平行四边形性质练习题(打印)

平行四边形的性质和判定练习题
平行四边形是一种特殊的四边形，具有许多独特的性质和特点。

本文将介绍平行四边形的性质，并提供判定练题供练。

平行四边形的定义和性质
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

以下是平行
四边形的一些性质：
1. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

2. 对边等长：平行四边形的对边长度相等。

3. 内角和为180度：平行四边形的内角和等于180度。

4. 相对角相等：平行四边形的相对角相等。

平行四边形的判定方法
判定一个四边形是否为平行四边形可以使用以下方法：
1. 相邻角判定法：如果一个四边形的内两个相邻角互补，那么它是一个平行四边形。

2. 对边判定法：如果一个四边形的对边相等，那么它是一个平行四边形。

练题
根据以上的性质和判定方法，尝试解答以下练题：
1. 判断下列四边形是否为平行四边形：
- 四边形ABCD，AB = CD，∠A = ∠C = 80度
- 四边形EFGH，EF = GH，∠E = ∠H = 100度
2. 根据提供的信息判断下列四边形是否为平行四边形：
- 四边形IJKL，IJ || KL，JK || LI，∠I = ∠J = ∠K = 60度
3. 判断下列四边形是什么类型的平行四边形（矩形、菱形、正方形）：
- 四边形MNOP，MN = NO，MN ⊥ NO
请按照上述性质和判定方法，尝试解答练题。

祝你练顺利！
以上是关于平行四边形的性质和判定练习题的文档。

希望对你有所帮助！。

平行四边形性质和判定综合练习题（含答案）平行四边形性质和判定综合习题精选一•解答题（共26小题）1. （2011?资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形, AE丄BD于E, CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF ;（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN , 试判断四边形MENF的形状.2. （2011?昭通）如图所示，平行四边形AECF的对角线相交于点O, DB经过点O,分别与AE ,CF 交于B, D.求证：四边形ABCD是平行四边形.卫 B £3. (2011?徐州)如图，在四边形ABCD中,AB=CD ,BF=DE , AE丄BD , CF丄BD ,垂足分别为E , F.(1)求证：△ ABE CDF ;4. （2011?铜仁地区）已知：如图，在△ ABC中，/ BAC=90 ° , DE、DF是厶ABC的中位线，连接EF、AD .求证：EF=AD .5. （2011?泸州）如图，已知D是厶ABC的边AB上一点，CE II AB ,DE交AC于点0,且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.B C6. （2010?恩施州）如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF , M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形. -三 -78平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.9. （2006?黄冈）如图所示，DB II AC，且DB= AC , E是AC的中点，求证：BC=DE .10. （2002?三明）已知D、E、F分别是△ ABC各边的中点, 求证：AE与DF互相平分.11•已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点0,四边形AODE 是平行四边形•求证:AB0E 、四边形DC0E 都是平行四边形.12•如图，已知四边形ABCD 中，点E , F , G , H 分别是13.如图：平行四边形 ABCD 中，MN II AC ,试说明 MQ=NP .四边形AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并.一条直线上.求证：EF 和GH 互相平分.，F 、G 、H 有在同SD14•已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, EF经过点0并且分别和AB , CD相交于点E，F，点G，H分别为0A，0C的中点•求证：四边形EHFG是平行四边形.15•如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG •(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若点G、H分别在线段BA和DC 上,其余条件不变，则(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)16•如图，在△ ABC中，D是AC的中点，延长线一点，过点A作BE的平行线与线段交于点F，连接AE、CF •(1)求证：AF=CE ;(2)如果AC=EF，且/ ACB=135 °是什么样的四边形，并证明你的结论.B仃•如图平行四边形ABCD中，/ ABC=60。

18.1.1 平行四边形的性质 一.选择题 1.如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠B的度数为( )

A.130° B.115° C.105° D.95° 2.如图,在∠ABCD中,AD=7,AB=5,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 3. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点,∠AOB的面积为1,则平行四边形的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图,在▱ABCD中, ∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为( )

A.110° B.30° C.50° D.70° 5. 如图，在□ABCD中，下列结论一定正确的是( )

A．AC∠BD B．∠A＋∠B＝180° C．AB＝AD D．∠A≠∠C 6. 如图，在□ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于( ) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 7. 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )

A.3 B.6 C.12 D.24 8. 根据如图所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )

A.3n B.3n(n＋1) C.6n D.6n(n＋1) 二、填空题 9. ▱ABCD的周长为60cm,其对角线交于O点,若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm,则AB＝______,BC＝______. 10. 已知:平行四边形一边AB=12cm,它的长是周长的61,则BC=___cm,CD=___cm. 11．如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F．若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E的度数为 。

（11题图） （12题图） 12．如图，P为平行四边形ABCD内的任意一点，SABCD=20cm2，则S阴影= cm2．

平行四边形的性质强化训练1．如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：△BEF≌△DGH．2．已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．3．如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：△DFE≌△ABE．4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．5．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF=CE．6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．7．已知：如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．8．如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．9．已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△_________≌△_________，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？10．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DA⊥AB，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接AE．（1）求证：AE∥BC；（2）若AB=3，CD=1，求四边形ABCE的面积．11．已知：如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．12．已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．13．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．14．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF．15，如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．16．如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD中点，CE延长线交BA延长线于点F．（1）求证：CD=AF；（2）若BC=2CD，求证：∠F=∠BCF．17．如图，平行四边形ABCD中，G是CD上一点，BG交AD延长线于E，AF=CG，∠DGE=100度．（1）试说明DF=BG；（2）试求∠AFD的度数．18．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是_________；（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．19．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．第22章《四边形》常考题集（04）：22.1 平行四边形的性质参考答案与试题解析解答题91．（2008•湘西州）已知：如图，在▱ABCD中，BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：要证明三角形全等，可根据三角形全等的判定来寻找条件，再结合平行四边形的性质，很容易确定SAS，只需一一对应证明就可以了．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠ABE=∠CDF．∴在△ABE和△CDF中，．∴△ABE≌△CDF（SAS）．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．92．（2008•太原）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是；（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：压轴题；探究型．分析：（1）要证∠AFD=∠DCA，只需证△ABC≌△DEF即可；（2）结论成立，先证△ABC≌△DEF，再证△ABF≌△DEC，得∠BAF=∠EDC，推出∠AFD=∠DCA；（3）BO⊥AD，由△ABC≌△DEF得BA=BD，点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，继而证得∠OAD=∠ODA，OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，即BO⊥AD．解答：解：（1）∠AFD=∠DCA．证明：∵AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠DFE，∴∠AFD=∠DCA；（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：方法一：由△ABC≌△DEF，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∴∠ABC﹣∠FBC=∠DEF﹣∠CBF，∴∠ABF=∠DEC，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF=∠EDC，∴∠BAC﹣∠BAF=∠EDF﹣∠EDC，∠FAC=∠CDF，∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，∴∠AFD=∠DCA；方法二：连接AD，同方法一△ABF≌△DEC，∴AF=DC，∵△ABC≌△DEF，∴FD=CA，在△AFD和△DCA中，，∴△AFD≌△DCA，∴∠AFD=∠DCA；（3）如图，BO⊥AD．方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，得∠BAC=∠BDF，BA=BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=∠BDA，∵∠OAD=∠BAD﹣∠BAC，∠ODA=∠BDA﹣∠BDF，∴∠OAD=∠ODA，∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD；方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD，在△ABO和△DBO中，，∴△ABO≌△DBO，∴∠ABO=∠DBO，在△ABG和△DBG中，，∴△ABG≌△DBG，∴∠AGB=∠DGB=90°，∴BO⊥AD．点评：本题综合考查全等三角形、等腰三角形和旋转的有关知识．注意对三角形全等知识的综合应用．93．（2007•河池）如图所示，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，FC⊥BD，垂足分别为E，F．（1）写出图中所有的全等三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题；开放型．分析：（1）找全等三角形要根据三角形判断的条件一一找出；（2）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件进而求出，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等．解答：解：（1）①△ABD≌△CDB②△ABE≌△CDF③△AED≌△CFB；（2）①证明△ABD≌△CDB．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=CB，∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB．②证明△ABE≌△CDF．证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°．∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD．∴∠ABE=∠CDF．∴△ABE≌△CDF．③证明△AED≌△CFB．证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED=∠CFB=90°．∵ABCD是平行四边形，∴AD∥CB且AD=CB．∴∠ADE=∠CBF．∴△AED≌△CFB．点评：本题考查平行四边形及全等三角形等知识，是比较基础的证明题，灵活应用平行四边形的性质，得到全等的条件是解题的关键．94．（2007•河南）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：△BEF≌△DGH．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：由三角形全等的判定定理和平行四边形的性质，结合已知条件，利用SAS判定．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，BC=AD．又∵E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的四边中点，∴BE=DG，BF=DH．∴△BEF≌△DGH．点评：本题重点考查了三角形全等的判定定理和平行四边形的性质的综合运用．95．（2006•泉州）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF．求证：△ABE≌△CDF．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D（2分）在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF．点评：本题考查平行四边形及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．96．（2005•宁德）如图，已知平行四边形ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于F．求证：△DFE≌△ABE．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：依据平行四边形的性质可知FC∥AB，则∠1=∠2，进而通过ASA说明三角形全等．解答：证明：∵ABCD是平行四边形，∴FC∥AB．∴∠1=∠2．∵E为AD的中点，∴DE=AE．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△ABE．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（在直角三角形中）．97．（2009•陕西）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA=AB．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF=DC，从而证明AF=AB．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．∴∠FEA=∠DEC，∠F=∠ECD．又∵EA=ED，∴△AFE≌△DCE．∴AF=DC．∴AF=AB．点评：本题考查平行四边形的性质及全等三角形等知识，是比较基础的证明题．98．（2009•长沙）如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，BE∥DF，求证：AF=CE．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：证明题；压轴题．分析：先证∠ACB=∠CAD，再证出△BEC≌△DFA，从而得出CE=AF．解答：证明：平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠ACB=∠CAD．又BE∥DF，∴∠BEC=∠DFA，∴△BEC≌△DFA，∴CE=AF．点评：本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．99．（2008•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．专题：探究型．分析：AF应该和CE相等，可通过证明三角形ADF和三角形BEC全等来实现．根据平行四边形的性质我们可得出：AD=BC，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，因为DF和BE是∠ADC，∠CBA的平分线，那么不难得出∠ADF=∠CBE，这样就有了两角夹一边，就能得出两三角形全等了．解答：解：AF=CE．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，又∵∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC，∴∠ADF=∠CBE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（ASA），∴AF=CE．点评：求某两条条线段相等，可通过证明他们所在的三角形全等来实现，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．100．（2006•益阳）如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）九年级王云同学观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE=ED，你同意王云同学的判断吗？请充分说明理由；（2）设对角线AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．考点：线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质．分析：1、根据中垂线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的中垂线上来判定．2、把筝形看成两个等底等高的三角形来求面积．解答：解：（1）王云同学的判断是正确的．理由：根据题设，∵AB=AD，∴点A在BD的垂直平分线上．∵CB=CD，∴点C在BD的垂直平分线上．∴AC为BD的垂直平分线，BE=DE，AC⊥BD．（2）由（1）得AC⊥BD．∴S ABCD=S△CBD+S△ABD=BD•CE+BD•AE=BD•AC=ab．点评：本题利用了中垂线的判定定理和三角形的三角形的面积公式求解．101．（2010•丽水）已知：如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：方法一：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明AE=FC，AE∥FC即可；方法二：利用“边角边”证明△ABF≌△CDE．解答：证明：方法1：∵四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=CF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥CF．∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE；方法2：∵四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴BF=DE，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴AF=CE．点评：本题考查了平行四边形的判断方法，平行四边形可以从边、角、对角线三方面进行判定，在选择判断方法时，要根据题目现有的条件，选择合理的判断方法．102．（2008•西宁）如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG 交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由角的等量关系可分别得出△ABG和△DCE是等腰三角形，得出AB=AG，DC=DE，则有AG=DE，从而证得AE=DG．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴AD∥BC，AB=CD（平行四边形的对边平行，对边相等）∴∠GBC=∠BGA，∠BCE=∠CED（两直线平行，内错角相等）又∵BG平分∠ABC，CE平分∠BCD（已知），∴∠ABG=∠GBC，∠BCE=∠ECD（角平分线定义）∴∠ABG=∠AGB，∠ECD=∠CED．∴AB=AG，CD=DE（在同一个三角形中，等角对等边）∴AG=DE，∴AG﹣EG=DE﹣EG，即AE=DG．点评：本题考查平行四边形的性质、等腰三角形判定等知识．由等腰三角形的判定和等量代换推出AG=DE是关键．运用平行四边形的性质和等腰三角形的知识解答．103．（2009•莆田）已知：如图在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线、AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．（1）观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；（2）在（1）中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题；压轴题；开放型．分析：（1）本题要证明如△ODE≌△BOF，已知四边形ABCD是平行四边形，具备了同位角、内错角相等，又因为OD=OB，可根据AAS能判定△DOE≌△BOF；本题还可证明①△BOM≌△DON；②△ABD≌△CDB；（2）平行四边形是中心对称图形，这三对全等三角形中的一个都是以其中另一个三角形绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．解答：解：（1）△DOE≌△BOF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠EDO=∠FBO，∠E=∠F．又∵OD=OB，∴△DOE≌△BOF（AAS）．①△BOM≌△DON．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠MBO=∠NDO，∠BMO=∠DNO．又∵BO=DO，∴△BOM≌△DON（AAS）．②△ABD≌△CDB．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AB=CD．又∵BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SSS）．（2）绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．点评：本题考了全等三角形和平行四边形的性质和中心对称图形，比较容易．（1）可以不限制△ODE≌△BOF，增加题目的“含金量”．104．（2007•陕西）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DA⊥AB，∠B=45°，延长CD到点E，使DE=DA，连接AE．（1）求证：AE∥BC；（2）若AB=3，CD=1，求四边形ABCE的面积．考点：平行四边形的性质；平行线的判定．专题：几何综合题．分析：（1）先求得∠C=135°，DA⊥DE．根据DE=DA，得∠E=45°，所以∠C+∠E=180°．所以AE∥BC．（2）先证明四边形ABCE是平行四边形．所以CE=AB=3，DA=DE=CE﹣CD=2．故可求S▱ABCE=CE•AD=3×2=6．解答：（1）证明：∵AB∥DC，DA⊥AB，∠B=45°，∴∠C=135°，DA⊥DE．又∵DE=DA，∴∠E=45°．∴∠C+∠E=180°．∴AE∥BC．（2）解：∵AE∥BC，CE∥AB，∴四边形ABCE是平行四边形．∴CE=AB=3，∴DA=DE=CE﹣CD=2．∴S▱ABCE=CE•AD=3×2=6．点评：主要考查了平行四边形的性质和平行线的判定．求出∠C+∠E=180°是判定平行线的关键，根据平行四边形的性质可求得所需线段的长度是求面积的关键．105．（2007•三明）已知：如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据平行四边形的性质求出AB∥CD，可得∠ABE=∠CDF，然后推出△ABE≌△CDF．解答：证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90度．∴△ABE≌△CDF．∴AE=CF．点评：本题综合考查了利用平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识进行推理能力，属于基础题．106．（2007•衢州）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：要证△ADF≌△CBE，因为AE=CF，则两边同时加上EF，得到AF=CE，又因为ABCD 是平行四边形，得出AD=CB，∠DAF=∠BCE，从而根据SAS推出两三角形全等，由全等可得到∠DFA=∠BEC，所以得到DF∥EB．解答：证明：（1）∵AE=CF，∴AE+EF=CF+FE，即AF=CE．又ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF与△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．107．（2007•梅州）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：①分别以A，C为圆心，以大于AC长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q．②连接PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F；（2）求证：AE=CF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：作图题．分析：（1）熟练用尺规作一条线段的垂直平分线；（2）根据所作的是线段的垂直平分线结合平行四边形的性质，根据ASA证明三角形全等．再根据全等三角形的性质进行证明．解答：解：（1）作图，（2）证明：根据作图知，PQ是AC的垂直平分线，∴AO=CO，且EF⊥AC．∵四边形ABCD是平行四边形∴∠OAE=∠OCF．∴△OAE≌△OCF（ASA）．∴AE=CF．点评：掌握尺规作图的方法，作图中的条件就是第二问中的已知条件，正确进行尺规作图是解题的关键．108．（2006•永春县）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE=∠DCF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：要证明∠BAE=∠DCF，只需证明两个角所在的三角形△ABE、△CDF全等即可．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABE=∠CDF；又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°；∴Rt△ABE≌Rt△CDF．∴∠BAE=∠DCF．点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，利用平行四边形的性质，获得全等的条件是解题的关键．109．（2006•西岗区）已知：如图，▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：BE=DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=DF，可由△ABE≌△CDF来证．根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，很容易确定AAS，进而确定三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF．又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°．∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．点评：本题重点考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，是一道较为简单的题目．110．（2006•大连）如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：压轴题；探究型．分析：连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．解答：解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．111．（2006•长春）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．（1）求证：△ABC≌△EAD；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：从题中可知：（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．（2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AB=AE，∴∠AEB=∠B．∴∠B=∠DAE．∵在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△EAD．（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE=∠BAE；又∵∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB=∠B．∴△ABE为等边三角形．∴∠BAE=60°．∵∠EAC=25°，∴∠BAC=85°．∵△ABC≌△EAD，∴∠AED=∠BAC=85°．点评：主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．112．（2005•浙江）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE=DF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：本题考查平行四边形性质的应用，要证BE=DF，可以通过证△ABE≌△CDF转而证得边BE=DF．要证△ABE≌△CDF，由平行四边形的性质知AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF，又知AE=CF，于是可由SAS证明△ABE≌△CDF，从而BE=DF得证．本题还可以通过证△ADF≌△CBE来证线段相等．解答：证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠BAE=∠DCF．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF．∴BE=DF．证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAF=∠BCE．∵AE=CF，∴AF=AE+EF=CF+EF=CE．在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE．∴BE=DF．点评：本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．113．（2005•温州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AD、BC分别相交于点E、F，求证：OE=OF．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可．解答：证明：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF．点评：运用了平行四边形的对角线互相平分以及平行四边形的对边平行．114．（2005•日照）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G．（1）求证：AF=GB；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．专题：证明题；开放型．分析：（1）由角平分线知∠ADG=∠CDG，由平行知∠CDG=∠AGD所以，∠ADG=∠AGD，即AD=AG，同理BF=BC，又AD=BC，所以AG=BF，去掉公共部分，则有AF=GB；（2）由于DG、CF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有EF=EG或者∠EFG=∠EGF即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC．∴∠AGD=∠CDG，∠DCF=∠BFC．∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDG=∠ADG，∠DCF=∠BCF．∴∠ADG=∠AGD，∠BFC=∠BCF∴AD=AG，BF=BC．∴AF=BG；（2）解：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DG、CF分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠EDC+∠ECD=90°．∴∠DEC=90°．∴∠FEG=90°．因此我们只要保证添加的条件使得EF=EG就可以了．我们可以添加∠GFE=∠FGD，四边形ABCD为矩形，DG=CF等等．点评：此题考查了平行四边形的基本性质，以及直角三角形的判定，难易程度适中．115．（2005•济南）如图，已知平行四边形ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．（1）求证：CD=FA；（2）若使∠F=∠BCF，平行四边形ABCD的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明（不要再增添辅助线）．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；开放型．分析：第（1）问根据平行四边形的性质，﹣就可证明CD∥AB，∠CDA=∠DAF，又已知DE=AE，∠CED=∠AEF，符合全等三角形的判定中的ASA，即证△CDE≌△AEF，所以CD=AF．第（2）问在第（1）问的基础上，若使∠F=∠BCF，逆推就必须BC=BF，继而推出BC=2BA，即为所求．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB．又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，∴∠CDA=∠DAF．∵E是AD中点，∴DE=AE．∵∠CED=∠AEF，∴△CDE≌△AEF．∴CD=AF．（2）要使∠F=∠BCF，需平行四边形ABCD的边长之间是2倍的关系，即BC=2AB，证明：∵由（1）知，△CED≌△FEA，∴CD=AF．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB．∴AB=AF，即BF=2AB．∵BC=2AB．∴BF=BC，∴∠F=∠BCF．点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的综合运用，也是基础题．116．（2005•贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？考点：平行四边形的性质．专题：作图题．分析：注意由于平行四边形是中心对称图形，故只要过它的对称中心画直线即可．解答：解：（1）无数；（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可．如图有：AE=BE=DF=CF，AM=CN．（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）．点评：平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．117．（2004•哈尔滨）如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF．求证：AB=2OF．。