数学建模之库存模型

数学建模——存储模型存储模型摘要本文建立的是在产品需求稳定不变，生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限的条件下的存贮模型。

在不允许缺货和允许缺货的这两种情况下，为了简化模型的建立，我们采用了连续的变量来更加合理地来描述问题。

模型的求解是一个以每天的平均费用作为目标函数来求解的优化模型。

本文主要是通过数学中的微积分知识，借助Matlab程序实现，来求目标函数的极值问题，从而求得总费用最小的方案。

首先，在模型一中我们提出了不允许缺货的优化模型，即综合考虑在产品需求稳定不变、生产准备费和产品贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货以及确定生产周期和产量的情况下，使总费用最小的模型。

这个模型中，通过对得到的目标函数进行分析求解，可以得出经济订货批量公式（EQQ公式），验证了模型一的准确性。

其次，模型二中考虑当缺货的损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费时，提出了允许缺货的贮存模型。

根据贮存量函数和周期之间的关系，得到适用于模型二的目标函数。

此外，在模型二的求解中，当函数中的变量都各自趋于某一定值时，可以近似认为不允许缺货模型是缺货模型的特例。

总而言之，本文中的存贮模型是在总费用中增加购买货物本身的费用时，重新确定最优订货周期和订货批量的优化模型，并且证明了在不允许缺货模型和允许缺货模型中结果都与原来的一样，充分考虑了模型的优化。

关键词：不允许缺货；允许缺货；订货周期；订货批量；matlab程序一、问题重述在我们的周边有一家配件厂，据我们得知，该厂为装配线生产若干种部件时因更换要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费。

现已知某一部件的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。

如果生产能力远大于需求，试求在以下两种情况下来安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。

（1）不允许出现缺货（2）允许出现缺货二、问题分析在第（1）问时，我们不如先来试算一下以下几种情况的结果：若每天生产一次，每次100件，则我们可知，此时无贮存费，生产准备费5000元，每天费用为5000元；若10天生产一次，每次1000件，则我们可知，此时贮存费为900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用为950元；若50天生产一次，每次5000件，则我们可知，此时贮存费为4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元；从以上的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小。

产品库存优化模型数学建模（一）Weibull函数的引入Weibull首先开发了三参数模型，并且将其应用到实际中，建模了的失效数据,从此weibull模型成为了失效建模和可靠性领域中使用的最广泛的模型, 之后，Harter和Moore给出Weibull模型有关货物的变质、物品的销售寿命、零件的寿命特征和电子元件的失效等方面的具体应用。

因此,本文研究中将认为易（二）模型建立库存水平是研究的基础，首先我们通过建立微分方程来描述库存系统的库存水平，由于缺货和不缺货的库存水平不同，因此下文我们将分别研究，又因为不定 理 1 当0()()(0)kj kjI d F et L βαγψψ--≤=⎡⎤+-⎣⎦时,系统将不会发生缺货。

证明:若系统不缺货,即要求当k j t t L =+时，库存水平大于()0k kj j I t L +≥。

将kj t t L =+代人(3)式，()()0()0()()0k k j j kt L t L k k x j jj I I t L d edx ee βββαγαγαγ+-+----⎡⎤+=-+≥⎢⎥⎣⎦⎰ 并化简即可得到定理1。

由定理可得知,当j d F ≤时,系统将不会发生缺货；当j d F >时,系统发生缺货。

以后我们将把情况分为缺货与不缺货分别进行讨论。

但因为库存水平0k I 未知,下面将给出定理2求解0k I 。

定 理 2定理2证明:思路：由于0k I Q r =-+上一周期末的库存水平为了简化模型，我们将库存水平到达再订购点r 的时刻作为0时刻,重新建立坐标系。

现在我们将't 视为当前时刻,''()k I t 表示需求率为k d 时,'t 时的库存水平；下面我们用微分方程来描述上一周期提前期内的库存水平变化趋势：''''''()()(),0k k k k dI t d t I t t dt θ=--≤≤∆ （9） ''''(),k k k dI t d t L dt=-∆≤< （10） 其中，'k ∆为库存水平下降到0的时刻；下面分情况讨论：由于以上讨论的是只是一个周期，为了简化原问题的求解,下面给出定理3和定理4。

两种随机存贮管理模型的建立和求解摘 要：本文建立了仓库容量有限条件下单品种、多品种的允许缺货随机存贮模型。

采用连续的时间变量更合理地描述了问题，简化了模型的建立。

模型的求解是一个以分段的平均损失费用函数作为目标的带约束最优化问题。

针对题目中的具体数据对随机量送货滞后时间的密度函数进行了估计，解出了单品种、多品种条件下最优订货点的值和存贮方案。

通过分情况讨论把单品种存贮模型推广为多品种（m 种）存贮模型，论证了目标函数的独立变量为21m -个,使模型更加清晰、求解方便。

类比控制论中的相关理论提出了一定条件下多品种存贮的最优性原理，给出了证明，指出该原理简化模型和验证模型求解结果的作用。

讨论了销售速率具有随机性时的存贮模型，实际当中调整修正订货点的方法，以及仓库最大存贮量的一种预测办法。

最后指出了模型的优缺点。

0问题重述工厂生产需定期地定购各种原料，商家销售要成批地购进各种商品。

无论是原料或商品，都有一个怎样存贮的问题。

存得少了无法满足需求，影响利润；存得太多，存贮费用就高。

因此说存贮管理是降低成本、提高经济效益的有效途径和方法。

问题1 某商场销售的某种商品。

市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ；每次进货的订货费为常数1c 与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存贮商品时，单位商品每天的存贮费用记为2c ，由于自己的仓库容量有限，超出时需要使用租借的仓库存贮商品，单位商品每天的存贮费用记为3c ，且32c c ≤；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失，单位商品的损失记为4c ；每次订货，设货物在X 天后到达，交货时间X 是随机的；自己的仓库用于存贮该商品的最大容量为0Q ，每次到货后使这种商品的存贮量q 补充到固定值Q 为止，且Q Q <0；在销售过程中每当存贮量q 降到L 时即开始订货。

请你给出求使总损失费用达到最低的订货点*L （最优订货点）的数学模型。

问题 2 现给出来自某个大型超市的关于三种商品的真实数据，按你的模型分别计算出这三种商品各自相应的最优订货点*L 。

库存管理数据化数学模型分析一、标题：库存管理的重要性及挑战随着企业规模的扩大和业务的多元化，现代企业面临着大量的库存管理问题。

库存优化管理可以帮助企业提高产品的生产效率和销售效率，同时也可以降低企业的库存损失和资金的占用率。

然而库存管理也存在着比较大的挑战，如预测销售额的不确定性，产品过多导致错货率高，以及供应链管理等方面的问题。

基于此，本篇论文将以数学模型的方法，分析库存管理的重要性和挑战。

在此，笔者主要是从库存管理的基本概念、常见问题、优化指标等方面展开分析。

首先，笔者介绍了库存管理的基本概念，如库存、安全库存、服务水平等。

在此基础上，笔者分析了常见的库存问题，如盘点不准、过多库存、缺货等问题。

其次，笔者探讨了库存优化的指标，如库存周转率、滞销率、平均库龄等指标，并通过对比研究，提出了适合企业的优化管理方案。

最后，结合实际情况，本人结合数学模型，对库存问题进行分析和优化。

二、标题：库存控制方法的应用分析库存控制方法是实现库存优化管理的关键。

本篇论文的目的是通过对库存控制方法的应用分析，提高企业库存管理的效率和质量，并保证企业的商业利益。

文章将从库存控制方法的分类、特点、优缺点等方面展开分析，以找到最适合企业的库存控制方法。

在此，笔者首先介绍了常见的库存控制方法，如ABC分类法、优胜劣汰法、动态安全库存法以及定期盘点法等。

其次，笔者深入分析了这些库存控制方法的特点，包括此法的优点以及适用条件。

然后，笔者根据优缺点，结合实际情况，认为某种库存控制方法是最适合企业的方案。

最后，本人通过建立数学模型，进行控制模拟分析，验证所提出的库存控制方法的效果。

三、标题：基于需求预测的库存管理方法研究需求预测是库存管理的重要方面之一。

对需求量的精准预测可以帮助企业做出恰当的库存决策，避免过多库存和缺货的问题。

但是，对于库存管理者来说，如何对需求量进行精准的预测是一项难题。

本篇论文主要是通过研究基于需求预测的库存管理方法，提高预测准确度和库存运营效率，同时提高企业的竞争力。

承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： E我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。

以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。

如填写错误，论文可能被取消评奖资格。

）日期： 2014 年 9 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：生产与库存的关系模型设计摘要生产与库存问题一直是学术界及企业十分关注的问题。

如果企业库存量过大，流动资金占用过多，就会影响企业的经济效益，但如果库存量过小，又难以保证生产经营活动的正常进行。

在生产经营管理活动中也是如此，除了合理安排生产外，还遇着采购的物资和生产的产品都在入库，这就关系到最佳库存量的问题。

数学实验作业
果分析和解释说明：
[总结及心得体会]请谈谈您在这次实训项目设计中的心得感悟和收获
参照老师给的几个例子，对其结构布局进行一系列的认识，分析，慢慢弄懂了其中的原理，对于课本的类型题的想法学习后，我有了对于这个问题做法的一些思路，用windows画图工具对其进行画图最后根据流程图的思路进行编程，经过反复的运行侧试，由于过程中出现很多错误，所以就向同学进行请教，最终的出了结果。

这两天我得到了很大的收获。

通过此次的学习，我懂得了怎么着手于一个问题的分析。

感觉这次写的小论文给我蛮大收获的，一来提高了我的思维能力，那是一种真正思想上自由的思考，虽然一开始让人摸不着头脑，找不到头绪，只能到处去查资料、看书，查看相关专题，在短时间内要理解运用相关知识，这是平时我们学习很难得到的，真正能锻炼到思维的。

二来又锻炼了我的计算机应用能力，检索文献的能力，学习新知识的能力和论文撰写能力等等。

这次写论文对我来说是次很好的经历，这段日子的体会和收获，我相信对我今后的生活学习会有一定的影响，让我不断努力、进步。

[参考书目] 列出你查阅的参考书或网络资料（作者、书名或文章名、出版社、时间）。

某企业对于某种材料的月需求量为随机变量，具有如下表概率分布：每次订货费为500元，每月每吨保管费为50元，每月每吨货物缺货费为1500元，每吨材料的购价为1000元。

该企业欲采用周期性盘点的（s,S）策略来控制库存量，求最佳的s,S的值注：策略指的是若发现存货量少于s时立即订货，将存货补充到S，使得经济效益最佳。

Matlab仿真程序：clcclearx1=rand(12000,1); %产生需求随机数efee=zeros(1,28); n=0; %矩阵 efee 存放费用(cost)ss=zeros(1,28);p=0; %矩阵 ss 存放 s 的值SS=zeros(1,28);q=0; %矩阵 SS 存放 S 的值for i=1:12000if x1(i)<0.05r(i)=50; % r 为需求量elseif x1(i)<0.15r(i)=60;elseif x1(i)<0.30r(i)=70;elseif x1(i)<0.55r(i)=80;elseif x1(i)<0.75r(i)=90;elseif x1(i)<0.85r(i)=100;elseif x1(i)<0.95r(i)=110;elser(i)=120;endendfor s=50:10:110for S=(s+10):10:120cost=0; storage=S; %定义各种费用以及初值storagefee=50; lossfee=1500; bookfee=500; cailiaofee=1000;%处理每月的销售订货情况for j=1:12000if storage<=s %需要订货storage=S;booknum=S-storage;cost=cost+bookfee+booknum*cailiaofee+storage*storagefee;elsebooknum=0;cost=cost+storage*storagefee;endif storage>=r(j) %缺货情况storage=storage-r(j);shortagenum=0;elseshortagenum=r(j)-storage;cost=cost+shortagenum*lossfee;storage=0;endendn=n+1;efee(n)=cost/12000;p=p+1;q=q+1;ss(p)=s;SS(q)=S;endendfor n=1:28 %求费用中最小的minfee=efee(1);if efee(n)<minfeeminfee=efee(n);endendSS %显示S的值ss %显示s的值efee %显示费用(cost)的值minfee %显示最小费用输出结果1：显示S的值SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120显示s的值ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110显示费用(cost)efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0006 2.7829 1.7864 1.1690 0.8460 0.8339 1.0267 2.7829Columns 9 through 161.7864 1.1690 0.8460 0.6735 0.7509 1.7864 1.1690 0.8460Columns 17 through 240.6735 0.6500 1.1690 0.8460 0.6735 0.6500 0.8460 0.6735Columns 25 through 280.6500 0.6735 0.6500 0.6500显示最小费用minfee =6.5000e+003输出结果2：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0147 2.7875 1.7885 1.1697 0.8496 0.8358 1.0348 2.7875 Columns 9 through 161.7885 1.1697 0.8496 0.6749 0.7563 1.7885 1.1697 0.8496Columns 17 through 240.6749 0.6500 1.1697 0.8496 0.6749 0.6500 0.8496 0.6749Columns 25 through 280.6500 0.6749 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003输出结果3：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0387 2.8106 1.8105 1.1809 0.8594 0.8309 1.0271 2.8106Columns 9 through 161.8105 1.1809 0.8594 0.6797 0.7459 1.8105 1.1809 0.8594Columns 17 through 240.6797 0.6500 1.1809 0.8594 0.6797 0.6500 0.8594 0.6797Columns 25 through 280.6500 0.6797 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003输出结果4：SS =Columns 1 through 1460 70 80 90 100 110 120 70 80 90 100 110 120 80Columns 15 through 2890 100 110 120 90 100 110 120 100 110 120 110 120 120ss =Columns 1 through 1450 50 50 50 50 50 50 60 60 60 60 60 60 70Columns 15 through 2870 70 70 70 80 80 80 80 90 90 90 100 100 110efee =1.0e+004 *Columns 1 through 84.0464 2.8185 1.8071 1.1845 0.8620 0.8395 1.0105 2.8185 Columns 9 through 161.8071 1.1845 0.8620 0.6812 0.7509 1.8071 1.1845 0.8620 Columns 17 through 240.6812 0.6500 1.1845 0.8620 0.6812 0.6500 0.8620 0.6812 Columns 25 through 280.6500 0.6812 0.6500 0.6500minfee =6.5000e+003。