初三数学圆经典例题
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一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。
考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5
点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内 d＜r；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD是直径，84EOD，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
例3 ⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_________cm。
例4 在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少
例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,30CEA，
求CD的长．
例6.已知：⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为3,2，求BAC的度数． A B
D C
O · E M A
B C
D O E
B
A C ACBD
例7.如图，已知在ABC中，90A，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．
例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。
.思考题
如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.
二．垂径定理及其推论
【考点速览】
考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤． C
B
D A
· A B
D C
E
P
F O ③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．
推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．
垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1 如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且CNMAMN．
求证：AB=CD．
例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。求证：CE=DF．
l•问题一图1 OHFEDCBAl•问题一图2 OHFEDCBA l•问题一图3 OHFEDCBA
例3 如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：AE＝BF
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值若是定值，请给出证明，B F A
B D C
O · N M 并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成045角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O半径为1，试问：22PDPC 是否为定值若是，求出定值；若不是，请说明理由.
例5.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.
例6.（思考题）如图，1o与2o交于点A，B，过A的直线分别交1o，2o于M,N，·O A
B D C E
F M
N
A M C A B
C D
P
O 。C为MN的中点，P为21OO的中点，求证：PA=PC.
三．圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．
Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。
13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、BC．
（1）求证：ACO=BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。
E
D
B A
O
C （1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的半径。
16.已知：如图等边ABC△内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BDAP，连结CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断PDC△是什么三角形并说明理由．
（2）若AP不过圆心O，如图②，PDC△又是什么三角形为什么
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 A
C B D E
A
O
C
D P B
图① A
O
C
D P B
图②
推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．
例2、已知：如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。
求证：PA=PC。
A B E
F OPC12D
