福建省厦门双十中学2014届高三5月模拟数学文试题 Word版含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔 〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔 〕 〔A 〕圆柱 〔B 〕圆锥 〔C 〕四面体 〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔 〕 〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =， 则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不 正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函 数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕 〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=； 当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ． 【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕()f x 是偶函数 〔B 〕()f x 是增函数 〔C 〕()f x 是周期函数 〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔 〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔 〕〔A 〕 〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ． 【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔 〕 〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ． 【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为 ． 【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于 ． 【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒， 则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23． 【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 ．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =． 【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． 〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：解法一： 〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=． 〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+， 〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==． 〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====． 即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕． 〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可 能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同 理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =． 〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=． 假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=． 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ． 由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<， 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=． 【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <． 解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递 增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只 要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >， 所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． 〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ． 〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特 征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕． 〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。

2014年福建省漳州市高考数学适应性试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合P ={y|y =√x, x ≥0}，P ∩Q =Q ，则集合Q 不可能是（ ） A ⌀ B {y|y =x 2} C {y|y =2x } D {y|y =lgx}2. 向量a →=(3, 4)，b →=(x, 2)，若a →⋅b →=|a →|，则实数x 的值为（ ） A −1 B −12 C −13 D 13. 等比数列a n 的前三项依次为1，a ，116，则实数a 的值是（ ） A 14 B −14 C 14或−14 D 不确定4. 设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（ ）A 若b ⊂α，c // α，则b // cB 若b ⊂α，b // c ，则c // αC 若c // α，α⊥β，则c ⊥βD 若c // α，c ⊥β，则α⊥β5. 函数f(x)=sinωx +cos(ωx +π6)的图象上相邻两条对称轴间的距离是23π，则ω的一个值为（ ）A 23 B 43 C 32 D 346. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应边的边长，若a =1,b =√3，则“A =30∘”是“B =60∘”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7. 如图是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为( )A 85，84B 84，85C 86，84D 84，868. 直线l 经过A(2, 1)、B(1, m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A [0, π) B [0,π4]∪[34π,π) C [0,π4] D [0,π4]∪(π2,π)9. 某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备． A 10 B 11 C 13 D 2110. 双曲线x 23−y 2b 2=1的一条渐近线与圆(x −2)2+y 2=2相交于M 、N 两点且|MN|=2，则此双曲线的焦距是（ ） A 2√2 B 2√3 C 2 D 411. 设函数f(x)={x 2−6x +6,x ≥03x +4,x <0 ，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f(x 1)＝f(x 2)＝f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的取值范围是（ ） A (113,6) B [113,6] C (203,263) D (203,263]12. 在计算机语言中有一种函数y =int(x)叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示不超过x 的最大整数，如int(0.9)=0，int(3.14)=3，已知17=0.1˙4˙2˙8˙5˙7˙，令a n =int(10n 7)，b 1=a 1，令当n >1时，b n =a n −10a n−1(n ∈N ∗)，则当n >1时，则b 2014=( ) A 2009 B 8 C 2010 D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡相应位置. 13. 计算：1log 53+log 3115=________．14. 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是________．15. 若函数f(x)=2x 2−lnx 在区间(k −1, k +1)内有定义且不是单调函数，则实数k 的取值范围为________．16. 复数z 的共轭复数记为z ¯，复数z 、z ¯分别对应点Z 、Z ¯．设A 是一些复数对应的点组成的集合，若对任意的Z ∈A ，都有Z ¯∈A ，就称A 为“共轭点集”．给出下列点集：①{(x, y)|x 2+(y −1)2≤1}； ②{(x, y)|{y >2x −4y <−2x +4x >0}； ③{(x, y)|x 22−y 2=1}；④{(x, y)|y =2x }．其中是“共轭点集”的有________．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．(Ⅰ)若x 1=13，求x 2；(Ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．18. 已知正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．（1）从C、D、E、F、G、H这六个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方为ξ，求概率P(ξ≤4)．（2）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足|PE|<2的概率．19. 已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=3，若数列{S n+1}是公比为4的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=a n+1，n∈N∗，求数列{b n}的前n项和T n．(a n+1−3)⋅S n+120. 如图，圆C：(x+2)2+y2=36，P是圆C上的任意一动点，A点坐标为(2, 0)，线段PA的垂直平分线l与半径CP交于点Q．（1）求点Q的轨迹G的方程；（2）已知B，D是轨迹G上不同的两个任意点，M为BD的中点．①若M的坐标为M(2, 1)，求直线BD所在的直线方程；②若BD不经过原点，且不垂直于x轴，点O为轨迹G的中心．求证：直线BD和直线OM的斜率之积是常数（定值）．21. 一个空间几何体G−ABCD的三视图如图所示，其中A i，B i，C i，D i，G i(i=1, 2, 3)分别是A，B，C，D五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形A1B1C1D1为正方形且A1B1=2a；在左视图中A2D2⊥A2G2，俯视图中A3G3=B3G3，（1）根据三视图作出空间几何体G−ABCD的直观图，并标明A，B，C，D，G五点的位置；（2）在空间几何体G−ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在直线CG上，求证：平面AGD⊥平面BGC；（3）在（2）的条件下，求三棱锥D−ACG的体积及其外接球的表面积．22. 已知f(x)=xlnx，g(x)=−x2+ax−3．（1）求函数f(x)在[t, t+1](t>0)上的最小值；（2）对一切x∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈(0, +∞)，都有lnx>1e x −2e x成立．2014年福建省漳州市高考数学适应性试卷（文科）（5月份）答案1. D2. A3. C4. D5. C6. B7. A8. D9. A10. D11. A12. B13. −114. 12715. 1≤k<3216. ②③17. （1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（2）依题意得y1＝sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1＝2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得cos2α＝0．因为π6<α<π2，所以π3<2α<π，所以2α=π2，即α=π4．18. 解：（1）从C 、D 、E 、F 、G 、H 这六个点中，随机选取两个点，共有C 62=15种，其中DE ，DF ，CE ，CH 两个点之间的距离的平方为5，不满足题意，∴ P(ξ≤4)=1−415=1115…（2）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是2×2=4．满足|PE|<2的点P 构成的平面区域是以E 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以E 为圆心、2为半径、圆心角为π3的扇形的内部与两个直角边分别为1和√3的直角三角形内部构成． 其面积是12×π3×22+2×12×1×√3=2π3+√3．所以满足|PE|<2的概率为2π3+√34=π6+√34… 19. 解：（1）S n +1=(S 1+1)⋅4n−1=4n ，∴ S n =4n −1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3⋅4n−1，且 a 1=3，∴ a n =3⋅4n−1， 所以数列{a n }的通项公式为a n =3⋅4n−1．… （2）b n =a n+1(an+1−3)⋅S n+1=4n(4n −1)(4n+1−1)=13(14n −1−14n+1−1)，T n =b 1+b 2+⋯+b n =13(141−1−142−1)+13(142−1−143−1)+⋯+13(14n −1−14n+1−1)=13(141−1−14n+1−1)=19−13(4n+1−1)．…20. 解：（1）圆C 的圆心为C(−2, 0)，半径r =6，|CA|=4． 连结QA ，由已知得|QA|=|QP|，∵ |QC|+|QA|=|QC|+|QP|=CP =r =6>|CA|．根据椭圆的定义，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为焦点，长轴长等于6的椭圆， 即a =3，c =2，b 2=a 2−c 2=9−4=5， ∴ 点Q 的轨迹G 的方程为x 29+y 25=1．（2）①设B 、D 的坐标分别为(x 1, y 1)、(x 2, y 2)，则{5x 12+9y 12=455x 22+9y 22=45两式相减，得5(x 1−x 2)(x 1+x 2)+9(y 1−y 2)(y 1+y 2)=0， 当BD 的中点M 的坐标为(2, 1)时，有{x 1+x 2=4y 1+y 2=2，∴ 20(x 1−x 2)+18(y 1−y 2)=0，即k BD =y 1−y 2x 1−x 2=−109．∴ BD 所在的直线方程为y −1=−109(x −2)，即10x +9y −29=0．②证明：设B(x 1, y 1)，D(x 2, y 2)，且x 1≠x 2， 由①可知k BD =y 1−y 2x 1−x 2=−5(x 1+x 2)9(y 1+y 2)，又k OM =y 1+y 2x 1+x 2∴ k BD ⋅k OM =−5(x 1+x 2)9(y 1+y 2)×y 1+y 2x 1+x 2=−59（定值）．21. 解：（1）空间几何体的直观图如图所示，（2）在空间几何体G −ABCD 中，平面ABCD ⊥平面ABG ，四边形ABCD 为正方形， AG =BG =√2a ，AB =2a ， 故AG ⊥BG∵ 平面ABCD ⊥平面ABG ，面ABCD ∩平面ABG =AB ，CB ⊥AB ， ∴ CB ⊥平面ABG ，故CB ⊥AG 又AG ⊥BG ，∴ AG ⊥平面BGC ． ∴ 平面AGD ⊥平面BGC（3）由（2）知，AG ⊥GB ，AG ⊥CG ， ∴ △ABG 为等腰直角三角形，过点G 作GE ⊥AB 于点E ，则GE =12AB =a ，AG =BG =√2a ∴ V D−ACG =V G−ADC =13⋅12AD ⋅DC ⋅GE =23a 3…取AC 的中点M ，由于△AGC 和△ACD 均为直角三角形， 所以MD =MG =MA =MC =12AC =√2a∴ M 是四棱锥D −ACG 的外接球的球心，半径为√2a ， S 球=4π(√2a)2=8πa 2… 22. 解：（1）∵ f′(x)=lnx +1，当x ∈(0, 1e )，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(1e , +∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， ①0<t <1e <t +1，即0<t <1e 时，f(x)min =f(1e )=−1e ，f(x)min =f(t)=tlnt ②1e ≤t <t +1，即t ≥1e 时，f(x)在[t, t +1]上单调递增，f(x)min =f(t)=tlnt ，∴ f(x)min={−1e ，0<t <1etlnt,t ≥1e（2）2xlnx ≥−x 2+ax −3，则a ≤2lnx +x +3x ， 设ℎ(x)=2lnx +x +3x ，x >0，则ℎ′(x)=(x+3)(x−1)x 2，①x ∈(0, 1)，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， ②x ∈(1, +∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，∴ ℎ(x)min =ℎ(1)=4，对一切x ∈(0, +∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， ∴ a ≤4．（3）问题等价于证明xlnx >x e 2−2e(x ∈(0,+∞))，由（1）可知f(x)=xlnx ，（x ∈(0, +∞)）的最小值是−1e ，当且仅当x =1e 时取到， 设m(x)=xlnx >x e2−2e(x ∈(0,+∞))，则m′(x)=1−x e x，易知m(x)min =m(1)=−1e ，当且仅当x =1时取到， 从而对一切x ∈(0, +∞)，都有都有lnx >1e x−2e x成立．。

2014-2015学年福建省厦门双十中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）Q为有理数集，设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．φ∉A B．∉A C．∈A D．{}⊆A2．（3分）如图，U是全集，M、P是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（∁U P）B．M∩P C．（∁U M）∩P D．（∁U M）∩（∁U P）3．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）4．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（b，c）和（c，+∞）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（a，b）和（b，c）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内5．（3分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a6．（3分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣1，0）7．（3分）已知函数f（x）=log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（）A．B．C．D．8．（3分）若函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，则f（x）一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈（﹣∞，0）上单调递减D．在x∈（0，+∞）上单调递减9．（3分）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]内，函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[3，+∞）D．（1，3]二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为．12．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log43=．（用a，b表示）13．（4分）若B={﹣1，3，5}，试写出一个集合A=，使得f：x→2x﹣1是A到B的映射．14．（4分）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低原来的，现在价格为8100的计算机，则9年后价格可将为．15．（4分）已知函数f（x）=，某同学利用计算器，算得f（x）的部分与x的值如表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …f（x）…﹣0.4697 ﹣0.4412 ﹣0.3889 ﹣0.30 ﹣0.1667 00.1667 0.30 0.3889 …请你通过观察，研究后，描述出关于f（x）的正确的一个性质（不包括定义域）16．（4分）关于函数f（x）=（a＞0，a≠1），有以下命题：①函数图象关于轴对称；②当a＞1时，函数在（1，+∞）上为增函数；③当0＜a＜1时，函数有最大值，且最大值为a2；④函数的值域为（a2，+∞）．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题写出必要的文字说明，推演步骤．）17．（8分）已知集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，，B={y|y=﹣x2+2x﹣1}．（1）求A∩B；（2）设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．18．（8分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：f（x）=（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？19．（8分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1﹣2．（Ⅰ）若a=1，求f（log23）的值；（Ⅱ）某同学研究的值域时的过程如下，请你判断是否正确，如果不正确，请写出正确的过程．f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2∴f（x）的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．20．（8分）函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．21．（10分）定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜﹣2；②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．（Ⅰ）求出f（1）的值；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x﹣1）＞﹣4；（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．22．（10分）已知函数f（x）=为偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的判断．（Ⅲ）是否存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，若存在，求出λ的取值范围，若不存在说明理由．2014-2015学年福建省厦门双十中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）Q为有理数集，设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（）A．φ∉A B．∉A C．∈A D．{}⊆A考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：注意到集合A中的元素是有理数，从而判断．解答：解：由题意，∅⊆A，∉A，故选B．点评：本题考查了元素与集合的关系及集合与集合的关系，属于基础题．2．（3分）如图，U是全集，M、P是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．M∩（∁U P）B．M∩P C．（∁U M）∩P D．（∁U M）∩（∁U P）考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：U为全集，M，P是集合U的子集，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案．解答：解：由已知中阴影部分在集合M中，而不在集合P中故阴影部分所表示的元素属于M，不属于P（属于N的补集）即（C U P）∩M故选A．点评：本题考查了Venn图表达集合的关系及集合运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．3．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，2）∪（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，2）D． [1，+∞）考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可．解答：解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝）故选A点评：本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键．4．（3分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）A．（b，c）和（c，+∞）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（a，b）和（b，c）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．解答：解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．故选C．点评：熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．5．（3分）设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较．专题：计算题．分析：要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．解答：解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选B．点评：本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．6．（3分）已知函数f（x）满足f（x﹣1）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，2）C．（﹣∞，0）D．（﹣1，0）考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的解析式，然后再求不等式f（x）＜0的解集．解答：解：令x﹣1=t，∴x=t+1，t+1＞0，所以f（t）=lg（t+1），函数f（x）的解析式为：f（x）=lg（x+1），不等式f（x）＜0化为lg（x+1）＜0即：lg（x+1）＜0所以不等式的解集为：（﹣1，0）故选D．点评：本题考查其他不等式的解法，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题．7．（3分）已知函数f（x）=log2x的反函数为g（x），则g（1﹣x）的图象为（）A．B．C．D．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=log2x的反函数为g（x）=2x，可得g（1﹣x）=21﹣x=，利用指数函数的单调性及其x=0时的函数值即可得出．解答：解：函数f（x）=log2x的反函数为g（x）=2x，则g（1﹣x）=21﹣x=，当x=0时，g（1）=1，再利用单调性可知图象为C．故选：C．点评：本题考查了互为反函数的求法、指数函数的单调性，属于基础题．8．（3分）若函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，则f（x）一定（）A．是偶函数B．是奇函数C．在x∈（﹣∞，0）上单调递减D．在x∈（0，+∞）上单调递减考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义得m2﹣m﹣1=1求出m的值，再判断出函数f（x）的奇偶性、单调区间，即可得到正确答案．解答：解：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0，解得m=2或m=﹣1，即f（x）=x2或，因为f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上递减，所以f（x）一定在（﹣∞，0）上递减，故选：C．点评：本题考查幂函数的定义，以及幂函数的性质，属于基础题．9．（3分）某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y（吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数k＞0），则鱼群年增长量的最大值为（）A．B．C．D．考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意可得，y=kx•，（k＞0，0＜x＜m），利用基本不等式求最值．解答：解：由题意可得，y=kx•，（k＞0，0＜x＜m），≤（）2=，（当且仅当x=m﹣x，即x=时，等号成立）故选B．点评：本题考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题．10．（3分）已知函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]内，函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[3，+∞）D．（1，3]考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：把函数的零点转化为两函数图象的交点，求出函数f（x）的解析式，利用数形结合即可得到结论．解答：解：∵f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1==，∴f（x）═﹣1，若函数g（x）=f（x）﹣log m（x+2）有两个零点，则由g（x）=f（x）﹣log m（x+2）=0得f（x）=log m（x+2）有两个根，即y=f（x）与y=g（x）=log m（x+2）的图象有两个交点，函数图象如图，当0＜m＜1时，函数y=log m（x+2）单调递减，此时不满足条件，当m＞1时，函数y=log m（x+2）单调递增，若两函数有两个交点，则满足当x=1时，g（1）≤1，即log m3≤1，解得m≥3，故选：C点评：本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围，考查了函数零点与函数图象与x轴的交点之间的关系，体现了数形结合的思想，和应用图象解决问题的能力．二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）f（x）的图象如图，则f（x）的值域为[﹣4，3]．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的图象求函数的最大值和最小值，从而求得函数的值域．解答：解：由函数的图象可得，当x=5时，函数取得最小值为﹣4，函数的最大值为3，故函数的值域为[﹣4，3]，故答案为[﹣4，3]．点评：本题主要考查函数的图象的特征，利用函数的图象求函数的最大值和最小值，属于基础题．12．（4分）若lg2=a，lg3=b，则log43=．（用a，b表示）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得log43===．解答：解：∵lg2=a，lg3=b，∴log43===．故答案为：．点评：本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意换底公式的合理运用．13．（4分）若B={﹣1，3，5}，试写出一个集合A={0，2，3}，使得f：x→2x﹣1是A到B 的映射．考点：映射．专题：函数的性质及应用．分析：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣3，﹣1，3，解得x的对应值，即可得到集合A．解答：解：根据映射的定义，分别令2x﹣1=﹣1，3，5，解得x=0，2，3，从而得到集合A={0，2，3}，故答案为{0，2，3}．点评：本题主要考查映射的定义，属于基础题．14．（4分）计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低原来的，现在价格为8100的计算机，则9年后价格可将为300．考点：数列的应用．专题：计算题．分析：由题意，逐次计算出三年后，六年后，九年后的价格即可解答：解：由题意，现在价格为8100的计算机，三年后价格8100×．六年年后价格8100×（）2．九年后价格8100×（）3=300．故答案为300．点评：本题属于简单应用题，根据题意依次求解，属于数列的简单应用15．（4分）已知函数f（x）=，某同学利用计算器，算得f（x）的部分与x的值如表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …f（x）…﹣0.4697 ﹣0.4412 ﹣0.3889 ﹣0.30 ﹣0.1667 00.1667 0.30 0.3889 …请你通过观察，研究后，描述出关于f（x）的正确的一个性质在R上递增（不包括定义域）考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：通过自变量x的增加，函数值随着增加，则函数f（x）=在R上递增．再由单调性定义加以证明即可．解答：解：通过自变量x的增加，函数值随着增加，则函数f（x）=在R上递增．证明：设m＜n，则f（m）﹣f（n）==，由于m＜n，则2m＜2n，即2m﹣2n＜0，又2m＞0，2n＞0，则f（m）﹣f（n）＜0，即有函数f（x）=在R上递增．故答案为：在R上递增点评：本题考查函数的性质和运用，考查通过图象观察得到结论，再由单调性定义证明的方法，属于基础题．16．（4分）关于函数f（x）=（a＞0，a≠1），有以下命题：①函数图象关于轴对称；②当a＞1时，函数在（1，+∞）上为增函数；③当0＜a＜1时，函数有最大值，且最大值为a2；④函数的值域为（a2，+∞）．其中正确命题的序号是①②③．（写出所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①利用偶函数的概念与性质可判断①；②令g（x）==|x|+=，利用复合函数的单调性可判断②；③利用y=|x|+≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”）及复合函数的性质可判断，当0＜a＜1时，函数的最值，可判断③；④利用②③的结论可判断④．解答：解：①，∵f（x）的定义域为{x|x≠0}，且f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，即函数图象关于轴对称，故①正确；②，令g（x）==|x|+=，当x＞1时，g′（x）=1﹣＞0，y=g（x）在（1，+∞）上为增函数；当a＞1时，函数y=a x在（1，+∞）上为增函数，由复合函数的单调性质可得，当a＞1时，函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，故②正确；③，由于y=|x|+≥2（当且仅当|x|=1，即x=±1时取“=”），当0＜a＜1时，函数y=a x在（0，1），（﹣∞，﹣1）单调递减；在（1，+∞），（﹣1，0）上单调递增，∴0＜a＜1，x=±1时函数有最大值，且最大值为a2，故③正确；④，当a＞1时，函数的值域为（a2，+∞）；当0＜a＜1时，函数的值域为（0，a2]，故④错误．综上所述，正确命题的序号是①②③，故答案为：①②③．点评：本题考查函数的性质，着重考查函数的奇偶性、对称性、复合函数的单调性及函数的值域，考查转化思想．三、解答题（本大题共6小题，满分52分，解答题写出必要的文字说明，推演步骤．）17．（8分）已知集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，，B={y|y=﹣x2+2x﹣1}．（1）求A∩B；（2）设N是由a可取的所有值组成的集合，试判断N与A∩B的关系．考点：交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（1）由x+1≥0，得A={x|x≥﹣1}；由y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，得B={y|y≤0}，由此能求出A∩B．（2）由集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，解得a=0，或a=﹣1．故N={﹣1，0}，由此得到N⊊（A∩B）．解答：解：（1）由x+1≥0，得x≥﹣1，∴A={x|x≥﹣1}；由y=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2，得y≤0，∴B={y|y≤0}，∴A∩B={x|﹣1≤x≤0}．（2）∵集合M={x|﹣ax2+2x+1=0}只有一个元素，∴当a=0时，方程2x+1=0只有一个实数解，符合题意；当a≠0时，△=4﹣4（﹣a）=0，解得a=﹣1．∴N={﹣1，0}，∴N⊊（A∩B）．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．（8分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生的接受能力，x表示引入概念和描述问题所用的时间（单位：分钟），可有以下的公式：f（x）=（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？（2）一道数学难题，需要55的接受能力以及13分钟，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值，方法是分别求出各段的最大值取其最大即可；（2）令f（x）=55，分段求出x，两个时间之差就是持续的时间，最后和13分钟比较大小即可．解答：解：（1）当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x﹣13）2+59.9，为开口向下的二次函数，对称轴为x=13故f（x）递增，最大值为f（10）=59；当10＜x≤16时，f（x）=59；当30≥x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），当16＜x≤30时，令f（x）=55，解得x=17因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．点评：本题考查分段函数，考查分段函数图象和增减性，此题学生容易出错，原因是学生把分段函数定义理解不清，自变量取值不同，函数解析式不同是分段函数最显著的特点．19．（8分）已知函数f（x）=4x﹣a•2x+1﹣2．（Ⅰ）若a=1，求f（log23）的值；（Ⅱ）某同学研究的值域时的过程如下，请你判断是否正确，如果不正确，请写出正确的过程．f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2∴f（x）的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）若a=1，根据对数的运算法则即可求f（log23）的值；（Ⅱ）利用换元法结合一元二次函数的性质即可求出函数的值域．解答：解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=4x﹣2x+1﹣2．则f（log23）==（）2﹣2×3﹣2=9﹣6﹣2=1；（Ⅱ）不正确：f（x）=（2x）2﹣2a•2x﹣2=（2x﹣a）2﹣a2﹣2，令t=2x，则t＞0，则函数等价为y=g（t）=（t﹣a）2﹣a2﹣2，若a≤0，则函数在（0，+∞）上为增函数，此时y=g（t）＞g（0）=﹣2，若a＞0，则当t=a时，函数取得最小值，此时y=g（t）≥g（t）=﹣a2﹣2，综上当a≤0时，函数的值域为（﹣2，+∞），当a＞0时，函数的值域为[﹣a2﹣2，+∞）．点评：本题主要考查与指数函数有关的性质是运算，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．20．（8分）函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的部分图象如图所示，设两函数的图象交于点O（0，0），A（x0，y0）．（Ⅰ）请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？（Ⅱ）求证x0∈（，1）；（Ⅱ）请通过直观感知，求出使f（x）＞g（x）+a对任何1＜x＜8恒成立时，实数a的取值范围．考点：对数函数的图像与性质．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）由图象特征可知，C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），利用函数的零点判定定理证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．解答：解：（Ⅰ）C1是g（x）=log3（x+1）的图象，C2对应f（x）=x2；（Ⅱ）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣log3（x+1），∵F（）=﹣log3（+1）=log32﹣＜0，F（1）=1﹣log32＞0，故存在x0∈（，1），使F（x0）=0，即x0是函数f（x）=x2和g（x）=log3（x+1）的图象的交点；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，F（1）=1﹣log32＞0，且由图象可知，a＜1﹣log32．点评：本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用，属于中档题．21．（10分）定义在（0，+∞）函数f（x）满足：①当时x＞1，f（x）＜﹣2；②对任意x，y∈（0，+∞），总有f（xy）=f（x）+f（y）+2．（Ⅰ）求出f（1）的值；（Ⅱ）解不等式f（x）+f（x﹣1）＞﹣4；（Ⅲ）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2，从而解得；（Ⅱ）令y=，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，从而可推出f（y）＞﹣2，则f（x）+f （x﹣1）＞﹣4可化为即f（x（x﹣1））＞﹣2，从而解得；（Ⅲ）f（x）=x﹣2．解答：解：（Ⅰ）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）+2；则f（1）=﹣2；（Ⅱ）令y=，x＞1，则有f（1）=f（x）+f（y）+2，则f（y）=﹣4﹣f（x），又∵x＞1时，f（x）＜﹣2；∴f（y）＞﹣2，f（x）+f（x﹣1）＞﹣4可化为f（x（x﹣1））﹣2＞﹣4，即f（x（x﹣1））＞﹣2，故，解得，1＜x＜；（Ⅲ）f（x）=x﹣2．点评：本题考查了抽象函数的性质判断与应用，属于中档题．22．（10分）已知函数f（x）=为偶函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的判断．（Ⅲ）是否存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，若存在，求出λ的取值范围，若不存在说明理由．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可求实数a的值；（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）的单调性．（Ⅲ）根据函数的单调性将条件关系转化为一元二次方程根的取值范围即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）==为偶函数，∴f（﹣x）==，即﹣（a+1）=a+1，解得a=﹣1．（Ⅱ）当a=﹣1时，f（x）=，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，0）为减函数．证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===．∵0＜x1＜x2，∴x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，同理可证在（﹣∞，0）为减函数．（Ⅲ）∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数∴若存在实数λ，使得当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2﹣λm，2﹣λn]，则满足，即，即m，n是方程x2﹣λx+1=0的两个不等的正根．则满足，即，解得λ＞2，故存在λ＞2，使得结论成立．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及一元二次方程根与系数之间的关系，综合考查函数的性质．。

2014年某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 己知集合A ={x|x 2−3x +2<0}，B ={x|log 4x >12}，则（ ） A A ∩B =⌀ B B ⊆A C A ∩∁R B =R D A ⊆B 2. 已知复数z =1+2i i 5，则它的共轭复数z ¯等于（ ）A 2−iB 2+iC −2+iD −2−i3. 命题“∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx >2”的否定是（ ）A ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx <2B ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2C ∀x ∈[π2, π]，sinx −cosx ≤2 D ∃x ∈[π2, π]，sinx −cosx <24. 已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α // β的是（ ） ①在一条直线a ，a ⊥α，a ⊥β，③存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α； ②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；④存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a // β，b // α． A ①③ B ②④ C ①④ D ②③5. 已知向量m →，n →的夹角为π6，且|m →|=√3，|n →|=2，在△ABC 中，AB →=2m →+2n →，AC →=2m →−6n →，D 为BC 边的中点，则|AD →|=( )A 2B 4C 6D 86. 能够把圆O:x 2+y 2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O 的“和谐函数”的是（ ） A f(x)=4x 3+x B f(x)=1n5−x 5+xC f(x)=tan x2D f(x)=e x +e −x7. 已知sinα+√2cosα=√3，则tanα＝（ ） A √22B √2C −√22D −√2 8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 3=52，a 2+a 4=54，则S na n=( )A 4n−1B 4n −1C 2n−1D 2n −19. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P 的取值范围是（ ）A 78<P ≤1516B P >1516C 78≤P <1516D 34<P ≤7810. 已知实数x ，y 满足{2x −y +1≥0x −2y −1≤0x +y ≤1，则|3x +4y −7|的最大值为（ ）A 11B 12C 13D 1411. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (2√33,2] B [2√33,2) C (2√33,+∞) D [2√33,+∞) 12. 已知函数f(x)={−13x +16，x ∈[0,12]2x 3x+1，x ∈(12,1]，函数g(x)=asin(π6x)−2a +2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A [−23, 1] B [12, 43] C [43, 32] D [13, 2]二．填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知f(x)=22x +1+sinx ，则f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)=________．14. 已知球的直径PQ =4，A 、B 、C 是该球球面上的三点，∠APQ =∠BPQ =∠CPQ =30∘，△ABC 是正三角形，则棱锥P −ABC 的体积为________．15. 一个多面体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图如图，M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点．下列结论中正确的是________．（填上所有正确项的序号）①线MN与A1C相交；②MN⊥BC；③MN // 平面ACC1A1；④三棱锥N−A1BC的体积为V N−A1BC =16a3．16. 某城市为促进家庭节约用电，计划制定阶梯电价，阶梯电价按年月均用电量从低到高分为一、二、三、四档，属于第一档电价的家庭约占10QUOTE，属于第二档电价的家庭约占40QUOTE，属于第三档电价的家庭约占30QUOTE，属于第四档电价的家庭约占20QUOTE．为确定各档之间的界限，从该市的家庭中抽查了部分家庭，调查了他们上一年度的年月均用电量（单位：千瓦时），由调查结果得如图的直方图，由此直方图可以做出的合理判断是________①年月均用电量不超过80千瓦时的家庭属于第一档②年月均用电量低于200千瓦时，且超过80千瓦时的家庭属于第二档③年月均用电量超过240千瓦时的家庭属于第四档④该市家庭的年月均用电量的平均数大于年月均用电量的中位数．三、解答题（本大题共5小题，共70分，17---21必做，每题12分；22、23、24选做，每题10分，多选以第一题为准，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17. 若f(x)=√3cos2ax−sinaxcosax(a>0)的图象与直线y=m(m>0)相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若(A2, √32)是函数f(x)图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．18. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：（1）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：2×1+3×3+40×5+30×7+25×9=646）（2）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．试在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k0 2.706 6.63510.82819. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D为AC中点，AE⊥BD于E（不同于点D），延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1−BCD，如图2所示．（1）若M是FC的中点，求证：直线DM // 平面A1EF；（2）求证：BD⊥A1F；（3）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20. 已知抛物线x2=2py(p>0)上的一点(m, 1)到焦点的距离为5．点4P(x0, y0)是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M1(0, −1)与P的直线和抛物线交于点P1，过点M2(0, 1)与的P直线和抛物线交于点P2．分别以点P1，P2为切点的抛物线的切线交于点P′．（1）求抛物线的方程；（2）求证：点P′在y轴上．21. 对于函数f(x)(x∈D)，若x∈D时，恒有f′(x)>f(x)成立，则称函数f(x)是D上的J函数．(Ⅰ)当函数f(x)＝me x lnx是定义域上的J函数时，求m的取值范围；(Ⅱ)若函数g(x)为(0, +∞)上的J函数，①试比较g(a)与e a−1g(1)的大小；②求证：对于任意大于1的实数x1，x2，x3，…，x n，均有g（ln(x1+x2+...+x n)）>g(lnx1)+g(lnx2)+...+g(lnx n)．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA⋅PD＝PE⋅PC；（2）AD＝AE．选修4─4：坐标系与参数方程选讲．23. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=13xy′=12y得到曲线C′．(1)求C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C′上，点B(3, 0)，当点A 在曲线C′上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．选修4─5：不等式证明选讲．24. 已知函数f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16． (1)求f(x)≥f(4)的解集；(2)设函数g(x)=k(x −3)，k ∈R ，若f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，求k 的取值范围．2014年某校高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. B3. C4. C5. A6. D7. A8. D9. D 10. D 11. A 12. B 13. 5 14.9√3415. ②③④ 16. ①③④17. 解：（1）f(x)=√3cos 2ax −sinaxcosax =√32−sin(2ax −π3)，由题意，函数f(x)的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m>0，√32−1<0，∴ a=1，m=√32+1；（2）∵ (A2，√32)是函数f(x)图象的一个对称中心，∴ sin(A−π3)=0，又∵ A为△ABC的内角，∴ A=π3，△ABC中，则由正弦定理得：bsinB =csinc=asinA=4sinπ3=8√33，∴ b+c+a=b+c+4=8√33[sinB+sinC]+4=8√33[sinB+sin(B+π3)]+4=8sin(B+π6)+4，∵ 0<B<2π3，∴ b+c+a∈(8, 12]．18. 解：（1）幸福感指数在[4, 6)，[6, 8)内的频数分别为220+180=400和125+175=300，因为总人数为1000，所以，相应的频率÷组距为：400÷1000÷2=0.2，300÷1000÷2=0.15，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9=6.46；所以K2=1000×(250×300−200×250)2450×550×500×500=10.101>6.635，所以在犯错误概率不超过0.01的前提下能否判定该市市民幸福与否与性别有关．19. （1）证明：因为D，M分别为AC，CF中点，所以DM // EF ，又EF ⊂平面A 1EF ，DM ⊄平面A 1EF 所以DM // 平面A 1EF ．（2）证明：因为A 1E ⊥BD ，EF ⊥BD ，且A 1E ∩EF =E ，所以BD ⊥平面A 1EF ，又A 1F ⊂平面A 1EF 所以BD ⊥A 1F ．（3）解：直线A 1B 与直线CD 不能垂直， 因为平面A 1BD ⊥平面BCD ，平面A 1BD ∩平面BCD =BD ，EF ⊥BD ，EF ⊂平面CBD ， 所以 EF ⊥平面A 1BD ．因为A 1B ⊂平面A 1BD ，所以A 1B ⊥EF ， 又因为EF // DM ，所以A 1B ⊥DM ． 假设A 1B ⊥CD ，因为A 1B ⊥DM ，CD ∩DM =D ， 所以A 1B ⊥平面BCD ， 所以A 1B ⊥BD ，这与∠A 1BD 为锐角矛盾所以直线A 1B 与直线CD 不能垂直． 20. （1）解：由题意得 1+12p =54，∴ p =12所以抛物线的方程为y =x 2…（2）证明：设P 1(x 1, y 1)，P 2(x 2, y 2)因为y′=2x 则以点P 1为切点的抛物线的切线方程为y −y 1=2x 1(x −x 1) 又y 1=x 12，所以y =2x 1x −x 12…同理可得以点P 2为切点的抛物线的切线方程为y =2x 2x −x 22由{y =2x 1x −x 12y =2x 2x −x 22解得x =x 1+x 22… 又过点P(x 0, y 0)与M 1(0, −1)的直线的斜率为k 1=y 0+1x 0所以直线PM 1的方程为y =y 0+1x 0x −1由{y =y 0+1x 0x −1y =x 2得x 2−y 0+1x 0x +1=0所x 0x 1=1，即x 1=1x 0…同理可得直线PM 2的方程y =y 0−1x 0x +1由{y =y 0−1x 0x +1y =x 2得 x 2−y 0−1x 0x −1=0所以x 0x 2=−1，即x 2=−1x 0则x 1+x 2=1x 0+(−1x 0)=0，即P′得横坐标为0，所以点P′在y 轴上…21. （1）由f(x)＝me xlnx ，可得f ′(x)=m(e xlnx +e x x)，因为函数f(x)是J 函数，所以m(e x lnx +e x x)>me x lnx ，即me x x>0，因为e xx >0，所以m >0，即m 的取值范围为(0, +∞)． （2）①构造函数ℎ(x)=g(x)e x,x ∈(0,+∞)，则ℎ(x)=g ′(x)−g(x)e x>0，可得ℎ(x)为(0, +∞)上的增函数，当a >1时，ℎ(a)>ℎ(1)，即g(a)e a>g(1)e，得g(a)>e a−1g(1)；当0<a <1时，ℎ(a)<ℎ(1)，即g(a)e a<g(1)e，得g(a)<e a−1g(1)；当a ＝1时，ℎ(a)＝ℎ(1)，即g(a)e a=g(1)e，得g(a)＝e a−1g(1)．②因为x 1+x 2+...+x n >x 1，所以ln(x 1+x 2+...+x n )>lnx 1， 由①可知ℎ（ln(x 1+x 2+...+x n )）>ℎ(lnx 1)， 所以g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))e ln(x 1+x 2+⋯+x n )>g(lnx 1)e lnx 1，整理得x 1g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 1)，同理可得x 2g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx 2)，…，x n g(ln(x 1+x 2+⋯+x n ))x 1+x 2+⋯+x n>g(lnx n )．把上面n 个不等式同向累加可得g （ln(x 1+x 2+...+x n )）>g(lnx 1)+g(lnx 2)+...+g(lnx n )． (12)22. ∵ PE 、PB 分别是⊙O 2的割线 ∴ PA ⋅PE ＝PD ⋅PB又∵ PA 、PB 分别是⊙O 1的切线和割线 ∴ PA 2＝PC ⋅PB由以上条件得PA ⋅PD ＝PE ⋅PC连接AC 、ED ，设DE 与AB 相交于点F ∵ BC 是⊙O 1的直径，∴ ∠CAB ＝90∘ ∴ AC 是⊙O 2的切线．由（1）知PAPE =PCPD ，∴ AC // ED ，∴ AB ⊥DE ，∠CAD ＝∠ADE 又∵ AC 是⊙O 2的切线，∴ ∠CAD ＝∠AED 又∠CAD ＝∠ADE ，∴ ∠AED ＝∠ADE∴ AD ＝AE23. 解：(1)将{x =3cosθy =2sinθ代入{x′=13x y′=12y， 得C ′的参数方程为{x =cosθy =sinθ∴ 曲线C ′的普通方程为x 2+y 2=1．(2)设P(x, y)，A(x 0, y 0)，又B(3, 0)，且AB 中点为P ， 所以有：{x 0=2x −3y 0=2y，又点A 在曲线C ′上，∴ 代入C ′的普通方程x 02+y 02=1得(2x −3)2+(2y)2=1， ∴ 动点P 的轨迹方程为(x −32)2+y 2=14． 24. 解：(1)∵ f(x)=√x 2−6x +9+√x 2+8x +16 =√(x −3)2+√(x +4)2 =|x −3|+|x +4|，∴ f(x)≥f(4)即|x −3|+|x +4|≥9． ∴ ①{x ≤−43−x −x −4≥9，或②{−4<x <33−x +x +4≥9，或③{x ≥3x −3+x +4≥9．解①得：x ≤−5； 解②得：x 无解； 解③得：x ≥4．∴ f(x)≥f(4)的解集为{x|x ≤−5 或x ≥4}．(2)f(x)>g(x)对任意的x ∈R 都成立，即f(x)的图象恒在g(x)图象的上方， ∵ f(x)=|x −3|+|x +4| ={−2x −1,x ≤−47,−4<x <32x +1,x ≥3．由于函数g(x)=k(x −3)的图象为恒过定点P(3, 0)，且斜率k 变化的一条直线， 作函数y =f(x)和 y =g(x)的图象如图，其中，k PB=2，A(−4, 7)，∴ k PA=−1．由图可知，要使得f(x)的图象恒在g(x)图象的上方，∴ 实数k的取值范围为(−1, 2]．。