高考数学考点突破——计数原理(理科专用)：二项式定理

最新中小学教案、试题、试卷 二项式定理 【考点梳理】 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn. 2．二项式系数的性质 性质 性质描述 对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn

增减性 二项式 系数Ckn 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的

当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的 二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值

当n为奇数时，中间的两项12Cnn与12Cnn取最大值 3．各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. (2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 【考点突破】 考点一、展开式中的特定项或特定项的系数

【例1】(1)x2－12x6的展开式中，常数项是( ) A．－54 B．54 C．－1516 D．1516 (2)已知x－ax5的展开式中含x32的项的系数为30，则实数a＝________. [答案] (1) D (2) －6 最新中小学教案、试题、试卷 [解析] (1)Tr＋1＝Cr6(x2)6－r－12xr＝－12rCr6x12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项

为－124C46＝1516. (2)x－ax5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x)5－r·－axr＝(－a)rCr5·x5－2r2.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，∴(－a)1·C15＝30，解得a＝－6. 【类题通法】 1．求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可． 2．已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数． 【对点训练】 1．(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是________(用数字作答). [答案] 10 [解析] 由(2x＋x)5得Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－rCr5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10. 2．已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________. [答案] 4 [解析] (1＋3x)n的展开式的通项为Tr＋1＝Crn(3x)r，令r＝2，得T3＝9C2nx2，由题意得9C2n＝54，解得n＝4. 【例2】1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为( ) A．15 B．20 C．30 D．35 [答案] C [解析] 因为(1＋x)6的通项为Cr6xr，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4，因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6展开式中x2的系数为30. 最新中小学教案、试题、试卷 【类题通法】 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解． (2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．

(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑． 【对点训练】 (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________. [答案] 40 [解析] 由(2x＋x)5得Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(x)r＝25－rCr5x5－r2，令5－r2＝3得r＝4，此时系数为10. 【例3】(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60 [答案] C [解析] (x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cr5(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C25(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Ck3(x2)3－k·xk＝Ck3x6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为C25C13＝30，故选C. 【类题通法】 求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的步骤

【对点训练】 最新中小学教案、试题、试卷 (x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为________. [答案] 40 [解析] 由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C35(2x)2(－y)3＋y·C25(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40. 考点二、二项式系数的和与各项的系数和

【例4】(1)若二项式3x2－1xn的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A．－27C39 B．27C39 C．－9C49 D．9C49 (2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝( ) A．1 024 B．243 C．32 D．24 [答案] (1) B (2) A

[解析] (1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故3x2－1x9的展开式的通项为Tr＋1＝Cr9(3x2)9

－r－1xr＝(－1)rCr9·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C69·33＝27C39.

(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5| ＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 【类题通法】 1．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，

b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.

2．若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）

2.

【对点训练】 最新中小学教案、试题、试卷 1．在1x－3n(n∈N*)的展开式中，所有项系数的和为－32，则1x的系数等于( ) A．360 B．－360 C．270 D．－270 [答案] D

[解析] 在1x－3n中，令x＝1可得，其展开式所有项系数的和为(－2)n＝－32，则n＝

5，则1x－35的展开式的通项为Tr＋1＝Cr51x5－r(－3)r.令5－r＝2，可得r＝3，所以展开式中1x的系数为－270. 2．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( ) A．2n B．3n－12 C．2n＋1 D．3n＋12 [答案] D [解析] 设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，① f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②

由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)， 所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝f（1）＋f（－1）2＝3n＋12. 考点三、二项式系数与展开式系数的最值问题 【例5】(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8 (2) (x＋2y)7的展开式中系数最大的项是________． [答案] (1) B (2) 672x2y5 [解析] (1)根据二项式系数的性质知：(x＋y)2m的二项式系数最大有一项，Cm2m＝a，(x＋y)2m＋1的二项式系数最大有两项，Cm2m＋1＝Cm＋12m＋1＝b.又13a＝7b，所以13Cm2m＝7Cm2m＋1，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m＝6满足等式，所以选B.

(2)(x＋2y)7的展开式的通项为Tr＋1＝2rCr7x7－ryr.由 2r－1Cr－17≤2rCr7，2rCr7≥2r＋1Cr＋17，可得133≤r≤163.∵r最新中小学教案、试题、试卷 ＝0，1，…，7，∴r＝5.∴(x＋2y)7的展开式中系数最大的项是T6＝25C57x2y5＝672x2y5. 【类题通法】 1．求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解． 2．求展开式系数的最大值，有两个思路，如下： 思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值． 思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解

不等式组 ak≥ak－1，ak≥ak＋1即可求得答案． 【对点训练】 1．(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为________(用数字作答)． [答案] －160 [解析] 因为二项式系数最大的项是T4＝C36x3(－2y)3＝－160x3y3，所以(x－2y)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数为－160.

2．在x－ax5的展开式中x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 [答案] B [解析] 由Tr＋1＝Cr5x5－r－axr＝(－a)rCr5x5－2r，r＝0,1，2，…，5，由5－2r＝3，解得r＝1，所以(－a)C15＝－5a＝－5，解得a＝1，所以Tr＋1＝(－1)rCr5x5－2r，r＝0，1，2，…，5，当r＝0时，(－1)rCr5＝1；当r＝2时，(－1)2C25＝10；当r＝4时，(－1)4C45＝5.所以该展开式各项的系数中最大值为10.故选B.