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正弦交流电路中纯电感元件上电压、电流、电动势关系

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1
论正弦交流纯线性电感电路中
电压、电流和自感电动势的相位关系
魏培钦
(2008.06.10)
摘要：纯线性电感电路中电压、电流和自感电动势的相位关系早已有结论——电压超前电流
90，电流超前自感电动势
90
。可是到目前为至，本人所见的教科书在推导上述结论时都以根

本不可能存在的电压、电流、自感电动势的正方向关系为推论的基础，也没有完整清楚地分析电
流的变化趋势与自感电动势相位的关系，“虛晃一枪”而过，令学生困惑难已。本文以电压和电
动势方向的规定、法拉第电磁感应定律、楞次定律、基尔霍夫电压定律为基础，既完整分析电流
的变化趋势对电压、电流、自感电动势之间相位关系的影响，又以真实的电压、电流、自感电动
势的正方向关系建立电压方程，论述纯线性电感电路中电压、电流和自感电动势的相位关系，使
学生能更好地理解和掌握纯线性电感电路中电压、电流和自感电动势的相位关系。
一、本人所见的教科书对纯线性电感电路中电压、电流和自感电动势的相位关系的推导过程
和存在“问题”
图1所示电路中，变化的电流经过电感元件L时，电感元件L就产生自感电动势来阻碍电流
的变化。设电路中电阻和电容可忽略不计，L是线性电感元件，并且电压、电流和自感电动势的
正方向如图所示，则：

L
ddieLdtdt


（1—1）

根据基尔霍夫电压定律得：dtdiLeuLL （1—2）
设tIimsin，则：
(sin)cossin(90)sin(90)(13)mLmmmdidIt
uLILtdtdtILtUt



sin(90)sin(90180)sin(90)(14)LLmmmdieuLUtdtUtUt

所以，Lu比i超前90，i比Le超前90。
显然，上述的推导过程简洁正确，但存在如下令学生费解的“问题”：
1．Lu、i、Le之间显然不存在着图1所示的正方向关系，由这一根本不存在的电压、电

流、自感电动势之间的正方向关系得出dtdiLdtdeL，并建立方程dtdiLeuLL。过
程交代不够清楚，颇有“虛晃一枪”而过之嫌。为什么推导过程要建立在根本不存在的电压、电
流、自感电动势之间的正方向关系的基础上？若Le的正方向如图1所示，则Lu的正方向应从b指

L
u
L

e

i

图1
a

b
2

向a，这时得出的方程却是LLdiueLdt，与dtdiLeuLL不是正好相反吗？。怎解呢？
多数教师在讲解时往往不解释这个“问题”，书云亦云，照本宣科，令学生困惑难已，对于踏实
认真、又喜欢思考的学生尤其如此。

2．Le的正方向与i的变化趋势有关，图1所示的i与Le的方向关系，显然只有在0didt时

才是对的；若0didt，Le的正方向就与图1所示的方向相反了。喜欢思考的学生当然迷惑：此
时电压方程（1－2）还成立吗？如果不成立，则此时的电压方程如何？由电压方程（1－2）导出
的结论还正确吗？显然，确定i与Le的正方向关系，只考虑0didt时的电流的变化趋势而不考虑

0didt
时的电流的变化趋势，似不完整和欠缺说服力，至少是令学生费解的。

二、既分析电流的变化趋势对电压、电流、自感电动势之间相位关系的影响，又以真实的电压、
电流、自感电动势的正方向关系为基础论述纯电感电路中电压、电流和自感电动势的相位关系
设图1电路中的电感L是线性电感元件，电路中电阻和电容忽略不计，电路中的电流经变化
时，电感元件L就产生自感电动势来阻碍电流的变化，电流增大时自感电动势Le为负，电流减小

时自感电动势Le为正，即LdieLdt；线圈的端电压Lu、自感电动势Le的大小分别为Lu和

L
e
；从a端指向b端的电压Lu、电动势Le和从a端流向b端的电流i为正，从b端指向a端的

电压Lu、电动势Le和从b端流向a端的电流i为负。则电流从a流向b并转为从b流向a变化一
周过程中的i、Lu、Le的实际正方向关系如图2、图3、图4、图5所示：

1. 0i且0didt时，电路中有自感电动势产生，根据KVL，电流i、电压Lu、自感电动势
L
e
的正方向关系如图2所示，得：

LL
ue
，∵Lu为正，Le为负，∴LLue

i
图2
0i
，0didt

时i、Lu、Le
的正方向关系

L
e
i
L
e
L

e

L
u

a

b
a

a

a

b
b
b
i
i

L
e
图3 0i，0didt 时i、Lu、Le 的正方向关系 图4 0i，0didt 时i、Lu、Le 的正方向关系 图5
0i
，0didt

时i、Lu、Le
的正方向关系

L
u
L
u

L

u

L
u
3

2. 0i且0didt时，电路中有自感电动势产生，根据KVL，电流i、电压Lu、自感电动势
L
e
的正方向关系如图3所示，得：

LL
ue
，∵Lu为负，Le为正，∴LLue

3. 0i且0didt时，电路中有自感电动势产生，根据KVL，电流i、电压Lu、自感电动势

L
e
的正方向关系如图4所示，得：

LL
ue
，∵Lu为负，Le为正，∴LLue

4. 0i且0didt时，电路中有自感电动势产生，根据KVL，电流i、电压Lu、自感电动势

L
e
的正方向关系如图4所示，得：

LL
ue
，∵Lu为正，Le为负，∴LLue

所以，无论电流是正是负，是增是减，只要设定电流i与自感电动势Le同向时Le为正，反向
时Le为正，就必有LdieLdt，LLdiueLdt。
设sinLmiIt，则：
(sin)cossin(90)sin(90)LmLLmLmLmdidIt
uLILtILtUtdtdt

sin(90)sin(90180)sin(90)LLLmLmLmeuUtUtUt
所以，Lu比i超前90，i比Le超前90。Luie、、的相位关系如图6所示。
L
uie、、
u
i

L
e

18027036006uie图、、 的相位关系图 tiLeiLeLeabaaabbbiiLeLuLuLuLu0i 0didt0i 0didt0i 0didt0i 0didt90
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电工学课件--第三章 正弦交流电路

电工学课件--第三章 正弦交流电路


U • o I= U =U 0 ∠ R
• •
u =Um sinω t u Um i = = sinω = Im sinω t t R R
U =I R
U =I R
•
•
可见： 可见：电压与电流同相位 ui
i
u
•
IU
•
I
•
U
+−
2．功率关系
ui
i
⑴ 瞬时功率
•
u
IU
p=ui=UmImsin2ωt =UI(1-cos2ωt)
角频率ω: 单位时间里正弦量变化的角度 称为角频率。单位是弧度/秒 （rad/s）. ω=2π/T=2πf 周期，频率，角频率从不同角度描 述了正弦量变化的快慢。三者只要知 道其中之一便可以求出另外两时值， 瞬时值中最大的称为最大值。Ｉm、 Ｕ m 、Ｅ m 分别表示电流、电压和电动 势的最大值. 表示交流电的大小常用有效值的概 念。
单位是乏尔（Var） 单位是乏尔（Var）
第四节 RLC串联交流电路 串联交流电路 一.电压与电流关系
i R u L C
uR uL
u =uR +uL +uC
U =UR+UL+UC
• • • •
uC
以电流为参考相量， 以电流为参考相量， 相量图为： 相量图为：
•
UL UL+UC
φ
• • • •
•
U I
•
U
φ UR
UL-UC
UR
UC
2 可见： 可见： U = UR +(UL −UC)2
U L −UC X L − XC = arctg = arctg UR R
电工电子技术-第2章 正弦交流电路

电工电子技术-第2章 正弦交流电路

区别与一般复数，相量的头顶上一般加符号“·”。 例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
•
I m = 14.1∠36.9°A
其有效值相量为：I• = 10∠36.9°A
由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两要素即可。即模值对应正弦量的最大值或 有效值，幅角对应正弦量的初相。
i u u、i 即时对应！ R
电流、电压的瞬时值表达式
设 i Im sin t u、i 同相！
则 u ImR sin t Um sin t
u、i最大值或有效值之间符
合欧姆定律的数量关系。
Um ImR
或
U IR
•
相量关系式
•
I
U
U0
U
0 I0
RRR
相量图
U
I
（2）电阻元件上的功率关系
3
C -4
D
D 3 j4 第四象限 D 5 arctan 4
3
上式中的j 称为旋转因子，一个复数乘以j相当于在复
平面上逆时针旋转90°；除以j相当于在复平面上顺时针
旋转90°。
※数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别 于电流而改为j。
正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。为
乘、除时用极坐标形式比较方便。
在复数运算当中，一定要根据复数所在象
限正确写出幅角的值。如：
+j
B4
A
A 3 j4 第一象限 A 553.1arctan 4 3
B 3 j4 第二象限 B 5180 arctan 4
-3 0
3
+1
3
《电工基础》第5章 正弦交流电路ppt课件

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最新课件
11
三、正弦交流电的变化范围
1. 最大值 ：正弦交流电在一个周期所能达到的 最大瞬时值，又称峰值、幅值。
用大写字母加下标m表示，如Em、Um、 Im。
2.有效值 ：加在同样阻值的电阻上，在相同的 时间内产生与交流电作用下相等的热量的直 流电的大小。
用大写字母表示，如E、U、I。
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14
• 用数字万用表测量正弦交流电压时要选择交流
挡，测量的结果是电压有效值；若不慎错用直 流挡，则显示为零。
用直流挡测量市电显示为零
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• 用数字万用表测量直流电压时要选择直流挡， 测量的结果是电压平均值；若不慎错用交流挡， 则显示为零 。
用交流挡测量最叠新层课电件池显示为零
16
（1）同一相量图中，相同单位的相量应按相 同比例画出。
（2）一般取直角坐标轴的水平正方向为参考 方向，逆时针转动的角度为正，反之为负。
（3）用相量图表示正弦交流电后，它们的加、 减运算可按平行四边形法则或三角形法则进行。
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§5-3 单一参数的交流电路
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一、纯电阻电路
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QCUCICIC 2XCU XC C 2
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§5-4 LC谐振电路
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一、RLC串联电路
• 1．电压三角形 如图所示为RLC串
联电路，为正弦交流 电压，这三个元件流 过同一电流，电流与 各元件电压参考方向 如图所示。
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• 设电流的解析式为
iImsint
• 电阻、电感和电容两端的电压分别为
正弦交流电路

正弦交流电路


如果两个频率相同的交流电的相位也相同， 那么它们的相位差为零，此时称这两个交流电 同相，即它们变化的进程一样，总是能够在同 一时刻达到最大值和零，并且方向相同。如果 两个频率相同的交流电的相位差为180°，则 称这两个交流电反相。它们变化的进程相反， 一个到达正的最大值时，另一个恰好到达负的 最大值。
交流电变化一周还可以利用2π弧度或360°来表征。 也就是说，交流电变化一周相当于线圈转动了2π弧度 或360°。如果利用角度来表征交流电，那么每秒内交 流电所变化的角度被称为角频率。角频率通常利用ω 来表示，单位是弧度/秒（rad/s）。 交流电的周期、频率和角速度主要是用来描述交流 电变化快慢的物理量，它们之间的关系是： T=1/f （4-3） ω=2πf=2π/T （4-4） 2.幅值 交流电在每周变化过程中出现的最大瞬时值称为 幅值，也称为最大值。交流电的幅值不随时间的变化 而变化。
三、正弦交流电的有效值、平均值和相位差 在工程中，有时人们并不关心交流电是否变化和怎样变化，而是关 心交流电所产生的效果。这种效果常利用有效值和平均来表示。 1有效值 有效值是根据电流的热效应来定义的。让交流电流和直流电流分别 通过具有相同阻值的电阻，如果在同样的时间内所产生的热量相等， 那么就把该直流电流的大小叫做交流电的有效值。理论分析表明， 交流电的有效值和幅值之间有如下关系：
第四章 正弦交流电路
知识目标 本章主要介绍正弦交流电的基本知识，包括交流电的 产生原理、交流电的表征方法；讨论纯电阻、纯电感、 纯电容等简单交流电路的特点；分析电阻、电感、电 容串联电路的特点；介绍交流电路的功率概念。 学习目标 1.了解正弦交流电的产生原理。 2.了解正弦交流电的周期、频率、角频率、幅值、 初相位、相位差等特征量，理解正弦交流电的解析式、 波形图、相量图、三要素等概念。 3.掌握正弦交流量有效值、平均值与最大值之间 的关系，以及同频率正弦量的相位差的计算。