正方形的判定和性质探索活动1、思考：你能类比矩形、菱形的概念给正方形下个定义吗?正方形的概念：____________并且____________的_________是正方形。
2、探究：（1）比较平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系（2）探索正方形的性质请大家思考正方形有哪些性质?正方形是一个特殊的平行四边形，正方形形具有平行四边形的所有性质；正方形还是特殊的矩形，也是特殊的菱形，所以正方形具有矩形、菱形的所有性质正方形的性质：从对称性看：正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形从边看：正方形的四边相等，对边平行从角看：正方形4个角都是直角从对角线看：正方形的两条对角线相等且互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角思考：正方形具有而一般矩形不具备的性质：正方形具有而一般菱形不具备的性质：探索正方形的判定方法：问题：有一个角是直角的是正方形；有一组邻边相等的是正方形；对角线相等的是正方形；对角线垂直的是正方形；对角线的四边形是正方形。
思路：（1）先说明这个平行四边形是，再说明这个矩形也是；（2）先说明这个平行四边形是，再说明这个菱形也是。
归纳总结例1.如图，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，试探索BG 与DE 的关系.例2.在正方形ABCD 中，点E、F、G、H 分别在各边上，且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH 是正方形吗?为什么?题型一：正方形的性质-求角度1．如图，正方形ABCD O，则AOB ∠的度数是（）A．30︒B．45︒C．60︒D．90︒【答案】D 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∴90AOB ∠=︒，故选：D．2．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，连接BE ，BE 交对角线AC 于点F，连接DF ，若35ABE ∠=︒，则CFD ∠的度数为（）A．80°B．70°C．75°D．45°【答案】A 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,45BC CD BAC ACB ACD =∠=∠=∠=︒，∵35ABE ∠=︒，∴80BFC ABE BAC ∠=∠+∠=︒，在BCF △和DCF 中，BC CD ACB ACD CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCF DCF ≌△△，∴80CFD CFB ∠=∠=︒，故选：A．3．如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边ADE V ，则AEB ∠=．【答案】15︒【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90BAD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，，∴AD AE =，60DAE ∠=︒，∴AB AE =，150BAE ∠=︒，∴()1180150152AEB ∠=︒-︒=︒，故答案为：15︒．4．如图，正方形ABCD 中，E 在BC 延长线上，AE，BD 交于点F，连接FC，若32E ∠= ，那么BCF ∠的度数是．【答案】58°【详解】解：∵在正方形ABCD，AD=CD，∠ADF=∠CDF=45°，DF=DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DAF=∠DCF，又∵AD∥BC，∠E=32°，∴∠DAF=32°，∴∠DCF=32°，∴∠BCF=∠DCB－∠DCF=90°－32°=58°．故答案为：58°．5．如图，在正方形ABCD 中，M 是正方形内一点，且MC MD AD ==．求BAM ∠的度数．【答案】15︒【详解】解：在正方形ABCD 中，90ADC BAD ∠=∠=︒，AD DC =，MC MD AD ==，AD DC MD MC ∴===，在DMC 中，DM DC MC ==，则DMC 是等边三角形，60MDC ∴∠=︒，30MDA ∴∠=︒，在ADM △中，30ADM ∠=︒，MD AD =，则()118030752DAM ∠=︒-︒=︒；90907515BAM DAM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．6．如图，BF 平行于正方形ADCD 的对角线AC，点E 在BF 上，且AE=AC，CF∥AE，求∠BCF.【答案】105°【详解】作AO⊥FB 的延长线,BQ⊥AC∵BF∥AC,∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45°∴AO＝BQ＝AQ＝12AC ∵AE＝AC ∴AO＝12AE∴∠AEO＝30°∵BF∥AC∴∠CAE∠AEO＝30°∵BF∥AC,CF∥AE∴∠CFE∠CAE＝30°∵BF∥AC∴∠CBF∠BCA＝45°∠BCF＝180°－∠CBF－∠CFE＝180°－45°－30°＝105°题型二：正方形的性质-求长度1．正方形的一条对角线长为8，则正方形的边长为（）A．2B．4C．D．【答案】C【详解】解：设正方形的边长为a，∵正方形的一条对角线之长为8，a a+=，∴2228∴a=，故选C．2．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和3，则正方形的边长是．.【详解】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠ABM+∠CBN=90°.∵AM⊥MN，CN⊥BN，∴∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°.∴△AMB≌△BCN（AAS）.∴BM=CN.∵点A、C到直线L的距离分别是1和3，即AM=1，CN=3，∴BM=3.∴AB ==3．如图，在边长为ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥则AF 的长为（）A．4-B．4C．4-D．4-【答案】D 【详解】解∶∵四边形ABCD 是正方形，∴90FBC DCE CD BC ∠=∠=︒==，Rt DCE V 中，30∠=︒CDE ，∴12CE DE =，设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得∶222DC CE DE +=，即(()2222x x +=，解得∶4x =±（负值舍去），∴4CE =，∵DE CF ⊥，∴90DOC ∠=︒，∴60DCO ∠=︒，∴906030BCF CDE ∠=︒-︒=︒=∠，∵DCE CBF CD BC ∠=∠=，，∴()ASA DCE CBF ≌，∴4BF CE ==，∴4AF AB BF =-=-．故选∶D．4．如图，边长为6的正方形ABCD 中，M 为对角线BD 上的一点，连接AM 并延长交CD 于点P.若PM PC =，则AM 的长为（）A．)31B．)32C．)61D．)62【答案】C【详解】∵边长为6的正方形ABCD ，∴,,90BA BC ABM CBM DAB ADC BCD =∠=∠∠=∠=∠=︒，∵BA BC ABM CBM BM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABM CBM ≌，∴BAM BCM ∠=∠，∴9090BAM BCM ︒-∠=︒-∠，∴DAM DCM ∠=∠，∵PM PC =，∴PMC DCM ∠=∠，∴22APD PMC DCM DCM DAM ∠=∠+∠=∠=∠，∴390APD DAM DAM ∠+=∠=︒，∴30DAP ∠=︒，∴2AP DP =，∵222AP DP AD =+∴()22226DP DP =+，解得DP =∴262AP DP PM PC CD DP ====-=-∴)661AM AP PM =-==，故选C．5．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，连接CC '，DC '，若90CC D '∠=︒，5AB =，则线段C D '的长度为．【详解】解：过点B 作BE CC '⊥于点E ，四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90BCD ∠=︒，90BCE C CD '∴∠+∠=︒，90BCE CBE ∠+∠=︒ ，C CD CBE '∴∠=∠，又BEC CC D '∠=∠ ，在BCE 和'CDC △中，CBE C CD BEC CC D BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，()AAS BCE CDC '∴≌ ，CE C D '∴=，将边BC 绕点B 逆时针旋转至BC '，5BC BC CD '∴===，又BE CC '⊥ ，CE C E C D ''∴==，222C D C C CD ''+= ，2525C D '∴=，C D '∴=，6．如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E 是线段OD 上一点，连接EC ，若BF CE ⊥于点F ，BF 是DBC ∠的角平分线，6AB =，则OE 的长为．【答案】6-【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，6BC AB ∴==，90ABC ∠=︒，在Rt ABC △中，AC === 正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，1122BO BD AC ∴===BF CE ⊥ 于点F ，90BFE BFC ∴∠=∠=︒，BF 是DBC ∠的角平分线，EBF CBF ∴∠=∠，在BFE △和BFC △中，90EBF CBF BF BF BFE BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴(ASA)BFE BFC ≌ ，6BE BC ∴==，6OE BE BO ∴=-=-故答案为：6-．题型三：正方形的性质-求周长和面积1．正方形一条对角线为2，则正方形的面积为．【答案】2【详解】解： 正方形的一条对角线的长为2，∴这个正方形的面积21222=⨯=．故答案为：2．2．如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD 、BC 于E、F，则阴影部分的面积是．【答案】1【详解】解：在正方形ABCD 中，AD BC ∥，OD OB =，∴ODE OBF ∠=∠，又DOE BOF ∠=∠，∴()ASA DEO BFO ≌△△，DEO BFO S S ∴=△△，阴影面积=BOC S 12112=⨯⨯=．故答案为：1．3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是．【答案】4cm．【详解】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1-x，故两个小正方形的周长和=4x+4（1-x）=4cm．4．如图，正方形ABCD 和正方形EFGO 的边长都是2，正方形EFGO 绕点O 旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A 【详解】解：如图，设AB 与OE 交点N，BC 与OG 交点M，∵四边形ABCD 和四边形EFGO 都是正方形，∴,45,90OB OC OBA OCB BOC EOG =∠=∠=︒∠=∠=︒，∴BON MOC ∠=∠．在OBN △与OCM 中，OBN OCM OB OC BON COM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA OBN OCM ∴≌ ，OBN OCM S S ∴= ，1122144OBC ABCD OMBN S S S ∴===⨯⨯=正方形四边形 ．故选：A．5．正方形ABCD 的边长为2，将该正方形绕顶点A 在平面内旋转45︒，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（）A．4B．4-C．10-D．8-【答案】A 【详解】解：设C D ''交BC 于点M ，连AM ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD AB ∴==，90D B BAD ∠=∠=∠=︒，由旋转得AD AD '=，D D '∠=∠，45DAD '∠=︒，AD AB '∴=，90D B '∠=∠=︒，45BAD BAD DAD ''∠=∠-∠=︒，在Rt AD M '△和Rt ABM 中，AM AM AD AB=⎧⎨'=⎩，∴Rt Rt (HL)AD M ABM '△≌△，122.52MAD MAB BAD ''∴∠=∠=∠=︒，在AB 上截取BE BM =，连接EM ，则45BEM BME ∠=∠=︒，22.5EMA BEM MAB ∴∠=∠-∠=︒，EMA MAB ∴∠=∠，AE ME ∴=，∴2BE +=，2BM BE ∴==，1122)222AD M ABM S S AB BM '∴==⋅=⨯⨯=-△△，224AD M ABM S S S '∴=+=-+-=-△△阴影，故选：A．6．如图，已知正方形,ABCD G 为CD 边上一点（不与端点重合），以CG 为一边作正方形CGFE ，连接,,BD BF DF ，若4AB =，则BDF V 的面积为．【答案】8【详解】解：连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，∴45DBC FCE ∠=∠=︒，∴BD CF ∥，∴1144822BDF BDC ABCD S S S ===⨯⨯= 正方形，故答案为：8．7．如图，边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为1S 、2S ，则12S S +的值为．【答案】68【详解】解：如图所示，连接BQ FH EG ，，，过点F 作FR AD ⊥于点R ，过点G 作GK CD ⊥于点K ，∵四边形ABCD ，四边形EFGH ，四边形BPQS 是正方形，AC 是对角线，BQ 是对角线，∴90SQP CSQ QPA ∠=∠=∠=︒，45BCA BAC CQS PQA SQB PQB SBQ PBQ ∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴,,,APQ QPB BQS CSQ △△△△是等腰直角三角形，且APQ QPB BQS CSQ ≌≌≌△△△△，同理，,,,,,,,,ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF △△△△△△△△△是等腰直角三角形，且ARF ERF EOF EOH EDH HOG HKG GKC GOF ≌≌≌≌≌≌≌≌△△△△△△△△△，∴149ADC S S =△，212ABC S S =△，12ADC ABC ABCD S S S +=正方形△△，∴124111121212123236689222S S +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=，故答案为：68．题型四：正方形的性质运用1．菱形、矩形、正方形都具有的特点是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线平分对角【答案】C【详解】解：A.矩形的对角线不一定互相垂直，故不符合题意；B.菱形的对角线不一定相等，故不符合题意；C.菱形、矩形、正方形的对角线互相平分，故符合题意；D.矩形的对角线不一定平分对角，故不符合题意；故选：C．2．下列性质中，平行四边形，矩形，菱形，正方形共有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分内角【答案】C【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分，∴矩形，菱形，正方形的对角线也必然互相平分．故选：C．3．在学习了“中心对称图形——平行四边形”之后，平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可以用下面的关系图表示，则②处所填图形的名称应为．【答案】正方形【详解】解：由题意可知，④是平行四边形，①和③分别是矩形和菱形，②是正方形．故答案为：正方形．4．如图，以ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF 相交于M ，DC 、AB 相交于N ．(1)从旋转的角度看，ADC △是绕点逆时针旋转度，可以得到ABF △；(2)CD 与BF 有何关系，请说明理由．【答案】(1)A ，90(2)CD BF =，DC BF ⊥，理由见解析【详解】（1）解：由题意知，从旋转的角度看，ADC △是绕点A 逆时针旋转90度，可以得到ABF △；故答案为：A ，90；（2）解：CD BF =，CD BF ⊥，理由如下：∵四边形ADEB 、四边形ACGF 均为正方形，∴90AD AB AC AF DAB CAF ==∠=︒=∠，，，∴DAB BAC CAF BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAF ∠=∠，∵AD AB DAC BAF AC AF =∠=∠=，，，∴()SAS DAC BAF ≌，∴CD BF =，CDA FBA ∠=∠，∵180CDA DAN DNA FBA BMN BNM ∠+∠+∠=︒=∠+∠+∠，DNA BNM ∠=∠，∴90BMN DAN ∠=∠=︒，∴DC BF ⊥．题型五：最值问题1．如图，四边形ABCD 为正方形，M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，请在对角线AC 上找一点P ，使PM PN +的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【详解】解：如图所示，点P 即为所求．连接BD 交AC 于O，连接NP 并延长交AD 于T，由正方形的对称性可知M T 、关于AC 对称，∴PM PT =，∴PM PN PT PN +=+，∴当P T M 、、三点共线时，PT PN +最小，即PM PN +最小，此时点P 与点O 重合．2．如图所示，正方形ABCD 的面积为9，ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（）A．4.5B．9C．2.5D．3【答案】D 【详解】解：设BE 与AC 交于点P'，连接BD ，DP '，∵点B 与D 关于AC 对称，∴''P D P B =，∴''''P D P E P B P E BE +=+=∵正方形ABCD 的面积为9，∴3AB =，又∵ABE 是等边三角形，∴3BE AB ==．故选：D3．正方形ABCD 中，点E 在AB 上，3AE =，1BE =，点P 在AC 上，EP BP +的最小值．【答案】5【详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接ED 与AC 交于点P，连接PB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD AC ⊥，且OB OD =，∴BP PD =，则BP EP ED +=，此时最短，∵3AE =，134AD =+=，∴根据勾股定理得22222234255ED AE AD =+=+==，∴5ED BP EP =+=，即BP EP +的最小值为：5，故答案为：5．4．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 的中点，在对角线AC 上有一点P，则PD PE +的最小值是．【详解】连接BP ，BE ，因为正方形ABCD 关于对角线AC 对称，点B 与点D 是对称点，∴PB PD =，PD PE PB PE+=+当点P 在线段BE 上时，PD PE PB PE BE +=+=，为最小值．∵正方形ABCD 的边长为2，∴2BC CD ==，∵点E 是CD 的中点，∴112CE CD ==，∵在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，∴在Rt BCE 中，BE ==∴PD PE +5．如图，在正方形ABCD 中，点E AB 上一点，且2AE =，4BE =，点P 是边AD 上的动点（P 与A ，D 不重合），则PE PC +的最小值是．【答案】10【详解】解：作点E 关于AD 的对称点E '，连接CE '交AD 于点P ，∴PE PE '=，AE AE '=，∴PE PC PE PC CE ''+=+≥，即PE PC +的最小值为CE '，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90CBA ∠=︒，∵2AE =，4BE =，∴4228BE BE AE AE ''=++=++=，642B E C AB BE A +=+===，在Rt BCE '△中，10CE '===，∴PE PC +的最小值是10．故答案为：10．题型六：正方形的判定定理1．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O，且OA OC =，OB OD =，下列说法错误的是（）A．若AC BD ⊥，则ABCD 是菱形B．若AC BD =，则ABCD 是矩形C．若AC BD ⊥且AC BD =，则ABCD 是正方形D．若90ABC ∠=︒，则ABCD 是正方形【答案】D【详解】解：∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AC BD ⊥，则四边形ABCD 是菱形，故A 选项不符合题意；若AC BD =，则四边形ABCD 是矩形，故B 选项不符合题意；若AC BD ⊥且AC BD =，则四边形ABCD 是正方形，故C 选项不符合题意；若90ABC ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，故D 选项符合题意；故选：D．2．如图所示，在ABC 中，在90ACB ∠=︒，CD 平分ACB ∠，DE AC ⊥于E，DF BC ⊥于F，求证：四边形CEDF 是正方形．【答案】∵CD 平分ACB ∠，,DE AC DF BC ⊥⊥，∴DE DF =，90DFC DEC ∠=∠=︒，又∵90ACB ∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形，∵DE DF =，∴矩形CEDF 是正方形．3．矩形ABCD 四个内角平分线组成四边形MFNE ，求证：四边形MFNE 是正方形．【答案】 四边形ABCD 是矩形，90BAD ADC BCD ABC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AD BC =，AM ，DM ，CN ，BN 分别是四个内角平分线，45BAE EAD ADM CDM DCN BCN CBN ABN ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，AE BE ∴=，90AEB N DFC AMD ∴∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形MFNE 是矩形，在ADM △和BCN △中，MAD CBN AD BC ADM BCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ASA ADM BCN ∴ ≌，AM BN ∴=，AM AE BN BE ∴-=-，EN EM ∴=，∴矩形MFNE 是正方形．4．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，先把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC 后，再把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，DE、FG 相交于点H．(1)判断线段DE、FG 的位置关系，并说明理由；(2)连接AG，求证：四边形ACEG 【答案】(1)DE⊥FG，理由见解析(2)见解析【详解】（1）解：DE⊥FG，理由如下：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴∠BAC＝∠CED，∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴∠ABC＝∠GFE，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CED+∠GFE＝90°，∴∠FHE＝90°，∴DE⊥GF；（2）解：∵把△ABC 沿射线BC 平移至△GFE，∴AC＝GE，AC∥GE，∴四边形ACEG 是平行四边形，∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转90°至△EDC，∴AC＝CE，∠ACE＝90°，∴四边形ACEG 是正方形．5．如图：已知：AD 是ABC 的角平分线，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ．(1)求证：四边形AEDF 是菱形；(2)当ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？【答案】(1)见解析(2)90BAC ∠=︒【详解】（1）解：证明：//DE AC ，//DF AB ，//DE AF ∴，//DF AE ，∴四边形AEDF 是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），EAF EDF ∴∠=∠（平行四边形的对角相等）；又AD 是ABC ∆的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠FAD，EAD EDA ∴∠=∠，AE DE ∴=（等角对等边），∴四边形AEDF 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；（2）解：由（1）知，四边形AEDF 是菱形，当四边形AEDF 是正方形时，90EAF ∠=︒，即90BAC ∠=︒，ABC ∴∆的90BAC ∠=︒时，四边形AEDF 是正方形．课后练习1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（）A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形B．若AB＝BC，AC＝BD，四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形【答案】D【详解】解：∵四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形．A．∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故该选项不符合题意；B.∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴菱形ABCD是正方形；故该选项不符合题意；C.∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；D．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项符合题意；故选：D．2．如图，在正方形ABCD外作等边ADE∠=︒．，则BED【答案】45【详解】解： 四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，又ADE 是等边三角形，AE AD ∴=，60AED DAE ∠=∠=︒，AB AE ∴=，9060150BAE ∠=︒+︒=︒，15ABE AEB ∴∠=∠=︒．BED AED ABE ∴∠=∠-∠45=︒，故答案为45∶．3．如图，在正方形ABCD 中，E，F 是对角线BD 上的点，且AB BF DE ==，求EAF ∠的度数．【答案】45︒【详解】解：在正方形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒．又∵AB BF DE ==，∴AD DE =，AB BF =，∴18(27)06.5DAE DEA ADB ∠=∠=︒-∠÷=︒，18(27)06.5BAF BFA ABD ∠=∠=︒-∠÷=︒，∴180180267.545EAF BFA DEA ∠=︒-∠-∠=︒-⨯︒=︒．4．如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至E ，使CE CA =．求CAE ∠的度数．【答案】22.5︒【详解】解： 在正方形ABCD 中，90BCD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，∴90DCE BCD ∠=∠=︒，45ACB ∠=︒，CE CA =，ACE ∴ 是等腰三角形，ACB ∠ 是ACE △的一个外角，2ACB CAE E CAE ∴∠=∠+∠=∠，即245CAE ∠=︒，解得22.5CAE ∠=︒，故答案为：22.5︒．5.在正方形ABCD中，两条对角线相交于O，∠ACD的平分线交BD于P，若正方形ABCD的周长是16cm，则PB＝___________cm.【答案】46．如图，正方形ABCD 的面积为2，菱形AMCN 的面积为1，则,M N 两点间的距离为（）A．1B．2【答案】A【详解】解：如图，连接AC ，∵正方形ABCD 的面积为2，∴2122AC =，解得：2AC =，∵菱形AMCN 的面积为1，∴⋅=112AC MN ，即⨯⨯=1212MN ，解得：1MN =．故选：A．7．如图，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，过BE 上一点O 作BE 的垂线，交AB 于点G ，交CD 于点H ．6BE =，则GH =．【答案】6【详解】解：过点A 作GH 的平行线，交DC 于点F，如图所示：∵ABCD 是正方形，∴AG FH ∥，BA AD =，90BAE D ∠=∠=︒，∴90FAD AFD ∠+∠=︒，∵GH BE ⊥，AF GH ∥，∴AF BE ⊥，四边形AFHG 是平行四边形，∴90FAD BEA ∠+∠=︒，∴BEA AFD ∠=∠，∴()AAS BAE ADF ≌，∴BE AF =，∴GH AF =，∴6GH BE ==，故答案为：6．8．如图，直线1l ，2l ，3l 分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，D ，C ，且相互平行，若1l ，2l 的距离为1，2l ，3l 的距离为2，则正方形的边长为．【详解】解∶如图，过点D 作1EF l ⊥交1l 于点E，交3l 于点F，∵123l l l ∥∥，∴32,EF l EF l ⊥⊥，∴90AED ADC CFD ∠=∠=∠=︒，1,2DE DF ==，∴90,90ADE DAE ADE CDF ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴DAE CDF ∠=∠，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，∴ ≌ADE DCF ，∴2,1AE DF DE CF ====，AD ==9．如图，有三个正方形ABCD ，DEFG ，FHMN ，点B ，C ，G ，H ，M 都在同一直线l 上，若正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，则正方形FHMN 的面积为（）A．4B．5C．6D．11【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD ，DEFG ，FHMN 都是正方形，∴DG FG =，90DCG GHF DGF ∠∠∠===︒；∴90CDG CGD CGD HGF ∠∠∠∠+=+=︒，∴CDG HGF ∠∠=，∴CDG HGF ≌（AAS ），∴CD GH =，CG FH =，∵正方形ABCD ，DEFG 的面积分别为3和8，∴2238CD DG ==，，∴正方形FHMN 的面积22835FH CG ===-=．故选∶B．10．若正方形的边长为a ，M 是BC 的中点，则图中阴影部分的面积是多少？【答案】213a 【详解】解：设ABE S S =△，M 是BC 中点，又因为ABE 和△同高，∴12BME S S =△，2311244AMB ABCD S S S a ===△正方形，则216S a =，∴阴影部分的面积2211263a a =⨯=．11．如图，正方形ABCD 的边长为2，H 在CD 的延长线上，四边形CEFH 也为正方形，则△DBF 的面积为()A．4C．D．2【答案】D 【详解】解：设正方形CEFH 的边长为a，根据题意得：21114422222()()BDF S a a a a a ∆=+-⨯---+22211222a a a a a =+-+--=2．故选：D．12．如图，在矩形ABCD 中，BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，//,//BF CE CF BE ．求证：四边形BFCE 是正方形．【答案】∵//,//BF CE CF BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，90DCB ∠=︒．又∵BE 平分ABC ∠，CE 平分DCB ∠，∴1145,4522EBC ABC ECB DCB ∠=∠=︒∠=∠=︒．∴EBC ECB ∠=∠．∴EB EC =．∴BECF 是菱形（菱形的定义）．在EBC 中，∵45,45EBC ECB ∠=︒∠=︒，∴90BEC ∠=︒．∴菱形BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．13．如图，ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E，使OE OD =．连接AE ，BE ．(1)求证：四边形AEBD 是矩形；(2)当90BAC ∠=︒时，猜想四边形AEBD 是什么图形？说明理由．【答案】（1）证明：∵点O 为AB 的中点，OE OD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）解：当90BAC ∠=︒时，四边形AEBD 是正方形，理由如下：AB AC = ，AD 是BAC ∠的角平分线，BD CD ∴=，90BAC ∠=︒ ，12AD BC BD \==，由（1）可知，四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．14．已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）解：四边形E′BGD是平行四边形．理由如下：∵△DCE绕D顺时针旋转∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB﹣AE′=CD﹣CG．即BE′=DG．∴四边形E′BGD是平行四边形．15．已知：如图，在ABC中．(1)分别以AB 、AC 为边向形外作正方形ABDE 、ACFG ．求证：①CE BG =；②CE BG ⊥；(2)分别以AB 、AC 为边向形外作正三角形ABD △、ACE △．求证：①CD BE =；②求CD 和BE 所成的锐角的度数．【答案】证明：①在正方形ABDE ACFG 中，AE AB =，AC AG =，90EAB GAC ∠=∠=︒，∴EAC BAG ∠=∠，在EAC 和BAG △中，EA BA EAC BAG AC AG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAC BAG ≌，∴CE BG =，②如图，记BG ，CE 的交点为H ，BG ，AC 的交点为T ，∵EAC BAG △≌△，∴ACE AGB ∠=∠，∵90AGT ATG ∠+∠=︒，ATG CTH ∠=∠，∴90ACE CTH ∠+∠=︒，∴1809090GHC ∠=︒-︒=︒，∴CE BG ⊥．（2）①如图，记CD ，BE 的交点为O ，∵等边ABD △和等边ACE△∴AE AC =，AD AB =，60CAE BAD ADB ABD ∠==∠=∠=︒，∵BAE BAC CAE ∠=∠+∠，CAD BAC BAD ∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∴ABE ADC △≌△，∴CD BE =；②∵ABE ADC△≌△∴ABE ADC ∠=∠，∴60BDO ABE BDO ADC ADB ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴()18018060DOB DBO BDO ABD ABE BDO ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠+∠=︒∴CD 和BE 所成的锐角的度数为60︒．16．在学习对称的知识点时，我们认识了如下图所示的“将军饮马”模型求最短距离．问题提出：(1)如图1所示，已知A，B 是直线l 同旁的两个定点．在直线l 上确定一点P，并连接AP 与BP ，使PA PB +的值最小．问题探究：(2)如图2所示，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接EP 和BP ，则PB PE +的最小值是___________；问题解决：(3)某地有一如图3AOB ，已知45AOB ∠=︒，P 是AOB 内一点，连接PO 后测得10PO =米，现当地政府欲在三角形空地AOB 中修一个三角形花坛PQR ，点Q R ，分别是OA OB ，边上的任意一点（不与各边顶点重合），求PQR 周长的最小值．【详解】（1）解：如图所示，当P 点在如图所示的位置时，PA PB +的值最小；（2）解：如下图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 垂直平分BD ，∴PB PD =，由题意易得：PB PE PD PE DE +=+≥，当D、P、E 共线时，在ADE V 中，根据勾股定理得，DE =（3）解：如下图所示，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点M N ，，连接OM ON MN ，，，MN 交OA ，OB 于点Q R ，，连接PR PQ ，，此时PQR 周长的最小值等于MN ．由轴对称性质可得，10OM ON OP MOA POA NOB POB ===∠=∠∠=∠，，，∴224590MON AOB ∠=∠=⨯︒=︒，在Rt MON △中，MN =即PQR 周长的最小值等于。
