2020-2021学年福建省厦门双十中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)

2020-2021厦门市双十中学高中必修三数学上期中试卷(附答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为an D ．这组新数据的标准差为a n3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．12D ．5126．统计某校n 名学生的某次数学同步练习成绩，根据成绩分数依次分成六组：[)[)[)[)[)[]90,100,100,110,110,120,120,130,130,140,140,150，得到频率分布直方图如图所示，若不低于140分的人数为110.①0.031m =；②800n =；③100分以下的人数120,140的人数占大半．则说法正确的是（）为60；④分数在区间[)A．①②B．①③C．②③D．②④7．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，88．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）A．1.19B．1.23C．1.26D．1.319．远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是()A．336B．510C．1326D．360310．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？11．已知函数()cos3xf xπ=，根据下列框图，输出S的值为()A．670B．16702C．671D．67212．已知平面区域()2,4yx yy x⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，直线2y mx m=+和曲线24y x=-有两个不的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为()P M．若01m≤≤，则()P M的取值范围为（）A．22,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B．22,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦二、填空题13．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．14．执行如下图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出S的值为__________．15．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为________．16．用秦九韶算法计算多项式f(x)=2x 4-x 3+3x 2+7,在求x=2时对应的值时,v 3的值为___. 17．以下四个命题错误的序号为_______(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.(2) 过点P(2,-2)且与曲线33y x x =-相切的直线方程是9160x y +-=.(3) 若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是11，方差是12.(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.18．已知样本数据12345,,,,a a a a a 的方差222222123451(20)5s a a a a a =++++-，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为__________．19．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区400名年年龄为17岁～18岁的男生体重()kg ，得到频率分布直方图如图5所示：根据图2可得这200名学生中体重在[64.5,76.5]的学生人数是__________． 20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：x0 1 2 3 y 1357则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点_______________三、解答题21．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：（1）画出散点图；（2）如果y 与x 有线性相关的关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？附：相关性检验的临界值表()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，$$y abx =+$42.0≈27.5≈23．现从某医院中随机抽取了7位医护人员的关爱患者考核分数(患者考核:10分制)，用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数(试卷考试:100分制),用相关的特征量x 表示，数据如下表:（1）求y 关于x 的线性回归方程(计算结果精确到0.01)；（2）利用(1)中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计当某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数(精确到0.1).参考公式及数据:回归直线方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 121(x x)(y y)ˆˆˆ,(x x)niii nii ba y bx ==--==--∑∑，其中72193,9.3,()()9.9i ii x y x x y y ===--=∑. 24．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，101120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+$$$中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑$，其中x ，y 为样本平均值.）25．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.26．[2019·朝鲜中学]在如图所示的程序框图中，有这样一个执行框1()i i x f x -=，其中的函数关系式为42()1x f x x -=+，程序框图中的D 为函数()f x 的定义域．（1）若输入04965x =，请写出输出的所有x 的值； （2）若输出的所有i x 都相等，试求输入的初始值0x ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n ，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为a n . 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．4．D解析：D 【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．5．A解析：A 【解析】分析：可以按照等可能时间的概率来考虑，可以先列举出试验发生包含的事件数，再求出满足条件的事件数，从而根据概率计算公式求解.详解：因为a 是抛掷一枚骰子得到的点数，所以试验发生包含的事件总数为6， 方程220x ax ++=有两个不等实根，所以280a ->， 以为a 为正整数，所以3,4,5,6a =，即满足条件的事件有4种结果，所以所求的概率为4263P ==，故选A. 点睛：本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式.，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，利用排列组合有关知识，正确找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数代入公式()()n A P n =Ω.6．B解析：B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质和频率分布直方图中样本估计总体，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据频率分布直方图的性质得10(0.0200.0160.0160.0110.006)1m +++++=，解得0.031m =.故①正确；因为不低于140分的频率为0.011100.11⨯=，所以11010000.11n ==，故②错误； 由100分以下的频率为0.00610=0.06⨯，所以100分以下的人数为10000.06=60⨯，故③正确；分数在区间[120,140)的人数占0.031100.016100.47⨯+⨯=，占小半.故④错误. 所以说法正确的是①③. 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答熟记频率分布直方图的性质，以及在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所有小长方形的面积的和等于1，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】试题分析：由题意得5x =，116.8(915101824)85y y =+++++⇒=，选C. 考点：茎叶图8．C解析：C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,⨯=⨯=⨯=⨯=故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：C 【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意满七进一，可得该图示为七进制数, 化为十进制数为321737276510⨯+⨯+⨯+=,故选B.考点：1、阅读能力及建模能力；2、进位制的应用.10．A【解析】 【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为， 第1次循环，，， 第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】由程序框图知：第一次运行()11cos 32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos 32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =， 直到2016n =时，程序运行终止，Q 函数cos3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=， ∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】由题意知，平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎪⎩⎩⎭，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，又由直线2y mx m =+过半圆24y x =-上一点(2,0)-，当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2()2P M ππ-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦．【点睛】本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、填空题13．【解析】14．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.15．30【解析】时继续时继续时停止输出点睛:本题考查的是算法与流程图算法与流程图的的考查侧重于对流程图循环结构的考查先明晰算法及流程图的相关概念包括选择结构循环结构伪代码其次要重视循环起点条件循环次数循解析：30 【解析】3i =时，0236S =+⨯=，继续， 5i =时，62516S =+⨯=，继续，7i =时，162730S =+⨯=，停止， 输出30S =．点睛:本题考查的是算法与流程图.算法与流程图的的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.16．【解析】f(x)=2x4-x3+3x2+7=(((2x-1)x+3)x)x+7∴v0=2v1=2×2-1=3v2=3×2+3=9v3=9×2=18故答案为：18解析：【解析】f (x )=2x 4-x 3+3x 2+7=(((2x -1)x +3)x )x +7， ∴v 0=2,v 1=2×2-1=3,v 2=3×2+3=9,v 3=9×2=18. 故答案为：18.17．（1）（2）（4）【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点是切点的情形求出切线方程然后设切点为（x0y0）根据切点与点（2-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关解析：（1）（2）（4） 【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；(2)先考虑点22-（，）是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x 0，y 0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案． 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；对于(2), 设直线222233|9x l y k x y x y =+=-'=-∴'=-Q ：（）．，， 又∵直线与曲线均过点22-（，），于是直线22y k x （）+=- 与曲线33y x x =- 相切于切点22-（，）时，9k =-． 若直线与曲线切于点0002x y x ≠（，）（）， 则320000000002232122y y k y x x x x x x ++==-∴=-----Q ，，，又200|33k y x x x ='==-Q ，2220000021332240x x x x x ∴---=-∴--=，， 200021330x x k x ≠∴=-∴=-=Q ，，，故直线l 的方程为9160x y +-=或2y =-．故(2)错；对于(3)，若样本1210,,x x x L 的平均数是5，方差是3，则数据121021,21,,21x x x +++L 的平均数是25111,⨯+= ，方差是22312⨯=.故(3)正确；对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误. 故选（1）（2）（4）点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..18．或【解析】设样本数据的平均数为则方差：结合可得：即样本数据的平均数为2或-2则样本数据的平均数为：或故答案为或点睛：平均数与方差都是重要的数字特征是对总体的一种简明的描述它们所反映的情况有着重要的实解析：5或3- 【解析】设样本数据的平均数为a ，则方差：()()522152215522115221522115125125512555155i i i i i i i i i i i i i s a a a aa a a a a a a a a a a a =======-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ 结合()222222123451205s a a a a a =++++-可得：2520,2a a =∴=±， 即样本数据12345,,,,a a a a a 的平均数为2或-2，则样本数据1234521,21,21,21,21a a a a a +++++的平均数为：2215⨯+=或()2213⨯-+=-.故答案为5或3-．点睛：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．要注意其区别与联系.19．232【解析】由图可知：段的频率为则频数为人解析：232 【解析】由图可知：64.576.5~段的频率为1(0.010.030.050.050.07)20.58-++++⨯=， 则频数为4000.58232⨯=人．20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4【解析】由题意,()()110123 1.5,1357444x y =+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)三、解答题21．（1）见解析；（2）ˆ0.72860.8575yx =-；（3）机器的转速应控制在14.9转/秒以下 【解析】 【分析】（1）由表中数据做图（2）根据线性回归方程中公式求ˆ,ba 即可写出方程（3）利用线性回归方程建立不等式求解. 【详解】（1）画出散点图，如图所示：（2）4421112.5,8.25,438,660,i ii i i x y x yx ======∑∑41422214438412.58.250.7286660412.ˆ54i i i i i x y xy bx x ==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑，8.250.728612.50.857ˆˆ5ay bx =-≈-⨯=-. 故回归直线方程为0.72860.8575ˆyx =-. （3）要使100.72860.857510y x ≤-≤，则，14.9019x ≤.故机器的转速应控制在14.9转/秒以下. 【点睛】本题主要考查了散点图，线性回归方程，利用线性回归方程解决问题，属于中档题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入ˆ0.65757yx =+，即可求得答案. 【详解】（1）由表中数据得：6117950i ii x y==∑，6219100i i x ==∑，62139158i i y ==∑，35,80x y ==∴0.05||0.997r r ==>从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，∴此求回归直线方程是有意义的．计算得：ˆˆ0.657,57ba== ∴ˆ0.65757yx =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =将60x =代入ˆ0.65757y x =+ ˆ96.42y= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.23．(1) ˆ0.12 1.93yx =-. (2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心。

福建省厦门市双十中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则AB =（ ） A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 2．已知11a bi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则a bi -=（ ） A ．3 B ．2 CD ．53．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于A ．18B ．36C ．54D ．724．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得l a //，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥5．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=-，则AM =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1 7．化简：︒=（）A ．1 BC D ．2 8．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．22,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C ．42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(42π+C D ．(4π+11．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为A ．3-+B ．3-C ．4-+D ．42-+ 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上点M 异于点B ，C ，点N 在线段1CC 上，且13CN =，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为（ ）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n ∏，已知11212,2048m m m m a a a -+-⋅=∏=，则m =_______.16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ︒∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ︒∠=，根据以上数据得cos θ=_________．三、解答题17．在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=记n T 为等比数列{}n b 的前n 项和，且2420b b +=，430T =（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记1212n n na a a Hb b b ++⋅⋅⋅+=，是否存在*,m n ∈N ，使得n m H a =，若存在，求出所有满足题意的m ，n 若不存在，请说明理由.18．如图：在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB =D 在BC 边上，且90DAC ∠=︒，（1）若BD =，求AD 的长；（2）若DC =，求角C19．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高. 20．已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈-. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；21．已知动圆P 与定圆F ：22(1)1x y -+=外切，且与y 轴相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹Γ的方程；（2）过(1,0)F 作直线l 与Γ在y 轴右侧的部分相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（ⅰ）求直线BD 与x 轴的交点K 的坐标； （ⅱ）若64||9AB =，求ABK ∆的内切圆方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：12cos {4sin x y θθ==（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π． （1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标；（2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．23．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边.（1）求证：332251a b a b ab +++≥-；（2）若1abc =，求()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值.参考答案1．A【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.AB x x =-<< 故选A.2．C【解析】 试题分析：由题；11a bi i=-+，则(1)1(1)(1)2a i a ai bi i i --==-+-．即；2,1a b ==所以；2a bi i -=-=考点：复数的运算及复数的模.3．D【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由451718a a a a +==+,结合等差数列的求和公式可求得8S .【详解】数列{}n a 为等差数列，4518a a +=,∴由等差数列的性质得：451818a a a a +=+= ,又其前n 项和为n S ,()()1884584722a a S a a +∴==+=，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n ra a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.4．C【详解】试题分析：过直线a 上任意一点P ，作b 的平行线c ，由,a c 相交确定一个平面α.直线l 只需垂直于平面α，就会与b 垂直，这样的直线有无数条，故A 错误.因为,a b 不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C. 考点：空间点线面位置关系.5．B【分析】由x 的范围得到0sin 1x <＜，则由sin 1x x <能得到2sin sin 1x x x x <<，反之不成立，从而可求得结果.【详解】 02x ＜＜π，∴ 0sin 1x <＜，故2sin sin x x x x <，若“sin 1x x <”，则“2sin 1x x ＜”，若“2sin 1x x ＜”，则11sin ,1sin sin x xx x ，此时sin 1x x <可能不成立， 例如,sin 1,sin 12x x x x π→→>，由此可知，“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．C【分析】由||||AB AC AB AC +=-可得0AB AC ⋅=，AB AC ⊥，结合2||16BC =即可得结果.【详解】因为2||16BC =，所以||4BC =，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=，所以AB AC ⊥,又因为M 是BC 的中点， 所以1||||22AM BC ==, 故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．C【分析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【详解】 原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)︒-︒=︒︒-︒02020cos 20sin 20-2522==cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒︒（）（45） 25=cos 25︒=︒故选C.【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.8．C【解析】试题分析：0,()()a b f a f b <<=，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C ．考点：对数函数性质，函数单调性与最值．9．A【分析】根据()f x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，得到T π≥，从而得到2ω≤，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，从而得到k ω=，k Z ∈，再分别研究1ω=和2ω=的情况，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合T 的值，得到()f x 的最值，判断出1ω=时不成立，再验证2ω=符合要求，从而得到()f x 的单调递减区间，得到答案.【详解】.解：函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 则22362T πππ≥-=，得到T π≥， 所以2ππω≥，得到2ω≤， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈ 而2T πω=，从而得到k ω=，k Z ∈当1ω=，2T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以12x π=-和512x π=为相邻的两个零点，所以1151212212x πππ-+==时，()f x 取最大值或最小值， 而已知中()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，52,1263πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以矛盾，故1ω=不成立. 当2ω=，T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 则()f x 在1246x πππ=-+=和1121243x πππ=-=取最值， 而已知条件中恰有()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以可得()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据正弦函数的周期性求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于中档题. 10．C 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为211111222332π⋅⋅⋅⋅⋅=. 考点：三视图. 11．A 【详解】 试题分析：如图所示：设()0OP x x =>，则1,2,sin ,PA PB APO APB xααα==∠=∠==()()()4222222222322.cos 2112sin 1133x x PA PB PA PB x x x x x x αα-+⎛⎫⋅==--=--==+-≥ ⎪⎝⎭所以当且仅当2x =“=”，故最小值为3-+考点：向量的数量积的应用 12．D 【分析】易知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，找到平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置，得到BM 的长度，从而得到所求的BM 的取值范围. 【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以其棱长为1，如图所示，平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置 因为平面11AA D D 平面11BB C C 平面AMN 平面111AA D D AD =, 平面AMN平面11BB C C MN =,所以1AD MN ∥， 易得1MNBC所以13CN CM ==， 所以23BM =所以，当203BM ≤<时，截面为四边形，当23BM >时，截面为五边形， 故所求的线段BM 的取值范围为203⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选：D.【点睛】本题考查截面图形问题，面面平行的性质，属于中档题. 13．6 【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6． 14．13- 【分析】利用换底公式得出42log 9log 30=>，先计算出()2log 3f -，然后利用函数()y f x =为奇函数，得出()4log 9f 的值. 【详解】224222log 9log 3log 3log 10==>=，由题意得()221log log 3321log 3223f --===，由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数， 因此，()()()4221log 9log 3log 33f f f ==--=-. 故答案为13-. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查利用换底公式化简以及对数的运算，在求函数值时，要注意根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 15．6 【详解】试题分析：根据等比数列的性质，有2112m m m m a a a a -+⋅==，解得2m a =，依题意21211121122221220482m m m m m m a a a a a -----∏=⋅⋅⋅⋅====，所以2111,6m m -==.考点：等比数列. 161 【分析】根据题意，得到30BDA ︒∠=，由正弦定理计算BD =，求出sin 1BCD ∠=，进而可求出结果.【详解】∵45DBC ︒∠=，15DAC ︒∠=，∴30BDA ︒∠=， 在ABD △中，由正弦定理有sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即50sin 30sin15BD =，即100sin15100BD ===，在BCD 中，由正弦定理有sin sin CD BD DBC BCD =∠∠，即2525sin 45sin BCD=∠，所以sin 1BCD ∠=，因此cos sin()sin 1BCD BCD θπ=-∠=∠=.1. 【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.17．（1）n a n =，2nn b =（2）存在，1m =，2n =【分析】）（1）利用1n n n a S S -=-，并验证1n =时的情况，得到数列{}n a 的通项，利用等比数列中的基本量计算，得到{}n b 的通项；（2）利用错位相减法求和，得到n H ，判断出n H 的范围，从而得到m 和n 的值. 【详解】解.（1）当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 经验证，11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =. 设{}n b 的公比为q ，当1q =时，1220b =，1430b =不成立；当1q ≠时，依题意()()21411201301b q q b q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：12b =，2q ，所以2nn b =（2）231232222n n nH =++++， 2311122222n n nH +=+++， 两式相减，得23111111222222n n n nH +=++++-，即1111222n n n n H +=-- 所以222n n n H +=-.因为22n n +>0，所以2n H <， 所以222n n m +-=，得2m <且*m N ∈ ∴1m = 即2212nn +-= 解得，2n =，所以满足题意的m ，n 存在，1m =，2n =. 【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项，等比数列的基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.18．（1）AD =2）20︒【分析】（1）AD x =，利用余弦定理，得到关于x 的方程，解得答案；（2）设C α=，在Rt ADC ∆中，AD α=，再表示出ABD ∠，利用余弦定理，得到()sin 2sin 60αα=︒-，结合α为锐角，得到α的值，即所求角C 的值. 【详解】（1）30BAD ∠=︒在ABD ∆中，设AD x =，由余弦定理得，2222cos BD AB AD ABAD BAD =+-∠ 则2222cos BD AB x x AB BAD =+-⨯∠(2222x x =+-⨯2120x -+=所以x =x =又AB AD >，所以AD =（2）设C α=在Rt ADC ∆中，AD α= 又90BAD α∠=︒+所以()180309060ABD αα∠=︒-︒-︒+=︒-在ABD ∆中，sin sin AD ABABD BDA=∠∠=得()sin 2sin 60αα=︒- ∵α为锐角∴260αα=︒-或218060αα=︒-︒- 得20α=︒或120α=︒（舍） 所以角C 的值为20︒. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，属于简单题.19．（1）证明见解析；（2. 【详解】试题分析：（1）取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ，所以1B M AC ⊥，结合AC BC ⊥有AC ⊥平面11B C CB ，从而有平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系，设1B M t =，利用二面角11B AB C --的余弦值为57-和向量法建立方程，求得t =，即斜三棱柱的高试题解析：(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥ 又AC BC ⊥，且1B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB 因为AC ⊂平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；(2)以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系2CA BC ==,设1B M t =，则11(200),(020),(010),(01,),(0,1,)A B M B t C t -，，，，，，， 即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC =-=-=-， 设面1AB B 法向量111(,,)(1,1,)n x y z n t=∴= 面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2t n x y z n =∴=125cos ,7n n t =-∴=考点：空间向量与立体几何. 20．（1）()f x 单调递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究()f x 在[]0,π上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数a 进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数. 【详解】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，只需先研究[0,]x π∈,()sin cos f x x x x =+,()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减, 所以根据偶函数图象关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， 故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+,①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立, ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增又(0)1f =，所以()f x 在[,]x ππ∈-上无零点 ②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点， （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤. ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点， 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.21．（1）24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）(1,0)K -（ⅱ）221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目要求得到||1||PD x =+||1x =+，整理化简得到P 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，直线与抛物线联立得到12y y +，12y y ，利用两点式表示出直线BD ，令0y =得到x 的值，从而得到K 的坐标；（ⅱ）由64||9AB =结合弦长公式，从而得到t 的值，从而得到直线AB 和BD ，利用内切圆圆心(),0M m 到AB 与BD 的距离相等，得到关于m 的方程，从而解出m ，得到所求的圆的方程. 【详解】解：设(,)P x y 依题意||1||PD x =+||1x =+222(1)(||1)x y x -+=+ 22||2y x x =+所以24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）依题意：设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ()221616161t t ∆=+=+124y y t +=，124y y =-直线BD ：121121y y y y x x x x ++=-- 即BD ：11214y y x x y y +=-- ()222112114y y y y y y x y -+-=-()2144y y y x --=令0y =，得1x =-，所以(1,0)K - （ⅱ）因为64||9AB =649= 解得279t =，即t =所以AB ：1x y =+，即330x ±-= 直线BD ：413x y =±-，即3430x y ±+= 依题意可知内切圆的圆心M 在x 轴上，设(,0)M m (11)m -<<所以M 到AB 与BD 的距离相等，即|33||33|45m m -+= 得19m =或9m =（舍） 又|33|253m r +==， 所以内切圆方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线的交点，弦长公式，求内切圆的方程，属于中档题.22．（1）曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为(4,4)．（2）2【分析】（1）根据公式cos ,sin x y ρθρθ==，代入得到曲线2C 的直角坐标方程，(),Q ρθ ，同样根据转化公式，得到点Q 的直角坐标；（2）将两点连线的最小值转化为点M 到直线2C 的距离，所以根据参数方程和中点坐标公式得到点M 的坐标，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的有界性求距离的最小值.【详解】试题解析：（1）3cos 3ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得1cos sin 32ρθρθ=， 故曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为()4,4．（2）设()12cos ,4sin P θθ，故PQ 中点()26cos ,22sin M θθ++，2C的直线方程为60x --=，点M 到2C 的距离3cos 2d θθ==-2226πθ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ PQ 中点M 到曲线2C上的点的距离的最小值是2．23．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用基本不等式，得到3313a b ab ++≥，222a b ab +≥，从而进行证明；（2）根据基本不等式，得()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，同理2()()c b c a c a b ≤+-+-，2()()a a b c c a b ≤+-+-，三式相乘，整理化简后可得所求式子的最大值为1.【详解】（1）只需证：332215a b a b ab ++++≥∵3313a b ab ++≥=222a b ab +≥所以332215a b a b ab ++++≥.当且仅当1a b ==时，等号成立.（2）设()()()S a b c b c a c a b =+-+-+-()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()b c a c a b +-+-22()()2b c a c a b c +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()a b c c a b +-+-22()()2a b c c a b a +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以22()1S abc ≤=当且仅当()()()a b c b c a c a b +-=+-=+-即a b c ==时，()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值为1.【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，利用基本不等式求最大值，属于中档题.。

厦门双十中学2022-2023学年（上）期中考试高三数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用0.5mm 黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集=U R ，集合2{0,1,2},{|0}A B x x x ==+=，则下列关于集合,A B 关系的韦恩图正确的是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】解出集合B ，结合集合A 即可得答案.【详解】由集合2{|0}B x x x =+=，{0,1}B =-,又集合{0,1,2}A =，所以{0}A B = ，结合选项就得A 故选：A.2.已知复数z =，则z 的共轭复数z =（）A.14-- B.13i 2- C.14-+ D.13i 2-+【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的四则运算求出z，再根据共轭复数的概念即可解出．【详解】由)()2i i13i41z---===+，知14z-+=.故选：C．3.已知a，R,0b ab∈≠，则使11a b<成立的一个充分不必要条件是（）A.a b>B.0a b<< C.()0ab a b-> D.0a b>>【答案】D【解析】【分析】由题意只要利用不等式的性质即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：a b>不能推出11a b<，若1,2a b==-，则11a b>，故a b>不是11a b<的充分条件，故A 错误；对于选项B：11a ba b<<⇒>，故0a b<<不是11a b<的充分条件，故B错误；对于选项C：()()221110,000ab a b ab ab a ba b b a->≠⇒⋅->⇒->，故可知()0ab a b->是11a b<成221110,00()0ab a b ab a bb a b⎛⎫<≠⇒-<⇒->⎪⎝⎭所以()0ab a b->是11a b<的充分必要条件，故C错误；对于选项D：11a ba b>>⇒<，故0a b>>是11a b<的充分条件，但是11a b<不能推出0a b>>，若2a=-，=3b，则不满足0a b>>，故0a b>>是11a b<的充分不必要条件，故D正确.故选：D4.将3πsin34y x⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()y g x=的图象，再将()y g x=图象向左平移3π4，得到()y xϕ=的图象，则()y xϕ=的解析式为（）A.siny x= B.cosy x= C.sin9y x= D.3πsin92y x⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案.【详解】将3πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到()3πsin 4⎛⎫- ⎪⎝⎭=x g x 的图象，再将()y g x =图象向左平移3π4，得到()3π3πsin sin 44x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎝⎭⎣⎦的图象，故选：A.5.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若2AC = ，3AB =，则||AP 的值为（）A.B.132C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】设CP CD λ=，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出λ、m 的值，依题意可得ADC△为等边三角形，求出CP ，再由余弦定理求出AP 即可；【详解】解：设CP CD λ=，则221()(1)332AP AC CP AC CD AC AB AC AB AC AB mAC λλλλ=+=+=+-=+-=+，∴21=32=1m λ-λ⎧⎪⎨⎪⎩，解得3=41=4m λ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩．因为3AB = ，所以223AD AB ==，又2AC = ，π3BAC ∠=，所以ADC △为等边三角形，所以π3ACD ∠=，3342CP CD ==，由余弦定理22222331132cos 2222224AP A A C C CD C C D D A ⎛⎫=+-⋅+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭∠=，所以2AP =；故选：B6.已知()0,πα∈，且3cos 28cos 5αα-=，则sin 2α=（）A.459-B.C.49-D.4527-【答案】A 【解析】【分析】结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于3cos 28cos 5αα-=，所以()232cos18cos 5αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），由于()0,πα∈，所以5sin 3α==，所以45sin 22sin cos 9ααα==-.故选：A7.纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1T （℃），空气的温度是0T （℃），经过t 分钟后物体的温度T （℃）可由公式()()310304log log t T T T T =---⎡⎤⎣⎦得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（）参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈.A.3.048分钟 B.4.048分钟C.5.048分钟D.6.048分钟【答案】C 【解析】【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到34log 4，用换底公式将3为底的对数换成10为底的对数，代入已知对数值计算即可.【详解】依题意，170T =，010T =-，10T =，代入公式得：()()()31030334log log 4log 80log 20t T T T T =---=-⎡⎤⎣⎦33804lg 44log 4log 420lg 3===8lg 280.301 5.048lg 30.477⨯=≈≈（分钟），故选：C.8.设0.010.01e a =，199b =，ln 0.99c =-，则（）A.c<a<b B.c b a <<C.a b c << D.a c b<<【答案】A 【解析】【分析】根据给定数的特征，构造对应的函数，借助导数探讨单调性比较函数值大小作答.【详解】令函数e ,,ln(1)1xxy x t u x x===---，1)x ∈-，显然0,0y t >>，则ln ln ln [ln ln(1)]ln(1)y t x x x x x x -=+---=+-，令()ln(1)f x x x =+-，1)x ∈-，求导得1()1011x f x x x '=+=<--，即()f x 在1)上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0f x f <=，即ln ln y t y t <⇔<，因此当1)x ∈-时，e 1xx x x <-，取0.01x =，则有0.010.0110.01e 10.0199a b =<==-，令()e ln(1)xg x y u x x =-=+-，1)x ∈-，21(1)e 1()(1)e 11x xx g x x x x -+'=++=--，令2()(1)e 1x h x x =-+，1)x ∈-，2()(21)e 0x h x x x '=+-<，()h x在1)-上单调递减，1)x ∀∈-，()(0)0h x h <=，有()0g x '>，则()g x 在1)-上单调递增，1)x ∀∈-，()(0)0g x g >=，因此当1)x ∈-时，e ln(1)x x x >--，取0.01x =，则有0.010.01e ln(10.01)ln 0.99a c =>--=-=，所以c<a<b .故选：A【点睛】思路点睛：涉及某些数或式大小比较，探求它们的共同特性，构造符合条件的函数，利用函数的单调性求解即可.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合得题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知1sin cos 5αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）A.12sin cos 25αα= B.7sin cos 5αα+=C.0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.4tan 3α=【答案】ABD 【解析】【分析】根据()2sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1sin cos 5αα-=，所以242sin cos 25αα=，即12sin cos 25αα=所以()249sin cos 12sin cos 25αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4tan 13α=>，所以,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα故选：ABD10.已知1F ，2F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1PM MF =，下列判断正确的是（）A.21π3PF F Ð=B.2112MF PF =C.ED.E 的渐近线方程为y =【答案】BD 【解析】【分析】根据题意得2//OM PF ，212PF F F ⊥，2112MF PF =；由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠= ，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【详解】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以21π2PF F ∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确；由212PF F F ⊥知222221PF c a b -=，所以22b PF a =，又122F F c =，1230PF F ∠= ，所以22c a=)222c a ac -=220e --=，解得：e =C 错误；所以==c e a ，所以223c a =，所以22222b c a a =-=，所以ba=所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BD ．11.已知()[]()sin 1,1f x x x x =+∈-，且实数a ，b 满足()()10f a f b +-=成立，则以下正确的是（）A.ab 的最大值为14B.ab 的最小值为2-C.14a b+的最小值为9 D.b a -的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件可得1a b +=，其中[]1,1a ∈-，[]0,2b ∈，即可判断每个选项正误.【详解】()f x 为奇函数，()()()()()10111f a f b f a f b f b a b +-=⇒=--=-⇒=-，()f x 定义域为[]1,1-，则[]1,1a ∈-，[][]11,10,2b b -∈-⇒∈，并且1a b +=，()21111424ab b b b ⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭，A 正确；当2b =，1a =-时，ab 最小值为2-，b a -最大值为3，B 、D 正确；14121a b+=-+=，C 错误.故选：ABD.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.12.如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（）A.当M 为AD 中点时，三棱锥M -BDP 的体积为124B.沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132C.若保持PM =，则点M 在侧面内运动路径的长度为3πD.若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为抛物线【答案】ABC 【解析】【分析】求得三棱锥M -BDP 的体积判断选项A ；依据同一平面内两点之间线段最短判断选项B ；先判断出点M 在侧面内运动的轨迹，再去求得其长度判断选项C ；建立空间直角坐标系求得点M 的轨迹方程判断选项D.【详解】选项A ：当M 为AD 中点时，11111113322224M BDP P BDM BDM V V S PC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△.判断正确；选项B ：将平面ABCD 与平面11BB C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AD PD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭又将平面ABCD 与平面11DD C C 展开在同一平面，连接AP ，则2222313122AP AB PB ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭综上，沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为132.判断正确；选项C ：取1DD 中点E ，连接,PE ME PM，则PE ⊥平面11AA D D ，PE ME ⊥，则()2222=211ME PM PE -=-则点M 在侧面11AA D D 内运动轨迹为以E 为圆心半径为1的劣弧，分别交11AD A D 、于21M M 、，则121π3D E D M M E ∠=∠=则21π3M M E ∠=，劣弧21M M 的长为ππ1=33⨯.判断正确；选项D ：以D 为原点，分别以DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图：则11(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),(0,0,1)B B D D ，设(,0,)M m n ，[],0,1m n ∈则1111(1,1,1),(,0,1),(1,1,0)D B D M m n D B =-=-=11122111cos 3(1)D B D M MD B D B D M m n ⋅∠==⋅⋅+- 11111111116cos 332D B D B B D B D B D B ⋅∠==⋅⋅ 又()1110,πMD B B D B ∠=∠∈，则111cos cos MD B B D B ∠=∠221633(1)m n =⋅+-整理得2222210m n mn m n ++--+=即10m n +-=10m n +-=，[],0,1m n ∈表示线段，则点M 的轨迹不为抛物线.判断错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量a ，b 满足()3,4a =r ，6a b ⋅=，7a b -= ，则b = ______.【答案】6【解析】【分析】先由a的坐标，得到a r ，然后根据7a b -= ，两边同时平方，即可求得b .【详解】因为()3,4a =r，则5a = ，又因为6a b ⋅=，7a b -= ，所以22249a a b b -⋅+=r r r r ，即2366b b =⇒=r r 故答案为:6.14.若函数2())f x x x =为奇函数，则=a ________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，求出()f x 的表达式，由奇函数的定义可得()()0f x f x +-=，变形计算可得a 的值，验证即可得答案．【详解】解：因为函数())2lnf x x x =-为奇函数，所以()()0f x f x -+=，而())2lnf x x x -=，则()()))22lnlnf x f x x x x x+-=-++)))()22222lnlnlnln x x x x xx x x a x ⎡⎤=-++=-+=+-⎢⎥⎣⎦2ln 0x a ==，所以ln 0a =，则=1a .故答案为：1.15.写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.【答案】1y =或247250x y ++=或4350x y --=【解析】【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ，易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上，在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ，则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=，综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=.故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.16.如图，在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =.则平面展开图中sin GCF ∠=___________，四棱锥P ABCD -的外接球半径为___________.【答案】①.35##0.6②.6【解析】【分析】由题意可得sin sinBCF DCG ∠=∠=22GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，然后利用三角恒等变换公式可求得sin GCF ∠的值，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，由已知条件可得平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，则PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，从而可得四边形OMHN 是矩形，连接OD ，利用勾股定理可求得结果【详解】因为在四棱锥P ABCD -的平面展开图中，四边形ABCD 是矩形，ABE 是等边三角形，AD AH ⊥，1AD =，2AB =，所以sin sinBCF DCG ∠=∠=所以sin sin(2)2GCF BCF DCG ππ∠=-∠-∠-，sin(222DCG ππ=-∠-，cos 2DCG=-∠2432sin 12155DCG =∠-=⨯-=，如图，连接,AC BD 交于点M ，四棱锥P ABCD -的外接球球心为O ，在四棱锥P ABCD -中，,AD AP AD AB ⊥⊥，AP AB A = ，所以AD ⊥平面ABP ，因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABP ，取AB 的中点H ，连接PH ，因为PAB 为等边三角形，所以PH AB ⊥，因为平面ABCD ⋂平面ABP AB =，PH ⊂平面ABP ，所以PH ⊥平面ABCD ，设ABP 的外接圆圆心为N ，连接,OM ON ，则OM ⊥平面ABCD ，ON ⊥平面ABP ，则OM ∥PH ，可证得ON ∥MN ，所以四边形OMHN 是矩形，连接OD ，由于PAB 为等边三角形，所以113323323NH PH ==⨯⨯=，所以33OM =,设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，则22215193412R OM DM =+=+=，解得576R =，故答案为：35，576四、共解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､､证明过程或演算步骤.17.正项等差数列{}n a 满足14a =，且247,2,28+-a a a 成等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n b S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）22n a n =＋；（2）24n n +【解析】【分析】（1）假设公差，由等比中项列式，解出公差由等差数列通项公式即可求出；（2）求出n S ，表示出n b ，由其特点，利用裂项相消的方法求前n 项和.【详解】（1）设数列{}n a 公差为0d d （＞），由已知得：()()2274282a a a －＝＋，化简得：24120d d ＋－＝，解得：2d ＝或6d ＝－（舍），所以()1122n a a n d n ＝＋－＝＋．（2）因为()()1226+322n n a a n n Sn n n ++===，所以()()2111112321212n n b S n n n n n n ====-+++++++，所以123n n T b b b b ⋯＝＋＋＋＋＝11111111-+-+-+...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝11-2224n n n =++．【点睛】本题考查数列通项公式及前n 项和的求法，求通项时若已知数列类型可设首项及公差或公比然后列式解方程，求和时若通项为分式类型，则可考虑尝试裂项相消的求法.18.如图，在ABC 中，2AB =，3cos cos cos a B b C c B -=，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD 的面积为423，求sin sin BAD CAD ∠∠的值．【答案】（1）83AD =；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出cos B ，利用同角三角函数的平方关系可求得sin B 的值，然后在ABD △中，利用正弦定理可求得AD 边的长；（2）设CD t =，则2BD t =，利用三角形的面积公式可求得t 的值，然后在ABD △、ACD 中利用正弦定理，再结合sin sin ADB ADC ∠=∠，可求得结果.【小问1详解】解：因为3cos cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得()()3sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π=+=+=-=，()0,A π∈ ，则sin 0A >，故1cos 3B =，则B为锐角，所以，sin 3B ==，34ADC π∠=，则4ADB π∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD ABB ADB=∠，∴22232=，解得83AD =．【小问2详解】解：设CD t =，则2BD t =，423ACD S =△，则3ABC ACD S S ==△△，即1222323t ⨯⨯⨯=2t =，故36BC t ==，由余弦定理可得AC =在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ABBAD ADB =∠∠，故sin 2sin BAD ADB ∠=∠，在ACD 中，由正弦定理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，故2sin 4CAD ADC ∠=∠，因为()sin sin sin ADB ADC ADC π∠=-∠∠，所以，sin sin 24BAD CAD ∠==∠19.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y （米）是随着一天的时间t （0≤t ≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t 的水深数据的近似值如表：t （时）03691215182124y （米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①sin()y A t ωϕ=+，②cos()y A t b ωϕ=++，③sin y A t b ω=-+(0,0,0)A ωπϕ>>-<<．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【答案】（1）作图见解析；选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）安排早上5点至7点以及11点至18点【解析】【分析】（1）根据表中近似数据画出散点图，选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，由此利用三角函数的图象和性质求出该拟合模型的函数解析式即可．（2）由0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令y ≥1.05，得1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，从而解出121127k t k -≤≤+，即可求出结果．【小问1详解】根据表中近似数据画出散点图，如图所示：结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②cos()y A t b ωϕ=++做为函数模型，∴ 2.40.6 2.40.60.9 1.522A b -+====，，∵2126T ππωω==∴=，，∴0.9cos 1.56y t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，又∵函数y ＝0.9cos （6t π+φ）+1.5的图象过点()3,2.4，∴2.40.9cos(3) 1.56πϕ=⨯++，∴cos 12πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴sin 1ϕ=-，又∵0πϕ-<<，∴φ2π=-，∴0.9cos 1.50.9sin 1.5626y t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【小问2详解】由（1）知：0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭令y ≥1.05，即0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，∴1sin 62t π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，∴()722666k t k k Z πππππ-≤≤+∈，∴121127k t k -≤≤+，又∵5≤t ≤18，∵5≤t ≤7或11≤t ≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．20.如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC⊥平面11AA C C .（1）证明：1A C ⊥平面ABC ；（2）若BC 与平面1AA B 所成角的正弦值为7，求平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）57【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD ⊥1AC ，再证明出AB ⊥1AC ，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【小问1详解】取AB 的中点N ，AC 的中点D ，连接BD ，1A N ，CN ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，所以1A N AB ⊥，BD ⊥AC ，CN ⊥AB ，因为ABC⊥平面11AA C C ，交线为AC ，因为BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面1A AC ，因为1AC ⊂平面1A AC ，所以BD ⊥1AC ，因为1A N NC N = ，1,A N NC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥平面1A NC ，因为1AC ⊂平面1A NC ，所以AB ⊥1AC ，因为AB BD B = ，,AB BD ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC ；【小问2详解】过点C 作CF //AB ，以C 为坐标原点，CN 所在直线为x 轴，CF 所在直线为y 轴，1CA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()()()1110,0,0,,1,0,0,0,,0,2,,C BAA mB mC m --，0m >，()()()1,0,2,0,1,0AA m AB BC ===- ，()10,2,2CB =，设平面1AA B 的法向量为(),,t x y z =，则()()()()1,,0,,0,2,020t AA x y z m y mz t AB x y z y ⎧⋅=⋅=++=⎪⎨⎪⋅=⋅==⎩，解得：0y =，设1x =，则z m=，故31,0,t m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故21cos ,7BC t BC t BC t⋅==⋅ ，因为0m >，解得：2m =，故31,0,2t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面11BB C C 的法向量为(),,n ab =，则()()()()1,,0,2,2220,,1,00nCB a b c b c n BC a b c b ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩，设1b =，则31,3c a =-=-，则3,1,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为θ，则5cos cos ,7t n t n t nθ⋅===⋅ ，故平面1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值为57.21.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）已知A ，B 是双曲线C 上关于原点对称的两点，垂直于AB 的直线l 与双曲线C 有且仅有一个公共点P ．当点P 位于第一象限，且PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分时，求直线AB 的方程．【答案】（1）22163x y -=；（2）y =.【解析】【分析】（1）由题意可得22229811a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解方程组即可求出结果；（2）分别将直线AB 以及直线l 的方程与双曲线联立，表示出点B 与点P 的坐标，然后根据题意得到关于,k m 的方程组，解方程组即可求出结果.【小问1详解】因为22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为()3,0，且经过点()，所以22229811a b a b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2263a b ⎧=⎨=⎩．故双曲线C 的标准方程为22163x y -=．【小问2详解】由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，设AB 的方程为y kx =．联立22163x x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩消去y ，得()221260k x --=．由21200k k ⎧->⎨≠⎩得22k -<<且0k ≠，解得22612x k =-．因为l 与AB 垂直，所以设l 的方程为1y x m k=-+．联立221631x y y x m k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，化简得()()222224230k x kmx k m -+-+=．由22k -<<且0k ≠，得220k -≠．因为l 所以Δ0=，即()()22222168320k m km k ++-=，化简得()22232k m k =-，且点2222,22km mk P k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭．因为P 点位于第一象限，所以0m <，202k -<<．不妨设A ，B 分别位于双曲线的左、右两支上，记BP 与x 轴的交点为M ．因为PAB 被x 轴分割为面积比为3:2的两部分，且PAO 与PBO 面积相等，所以POM 与BOM 的面积比为1:4，由此可得4P B y y =-．因此2242mk k ⨯=--，即()22222616122m k k k ⨯=--．又因为()22232k m k =-，所以223616212k k ⨯=--，解得225k =．因为02k -<<，所以5k =-，故直线AB的方程为y x =．【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.22.已知函数ln ()()a x f x a R x+=∈．（1）当函数()f x 与函数()ln g x x =图象的公切线l 经过坐标原点时，求实数a 的取值集合；（2）证明：当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()h x f x ax =-有两个零点12,x x ，且满足12111x x a +<．【答案】（1）1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先利用导数的几何意义和函数()ln g x x =求出公切线方程，再将公切线方程与函数()f x 联立，表示21ln a x x e =-，再构造函数21()ln m x x x e=-利用导数求出其单调区间和值域，可求出a 的取值；（2）要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可，而1x =时函数()k x 的一个零点，所以只需再利用导数研究此函数的性质即可，由于两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上，若设121,x x =>则12211111x x x +=+<+，所以只需利用导数证明11a <即可.【详解】解：（1）设公切线l 与函数()ln g x x =的切点为()00,x y ，则公切线l 的斜率()001k g x x '==，公切线l 的方程为：()0001y y x x x -=-，将原点坐标(0,0)代入，得01y =，解得0x e =，公切线l 的方程为：1y x e=，将它与ln ()a x f x x +=联立，整理得21ln a x x e=-．令21()ln m x x x e =-，对之求导得：22()x e m x ex-'=，令()0m x '=，解得x =当x ∈时，()0,()m x m x '<单调递减，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当)x ∈+∞时，()0,()m x m x '>单调递增，值域为ln 2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，由于直线l 与函数()f x 相切，即只有一个公共点，故实数a 的取值集合为1ln 22⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）证明：2ln ()a x ax h x x+-=，要证()h x 有两个零点，只要证2()ln k x ax x a =--有两个零点即可．(1)0k =，即1x =时函数()k x 的一个零点．对()k x 求导得：1()2k x ax x '=-，令()0k x '=，解得x =x >()0,()k x k x '>单调递增；当0x <<时，()0,()k x k x '<单调递减．当x =()k x取最小值，(1)0k k <=，22221()ln (1)12k x ax x a ax x a ax x a ax x =-->---=-+->-+，必定存0x >2001()02u x ax x =-+>，即()()000k x u x >>．因此在区间上0x ⎫⎪⎭必定存在()k x 的一个零点．练上所述，()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．下面证明12111x x a+<．由上面步骤知()h x 有两个零点，一个是1x =，另一个在区间⎫+∞⎪⎭上．不妨设121,x x =>12211111x x x +=+<+11a +<即可．令1()1v a a =-，对之求导得21()0v a a'=--<，故()v a在定义域内单调递减，11()102v a v a ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，即11a <．【点睛】此题考查切线与导数的关系，利用导数研究函数零点个数，利用导数证明不等式，考查数学转换思想和计算能力，属于难题.第26页/共26页。

2020-2021学年厦门市双十中学高三上学期期中数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−16<0}，B ={−4,−2,0，1}，则( )A. B ⊆AB. A ∩B =⌀C. A ∩B ={0,1}D. A ∩B ={−2,0，1} 2. 等差数列中的是函数的极值点，则( ) A. B. C. D. 3. 图为几何体的三视，则该何体的表积为( )A. 20+2πB. 20+3πC. 24+2πD. 24+3π 4. 若函数f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(0≤φ≤π)为偶函数，则φ的取值为( )A. 0B. π2C. π4D. π 5. 某林场计划第一年造林1000公顷，以后每年比前一年多造林20%，则第四年该林场造林( )A. 1440公顷B. 17280公顷C. 1728公顷D. 2073.6公顷 6. 圆x 2+y 2=4上各点到直线L ：4x +3y −12=0的最小距离是( )A. 25B. 125C. 27D. 127 7. 在△ABC 中，D 为BC 边上一点，DC =2BD ，AD =√2，∠ADC =60°，若 AC =√2AB ，则BD 等于( )A. 2+√3B. 2+√2C. √2+√3D. 1+√2 8. 已知在△ABC 中，AB =BC =3，AC =4，设O 是△ABC 的内心，若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m ：n =( )A. 5：3B. 4：3C. 2：3D. 3：49. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 2021>0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，四棱锥S −ABCD 的底面为正方形，SA ⊥底面ABCD ，且SA =AD ，则异面直线DC 与SB所成的角为( )A. 60°B. 30°C. 45°D. 90°11. 已知直棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =AC ，点P 是侧面ABB 1A 1内的动点，点P 到棱AC 的距离等于到平面BCC 1B 1的距离，则动点P 的轨迹是( )A. 抛物线的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 直线的一部分12. 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，g(x)≠0，f(x)g′(x)>f′(x)g(x)，且f(x)=a x g(x)(a >0且a ≠1，f(1)g(1)+f(−1)g(−1)=52，对于有穷数列{f(n)g(n)}(n =1,2,…)，任取正整数k(1≤k ≤10)，则前k 项和大于1516的概率是( ) A. 310 B. 25 C. 12 D. 35 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 的外接圆圆心为O ，已知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______． 14. 已知函数f(x)=sin 2x +√3sinxcosx ，则f(x)的最小正周期为______ ；若f(x)在区间[−π3,m]上的最大值为32，则m 的最小值为______ ．15. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，A ，C 分别是椭圆的上下顶点，B 是椭圆的左顶点，F 是椭圆的左焦点，直线AF 与BC 相交于点D 。

福建省厦门市双十中学【最新】高一上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2230,M x x x x Z =--<∈，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3 2．已知集合{}{}2|4,|1A x y x B x a x a ==-=≤≤+，若A B A ⋃=，则实数的取值范围为（ ）A ．(][),32,-∞-⋃+∞B ．C ．D ．3．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()x f x g x e +=，则（ ）A ．()2x x e e f x -+=B ．()2x x e e f x --=C ．()2x xe e g x --= D ．()2x xe e g x --= 4．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )A ．3x y =-B ．12y x =C ．23log y x =D ．2y x x 5．已知()f x 的图象恒过点()1,1-，则函数()3f x -的图象恒过点（ ） A ．()2,1-- B ．()41-,C ．()1,4-D ．()1,2- 6．已知2212221log ,,log 333a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．已知幂函数()f x 图象过点(，则()9f =（ ）A ．3B ．9C ．-3D ．1 8．函数()()2log 2f x x =的最小值为（ ）A ．0B ．12-C ．14-D ．129．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101b a -<<<D ．1101a b --<<<10．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为A ．{}|22x x -<<B ．{|2x x >或 }2x <-C ．{}|04x x <<D ．{|4x x >或}0x <11．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1二、填空题12．若函数()2212f x x x +=-，则()3f =______________． 13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =+，则(),0x ∈-∞时，()f x =__________．14．已知函数2()1f x x x a =-+-有四个零点，则a 的取值范围是_________．三、解答题15．已知集合3212x A x x ⎧⎫-=-⎨⎬+⎩⎭， （Ⅰ）若B A ⊆，{|121}B x m x m =+<<-，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A B ⊆，{|621}B x m x m =-<<-，求实数m 的取值范围．16．计算：（1）121 1.533211(0.001)27()()49---++-； （2）231lg 25lg 2log 9log 22+-⨯. 17．已知函数()1ln 33x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为M . （1）求M ； （2）当x M ∈时，求()122421x x g x ++=-+的值域.18．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是0T ,经过一定时间t 后,温度T 将满足a T T -=()012t ha T T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,其中a T 是环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据:20.3010,30.4771lg lg ==）19．定义在()0,∞+的函数()f x 满足：①当1x >时，()2f x <-；②对任意(),0,x y ∈+∞，总有()()()2f xy f x f y =++.（1）求出()1f 的值；（2）解不等式()()14f x f x +->-；（3）写出一个满足上述条件的具体函数（不必说明理由，只需写出一个就可以）. 20．已知()()()2log 41x f x kx k R =+-∈. （1）设()()g x f x a =-，2k =，若函数()g x 存在零点，求a 的取值范围； （2）若()f x 是偶函数，设()24log 23x h x b b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数b 的取值范围.参考答案1．B【分析】解不等式得到集合M ，然后根据集合元素的个数得到真子集的个数．【详解】 由题意得{}{}13,0,1,2M x x x Z =-<<∈=，所以集合M 的真子集的个数为3217-=个．故选B ．【点睛】解答本题时要注意结论：含有n 个元素的集合的子集的个数为2n 个，真子集的个数为(21)n -个，非空子集的个数为(21)n -个，非空真子集的个数为(22)n -个．2．C【解析】试题分析：集合{{}||22A x y x x ===-≤≤，若A B A ⋃=，则B A ⊆，所以有2{12a a ≥-+≤，所以21a -≤≤，故选C. 考点：集合间的关系.3．B【解析】由已知：在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ），x f x g x e +=（）（），①， 所以x f x g x e +=﹣（﹣）（﹣），即x f x g x e +=﹣﹣（）（），②①②得()2x xe ef x --=；故选B ． 4．A【解析】【分析】结合所给函数的解析式考查函数的性质排除错误选项即可求得最终结果.【详解】考查所给函数的性质：3x y =-是偶函数，当0x >时，3x y =-单调递减，满足题意；12y x =是非奇非偶函数，不合题意；当0x >时，23y log x =32log x =，则函数在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意； 2y x x =-是非奇非偶函数，不合题意；本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B【解析】因为已知()f x 的图象恒过点()1,1-，所以当31x -=时，(3)1f x -=-，即函数()3f x -的图象恒过点(4,)1-，故选B.6．D【解析】试题分析：2log 10a <=，01b <<，121log 12c >=，故c b a >>. 考点：比较大小.7．A【解析】设幂函数f （x ）=x α，把点（33αα=12， 即f （x ）=12xf （9），故选A ．8．C【解析】试题分析： ())()()()22222222111log 2log ?21log log log log 224f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤==+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的最小值为14-. 考点：1、对数运算；2、二次函数.9．A【解析】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．由图易得1a >，101a -∴<<；取特殊点01log 0a x y b =⇒-<=<，11log log log 10aa ab a⇒-=<<=，101a b -∴<<<．选A ． 10．D【分析】 根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到()200f x f ->=（），【详解】函数()()222f x ax b a x b =+--为偶函数， 则20b a -=，故()()()2422f x ax a a x x =-=-+， 因为在()0,+∞单调递增，所以0a >.根据二次函数的性质可知，不等式 ()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（）， 的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或，故选D.【点睛】此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.11．C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11e e x x g x --+=+，则()()21111111e 1e e e e ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 12．-1【分析】令213x +=再代入()2212f x x x +=-求解即可. 【详解】当213x +=时1x =,故()3f =()2211121f ⨯+=-=-.故答案为：1-【点睛】本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.13．22x x -+【分析】当(),0x ∈-∞时，()0,x -∈+∞，结合题意求出()f x -，然后再根据函数为奇函数求出()f x 即可．【详解】当(),0x ∈-∞时，则有()0,x -∈+∞，∴()()2222f x x x x x -=--=-，又函数()f x 为奇函数，∴()22f x x x -=-， ∴()22f x x x =-+． 即(),0x ∈-∞时，()22f x x x =-+． 故答案为22x x -+．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查转化的方法在解题中的应用，解题的关键是根据对称性将问题转化到区间()0,+∞上去求解，再根据奇偶性得到所求．14．5(1,)4【解析】由f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1=0，得a ﹣1=﹣x 2+|x|，作出y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象，要使函数f （x ）=x 2﹣|x|+a ﹣1有四个零点，则y=﹣x 2+|x|与y=a ﹣1的图象有四个不同的交点，所以0＜a ﹣1＜14，解得：a ∈514⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故答案为514⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题．一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高．15．（Ⅰ）3m ≤；（Ⅱ）34m ≤≤．【解析】试题分析：（1）求出集合A ，利用子集关系，通过B 是否为空集，列出不等式组求解即可．（2）A ⊆B ，B={x|m ﹣6＜x ＜2m ﹣1}，列出不等式组求解即可．试题解析： 解不等式3212x x ->+，得25x -<<，即()2,5A =-. （1）B A ⊆①当B =∅时，则211m m -≤+，即2m ≤，符合题意；②当B ≠∅时，则有212215m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩解得：23m <≤.综上：(],3m ∈-∞.（2）要使A B ⊆，则B ≠∅，所以有 21662215m m m m ->-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩解得：34m ≤≤.16．（1）6-；（2）12-． 【解析】试题分析：（1）本问考查分数指数幂运算法则m m n a==（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），1m n m n aa -=（0a >，,n m N +∈，m n 为既约分数），原式=121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092=++-276-=-；（2）本问考查对数运算法则log log log a a a MN M N =+（0,1,,0a a M N >≠>），log log log aa a MM N N=-（0,1,,0a a M N >≠>），log log a a M M αα=（0,1,0,a a M R α>≠>∈），原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=-. 试题解析：（1）121333223322(10)(3)(2)(3)------++-1092276=++-=- （2）原式122311lg 5lg 2lg102log 3log 21222-=+--⨯=+-=- 考点：1、指数运算；2、对数运算.17．（1）(]1?2M =-，;（2）[]1? 1?7-，. 【解析】（1）由已知可得20323{{11303x xx xx -≥-<≤+⇒>-->，∴12x -<≤，所以(]12M =-，. （2）()()12222421224212211x x x x x g x ++=-+=⋅-⋅+=--，∵12x -<≤，∴1242x <≤，所以当21x =，即0x =时，()min 1g x =-，当24x =，即2x =时，()max 17g x =，所以()g x 的值域为[]117-，. 18．25.9 【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式()01()2tha a T T T T -=-⋅，求解就可得到半衰期h 的值．再利用公式()01()2t ha a T T T T -=-⋅，中0195T =，105T =，75a T =，20t =代入，求出半衰期h 的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟．试题解析：依题意，可令0195T =，105T =，75a T =，20t =代入式子得：()20110575195752h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得10h =又若95T =代入式子得()1019575195752t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则101126t ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴()12321log 10log 610log 316t ===+ lg30.477110110125.9lg20.3010⎛⎫⎛⎫=+=+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：降温到95F 约需要25.9分钟. 19．（1）12f ;（2）1x <<;（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数 【解析】试题分析：（1）令x=y=1，1112f f f =++（）（）（），从而解得； （2）令1y x=，x ＞1，则有12f f x f y =++（）（）（），从而可推出f （y ）＞-2， 则14f x f x +--（）（）＞可化为即12f x x --（（））＞，从而解得； （3）12()log 2f x x =-．试题解析：（1）令1x y ==，有()()()1112f f f =++，∴()12f =- （2）任取()12,0,x x ∈+∞，且21x x >，不妨设()211x x h h -⋅∆∆>∴()()()()2111f x f x f x h f x -=⋅∆- ()()()()121222f x f x f x f x =++-=+， ∵1h ∆>，∴()2f h ∆<- ∴()()21f x f x <∴()f x 在()0,+∞上单调递减.()()14f x f x +->-⇔ ()()122f x f x +-+>-，∴()()()11f x x f ->所以原不等式等价于：()01011x x x x ⎧>⎪->⎨⎪-<⎩，解得：1x <<（3）()log 2a f x x =-，其中a 可以取()0,1内的任意一个实数点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.20．（1）()0,∞+;（2）见解析； 【解析】试题分析：（1）函数()g x 有零点转化为方程()f x a =有解，只需求函数()f x 的值域，a 的取值范围即为其值域；（2）根据()f x 是偶函数，利用特殊值()()11f f -=-求k ，函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，即方程()()f x g x =有一解，得方程42223x x x b b -+=⋅-有一解，换元转化为一元二次方程只有一正根的问题，分类讨论即可求出. （1）由题意函数()g x 存在零点，即()f x a =有解.又()()2log 412xf x x =+-= 22411log log 144x x x+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 易知()f x 在(),-∞+∞上是减函数，又1114x +>，21log 104x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即()0f x >， 所以a 的取值范围是()0,+∞.（2）()()2log 41xf x kx =+-，定义域为R ，()f x 为偶函数()()2111log 14f f k ⎛⎫⇒-=-⇒++ ⎪⎝⎭()2log 411k k =+-⇒=检验：()()2241log 41log 2x xxf x x ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭()2log 22x x-=+， 则()()()()2log 22xx f x f x f x --=+=⇒为偶函数，因为函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，所以方程()()f x g x =只有一解，即42223x x xb b -+=⋅-只有一解， 令2x t =0t >（），则23(1)430b t bt ---=有一正根， 当1b =时，304t =-<，不符合题意， 当1b ≠时，若方程有两相等的正根，则2=(4)43(1)(3)0b b ∆--⨯-⨯-=且4023(1)bb >⨯-，解得3b =-，若方程有两不相等实根且只有一正根时，因为23(1)43y b t bt =---图象恒过点(0,3)-，只需图象开口向上，所以10b ->即可，解得1b >， 综上，3b =-或1b >，即b 的取值范围是{3}(1,)-+∞.点睛：本题在处理两个函数图象只有一个交点时，转化为对应方程只有一解，利用换元法转化为含有参数b 的一元二次方程只有一正根，当1b ≠时，结合二次函数图象，分类讨论即可，在分类讨论时注意分类标准的选择，做到不重不漏.。

福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B= B. A B ⋂=∅C. A BD. B A2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 04. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A. B.C. D.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20B. 21C. 22D. 237. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A a c b<< B. b c a << C. b a c << D. c b a<<8. 已知定义域为()0,∞+函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 否定是R x ∀∈，2220xx++>.的的B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f g x 为偶函数>”是“x y >”的必要条件10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A.114ab ≥ B.122a b+≥ C.2≥ D. 228a b +≥11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2ff a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．14. 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．16. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1zs xyz+=的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18. 已知函数()22(11)1xf x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 取值范围．20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R aa f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫=⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力的的22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?22. 已知函数()()9230xx mf x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．福建省厦门双十中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学（时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．2．选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，则（ ）A. A B =B. A B ⋂=∅C. A BD. B A【答案】D 【解析】【详解】根据集合相等的概念，集合交集运算法则，集合包含关系等知识点直接判断求解.【分析】因为集合{}2,0,3A =，{}2,3B =，所以A B ≠，{}2,3A B ⋂=， B 是A 的真子集，所以A,B,C 错误，D 正确.故选：D2. 设,,R a b c ∈，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A. 22a b > B.11a b< C. 22a b > D. 22ac bc >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值举反例排除即可得到答案.【详解】对于A ，若0,1a b ==-，则22＜a b ，故A 错误；对于B ，若1,1a b ==-，则11a b＞，故B 错误；对于C ，由于2x y =在R 上单调递增，所以a b >时，22a b >，故C 正确；对于D ，若0c =，则22ac bc =，故D 错误.故选：C3. 已知函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，则a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数()00f =得到a 值再用定义法验证即可.【详解】因为函数()()()2221f x x a x a =+-+-为奇函数，定义域为(),-∞+∞，所以()()()0210f a a =--=，解得1a =或2a =，当1a =时，()()221f x xx =-，则()()()221f x x x f x -=--≠-，不满足题意；当2a =时，()()221f x x x =+，则()()()221f x x x f x -=-+=-，满足题意.所以a 的值是2.故选：B4. “2log 2x <”是“13x <<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念和对数函数相关概念求解即可.【详解】由22log 2log 4x <=，解得04＜＜x ，由“04＜＜x ”是“13x <<”的必要不充分条件，所以“2log 2x <”是“13x <<”的必要不充分条件.故选：B5. 在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）的A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数()0ay xx =≥，与()log 0a y x x =>，答案A 没有幂函数图像，答案B.()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合，答案C ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合，答案D ()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.6. “学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是36536511% 1.01+=（）；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是36536511%0.99-=（）.一年后“进步”的是“退步”的3653653651.01 1.0114810.990.99=≈（倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么大约经过（ ）天后“进步”的是“退步”的一万倍.（lg 20.3010,lg 30.4771≈≈）A. 20 B. 21C. 22D. 23【答案】D 【解析】【分析】根据题意可列出方程10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，求解即可，【详解】设经过x 天“进步“的值是“退步”的值的10000倍,则10000(10.2) 1.2x x ⨯-=，即1.2(100000.8x=，1.20.8lg10000log 10000231.2lg3lg20.1761lg l 4443g 20.8x ∴====≈≈-,故选：D ．7. 已知130.9a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（ ）A. a c b <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数的单调性和对数运算法则计算即可.【详解】由题意得，3227311121log 9log 322233c ===⨯=；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以10.90.5111333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，由于0.510.73⎛⎫=⎪⎝⎭，所以10.73b ＜＜；因为0.9x y =在R 上单调递减，所以1130.90.90.9a ==.所以c b a <<.故选：D8. 已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，都有()()1221211x f x x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()1f x x <-的解集为（ ）A. (),2-∞ B. ()0,2 C. ()0,3 D. ()2,3【答案】C 【解析】【分析】将()()1221211x f x x f x x x ->-变为()()2121110f x f x x x ++->，结合构造函数())1(),(0f x xg x x +=>，即可判断()g x 的单调性，由此将不等式()1f x x <-可化为()(3)g x g <，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，不妨设12x x <，则210x x ->，由()()1221211x f x x f x x x ->-得()()12212110x f x x f x x x -->-，即()()21122121110f x f x x x x x x x ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦>-，结合21120,0x x x x ->>得()()2121110f x f x x x ++->，即()()212111f x f x x x ++>，设())1(),(0f x xg x x +=>，则该函数在()0,∞+上单调递增，且()3(3)113f g =+=，则()1f x x <-即()11f x x+<，即()(3)g x g <，故03x <<，即不等式()1f x x <-的解集为()0,3，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的有（ ）A. 命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++>B. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件C. 奇函数()f x 和偶函数()g x 的定义域都是R ，则函数()()()=h x f gx 为偶函数>”是“x y >”的必要条件【答案】BC 【解析】【详解】根据含有一个量词命题的否定可判断A ；判断“0m <”和“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”之间的逻辑关系可判断B ；根据函数奇偶性定义判断C ；判断>”和“x y >”的推出关系可的判断D.【分析】对于A ，命题p ：0R x ∃∈，200220x x ++<，则命题p 的否定是R x ∀∈，2220x x ++≥，A 错误；对于B ，当0m <时，对于220x x m -+=有440m ∆=->，即方程有两个不等实根，设为12,x x ，则120x x m =<，即12,x x 一正一负；当220x x m -+=有一正一负根时，只需满足120x x <，即0m <，即“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件，B 正确；对于C ，由题意知()h x 的定义域为R ，由()(),()()f x f x g x g x -=--=可得()()()(())()h x f g x f g x h x -=-==，即函数()()()=h x f g x 为偶函数，C 正确；对于D >0x y >≥，反之，当x y >，比如0x y >>故>”是“x y >”的充分条件，D 错误，故选：BC 10. 若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的（ ）A. 114ab ≥B. 122a b +≥C. 2≥D. 228a b +≥【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和特殊值法判断各个选项即可.【详解】对于A 和C ，因为0a >，0b >，所以4a b +=≥2≤，当且仅当2a b ==时等号成立，故04ab ≤＜，则114ab ≥，故A 正确，C 错误；对于B ，代入2a b ==，12131222a b +=+=＜，故B 错误；对于D ，()22282a b a b++≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，故D 正确.故选：AD11. 双曲余弦函数e e ch 2x xx -+=常出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程等，其图象如图．已知函数()2e e 122023x x f x x -+=+，则满足)()2f f a <+的整数a 的取值可以是（ ）A. －1B. 0C. 1D. 2【答案】BCD【解析】【分析】判断函数()2e e 122023x x f x x -+=+的奇偶性以及单调性，则由)()2f f a <+可得||2|a <+，将各选项中的数代入验证，即可得答案.【详解】由题意知()2e e 122023x x f x x -+=+的定义域为R ，()2e e 1()22)0(23x x f x f x x -+-==+-，即()f x 为偶函数，又0x >时，e 1x >，令e ,(1)x t t =>，且e x t =在(0,)+∞上单调递增，函数1y t t=+(1,)+∞上单调递增，故e e 2x xy -+=在(0,)+∞上单调递增，则()2e e 122023x x f x x -+=+在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，故由)()2f f a <+得|||2|a <+，将各选项中的数代入验证，0，1，2适合，在故选：BCD12. 已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，当[]0,2x ∈时，()[](]242,0,142,1,2x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当2x >，()()2f x mf x =-（m 为非零常数）．则下列说法正确的是（ ）A. 当2m =时，()5.52f =B. 当12m =时，()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点C. 若对任意的[)12,0,x x ∈+∞，都有()()124f x f x -≤，则1m ≤D. 当01m <<，n +∈N 时，()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -【答案】BCD【解析】【分析】化简得到()()22f x f x +=，进而求得则()5.54f =，可判定A 错误；当12m =时，作出函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，结合图象，可判定B 正确；根据题意得出函数()f x 的值域对m 进行分类讨论，可判定C 正确；由()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数可判定D 正确.【详解】当2m =时，函数()()22f x f x =-可转化为()()22f x f x +=，则()()()()()5.5 3.522 3.521.524 1.5414f f f f =+==+==⨯=，所以A 错误；当12m =时，函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象，如图所示，可得函数()y f x =的图象与曲线4log y x =的图象有3个交点，所以B 正确；对于C 中，依题意，max min ()()4f x f x -<，当[]0,2x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2；当1m >时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；若6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦， ；随着x 依次取值，值域将变成[0,)+∞，不符合题意，若1m <-时，若[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，若(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]2,0m ；max min ()()224f x f x m -³->，不符合题意，所以C 正确；对于D ，当[]0,2x ∈时，可得函数()f x 的值域为[]0,2，当(2,4]x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,2m ；当6(4],x ∈时，函数()f x 的值域为20,2m ⎡⎤⎣⎦……，当(24],22x n n ∈--时，函数()f x 的值域为20,2n m-⎡⎤⎣⎦，当(22,2]x n n ∈-时，函数()f x 的值域为10,2n m -⎡⎤⎣⎦当(2,22]x n n ∈+时，函数()f x 的值域为0,2n m ⎡⎤⎣⎦，若01m <<，12222n n m m m -<<<<，由图象可知，()y f x =的图象与直线12n y m -=在区间[]0,2，(2,4]，……，],(2242n n --上均有2个交点，在(22],2n n -上有一个交点，在(2,)n +∞上无交点，所以()y f x =的图象与直线12n y m -=在[]0,2n 内的交点个数是21n -，所以D 正确.故选：BCD.【点睛】本题解题关键是准确作出函数的图象，数形结合可得判断B ,D ，利用()()22f x f x +=迭代可判断A ，对于C ，分1m >和1m <-两种情况讨论可判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若函数)311x fx +=-，则43f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-## 3.5-【解析】【分析】根据题意，令19x =，准确运算，即可求解.【详解】由函数)311x f x ++=-，令19x =，可得13479()1)13219f f +=+==--.故答案为：72-.14 已知集合{}22,1,0,1,2,{|ln(34)}A B x y x x =--==--，则A B = ______．【答案】{}2-【解析】【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合B ，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式234(4)(1)0x x x x --=-+>，解得1x <-或>4x ，即{|1B x x =<-或4}x >，因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}2A B =-I .故答案为：{}2-.15. 求值：31114log 1032631190.027log 2811log 2-⎛⎫+-++= ⎪+⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据指对幂运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，391log 10log 1029019==，1413181⎛⎫ =⎝=⎪⎭，3130.02710-==，66663311l 1og 2log 2log 2log 1log 2log 63+=+=+=+，所以原式110101833=+-+=.故答案为：816. 已知正数x ，y ，z 满足222321x y z ++=，则1z s xyz+=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】先代换1z +，结合基本不等式求解可得答案..【详解】因为222321x y z ++=，所以()()22232111z z x y z +=-=-+；易知1z <，所以221132z zx y +=-+；所以()221321xyz z z x y s xyz ++==-，由()114z z -≤，当且仅当12z =时取等号，可得()22432s y x y x +≥=≥，当且仅当228323x y ==，即x y ==时，取到最小值.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}22|430A x x ax a =-+<，集合{|(3)(2)0}B x x x =--≥.（1）当a =1时，求A B ⋂，A B ⋃；（2）设a >0，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤；（2）12a <<.【解析】【分析】(1)化简集合A ，B ，再利用交集、并集的定义直接计算得解.(2)由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件可得集合B A ，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.【小问1详解】当a =1时，{}{}|(1)(30)|13A x x x x x -<=<-=<，{|()()}{|23}320B x x x x x =≤-≤≤=-，所以{}|23A B x x =≤< ，{}|13A B x x ⋃=<≤.【小问2详解】因为a >0，则{}|3A x a x a =<<，由(1)知，{|23}B x x =≤≤，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A ，则有233a a <⎧⎨>⎩，解得12a <<，所以实数a 的取值范围是12a <<.18. 已知函数()22(11)1x f x x x =-<<-．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数()f x 的单调性并证明．【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）()f x 在(1,1)-上单调递减，证明见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性定义进行判断证明；（2）根据函数单调性定义进行证明.【小问1详解】()f x 是奇函数，理由如下：函数()22(11)1x f x x x =-<<-，则定义域关于原点对称，因为()()221x f x f x x --==--，所以()f x 是奇函数；【小问2详解】任取1211x x -<<<，则22121211221222221212222222()()11(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x --+-=-=---- 1221211221222212122()2()2(1)()(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x -+-+-==----，因为1211x x -<<<，所以2212211210,0,10,10x x x x x x +>->-<-<，所以12())0(f x f x ->，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.19. 已知函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，且()26f =．（1）求()0f ，判断函数()()2g x f x =-的奇偶性，并证明你的结论；（2）若对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，且当(]0,4x ∈时，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()02f =，函数()()2g x f x =-是奇函数，证明见解析（2）(],0-∞【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求得()02f =，利用奇函数定义和已知条件即可证明函数()()2g x f x =-奇偶性；（2）根据条件得到函数()f x 单调性，再结合题中条件将原不等式化简，将恒成立问题转化为最值问题进而求解.【小问1详解】因为函数()f x 满足()()()()2,f x y f x f y x y +=+-∈R ，所以令0y =，得到()()()20f x f x f =+-，所以()02f =；函数()()2g x f x =-定义域为(),-∞+∞，因为()()()()()()()422020g x g x f x f x f x f x f +-=+--=+---=-=⎡⎤⎣⎦，所以函数()()2g x f x =-奇函数【小问2详解】因为对任意x y ≠，都有()()()0f x f y x y -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()f x 在(),-∞+∞单调递增，不等式()18f x f m x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即()126f x f m x ⎛⎫+--≥ ⎪⎝⎭，即()()122f x f m f x ⎛⎫+--≥⎪⎝⎭，即()12f x m f x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以12x m x +-≥，所以12m x x≤+-对(]0,4x ∈恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以min12220m x x ⎛⎫≤+-=-= ⎪⎝⎭，即实数m 的取值范围为(],0-∞20. 已知实数a 满足123a ≤，1log 32a ≤．（1）求实数a 的取值范围；（2）若1a >，()()()()ln 1ln 12R a a f x mx x a x m =++---∈，且12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）(0,1){9} 是（2）-13【解析】【分析】（1）根据指数幂的含义以及对数函数的单调性分别求得a 的取值范围，综合可得答案；（2）由题意确定a 的值，化简()f x ，由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得919()9ln 322m =+-，再由911(9ln 222f m ⎛⎫-=-- -⎪⎝⎭，两式相加即可求得答案.【小问1详解】由123a ≤可得09a ≤≤，当01a <<时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,09a a ≤∴<≤，故01a <<；当1a >时，由1log 32a ≤得12log 3log a a a ≤，则123,9a a ≥∴≥，故9a ≥；综合可得实数a 的取值范围(0,1){9} ；【小问2详解】由题意知1a >，则9a =，则()()()99ln 19ln 12f x mx x x =++---，需满足11x -<<，则()919ln 21x f x mx x+=+--，故由12f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭得919(9ln 322m =+-，则9119ln 3222f m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1194,1322f f ⎛⎫⎛⎫-+=-∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21. 杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg 的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 130km /h v =的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力1112Q t v ∆=⨯（1t 表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 223010v t =-的减速运动（2t 表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力22222,1t v Q t ⨯∆=+已知该运动员初始体力为010000,Q kJ =不考虑其他因素，所用时间为t （单位：h ），请回答下列问题：（1）请写出该运动员剩余体力Q 关于时间t 的函数()Q t ；（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?【答案】（1）()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩（2）2t =时有最小值，最小值为5200kJ .【解析】【分析】（1）先写出速度v 关于时间t 的函数，进而求出剩余体力Q 关于时间t 的函数；（2）分01t <≤和14t <≤两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.【小问1详解】由题可先写出速度v 关于时间t 的函数()()30,0130101,14t v t t t <≤⎧=⎨--<≤⎩，代入1ΔQ 与2ΔQ 公式可得()()()1000060230,016012301016400,1411t t Q t t t t t -⋅⋅⨯<≤⎧⎪=⎡⎤-⋅--⎨⎣⎦-<≤⎪-+⎩解得()100003600,0148004001200,14t t Q t t t t -<≤⎧⎪=⎨++<≤⎪⎩；【小问2详解】①稳定阶段中()Q t 单调递减，此过程中()Q t 最小值()()min 16400kJ Q t Q ==；②疲劳阶段()48004001200(14)Q t t t t =++<≤，则有()480040012004005200kJ Q t t t =++≥+=，当且仅当48001200t t=，即2t =时，“=”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ ，由于52006400<，因此，在2h t =时，运动员体力有最小值5200kJ .22. 已知函数()()9230x x m f x m +=-⋅>．（1）当1m =时，求不等式()27f x ≤的解集；（2）若210x x >>且212x x m =，试比较()1f x 与()2f x 的大小关系；（3）令()()()g x f x f x =+-，若()y g x =在R 上的最小值为11-，求m 的值．【答案】（1）(,2]-∞；（2）()()12f x f x <；（3）1.【解析】【分析】（1）把1m =代入，结合一元二次不等式及指数函数单调性求解不等式即得.（2）利用差值比较法，结合基本不等式判断出两者的大小关系.（3）利用换元法化简()g x 的解析式，对3m 进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m 的值.【小问1详解】当1m =时，函数123()92)633(x x x x f x +=-⋅-=⋅，不等式()27f x ≤化为2(3)63270x x -⋅-≤，即(33)(39)0x x +-≤，解得39x ≤，则2x ≤，所以不等式()27f x ≤的解集为(,2]-∞.【小问2详解】依题意，()()112212923923x x m x x mf x f x ++-⋅⋅-=-+()()()12121233332333x x x x x x m =+--⋅-()()1212333323x x x x m =-+-⋅，由210x x >>，得12330x x -<，又212x x m =，则123323x x m +>=>==⋅，因此()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <.【小问3详解】令3x t =，0t >，则()()221323,9232mm x m x f x t t f x t t--=-⋅⋅-=-⋅=-⋅，于是()()()g x f x f x =+-2213232mmt t t t =-⋅⋅+-⋅2211(t t t =+)-2⋅3m ⋅(t +211()23()2m t t t t =+-⋅⋅+-221(3)23m m t t=+---，而12t t+≥=，当且仅当1t t =，即1t =，0x =时取等号，当32m ≤，即3log 2m ≤时，则当12t t +=时，()y g x =取得最小值313443211,log 4m m -⋅-=-=，矛盾；当32m >，即3log 2m >时，则当13m t t+=时，()y g x =取得最小值22311m --=-，解得1m =，则1m =，所以m 的值是1.【点睛】思路点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.。

福建省厦门双十中学2021届高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．已知0a b >>，则下列不等式中总成立的是（ ）A ．11a b b a +>+B ．11a b a b +>+ C ．11b b a a +>+D ．11b a b a->-3．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9B ．10C ．12D ．134．已知函数()=f x 1x ，[)21x ∈+∞,，都有不等式()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．[]2,4B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．[)4,+∞ 5．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到0.1）A ．609.4gB ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g6．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6547．设O 为ABC 所在平面内一点，满足2730OA OB OC ++=，则ABC 的面积与BOC 的面积的比值为（ ） A ．6B ．83C ．127D ．48．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π，把()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿x 轴向左平移3π个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，若()g x 在[],a a -上单调递增，则a 的最大值为（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．512π二、多选题9．一副三角板由一块有一个内角为60︒的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，90,B F ∠=∠=︒60,45,A D BC DE ∠=︒∠=︒=，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．直线BC ⊥面OFMB ．AC 与面OFM 所成的角为定值 C ．设面ABF面MOF l =，则有l ∥ABD ．三棱锥F COM -体积为定值.10．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+11．已知正数x ，y ，z 满足3212x y z ==，下列结论正确的有（ ）A ．623z y x >>B ．121x y z+=C．(3x y z +>+D ．28xy z >12．在ABC 中，已知cos cos 2b C c B b +=，且111tan tan sin A B C+=，则（ ） A ．a 、b 、c 成等比数列 B．sin :sin :sin 2:1:A B C =C ．若4a =，则ABC S =△D ．A 、B 、C 成等差数列三、填空题13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则6a 等于_________. 14．若π1sin 33α-=⎛⎫⎪⎝⎭，则πcos 23α+=⎛⎫⎪⎝⎭________． 15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，60A ∠=，BC =4PA =，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________.16．若对任意正实数,x y ，不等式()()2ln ln 1xx y y x a--+≤恒成立，则实数a 的取值范围a 为______.四、解答题17．在①1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++；②1n n a a +-=；③184n n a a n --=-（2n ≥）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解． 问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ； （2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132nT ≤<． 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且2sin cos sin b A B a B =+. （1）求角B 的大小；（2）设点D 是AC的中点，若BD =a c +的取值范围.19．如图,矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直,//AB CD ,90ABC ADB ︒∠=∠=,1,2CD BC ==.（1）求证://BE 平面DCF ;（2）当AE 的长为何值时,直线AD 与平面BCE 所成角的大小为45°? 20．某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． （1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量()8(60),13015480,30m m m q m m ⎧-⎪=⎨⎪>⎩（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的右焦点2F 且与C 交于不同的两点M ，N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.22．已知函数1()211f x x a nx x=--+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，正数1x ，2x 满足12()()2f x f x +=，证明：122x x +≥.参考答案1．A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误. 2．A 【分析】作差可判断A ，进而判断D ，取特殊值可判断B ，反证法可判断C. 【详解】 对于A ，()()()()11111a b ab a b a b a b a b b a b a ab ab -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，0a b >>，0a b ∴->，0ab >，110ab ∴+>>，()()1110a b ab a b b a ab -+⎛⎫⎛⎫∴+-+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11a b b a∴+>+，选项A 正确； 对于选项B ，取1a =，12b =，则11121a a +=+=，115222b b +=+=，故11a b a b+>+不成立，故B 错误；对于C 选项，要是11b b a a +>+成立，则有()()11b a a b +>+，即ab b ab a +>+，b a ⇒>，这与已知条件矛盾，选项C 错误； 对于选项D ，若有11b a b a ->-，则有11b a a b+>+，这与选项A 矛盾，错误. 故选：A . 【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题. 3．A 【分析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项． 【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题. 4．A 【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，可得021(1)a a f ⎧>⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，由此求得a 的范围． 【详解】解：函数()f x =1x ，2[1x ∈，)+∞，都有不等式1212()()0f x f x x x ->-， ∴当1x 时，()f x 为增函数，∴021(1)a a f ⎧>⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，解得24a ，故选：A ． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的、根式函数的性质，属于基础题． 5．C 【分析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量． 【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB =．因为母线与底面所成角的正切值为tan B =，所以圆锥的高为10cm PO=．设正方体的棱长为a，DE =1010a -=，解得5a =． 所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键． 6．A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n+的最小值.【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=.因为11611161161()()(17)17)5555n m m n m n m n m n +=++=++≥=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n+的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 7．A 【分析】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，由已知可得O 是'''A B C 的重心，由重心性质可得所求面积比． 【详解】作2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，如图，∵2730OA OB OC ++=，∴O 是'''A B C 的重心，则''''''OA B OB C OC A S S S ==△△△，设''''''OA B OB C OC A S S S t ===△△△，设,,OAB OAC y OBC S x S S z ===△△△，∵2OA OA '=，7OB OB '=，3OC OC '=，∴''1''sin ''2141sin 2OA B OABOA OB A OB S S OA OB AOB ⋅∠==⋅∠△△，即114x t =，同理16y t =，121z t =，11161462121ABC S x y z t t t t =++=++=△， ∴6216121ABC OBCt S S t ==△△． 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的计算，考查向量的加法与数乘法则，体现了向量在解决平面图形问题中的优越性． 8．A 【分析】化简函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据题意求得1ω=，得到()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再结合三角函数的图象变换，求得函数()4sin 23g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，最后结合三角函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππω==，所以1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭再沿x 轴向左平移3π个单位长度，可得2sin 22sin 2333y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 最后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()4sin 23g x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭， 令()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，可得()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 因此[]5,,1212a a ππ⎡⎤-⊂-⎢⎥⎣⎦，则51212a a a a ππ⎧⎪-<⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得012a π<≤， 所以实数a 的最大值为12π.故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求解解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 9．ABC 【分析】对于A ，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B ，C ，依托于选项A 即可较容易得到.点F 到平面COM 的距离不等确定，即可判断选项D .【详解】对于A ，由BC 中点O 与AC 中点M ，得//MO AB ,90,B F ∠=∠=︒得BC MO ⊥，由BCF △为等腰直角三角形得BC FO ⊥，由MO FO O ⋂=，MO FO ⊂，面OFM ，得直线BC ⊥面OFM ，故A 正确；对于B ，由A 得，AC 与面OFM 所成的角为C ∠，为定值30，故B 正确； 对于C ，由A 得，//MO AB ，故//AB 面OFM ，由AB 面ABF ，面ABF面MOF l =，所以l ∥AB ，故C 正确；对于D ，COM 的面积为定值，但三棱锥F COM -的高会随着F 点的位置移动而变化， 故D 错误. 故选：ABC. 【点睛】此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题. 10．ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题. 11．BCD 【分析】设3212x y z ==m =1>，求得3log x m =，2log y m =，12log z m =，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项． 【详解】设3212x y z ==m =1>，则3log x m =，2log y m =，12log z m =，226622log log 23log 2log 8m m m y m ====，336633log log 32log 3log 9m m m x m ====， 又0log 8log 9m m <<，所以23y x >，12666log log 12m z m ==，而log 12log 8m m >，所以62z y <，A 错；则3212121log 32log 2log 12log log m m m x y m m z+=+=+==，B 正确； 23232312log log (log log )log 12(log log )(2log 2log 3)log m m m m m x y m m m m z m ++==+=++322323322log log 21(log log )()3log log log log m m m m m m m m=++=++33≥+=+32322log log log log m m m m =，即23log m m =，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，3x yz+>+，即(3x y z +>+，C 正确；因为(222(log 12)(2log 2log 3)8log 2log 3m m m m m =+≥=，所以21118z x y ⎛⎫≥⨯⨯ ⎪⎝⎭，即28xy z >，D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实质就是表示出变量,,x y z ，然后证明各个不等式． 12．BC 【分析】首先根据已知条件化简得到2a b =，2c ab =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为cos cos 2b C c B b +=，所以()sin cos sin cos sin sin 2sin B C C B B C A B +=+==，即2a b =. 又因为111tan tan sin A B C+=， 所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====， 即2sin sin sin C A B =，2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 错误. 对选项B ，因为2a b =，2c ab =，所以::2a b c =，即sin :sin :sin 2A B C =B 正确. 对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos 8B +-==，因为0B π<<，所以sin B =故1428ABC S =⨯⨯=△，故C 正确. 对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+. 又因为A B C π++=，则3Bπ=.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos 82k k B +-==≠，故D 错误.故选：BC 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查了三角函数的恒等变换，属于中档题.13．32 【分析】利用1(2)n n n S S a n --=≥得到数列n a 与1n a - 的递推关系，可得数列{}n a 是等比数列，即可得到其通项公式，则可解出6a 的值. 【详解】因为n S 为数列{}n a 的前n 项和，且21n n S a =-，① 当1n =得11a =； 故1121n n S a --=-，②①﹣②得：11222(2)n n n n n a a a a a n --⇒=≥-=， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，即：561232a =⨯=.故答案为：32. 【点睛】本题考查了利用公式1(2)n n n S S a n --=≥求解数列的通项公式，题目主要是公式的应用，属于简单题，解题中需要注意的是写出1121n n S a --=-，利用公式得到数列项与项之间的递推关系. 14．79-， 【分析】由二倍角公式可得2πcos 2379α-⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由诱导公式即可得解. 【详解】 因为π1sin 33α-=⎛⎫⎪⎝⎭， 所以22πππcos 2cos 212sin 33379ααα-=-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π2πcos 2cos 2cos 233379αααπ+=--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：79-. 【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 15．32π 【分析】设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，根据正弦定理求出r ，根据球的性质，得到12OO =，再根据勾股定理得到28R =，根据球的表面积公式可求得结果. 【详解】如图：设三角形ABC 的外接圆的圆心为1O ，半径为r ，三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R ，PA 的中点为E ，连接11,,,OE OA OO AO ，因为PA ⊥平面ABC ，所以1PA AO ⊥，又1OO ⊥平面ABC ，所以1//OO PA ， 因为E 为PA 的中点，所以OE PA ⊥，所以四边形1OEAO 为矩形，所以1122OO EA PA ===， 在三角形ABC中，由正弦定理得224sin sin 603BC r A ====，所以2r ，在直角三角形1OO A 中，得2221R r OO =+22228=+=，所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为2432R ππ=.故答案为：32π. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了球的性质，考查了球的表面积公式，考查了直线与平面垂直的性质定理，属于中档题. 16．(]0,1 【分析】由题意可得1(2)(1)y y ln x x a -+，可设(0)yt t x=>，可得()(2)(1)f t t lnt =-+，求得导数和单调性，极值、最值，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围． 【详解】解：不等式(2)(1)xx y lny lnx a--+对x 、0y >恒成立， 可得1(2)(1)y y ln x x a-+，可设(0)yt t x=>，可得()(2)(1)f t t lnt =-+， 22()(1)2t f t lnt lnt t t-'=-++=-+-， 由y lnt =-和22y t=-在0t >递减，可得()f t '在0t >递减， 则()10f '=，当1t >时，()()10f t f '<'=，()f t 递减；01t <<时，()()10f t f '>'=，()f t 递增，可得()f t 在1t =处取得极大值，且为最大值()11f =， 则11a，即10a a -，解得01a <， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和换元法、构造函数法，以及导数的运用：求单调性和极值、最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 17．（1）241=-n a n ；（2）证明见解析. 【分析】（1）选①：转化条件得11141+++-=+n n a a n n ，再由等差数列的性质可得14+=n a n n，即可得解；2=2n =，即可得解；选③：由累加法可得当2n ≥时，241=-n a n ，代入1n =即可得解； （2）由裂项相消法可得11242n T n =-+，即可得证. 【详解】 （1）选①：由1(1)(1)(41)n n n a n a n ++=+++可得11411++++=+n n a a n n n， 即11141+++-=+n n a a n n， 又1141+=a ，所以1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列， 所以14+=n a n n，所以241=-n a n ； 选②：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； 选③：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ；（2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<．【点睛】本题考查了数列通项公式的求解及裂项相消法求数列前n 项和的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．（1）3B π=；（2）.【分析】（1）由2sin cos sin b A B a B =+可得sin cos()6b A a B π=-，由正弦定理得sin sin b A a B =，从而得sin cos()6a B a B π=-，化简可求得tan B =，进而可求出角B ；（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且2,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====，然后在BAE △中，利用余弦定理可得2()12ac a c =+-，再利用基本不等式可得4a c +≤，又由AE AB BE +>，即a c +>从而可求出a c +的取值范围 【详解】解：（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin sin b A a B =，因为2sin cos sin b A B a B =+， 所以sin cos()6b A a B π=-， 所以sin cos()6a B a B π=-，即sin cos()6B Bπ，即31sin cos sin 2B B B ，可得tan B = 又因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）如图，延长BD 到E ，满足DE BD =，连接AE CE ，，则ABCE 为平行四边形，且2,,3BE BAE AB c AE BC a π=∠====，在BAE △中，由余弦定理得22222cos 3a c ac π=+-，即2212a c ac ++=，可得2()12a c ac +-=，即2()12ac a c =+-， 由基本不等式得：22()12()2a c ac a c +=+-≤， 即23()124a c +≤，即2()16a c +≤，可得4a c +≤ （当且仅当2a c ==取等号号）又由AE AB BE +>，即a c +>故a c +的取值范围是. 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角恒等变换公式的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题19．(1)答案见解析【分析】（1）（法一）以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.根据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知AD =求得面CDF的法向量(5,2n =，再由向量的数量积求得0BE n ⋅=，可得证；（法二）由矩形和梯形的几何性质得出线线平行，再由面面平行的判定定理可证得面//ABE 面CDF ，由面面平行的性质可得证；（2）由（1）可得面BCE 的法向量(2,n h h =-，由线面角的向量计算方法建立方程可求得. 【详解】(1)(法一)如图,以D 为原点,AD 所在直线为x 轴,BD 所在直线为y 轴,DF 所在直线为z 建系.设AE h =,由1CD =,2BC =,90ADB ︒∠=,依据三角形相似可得5AB =,故由勾股定理可知AD =在CBD 中,可得BD =所以各点坐标为(0,0,0),,),(0,0,)D A B C E h F h ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)BE h =,设面CDF 的法向量为(,,)n x y z=,所以00x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩, 化简得20y xz =⎧⎨=⎩,令1x =得(5,2n =，得0BE n ⋅=,故BE n ⊥.又BE 不在面CDF 上,所以//BE 面CDF . (法二)因为矩形HDEF ,故//AE DE .又//AB CD ,且ABAE A =,CD DF D ⋂=,AB､AE在面ABE上,CD､DF在面CDF上,故面//ABE面CDF. 又BE在面ABE上，且BE不在面CDF上,故//BE面CDF.(2)(25,0,0),,(25,)DA BC BE h⎛⎫=-=⎪⎝⎭，设面BCE法向量为(,,)nx y z=,所以x yhz⎧=⎪⎨⎪+=⎩,化简得2x yz=-⎧⎪⎨=⎪⎩,令y h=,得(2,n hh=-.由题得||cos45||||2DA nn DA︒⋅===.故h=,因为h为正,所以AD h==.【点睛】本题考查空间的线面平行的证明，线面角的计算方法，关键在于建立空间直角坐标系，求得面的法向量，运算线面角的向量计算方法求解，属于中档题.20．（1）300台（2）90【分析】（1）由总成本21()150600p x x x=++万元,可得每台机器人的平均成本()p xyx=,然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m mq mm⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求．【详解】解:（1）由总成本21()150600p x x x =++,可得每台机器人的平均成本21150()1150600112600x x p x y x x x x ++===++≥=, 当且仅当1150600x x=,即300x =时,等号成立, ∴若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量8(60)(130)()15480(30)m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,当130m ≤≤时,300台机器人的日平均分拣量为()2160601609600m m m m -=-+,∴当30m =时,日平均分拣量有最大值144000； 当30m >时,日平均分拣量为480300144000⨯=, ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件． 若传统人工分拣144000件,则需要人数为1440001201200=（人）．∴日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少1203090-=．【点睛】本题考查函利用均值定理求最值,考查简单的数学建模思想方法.21．（1）22143x y +=；（2）存在；()4,0Q . 【分析】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，结合离心率可求出椭圆C 的方程； （2）当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，与椭圆方程联立，表示出直线QM 与直线QN 的斜率的和，代入韦达定理计算，可得定值，进而求出点Q 的坐标，当直线l 与x 轴垂直时也成立． 【详解】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=， 又因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12c e a ==， 所以2a c =，联立解得2a =，1c =，所以b == 所求椭圆方程为22143x y +=. （2）若存在满足条件的点(),0Q t .当直线l 的斜率k 存在时，设()1y k x =-，联立22143x y +=， 消y 得()22223484120k x k x k +-+-=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+x ， ∵()()()()()()122112121211QM QN k x x t k x x t y y k k x t x t x t x t --+--+=+=---- ()()()()222212122222121222818242212343441283434k t k t kx x k t x x kt k k k k k x x t x x t t t k k +--+-+++++==⋅--++-+++ ()()()()()()222222222282481234644128344134k k t t k k t k k k t t k t k t --+++-=⋅=--++-+-，∴要使对任意实数k ，QM QN k k +为定值，则只有4t =，此时，0QM QN k k +=.当直线l 与x 轴垂直时，若4t =，也有0QM QN k k +=.故在x 轴上存在点()4,0Q ，使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值0.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查定值问题，考查椭圆的标准方程，属于中档题．22．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）求得导数22(01),,2()x ax f x x -+'=+∞，令()221h x x ax =-+，则()()411a a ∆=-+，分0∆≤和0∆>两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；（2）当1a =时，得到1()2ln 1f x x x x=--+，根据函数()f x 的单调性，不妨设1201x x <≤≤，得到11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈，结合导数求得函数()g x 的单调性和极值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数1()211f x x a nx x=--+的定义域为(0,)+∞， 可得2222121()1a x ax f x x x x-+'=-+=， 令()221h x x ax =-+，则()()244411a a a ∆=-=-+. ①当11a -≤≤时，0∆≤，可得()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立，则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.②当1a <-或1a >时，0∆>，令()0f x '=，得1x a =2x a =+ （i ）当1a <-时，120x x <<，所以()0f x '≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立.则()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.（ⅱ）当1a >时，120x x <<.若1(0,)x x ∈，()0f x '>，函数()f x 单调递增；若12(,)x x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减；若2(,)x x ∈+∞，()0f x '>，函数()f x 单调递增.综上所述：当1a ≤时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当1a >时，在(0,a 和()a +∞，上()f x 单调递增；在(a a ()f x 单调递减.（2）当1a =时，函数1()2ln 1f x x x x =--+， 由（1）可知()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又易知()11f =，且12()()2f x f x +=，不妨设1201x x <≤≤，要证122x x +≥，只需证212x x ≥-，只需证21()2()f x f x ≥-，即证11()2()2f x f x -≥-，即证11())220(f x f x -+-≤，构造函数()()()22g x f x f x =-+-﹐(0,1]x ∈， 所以11()22ln(2)2ln 2g x x x x x=------，(]0,1x ∈， 则32322222221214(331)4(1)()2(2)(2)(2)x x x x g x x x x x x x x x --+---'=--+==----， 当(0,1]x ∈时，()0g x '≥，所以函()g x 数在区间（0，1]上单调递增，则()()10g x g ≤=，所以11())220(f x f x -+-≤得证，从而122x x +≥.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2}2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x3．若函数是奇函数，则a=（）A．﹣2 B．2 C． D．4．给定映射f：（x，y）→（2x+y，x﹣2y），在映射f下，（3，﹣1）的原像为（）A．（﹣1，3）B．（5，5） C．（3，﹣1）D．（1，1）5．已知函数则f（﹣3）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣96．已知k，b∈R，则一次函数y=kx+b与反比例函数在同一坐标系中的图象可以是（）A． B．C．D．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f （log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c8．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.59．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．10．当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数的定义域为．12．已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为．13．已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪∁U B=R，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，则函数g（x）=log2（ax+b）的零点是．15．若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是．16．方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（1）求值：lg5•lg400+（lg2）2；（2）已知x=log23，求的值．18．已知集合．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．设函数．（Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．20．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系式为s（t）=﹣4t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家48km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．21．已知函数（p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．22．已知函数f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=﹣x+14图象的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内有两个相异根，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），然后根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），∵M={x|x＜1}，∴∁U M={x|x≥1}，又N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|1≤x＜2}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与y=x的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同y=|x|．【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．对于A，函数y=的定义域为[0，+∞），故与y=x不是相同函数，故A错误；对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误；对于C．定义域为（0，+∞），故C错误；对于D，易知函数，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同．故选D．【点评】本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑．3．若函数是奇函数，则a=（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即（x+2）（x﹣a）=（x﹣2）（x+a），则x2+（2﹣a）x﹣2a=x2+（a﹣2）x﹣2a，即（2﹣a）x=（a﹣2）x，则2﹣a=a﹣2，得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．4．给定映射f：（x，y）→（2x+y，x﹣2y），在映射f下，（3，﹣1）的原像为（）A．（﹣1，3）B．（5，5） C．（3，﹣1）D．（1，1）【考点】映射．【专题】方程思想；对应思想；函数的性质及应用．【分析】设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得答案．【解答】银：设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得：x=1，y=1，故在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（1，1）故选：D【点评】本题考查的知识点是映射，由象求原象就是解方程（组）．5．已知函数则f（﹣3）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣9【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（﹣3）=﹣f（﹣2）=f（﹣1）=﹣f（0）=f（1）=1．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．已知k，b∈R，则一次函数y=kx+b与反比例函数在同一坐标系中的图象可以是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过K的讨论，判断函数的图象即可．【解答】解：当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D 不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A不成立，B成立，C、D不成立．当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，B成立；故选：B．【点评】本题考查直线方程与反比例函数图象的判断，考查计算能力．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f （log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【考点】奇偶性与单调性的综合；对数值大小的比较．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，要得函数在（0，+∞）上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0＜0.20.6＜1＜log47＜log49=log23，可得b＜a＜c，故选C．【点评】本题解答的关键是根据函数的性质得出自变量的绝对值越小，函数值越大这一特征，由此转化为比较自变量的大小，使得问题容易解决．这也是本题解答的亮点．8．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f （1）=﹣2 f （1.5）=0.625 f （1.25）=﹣0.984f （1.375）=﹣0.260 f （1.4375）=0.162 f （1.40625）=﹣0.054那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选 C．【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】若函数是R上的减函数，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数是R上的减函数，∴，解得：a∈，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．10．当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】令令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即k=t2﹣t∈[﹣，+∞），再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即 t2﹣t﹣k=0，即 k=t2﹣t．由于t2﹣t=（t﹣）2﹣≥﹣，当t=时，取得最小值﹣，当k＜﹣时，方程无解，故A正确；当k=﹣时，方程有两解，且为x=±log2，故B正确；当k＞0时，方程t2﹣t﹣k=0的判别式△=1+4k＞0，两根异号，则方程有两解，故D正确；当k=0时，方程即为t2﹣t=0，求得t=0，或t=1，此时x=0或±1，有三个解，故C不正确．故选C．【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数的判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数的定义域为{x|x≤2且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：根据题意，要使得函数有意义，要满足，故可知答案为{x|x≤2且x≠1}．故答案为：{x|x≤2且x≠1}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题．12．已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为﹣11 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣1，判断函数的奇偶性，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣2，∴f（x）+2=ax3+bx，是奇函数，设g（x）=f（x）+2，则g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+2=﹣（f（x）+2）=﹣2﹣f（x），即f（﹣x）=﹣4﹣f（x），若f（2015）=7，则f（﹣2015）=﹣4﹣f（2015）=﹣4﹣7=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．13．已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪∁U B=R，则实数a的取值范围是a≥2．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由全集R及B，求出B的补集，根据A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：∵全集U=R，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁U B={x|x＜1或x＞2}．∵A={x|x﹣a≤0}={x|x≤a}，A∪（∁U B）=R，∴a≥2，则a的取值范围为a≥2．故答案为：a≥2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题．14．已知函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，则函数g（x）=log2（ax+b）的零点是 2 ．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意得方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；从而利用韦达定理求a，b；再解方程即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，∴方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；∴﹣3+1=﹣a，﹣3•1=b；解得a=2，b=﹣3；故令函数g（x）=log2（2x﹣3）=0解得，x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及韦达定理的应用．15．若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是（1，] ．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】x≤2时，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而需满足2+log a x≥4，（x＞2）恒成立，从而可判断a＞1，从而可得出log a2≥2，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4；∴f（x）的值域为[4，+∞）；∴x＞2时，2+log a x≥4恒成立；∴log a x≥2，a＞1；∴log a2≥2；∴2≥a2；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数恒成立问题的处理方法．16．方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意，x4+ax﹣9=0的各个实根可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点的横坐标，由于交点要在直线y=x的同侧，可先计算函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），再将函数y=x3纵向平移|a|，数形结合发现只需函数y=x3+a的图象与y=x的交点分布在A的外侧或B的外侧，故计算函数y=x3+a的图象过点A或B时a 的值即可的a的范围【解答】解：如图x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C，D的横坐标∵函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），函数y=x3+a的图象可看做是将函数y=x3纵向平移|a|的结果，其图象为关于（0，a）对称的增函数当函数y=x3+a的图象过点A（3，3）时，a=﹣24当函数y=x3+a的图象过点B（﹣3，﹣3）时，a=24∴要使函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C、D均在直线y=x的同侧只需使函数y=x3+a的图象与y=x的交点横坐标大于3或小于﹣3∴数形结合可得a＜﹣24或a＞24故答案为（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）【点评】本题考查了数形结合解决根的存在性及根的个数问题的方法，认真分析“动”函数与“定”函数的关系是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（1）求值：lg5•lg400+（lg2）2；（2）已知x=log23，求的值．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）把x=log23代入，然后利用对数的运算性质结合有理指数幂的运算性质化简得答案．【解答】解：（1）lg5•lg400+（lg2）2=lg5（lg4+lg100）+=2lg5•lg2+2lg5+2lg22=2lg2（lg5+lg2）+2lg5=2lg2+2lg5=2（lg5+lg2）=2；（2）∵x=l og23，∴===．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．18．已知集合．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分类法；集合．【分析】（Ⅰ）把a=1代入A中不等式，求出解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可；（Ⅱ）由A与B的交集为空集，分A为空集及不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，A={x|0＜x＜5}，由＜2x﹣1＜4，得﹣2＜x﹣1＜2，解得：﹣1＜x＜3，∴B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|0＜x＜3}；（Ⅱ）若A=∅，则a﹣1≥3a+2，解得：a≤﹣；若A≠∅，则a＞﹣，由A∩B=∅，得到a﹣1≥3或3a+2≤﹣1，解得：﹣＜a≤﹣1或a≥4，综上，实数a的取值范围是{x|x≤﹣1或x≥4}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．设函数．（Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）设t=log3x，由x的范围，可得t的范围，运用对数的运算性质，可得f（x）关于t的解析式；（Ⅱ）由二次函数在闭区间上的最值的求法，讨论区间上的单调性，即可得到所求最值及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）设t=log3x，由，即有﹣2≤log3x≤3，即﹣2≤t≤3．此时，f（x）=﹣log3（9x）•（log3x﹣1）=﹣（log3x+2）（log3x﹣1）=﹣t2﹣t+2，即f（x）=﹣t2﹣t+2，其中﹣2≤t≤3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又﹣2≤t≤3，函数y=﹣t2﹣t+2在单调递增，在单调递减，所以当，即，即时，f（x）取得最大值；所以当t=3，即log3x=3，即x=27时，f（x）取得最小值﹣10．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及对数函数的单调性，同时考查二次函数的最值的求法，及化简运算能力，属于中档题．20．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系式为s（t）=﹣4t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家48km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13）（km）；在景区共玩6个小时，此时离家的距离可认为不变，于是当3＜t≤9时，s（t）=s（3）km；小张开车以60km/h的速度沿原路匀速返回时，共用2小时，因此当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420；（2）利用分段函数，解得t，可得第一次、第二次经过加油站时的时间．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13），∴s（3）=﹣4×3×（3﹣13）=120．即小张家距离景点120 km，小张的车在景点逗留时间为17﹣8﹣3=6（h）．∴当3＜t≤9时，s（t）=120，小张从景点回家所花时间为=2（h），∴当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420．综上所述，这天小张的车所走的路程s（t）=（Ⅱ）当0≤t≤3时，令﹣4t（t﹣13）=48，得t2﹣13t+12=0，解得t=1或t=12（舍去），当9＜t≤11时，令60t﹣420=2×120﹣48=192，解得t=．答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和18时．【点评】本题考查了分段函数的求法和应用、路程与速度时间的关系等基础知识与基本方法，属于难题．21．已知函数（p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣x），根据函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递增，可得，由此求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，所以．（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，从而f（x1）﹣f（x2）=﹣==＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为：f（2x﹣1）＜﹣f（x），即f（2x﹣1）＜f（﹣x），由（Ⅱ）可得，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以，解得，即原不等式解集为．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．22．已知函数f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=﹣x+14图象的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内有两个相异根，求实数a的取值范围．【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象．（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，只需（f（x）+x）max＜14．分类讨论求得（f（x）+x），可得实数a的取值范围．max（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．分类讨论，求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象如下：（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），即f（x）+x＜14恒成立，只需（f（x）+x）max＜14．另一方面，f（x）=，即 f（x）=．当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a2，则f（x）在R上递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）和上递增，在上递减，故f（x）在x∈[1，2]上恒单调递增，从而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒单调递增，则（f（x）+x）max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，故实数a的取值范围是（0，4）．（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．此时，，即，则由（Ⅱ）可知，当a≥0时，F（x）=f（x）+1在R上递增，方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内至多有一个根，不符合要求，舍去；故a＜0．当x≤a时，令F（x）=0，可得（不符合x≤a，舍去）或，但，不在区间（﹣1，0）内．当x＞a时，F（x）=3x2﹣2ax+1在区间（﹣1，0）内必有两个不同的零点，从而（﹣1，0）⊆（a，+∞），所以，解得．【点评】本题主要考查函数的图象，函数与方程的综合应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21。

2020-2021学年高一第一学期期中数学（时间: 120分钟， 满分: 150 分）一.选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1.已如集合M={-1，1，3， 5}， N=(-2，1，2，3，5} 则M ∩N=（ ）A. {-1，1，3}B.{1，2，5)C.{1，3, 5}D. ∅2.已知幂函数y= f(x)的图像过(36, 6),则此幂函数的解析式是（ ） A.31x y = B. 3x y = C.21x y = D. 2x y = 3.函数112)(2--=x x x f 的定义城为（ ） A.),21[+∞ B. (1+∞) C. )∞(1,+)21(-1, ⋃ D. )∞,1)U(1,+21[4.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A.0>1+2x +x R,∈x 2∀B.所有菱形的4条边都相等C.若2x 为偶数，则x ∈ND.π是无理数5.设x ∈R ，则“|x-3|<1"是“x>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.已知x ，Y 都是正数，xy=1,则yx 41+的最小值为( ) A.3 B. 4 C. 5 D.67. 定义在R 上的偶函数f(x)满足:对任意的2121),,0[,x x x x ≠+∞∈,有0)]()()[(1212<--x f x f x x ，则（ ）A. f(3)<f(-2)<f(1)B. f(1)<f(-2)<f(3)C. f(3)<f(1)<f(-2)D. f(-2)<f(1)<f(3)8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+2)，且当x ∈[-2,0) 时，491)(++=x x x f ，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有31≤f(x)，则m 的取值范围为（ ） ),511.[+∞-A ),310.[+∞-B ),25.[+∞-C ),411.[+∞-D 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，)9.若集合A={x|x 2-3x=0,则有（ ）A. 0⊆AB.{3}∈AC. {0,3}⊆AD.A ⊆{y|y<4}10.下列各组的数表示不同函数的是（ ） A.f （x ）=2x ，g （x ）=|x|11)(,1)(.)()(,)(.)(,1)(.2220--=+=====x x x g x x f D x x g x x f C x x g x f B11.若非零实数a ，b 满足a<b ，则下列不等式不一定成立的是（ ） A.1<b a B.2≥+b a a b C.2211baab < D.b b a a +<+22 12.对x ∈R, [x] 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列结论中正确的是（ ）A. 任意x ∈R, x<[x]+1B. y=[x]，x ∈R 的图像关于原点对称C.函数y=x-[x]，(x ∈R)，y 的取值范围为[0,1)D. 任意x,y ∈R, [x]+[y]≤[x+y]恒成立三填空愿(每小题5分，共20分)13. 命题“21)21(,100≥>∃x x ”的否定是： ; 14.已知函数⎩⎨⎧>-<+0,40x 4,x =f(x)x x 则f[f(-3)]的值： ;15.若函数f （x ）=a ax x ++2的定义域为R ，则实数a 的取值范围是： ;16.某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收人的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少2.5t 万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收人每年不少于900万元，求实数t 的取值范围 ;四.解答题:本大题共6小题，共70分。

2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．)1. 己知集合A＝{−1, 1}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∪B＝（）A.{1}B.{−1, 1, 2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{0, 1, 2}2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A.y=1xB.y=√xC.y＝2xD.y＝−x|x|3. 设函数f(x)={x2+1,x≤12x,x>1，则f（f(4)）＝（）A.1 2B.2C.32D.544. 已知集合A={0, 1, a2}，B={1, 0, 2a+3}，若A=B，则a等于（）A.−1或3B.0或−1C.3D.−15. 已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1a +4b的最小值是()A.7 2B.4C.92D.56. 若a＝1.70.6，b＝0.61.7，c＝0.60.6，则（）A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b7. 已知不等式ax2−5x+b>0的解集为{x|−3<x<2}，则不等式bx2−5x+a<0的解集是（）A.{x|−13<x<12} B.{x|−12<x<13}C.{x|x<−13或x>12} D.{x|x<−12或x>13}8. 定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2(x1≠x2)都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则下列关系式恒成立的是（）A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+1)<f(2a)D.f(a2+2)<f(2a)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9. 下列四组函数，不表示同一函数的是（ ） A.f(x)＝x ，g(x)=√x 2B.f(x)＝x ，g(x)=(√x)2C.f(x)＝x 2，g(x)=√x 63D.f(x)=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−110. 函数f(x)＝|x 2−6x +8|在下列区间（ ）上单调递减 A.(−∞, 2) B.(−∞, 3) C.[3, 4] D.(2, 3)11. 下列命题是真命题的是（ ） A.∀x ∈R ，x 2+x +1>0B.命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1>0”C.“x 2−x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件D.如果a <b <0，那么1a 2<1b 212. 关于函数f(x)=√x 2−x 4|x|的性质的描述，正确的是（ ）A.f(x)的定义域为[−1, 0)∪(0, 1]B.f(x)的值域为(−1, 1)C.f(x)的图象关于y 轴对称D.f(x)在定义域上是增函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 函数f(x)=√4−x 2+11−x 的定义域是________．14. 函数f(x)=12x +1在[−1, 2]上的值域是________．15. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x 2+x ，则f(x)在R 上的解析式为________（________）={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0 ．16. 已知函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2 ，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17. （1）计算：√(−4)33−(−9.6)0+0.2512×(√2)−4； 17.（2）已知实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6，求1a+1b的值．18. 已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ＝{x|1≤x ≤6}． （1）当a ＝3时，求A ∩B ，(∁R A)∪(∁R B)；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19. 设命题P:∀x ∈[−2, −1]，x 2−a ≥0；命题q:∃x 0∈R ，使x 02+2ax 0−(a −2)＝0．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p ，q 一真一假，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在(−1, 1)上的奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f(x)的解析式；（2）判断并证明函数f(x)在(−1, 1)上的单调性；（3）解不等式f(t −1)+f(2t)<0．21. 某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润y 2与投资的算术平方根成正比，其关系如图②．（注：利润和投资单位：万元）（1）分别求出A ，B 两种产品的利润与投资之间的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A ，B 两种产品的生产，怎样22. 已知：函数f(x)＝x2−2ax+2，x∈[−1, 1]．（1）求f(x)的最小值g(a)；（2）求g(a)的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1.【答案】 C【考点】 并集及其运算 【解析】可求出集合B ，然后进行并集的运算即可． 【解答】∵ A ＝{−1, 1}，B ＝{0, 1, 2}， ∴ A ∪B ＝{−1, 0, 1, 2}． 2.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可． 【解答】对于A ，函数y =1x 为奇函数，且在(−∞, 0)，(0, +∞)上单调递减，但在定义域内不具有单调性，故A 不符合题意；对于B ，函数y =√x 为非奇非偶函数，故B 不符合题意； 对于C ，函数y ＝2x 为非奇非偶函数，故C 不符合题意；对于D ，函数y ＝−x|x|={x 2,x ≤0−x 2,x >0为奇函数，且在定义域R 上为减函数，符合题意．3.【答案】 D【考点】 求函数的值 函数的求值【解析】直接利用分段函数求解函数值即可． 【解答】f(4)=12，f(f(4))=f(12)=(12)2+1=54． 4.【答案】 C【考点】【解析】根据A＝B即可得出a2＝2a+3，解出a，并检验是否满足集合元素的互异性即可．【解答】解：∵A=B，∴a2=2a+3，解得a=−1，或3，a=−1不满足集合元素的互异性，应舍去，∴a=3．故选C.5.【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成(a+b2)(1a+4b)展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴a+b2=1，∴y=1a +4b=(a+b2)(1a+4b)=52+b2a+2ab≥52+2=92(当且仅当b=2a=43时等号成立).∴y=1a +4b的最小值是92.故选C.6.【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点指数函数的图象与性质【解析】由指数函数y＝1.7x的图象知a>1，由指数函数y＝0.6x的图象与性质知b<c<1；由此得出a、b、c的大小关系．【解答】由指数函数y＝1.7x的图象知，1.70.6>1.70＝1，所以a＝1.70.6>1；由指数函数y＝0.6x的图象与性质知，0.61.7<0.60.6<0.60＝1，所以b＝0.61.7<c＝0.60.6<1；综上知，a、b、c的大小关系是a>c>b．7.【考点】一元二次不等式的应用【解析】由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b＝0的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．【解答】由题意可知，−3和2是方程ax2−5x+b＝0的两根，且a<0，∴−3+2=5a ，(−3)×2=ba，∴a＝−5，b＝30，∴不等式bx2−5x+a<0为30x2−5x−5<0，即5(3x+1)(2x−1)<0，解得−13<x<12．8.【答案】D【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由条件(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0可知函数f(x)为单调递减函数，然后根据单调性进行判断．【解答】∵函数f(x)满足(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即函数f(x)为单调递减函数，∵a2+2−2a＝(a−1)2+1>0，∴a2+2>2a，∴f(a2+2)<f(2a)．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.【答案】A,B,D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】对于A，f(x)＝x的定义域为R，g(x)=√x2=|x|的定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，f(x)＝x的定义域为R，g(x)=(√x)2=x的定义域为{x|x≥0}，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)=√x63=x2的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)=√x+1⋅√x−1=√x2−1的定义域为[1, +∞), g(x)=√x2−1的定义域为(−∞, −1]∪[1, +∞)，【答案】 A,C【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】结合函数的图象，求出函数的递减区间即可． 【解答】画出函数f(x)的图象，如图示：，显然f(x)在(−∞, 2)递减，在(2, 3)递增，在(3, 4)递减，在(4, +∞)递增， 11. 【答案】 A,C,D【考点】全称命题与特称命题 全称量词与存在量词充分条件、必要条件、充要条件 命题的否定命题的真假判断与应用【解析】由配方法求得x 2+x +1的范围判断A ；写出特称命题的否定判断B ；由充分必要条件的判定方法判断C ；由不等式的性质判断D ． 【解答】∵ x 2+x +1=(x +12)2+34>0，故A 正确；命题“∃x ∈R ，使得x 2+x −1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x −1≥0”，故B 错误； 由x 2−x ＝0，得x ＝0或x ＝1，反之，由x ＝1，可得x 2−x ＝0，则“x 2−x ＝0”是“x ＝1”的必要不充分条件，故C 正确；由a <b <0，得a 2>b 2>0，则1a 2<1b 2，故D 正确． 12.【考点】函数的定义域及其求法函数的值域及其求法【解析】先对已知函数解析式进行化简，然后结合函数的性质分别检验各选项即可判断．【解答】当x≠0时，f(x)=√x2−x4|x|=|x|√1−x2|x|=√1−x2，故1−x2≥0，解得−1≤x≤1且x≠0，A正确；因为0≤1−x2<1，所以0≤f(x)<1，B错误，因为f(−x)=√1−(−x)2=√1−x2=f(x)，故f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，C 正确；结合C可知f(x)为偶函数，在定义域上不单调，D错误．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.【答案】[−2, 1)∪(1, 2]【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】由题意得：{4−x2≥01−x≠0，解得：−2≤x≤2且x≠1，故函数的定义域是[−2, 1)∪(1, 2]，14.【答案】[15, 23]【考点】函数的值域及其求法【解析】先根据指数函数的性质求出2x的取值范围，再结合反比例函数的性质即可得解．【解答】∵x∈[−1, 2]，∴2x∈[12, 4]，2x+1∈[32, 5]，∴f(x)=12x+1∈[15, 23]．15.【答案】f,x【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式求出f(−x)的表达式，结合函数的奇偶性分析f(x)的解析式，综合即可得答案． 【解答】根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)＝(−x)2+(−x)＝x 2−x ， 又由f(x)为奇函数，则f(−x)＝−f(x)＝−x 2+x ， 故f(x)={x 2+x,x ≥0−x 2+x,x <0 ，16.【答案】 (2, 3] 【考点】分段函数的应用函数单调性的性质与判断【解析】运用指数函数和一次函数的单调性，求出a 的范围，简化函数的单调性的性质，列出不等式求出a ，求交集，即可得到所求范围． 【解答】函数f(x)={(a −2)x +1,x <2a x−1,x ≥2，若函数f(x)在定义域R 上单调递增，由x ≥2，f(x)＝a x−1递增，可得a >1；由x <2时，f(x)＝(a −2)x +1递增，可得a −2>0，即a >2； 由单调性的定义可得2(a −2)+1≤a 2−1，即a ≤3． 综上可得a 的范围是2<a ≤3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.【答案】原式＝−4−1+0.5×4＝−3， 实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6， 则a ＝log 26，b ＝log 36，∴ 1a +1b =log 62+log 63＝log 66＝1．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）根据指数幂的运算性质可得，（2）利用换底公式的性质log a b ⋅log b a ＝1，即可求出． 【解答】原式＝−4−1+0.5×4＝−3， 实数a ，b 满足2a ＝3b ＝6， 则a ＝log 26，b ＝log 36，∴ 1a +1b =log 62+log 63＝log 66＝1．【答案】当a＝3时，A＝{x|−1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x<−1或x>5}，∁R B＝{x|x<1或x>6}，∴A∩B＝{x|1≤x≤5}；(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<1或x>5}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B且A≠⌀，∴{2−a≤2+a2−a≥12+a≤6，等号不能同时成立，得0≤a≤1．∴综上述：a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【考点】交、并、补集的混合运算充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）求出a＝3时集合A，根据交集的定义写出A∩B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则求出满足A⫋B且A≠⌀时a的取值范围即可．【解答】当a＝3时，A＝{x|−1≤x≤5}，B＝{x|1≤x≤6}，∴∁R A＝{x|x<−1或x>5}，∁R B＝{x|x<1或x>6}，∴A∩B＝{x|1≤x≤5}；(∁R A)∪(∁R B)＝{x|x<1或x>5}．由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，得A⫋B且A≠⌀，∴{2−a≤2+a2−a≥12+a≤6，等号不能同时成立，得0≤a≤1．∴综上述：a的取值范围是{a|0≤a≤1}．19.【答案】∵∀x∈[−2, −1]，x2−a≥0，∴a≤1，故a的范围(−∞, 1]，∵∃x0∈R，使x02+2ax0−(a−2)＝0．即x2+2ax−(a−2)＝0有解，∴△＝4a2+4(a−2)≥0，∴a2+a−2≥0，解得a≥1或a≤−2，∵命题p，q一真一假，当p真q假时，{a≤1−2<a<1，解得−2<a<1，当p假q真时，{a>1a≥1a≤−2，解得a>1，综上，a的范围{a|a>1或−2<a<1}．【考点】复合命题及其真假判断【解析】（1）结合不等式的恒成立，先进行分离常数，然后结合二次函数的性质可求；（2）由已知可得x 2+2ax −(a −2)＝0有解，结合二次方程的根的存在条件可求a 的范围，然后结合复合命题的真假关系进行求解．【解答】∵ ∀x ∈[−2, −1]，x 2−a ≥0，∴ a ≤1，故a 的范围(−∞, 1]，∵ ∃x 0∈R ，使x 02+2ax 0−(a −2)＝0．即x 2+2ax −(a −2)＝0有解，∴ △＝4a 2+4(a −2)≥0，∴ a 2+a −2≥0，解得a ≥1或a ≤−2，∵ 命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，{a ≤1−2<a <1，解得−2<a <1， 当p 假q 真时，{a >1a ≥1a ≤−2，解得a >1， 综上，a 的范围{a|a >1或−2<a <1}．20.【答案】由奇函数的性质可知，f(0)＝0，∴ b ＝0，f(x)=ax 1+x 2，∵ f(12)=12a 1+14=25， ∴ a ＝1，f(x)=x 1+x 2．函数f(x)在(−1, 1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ 函数f(x)在(−1, 1)上为增函数．由题意，不等式f(t −1)+f(2t)<0可化为f(t −1)<−f(2t)，∴ f(t −1)<f(−2t)，∴ {t −1<−2t −1<t −1<1−1<2t <1，解得0<t <13， 故不等式的解集为(0, 13)．【考点】函数解析式的求解及常用方法奇偶性与单调性的综合函数单调性的性质与判断【解析】（1）由奇函数的性质可知，f(0)＝0，代入可求b ，然后根据f(12)=25．，代入可求a ； （2）任取−1<x 1<x 2<1，然后利用作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断；（3）结合（2）的单调性即可求解不等式．【解答】由奇函数的性质可知，f(0)＝0，∴ b ＝0，f(x)=ax 1+x 2，∵ f(12)=12a 1+14=25， ∴ a ＝1，f(x)=x1+x 2．函数f(x)在(−1, 1)上是增函数．证明：任取−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，∵ −1<x 1<x 2<1，所以x 1−x 2<0，1−x 1x 2>0，∴ f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴ 函数f(x)在(−1, 1)上为增函数．由题意，不等式f(t −1)+f(2t)<0可化为f(t −1)<−f(2t)，∴ f(t −1)<f(−2t)，∴ {t −1<−2t −1<t −1<1−1<2t <1，解得0<t <13，故不等式的解集为(0, 13)．21.【答案】根据题意可设f(x)＝kx ，g(x)＝k √x ．则f(x)＝0.25x(x ≥0)，g(x)＝2√x(x ≥0)．设B 产品投资x 万元，则A 产品投资20−x 万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x =−14(√x −4)2+9x ∈[0,20]，当x ＝16时，f(x)max ＝9万元，所以A 产品投资4万元，B 产品投资16万元时，企业获利最大为9万元．【考点】根据实际问题选择函数类型函数最值的应用【解析】（1）根据题意可设f(x)＝kx ，g(x)＝k √x 代值即可求出相对应的参数，即可得到函数的解析式，（2）设B 产品投资x 万元，则A 产品投资20−x 万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x =−14(√x −4)2+9x ∈[0,20]，利用二次函数的性质即可求出【解答】根据题意可设f(x)＝kx，g(x)＝k√x．则f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2√x(x≥0)．设B产品投资x万元，则A产品投资20−x万元，企业获利f(x)=0.25(20−x)+2√x=−1(√x−4)2+9x∈[0,20]，4当x＝16时，f(x)max＝9万元，所以A产品投资4万元，B产品投资16万元时，企业获利最大为9万元．22.【答案】当a≥1时，f(x)在区间[−1, 1]上是减函数，最小值g(a)＝3−2a；当−1<a<1时，f(x)在区间[−1, 1]上是先减后增函数，最小值g(a)＝2−a2；当a≤−1时，f(x)在区间[−1, 1]上是增函数，最小值g(a)＝3+2a；由（1）可知g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)最大值为1；g(a)在(−1, 1)上是先增再减函数，g(a)最大值为2；g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)最大值为1；所以g(a)最大值为2．【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】（1）通过对称轴x＝a是否在区间内，利用二次函数的性质求解最小值即可．（2）求出g(a)的表达式，然后求解最大值即可．【解答】当a≥1时，f(x)在区间[−1, 1]上是减函数，最小值g(a)＝3−2a；当−1<a<1时，f(x)在区间[−1, 1]上是先减后增函数，最小值g(a)＝2−a2；当a≤−1时，f(x)在区间[−1, 1]上是增函数，最小值g(a)＝3+2a；由（1）可知g(a)在[1, +∞)上是减函数，g(a)最大值为1；g(a)在(−1, 1)上是先增再减函数，g(a)最大值为2；g(a)在(−∞, −1]上是增函数，g(a)最大值为1；所以g(a)最大值为2．。

2020-2021厦门市高一数学上期中试题(附答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，，B ．{}123，，C ．{}234，，D ．{}134，， 5．已知函数224()(log )log (4)1f x x x =++，则函数()f x 的最小值是A ．2B ．3116C ．158D ．16．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（）A．5 0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．[]1,4-C．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．[]5,5-7．已知函数21(1)()2(1)ax xf x xx x x⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R上单调递增，则实数a的取值范围是A．[]0,1B．(]0,1C．[]1,1-D．(]1,1-8．定义在R上的奇函数()f x满足()()2f x f x+=-，且当[]0,1x∈时，()2cosxf x x=-，则下列结论正确的是（）A．()20202019201832f f f⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．()20202019201832f f f⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()20192020201823f f f⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．()20192020201823f f f⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数()f x的图象如图所示,则它的解析式可能是( )A．()212xxf x-=B．()()21xf x x=-C．()lnf x x=D．()1xf x xe=-10．三个数0.377,0.3,ln0.3a b c===大小的顺序是（）A．a c b>>B．a b c>>C．b a c>>D．c a b>>11．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a12．已知函数()()()ln1ln1f x x x=+--，若实数a满足()()120f a f a+->，则a 的取值范围是（）A．()1,1-B．()0,1C．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D．1,12⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题13．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．14．已知函数21,1()()1a x xf xx a x⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x=-，若函数()()y f x g x=-恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为______．15．1232e2(){log(1)2x xf xx x，，-<=-≥，则f（f（2））的值为____________．16．若1∈{}2,a a, 则a的值是__________17．已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________.18．已知2a=5b=m,且11a b+=1,则m=____.19．定义在[3,3]-上的奇函数()f x，已知当[0,3]x∈时，()34()x xf x a a R=+⋅∈，则()f x在[3,0]-上的解析式为______．20．已知()f x定义在R上的奇函数，当0x≥时，，则函数()()3g x f x x=-+的零点的集合为 .三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A，过点()12,78B；当[]12,40x∈时，图象是线段BC，其中()40,50C．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x=的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．23．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.24．已知函数()f x 是定义R 的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的简图(不需要作图步骤)，并求其单调递增区间（3）当[]1,1x ∈-时，求关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-< 的解集．25．已知定义域为R 的函数()22xx b f x a-=+是奇函数．()1求a ，b 的值；()2用定义证明()f x 在(),-∞+∞上为减函数；()3若对于任意t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围．26．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．B 解析：B 【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．5．B解析：B 【解析】 【分析】利用对数的运算法则将函数()()()224log log 41f x x x =++化为()2221log 1log 12x x +++，利用配方法可得结果. 【详解】化简()()()224log log 41f x x x =++()2221log 1log 12x x =+++22211131log log 224161616x x ⎛⎫=++-≥-= ⎪⎝⎭，即()f x 的最小值为3116，故选B.本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.6．C解析：C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.7．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．B解析：B 【解析】 【分析】根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；对于A 选项， ()10010099992f -=⨯与函数图象不一致；B 选项符合函数图象特征.故选：B 【点睛】此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.10．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．17．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.18．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．19．f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x 【解析】【分析】先根据计算再设代入函数利用函数的奇偶性得到答案【详解】定义在﹣33上的奇函数f （x ）已知当x∈03时f （x ）＝3x+a4x （a∈R）当x ＝0时f （0）＝0解得解析：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【解析】 【分析】先根据()00f =计算1a =-，再设30x ≤≤﹣ ，代入函数利用函数的奇偶性得到答案. 【详解】定义在[﹣3，3]上的奇函数f （x ），已知当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x +a 4x （a ∈R ）， 当x ＝0时，f （0）＝0，解得1+a ＝0，所以a ＝﹣1． 故当x ∈[0，3]时，f （x ）＝3x ﹣4x ．当﹣3≤x ≤0时，0≤﹣x ≤3，所以f （﹣x ）＝3﹣x ﹣4﹣x ，由于函数为奇函数，故f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x .故答案为：f （x ）＝4﹣x ﹣3﹣x【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式，属于常考题型.20．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题21．（Ⅰ）()()(](]2110800,1229012,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析 【解析】 【分析】（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则()()2110802f x x =--+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50， 得12784050k b k b +=⎧⎨+=⎩，即90y x =-+，则函数关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩. （Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()211080622x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>.得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 【点睛】本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 23．（1）[1,6]-（2）1a ≤- 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-, 所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I . （2） 因为A C C =U ， 所以A C ⊆， 故1a ≤-. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.24．（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）图象见解析，(],1-∞-和 [)1,+∞；（3）[)0,1.【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性可求得函数()f x 的解析式；（2）利用二次函数图像可作法可得函数()f x 的图像及单调增区间；（3）利用函数在[]1,1-为减函数且为奇函数，可得22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，再求解即可.【详解】解：（1）由函数()f x 是定义R 的奇函数，则(0)0f =， 设0x >，则0x ->，因为函数()f x 是定义R 的奇函数， 所以22()()()2)2(f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=-⎦--⎣，综上可得：222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩；（2）函数()f x 的图像如图所示，由图可得函数()f x 单调递增区间为(],1-∞-和[)1,+∞；（3）由（2）可知，函数()f x 在[]1,1-为减函数且为奇函数，当[]1,1x ∈-时，关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，即2(1)(1)f m f m -<-，则22111111(1)(1)0m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-+->⎩，即20202(2)(1)0m m m m ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-<⎩， 解得01m ≤<，故关于m 的不等式的解集为[)0,1.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式及利用函数的性质求解不等式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. 25．(1) a=1,b=1 (2)见解析 (3) k<- 【解析】试题分析：（1）()f x 为R 上的奇函数⇒(0)01f b =⇒=,再由，得1a =即可；（2） 任取12x x R ∈，，且12x x <，计算2112122(22)()()0(21)(2+1)x x xx f x f x --=>+即可；（3） 不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立等价于22(2)(2)f t t f t k -<--⇔22(2)(2)f t t f k t -<-⇔2222t t k t ->-⇔232k t t<-恒成立，求函数2()32h t t t =-的最小值即可.试题解析： （1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，1b =. 又，得1a =.经检验11a b ==，符合题意. （2）任取12x x R ∈，，且12x x <，则1212211212121212(12)(21)(12)(21)()()2121(21)(21)x x x x x x x x x x f x f x --------=-=---- 21122(22)(21)(2+1)x x x x -=+. ∵12x x <，∴12220x x ->，又∴12(21)(21)0x x++>，∴12()()0f x f x ->，∴()f x 为R 上的减函数（3）∵t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，∴22(2)(2)f t t f t k -<--，∴()f x 为奇函数，∴22(2)(2)f t t f k t -<-，∴()f x 为减函数，∴2222t t k t ->-.即232k t t <-恒成立，而22111323()333t t t -=--≥-， ∴13k <-考点：1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数与不等式，属中档题；高考对函数性质的考查主要有以下几个命题角度：1.单调性与奇偶性相结合；2.周期性与奇偶性相结合；3.单调性、奇偶性与周期性相结合.26．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭。

2020-2021厦门市高一数学上期中试题(带答案)一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅3．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭4．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,1)(1,)-∞-+∞U5．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5] 7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A．32B．23-C．23D．32-9．已知定义在R上的函数()21()x mf x m-=-为实数为偶函数,记0.5(log3),a f=2b(log5),c(2)f f m==,则,,a b c,的大小关系为（）A．a b c<<B．c a b<<C．a c b<<D．c b a<< 10．已知函数(),1log,1xaa xf xx x⎧≤=⎨>⎩（1a>且1a≠），若()12f=，则12f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭（）A．1-B．12-C．12D．211．设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B=I（）A．3(3,)2--B．3(3,)2-C．3(1,)2D．3(,3)212．设a＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b＝3525⎛⎫⎪⎝⎭，c＝2525⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R=+++-∈的最小值为0，则实数a=_________.14．设函数21()ln(1||)1f x xx=+-+，则使得()(21)f x f x>-成立的x的取值范围是_____.15．已知函数()32f x x x=+，若()()2330f a a f a-+-<，则实数a的取值范围是__________．16．若幂函数()af x x=的图象经过点1(3)9，，则2a-=__________.17．某企业去年的年产量为a，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b﹪，则第x()x N*∈年的年产量为y=______.18．已知()f x是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x>，()f x的图象如图所示，那么()f x的值域是______．19．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．已知()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，且当01x <<时，()442xx f x =+，（1）求()f x 在()1,0-上的解析式；（2）求()f x 在()1,0-上的值域；（3）求13520172018201820182018f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值. 22．已知函数()212ax f x x b +=+是奇函数，且()312f =.（1）求实数a ，b 的值；（2）判断函数()f x 在(],1-∞-上的单调性，并用定义加以证明． （3）若[]2,1x ∈--，求函数的值域23．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．24．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？25．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}，C ＝{x |2<x <9，x ∈Z}．求 (1)A ∪(B ∩C )；(2)(∁U B )∪(∁U C )．26．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．C解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B I . 【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B =I {}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.3．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.4．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．5．B解析：B 【解析】 【分析】 把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())(2)log 222f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.12．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x =+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.15．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内16．【解析】由题意有：则：解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 17．y ＝a （1+b ）x （x ∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】 【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象欲求的值域分两类讨论：；结合图象即可解决问题【详解】是定义在上的奇函数作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象如图由图可知：的值域是故答案 解析：][()2,33,2⋃--【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性作出函数在y 轴左侧的图象，欲求()f x 的值域，分两类讨论：0x >①；0.x <②结合图象即可解决问题．【详解】()f x Q 是定义在(][2,00,2-⋃上的奇函数，∴作出图象关于原点对称作出其在y 轴左侧的图象，如图．由图可知：()f x 的值域是][()2,33,2⋃--． 故答案为][()2,33,2⋃--． 【点睛】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．19．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m =-与函数()y g x =的图象有交点，作出函数()111,122,1x x x g x x --⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m =-的图象如下图所示，由图象可知()01g x <≤，则01m <-≤，解得10m -≤<.因此，实数m 的取值范围是[)1,0-. 故答案为：[)1,0-. 【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）()1124xf x -=+⋅（2）2133,⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）10092 【解析】 【分析】（1）令0x <<-1,则01x <-<,代入解析式可求得()f x -.再根据奇函数性质即可求得()f x 在()1,0-上的解析式;（2）利用分析法,先求得当0x <<-1时,4x 的值域,即可逐步得到()f x 在()1,0-上的值域; （3）根据函数解析式及所求式子的特征,检验()()1f x f x +-的值,即可由函数的性质求解. 【详解】（1）当0x <<-1时,01x <-<,()4142124x x xf x ---==++⋅,因为()f x 是()1,1-上的奇函数 所以()()1124xf x f x -=--=+⋅,（2）当0x <<-1时,14,14x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3124,32x ⎛⎫+⋅∈ ⎪⎝⎭,121,12433x-⎛⎫∈-- ⎪+⋅⎝⎭, 所以()f x 在()1,0-上的值域为21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （3）当01x <<时,()442x x f x =+,()()11444411424242424x x x x x x xf x f x --+-=+=+=++++⋅, 所以1201732015520131201820182018201820182018f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L , 故1352017100920182018201820182f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查了奇函数的性质及解析式求法,利用分析法求函数的值域,函数性质的推断与证明,对所给条件的分析能力要求较高,属于中档题.22．（1）2,0a b ==；（2）()f x 在(],1-∞-上为增函数，证明见解析；（3）93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数可得()312f =,()312f -=-，再联立解方程组即可得解； （2）利用定义法证明函数()f x 在(],1-∞-上为增函数即可； （3）由函数()f x 在[]2,1--上为增函数，则可求得函数的值域. 【详解】解：（1）由函数()212ax f x x b+=+是奇函数，且()312f =,则()312f -=-，即22113212(1)132(1)2a b a b ⎧⨯+=⎪⨯+⎪⎨⨯-+⎪=-⎪⨯-+⎩ ，解得：20a b =⎧⎨=⎩ ； （2）由（1）得：()2212x f x x+=，则函数()f x 在(],1-∞-上为增函数； 证明如下： 设121x x <≤-，则12()()f x f x -=211212x x +222212x x +-=2212212112222x x x x x x x x +--121212()(21)2x x x x x x --=，又因为121x x <≤-，所以120x x -<，12210x x ->，120x x >， 即12())0(f x f x -< ，即12()()f x f x <， 故()f x 在(],1-∞-上为增函数；（3）由（2）得：函数()f x 在[]2,1--上为增函数，所以(2)()(1)f f x f -≤≤-，即93()42f x -≤≤-，故[]2,1x ∈--，函数的值域为：93,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了利用函数的性质求函数的值域问题，属中档题.23．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】 【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．24．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时， 函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元 当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元 所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). 25．（1）A ∪(B ∩C )＝{1,2,3,4,5}．（2）(∁U B )∪(∁U C )＝{1,2,6,7,8}． 【解析】试题分析：（1）先求集合A,B,C ；再求B ∩C ，最后求A ∪(B ∩C )（2）先求∁U B ，∁U C ；再求(∁U B )∪(∁U C )．试题解析：解：(1)依题意有：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4,5}，C ＝{3,4,5,6,7,8}，∴B ∩C ＝{3,4,5}，故有A ∪(B ∩C )＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}． (2)由∁U B ＝{6,7,8}，∁U C ＝{1,2}；故有(∁U B )∪(∁U C )＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}． 26．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <- 【解析】 【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---， 所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==， 所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-. 【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.。

福建省厦门市双十中学2020—2021学年高一数学上学期期中试题试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.在答题卷上相应题目的答题区域内作答。

1。

（2020双十高一11月期中考）如图,U 是全集，M 、P 是U 的子集,则阴影部分所表示的集合是（ ）A 。

()U M C PB 。

MP C.()U C M P D.()()UUC M C P2。

（2020双十高一11月期中考）函数1()x f x -=的定义域为（ )A.[1,2)(2,)+∞B (1,)+∞C 。

[1,2)D 。

[1,)+∞3。

（2020双十高一11月期中考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（）A 。

(,)b c 和(,)c +∞内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C 。

(,)a b 和(,)b c 内D 。

(,)a -∞和(,)c +∞内4。

（2020双十高一11月期中考)设0.32a =，20.3b =，2log0.3c =，则a ,b ，c 的大小关系是（ ） A 。

a b c <<B.c b a <<C 。

c a b <<D 。

b c a <<5.（2020双十高一11月期中考）已知函数()f x 满足(1)lg f x x -=，则不等式()0f x <的解集为（ ） A.(,1)-∞B 。

(1,2)C 。

(,0)-∞D.(1,0)-6。

（2020双十高一11月期中考）已知函数2()log f x x =的反函数为()g x ，则()1g x -的图像为（ ）A 。

B.C. D 。

7。

(2020双十高一11月期中考）某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ,留出适当的空闲量，已知鱼群的年增加量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率(空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为（ ）A.2mk B 。

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12021-2022年福建厦门高一数学上学期期中试卷及答案一、单选题（40分，每题5分） 1．下列能构成集合的是（ ） A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车C ．上海市所有的中学生D ．数学必修第一册课本中所有的难题2．已知函数, 则（ ）()()21,02,0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩()1f =A ．1 B ．0 C ． D ．1-2-3．条件“”成立的 条件 a >22a >()A ．必要不充分 B ．充分不必要 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知命题p ：x 0∈R ，x 02+5<0，那么命题p 的否定是（ ） ∃A ．x 0∈R ，x 02+5>0 B ．x 0∈R ，x 02+5≥0 ∃∃C ．∀x ∈R ，x 2+5≥0D ．∀x ∈R ，x 2+5<05．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢降低新鲜度.已知某种水果降低的新鲜度y 与其采摘后时间x （天）满足的函数关系式为.若采摘2天后，这种水果降低的新鲜y mx b =+度为20%；采摘3天后，这种水果降低的新鲜度为40%.则采摘下来的这种水果降低的新鲜度为70%需要经过（ ） A ．4天B ．4.5天C ．5天D ．5.5天6．下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（ ）A ．，，B ．，， A ⊆R B ⊆R 221x y +={}1,0,1A =-{}1,2B =:1f x y x →=+C ．，，D ．，， A =R B =R 1:2→=-f x y x A =Z B =Z :→=f x y 7．已知，则的值为（ ） 2log 3a =44a a -+A ．B ．C ．D ．521033768298．若函数与在区间上都是减函数，则的取值范围()24f x x ax =-+()2212x a g x x a-+=-[]1,2a （ ） A ．B ．C ．D ．(,1]-∞1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦11,22⎛⎤- ⎥⎝⎦11(,)22-二、多选题（20分，每题5分）9．下列四组函数中是相同函数的有（ ）A ．；B ．；()1, f n n n N =+∈()1, g x xx Z =-∈()f x x=()g x =C ． D ．；()f x =2()g t =()f x ()g x =10．已知函数，则下列结论中错误的是（ ） ()1211,02,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩A ．的值域为 B ．的图象与直线有两个交点 ()f x ()0,∞+()f x 2y =C ．是单调函数D ．是偶函数()f x ()f x 11．下列说法正确的有（ ）A ．B ．C ．D ． 1331log log 54<0.30.20.2log 0.1<0.60.63.41.8> 1.33.6128-⎛⎫< ⎪⎝⎭12．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克18D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为时 31532三、填空题（20分，每题5分）13．若，，，则t 的取值范围为______．13a b -<+<24a b <-<23t a b =+14．函数的反函数为，则___________. 2()(1)1(0)f x x x =-+≤1()y f x -=1(5)f -=15．函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图象上，则f （3）＝________.16．函数单调递增区间为________________；值域为_______________．212()log (4)f x x x =-四、解答题（共6大题，总分70分） 17．（12分）已知全集，集合，集合，求： }{|6U x N x =∈≤{}0,1,3,5A ={}2,4,5B =（1），； A B A B （2），. (∁U A )∩B (∁U B )∩A18．（10分）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯ ⎪⎝⎭（2）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++19．（12分）已知函数.()()()()2201010x x x f x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪--<⎩（1）求的值；()()1f f -（2）画出函数的图象；()f x （3）指出函数的单调区间.（直接写结果） ()f x20．（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万部还需另投入16万元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每1万部的销售收入为万元，且．()R x ()24006,040740040000,40x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩（1）写出年利润（万元）关于年产量x （万部）的函数的解析式；()W x （2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润．21．（12分）已知函数是R 上的奇函数．21()21x x a f x ⋅-=+（1）求a 的值；（2）判断并证明的单调性； ()f x22．（12分）已知. ()()()ln 1ln 1f x x x =--+（1）指出函数的定义域，并求，，，的值； ()f x 13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭13f ⎛⎫⎪⎝⎭（2）观察（1）中的函数值，请你猜想函数的一个性质，并证明你的猜想； ()f x （3）解不等式：. ()1ln 30f x ++>答案1—4:CBBC 4—8:BBDD 9、BC 10、ACD 11、ABC 12、AD13． 91322t -<<14． 1-15． 2716． [2,4)[2,)-+∞17．（1）；（2）；{}5A B = {}0,1,2,3,4,5A B = (){}2,4=U A B ð(){}0,1,3U B A ⋂=ð18． 【答案】（1）（2）299π+19． （1）（2）作图见解析（3）递减区间：，，递增区间：1(),0-∞()1,+∞()0,120． （1）()2638440,04040000167360,40x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当年产量为32万部时，获得的利润最大，最大利润为6104万元 21． 【答案】(1) ； (2)证明见详解； (3) .1a =(],2m ∈-∞22、【答案】（1）的定义域;;;;()f x (1,1)-1ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭1ln 23f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）详见详解;（3）1ln 32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1(2,)2--。

【全国百强校】福建省厦门市双十中学【最新】高一上期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．下列各组函数f （x ）与g （x ）的图象相同的是（ ）A ．()f x x =，()2g x =B ．()f x x =，()0g x x =C ．()f x =()2log 2xg x = D ．()2f x x =，()2(1)g x x =+3．已知函数()f x ，()g x 由下列表格给出，则()3f g =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知函数f （x ）=3ax -1-2a 在区间（-1，1）上存在零点，则（ ） A ．1a <或15a >B ．15a >C ．15a <-或1a > D ．15a <- 5．已知a =log 20.3，b =20.3，c =0.21.3，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>6．在同一直角坐标系中，函数()(0),()log aa f x x x g x x =≥=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为（ ）A ．2400元B ．900元C ．300元D ．3600元8．根据表格中的数据，可以判定函数()2xf x e x =--的一个零点所在的区间为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()2,3D ．()1,29．已知函数f （x ）=()13221ax x a x x ⎧-≤-⎪⎨⎪-+-⎩，，＞对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＞0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2ab a a b b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+ C ． 21log ()2a b a a b b +<+< D ． 21log ()2aba b a b +<+< 11．已知函数f （x ）=22,022,0x x x x x x +≥⎧⎪-<⎨⎪⎩，若f （2a 2+a +1）+f （-2a 2+4a -3）＞0，则实数a的取值范围是（ ）A ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()2,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D ．()2,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭12．已知函数f （x ）=e x -2+e 2-x ，若实数x 1、x 2满足x 1＜x 2，x 1+x 2＜4且（x 1-2）（x 2-2）＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．()()12f x f x =B ．()()12f x f x <C ．()()12f x f x >D ．()()124f x f x +<二、填空题13．二次函数y =ax 2+bx +c （x ∈R ）的部分对应值如表，则不等式ax 2+bx +c ＜0的解集是______．14．已知lg2=a ，lg3=b ，试用a ，b 表示log 125=______．15．已知函数f(x)＝2x ＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c 则a ，b ，c 由小到大的顺序是________．16．某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程不超过3千米，一律收费8元），若超过3千米，除起步价外，超过部分再按1.5元／千米计价收费，若乘客与司机约定按四舍五入以元计费不找零，下车后乘客付了16元，则乘车里程的范围是___________．三、解答题17．计算下列各式的值： （1）1222309273(9.6)482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23log lg25lg47+-.18．已知函数f （x ）=a 2x +2a x -1（a ＞1，且a 为常数）在区间[-1，1]上的最大值为14． （1）求f （x ）的表达式； （2）求满足f （x ）=7时x 的值．19．已知集合A ={x |3≤3x ≤27}，B ={x |log 2x ＞1}． （1）分别求A ∩B ，（∁R A ）∪（∁R B ）；（2）已知集合C ={x |a ＜x ＜a 2+1}，若C ⊆A ，求满足条件的实数a 的取值范围． 20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元， （1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？ 21．已知函数121()log 1axf x x -=-为奇函数，a 为常数. （1）确定a 的值；（2）求证：()f x 是(1,)+∞上的增函数；（3）若对于区间[]34，上的每一个x 值，不等式1()2xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()f x 对一切实数,x y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =.(1)求(0)f 的值；(2)求()f x 的解析式，并用定义法证明()f x 在1(,)2-+∞单调递增； (3)已知a R ∈，设P ：102x <<，不等式()32f x x a +<+恒成立，Q :[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax =-是单调函数。