(完整word)初三圆的典型例题.docx

圆所有经典难题一，选择题1.下列命题中正确的有( )个(1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（ ）A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°3.下列说法正确的是 （ ） A 、三点确定一个圆。

B 、一个三角形只有一个外接圆。

C 、和半径垂直的直线是圆的切线。

D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。

4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（ ）Ａ、２ Ｂ、３ Ｃ、４ Ｄ、５6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （ ） A 、 三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。

7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（ ） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。

8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为 （ ） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），A BP O则此圆的半径为（ ）A ．2b a +B ．2b a -C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或10.如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π二．填空题1.已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__________(结果保留π)3.将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____．4.如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则ΔABC 的周长是 . E ACA F ·O PB ·O CBD5.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r 的半圆，则这个圆锥的全面积是__________．6.圆柱的底面半径是3 cm ，母线长为4 cm ，那么圆柱的侧面积为_______．7.在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为 。

九年级数学圆几何综合单元测试题（Word版含解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.（1）求证：∠E=∠C；（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5.【解析】试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.试题解析：（1）如解图，连接OB，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠CBO.∵OB、OC是⊙O的半径，∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，∴∠E＝∠C；（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，∴AO＝5，∴AB＝4.∵BD∥OE，∴＝，∴＝，∴BE＝6，AE=6+4=10（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得S△ABC= S△AOE==2．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q 以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m 为何值时，⊙O 与△ABC 的一边相切？ ②直接写出点F 所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m ，m ﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10﹣433时，⊙O 与△ABC 的边相切．②点F 的运动路径的长为1136+572． 【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP =2+m ，AQ =m −2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos30FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，易知此时53553102AC BC EP AB ⨯⨯===，3tan30(2)EP AP m =⋅=+⋅， 533(2)23m ∴=+⋅，∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin603OB ON ==， 43103AO ∴=-， 43123AP ∴=-， 432123m ∴+=-， 43103m ∴=-， 综上所述,当m =1或4或43103-时，O 与△ABC 的边相切。

圆的概念和性质例2．已知，如图，CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。

例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。

例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数．【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ） A ．三点确定一个圆B ．任何一个三角形有且仅有一个外接圆C ．任何一个四边形都有一个外接圆D ．等腰三角形的外心一定在它的外部 2．如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．钝角三角形3．圆的内接三角形的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 4．三角形的外接圆的个数为（ ） A ．1个 B ．2 C ．3个 D ．无数个 5．下列说法中，正确的个数为（ ）①任意一点可以确定一个圆；②任意两点可以确定一个圆；③任意三点可以确定一个圆；④经过任一点可以作圆；⑤经过任意两点一定有圆． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界)；B.圆的内部(不包括边界)；C.圆；D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O 的半径为6cm,P 为线段OA 的中点,若点P 在⊙O 上,则OA 的长( ) A.等于6cm B.等于12cm ； C.小于6cm D.大于12cm8.如图,⊙O 的直径为10cm,弦AB 为8cm,P 是弦AB 上一点,若OP 的长为整数, 则满足条件的点P 有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A 且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条BPAOACBDO P11.如图，已知在ABC ∆中，︒=∠90A ，AB=3cm ，AC=4cm ，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。

圆精选练习题及答案一一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。

每题3分,共24分)：1.下列说法正确的是( )A.垂直于半径的直线是圆的切线B.经过三点一定可以作圆C.圆的切线垂直于圆的半径D.每个三角形都有一个内切圆2.在同圆或等圆中，如果»AB ＝»2CD ，则AB 与CD 的关系是( ) (A)AB ＞2CD ； (B)AB ＝2CD ； (C)AB ＜2CD ； (D)AB ＝CD ；3.如图(1),已知PA 切⊙O 于B,OP 交AB 于C,则图中能用字母表示的直角共有( )个A.3B.4C.5D.6(1)P(2)(3)4.已知⊙O 的半径为10cm,弦AB ∥CD,AB=12cm,CD=16cm,则AB 和CD 的距离为( )A.2cmB.14cmC.2cm 或14cmD.10cm 或20cm 5.在半径为6cm 的圆中,长为2πcm 的弧所对的圆周角的度数为( ) A.30° B.100 C.120° D.130°6.如图(2),已知圆心角∠AOB 的度数为100°,则圆周角∠ACB 的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130°7. ⊙O 的半径是20cm,圆心角∠AOB=120°,AB 是⊙O 弦,则AOBS ∆等于( )cm 22cm 2 28.如图(3),半径OA 等于弦AB,过B 作⊙O 的切线BC,取BC=AB,OC 交⊙O 于E,AC 交⊙O 于点D,则»BD和»DE 的度数分别为( ) A .15°,15° B.30°,15° C.15°,30° D.30°,30° 9.若两圆半径分别为R 和r(R>r),圆心距为d,且R 2+d 2=r 2+2Rd, 则两圆的位置关系为( )A.内切B.内切或外切C.外切D.相交10.圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) A.180° B.200° C.225° D.216° 二、填空题:(每小题4分,共20分)：11.一条弦把圆分成1∶3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 . 12.如果⊙O 的直径为10cm,弦AB=6cm,那么圆心O 到弦AB 的距离为______cm. 13.在⊙O 中,弦AB 所对的圆周角之间的关系为_________.14.如图(4), ⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，弦CE∥AB，»EC的度数是40°，则∠BOD＝ .(4)15. 点A 是半径为3为__________.16.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是__________.17.两圆相切,圆心距为10cm,已知其中一圆半径为6cm, 则另一圆半径为____ 18.如果圆弧的度数扩大2倍,半径为原来的32,则弧长与原弧长的比为______. 19.如图(5),A 是半径为2的⊙O 外一点,OA=4,AB 是⊙O 的切线,点B 是切点,弦BC ∥OA,连结AC,则图中阴影部分的面积为_________.(5)AA B DE O20.如图(6),已知扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6,C 、D 分别是»AB 的三等分点, 则阴影部分的面积等于_______.三、解答题(第21~23题，每题8分,第24~26题每题12分，共60分)21.已知如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。

九年级上册圆单元测试选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）1.下列命题：①长度相等的弧是等弧②任意三点确定一个圆在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个四边形 ABCD 内接于O 0,若它的一个外角/ DCE=70，则/ B0D=（） 0的直径为10,弦AB 的长为8, M 是弦AB 上的动点，贝U 0M 勺长的取值范围（）0的直径 AB 与弦CD 的延长线交于点 E ,若DE=0B / A0C=84，则/ E 等于（）圆心角都是 90°的扇形0AB 与扇形0CD 叠放在一起，0A=3 0C=1分别连结 AC BD,则图个圆 2 .同一平面内两圆的半径是 R 和r ，圆心距是d ,若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两A.外离 的位置关系是（）B.相切C.相交D.内含 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心3 .如图, A.35 B.704 .如图，OA.3 < 0MS 5B.4 < 0MC 5C.3 V 0M k 5D.4 V 0M V 55 ，OA.42B.28 6 .如图, ABC 内接于OA.2cmB.4cmC.6cm7 .如图, C.110°影部分的面积为（）1—7TA. 28 .已知O O 与O O 2外切于点 A ,O 0的半径R=2,O Q 的半径r=1，若半径为4的O C 与O 0、O O 2都 相切，则满足条件的O C 有（） A.2个B.4个C.5个D.6个9. 设O 0的半径为2,圆心0到直线〕的距离OP=m 且m 使得关于x 的方程--」；-丄 … --有实数根，则直线［与O 0的位置关系为（） A.相离或相切B.相切或相交C.相离或相交D.无法确定10. 如图，把直角厶ABC 的斜边AC 放在定直线［上，按顺时针的方向在直线 ［上转动两次，使它转到△ A 2B 2C 2的位置，设 AB=」-,BC=1,则顶点A 运动到点A 的位置时，点 A 所经过的路线为（）、填空题（本大题共5小题，每小4分，共计20分）11. （山西）某圆柱形网球筒，其底面直径是 包10cm,长为80cm,将七个这样的网球筒如图所示放置并装侧面，则需 _________________ 旳‘的包装膜（不计接缝，朮取3）.12.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经被攻冲到 B 点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅中阴D.~：~25苗 ,12 2 ,A.B.C.--从射门角度考虑，应选择种射门方式13. 如果圆的内接正六边形的边长为 _________ 6cm,则其外接圆的半径为14. （北京）如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点AB、C,其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为_______________ .15•如图，两条互相垂直的弦将O 0分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S i、S2,若圆心到两弦的距离分别为2和3,则|S i-S2|= ___________三、解答题（16〜21题，每题7分，22题8分，共计50分）16.（丽水）为了探究三角形的内切圆半径r与周长'、面积S之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形（图甲）和直角三角形（图乙）进行研究• O 0是厶ABC的内切圆，切点分别为点 D E、F.（1）用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC的长，填入空格处，并计算出周长'和面积S.（结果精确到0.1厘米）AC BC AB r S图甲0.6图乙 1.0（2）观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r与■' > S之间关系，并证明这种关系对任意三角形（图丙）是否也成立？.匚'「的一腰上工 为直径的O O 交底边于点丄•，交-二’于点二「, 连结-応，并过点匚作，垂足为三.根据以上条件写出三个正确结论（除-s ：_..S7-_.iCS 外）是:18.（黄冈）如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面•问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？圏乙17.（成都）如图，以等腰三角形19.（山西）如图是一纸杯，它的母线AC 和EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB •经测量，纸杯上开口圆的直径是心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 6cm,下底面直径为 4cm,母线长为洱表示）•EF=8cm 求扇形OAB 的圆EB20.如图，在△ ABC中，/ BCA =90°,以BC为直径的O O交AB于点P, Q是AC的中点•判断直线PQ 与OO的位置关系，并说明理由•21.（武汉）有这样一道习题： 如图1,已知0A 和0B 是O O 的半径，并且OAL OB P 是0A 上任一点（不 与 OA 重合），BP 的延长线交O O 于Q,过Q 点作O O 的切线交0A 的延长线于 R.说明：RP=RQ. 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论• 已知：如图1 , 0A 和 0B 是O 0的半径，并且 OAL OB P 是0A 上任一点（不与O A 重合），BP 的延长 线交O 0于Q, R 是0A 的延长线上一点，且 RP=RQ. 说明：RQ 为O O 的切线• 变化二：运动探求• （1） 如图2，若0A 向上平移，变化一中的结论还成立吗？ （只需交待判断）答： （2） 如图3,如果P 在0A 的延长线上时，BP 交O 0于Q 过点Q 作O 0的切线交0A 的延长线于 R ，原 题中的结 论还成立吗？为什么？ 22.（深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABC0的面积为15,边0A 比0C 大2.E 为BC 的中 点，以0E 为直径的O 0'交工'轴于D 点，过点D 作DF 丄AE 于点F. ⑴（2） （3） 占 八、、 求0A 0C 的长；求证：DF 为O 0'的切线； 小明在解答本题时，发现△ A0E 是等腰三角形•由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点 E 以外的巳使厶AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O 0'夕卜” •你同意他的看法吗？请充分说明理由、选择题1.B2.C3.D4.A5.B6.C7.C為二爲©LB +氓妙—“ULOG ~洱Q38.D 9.B 10.B、填空题11.12000 12.第二种 13.6cm 14.(2].4 d 7 2 , '丄等于e 的面积，即为4X 6=24)三、解答题略；(2)由图表信息猜测，得 2 ，并且对一般三角形都成立 .连接OA OB OC 运用面积法证明:…讥况十S 十 S 冷肚S 十非十討B 0尸 =ACAB}r = hrBD = DC ,(2)/ BAD / CAD (3)刃总是3 的切线(以及 ADL BC,弧 BD=M DG 等).的最大直径为25(-1)厘米.19. 扇形OAB 的圆心角为45°,纸杯的表面积为 44；丁 . 解：设扇形OAB 的圆心角为n °答案与解析:提示：易证得△ AOd A BOD,0) 15.24(提示：如图，由圆的对称性可知18.设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形 OAO C 为正方形，OO +O' B=25,所以圆形凳面16.(1) 17.(1) 弧长AB 等于纸杯上开口圆周长:180OF弧长CD 等于纸杯下底面圆周长:130所以扇形OAB 的圆心角为45°, OF 等于16cm纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB 的面积-扇形OCD 的面积+纸杯底面积=-4JT20. 连接 OR CP 则/ OPC M OCP.由题意知厶ACR 是直角三角形，又 Q 是AC 的中点，因此 QP=QC / QPC 2 QCR. 而/ OCP y QCP=90，所以/ OPC 丄 QPC=90 即 OPL PQ PQ 与O O 相切. 21. 解：连接OQ•/ OQ=OB •••/ OBP=/ OQP又••• QR 为O O 的切线，• OQL QR 即/ OQP # PQR=90 而/ OBP # OPB=90 故/ PQR # OPB又•••/ OPB 与/ QPF 为对顶角 •••/ OPB # QPR PQR # QPR• RP=RQ变化一、连接OQ 证明OQL QR变化二、(1)结论成立(2)结论成立，连接OQ 矩形OABC 中，设OC=x 则OA=x+2依题意得…/ 1解得：■. 一' -_冷=7(不合题意，舍去)• OC=3 OA=55(2) 连结 O' D,在矩形 OABC 中，OC=AB # OCB # ABC=90 , CE=BE=••• △OCE^A ABE • EA=EO 「.# 1 = # 2在O O'中，•/ O ' O= O' D •••# 仁# 3•••# 3=# 2 • O' D// AE, •/ DF 丄 AE • DF 丄O' D又•••点 D 在O O'上，O' D 为O O'的半径，• DF 为O O'切线. (3) 不同意.理由如下：①当 AO=AP 寸，以点A 为圆心，以AO 为半径画弧交 BC 于 P 1和P 4两点过 P 1 点作 RH 丄 OA 于点 H, BH=OC=3 T AP=OA=5 • AH=4 • OH =1 求得点 R(1 , 3)同理可得：P 4(9 , 3)②当OA=OP 寸，同上可求得： P 2(4 , 3) , P s ( 4, 3)因此，在直线BC 上，除了 E 点外，既存在O O'内的点P 1,又存在O O 外的点P 2、P 3、P 4, 它们分别使△ AOP为等腰三角形.可列方程组 180N - OF .4L 1801 1 f 4 -X S TTK OA — 4-TF | - 即S 纸杯表面积=■- -2) 1 1(4=—(8 + 16)- -X 4TTX 16 + TT -2 2 证明# B=# OQB 则# P=# PQR 所以 RQ=PR. 22.(1)在。

圆专题训练一、河南省近 4 年中招圆专题1. 河南省2010 年中招⌒11．如图，AB切⊙O于点A，BO交⊙ O于点C，点D是CmA上异于点C、A的一点，若∠ ABO=32°，则∠ ADC 的度数是 _ ．14．如图矩形ABCD 中，AD=1，AD=，以AD 的长为半径的⊙ A 交BC 于点E，则图中阴影部分的面积为_____________________ ．2. 河南省2011 年中招10. 如图，CB切⊙O 于点B，CA交⊙O于点 D 且AB为⊙O的直径，点E 是?ABD 上异于点A、D 的一点.若∠ C=40 °，则∠ E 的度数为.3. 河南省2012 年中招4. 河南省2013 年中招7. 如图，CD是⊙ O的直径，弦AB⊥CD 于点G，直线EF与⊙ O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是第11 题）8．如图，已知AB为⊙O 的直径，AD切⊙O 于点A, E?C C?B ，则下列结论不一定正确的是【A．BA⊥DA B ．OC∥ AE C．∠ COE=∠2 CAE D ．OD⊥ ACA. AG=BGB. AB//EFC. AD // BCD. ∠ ABC=∠ADC第7题半径画弧交 AB 于点 E ，连接 CE ，则阴影部分的面积是 2. （宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦 MN 与小圆相 切，D 为切点，且 MN ∥AB ，MN ＝ a ，ON 、 CD 分别为两圆的半径， 求阴影部分的面积．一、 圆中线段的最值专题1. （2012 浙江宁波 3分）如图， △ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°， AB=2 2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O 分别交 AB ，2. （ 2013湖北省咸宁市， 1，3分）如图，在 Rt △ AOB 中，OA=OB=3 ， ⊙O 的半径为 1，点P 是 AB 边上的动点， 过点 P 作⊙ O的一条切线 PQ （点 Q 为切点），则切线 PQ 的最小值为 ．3.（2011浙江台州， 10,4 分）如图，⊙ O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点， PB 切⊙ O 于点B ， 则 PB 的最小值是（ ）A. 13B. 5C. 3D.2圆中阴影面积计算专题1. （ 2012广东汕头 4分）如图，在 □ABCD 中， AD=2， AB=4，∠A=30°，以点 A 为圆心， AD 的长为（结果保留 π）．3. （河南省）如图，⊙ A、⊙ B、⊙ C、⊙ D、⊙ E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCD，E 则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）（A）π （B）1.5 π （C）2π（D）2.5 π4. （2012 山东枣庄4分）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若AB 的长为8cm，则图中阴影部分的面积为5. 如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连AC、32BD。

第四章4.14.1.1A 级基础巩固一、选择题1．圆心是 (4，－ 1)，且过点 (5,2)的圆的标准方程是()A ．(x－ 4)2＋( y＋1) 2＝ 10B．( x＋ 4)2＋ (y－1)2＝ 10C． (x－4) 2＋ (y＋1) 2＝ 100D．( x－ 4)2＋ (y＋1)2＝ 102．已知圆的方程是 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝4，则点 P(3,2) 满足 ()A ．是圆心B．在圆上C．在圆内 D ．在圆外3．圆 (x＋ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的圆心坐标和半径分别为()A ．(－ 1,2)， 2B． (1，－ 2)，2C． (－1,2)， 4 D ． (1，－ 2)， 44． (2016 锦·州高一检测 )若圆 C 与圆 (x＋ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1关于原点对称，则圆 C 的方程是 ()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 1B． (x－ 2) 2＋ (y－ 1)2＝ 1C． (x－1) 2＋ (y＋2) 2＝ 1D． (x＋ 1)2＋ (y＋2) 2＝ 15． (2016 全·国卷Ⅱ )圆 x2＋ y2－ 2x－8y＋ 13＝0 的圆心到直线ax＋y－ 1＝ 0 的距离为1，则 a＝ () 43A ．－3B．－4C． 3 D ． 26．若 P(2，－ 1)为圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 25 的弦 AB 的中点，则直线AB 的方程是 ( A)A ． x－ y－ 3＝ 0B． 2x＋ y－ 3＝ 0C． x＋ y－1＝ 0D． 2x－ y－ 5＝ 0二、填空题7．以点 (2，－ 1)为圆心且与直线x＋ y＝ 6 相切的圆的方程是.8．圆心既在直线x－ y＝ 0 上，又在直线x＋ y－ 4＝ 0 上，且经过原点的圆的方程是三、解答题9．圆过点A(1，－ 2)、 B(－ 1,4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－ y－ 4＝ 0 上的圆的方程．10．已知圆 N的标准方程为 (x－ 5)2＋ (y－ 6)2＝ a2(a>0).(1)若点 M(6,9)在圆上，求 a 的值；(2)已知点 P(3,3) 和点 Q(5,3)，线段 PQ(不含端点 )与圆 N 有且只有一个公共点，求 a 的取值范围．B 级素养提升一、选择题1， 3与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是()1． (2016 ～2017 ·宁波高一检测 )点222A ．在圆上B．在圆内C．在圆外 D ．不能确定2．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ (y＋ 1)2＝5的内部，则 a 的取值范围是 ()A ．(－∞， 1]B． (－ 1,1)C． (2,5) D ． (1，＋∞ )3．若点 P(1,1)为圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 9 的弦 MN 的中点，则弦 MN 所在直线方程为()A ．2x＋ y－ 3＝ 0B． x－ 2y＋ 1＝ 0C． x＋ 2y－ 3＝0 D ． 2x－y－ 1＝ 04．点 M 在圆 (x－ 5)2＋ (y－ 3)2＝ 9 上，则点M 到直线 3x＋ 4y－ 2＝ 0 的最短距离为()A ．9B． 8C． 5 D ． 2二、填空题5．已知圆 C 经过 A(5,1) 、B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为 ____.6．以直线 2x＋ y－4＝ 0 与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____.C 级能力拔高1.如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)， AB 边所在直线的方程为x－ 3y－ 6＝ 0，点 T(－ 1,1)在 AD 边所在的直线上．求AD 边所在直线的方程 .2．求圆心在直线4x＋y＝ 0 上，且与直线l ：x＋ y－ 1＝ 0 切于点 P(3，－ 2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径.第四章 4.1 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆 x 2 ＋y 2－4x ＋ 6y ＝ 0 的圆心坐标是 ( )A ．(2,3)B ． (－ 2,3)C ． (－2，－ 3)D ． (2，－ 3)2． (2016 ～2017 ·曲靖高一检测 )方程 x 2＋ y 2＋ 2ax － by ＋ c ＝ 0 表示圆心为 C(2,2)，半径为 2 的圆，则 a ， b ， c 的值依次为 ()A ．－ 2,4,4B ．－ 2，－ 4,4C ． 2，－ 4,4D ． 2，－ 4，－ 43．(2016 ～2017 ·长沙高一检测)已知圆 C 过点 M(1,1) ，N(5,1) ，且圆心在直线 y ＝ x － 2 上，则圆 C 的方程为( )A ．x 2＋ y 2 －6x － 2y ＋ 6＝ 0B ． x 2＋ y 2＋ 6x － 2y ＋ 6＝ 0C ． x 2＋y 2 ＋6x ＋ 2y ＋ 6＝ 0D ． x 2＋ y 2 －2x － 6y ＋ 6＝ 04． 设圆的方程是 x 2＋ y 2＋ 2ax ＋ 2y ＋(a － 1)2＝0，若 0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定22x －y ＋ a ＝ 0 的距离为2)5． 若圆 x ＋ y － 2x － 4y ＝ 0 的圆心到直线 ，则 a 的值为 (2A ．－ 2 或 2B ．1或3C ． 2 或 0D ．－ 2 或 02 26． 圆 x 2 ＋y 2－2y － 1＝ 0 关于直线 y ＝ x 对称的圆的方程是 ( )A ．(x － 1)2＋y 2＝2B ． (x ＋ 1) 2＋ y 2＝ 2C ． (x －1) 2＋ y 2＝4D ． (x ＋ 1)2＋ y 2＝4二、填空题7．圆心是(－ 3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为____.8． 设圆 x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y － 11＝0 的圆心为 A ，点 P 在圆上，则 PA 的中点 M 的轨迹方程是 _ 三、解答题9．判断方程 x 2＋ y 2－ 4mx ＋ 2my ＋ 20m － 20＝ 0 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.10．求过点 A(－1,0)、 B(3,0)和 C(0,1)的圆的方程 .B 级素养提升一、选择题1．若圆 x2＋ y2－ 2ax＋ 3by＝ 0 的圆心位于第三象限，那么直线x＋ ay＋ b＝ 0 一定不经过()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限 D ．第四象限2．在圆 x2＋ y2－2x－ 6y＝ 0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面只为() A ．5 2B． 10 2C． 15 2 D ． 20 23．若点 (2a， a－ 1)在圆 x2＋ y2－ 2y－ 5a2＝ 0 的内部，则 a 的取值范围是()444)3，＋∞ ) D ．3A ．(－∞， ]B． (－，C． (－( ，＋∞ )533444．若直线 l ：ax＋ by＋ 1＝ 0 始终平分圆 M：x2＋ y2＋4x＋ 2y＋ 1＝0的周长，则( a－ 2)2＋ (b－ 2)2的最小值为()二、填空题5．已知圆 C： x2＋ y2＋ 2x＋ ay－ 3＝ 0(a 为实数 )上任意一点关于直线l： x－ y＋ 2＝ 0 的对称点都在圆 C 上，则 a6．若实数 x、 y 满足 x 2＋ y2＋ 4x－ 2y－4＝ 0，则 x2＋ y2的最大值是___.C 级能力拔高1．设圆的方程为x2＋ y2＝4，过点M(0,1)的直线 l 交圆于点 A、 B， O 是坐标原点，点P 为 AB 的中点，当 l 绕点 M 旋转时，求动点P 的轨迹方程 .2．已知方程x2＋ y2－ 2(m＋ 3)x＋ 2(1－ 4m2)y＋ 16m4＋ 9＝ 0 表示一个圆 .(1)求实数 m 的取值范围；(2)求该圆的半径r 的取值范围；(3)求圆心 C 的轨迹方程．第四章 4.2 4.2.1A 级基础巩固一、选择题1．若直线 3x＋ y＋a＝ 0 平分圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝0，则 a 的值为 ()A ．－ 1B． 1C． 3 D ．－ 32． (2016 高·台高一检测 )已知直线 ax＋ by＋ c＝ 0(a、 b、 c 都是正数 )与圆 x2＋ y2＝ 1 相切，则以a、 b、c 为三边长的三角形是 ()A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D ．不存在3． (2016 北·京文 )圆 (x＋ 1)2＋ y2＝ 2 的圆心到直线 y＝ x＋ 3的距离为 ()A ．1B． 2C． 2 D ． 2 2[4． (2016 铜·仁高一检测)直线 x＋y＝m 与圆 x2＋ y2＝ m(m>0)相切，则m＝ ()1B．2C． 2 D ． 2A ．225．圆心坐标为 (2，－ 1)的圆在直线x－ y－1＝ 0 上截得的弦长为 22，那么这个圆的方程为()A ．(x－ 2)2＋( y＋1) 2＝ 4B． (x－ 2) 2＋ (y＋ 1)2＝ 2C． (x－2) 2＋ (y＋1) 2＝ 8D． (x－ 2)2＋ (y＋1) 2＝ 166．圆 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 9上到直线 3x＋ 4y－ 11＝ 0 的距离等于 1 的点有 ()A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个二、填空题7． (2016 天·津文 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线2x－ y＝0 的距离为45，则圆 C 的方程为 ____.58．过点 (3,1)作圆 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 4 的弦，其中最短弦的长为 ____.三、解答题9．当 m 为何值时，直线x－ y－ m＝ 0 与圆 x2＋ y2－ 4x－ 2y＋ 1＝ 0 有两个公共点？有一个公共点？无公共点2210． (2016 ·坊高一检测潍 )已知圆 C： x ＋ (y－ 1) ＝ 5，直线 l： mx－y＋ 1－ m＝ 0.(1)求证：对m∈R，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点；(2)若直线 l 与圆 C 交于 A、 B 两点，当 |AB |＝17时，求 m 的值．B 级素养提升一、选择题1．过点 (2,1)的直线中，被圆x2＋ y2－ 2x＋ 4y＝ 0 截得的弦最长的直线的方程是()A ．3x－ y－ 5＝ 0B． 3x＋ y－ 7＝ 0C． 3x－ y－ 1＝0 D ． 3x＋y－ 5＝ 02． (2016 泰·安二中高一检测)已知 2a2＋2b2＝ c2，则直线 ax＋ by＋ c＝ 0 与圆 x2＋y2＝ 4 的位置关系是() A ．相交但不过圆心B．相交且过圆心C．相切D．相离3．若过点A(4,0)的直线 l 与曲线 (x－ 2)2＋ y2＝ 1 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 ()A ．(－ 3， 3)B． [－ 3， 3]3， 3D ． [ －3， 3 C． (－3 3)3 3]4．设圆 (x－ 3)2＋ (y＋ 5)2＝ r2( r>0) 上有且仅有两个点到直线4x－ 3y－2＝ 0 的距离等于1，则圆半径 r 的取值范围是 ()A ．3<r<5B． 4<r <6C． r>4 D ． r >5二、填空题5． (2016 ～2017 ·宜昌高一检测 )过点 P(1， 1)的直线 l 与圆 C： ( x－ 1)2＋y2＝ 4 交于 A， B 两点， C 为圆心，当∠2ACB 最小时，直线 l 的方程为 ____.6． (2016 ～2017 ·福州高一检测 )过点 ( －1，－ 2)的直线 l 被圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝0截得的弦长为2，则直线 l 的斜率为 ____.C 级能力拔高1．求满足下列条件的圆x2＋y2＝ 4 的切线方程：(1)经过点 P( 3， 1)；(2)斜率为－ 1；(3)过点 Q(3,0) ．2．设圆上的点A(2,3)关于直线x＋ 2y＝ 0 的对称点仍在圆上，且与直线x－ y＋ 1＝ 0 相交的弦长为 2 2，求圆的方程 .第四章4.24.2.2A 级基础巩固一、选择题1．已知圆 C1： (x＋1) 2＋ (y－ 3)2＝ 25，圆 C2与圆 C1关于点 (2,1)对称，则圆 C2的方程是 ()A ．(x－ 3)2＋( y－5) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 1)2＝ 25C． (x－1) 2＋ (y－4) 2＝ 25D． (x－ 3)2＋ (y＋2) 2＝ 252．圆 x2＋y2－2x－ 5＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y－ 4＝ 0 的交点为 A、 B，则线段 AB 的垂直平分线方程为 ()A ．x＋ y－ 1＝0B． 2x－ y＋ 1＝0C． x－ 2y＋ 1＝0D． x－ y＋ 1＝03．若圆 (x－a) 2＋( y－b)2＝b2＋ 1 始终平分圆 (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 4 的周长，则a、b 应满足的关系式是()A ．a2－ 2a－ 2b－ 3＝ 0B． a2＋ 2a＋ 2b＋5＝ 0C． a2＋ 2b2＋ 2a＋ 2b＋ 1＝ 0D． 3a2＋ 2b2＋ 2a＋2b＋ 1＝04． (2016 ～2017 ·太原高一检测 )已知半径为 1 的动圆与圆 (x－5)2＋( y＋7) 2＝ 16 相外切，则动圆圆心的轨迹方程是 ()A ．(x－ 5)2＋( y＋7) 2＝ 25B． (x－ 5) 2＋ (y＋ 7)2＝ 9C． (x－5) 2＋ (y＋7) 2＝ 15D． (x＋ 5)2＋ (y－7) 2＝ 255．两圆 x2＋ y2＝ 16 与 (x－ 4)2＋ (y＋ 3)2＝ r2(r>0) 在交点处的切线互相垂直，则r ＝A ．5B． 4C． 3 D ． 2 26．半径长为 6 的圆与 y 轴相切，且与圆 (x－ 3)2＋ y2＝ 1 内切，则此圆的方程为()A ．(x－ 6)2＋( y－4) 2＝ 6B． (x－ 6) 2＋ (y±4)2＝ 6C． (x－6)2＋ (y－4) 2＝ 36D． (x－ 6)2＋ (y±4) 2＝36二、填空题7．圆 x2＋y2＋6x－ 7＝ 0 和圆 x2＋ y2＋ 6y－ 27＝ 0 的位置关系是 ____.8．若圆 x2＋ y2＝ 4 与圆 x2＋ y2＋ 2ay－ 6＝ 0(a＞0) 的公共弦长为2 3，则 a＝ ____.三、解答题9．求以圆C1： x2＋y2－12x－ 2y－ 13＝ 0 和圆C2： x2＋ y2＋ 12x＋16y－ 25＝ 0 的公共弦为直径的圆 C 的方程.10．判断下列两圆的位置关系.(1)C1： x2＋ y2－ 2x－ 3＝ 0， C2： x2＋y2－ 4x＋ 2y＋ 3＝0；(2)C1： x2＋ y2－ 2y＝ 0， C2： x2＋ y2－ 2 3x－ 6＝0；(3)C1： x2＋ y2－ 4x－ 6y＋ 9＝ 0，C2： x2＋ y2＋ 12x＋6y－ 19＝ 0；(4)C1： x2＋ y2＋ 2x－ 2y－ 2＝ 0，C2： x2＋ y2－ 4x－ 6y－ 3＝ 0.B 级素养提升一、选择题1．已知 M 是圆 C：(x－ 1)2＋ y2＝ 1 上的点， N 是圆 C′：(x－ 4)2＋ (y－ 4)2＝ 82上的点，则|MN|的最小值为()A ．4B． 4 2－ 1C． 2 2－2 D ． 22．过圆 x2＋ y2＝ 4 外一点 M(4，－ 1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A ．4x－ y－ 4＝ 0B． 4x＋ y－ 4＝ 0C． 4x＋ y＋ 4＝0 D ． 4x－y＋ 4＝ 03．已知两圆相交于两点A(1,3)， B(m，－ 1)，两圆圆心都在直线x－ y＋ c＝ 0 上，则 m＋ c 的值是 ()A ．－ 1B． 2C． 3 D ． 04． (2016 山·东文 )已知圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝0(a>0)截直线 x＋ y＝ 0 所得线段的长度是22，则圆 M 与圆 N： (x － 1)2＋ (y－1) 2＝ 1 的位置关系是 ()A ．内切B．相交C．外切 D ．相离[二、填空题5．若点 A(a， b)在圆 x2＋ y2＝ 4上，则圆 (x－ a)2＋ y2＝ 1 与圆 x2＋ (y－b) 2＝1 的位置关系是 ____.6．与直线 x＋ y－2＝ 0 和圆 x2＋y2－12x－ 12y＋54＝ 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是____.C 级能力拔高1．已知圆 M： x2＋ y2－ 2mx－2ny＋ m2－1＝ 0 与圆 N： x2＋ y2＋2x＋ 2y－ 2＝ 0 交于 A、 B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程 .2． (2016 ～2017 ·金华高一检测 )已知圆 O： x2＋ y2＝ 1 和定点 A(2,1)，由圆 O 外一点 P(a， b)向圆 O 引切线 PQ，切点为 Q， |PQ|＝ |PA|成立，如图 .(1)求 a， b 间的关系；(2)求 |PQ|的最小值．第四章4.24.2.3A 级基础巩固一、选择题1．一辆卡车宽 1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为 3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A ．1.4 m B． 3.5 m C． 3.6 m D ． 2.0 m2．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2－ 2x＋4y－ 20＝ 0，则 x2＋ y2的最小值是 ()A ．30－ 10 5B． 5－ 5C． 5 D ． 253．方程 y＝－4－ x2对应的曲线是 ()4． y＝ |x|的图象和圆x2＋ y2＝ 4 所围成的较小的面积是()πB．3πC．3πD ．πA ．442 5．方程 1－ x2＝x＋ k 有惟一解，则实数k 的范围是 ()A ．k＝－ 2B． k∈ (－ 2，2)C． k∈ [－ 1,1) D ． k＝2或－ 1≤k<16．点 P 是直线 2x＋ y＋10＝ 0 上的动点，直线 PA、PB 分别与圆x2＋ y2＝ 4 相切于 A、B 两点，则四边形PAOB(O 为坐标原点 )的面积的最小值等于 ()A ．24B． 16C． 8 D ． 4二、填空题7．已知实数 x、y 满足 x2＋ y2＝ 1，则y＋2的取值范围为 ____ x＋ 18．已知 M＝ {( x，y)|y＝9－x2，y≠ 0} ，N＝ {( x，y)|y＝ x＋ b} ，若 M∩N≠ ?，则实数 b 的取值范围是 __]__.三、解答题9.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图 )，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走 1 km 是储备基地的边界上的点A，接着向东再走 7 km 到达公路上的点 B；从基地中心 O 向正北走8 km 到达公路的另一点 C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由 D 通往公路 BC 的专用线 DE，求 DE 的最短距离10．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP是6 m，在建造时，每隔 3 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长．(精确到0.01 m)1． (2016 葫·芦岛高一检测 )已知圆 C 的方程是2222的最大值为 () x ＋ y ＋ 4x－2y－ 4＝ 0，则 x＋ yA ．9B． 14C． 14－ 6 5 D ． 14＋ 6 52．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1： ax＋ 3y＋ 6＝ 0， l 2： 2x＋ (a＋ 1)y＋ 6＝0与圆 C： x2＋y2＋ 2x＝ b2－ 1(b>0) 的位置关系是“平行相交”，则实数 b 的取值范围为()A ．( 2，322)B． (0，322)C． (0， 2)3232，＋∞ ) D． ( 2，2 )∪ ( 23．已知圆的方程为x2＋ y2－ 6x－ 8y＝0.设该圆过点 (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为 ()A ．10 6B． 20 6C． 30 6 D ． 40 64．在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆 C 与直线 2x＋ y－ 4＝ 0 相切，则圆 C 面积的最小值为()4πB．3πC． (6－ 2 5) π5πA ．54 D ．4二、填空题5．某公司有 A、 B 两个景点，位于一条小路(直道 )的同侧，分别距小路 2 km 和 2 2 km，且 A、 B 景点间相距 2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于____.6．设集合 A＝ {( x， y)|(x－ 4)2＋y2＝ 1} ，B＝ {( x， y)|(x－ t) 2＋ (y－ at＋ 2)2＝ 1} ，若存在实数t，使得 A∩ B≠ ?，则实数 a 的取值范围是 ___.C 级能力拔高1.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的 B 处岛屿，速度为 28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法 )。

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一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

圆心是它的对称中心。

考点2：确定圆的条件；圆心和半径①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

经过圆心的弦叫做直径.直径是圆中最大的弦.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。

弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。

弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。

（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。

如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。

考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外⇔d ＞r;②点在圆上⇔d=r ；③点在圆内⇔ d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2，BC =4，CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A ，B ，M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由.例2．已知，如图,CD 是直径，︒=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B,且AB=OC ，求∠A 的度数.例 3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm,则这圆的半径是_________cm 。

1.如图，四边形ABCD 内接于⊙ O， AB 是⊙ O 的直径， AC 和 BD 相交于点E，且 DC 2=CE?CA．（1）求证： BC=CD；（ 2）分别延长AB， DC 交于点 P，过点 A 作 AF⊥ CD 交 CD 的延长线于点F，若 PB=OB，CD=，求DF的长．2.如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于 H ，过 CD 延长线上一点 E 作⊙ O 的切线交AB 的延长线于F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．（1）求证： KE=GE ；（2）若=KD ·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（ 3）在（ 2 ）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．3. 如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P ，弦 CE 平分∠ ACB ，交 AB 于点 F ，连接 BE ． (1) 求证： AC 平分∠ DAB ； (2) 求证：△ PCF 是等腰三角形；(3) 若 tan ∠ ABC=4，BE=7 2 ，求线段 PC 的长．34.5.已知：如图，在半径为 4 的⊙ O 中，AB ，CD 是两条直径， M 为 OB 的中点， CM 的延长线交⊙ O 于点 E，且 EM ＞ MC ，连结 DE， DE=。

（1 ）求证： AM ·MB=EM ·MC ；（ 2 ）求 EM 的长；（ 3）求 sin ∠EOB 的值。

6.如图， AE 切⊙ O 于点 E，AT 交⊙ O 于点 M ， N ，线段 OE 交 AT 于点 C，OB ⊥AT 于点 B，已知∠EAT=30 °，AE=3，MN=2．（1）求∠COB 的度数；（2）求⊙ O 的半径 R；（3）点 F 在⊙ O 上（是劣弧），且EF=5 ，把△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．7.如图，AB是半径O的直径，AB=2．射线AM、BN为半圆O的切线．在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC．过O点作BC的垂线OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F．过 D 点作半圆 O 的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q ．（1）求证：△ABC ∽△OFB ；（2）当△ABD 与△BFO 的面枳相等时，求 BQ 的长；（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（ A 点除外），点 Q 始终是线段 BF 的中点8.如图，在⊙O 的内接△ABC中，∠ACB=90 °AC=2BC，，过 C 作 AB 的垂线 l 交⊙O 于另一点 D，垂足为 E.设 P 是上异于A,C的一个动点，射线AP 交 l 于点 F，连接 PC 与 PD，PD 交 AB 于点 G.（1 ）求证：△PAC∽△PDF ；（2 ）若 AB=5 ，，求PD的长；（3 ）在点 P 运动过程中，设，求与之间的函数关系式.（不要求写出的取值范围）1.【解答】：（1）证明：∵ DC2=CE?CA，∴= ，△CDE ∽△ CAD ，∴∠ CDB =∠DBC ，∵四边形 ABCD 内接于⊙ O，∴BC =CD；（2）解：如图，连接OC，∵BC =CD，∴∠ DAC =∠CAB，又∵ AO=CO，∴∠ CAB=∠ ACO，∴∠ DAC =∠ACO，∴AD ∥ OC，∴= ，∵PB =OB ，CD =，∴=∴PC =4又∵ PC?PD =PB?PA∴P A=4 也就是半径 OB=4，在 RT△ACB 中，AC===2，∵AB 是直径，∴∠ ADB =∠ ACB=90°∴∠ FDA +∠ BDC =90°∠CBA +∠ CAB=90°∵∠ BDC =∠CAB∴∠ FDA =∠ CBA又∵∠ AFD =∠ ACB=90°∴△ AFD ∽△ ACB∴在 Rt△ AFP 中，设 FD =x，则∴在 RT△APF 中有，求得 DF =．AF =，，2解：（ 1）如答图 1 ，连接 OG ．∵EG 为切线，∴∠KGE+ ∠OGA=90°，∵CD ⊥AB ，∴∠AKH+ ∠OAG=90°，又OA=OG ，∴∠OGA= ∠OAG ，∴∠KGE= ∠AKH= ∠GKE，∴KE=GE ．（ 2 ） AC ∥EF，理由为：连接 GD ，如答图 2 所示．∵KG 2=KD GE，即=，∴= ，又∠KGE= ∠GKE，∴△GKD ∽△EGK，∴∠E= ∠AGD ，又∠C= ∠AGD ，∴∠E= ∠C，∴AC ∥EF；（ 3 ）连接 OG ，OC ，如答图3 所示．sinE=sin ∠ACH=，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE ，AC ∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．在 Rt △AHK中，根据勾股定理得AH2+HK 2 =AK 2 ，即（ 3t ）2+t 2 =（） 2，解得t=．设⊙ O半径为r ，在Rt △OCH 中， OC=r ， OH=r ﹣ 3t ， CH=4t ，由勾股定理得： OH 2 +CH 2=OC 2，即（ r ﹣ 3t ）2 + （ 4t ）2 =r 2，解得 r=t=．∵EF 为切线，∴△OGF 为直角三角形，在 Rt △OGF 中， OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH==，∴FG===．.46.8.。

九年级上册圆 几何综合单元测试题（Word 版 含解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：图1 图2 图3 （1）初步思考：如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：12PN PC =（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC -的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值37DG =【解析】 【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到PN BNPC BP=，即可得到结论成立；（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =，当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =，当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -的值最大，即可得到答案. 【详解】（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，∴24,4PB BN BC =⋅=， ∴2PB BN BC =⋅， ∴BN BPBP BC=， ∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BCPBG PBC BG PB=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =， ∴12PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理，可证12PG PC=，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=23，CF=2，在Rt△GDF中，DG=22(23)537+=，∴12PD PC PD PG DG -=-≤，当点P在DG的延长线上时，12PD PC-的值最大，∴最大值为：37DG=.【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．3．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=35，所以可得AC=2CK，CK=BC•sin∠OBC=245得AC=48 5.【详解】解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2延长BO交⊙O于F，连接CF．∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°∴∠1+∠F＝90°，∵弧BC＝弧BC，∴∠A＝∠F又∵∠1＝∠2，∴∠2+∠A＝90°，∴∠3＝90°，∴CD⊥AB（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4延长BO交AC于K∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，∴∠A＝∠5，∵∠A+∠2＝90°，∴∠5+∠2＝90°，∴∠6＝90°∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，∴∠6＝∠7，又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，∴BO平分∠ABC（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN∵OH⊥CN，OF⊥BC∴CH＝NH，BF＝CF∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM∴∠OEH＝∠EHM设EM、OE交于点P∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP∴OP＝PH∵∠ADC＝∠OHC＝90°∴AD∥OH∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP∴PM＝PB∴PM+PH＝PB+OP∴HM＝OB＝5在Rt△OBF中，根据勾股定理可得BF＝4∴BC＝8，sin∠OBC＝3 5∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥ACAC＝2CK，CK＝BC•sin∠OBC＝24 5∴AC＝48 5【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，点D在线段AB上，AD=2．点P，Q 以相同的速度从D点同时出发，点P沿DB方向运动，点Q沿DA方向到点A后立刻以原速返回向点B运动．以PQ为直径构造⊙O，过点P作⊙O的切线交折线AC﹣CB于点E，将线段EP绕点E顺时针旋转60°得到EF，过F作FG⊥EP于G，当P运动到点B时，Q也停止运动，设DP=m．（1）当2＜m≤8时，AP=，AQ=．（用m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点P，Q整个运动过程中，①当m为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长是．（结果保留根号）【答案】（1）2+m，m﹣2;（2）m=5.5;（3）①当m=1或4或10433与△ABC的边相切．②点F 1136572【解析】试题分析：（1）根据题意可得AP=2+m，AQ=m−2.（2）如图1中在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=， 推出3cos30cos302FG EF PE EP =⋅=⋅=，所以当点E 与点C 重合时，PE 的值最大，求出此时EP 的长即可解决问题．（3）①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4，如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .分别求解即可．②如图5中,点F 的运动轨迹是F 1→F 2→B .分别求出122F F F B ，即可解决问题． 试题解析：(1)当28m <≤时，AP =2+m ，AQ =m −2. 故答案为2+m ，m −2. (2)如图1中，在Rt △EFG 中, 30,90EFG A EGF ∠=∠=∠=，3cos30cos30FG EF PE EP ∴=⋅=⋅=， ∴当点E 与点C 重合时，PE 的值最大， 易知此时3553102AC BC EP AB ⨯=== 3tan30(2)EP AP m =⋅=+ 533(2)23m ∴=+⋅ ∴m =5.5(3)①当02t <≤ (Q 在往A 运动)时，如图2中，设O 切AC 于H ，连接OH .则有AD =2DH =2， ∴DH =DQ =1，即m =1.当28m <≤(Q 从A 向B 运动)时,则PQ =(2+m )−(m −2)=4， 如图3中，设O 切AC 于H .连接OH .则AO =2OH =4，AP =4+2=6， ∴2+m =6， ∴m =4. 如图4中，设O 切BC 于N ，连接ON .在Rt △OBN 中, 43sin60OB ON ==4310AO ∴=- 4312AP ∴=-432123m ∴+=-， 4310m ∴=-， 综上所述,当m =1或4或4310-时，O 与△ABC 的边相切。