随机需求库存模型

随机需求下的安全库存公式的证明假设每日的需求服从正态分布N(R,δR),R 为日需求均值,δR 为日需求标准差;提前期服从正态分布时N(L,S L );L 为提前期均值, S L 为提前期标准差;则货物交付期需求服从正态分布N(R L , δL)即:货物交付期需求标准差:δL == 因为这个公式是在订货至交货周期和需求均不确定的情况下，所以证明如下：（一） 需求不确定，但货物交付周期确定在定数模型里，我们把再订货水平（货物交付期的需求）定义为货物交付周期和单位时间内的需求的乘积，即ROL=L*RL因为日需求服从正态分布，而且货物交付周期恒定，那么货物交付期内的需求也服从正态分布，并且大于1/2周期内的平均值。

如果针对某种产品的需求呈正态分布，并且单位时间内的平均需求量为R ，标准差为δR,提前期恒定为L ，那么在第一个时间段里，需求的平均值为R ，标准差的平方为δR ²在第二个时间段里，需求的平均值为2×R ，标准差的平方为2×δR² 在第三个时间段里，需求的平均值为3×R ，标准差的平方为3×δR² 在第L 个时间段里，需求的平均值为L ×R ，标准差的平方为L ×δR² 平均货物交付期内需求等于L ×R L ，货物交付期内需求的标准差的平方等于L ×δR²，标准差等于δR ×√L .通过服务水平我们可以计算出货物交付期内需求低于再订货水平的概率，因此，我们可以利用正态分布的特点计算出：安全库存=z*δR*LZ 代表特定服务水平所对应的平均值的标准差的数值。

比如，95%的服务水平，意味着货物交付期内需求大于安全库存的情况有0.05的概率。

通过查正态分布表，我们可以确定0.05的概率对应的z 值等于1.65.（二） 货物交付期不确定，但需求确定上面我们证明了需求不确定，但货物交付期确定的模型。

随机存储问题的（ｓ，Ｓ）概率模型作者：高云峰来源：《商场现代化》2008年第33期[摘要] 随机模型作为一种概率模型，在问题中如果必须考虑随机因素对研究对象的影响时，有着不可替代的优势。

本文研究随机存储问题，针对问题本身特点，在合理假设基础上，建立了随机存储问题的（s,S）概率模型，进行求解，并给出评注。

[关键词] 存储问题随机变量（s,S）随机存储策略一、随机存储问题简介存储论是运筹学的重要分支之一，现实生活中到处都可以碰到存储问题。

如某商场购进某种批发商品，买的数量越多，价格越便宜，获利越大，但买得越多，占用资金越多，占用库存越大，且如果太多还会造成积压，又要削价处理，人力物力都受损，如果一次进货太少，价格高，订货费增加，又易发生缺货现象，失去销售机会而减少利润，这就产生了进多少商品使商场获利最大的问题，也就是一个存储问题。

又如某工厂按现有人员编制每年可生产一定数量的某种产品，而生产这种产品需用一定数量的某种原材料，这种原材料不需每日供应，但不得缺货，缺货将导致停工待料，影响生产计划，每次订购原材料需要费用，定购次数越多，费用越大，但为节约订购费用又不能订购次数太少，订购次数少，势必每次订购原材料多，每月的原材料保管费就增大，那么最佳的订购量和订货次数又是多少呢？这仍是存储问题。

像商品进货这类问题，由于需求具有随机性，称这类存储问题为随机存储问题；像工厂进原材料这类问题，需求是确定的，这类问题称为确定性存储问题。

二、（s,S）型随机存储问题提出及分析商店在一周内的销售量是随机的，每逢周末经理要根据存货的多少决定是否订购货物，以供下周销售。

适合经理采用的一种简单的策略是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货量不少于s时就不订货，当存货少于s时则订货，且订货量使得下周初的存量达到S。

这种策略称为（s,S）随机存储策略。

为使问题简化，只考虑订货费、储存费、缺货费和商品购进价格，存储策略的优劣以总费用为标准。

随机需求的最优化库存策略李嘉桓;陈铭宇;王承宏【摘要】市场环境的变化导致零售商对仓库中产品需求量也随之变化.针对此类问题提出一个最优化库存模型,使得仓库中的库存总成本最小.对于库存模型中某一阈值,若库存量低于阈值,则采用标准的(s,S)策略进行正常订货,求得库存总成本最小.若库存量高于阈值,在模型中采用推销策略将积压的产品推销出去,使得库存成本下降,求得库存总成本最小.【期刊名称】《通化师范学院学报》【年(卷),期】2005(026)004【总页数】3页(P10-12)【关键词】总成本;阈值;标准(s,S)策略;推销策略【作者】李嘉桓;陈铭宇;王承宏【作者单位】巴斯夫吉化新戊二醇有限公司,吉林,132002;吉林化学股份有限公司动力厂,吉林,132021;大连海事大学交通管理学院【正文语种】中文【中图分类】O2131 引言早在1951年,Harris就建立第一个库存模型来优化库存[1].近年来,国内外的许多专家与学者对库存问题也进行了深入研究[2],提出了许多优化库存模型.如Zheng提供了在离散需求下(s,S)策略最优化的严格证明[3],用可数状态Markov决策过程理论来解决对于给定有约束限制的库存中平均成本最优化问题,但是只局限于可数状态的离散需求.Iglehart对于静态成本分析也提供了一个(s,S)策略最优化问题[4],主要处理连续需求的库存问题.Sethi and Zhang通过Markov过程对于广告影响需求的随机生产/广告模型进行了研究[5],使用了动态公式来显示所构建不同等级问题的解决方法.库存成本无论是在供应链,还是在企业中所占的成本都很高,通过建立库存模型进行优化来节约成本,其经济效益将十分可观.在实际生活中,人们对产品的需求是随机的,它可能受环境、季节、天气等因素的作用而变化.本文对随机需求的库存成本问题进行研究,通过以随机需求为基础建立一个库存模型,为库存总成本最优化提供了一个解决方法.当需求量大于阈值时,不确定离散需求的库存问题采用了标准(s,S)最优化策略,并提出了对于离散需求一定存在一对(s*,S*)值, -∞<s*<S* <=∞,使△(s,S)最小.当需求量小于阈值且持续一段时间,这样会造成库存积压使得成本上升,因而,又对模型进行了改造加入推销策略来降低库存 ,并在推销策略中应用马尔柯夫决策过程(MDP)来解决库存—推销问题,以此求得库存总成本最小.2 最优化库存模型的建立随机存储中包括定期订货和定点订货,将其综合起来,隔一定时间检查一次存储,如果存储量高于数值s,则不订货,若存储量小于或等于s则订货,则订货量要达到S,称为(s,S)策略[9].在实际问题中这仍存在一定问题,因为需求是随机的,在一个周期内需求或许很小这样会带来产品的积压,使库存成本上升.针对问题建立一个模型,对于模型中存在某一阈值,在一个周期内若超过阈值,则在下一周期进行推销,使库存下降.对于正常订货成本,采用最优化(s,S)库存策略.在标准公式中h∶每单位持有成本;p∶每单位缺货成本;K∶固定订货成本; c∶每单位订货成本,假设c<p,则订货函数:c(u)=K+c.u x∶最初库存水平;u∶订货量;Yk∶订货后库存水平; ξ∶一周期需求,k=1,2…;φ(.)∶需求分布的密度;存储与缺货成本函数为l(y), L(y)为凸形L(y)=E(h[y-ξ]++E(h[y-ξ]- )给定一个订货策略Y=(y1,y2,…)库存平衡等式为: n—周期期望库存总成本为fn(x|y),则有fn(x|y)=E{L(y)+c(u}+Tkδ(z)}δ(.)表示示性函数δ(z)=1，当z>0;δ(z)=0,当z<0最优化库存模型是期望库存平均总成本最小即a(x|y)=limn→∞inf.1/nfn(x|y)3 最优化库存模型分析基于随机需求的最优化库存模型分析可以分两步:首先假定没有受推销影响的随机需求,求出其长期库存平均最小成本,其次受推销影响的需求库存最优化成本.3.1 (s,S)策略最优化库存模型分析对于不受推销影响的随机需求,求库存平均总成本最小采用Veinott and Wagner 所介绍的库存问题[6],假设拖后时间为零,并且为单项产品.需求ξ1在周期I是离散随机变量,并且是非负整数值.假设一周期需求ξ1,ξ2,…，它的分布随机变量为: φ(k)=p(ξi=k),k=0,1,2,…,i=1,2…离散renewal密度和renewal函数是:φi,Φi分别表示I—卷褶积需求分配的概率和积累分配函数.期望库存平均总成本a(x|y)可用符号a(x|s,S)表示,对于a(x|s,S)公式采用renewal 方法或静止概率方法(stationary probability approach).Veinott and Wagner推导出一个静态平均成本a(x|s,S),因为每单位购买成本不影响最优策略,所以设c=0.扩展到c>0,则有:a(x|s,S)s,S为整数,一定存在一对(s*,S*)满足：1/nfn(x)=λvw(s*,S*)确定△vw(s,S)是有界的,则一定存在一对(s*,S*)整数使得△vw(s,S)最小.Iglehart对于最小成本的分析不仅需要静态平均成本函数最小,而且需要最小值满足:L(s*)=△vw(s*,S*)-c.当c=0时,λv(s*,S*)=L(s*)，而λv(s,S)的最小值并不满足这一条件,但是可以证明若(s*,S*)是λv(s,S)最小值,那么有一个s#<s*,如:(1)([s#],s* )是一个λv(s,S)最小值,且λv([ s#], s*)=λv(s*,S* )(2) λv([ s#],s* )=L(s#)用(s#,s*)和函数λ(s,S)= ([ s#], S)将产生在Iglerhart的分析中的λ(s*,S*)=L(s*)=L(s*),一旦λ(s*,S*)=L(s*)确定,对于平均成本库存问题可以用Veinott and Wagner所提供的静态(s,S)策略最优化法,从公式fn(x)≤fn(x|Y)对于初始值x和所有历史-依靠策略Y∈y有a(x|s*,S*)=λv(s*,S*)=limn→∞inf·1/nfn(x|y)≤limn→∞inf·1/nfn(x|Y)=a(x|Y)通过以上分析,可以得到在采用标准的(s,S)策略时一定存在一对(s*,S*)值使得长期库存平均总成本最小.3.2 推销策略最优化库存模型分析对于需求很小时且持续一个周期,这样库房储备大量货物将会使成本上升,对于此类情况可以采取推销策略,在确定状态下,有一个阈值库存水平.若超过阈值则希望推销产品,通常采用的推销策略是在库存补充之前决定的,因而,库存问题被简化为一个标准的库存控制问题,这种简单的假设并不能够反映实际情况.由于推销计划并不能在确定情况下预先决定的,因此,采用stochastic dominance[7] 概念,对以上模型进行了改造,应用了马尔柯夫决策过程(MDP),为库存—推销决策问题提供一个更实际的模型.stochastic dominance关系定义如下：定义1 设ξ1和ξ2为两个随机变量, φ1和φ2为概率密度,Φ1和Φ2为积累分布.且ξ2大于或等于ξ1,也就是ξ2比ξ1随机性大.如果对于任意x有：Φ1(x)≥Φ2(x)则以Φ1为基础的需求中采用一个较小值就比以密度Φ2为基础的需求有较大的概率.定义2 若ξ2大于ξ1,则EΨ(ξ1)≤ EΨ(ξ2)，ψ为非递减的真实值函数, ψ(ξ1)和ψ(ξ2)都是整数.定义3 ξ2大于ξ1在某种意义上有比率调整的可能性,对于任意x≤Y有：Φ2(x)/Φ1(x)≤Φ2(y)/Φ1(y)定义4 ξ2大于ξ1在某种意义上可第一时刻的调整,对于固定C>0 和任意x≥0有Φ2(x)=φ1(x+C)很明显两个类型随机调整比随机控制调整要强壮.模型以上所介绍的随机调整关系为基础,将叙述需求和推销之间在数学方面的关系.假设1 (ⅰ)在不同需求状态下需求之间存在随机调整关系ξ1≤ξ2≤ξ3..ξL(ⅱ)对于任何1≥k≥≥pij(0)(ⅲ)对于是i的非下降序列第一个假设意味着在高需求状态下的需求高于在低需求状态下的需求.第二个假设反映推销可能会导致有随机更高需求的需求状态.第三个假设反映如果目前需求状态高,那么下一周期需求状态有随机的更高需求.这三个假设合起来确定推销不仅仅反映下一个周期更高的随机需求状态,而且对于未来需求有一个积极影响.在推销策略中引入Markov决策过程,因此,将以上模型进行了改造,设计一动态公式,从动态公式中导出最优化策略.考虑一有限需求状态为i∈{1...L} ,让ik表示第K周期需求状态;Ul≥0表示K周期的订货量,需求状态在K周期是i,那么下一周期是j的概率是pij(m),0≤pij(m)≤1,i∈I,m=0,1和为每项卖出的价格,对于初始库存量有：x+=max(0,x),x-=min(0,x)让Lk为k周期结束后的成本函数Lk(x)=hkx++pkx-,k=0,1,…，N-1则期望一周期成本为 : Lk(i,y)=E[ lk(y-ξk+1)|ik=i]设Gk=(i,x;m,u)=Lk(i,y)-Tkδ(z)-cku-xkVn(i,x)满足动态公式设计等式Vn(i,x)=inf[Gn(i,x;m,u)+E[Vn+1(in+1y-ξi+1|in=i ] Vn(i,x)=Wn(i,x)-cx,n=1,…,N-1;hn(i,y,m)=Tnδ(z)+mingn(i,y,m)于是对于n=1,…N-1,库存最小成本为Wn(i,x)=min{hn(i,x,m)}通过以上分析,可以得到在采用推销策略时引入动态公式导出Wn(i,x),使得库存成本最小.4 结论本文结合两个方法去解决实际中的随机需求库存最优化问题.对随机需求且拖后时间为零、单项产品进行最优化库存决策时,对于库存模型中某一阈值,若库存量低于阈值,则采用标准的(s,S)策略,在库存模型中一定存在一对(s*,S*)值,使得长期库存平均总成本最小.若库存量高于阈值,在模型中采用推销策略将积压的产品推销出去,使得库存成本下降,由于引入马尔柯夫决策过程(MDP),因此,将模型进行了改造,通过动态公式导出Wn(i,x),使得库存总成本最小.参考文献：[1] Arrow K A, Harris T E, Marschak J. Optimal Inventory Policy. Econometrics[J].1951,19.[2] Beyer D, Sethi S P. Average Cost Optimality in Inventory Models with Markovian Demands. Journal of Optimization Theory and Application.1997,92,N0.3.[3] Zheng Y-s.A Simple Proof for Optimality of (s, S) Policies in infinite-Horizon Inventory System. Application Problem .1991 ,28,No.5.[4] Beyer D,Sethi S P. The Classical Average-Cost Inventory Model of Iglehart (1963) and Veinott and Wagner (1965) Revisited.1996,pp10-12. [5] Sethi S and F Zhang. Multilevel Hierarchical Decision Making in Stochastic Marketing Production Systems. SIMA journal on Control and Optimization.1995,33,No.1.[6] Karlin S., and C. Carr.” Price and Optimal Inventory Policies”. Stanford University Press. Stanford, California.1962,Chapter 10.[7]甘应爱等.运筹学[M].清华大学出版社,2002,354-355.。