=90°(或
∠ B=90°或∠ C=90°或
∠ D=90°)，∴ ABCD 是
正方形
感悟新知
知1－讲
2. 图解
感悟新知
知1－讲
3. 四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形间的关系
感悟新知
知1－讲
特别提醒
2
四边形A2 024B2 024C2 024D2 024 的面
3
积为______ ．
22 022
课堂小结
正方形的性质与判定
性质
正
方
形
正方形的面积公式
一组邻边相等
特殊的矩形
对角线互相垂直
一个角是直角
判定
特殊的菱形
对角线相等
∴四边形 ABCD 是正方形．

北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)

北师大版数学九年级上册正方形的性质与判定(第1课时正方形的性质》课件(共26张)

(1)求证：△ADE≌△ABF； (2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心___A__点，按顺 时针方向旋转__9_0__ 度得到；
(3)若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．
解：(1)由SAS证明△ADE≌△ABF；
(3)由勾股定理得AE＝10，
由(1)得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
进而证∠EAF＝90°，
北师大版数学九年级上册
第一章 特殊的平行四边形
1.3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质
学习目标
1．掌握正方形握正方形的性质，能正确运用正方形 的性质解题．
回顾旧知
1．菱形的四条边都_相__等___，菱形的对角线_互__相__垂__直___ ． 2．矩形的四个角都是_直__角___ ，矩形的对角线_相__等__．_ 3．有一组邻边相等的平行四边形叫_菱__形___；有一个角是直 角的平行四边形叫做_矩__形___．
5．议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间 有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？
答：如图： 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是
特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
知识模块二 正方形的性质应用
解： ∵四边形ABEF、BCMN为正方形，∴AB＝
BE＝EF，BC＝BN，∠FEB＝∠EBC＝90°，∵AB
＝2BC，∴BE＝2BN，∴EN＝NB＝BC，∴在
△FEN和△EBC中
，
∴△FEN≌△EBC(SAS)，∴FN＝EC.
6.如图，并排摆放两个正方形ABCD和 FEBG，其中正方形FEBG的边长为3cm， 则图中阴影部分的面积是多少？

正方形的性质与判定完整ppt课件

正方形的性质与判定完整ppt课件
A B
D C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
B
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
A
D
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
。
A
B
O
D
C
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
12.正已方知形正具方有形而的菱一形条不边一长定为具2c有m的,则性这质个是正（方形C）的
周长A为.对8角c线m,对互角相线垂长直为B.对2角,面线2积c互m为相平分. 4cm2
性质 图形 平行四
分类
边形
矩形 (所特有)
菱形 (所特有)
正方形
边 对边平行
且相等
四条边相等
对边平行且 四条边相等
角
对角相等
四个角都 是直角
四个角都 是直角
对角线互
对角线 相平分
对角线 相等
对角线互相 垂直，每条 对角线平分 一组对角
对角线相等且互 相垂直平分，每 条对角线平分一 组对角

正方形的性质与判定课件

正方形的性质与判定课件

8cm 2cm,面积为 4cm . 周长为 A. 对角线互相垂直 ,对角线长为2 B.对角线互相平分
2
2 2cm
， 面积为
8cm
2
。
A P
E O F
B
5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一
C
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm
。
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
正方形的性质与判定
矩
形
平行四边形
四边形 菱 形
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?
正方形 矩
形
〃
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
正方形
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形
∟
二、 例1、如图，正方形ABCD中， 正 2 （1）一条对角线把它分成 个全等的三 方 角形。 问：这些三角形是什么三角形？ 形 （2）两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 （3）对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用
解:∵ DF⊥BC,DE⊥AB, ∴ ∠DEB= ∠DFB=90°, 又∵ ∠ABC=90°, ∴四边形DEBF是矩形
A
E
D
B
F
C
∵ BD平分∠ABC, DF⊥BC , DE⊥AB, ∴ DE= DF ∴四边形DEBF是正方形

正方形的性质与判定课件

正方形的性质与判定课件

正方形的性质=
再度探究 继续深化
活动：探究正方形的判定 判定一个平行四边形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个矩形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个菱形是正方形？需要增加什么条件？
判定一个四边形是正方形？（对角线）需要增加什么条
件？
分组研究
• • • • 第一组 第二组 第三组 第四组 平行四边形组 矩形组 菱形组 一般四边形组
有一个角是直角
菱形
正方形
学生调查
• 从平行四边形，菱形，矩形，正方形中选 一个你最喜欢的，并给出关键词和理由。
总结：平行四边形，矩 形， 菱形，正方形的关系
平行四边形
矩 形
正 方 形
菱 形
课后作业 把平行四边形，矩形，菱形，正方形按 照定义，性质，判定总结列表
谢
谢
大
家
45°
(3)
(1)
(2)
正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方 形.
简记 ： 即是矩形又是菱形就是正方形
合作探究
活动：探究正方形的性质
正方形性质:
边
四边相等
A O B
D
对边平行
角
四个角都是直角
C
对角线
互相平分 互相垂直 相等
每条对角线平分一组对角
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形， 也是特殊的菱形.
分组汇报
• 派出代表 大胆展示
A O B C D
1 .定义法： 一邻边相等 + 一个直角 + 平行四边形 2.矩形法： 一邻边相等 + 矩形 = 正方形
= 正方形
3.菱形法： 一个直角 + 菱形 = 正方形

《正方形的性质与判定》特殊平行四边形PPT(第1课时)教学课件

《正方形的性质与判定》特殊平行四边形PPT(第1课时)教学课件

再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可
F
得正方形；
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB .
第一章 特殊平行四边形
正方形的性质与判定
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.了解正方形的定义及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明正方形的性质定理.（重点） 3.应用正方形的性质定理解决相关问题.（难点）
导入新课
活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？ 四个角呢？
A M
B
P
D
N C
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
课堂小结
矩形
平行四边形
一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等）
菱形
正方形
请同学们动手完成以上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形 的定理来完成该题.
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
一 正方形判定的定理
动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使
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B
它分成 4 个全等的
等腰直角 三角形。
的
应 用
D
O
C
（3）对角线AC与正
方形的一边所成的角
为 45 度。
13
例2、如图，正方形ABCD中，
正方形的面积为64平方厘米，则
正方形对角线AC=
。
8√2 cm
A
B
O
D
C
14
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定（一）
1
四边形
平行四边形
矩形 菱形
2
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
3
〃
探究（一）
矩形怎样变化后就成了正方形呢 ?
正方矩形 形
4
2、要使一个矩形成为正方形需 添加的条件是 有一组邻边相等 （填上一个条件即可）
5
探 究（二） 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
解析： 正方形有4条对称轴. 经验层面：可通过折叠. 分析层面：正方形具有矩形、菱形的 所有性质，所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
12
二、例1、如图，正方形ABCD中，
正 （1）一条对角线把它分成 2 个全等的三
方
形
角形。 问：这些三角形是什么三角形？
的 性
A
质
（2）两条对角线把
正方形
6
1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 有一个角是直角 （填上一个条件即可）
7
探究小结
邻边 相等
发现：
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形定义
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
讨论总结:正方形有那些性质?
语 言
∴AB∥CD AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∴∠A=∠B=∠C=∠ D=90°
∴AC⊥BD,AC=BD,O A=OB=OC=OD
称 图 形
10
于是我们得到了正方形的两条定理： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分
11
想一想： 正方形有几条对称轴
19
正方形、矩形、菱形、平行四边形四者之间有什么关系？
平行四边形
正
矩方 菱 形形 形
20
小结
性质
图形
对边平行且相等
四条边都相等 对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分 一组对角
平行四 边形
矩形
√√
√√ √
√√
√
菱形 正方形
√√ √√ √√
√ √√
√√
√
√
√ 21
轴对称图形、 中心对称图形
正方形
对四都边条相平边等行，都四是个直角角
对角线互相垂直平 分且相等，每条对 角线平分一组对角
轴对称图形、 中心对称图形
22
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对角线
对称性
平行 四边形
对边平行 且相等
对角相等， 邻角互补
对角线互相平分
中心对称图形
对边平行 四个角 矩 形 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱
形
对 四 等边边平都行相，对邻角角相互等补，
对角线互相垂直 平分，每条对角 线平分一组对角
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
17
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
Байду номын сангаас
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
解：BE=DF,且BE⊥DF. 理由如下：
15
（1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE=90°（正方形的四 条边都相等，四个角都是直角）. ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
16
8
知识点一：
正方形的性质
9
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴
对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
中
言
组对角
心
对
符 号
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是 正方形
∵四边形ABCD是正 方形