三角函数与向量月考试题

26 π 且与点 A 相距10 13 海里 45° + θ , sin , 0 θ = < θ < 26 2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
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π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )

三角函数、解三角形、平面向量一、三角函数的图象与性质例题1、（10年重庆6）已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y的部分图象如题（1）图所示，则（ ） A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω== D 、6,2πϕω-==解析：周期 πππωπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==312742T 0>ω则2=ω6222323ππϕππϕππ-=⇒+=+⋅⇒=k k x62πϕπϕ-=⇒∴<又例题2（10年四川6）将函数x y sin =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102sin πx y （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=52sin πx y（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021sin πx y （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2021sin πx y 例题3(10年湖北)已知函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ，g(x)＝12sin 2x －14.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x 的集合． 解 (1)因为f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＋x cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos x －32sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3－3cos 2x 8＝12cos 2x －14， 所以f(x)的最小正周期为2π2＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos 2x －12sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z)时，h(x)取得最大值22.h(x)取得最大值时，对应的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝kx －π8，k ∈Z试题分析 主要考查综合运用三角公式、三角函数图像和性质进行运算求解的能力．以三角函数的运算和性质为主线，着重对基础知识和基本方法的考查．题目难度不大，重视基础、强调应用．重点考查 (1)三角恒等变换公式．(2) B x A y ++=)sin(ϕω的性质和图像变化等基础知识． 主干知识：1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦， 三正切，四余弦．2．诱导公式 απ±k 和απ±2 3.同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0)．4．正弦、余弦、正切函数的性质定义域 值域 图像 周期性 单调区间 对称中心 对称轴 最值考点分类题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的 应用例题1、如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．分析 根据任意角三角函数的定义cos α＝xr不难得到cos α、cos β的值，利用同角三角函数可求sin α、 sin β、tan α、tan β的值，进而利用和角公式求tan(α＋β)的值．注意到第(2)问相当于“给值求角”问题，除注意到“角的变换”：α＋2β＝(α＋β)＋β外，还应注意该类问题求解的一般程序．解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝210，cos β＝255.因为α为锐角，故sin α>0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210.同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tan β1－tan(α＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.本题考查三角函数的基本概念、三角函数的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，考查考生的运算求解能力．根据三角函数的定义，本题所给的两个横坐标实际上就是α、β的余弦值，又由于这两个角都是锐角，由同角三角函数的关系式就可以求出这两个角的正切，剩下的问题就是代入公式计算了．例题2、 已知点P (sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4 解析 tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sin π4＝－1，又sin 34π>0，cos 34π<0，∴θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4，故选D.题型二 三角函数的图象及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 例题1、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示)，求其解析式． 分析：先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键 点求φ，最后将(0，2)代入求A 的值 解 设函数的周期为T ，则34T ＝7π8－π8＝34π，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2 又由2×π8＋φ＝π2，得φ＝π4.∴函数解析式为y ＝A sin(2x ＋π4)．又图象过点(0，2)，∴A sin π4＝2，∴22A ＝2，∴A ＝2.∴所求函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋π4)．分析提高 （1 )已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；由图象上的关键点确定φ.(2)求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为14个周期。

三角函数与向量基础测试题考试时间：150分 总分：150分一、选择题（每小题5分，共60分）1、 下列各选项中，与︒=30α终边相同的角是A 、︒210B 、︒1080C 、︒-390D 、︒14702、 已知θ为第二象限的角，则下列说法正确的是A 、0cos ,0sin >>θθB 、0cos ,0sin <<θθC 、0tan ,0sin <>θθD 、0tan ,0cos <>θθ3、 已知ABC ∆中，AC b AB a ==,，则=-b aA 、B 、C 、D 、4、 若角θ的终边过点()4,3--P ，则=⋅θθcos sinA 、512B 、512-C 、2512D 、2512- 5、 设函数()x x x f sin sin 2-=，则()x f 的最小值与最大值之和为A 、47B 、2C 、41- D 、06、 32==，且3-=⋅b a ，则与的夹角为A 、6πB 、3πC 、32π D 、65π 7、 已知()()()2,3,,1,1,2--C k B A ，且C B A 、、三点共线，则k 的值为A 、8B 、9C 、10D 、118、 要得到函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 3πx x f 的图像，只要把()x x g 2sin =的图像 A 、 先向左平移3π个单位，然后纵坐标变为原来的31倍 B 、 先向右平移3π个单位，然后纵坐标变为原来的3倍 C 、先向左平移6π个单位，然后纵坐标变为原来的31倍 D 、先向右平移6π个单位，然后纵坐标变为原来的3倍9、 已知()()2,1,1,3=-=，则=⋅A 、0B 、1C 、2D 、310、 已知()53cos -=+απ，则)29sin(απ+的值为 A 、53- B 、53 C 、54- D 、54 11、 函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621tan 4πx x f 的最小正周期为 A 、π4 B 、π2 C 、π D 、2π 12、 不等式x x sin cos ≥的解集为A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 24,243 B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 243,24 C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 245,243 D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 245,24二、填空题（每小题5分，共20分）13、 已知3tan =θ，则=+-θθθθcos 2sin sin 3cos _________________ 14、 函数()()1sin 2lg -=x x f 的定义域为________________15、 计算：=+-+BD AC DC AB _______________________16、 已知平行四边形ABCD 的三个顶点C B A 、、的坐标分别为()()()401322--，，，，，C B A ，则顶点D 的坐标为__________________三、解答题17、（本题共12分）（1）、化简：()()απαπαπαπ-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222sin 23sin cos 27sin ；（2）14==，且与的夹角3π，求向量()+的模长.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 3πωx x f （其中0>ω），且()x f 的最小正周期为π， （1）、求()x f 的函数解析式及单调递减区间；（2）、求()x f 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ上的值域.19、（本题共12分）已知向量()()2,3,1,2-==b a ，试求：（1）、向量4+、-3的坐标（2）、()()-⋅+2的值.20、（本题共12分）已知函数()12+=x a x f ，则： （1）、求证：()x f 在其定义域上为偶函数；（2）、讨论()x f 在()∞+0的单调性.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,ππα，且81cos sin =⋅αα，求ααcos sin +的值.22、（本题12分）已知向量()()2,3,2,1-==b a（1）、若向量k +与3-垂直，求k 的值；（2）、若向量b a k +与b a 3-平行，求k 的值.。

一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =- ，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1BC ．2D ．43、（广东文4理10）若向量,a b满足||||1a b ==，,a b的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+- 和(,sin ),2m b m α=+ 其中,,m λα为实数.若2,a b = 则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅（D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=2，=λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 7、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ）A ．23B ．13C ．13-D ．23-8（全国2文9）把函数e xy =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ）A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +9、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =10、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 11、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数错误！未找到引用源。