上海师大固体物理 第三章(3)

2 n u2 n 1 u2 n 1 2u2 n e E eff M u * 2 n 1 u2 n u2 n 2 2u2 n 1 e E eff M u

e* ：有效电荷，比电子电荷e小些，这是因为电子的转移——例如在
u u0 e it u u0 e
it
u0 和u0为振幅
代入运动方程求解，消去相同项并整理后有：
2 M u 2 u 2 u 2 M u
2 0 0 2
0
e* E0 e* E0
0
第四节 长波近似
3.4.1 长声学波 3.4.2 离子晶体的长光学波
在布里渊区中心（q0）处，晶格振动的格波称为长波近似， 分为长声学波（把晶体看作连续介质时的弹性波，满足弹性波 的宏观运动方程）和长光学波（基元中原子相对运动，宏观上 对应晶体的红外吸收性质）。 研究长波近似具有重要意义，它能揭示固体宏观性质的微观本 质。对长声学格波，其长波极限就是弹性波，即弹性波与声子 格波在长波条件下，它们是必然的统一；离子晶体会出现宏观 极化，是长光学纵波振动模中离子的相对位移引起的；有些晶 体在某一温度下会产生自发极化，这是长光学横波振动模式消 失的结果。
传播方向
传播方向
z
x
长光学波的极化对LO和TO的影响
纵波的极化场增大了原子位移的恢复力，从而提高了振动频率，所以 离子晶体中 LO 0 TO 0 横波的极化场对频率基本没有影响，因此在共价晶体中，没有极化影 响， LO 0 TO 0
LO 0 TO 0

2 a m M
由此可以看出，弹性波的波速与长声学波的波速完全相等，即长声 学波与弹性波完全一样。 长声学波，格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
3.4.2 离子晶体的长光学波
1. 离子晶体长光学波的特点
对于长光学波，原胞内的不同原子作 相对振动。在半波长范围内，正负离 子各向相反的方向运动。由于正负离 子相对运动，电荷不再均匀分布，出 现了以波长为周期的正负电荷集中的 区域。由于波长很大，使晶体呈现出 宏观上的极化现象。离子晶体的宏观 极化产生一个宏观极化电场E。作用在 某离子上的电场当然不包括该离子本 身的电场。若作用在该离子的电场称 为有效电场Eeff，则Eeff等于宏观电场E 减去该离子本身产生的电场。对立方 晶格，洛伦兹给出了求解有效场的一 个方法：
代入得：

2

c

q2
由此得弹性波的传播相速度：
v弹

q

c

恢复力 F c
du 应用于一维复式格子，应变为： dx
u m 1 u m du dx a
其中um+1和um分别是第m+1个及第m个原子的位移，a为第m+1个及第 m个原子平衡时的间距。恢复力表示为：
F c
u m 1 u m a
u0
3. LST（Lyddane-Sachs-Teller）关系
从电磁学知道，电位移为，
D E 0 E P

0：真空介电常数
P ：宏观极化强度；
离子晶体的极化有两部分贡献构成，一部分是正负离子的相 对位移产生的偶极矩，这种极化称为离子位移极化，极化强 度记为 P i ；另一部分是离子本身的电子云在有效电场作用下 ，其中心不再与原子核重合，而是逆电场方向发生一定的位 移，即在有效电场作用下，离子本身也成了电偶极子，称这 部分的极化为电子位移极化，记作 P e ，则电位移表示为，


把相关公式代入相对介电函数表达式，
r
1 D 0 E
1 0 E Pi Pe 0 E
0

当<<TO，即 = 0，得到静 态介电常数:
* 2 n e Pe m r 0 1 2 To 0 E
• 应变（e）：每单位长度的长度改变 •
e
du dx
应力（S）：每单位面积上所受的力，它是x的函数，由胡克定律，应力与 应变成正比，即：
S ce
（c为常数，在一些简单情况下，c就是杨氏模量Y）
考虑介质中x与(x+dx)间长度为dx的一段，设一维介质的线密度为， 则这段介质的运动方程为：
d 2u x dx S x dx S x 2 dt
传播方向
此时离子受到的恢复力 f f 弹 f e ，即恢复力增大。由于晶格振动频率
传播方向
z
x
长光学横波（TO）
对于横光学波，极化电场平行薄层面。与纵光学波相比，横光学 波的离子所受的恢复力，由于没有附加的静电场，而恢复力较小 。因此，横光学波的角频率T小于纵光学波的角频率L。
当>>TO，即 = ，得到高 频介电常数，离子极化没有贡 献（离子的位移跟不上迅速变 换的电场）:
nm e Pe 1 2 2 0u TO 0E


* 2

2 Pe nm e* 1 2 0 E 0uTO

1 1 TO
碱的卤化物中——从碱原子转移到卤素原子，是不完全的，在NaCl中 ， e* 0.74e 。

假定： E E0 ei qx t ，为了简化起见，假设波长与原子间距相比非常 大，以致用无限长波长极限q=0。 和前面双原子链自由振动相比，这里考虑的是受迫振动，且仅考虑 q=0的解。
只考虑长波，即q0，所有类似的原子都有相同的位移，例如 质量为M+的原子位移为u+，质量为M-的原子位移为u-，在稳态 时，这些位移具有类似强迫力的场的形式，即：
NaI 1.440.05 1.450.03
KBr 1.390.02 1.380.03
GaAs 1.070.02 1.08
讨论
2 r 0 LO 2 TO r
（1）为何长光学纵波的频率比长光学横波大？ 由于 r 0 r ，所以有LO>TO。离子的位移引起极化电场， 电场的方向是阻滞离子位移的，即宏观电场对离子位移起到了一个 排斥力的作用，相当于弹簧振子系统中弹簧变硬，有效的恢复力系 数变大，使纵波频率提高。 （3）自发极化现象发生的原因是什么？ 有些晶体在某一温度下，其介电常数 r 0 突然变得很大， r 0 ，即产生所谓的自发极化。原子都具有一定质量，其振动频率不可 能无限大，即LO不可能趋于无穷。当 r 0 ，只能对应TO0 。因为()1/2，TO0，说明此振动模式对应的恢复力系数消失 。由于恢复力消失，发生位移的离子回不到原来的平衡位置，到达 了另一个新平衡位置，即晶体结构发生了改变。在这一新结构中， 正负离子存在固定位移偶极矩，即产生了所谓的自发极化。0， 相当于弹簧振子系统中的弹簧丧失了弹性，即弹簧变软。人们称 TO0的振动模式为铁电软模，因为这一现象是在研究铁电材料时 发现的。
D E 0 E Pi Pe
离子位移极化强度：
N Pi e u u V
nm e u u
nm：单位体积的分子数（原胞数）
e E0 e E0 i t i t nm e M 2 2 e M 2 2 e TO TO
d 2u dr 2 a
与 F u m 1 u m 比对，可推知：
c a
对一维复式格子，显然密度为：

m M 2a
把c

a和
m M 代入 v 弹 2a q
c

得到
v弹
a
m M 2 a
/2
/2
/2
+ + -
+ + -
+ -
由正负离子构成的一维晶格的宏观极化
1 Eeff E P 3 0
（P为宏观极化强度）
长光学纵波（LO）
离子晶体具有复式晶格的特征，原胞中只有2个离子，3支光学波中有 2支是横波（TO），1支是纵波（LO）。 对于LO，离子位移与波的传播方向相同。由于极化电场的存在，使电 量为q*的正、负离子受到一个指向平衡位置的附加电场力f e q * Eeff 。 直接与恢复力有关，因此纵向极化使光学波的频率L增大。
3.4.1 长声学波
下面以一维双原子链为例讨论。 (1) 对于声学支格波
2 A
M m M Mm

A
2
m 2 2 Mm cos 2aq

1/ 2

q 0,
2 aq, m M
vA
2 a mM
A Aq
(2) 对于连续介质 几个概念
r 0 r
1 TO
2
r
r
r 0
r 2 TO 2
2 TO 2

r()的零点定义为纵光学声子频率LO，即
LO
r 0 TO r




i t n e Ee m 2 02 TO

2
1 1 M M


nm e 2 TO 2 u

2
E


1


1 1 表示两离子的约合质量 M M
电子位移极化强度：
一个原胞内正负离子受到有效电场的作用，产生的电子位移偶极矩为
p e E eff E eff E eff