初三数学-有关圆的经典例题

初三数学有关圆的经典例题

1.

分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况

讨论，

当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，

过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，

∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，

当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，

同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°，

∴∠BAC=15°

点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，

（1）求证：△ABC是直角三角形；

分析：

则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；

（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF

解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E

又∵AD=DC

∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。

（2）解：连结AE

∵DE是⊙O的直径

∴∠DAE=90°

而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA

例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）

分析：

解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，

∵

在△AFB中，有AF+FB>AB

∴选A。

解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE

在△CDE中，有CD+DE>CE

∴2CD>CE

∵AB=2CD，∴AB>CE

∴选A。

例 4.

求CD的长。

分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长

AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O

的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。

解：延长AB、DC交于E点，连结BD

∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径

∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD

∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD

例5.

于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。

（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？

分析：由题意容易想到作辅助线OC，

（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。

解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，

下面对满足条件PC=PF进行证明，

连结OC，则∠OCA=∠FAH，

∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，

∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°

即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。

即AD2=DE·DF

点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。

例6.

D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。

分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。

解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC

∴AB、DC切⊙O于点B和点C，

∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，

又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x，

DE=DC+EB=4x，

在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，

点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上，

（1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；

（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。

分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。

（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。

解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90°

∴∠D+∠BAD=90°

又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90°

∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD

（2）CO2所在直线与AD垂直，

证明：连结O2A、O2B、O2D、AC

在△AO2C与△DO2C中

∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB

∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD，

∴△CAD为等腰三角形，

∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。

例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。（图中阴影部分）