【全国百强校】重庆市第十一中学2017届高三9月月考理数(解析版)
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重庆市第八中学2017届高三上学期一调考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合2{|log 4}A x x =<，集合{|||2}B x x =≤，则AB =（ ）A ．(0,2]B ．[0,2]C ．[2,2]-D ．(2,2)- 【答案】A考点：集合交集，一元二次不等式．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 注意区间端点的取舍. 2.已知复数1z i =-+，则复数32z z ++的模为（ ）A D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：323212z i i z i ++-==++=. 考点：复数运算．3.已知向量a b ，均为非零向量(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a b ，的夹角为（ ） A ．6πB ．23π C ．3π D ．56π【答案】C【解析】试题分析：由于(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，所以(2)0a b a -⋅=，(2)0b a b -⋅=，化简得222cos 0,2cos 0a a b b a b θθ-⋅=-⋅=，两式相减，得到a b =，所以1cos ,33πθθ==.考点：向量运算．4.等差数列{}n a 中，34a =，前11项和11110S =，则9a =（ ）A ．10B ．12 C. 14 D ．16 【答案】D 【解析】 试题分析：()3911911110,162a a S a+⋅===.考点：等差数列的基本概念．5.圆22420x y x y a ++-+=截直线50x y ++=所得弦的长度为2，则实数a =（ ）A ．-4B ．-2 C.4 D ．2 【答案】A考点：直线与圆的位置关系．6.某家具厂的原材料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部 数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8y x b =+，则b 为（ ）A ．5B ．15 C. 10 D ．20 【答案】C 【解析】试题分析：回归直线方程过样本中心点，5,50x y ==，代入8y x b =+，解得10b =. 考点：回归直线方程．7.某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A ．3024B ． 1007 C. 2015 D ．2016 【答案】A考点：算法与程序框图． 8.给出下列四个结论：①已知直线1:10l ax y ++=，22:0l x ay a ++=，则12//l l 的充要条件为1a =±；②函数()cos f x x x ωω=+满足()()2f x f x π+=-，则函数()f x 的一个对称中心为(,0)6π；③已知平面α和两条不同的直线,a b ，满足b α⊂，//a b ，则//a α； ④函数1()ln f x x x=+的单调区间为(0,1)(1,)+∞.其中正确命题的个数为（ ）A ．4B ．3 C. 2 D ．0 【答案】D 【解析】试题分析：①1a =时，两直线重合，故错误. ②()()2f x f x π+=-说明周期为π，则2ω=，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，206f π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，故不是对称中心. ③a 可能含于α，故错误. ④单调区间不能写成并集，故错误.综上所述，正确命题个数为0. 考点：空间点线面的位置关系．9.某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积为（ ）A ．8+B ．8+C. 8++．8++ 【答案】B考点：三视图．10.已知()f x 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数2(2)(2)y f x f x m =++--只有一个零点， 则函数4()(1)1g x mx x x =+>-的最小值是（ ） A ．3 B ．-3 C. 5 D ．-5【答案】C 【解析】试题分析：由于函数为奇函数且单调，故2(2)(2)0f x f x m ++--=等价于2(2)(2)f x f x m +=+，即222x x m +=+有唯一解，判别式为零，即()4420,1m m --==，所以44()11511g x x x x x =+=-++≥--. 考点：函数的单调性与奇偶性．11.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，2AB AD CD ===，BD =，BD CD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ，则球O 的体积为（ ）A ．B D ．2π 【答案】A考点：几何题的外接球．【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.12.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B F ，为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[,]124ππα∈，则该椭圆离心率的最大值为（ ）A ．1 BD【答案】B考点：直线与圆锥曲线位置关系．【思路点晴】设左焦点为'F ，根据椭圆的定义：'2AF AF a +=，又因为'BF AF =，所以2AF BF a +=，利用直角三角形和焦距，得到()2sin cos 2c a αα+=，最后根据α的取值范围求出离心率的取值范围.在圆锥曲线的小题中，往往可以向定义去想，如双曲线的定义是122AF AF a -=，再结合题目的已知条件来求.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若x y ，满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为________.【答案】92【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()3,3A 处取得最大值为92.考点：线性规划．14.()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(2)()f x f x +=-，当23x ≤≤时，()f x x =，则 11()2f -=___________. 【答案】52考点：函数的周期性．15.已知sin α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则sin()αβ-的值等于__________.【解析】试题分析：由于sin α=，所以1cos 3α=，7sin 229αα==-，由于1cos()3αβ+=-，()sin αβ+=()()()sin()sin 2sin 2cos cos 2sin αβααβααβααβ-=--=---=⎡⎤⎣⎦. 考点：三角函数恒等变形．【思路点晴】本题主要考查三角函数恒等变形，主要突破口在()sin()sin 2αβααβ-=--⎡⎤⎣⎦，根据两角和与差的正弦公式，只要计算出7sin 229αα==-，()sin αβ+=.要注意熟记二倍角公式22sin 22sin cos ,cos 2cos sin x x x x x x ==-，对于余弦的二倍角公式变形成降幂公式，也要熟练写出，如21cos 2cos 2x x +=. 16.已知曲线221y x b a-=（0a b ≠且a b ≠）与直线20x y +-=相交于P Q ，两点，且0OP OQ =（O 为原点），则11b a-的值为_____________. 【答案】12考点：直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，向量运算.两个向量的数量积等于零，也就是说这两个向量垂直，转化为代数式子就是12120x x y y +=，由此可以想到利用根与系数关系求出1212,x x y y .联立直线的方程和曲线的方程，消去y ，写出根与系数关系，然后带入数量积，化简就可以得到1112b a -=.根与系数关系运算量较大，注意检验计算是否正确．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）如图3所示，在四边形ABCD 中，1AD =，3CD =，AC =cos B =．（I ）求ACD ∆的面积；（II ）若BC =，求AB 的长．【答案】（I ；（II ）4AB =.试题解析：（I ）如图2，因为1AD =，3CD =，AC =所以2221cos 23AD CD AC D AD CD +-==--.………………2分因为(0,)D π∈，所以sin D ==.………………4分 因为1AD =，3CD =，所以ACD ∆的面积11sin 1322S AD CD D ==⨯⨯………………6分（II）AC =，BC =， ∴2ACB B π∠=-. ∵sin sin AC ABB ACB=∠，………………8分sin(2)sin 22sin cos AB AB AB B B B B π====- 所以4AB =.………………12分 考点：解三角形． 18.（本小题满分12分）2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为 了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如下数 据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．（I ）先求出x y p q ，，，的值，再将如图4所示的频率分布直方图绘制完整；（II ）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人， 购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据 此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（I ）0.1,10,15,0.15q y x p ====；（II ）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.试题解析：（I ）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4， 所以网购金额在[2500,3000]的频率为0.40.30.1-=， 即0.1q =，且1000.110y =⨯=，从而15x = ，0.15p =，相应的频率分布直方图如图3所示：…………………………………………………………5分 （II ）相应的22⨯列联表为：由公式222()100(3520405) 5.56()()()()40607525n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯===++++⨯⨯⨯，………………10分 因为5.56 5.024>，所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关.……………………12分考点：频率分布直方图，独立性检验． 19．（本小题满分12分）如图5，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E ，F 分 别是BC ，PC 的中点．（I ）证明：AE ⊥平面PAD ；（II ）取2AB =，在线段PD 上是否存在点H ，使得EH 与平面PAD 存在，请求出H 点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）证明见解析；（II ）存在且AH =试题解析：证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC ∆为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥.又//BC AD ，因此AE AD ⊥.………………3分 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， 所以PA AE ⊥.而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，PA AD A =，所以AE ⊥平面PAD .………………6分（II ）解：设线段PD 上存在一点H ，连接AH ，EH . 由（I ）知，AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角.………………8分在Rt EAH ∆中，AE =所以当AH 最短时，即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大，此时tan AE EHA AH ∠===AH =………………11分 所以，线段PD 上存在点H ，当DH =时，使得EH 与平面PAD ………………12分 考点：立体几何． 20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，C 在点P 处 的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴． （I ）求线段OQ 的长；（II ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线PA PE PB ，，的 斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由． 【答案】（I ）2；（II ）定点(2,0).试题解析：（I ）由抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52， 得5242n +=，2n =， 抛物线C 的方程为22y x =，(2,2)P .………………2分C 在第一象限的图象对应的函数解析式为y =，则'y =故C 在点P 处的切线斜率为12，切线的方程为12(2)2y x -=-， 令0y =得2x =-，所以点Q 的坐标为(2,0)-. 故线段OQ 的长为2.………………5分 （II ）2l 恒过定点(2,0)，理由如下：由题意可知1l 的方程为2x =-，因为2l 与1l 相交，故0m ≠. 由2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故2(2,)b E m+--.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22x my b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2220y my b --=， 则122y y m +=，122y y b =-.………………7分直线PA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-，同理直线PB 的斜率为222y +， 直线PE 的斜率为224b m ++. 因为直线PA PE PB ，，的斜率依次成等差数列，所以1222222212242b b m y y m++++=⨯=+++. 即1212121212122(4)42112()42()42y y y y b y y y y y y y y m++-+=+=+++++++.………………10分 整理得：22222b b m b m++=-+， 因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠-， 所以222m b m -+=，即2b =.故2l 的方程为2x my =+，即2l 恒过定点(2,0).………………12分 考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】本题主要考查直线与抛物线的位置关系.第一问考查的是抛物线的定义，抛物线的定义是动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据已知条件“(2,)P t 到焦点的距离为52”可以求出p ，进而得到抛物线的方程和P 点的坐标.第二问主要的条件是“直线PA PE PB ，，的斜率依次成等差数列”先假设存在，然后联立方程，由根与系数关系和等差中项的性质列方程，可求得定点坐标. 21．（本小题满分12分）已知2()ln f x x ax x =-+，a R ∈．（I ）若0a =，求函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若函数()f x 在1[,1]2上是增函数，求实数a 的取值范围；（III ）令2()()g x x f x =-，(0,]x e ∈（e 是自然对数的底数），求当实数a 等于多少时，可以使函数()g x 取得最小值为3．【答案】（I ）320x y --=；（II ）(,-∞；（III ）2a e =.试题解析：（I ）当0a =时，2()ln f x x x =+，∴1'()2f x x x=+，∴'(1)3f =，(1)1f =， ∴函数()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为320x y --=.………………3分（II ）函数()f x 在1[,1]2上是增函数， ∴1'()20f x x a x =-+≥在1[,1]2上恒成立，即12a x x ≤+在1[,1]2上恒成立.令1()2h x x x=+，则()22h x x x ≥=，当且仅当x ==”号.∴a ≤∴a 的取值范围为(,-∞.………………6分 （III ）∵()ln g x ax x =-，∴11'()ax g x a x x-=-=. （1）当0a ≤时，'()0g x <，∴()g x 在(0,]e 上单调递减，min ()()13g x g e ae ==-=，4a e=（舍去）.………………8分考点：函数导数与不等式．【方法点晴】求函数图象在某点的切线方程，主要通过导数得到斜率，结合切点的坐标，利用点斜式方程()()'000y y f x x x -=-来求.函数在某个区间上单调递增，那么它在这个区间上的导函数恒大于或等于零，反之，如果函数在某个区间上单调递减，则它在这个区间上的导数恒小于或等于零.往往等号容易漏掉，求解时要特别注意.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图6，O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P .（I ）求证：2PM PA PC =；（II ）若O 的半径为OA OM =，求MN 的长．【答案】（I ）证明见解析；（II ）2MN =. 【解析】试题分析：（I ）连接ON ，根据切线的性质有90ONP ∠=，90ONB BNP ∠+∠=所以OB ON =，OBN ONB ∠=∠.因为OB AC ⊥于O ，90OBN BMO ∠+∠=，所以BNP BMO PMN ∠=∠=∠，PM PN =.所以22PM PN PA PC ==；（II ）根据相交弦定理有8BM MN CM MA ⋅=⋅=，从而求得2MN =.试题解析：（I ）证明：连接ON ， ∵PN 切O 于N ，∴90ONP ∠=， ∴90ONB BNP ∠+∠=. ∵OB ON =， ∴OBN ONB ∠=∠. ∵OB AC ⊥于O ， ∴90OBN BMO ∠+∠=，故BNP BMO PMN ∠=∠=∠，PM PN =. ∴22PM PN PA PC ==.考点：几何证明选讲．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知曲线:2cos C p θ=，将曲线C 上的点向左平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标轴伸长到原来的2倍，得到曲线1C，又已知直线cos ,3:sin3x t l y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），且直线l 与曲线1C 交于A B ，两点．（I ）求曲线1C 的直角坐标方程，并说明它是什么曲线； （II）设定点P ，求11||||PA PB +．【答案】（I ）2214x y +=，是椭圆；（II ）113||||2PA PB +=.【解析】试题分析：（I ）对曲线C 两边乘以ρ化为直角坐标为222x y x +=，经过平移和伸缩变换后得到曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=，这是焦点在x 轴上的椭圆；（II ）将直线l 的参数方程代入曲线1C 的方程2214x y +=中，化简得21312804t t ++=，写出根与系数关系，124813t t +=-，123213t t =，结合t 点的几何意义可求得113||||2PA PB +=.（II）直线12:x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）将直线l 的方程代入曲线1C 的方程2214x y +=中，得21312804t t ++=. 设,A B 对应的参数方程为12,t t ， 则124813t t +=-，123213t t =， 结合t 的几何意义可知，1212121248||||||11||||31332||||||||||||213t t t t PA PB PA PB PA PB t t t t ++++=====.……………………10分考点：坐标系与参数方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1|f x x =+．（I ）求不等式()1(2)f x f x +<的解集M ； （II ）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--． 【答案】（I ）{|1M x x =<-或1}x >；（II ）证明见解析.试题解析：（I ）解：()1(2)f x f x +<，即|1|1|21|x x ++<+. 当1x ≤-时，原不等式可化为21x x -<--， 解得1x <-，此时原不等式的解集为1x <-； 当112x -<<-时，原不等式可化为221x x +<--， 解得1x <-，此时原不等式无解； 当12x >-时，原不等式可化为221x x +<+， 解得1x >，此时原不等式的解集为1x >； 综上， {|1M x x =<-或1}x >.………………5分（II ）证明：因为()()|1||1||1(1)|||f a f b a b a b a b --=+--+≤+--+=+， 所以，要证()()()f ab f a f b >--，只需证|1|||ab a b +>+， 即证22|1|||ab a b +>+，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证222210a b a b --+>，即证22(1)(1)0a b -->. ∵,a b M ∈，∴21a >，21b >，∴22(1)(1)0a b -->成立， 所以原不等式成立.………………10分 考点：坐标系与参数方程．：。
