师大物理本科

《物理作业》

1

陕西师大远程教育学院物理本科函授生

《热力学与统计物理学》作业题

第一章 热力学的基本规律

1.1已知状态方程f (p,v,T)=0证明

(1)

VVpTTp1

(2)

pΤVTVVpΤp

(3) 1TpVpVVTTp

1.2 试求理想气体的定压膨胀系数α、定容压强系数β和等温压系数κT 。

1.3 假设在压强不太高时，1摩尔真实气体的物态方程表示为pv=RT(1+Bp)。其中，B为温度的函数。求α和κT，并给出在p→0时的极限值。

1.4已知某气体的定压膨胀系数和等温压缩系数分别为

pVnR ； VapT1,

其中n、R和α均为常数。求此气体的物态方程。

1.4证明任何一种具有两个独立变量T, p的物质,其物态方程可由实验测得的α和κT根据下列积分求得；

pTVTd-dln.

如果α= 1/T，κT=1/p，试求物态方程。

1.5 1摩尔范氏气体在准静态等温过程中体积由V1膨胀至V2。求气体所作的功。

1.6 温度为0℃的1kg水与温度为100℃的恒温热源接触后，水温达到100℃，试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。已知水的比热为4.18J﹒ g-1﹒K-1。

1.7 有两个体积相同的容器，分别装有一摩尔的同种理想气体，令其进行热接触。若气体的初温分别为300K和400K，在接触时保持各自的体积不变，且已知摩尔热容量为R，求：

⑴ 最后的共同温度；

⑵ 熵的变化；

⑶ 若初温为T1及T2，证明当T1≠T2时，熵总是增加的。

1.8 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由Τ1升至Τ2。假设γ是常数，试证明前者的熵增是后者的γ倍。

1.9 一物体，其初温高于某热源的温度(T2)，有一热机在此物体与热源之间工作，直到物体的温度降低到T2为止。若热机从物体中吸收的热量为Q，试用熵增加原理证明：此热机所能输出的最大功《物理作业》

2 为

Wmax=Q-T2(S1-S2)

第二章 均匀物质的热力学性质

2.1 证明以下几个等式

（1）

VVVpTCpU

（2） pTVCVUppp

（3）

pTTVTVpH

（4）

TppVpTVTpU

2.2 求1摩尔范德瓦尔斯气体的内能U（T，v）和自由能F（T，v）的表达式。

2.3 证明pSCTVpT，其中α为定压膨胀系数。

2.4证明VΤV2TppC和pTpTVTpC22

2.5 已知某气体的

2pTpBTV ， )(pTfpVT

其中α为常数，f(p)只是p的函数，试证明

（1）2pRpf

（2）物态方程为 αTpRT-pV

2.6 设某物质的物态方程为

p=f(V)T,

其中f(V)仅为V的函数。试证明其内能与体积无关。

2.7 证明气体节流过程中 0HpS

2.8

证明对于自由膨胀过程以下二式成立

（1）TpVSU 《物理作业》

3 （2）VVUTpT-PC1VT

2.9

证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落，大于在节流过程中的温度降落。（提示：证明

VSpTpT即可）

2.10 计算热辐射在等温过程中由体积V1变到V2时所吸收的热量。

第三章 单元系的相变

3. 1 证明下列平衡判据：

⑴ 在S，V不变的情况下，平衡态的U最小；

⑵ 在S，P不变的情况下，平衡态的H最小；

⑶ 在U、S不变的情况下，平衡态的V最小；

⑷ 在H、P不变的情况下，平衡态的S最大。

3.2 对克拉珀龙方程描述的相变过程，证明：

（1）摩尔内能的变化为

pTLuulndlnd121

（2）若把一相看作理想气体，另一相为凝聚相，则上式变为

LRTLuu112

3.3 在三相点附近，固态氨的饱和蒸汽压（单位为atm.）方程为

Tp375418.70ln

液态氨的蒸汽压方程为

Tp306315.16ln

试求三相点的温度和压力，以及氨的气化热、升华热和在三相点的溶解热。

3.4 某山顶上大气压是海平面大气压的0.9倍，求山顶上水的沸点。（答: 370.2K）

第四章 多元系的复相平衡和化学平衡

4.1 写出以T，V，ni为自变量的热力学基本方程，并证明：

（1）

jnTT,V,nj iVTnp,；

（2）

jjV,nT,V,niTμnS [提示：根据全微分条件证明]。

4.2 将U看作独立变量T，V，n1……,nk的函数。证明 《物理作业》

4 VUvnUuiii

式中，ui及vi分别为偏摩尔内能和偏摩尔体积。

[提示：由欧勒定理证明 VUVnUnUiii ]

4.3 NH3分解为N2和H2的反应方程为

02321322

试证平衡恒量和分解度之间的关系为

p.εεK221427

其中，ε为分解度，表示iiinn

4.4求下述物质组成的系统的热力学自由度数（能独立改变的强度量的个数）：

（1）KCl和NaCl的水溶液与两种盐的晶体和蒸汽共存；

（2）这些盐的溶液与冰、盐的晶体和蒸汽共存；

（3）糖在水和煤油中的溶液和冰与蒸汽共存。

（答：1,0,1）

第六章 近独立粒子的最概然分布

6.1 试根据公式Vaplll证明，对于能量为

)(221222222zyxnnnLmmp （,.2,1,0,,zyxnnn）

的大量相对论粒子,有

VUp32。

上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费密分布都成立。

6.2 试证明，在体积V内，在ε到ε＋dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

d)2(2d)(2/12/33mhVg

6.3 在极端相对论情况下，粒子的能量动量关系为

ε＝c p 。

试求体积V内，能量在ε到ε＋dε范围内三维粒子的量子态数。

（答：d)(4d)(23chVg）

6.4设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N ’。粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为 《物理作业》

5 leall和 ''''leall

其中，ωl和ωl’是能级的简并度。

提示：系统的微观状态数等于两种粒子的微观状态数Ω,Ω’的乘积ΩΩ’。

第七章 玻耳兹曼统计

7.1 晶体含有N个原子，原子在晶体中的正常位置如图中的Ο所示。当原子离开正常位置而占据图中×位置时，晶体中就出现了缺位和填隙原子，晶体的这种缺陷称为Francul缺陷。

(1) 假设正常位置和填隙位置的数目都是N，试证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙原子时，其熵为

)!(!!ln2nNnNkS。

(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u。 试由自由能

F= nu-Ts为极小的条件证明，在温度为T时，缺位和填隙原子数为

kTuNen2。

[提示：在晶体的N个正常位置中出现n个缺位时，由于缺位位置的不同可以有

)!(!!nNnN

个微观状态。在N个填隙位置中出现n个缺位和填隙原子时，可能的微观状态数为

)!(!!nNnN。]

7.2. 应用麦克期韦速度分布律，试求平均值xv,2xv和2)(xxvv。

7.3 当选择不同的能量零点时，粒子第l能级的能量可以取为l或*l。以Δ表示二者之差，即，试证明相应的配分函数存在以下关系

llZeZ*

并讨论由配分函数Z和Z求得的热力学函数有何差异。

7.4设处在重力场中的单原子分子理想气体，气柱高h，截面积为A，试求气体的内能和定容热容量。

7.5 线性谐振子能量的经典表达式为

2222121qpμεv，

试计算经典近似的振动配分函数vZ以及振动的内能和熵。

7.6 双原子分子转动能量的经典表达式是

222sin121pθpΙεθr 《物理作业》

6 试计算在经典近似下的转动配分函数rZ及转动内能和熵。

7.7 考虑一极端相对论性理想气体。粒子的静止质量可以忽略。粒子的能量动量关系为ε＝cp ，其中c为光速，p为粒子的动量。试求

（1）粒子的配分函数；

（2）气体的物态方程、内能和熵。

7.20 试求二维谐振子的配分函数及平均能量。

（1）如果谐振子是经典的；

（2）如果谐振子是量子的，其能级和简并度分别为

)1(nn n = 0,1,2,…

ωn= (n+1)

并将1时得到的量子结果与经典结果相比较。

［答：21lZ，kT2（经典）

2)1(eeZl， 1212e （量子）］

第八章 玻色统计和费米统计

8.1如果黑体辐射只占满二维空间，面积为A，在温度T时达到平衡。试导出二维空间的普朗克公式及相应的斯特藩定律。

[答：14hedhcAdU2； 333)(ThckU9.6]

8.2 应用普朗克公式及有关公式，求

⑴ 平衡辐射系统的物态方程；

⑵ 系统的准静态绝热过程方程。

［答：（1）4aTp31；（2）常量VT3。］

8.3证明：处于容器中温度为T的光子气体，每秒碰到单位面积器壁上的光子数为nc41, n是平均光子数密度。

8.4 金属Na大约有2.6×1022/cm3个传导电子，它们可被近似看作自由电子，由此给出

（1）Na的费米能级的近似值（用eV表示）

（2）在室温下电子比热的近似值。

8.5求解以下各题：

（1）若电子能量mp/22，求分布在体积v内，ε到ε＋dε间电子的量子态数。

（2）若电子能量cpε，求在体积v，温度T时处于ε到