向量和三角函数综合试题(卷)

向量与三角函数综合试题

1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ）

A.3π

B.3π2

C. 2π

D.6π

2．已知向量),(n m a =，)sin ,(cos θθ=b ，其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =，则当2

λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值围是

（ B ）

A ．2>λ或2-<λ

B ．2>λ或2-<λ

C ．22<

<-λ

D ．22<<-λ

3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2

+y 2

=1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3

4，

－3

2)，则OP ·OQ 的值是

（ A ）

A ．18

25

B ．9

25

C ．2

D ．9

16

4．R t b t a u b a ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0

0，则|u |的最小值是B A. 2 B.

22 C. 1 D. 2

1

5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =,向量(2,2)OC =,向量(22)CA αα=,则向量OA 与向量OB 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0,

]4π

B ．5[,]412ππ

C ．5[,]122ππ

D ．5[,]1212

ππ

7．已知向量(1,1),(1,1),(2cos 2)a b c θθ==-=,实数,m n 满足ma nb c +=,则

22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ）

A 21

B ．1

C 2

D ．322-

8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =，

若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE 的值是（ B ）

B ．）

（ ）

A ．34

-

B ．89

-

C ．14

-

D ．不确定

9．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(

,

)22ππ

α∈，若

1AC BC ⋅=-，则

21tan 2sin sin 2α

αα

++的值为（ B ）

A ．59

-

B ．9

5

- C ．2

D ．2-

10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若•=1，则AB 的长为（ C ） A ． B ． C ． D ．1

解：如图：

∵四边形ABCD 为平行四边形，∴，， ∴== ==，

∴．∵，∴．∴AB 的长为．

11．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则

→

→

-b a 的最大值是 2 ．

12．已知且，是钝角，若的最小值为，则的最小值是 。 13．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o

.

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________.2

14．已知向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R c b a ∈=-==ααα，实数,m n 满足

,ma nb c +=则22(3)m n -+的最大值为 16

15．在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点）

，则DM AP •的取值围是 ．[1

2

-，1] 16．在△ABC 中，，是边上任意一点（与不重合）， 且，则等于 ．

17.已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，=x+y ，且2x+10y=5，则边BC 的长为 4 ． 解：分别取AB ，AC 的中点为D ，E ，并连接OD ，OE ，根据条件有：OD⊥AB，OE⊥AC； 在Rt△OAD 中，cos∠OAD===； ∴=；

同理可得，；

∴=36x+60ycos∠BAC ①

=60xcos∠BAC+100y ②

又2x+10y=5 ③

∴由①②③解得cos∠BAC=；

由余弦定理得：，∴BC=．

故答案为：．

18.已知向量=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），•=cos2C，其中A、B、C为△ABC的角．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的长．

解：（Ⅰ）∵=（cosA，﹣sinA），=（cosB，sinB），

∴•=cos2C，即cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=﹣cosC=cos2C，…（2分）

化简得：2cos2C+cosC﹣1=0，…（4分）

故cosC=（cosC=﹣1舍去）

∵C∈（0，π），∴C=．…（7分）

（Ⅱ）∵，∴•cos=36，即•=36．①…（9分）

由余弦定理得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=36，

化简得：AC+BC=12 ②…（12分）

联解①②，可得AC=BC=6．

19．已知向量，向量与向量的夹角为，且．（1）求向量；（2）若向量与共线，向量，其中A、C为△ABC的角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值围．

解：（1）设．由，得x+y=﹣1①

又向量与向量的夹角为得=，即x2+y2=1②

由①、②解得或，

∴或．…（5分）

（2）结合（1）由向量与共线知；

由A、B、C依次成等差数列知．…（7分）

∴，

∴=

=．…（10分）

∵，

∴，∴，

∴，∴．…（12分）

20.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，a=且b+c=3，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）∵向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），

∴函数f（x）=•﹣3

=﹣3

==．

故函数f（x）的最小正周期．