(完整)初三数学有关圆的经典例题

初三数学 有关圆的经典例题

1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论，

当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示，

过O 作OD ⊥AB 于D ，过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE =

==

=

32322

2

∵，∴∠，OA OAD AD OA ==

=132

cos cos ∠OAE AE OA =

=

22

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°

点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂

（1）求证：△ABC 是直角三角形；

()22

求的值AD BC

分

析

：

()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂

则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；

（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°，DE ⊥AB ，∴△ADF

∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC

2

2

122===

解：（1）证明，作直径DE 交AB 于F ，交圆于E

∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂

=

又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =

12

∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°

而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA

∴

，即·AD DE DF

AD

AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21

2

∴·，故AD BC R AD BC

R 2

2

==

例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ）

A A

B CD

B AB CD ..⋂>⋂

⋂<⋂22

C AB CD

D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂

22与的大小关系不确定

分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂

2

()112

把的一半作出来，然后比较与的大小。AB AB CD ⋂⋂

⋂

()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CD CD AB ⋂⋂⋂

解：解法（一），如图，过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E ，

则AF FB AB ⋂=⋂=⋂

12

AE EB AB ==1

2

∵，∴AB CD AE CD AB ===212

∵AF FB AF FB ⋂=⋂

=，∴ 在△AFB 中，有AF+FB>AB

∴，∴，∴，∴22

22AF AB AF AB

AF CD AF CD >>>⋂>⋂

∴AB CD ⋂>⋂

2

∴选A 。

解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结CE

则DE CD CE ⋂=⋂=⋂

12

在△CDE 中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE

∵AB=2CD ，∴AB>CE ∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂

2 ∴选A 。 例

4.

如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ==

=1

4

1求CD 的长。

分析：连结BD ，由AB=BC ，可得DB 平分∠ADC ，延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△EDA ，又可判定AD 是⊙O

的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD ≌△EBD ，得DE=AD ，利用△EBC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。

解：延长AB 、DC 交于E 点，连结BD ∵AB BC AD ==

=1

4

1 ∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂

==4

∵⊙O 的半径为2，∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD ≌△EBD ，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD 内接于⊙O ，

∴∠EBC=∠EDA ，∠ECB=∠EAD ∴△∽△，∴

EBC EDA BC AD CE

AE

=

∴·CE BC AE AD BC AB BE AD =

=+=+=()1141

2

∴CD DE CE =-=-=4127

2

例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂

于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？

()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂

= 分析：由题意容易想到作辅助线OC ， （1）要使PC 与⊙O 相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH 就可以了。

()22要使·，即使

，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DF

AD

DAF DEA == 解：（1）当PC=PF ，（或∠PCF=∠PFC ）时，PC 与⊙O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结OC ，则∠OCA=∠FAH ，

∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH ，

∵DE ⊥AB 于H ，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC ⊥PC ，∴PC 与⊙O 相切。