高一数学课件：正、余弦函数图象和性质(一)

1 x o -1

3、正弦、余弦曲线 y = sin x, x∈R y
-2
-
2
34Biblioteka y = cos x, x∈R
自主探究
思考1 为什么正弦函数的图象每相隔2π 个单位重复出现？
思考2
为了刻画函数这种周而复始的变化规律，我们把具有这种性质的 函数叫做周期函数.一般地，周期函数是怎样定义的？
思考5
就周期性而言，对正弦函数有什么结论？ 对余弦函数呢？ 正弦函数、余弦函数是周期函数， 2kπ （k∈Z, 且k≠0）都是它的周期， 且最小正周期是2π ．
例题讲解
例1 求下列函数的周期： （1）f(x)=3cosx, x∈R （2）f(x)=sin2x, x∈R 1 f （3） ( x) 2 sin( x ), x∈R；

课下作业
作业：P36练习：1，2，3.
课外延伸
如果函数y=f(x)的周期是T，那么 函数y=f(wx)的周期是多少？
新课导入 1、每年都有春、夏、秋、冬； 每星期都是从星期一到星期日；
每天太阳从东边升起，西边落下；
公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返…； 这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用 “周而复始”来描述，这就叫周期现象。
2、诱导公式一：
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos
就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个
函数的周期.
思考3
正弦函数的周期有哪些？周期函数的周期是 否唯一？
思考4
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一 个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x) 的最小正周期.那么, 周期函数一定存在最 小正周期吗？ 特别的y=c(c为常数)没有最小正周期。

第一章
1.4 1.4.1
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[解析]
(1)列表： x u＝sinx y＝2－u 0 0 2 π 2 1 1 π 0 2 3π 2 －1 3 2π 0 2
第一章
1.4 1.4.1
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(2)描点、连线：(图形如下)
第一章
1.4 1.4.1
第一章
1.4 1.4.1
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π 2 π 4．求sin ( －x)＋sin ( ＋x)的值． 3 6
2
[解析]
2
π x x π 原式＝sin2[2－(6＋x)]＋sin2(6＋x)＝cos2(6＋x)＋
π sin (6＋x)＝1.
第一章
1.4 1.4.1
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成才之路· 数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．4 三角函数的图象与性质
第一章 三角函数
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第一章
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
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规律总结：利用三角函数的图象或三角函数线，可解简 单的三角不等式，但需注意诱导公式一的应用，确保解的完 整性．
第一章
1.4 1.4.1
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函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且 仅有两个不同的交点，求k的取值范围．

(1) f ( x a) f ( x a)
1
(2) f ( x a)
f ( x)
(3) f ( x a) f ( x)
T=2a
T=2a
T=2a
？ 回顾
奇函数和偶函数的定义是什么?
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
7
2
PART 1 周期函数
周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个
非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零
常数T叫做这个函数的周期。
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存
在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
•
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，
且f(-x)＝-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
PART 4 正余弦函数的奇偶性
• 正弦函数y=sinx满足x∈R, sin(-x)=-sinx，所以
正弦函数是奇函数.
• 余弦函数y=cosx满足x∈R, cos(-x)=cosx，所以
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
例题探究 P201
例 求下列函数的周期
(1) y=3sinx，x∈R；
(2) y=cos2x，x∈R；
1

(3) y=2sin( − )，x∈R
2
6
？ 思考
回顾例题的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中

当x由

2
增大到

2
时,曲线逐渐上升,sin x的值由 1增大到1;

3
当x由 增大到
时,曲线逐渐下降,sin x的值由1减小到 1.
2
2

上讨论

学习新知
sin x的值的变化情况如下表所示 :
x
sin x
-1
↗
0
↗
↗
0
↗
↗
1
↘
这就是说 ,


正弦函数y sin x 在区间 , 上单调递增,
3
2
1

分析：令z x , x [2 , 2 ]当自变量x的值增大时, z的值也随之增
2
3

1
大, 因此若函数y sin z 在某个区间上单调递增, 则函数y sin x
3
2
在相应的区间上也一定单调递增.
学习新知
1

2 4
令z x , x [2 , 2 ], 则z
3
17
23
17
(2) cos
cos
cos ,


5
5
5
4
4
4


3
因为0
, 且函数y cos x在区间[0, ]上单调递减,
4
5
3
17
23
所以cos cos
, 即cos
cos

2
2 3
2

2
O
1


2
5
2