三角函数与平面向量综合题(合编打印)

姓名________ 成绩________三角函数和平面向量综合测试题160分公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±令βα=得αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ．6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 ．7．已知向量a 与b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是_______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________.12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= .13 在______,02=∠=+⋅∆A AB ABC 则中，若.14.在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB,AC 于不同两点M,N ，若有,,n m ==则m+n=______二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. （本小题满分14分）（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。

平面向量与三角函数综合1. 已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．2. 设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]．(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．3. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )， n ＝(cos B ，cos A )，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA ―→·(AB ―→－AC ―→)＝18，求c .4. 已知向量a ＝(sin x,1)，b ＝(t ，x )，若函数f (x )＝a·b 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则实数t 的取值范围是________．5．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)．(1)若x ＝π6，求向量a ，c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最小值．6．已知向量m ＝(sin α－2，－cos α)，n ＝(－sin α，cos α)，其中α∈R.(1)若m ⊥n ，求角α；(2)若|m －n |＝2，求cos 2α的值．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 且2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．8. 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．9. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(sin A,1)， n ＝(cos A ，3)，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝22，求△ABC 的面积．10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在[0，π2]上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .11. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1,0)和点B (－1,0)，|OC ―→|＝1，且∠AOC ＝x ，其中O 为坐标原点．(1)若x ＝3π4，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC ―→＋OD ―→|的最小值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC ―→，n ＝(1－cos x ，sin x －2cos x )，求m ·n 的最小值及对应的x 值．12. 已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx,0)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象与直线 y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π.(1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．参考答案平面向量与三角函数综合1. 解 (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ. 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 所以θ＝π2或θ＝3π4.2. 解 (1)由|a |＝(3sin x )2＋(sin x )2＝2sin 2x ，|b |＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得sin 2x ＝14. 又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，sin(2x －π6)取得最大值1，所以f (x )的最大值为32.3. [解] (1)由已知得m·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )，∵在△ABC 中，A ＋B ＝π－C,0<C <π，∴sin(A ＋B )＝sin C ，∴m·n ＝sin C ， 又m·n ＝sin 2C ，∴sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12，C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . ∵CA ―→·(AB ―→－AC ―→)＝18，∴CA ―→·CB ―→＝18， 即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，∴c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， ∴c ＝6.4. 解析：由f (x )＝a·b ＝t sin x ＋x ，得f ′(x )＝t cos x ＋1，因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，所以f ′(x )≥0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立， 即t cos x ＋1≥0恒成立，即t ≥－1cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立，所以t ≥⎝⎛⎭⎫－1cos x max ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以t ≥－1. 答案：[－1，＋∞) 5．解：(1)当x ＝π6时，cos 〈a ，c 〉＝a ·c|a ||c |＝－cos x cos 2x ＋sin 2x ·－2＋02＝－cos x＝－cos π6＝－32.又∵0≤〈a ，c 〉≤π，∴〈a ，c 〉＝5π6，即向量a ，c 的夹角为5π6.(2)f (x )＝2a ·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1＝2sin x cos x －(2cos 2x －1) ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎡⎦⎤3π4，2π，故sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22， ∴当2x －π4＝3π2，即x ＝7π8时，f (x )取得最小值为－ 2.6． 解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0，即为－sin α(sin α－2)－cos 2α＝0，即sin α＝12，可得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z.(2)若|m －n |＝2，即有(m －n )2＝2，即(2sin α－2)2＋(2cos α)2＝2， 即为4sin 2α＋4－8sin α＋4cos 2 α＝2，即有8－8sin α＝2，可得sin α＝34，即有cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×916＝－18.7. 解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，∴cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，∴cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.8. 解：m·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. (1)∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m·n ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12， 故1<f (A )<32.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 9. 解 (1)根据m ∥n ，可得到tan A ＝33. 注意到A ∈(0，π)，得到A ＝π6. (2)由正弦定理可得：sin B ＝b sin A 2＝22，因为a <b ，所以A <B ，所以B ＝π4或3π4. 当B ＝π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝21＋34，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝1＋3；当B ＝3π4时，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝23－14，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3－1. 故△ABC 的面积为1＋3或3－1.10．解 (1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos 2x 2＋1＋32sin 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin(2x －π6)＋2， 因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π.(2)由(1)知：f (A )＝sin(2A －π6)＋2. 当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3. 所以2A －π6＝π2，A ＝π3，由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋16－2×4b ×12，∴b ＝2，从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin 60°＝2 3. 综上，A ＝π3，b ＝2，S ＝2 3.11. 解：(1)设D (t,0)(0≤t ≤1)，当x ＝3π4时，可得C ⎝⎛⎭⎫－22，22，所以OC ―→＋OD ―→＝⎝⎛⎭⎫－22＋t ，22，所以|OC ―→＋OD ―→|2＝⎝⎛⎭⎫t －222＋12(0≤t ≤1)，所以当t ＝22时，|OC ―→＋OD ―→|2取得最小值为12，故|OC ―→＋OD ―→|最小值为22. (2)由题意得C (cos x ，sin x )，m ＝BC ―→＝(cos x ＋1，sin x )，则m ·n ＝1－cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos 2x －sin 2x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以π4≤2x ＋π4≤5π4. 所以当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时， m ·n ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4取得最小值1－2， 所以m ·n 的最小值为1－2，此时x ＝π8.12. 解 (1)函数f (x )＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx ＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx＝23cos 2ωx －sin 2ωx ＝3(1＋cos 2ωx )－sin 2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋ 3.令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z)，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z)，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z)．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos 2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。

题目及解答(a+-证法二：由正弦定理，sina b c A+≥⇒+2<三角函数图像变换问题的2，所以2BD =(0,)πθ∈，所以（2）由0[1,1]41010b a bb a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或若4,a b <-则302a b b +<-<<；若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223a b b +≤+<<． （3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤， 由柯西不等式，2222291112[8()]1()8282a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2.第6题 三角形内角平分线定理的2种证法三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于D ，则AB DB AC DC=． 证法一：初中平面几何证法 利用平行线分线段成比例 证明：过D 作DE AC交AB 于E ，则ADE DAC ∠=∠，又DAE DAC ∠=∠，所以DAE DAC ∠=∠，所以AE DE =，又由DE AC 得，DB EB EB AB DC EA ED AC ===，所以AB DBAC DC =． 证法二：高中三角证法 正弦定理法 证明：在△ABD 和△ACD 中，sin sin AB ADBBD BAD ∠=∠， sin sin AC ADCCD CAD∠=∠， 而BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ,BAD CAD ∠=∠sin sin ,ADB ADC ∠=∠所以AB DBAC DC=． 说明：还可以利用面积法第7题 三角形重心定理的2种证法三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．如图，AD BE CF 、、是△ABC 的三条中线，则它们交于一点G ，且2AG BG CGGD GE GF===. 证法一：初中平面几何证法，构造三角形中位线法连接EF ，由已知EF 为△ABC 的中位线， 所以,EFBC 12EF BC =， 设CF BE 、交于1G ，则再由EFBC 得11112BG CG BCG E G F EF===，同理可证AD BE 、的交点2G 满足同样的性质，所以12G G 、重合于G ，且2AG BG CGGD GE GF=== 证法二：高中向量几何证法，利用相等向量法在中线AD 上取点1G 满足112AG G D=，则112AG G D =，于是123AG AD =，又D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，所以11()3AG AB AC =+， 对于平面ABC 内任意点O ，11()3OG OA OB OA OC OA -=-+-所以11()3OG OA OB OC =++，同理在中线BE 上取点2G 满足222BG G E=，则21()3OG OA OB OC =++，在中线CF 上取点3G 满足332CG G F=，则31()3OG OA OB OC =++， 所以123OG OG OG ==，所以123G G G 、、重合于G 且 2.AG BG CG GD GE GF===第8题 垂心定理的2种证法若AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，则AD 、BE 、CF 相交于一点H ．H 叫做△ABC 的垂心．证法一：初中平面几何证法，运用四点共圆性质证明：设△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点H ，连结CH 交AB 于点F ． ∵AD ⊥BC 于E ，BE ⊥AC 于E ，∴A 、B 、D 、E 四点共圆，∴∠1＝∠ABE ， 同理∠2＝∠1，∴∠2＝∠ABE ， ∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90°即CF ⊥AB ．证法二：高中解析几何法，坐标法如图，以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0)，由两条直线垂直的条件1,BE AC ck k a =-=1,CF AB b k k a=-=则三条高的直线方程为：解（2）和（3）得()(),c bx b x c aa-=-()0b c x -=，)0,0(><≠c b c b∴0=x ，这说明BE 和CF 得交点在AD 上，所以三角形的三条高相交于一点。

三角函数、平面向量专题试题集1. 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=ππ的最小正周期为〔 A 〕A ．32πB ．3πC ．8D ．42. 函数)(x f y =的图象的一条对称轴方程为直线x =1，假设将函数)(x f y =的图象向右平移b 个单位后得到y=sin x 的图象，那么满足条件的b 的值一定为 〔 C 〕A ．12-πB ．12+πC ．)(12Z ∈-+k k ππD ．)(12Z ∈++k k ππ3. 在△ABC ，c b a ,,,0=⋅为角A 、B 、C 所对的三条边. 〔1〕求B A t sin sin +=时，t 的取值范围；〔2〕化简abcb ac a c b c b a )()()(222+++++〔用〔1〕中t 表示〕.〔1〕∵⊥∴=⋅,0，∴△ABC 为直角三角形，∴∠A+∠B=2π…………2分 又).4sin(2cos sin sin sin π+=+=+A A A B A …………4分∵ ,20π<<A ∴4344πππ<+<A ， ∴.2)4sin(21≤+<πA …………6分 〔2〕∵,sin ,cos A c a A c b == ∴abcb ac a c b c b a )()()(222+++++AA A A A A A A A A AA c A c A c c c A c A c c A c A c cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin )cos sin ()sin (cos )cos (sin 2222322222+++++=+++++=AA AA A A cos sin cos sin 1cos sin +++++= …………9分].2,1(,121221122∈-+-=-+=-++=t t t t t t t t t …………12分4. 向量a 和b 的夹角为60°，| a | = 3，| b | = 4，那么(2a – b )·a 等于 〔 B 〕 〔A 〕15〔B 〕12〔C 〕6〔D 〕35. )23, 45( ,532sin ππαα∈=．〔Ⅰ〕求cos α的值；〔Ⅱ〕求满足sin(α– x ) – sin (α+ x ) + 2cos α=1010-的锐角x ． 解：〔Ⅰ〕因为παπ2345<<，所以παπ3225<<． 〔2分〕所以αα2sin 12cos 2--==54-， 〔4分〕由1cos 22cos 2-=αα，所以1010cos -=α． 〔6分〕〔Ⅱ〕因为sin(x -α) – sin(x +α) + 2cos 1010-=α， 所以1010)sin 1(cos 2-=-x α， 〔8分〕所以sin x =21， 〔10分〕因为x 为锐角，所以6π=x ． 〔12分〕6. 以下函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 〔 B 〕A ．)32sin(π-=x y B ．)62sin(π-=x yC ．)62sin(π+=x yD ．)62sin(π+=x y 7. 假设)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，那么θ的值是〔 B 〕A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(32Z k k ∈±ππD ．)(4Z k k ∈+ππ8. 向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点〔O 为坐标原点〕，那么XB XA ⋅的最小值是〔 B 〕A ．－16B ．－8C ．0D ．49. 2021年8月，在召开的国际数学家大会会标如下图，它是由4个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，假设直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于〔 D 〕 A ．1 B ．2524-C ．257D ．－25710. α为锐角，β为钝角，ββααtan ,1413)cos(,71cos 则-=+==3-.11. |a |=1，|b |=2，〔1〕假设a //b ，求a ·b ；〔2〕假设a ，b 的夹角为135°，求|a +b |. 解〔1〕b a // ，①假设a ，b 同向，那么2||||=⋅=⋅b a b a……3分 ②假设a ，b 异向，那么2||||-=⋅-=⋅b a b a……3分 〔2〕b a , 的夹角为135°，1135cos ||||-=⋅⋅=⋅∴ b a b a……2分 12212)(||2222=-+=⋅++=+=+b a b a b a b a……2分1||=+∴b a……2分12. 函数3cos 33cos 3sin )(2xx x x f +=〔1〕将k wx A x f ++)sin()(写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；〔2〕假如△ABC 的三边a 、b 、c 成等比数列，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f 〔x 〕的值域.解：〔1〕23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f……3分由.,213)(3320)332sin(Z k k x z k kx x x ∈-=∈=+=+πππ得即 即对称中心的横坐标为.,213Z k k ∈-π ……3分〔2〕由ac b =2..212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a x,30,1cos 21π≤<<≤∴x x……3分.953323.1)332sin(3sin πππππ≤+<≤+<∴x x)(.2323)332sin(3x f x 即+≤++<∴π的值域为]231,3(+ ……2分综上所述，]231,3()(],3,0(+∈值域为x f x π……1分13. 设平面上的动向量a =〔s ，t 〕，b =〔－1，t 2－k 〕其中s ，t 为不同时为0的两个实数，实 数0≥k ，满足a ⊥b ， 〔1〕求函数关系式);(t f s =〔2〕假设函数),1()(+∞=在t f s 上是单调增函数，求证：30≤≤k ；〔3〕对上述0),(=k t f 当，存在正项数列221)()()(}{n n n S a f a f a f a =+++ 满足，其中}{,21n n n a a a a S 试求+++= 通项公式并证明32122221<+++na n a a . 〔1〕解：;)(),(32kt t t f s k t t s -==-+-=⋅得 ……3分 〔2〕证明：),1[03)(2+∞∈≥-='t k t t f 对成立， ……2分 故30,332<≤≤≤k k t k 所以得；……1分〔3〕,0,)(,,3132********>=+⋅=-+++=--n n n n n n n n n n a a S S a a S S a a a S 因为即得由 故,,,2121212121-------=+=+=+n n n n n n n n n n a a a a a S S a S S 两式相减得于是 因为,,1,,1,01312111n a a a S a a a a n n n n n ====->+--所以得又得 ……4分事实上，相加得令,,,4,3,2),111(22n k kk k k =--<.3)11(212122221<-+<+++na n a a n ……4分方法1：222211222112]2)1([]2)1([)1()1()1()0(1x x x x a x x x x a f f -+-+--≤≤;5,4,,4,16212=>≠≥≤a a x x a a 故得又得方法2：由得由,20120,041202a b a b ac b a b ->><-<⎪⎩⎪⎨⎧>-<-<得042>-ac b.4,21),(12),(1,2>≥+>+->-+->-<a c a c a ac c a b ac b 得得得结合14. 假如函数)20)(sin()(πθθπ<<+=x x f 的最小正周期是T ，且当2=x 时获得最大值，那么〔 A 〕A ．2,2πθ==T B ．πθ==,1T C ．πθ==,2T D ．2,1πθ==T15. 在ABC ∆中，C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是〔 B 〕 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 16. 3322cos2sin=+θθ，那么θsin 的值是31，θ2cos 的值是97。

约稿：三角函数与平面向量综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。

1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sinθθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( )A.21 B.32C.22D.236. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是( )A.-2B.2C.1D.-17. α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.BACD②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+=⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）A ．π25B ．π45C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2A Bi j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

月考复习1. 已知2||=a ，3||=b ，a 与b 的夹角为︒120。

求（1）(2)(3)a b a b -⋅+. （2）||b a-2.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y轴上的截距为1，相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．求()f x 的解析式；3. 已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．4.已知函数2()=sin (2+)+sin(2)+2cos 133f x x x x ππ--，x R ∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.5.已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)(x g ＝22sin 2x . (1)若σ是第一象限角，且)(σf＝5，求)(σg 的值；(2)求不等式)()(x g x f ≥．6. 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求：（I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．7.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围．8.已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．9.已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．10.已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域11.已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a()1,2=.(1)若52||=c ，且c //a ，求c 的坐标；(2) 若|b |=,25且a +2b 与b a -2垂直，求a 与b的夹角.12（2011广东卷理）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求θsin 和θcos 的值；（2）若sin()102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．13.（2011湖南卷理）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。

三角函数与平面向量综合测试卷班级：____________ 姓名：________________ 座号：______一、选择题（12*5=60分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案1．cos75 ·cos15 的值是( ) A ．12 B ．14C ．32D ．342．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是: ( )A ．sin 2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-3．sin 225︒＝( )A ．22- B ．22C ．－1D ．1 4.函数y=sin(2x +3π)的一条对称轴为：( ) A ．x=2π B ．x= 0 C ．x=－6π D ．x =12π5．如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限6．如果21)cos(-=+A π，那么=+)2sin(A π（ ）Ａ、21-Ｂ、21Ｃ、 23- Ｄ、237．o o o o sin71cos26-sin19sin26的值为（ ）A ．12B ．1C ．－22 D ．22 8．化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ．AB B ．DAC ．BCD ．0 9．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）A 、向左平行移动3π个单位长度B 、向右平行移动3π个单位长度C 、向左平行移动6π个单位长度D 、向右平行移动6π个单位长度11．在[0，2π]上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ32,6D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 12．在（0，2π）内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是 （ ）A ．（4π,2π）⋃（π,45π） B ．（4π,π）C ．（4π,45π） D ．（4π,π）⋃（45π,23π） 二、填空题（4*5=20分） 13．若3a = ,2b = ，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。

讲座三角形内的三角函数问题○知识梳理1.内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.，2.正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：；；；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.3.余弦定理：等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.4.面积公式：（其中为三角形内切圆半径,）.5.射影定理：a＝b·cos C＋c·cos B，b＝a·cos C＋c·cos A，c＝a·cos B＋c·cos A．特别提醒：求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

○浙江真题1．（2010年（18））在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．2．（2011（18））在中，角所对的边分别为a，b，c，已知且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求p的取值范围。

3．（12年样卷） (18) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan (A＋B)＝2．(Ⅰ) 求sin C的值；(Ⅱ) 当a＝1，c＝时，求b的值．○例题分析【例1】 (2011年高考陕西卷理科18)（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理【例2】 (2011年高考湖南卷理科17)（本小题满分12分） 中，角所对的边分别为，且满足. 在ABC求角的大小；求的最大值，并求取得最大值时角的大小.【例3】已知圆内接四边形ABCD的边长AB=2，BC=6，CD=DA=4.求四边形ABCD的面积.【例4】 (2011年高考全国卷理科17) (本小题满分l0分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.【例5】 (2011年高考山东卷理科17)（本小题满分12分）在ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）若cosB=，,求ABC的面积.○巩固练习1.(2011年高考辽宁卷理科4)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（）(A) (B) (C) (D)22、在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，（）A． B． C． D．3. (2011年高考天津卷理科6)如图，在△中，是边上的点，且，则的值为（）A． B． C． D．4.(2011年高考重庆卷理科6)若ABC∆的内角所对的边满足，且，则的值为（A） (B) (C)1 (D)5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则。

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B2的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π2，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值.题型四 三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =．（1）求cos C ；（2）若52CB CA ⋅=u u u r u u u r ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =⋅r r ，其中向量(,cos 2)a m x =r，(1sin 2,1)b x =+r ，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。

掌握三角函数与向量运算的综合算式练习题在数学中，三角函数和向量运算是两个重要的概念和工具。

掌握这两个概念对于解决数学问题以及在物理学、工程学等领域中的应用至关重要。

本文将提供一系列综合算式练习题，旨在帮助读者巩固对三角函数和向量运算的掌握。

1. 三角函数练习题1.1 计算下列三角函数的值，并化简结果：(1) sin(π/6) + cos(π/3)(2) tan(π/4) - sec(π/6)(3) csc(π/4) + cot(π/3)1.2 求解下列方程，其中0 ≤ θ ≤ 2π：(1) sin(θ) = 1/2(2) cos(θ) = -1(3) tan(θ) = √32. 向量运算练习题2.1 已知向量A = (3, -4)和B = (-2, 1)，求解下列向量运算：(1) A + B(2) A - B(3) 2A - B2.2 已知向量C = (2, 5)和D = (-3, 2)，求解下列向量运算：(1) |C|(2) |D|(3) C · D （C与D的数量积）3. 三角函数与向量运算综合题3.1 已知三角形ABC，其中∠BAC = 60°，AB = 5cm，AC = 8cm。

若以A为原点建立直角坐标系，向量AB和向量AC分别为向量a和向量b，则求解以下问题：(1) 向量a的模(2) 向量a与向量b的数量积(3) ∠B3.2 已知两个向量E = (3, -2, 5)和F = (1, 4, -2)，求解下列向量运算：(1) |E|(2) |F|(3) E · F （E与F的数量积）以上练习题旨在综合应用三角函数与向量运算的知识进行推导和计算。

通过解答这些练习题，读者可以提高对这两个重要概念的理解，并加强在实际问题中应用它们的能力。

写作风格注意事项：1. 请用规范的数学符号和公式来描述算式；2. 请保持语句通顺、结构清晰，以确保读者能够清晰理解解题过程；3. 请使用适当的段落划分来整理文章结构，以便读者能够更好地理解和跟踪练习题的解答过程。