2012考研数学易混淆概念分析之高等数学(九)

2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（三）万学海文考研数学当中的高等数学有很多容易混淆的概念知识点，万学海文数学考研辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为2012年的广大考生们罗列出这些容易混淆知识点以供大家参考复习。

下面，我们讲解的是利用洛必达法则求极限的相关问题。

1、导函数之比的极限值不存在时，不能使用洛必达法则． 例1、求极限2cos lim3sin x x x x x →∞+-解：原式2sin ()lim 3cos x x x→∞∞- ∞-，由于该极限不存在，所以原极限2cos lim3sin x x x x x→∞+-不存在．此题显然不对，我们可以得到该题目的极限为23．为什么会这样呢？难道洛必达法则出问题了？显然不是，洛必达法则只能说出导数之比的极限值存在或无穷大时，原极限的情况，而极限不存在时，原函数的极限可能存在也可能不存在．2、求数列极限时不能直接利用洛必达法则．例2、求极限1lim (1)n n n e →∞-解：利用洛必达法则求解1112211l i m (1)l i m l i m11nnn n n n e e n n e nn→∞→∞→∞---==-1l i m 1n n e →∞==．此题的结果是正确的，但是计算过程是错误的．因为数列中变量n 是自然数，它是一系列离散的点，不是连续变量，所以没有导数，不能直接利用洛必达法则求极限．但对于特殊的数列极限00和∞∞型，可以间接的使用洛必达法则求极限．正确的求解方法是，先求出lim ()x f x →+∞的极限，根据函数极限的性质可得相应的数列极限．正确的解法：因为，1111221(1)lim (1)limlimlim 111xxx x x x x x e e x x e e xx→+∞→+∞→+∞→+∞---====-所以，数列1lim (1)n n n e →∞-=1例3、求数列极限nn n n)111(lim 2++∞→解：先求函数极限xx xx)111(lim 2+++∞→取对数后的极限为：222222221211ln(1)ln 21lim ln(1)limlim lim1,111x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x→+∞→+∞→+∞→+∞+-++-+++++====++-所以，.)111(lim )111(lim 22e xxnnxx nn =++=+++∞→∞→3、求解含有抽象函数的极限，使用洛必达法则时一定要注意题设条件． 例4、设()f x 在点x 处具有二阶导数，求极限2()2()()limh f x h f x f x h h→+-+-．错误解答：(1) 用洛必达法则 2()2()()'()2'()'()limlim2h h f x h f x f x h f x h f x f x h hh→→+-+-+-+-=01'()'()'()'()1l i m [][''()''()]22h f x h f x fx f x h f x f xhh→+--+-=+=-=（2）利用洛必达法则2()2()()'()'()limlim2''()''()lim''()2h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x h f x →→→+-+-+--=++-==上述两种做法都是错误的．（1）式的错误在于，利用洛必达法则求极限时，自变量是h ，故分子分母均应是分别对变量h 求导数，这时，2()f x -的导数是0，而（1）式中却想当然的把导数错误的求为2'()f x -，所以结果是错的．（2）式的错误在于，第二次使用洛必达法则时，没有考虑题设条件：()f x 在点x 处具有二阶导数．只是可导，我们并不知道在x 的一个邻域内是否二阶可导，所以不满足洛必达法则的条件．同样第三步计算也是错误的，因为题设并没有告诉我们二阶导数在x 处连续，故0''()''()''()''()lim22h f x h f x h f x f x →++-+=是没有根据的．所以，万学海文提醒考生们一定要小心使用洛必达法则求极限．正确解答：2()2()()'()'()limlim2h h f x h f x f x h f x h f x h hh→→+-+-+--=1'()'()'()'()[limlim]''()2h h f x h f x f x h f x f x hh→→+---=+=-先是利用洛必达法则，再利用导数定义求解．当然也有其它的方法求解：22()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''+=+++,22()()()()()2!f x f x h f x f x h h o h '''-=-++．所以2()2()()limh f x h f x f x h h→+-+-222()()lim()h f x h o h f x h→''+''==例5、设()(),00,0g x x f x xx ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩，且已知0)0()0(='=g g ，3)0(=''g ，试求).0(f '解 因为,)(0)0()(2x x g x f x f =--所以由洛必达法则得2()()(0)limlim2x x g x g x f xx→→''==01()(0)13l i m (0).2022x g x g g x →''-''===- 问题两则：(1)上例解法中，已知条件0)0(=g 用在何处? (2)如果用两次洛必达法则，得到==' )0(f xx g x 2)(lim'→.23)0(212)(lim=''=''=→g x g x 错在何处?小结 万学海文在此为2012年考生们列出用洛必达法则应注意的事项:①运用洛必达法则时,一定要注意条件.当∞→x 时,极限中含有x x cos ,sin ； 或当0→x 时,极限式中含有xx 1cos,1sin时,不能用法则.②只要满足洛必达法则的条件,洛必达法则可一直用下去； ③每用完一次法则，要将式子整理化简；④为简化运算经常将法则与等价无穷小结合使用；⑤用变量代换使求导运算简单，从而使洛必达法则更有效.。

2012考研数学易混淆概念分析之高等数学（五）随着复习的展开，同学们遇到的问题也随之增多，如果不能及时将这些问题解决，势必会影响我们整个复习的进度，阻碍我们复习的进行。

所以当我们遇到问题时一定要在第一时间内将其解决掉。

万学海文的数学考研辅导专家们下面主要为2012年的考生们讲解一下高等数学常见易混淆知识点。

这次我们主要讲解的是可积与原函数的存在性。

牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，一个函数的在区间[],a b 上的定积分和函数在这个区间上的原函数有着千丝万缕的关系！那么是不是函数在[],a b 上可积，它的原函数就一定存在呢?或者函数的原函数存在就一定可积呢？这两个问题的答案是否定的。

我们先来看两个例子：例 1.判断函数221212s in c o s ,0()0,0x x x x x f x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩是否可积，原函数是否存在.解析：在 []1,1-我们可以找到一个函数221s in ,0()0,0x x x F x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，使得221212s in c o s ,0'()()0,0x x x x x F x f x x ⎧-≠⎪==⎨⎪=⎩.因此，()f x 在 []1,1-上的原函数是()F x .但 ()f x 在 []1,1-上无界，所以 ()f x 在 []1,1-上不可积.因此，我们可以得到结论，函数在的原函数存在但是函数在区间[],a b 上不一定可积.例2.判断函数()1,10,01,0x f x x x 0<≤⎧⎪= =⎨⎪- -1≤<⎩在 []1,1-上是否可积可积，原函数是否存在。

解析：由题意知：0x =是它的第一类间断点，我们知道在某区间I 上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数不存在，所以函数在 []1,1-上的原函数不存在.但是函数在[]1,1-是可积的！因此，函数可积也不能保证函数的原函数就一定存在！那么在什么条件下，一个函数的定积分可用这个函数的原函数在积分区间的上下限处的函数值的代数和来表示呢？亦即，在什么条件下，牛顿-莱布尼兹公式才成立呢？那么我们回顾一下定理，即可得到答案！即当函数()f x 在[],a b 连续时，函数的定积分可以表示成其原函数的增量的形式。

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钻石卡辅导：2012考研数学重要知识点解析之高等数学（九）万学海文数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。

万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。

这次我们介绍的是多元函数微分学的一些基本概念。

1．二元函数的极限设(,)z f x y =在00(,)x y 的去心邻域有定义，若对任意0ε>，存在0δ>，使得当0δ<<时，有(,)f x y A ε-<，则称A 为函数),(y x f 当 ),(),(00y x y x →时的极限，记为 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00．【注】①二元函数的极限只有当动点(,)x y 以任意方式趋于00(,)x y 时(,)f x y 的极限都为A 时才存在．②若可找到两条不同路径沿其(,)x y 趋近于00(,)x y 时(,)f x y 的极限不相等，则二元函数的极限不存在．特别，当00(,)(0,0)x y =时选择y kx =，若极限与k 有关，则二元函数的极限不存在．【例1】22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明：(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在． 证明 22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim x y x y xy f x y x y →→=+． 因为222222200lim lim 1x x y kx y kxxy kx k x y x k x k →→====+++与k 有关，故(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2．二元函数的连续性设二元函数(,)z fx y =在00(,)x y 的邻域有定义，若),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→，则称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续．3．偏导数的概念设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为00(,)x f x y '类似，函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数定义为0000000(,)(,)(,)lim y y f x y y f x y f x y y ∆→+∆-'=∆． 【注】①偏导数存在推不出函数连续，函数连续也推不出偏导数存在． ②00(,)x f x y '存在虽然推不出函数连续，但是可以推出00lim (,)x x f x y →=00(,)f x y ，即(,)f x y 在00(,)x y 对x 是连续的．4．全微分如果函数),(y x f z =在点00(,)x y 处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中A 、B 不依赖于x ∆、y ∆而仅与0x 、0y 有关，22)()(y x ∆+∆=ρ，则称函数),(y x f z =在点00(,)x y 可微分，且称y B x A ∆+∆称为函数),(y x f z =在点00(,)x y 的全微分，记为dz ，即00(,)x y dz A x B y =∆+∆．【注】①如果函数),(y x f z =在点00(,)x y 处可微分， 则函数),(y x f z =在点00(,)x y 处连续．②如果函数),(y x f z =在点00(,)x y 可微分，则函数),(y x f z =在点00(,)x y 的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在，而且有 000000(,)(,)(,)x y x y x y z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂． ③如果函数),(y x f z =的偏导数,z x ∂∂y z ∂∂在点00(,)x y 连续，则函数在该点可微． ④函数),(y x f z =在点00(,)x y 处的,z x ∂∂y z ∂∂存在，且0lim 0z z z x y x y ρρ→∂∂∆-∆-∆∂∂=，则),(y x f z =在00(,)x y 可微。

考研数学之容易混淆的知识点考研数学之容易混淆的知识点导语：在考研复习很重要的强化提升阶段，数学对考生们来说可能是最重要的也是最头痛的学科了。

2018考研数学如何复习?考研数学怎么复习?考研数学学科所考内容多、知识面广、综合性强，增加考生复习了数学的难度,很多考生反映即使给数学分配很多的复习时间，做了很多题，还是很难取得突破性的进展，困扰很长时间。

以下是小编为大家精心整理的考研数学之容易混淆的知识点，欢迎大家参考！一、几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。

二、罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

罗尔定理的三个已知条件的意义，①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在; ③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

三、.泰勒公式展开的应用专题：相信很多同学看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。

其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。

1.什么情况下要进行泰勒展开;2.以哪一点为中心进行展开;3.把谁展开;4.展开到几阶?四、应用多次中值定理的'专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。

《高等数学》常见易混淆概念梳理摘要概念教学是培养数学核心素养的重要手段，也是高等数学课堂教学的重要一环，只有准确把握概念的内涵与外延，才能够正确理解概念以及应用概念。

《高等数学》作为工科、理科学生必修的基础课程，对于高等数学的学习不仅是对高等数学知识的学习，同时也是对能力与素质的培养，也可以说，高等数学是解锁其他学科的一把钥匙。

高等数学的学习是从对概念的学习开始的，因此，准确把握概念，理清概念之间的区别与联系尤为重要。

本文将讨论三组常见易混淆概念，分析易混淆概念产生原因以及该如何解决。

关键词：高等数学、易混概念一、函数的导数与微分根据同济大学出版的第七版《高等数学》中给出的定义，导数的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量；如果与之比当时的极限存在，那么称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即.也就是说导数是自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量的增量比的极限，而微分的定义为：设函数在某区间内有定义，及在这区间内，如果函数的增量可表示为，其中A是不依赖于的常数，那么称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增量的微分，记作dy,即.由此可见，微分的实质是函数值增量的近似值。

很多学生在学习过导数与微分的概念过后，常常会产生，“学习了导数为什么还要学习微分？函数的微分与导数有什么区别？”等等诸如此类的问题，还有部分学生存在对微分概念理解不透彻，对函数的微分与导数的区别与联系理解模糊的问题。

产生以上问题主要有三方面原因：第一、目前，国内大部分教材对于函数的导数与微分的内容安排一般都是首先介绍导数的概念以及导数的相关知识，再介绍求导法则以及求高阶导数、隐函数和参数方程求导数等问题，最后再介绍函数的微分，由于经过前期的学习，学生对于导数及其相关计算熟悉程度较高，在学习到微分的概念时，容易发现函数可导与可微之间的充分必要关系，且在计算微分的过程中，微分的计算又可以借助导数的计算来进行，因此导致学生过多地关注导数的相关知识，忽视了对微分概念的学习，久而久之，导致学生对函数微分的概念理解模糊；第二、函数在一点处可导与函数在一点处可微是充分必要关系，，若只强调导数与微分的计算则会加重对两个概念的混淆，所以，教师若未对函数的微分与导数的区别与联系进行强调，只是强调两者的计算，也会导致对微分的概念理解模糊的问题。

高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。

数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。

下面将对第九章的知识点进行总结。

一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。

2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。

3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。

4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。

二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。

2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。

3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。

4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。

5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。

三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。

2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。

以上就是高数第九章的主要知识点总结。

掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。

在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。

考研数学复习中应该注意哪些易混淆的知识点考研数学作为考研科目中的“重头戏”，其复习过程充满了挑战。

在众多的知识点中，有一些容易混淆的部分常常让考生感到困惑和头疼。

下面我们就来详细梳理一下在考研数学复习中应该特别注意的那些易混淆的知识点。

一、函数极限与数列极限函数极限和数列极限是极限部分的两个重要概念。

很多同学在初次接触时，容易将它们的定义和性质搞混。

函数极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值的趋近情况。

而数列极限则是指数列中的项无限趋近于某个确定的值。

它们的区别在于：函数极限中自变量的变化是连续的，而数列极限中自变量的变化是离散的。

在计算上，一些定理和方法在函数极限和数列极限中的应用也有所不同。

比如，对于函数极限，可以使用洛必达法则；而对于数列极限，一般不能直接使用洛必达法则。

二、一元函数导数与多元函数偏导数导数和偏导数都是反映函数变化率的概念，但在一元函数和多元函数中的表现有所不同。

一元函数的导数表示函数在某一点处的变化率，是一个数值。

而多元函数的偏导数则是在其他自变量固定的情况下，对某一个自变量的变化率。

在计算偏导数时，要注意将其他自变量视为常数。

而且，一元函数的导数存在，函数不一定连续；但对于多元函数，偏导数存在且连续，函数才一定可微。

三、不定积分与定积分不定积分和定积分是积分学中的重要概念，也是容易混淆的地方。

不定积分是求被积函数的原函数，结果是一个函数族；而定积分则是一个数值，表示函数在某个区间上与坐标轴围成的面积。

在计算方法上，不定积分需要运用各种积分公式和方法来求解；而定积分的计算除了使用基本的积分方法外，还常常需要利用定积分的性质，如区间可加性等。

此外，不定积分的结果可以加上任意常数 C，而定积分的结果是一个确定的数值。

四、级数的收敛与发散级数的收敛与发散是级数部分的核心概念。

对于正项级数，有比较判别法、比值判别法、根值判别法等多种判别方法。

而对于任意项级数，需要考虑绝对收敛和条件收敛的情况。

【2012考研必备资料】高等数学知识点归纳第一讲: 极限与连续一. 数列函数:1. 类型:(1数列: *; *(2初等函数:(3分段函数: *; *;*(4复合(含函数:(5隐式(方程:(6参式(数一,二:(7变限积分函数:(8级数和函数(数一,三:2. 特征(几何:(1单调性与有界性(判别; (单调定号(2奇偶性与周期性(应用.3. 反函数与直接函数:二. 极限性质:1. 类型: *; *(含; *(含2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量:3. 未定型:4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:, , ,, , , ,,四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当时,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式:(1;(2;(3;(4;(5.五. 常规方法:前提: (1准确判断(其它如:; (2变量代换(如:1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( (注:3. 处理(其它如:4. 左右极限(包括:(1; (2; ; (3分段函数: , ,5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小(注: 非零因子6. 洛必达法则(1先”处理”,后法则(最后方法; (注意对比: 与(2幂指型处理: (如:(3含变限积分;(4不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项: 处理和式中的无穷小8. 极限函数: (分段函数六. 非常手段1. 收敛准则:(1(2双边夹: *, *(3单边挤: * * *2. 导数定义(洛必达?:3. 积分和: ,4. 中值定理:5. 级数和(数一三:(1收敛, (如 (2,(3与同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶: *(1(22. 渐近线(含斜:(1(2,(3. 连续性: (1间断点判别(个数; (2分段函数连续性(附:极限函数, 连续性八. 上连续函数性质1. 连通性: (注:, “平均”值:2. 介值定理: (附: 达布定理(1零点存在定理: (根的个数;(2.第二讲:导数及应用(一元(含中值定理一. 基本概念:1. 差商与导数: ;(1 (注:连续(2左右导: ;(3可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导2. 微分与导数:(1可微可导; (2比较与的大小比较(图示;二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注:2. 法则: (1四则运算; (2复合法则; (3反函数三. 各类求导(方法步骤:1. 定义导: (1与; (2分段函数左右导; (3(注: , 求:及的连续性2. 初等导(公式加法则:(1, 求:(图形题;(2, 求: (注:(3,求及 (待定系数3. 隐式(导:(1存在定理;(2微分法(一阶微分的形式不变性.(3对数求导法.4. 参式导(数一,二: , 求:5. 高阶导公式:; ;;注: 与泰勒展式:四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线; (区别: 上点和过点的切线2. 物理: (相对变化率速度;3. 曲率(数一二: (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆4. 边际与弹性(数三: (附: 需求, 收益, 成本, 利润五. 单调性与极值(必求导1. 判别(驻点:(1 ; ;(2分段函数的单调性(3零点唯一; 驻点唯一(必为极值,最值.2. 极值点:(1表格(变号; (由的特点(2二阶导(注(1与的匹配(图形中包含的信息;(2实例: 由确定点“”的特点.(3闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优3. 不等式证明((1区别: *单变量与双变量? *与?(2类型: *; **; *(3注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如:4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导!:1. 表格; (2. 应用: (1泰勒估计; (2单调; (3凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点1. 结论:2. 辅助函数构造实例:(1(2(3(4;3. 有个零点有个零点4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定5. 注: 含时,分家!(柯西定理6. 附(达布定理: 在可导,,,使:八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; (2. 估计:九. 泰勒公式(连接之间的桥梁1. 结论: ;2. 应用: 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义: [注:有定积分(不含变限条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念:1. 原函数:(1; (2; (3注(1(连续不一定可导;(2 (连续2. 不定积分性质:(1;(2;二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性3. 凑微法(基础: 要求巧,简,活(如:4. 变量代换:(1常用(三角代换,根式代换,倒代换:(2作用与引伸(化简:5. 分部积分(巧用:(1含需求导的被积函数(如;(2“反对幂三指”:(3特别: (*已知的原函数为; *已知6. 特例: (1; (2快速法; (3三. 定积分:1. 概念性质:(1积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续(2几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值*; *(3附: ,(4定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理(重点(1可积连续, 连续可导(2; ;(3由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程问题3. 公式: (在上必须连续! 注: (1分段积分, 对称性(奇偶, 周期性(2有理式, 三角式, 根式(3含的方程.4. 变量代换:(1,(2 (如: (3,(4; ,(5,5. 分部积分(1准备时“凑常数”(2已知或时, 求6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分:1. 类型: (1 (连续(2: (在处为无穷间断2. 敛散;3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部4. 特例: (1; (2五. 应用: (柱体侧面积除外1. 面积,(1 (2;(3; (4侧面积:2. 体积:(1; (2(3与3. 弧长:(1(2(3:4. 物理(数一,二功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理:(1;(2, (以为周期:第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件2. 变换方程:(1令(如欧拉方程(2令(如伯努利方程3. 建立方程(应用题的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1; (2; (32. 变量分离型:(1解法:(2“偏”微分方程: ;3. 一阶线性(重点:(1解法(积分因子法:(2变化: ;(3推广: 伯努利(数一4. 齐次方程:(1解法:(2特例:5. 全微分方程(数一: 且6. 一阶差分方程(数三:三. 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四. 高阶线性方程:1. 通解结构:(1齐次解:(2非齐次特解:2. 常系数方程:(1特征方程与特征根:(2非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法(3由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一: , 令五. 应用(注意初始条件:1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积;注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分;可设3. 导数定义立方程:含双变量条件的方程4. 变化率(速度5.6. 路径无关得方程(数一:7. 级数与方程:(1幂级数求和; (2方程的幂级数解法:8. 弹性问题(数三第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件, (1(2(3 (判别可微性注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:2. 特例:(1: 点处可导不连续;(2: 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导:注: (1型; (2; (3含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点:熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定:(1形式: *; * (存在定理(2微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性: (要求: 二阶导(3注: 与的及时代入(4会变换方程.三. 二元极值(定义?;1. 二元极值(显式或隐式:(1必要条件(驻点;(2充分条件(判别2. 条件极值(拉格朗日乘数法 (注: 应用(1目标函数与约束条件: , (或: 多条件(2求解步骤: , 求驻点即可.3. 有界闭域上最值(重点.(1(2实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作:(1,(2对称性(熟练掌握: *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标;(3“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶2. 计算(化二次积分:(1直角坐标与极坐标选择(转换: 以“”为主;(2交换积分次序(熟练掌握.3. 极坐标使用(转换:附: ; ;双纽线4. 特例:(1单变量: 或(2利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分(数三五: 一类积分的应用(:1. “尺寸”: (1; (2曲面面积(除柱体侧面;2. 质量, 重心(形心, 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三一. 级数概念1. 定义: (1, (2; (3 (如注: (1; (2(或; (3“伸缩”级数:收敛收敛.2. 性质: (1收敛的必要条件: ;(2加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论;(3;二. 正项级数1. 正项级数: (1定义: ; (2特征: ; (3收敛(有界2. 标准级数: (1, (2, (33. 审敛方法: (注:,(1比较法(原理:(估计, 如;(2比值与根值: * * (应用: 幂级数收敛半径计算三. 交错级数(含一般项: (1. “审”前考察: (1 (2; (3绝对(条件收敛?注: 若,则发散2. 标准级数: (1; (2; (33. 莱布尼兹审敛法(收敛?(1前提: 发散; (2条件: ; (3结论: 条件收敛.4. 补充方法:(1加括号后发散, 则原级数必发散; (2.5. 注意事项: 对比; ; ; 之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式:(1, (2, (32. 阿贝尔定理:(1结论: 敛; 散(2注: 当条件收敛时3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备注(1与同收敛半径(2与之间的转换4. 幂级数展开法:(1前提: 熟记公式(双向,标明敛域;;(2分解: (注:中心移动 (特别:(3考察导函数:(4考察原函数:5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换: (1(2,(注意首项变化(3,(4的微分方程(5应用:.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三:(1复利: ; (2现值:五. 傅里叶级数(数一: (1. 傅氏级数(三角级数:2. 充分条件(收敛定理:(1由(和函数(23. 系数公式:4. 题型: (注:(1且(分段表示(2或(3正弦或余弦*(4(*5.6. 附产品:第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一一. 向量基本运算1. ; (平行2. ; (单位向量(方向余弦3. ; (投影:; 垂直:; 夹角:4. ; (法向:; 面积:二. 平面与直线1.平面(1特征(基本量:(2方程(点法式:(3其它: *截距式; *三点式2.直线(1特征(基本量:(2方程(点向式:(3一般方程(交面式:(4其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示: 3. 实用方法:(1平面束方程:(2距离公式: 如点到平面的距离(3对称问题;(4投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备1. 曲面(1形式: 或; (注: 柱面(2法向 (或2. 曲线(1形式, 或;(2切向: (或3. 应用(1交线, 投影柱面与投影曲线;(2旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面:2. 球面:变形: , ,,3. 锥面:变形: ,4. 抛物面: ,变形: ,5. 双曲面:6. 马鞍面: , 或五. 偏导几何应用1. 曲面(1法向: , 注: (2切平面与法线:2. 曲线(1切向:(2切线与法平面3. 综合: ,六. 方向导与梯度(重点1. 方向导(方向斜率:(1定义(条件:(2计算(充分条件:可微:附:(3附:2. 梯度(取得最大斜率值的方向:(1计算:;(2结论;取为最大变化率方向;为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一一. 三重积分(1. 域的特征(不涉及复杂空间域:(1对称性(重点: 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2投影法:(3截面法:(4其它: 长方体, 四面体, 椭球2. 的特征:(1单变量, (2, (3, (43. 选择最适合方法:(1“积”前: *; *利用对称性(重点(2截面法(旋转体: (细腰或中空, , (3投影法(直柱体:(4球坐标(球或锥体: ,(5重心法(:4. 应用问题:(1同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力(2公式二. 第一类线积分(1. “积”前准备:(1; (2对称性; (3代入“”表达式2. 计算公式:3. 补充说明:(1重心法: ;(2与第二类互换:4. 应用范围(1第一类积分(2柱体侧面积三. 第一类面积分(1. “积”前工作(重点:(1; (代入(2对称性(如: 字母轮换, 重心(3分片2. 计算公式:(1(2与第二类互换:四: 第二类曲线积分(1: (其中有向1. 直接计算: ,常见(1水平线与垂直线; (22. Green公式:(1;(2: *换路径; *围路径(3(但内有奇点(变形3. 推广(路径无关性:(1(微分方程(道路变形原理(2与路径无关(待定: 微分方程.4. 应用功(环流量: (有向,,五. 第二类曲面积分:1. 定义: , 或 (其中含侧2. 计算:(1定向投影(单项: , 其中(特别:水平面;注: 垂直侧面, 双层分隔(2合一投影(多项,单层:(3化第一类(不投影:3. 公式及其应用:(1散度计算:(2公式: 封闭外侧, 内无奇点(3注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点4. 通量与积分:(有向,,六: 第二类曲线积分(2:1. 参数式曲线: 直接计算(代入注(1当时, 可任选路径; (2功(环流量:2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向, 所张曲面含侧(1旋度计算:(2交面式(一般含平面封闭曲线: 同侧法向或; (3Stokes公式(选择:(化为; (化为; (化为。

《高等数学》易混淆概念一、函数、极限、连续1.1 无界变量一定是无穷大量吗？答：不一定是．无界变量：设函数的定义域为，如果存在正数，使得，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就成函数在上无界；也就是说如果对于任何正数，总存在，使，那么函数在上无界．无穷大量：设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），只要适合不等式（或），对应的函数值总满足不等式，则称函数为当（或）时的无穷大．注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:例1.1．，，即当时, 是无穷大量；对于, 当时, 的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 . 所以当时, 是无界变量但不是无穷大量.例1.2．当时, 是无界变量, 不是无穷大量.1.2 当时，，可以推出成立；反之，若，可以推出成立吗？当的时候呢？答：当时，反过来是不一定成立的．例如：若,则此时的绝对值极限为1，而本身极限不存在．当时，，并且对于任意的极限过程都是成立的．1.3 设，且一定存在吗？答：不一定存在．分析：若，由夹逼定理可得．取，，则，且，但不存在．遇到此类问题一定要会用反例．1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．例1.3：，对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．正确答案：因为，所以，而，，故由夹逼准则得，例1.4：求极限解答：因为，其中，，所以，原式如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3；②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．1.5 函数乘积的极限等于各个函数极限的乘积吗？答：不一定．只有当各个函数的极限都存在时，该命题才成立．例1.5：，对吗？这样做的错误在于不存在，从而不能利用“函数乘积的极限等于极限的乘积”这一结论．正确的做法：因为=0，（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量）．而=1，所以，原函数极限为0.虽然结果一样，但是也要运用正确的求解方法求解．1.6 含参数的数列极限中常见的问题.例1.6：，这样做对吗？这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.正确解答，当时, .当时,注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？答：不一定．当（或）时的无穷大的函数，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例1.7：函数，当时的极限不存在．1.8 如果，那么是否有？答：不一定．例1.8：，则，但由于在的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论在的极限．结论：如果，且在的某一去心邻域内满足，则．反之，为无穷大，则为无穷小．1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．例1.9：求极限解：，因而时极限不存在．，因而时极限不存在．1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．例1.10：求极限解：利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的命题．若,则.考察这个命题，，当时,这个命题是真命题；当时,命题是假命题．对于例1.10，因为，，所以，证明的结论是错误的．正确解答:.例1.11：求错误解答:错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：而根据无穷小的比较的定义，当和均为0，所以不能用等价无穷小的代换．正确解答：当时，，所以，由夹逼准则知原函数极限为0．例1.12：求极限解：本题切忌将用等价代换，导致结果为1．应该为：.注意：（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．1.11 函数连续性的判断（1）设在间断，在连续，则在间断．而在可能连续．例如，设，，则在间断，在连续，在连续．若设，在间断，但在均连续．（2）“在点连续”是“在点连续”的充分不必要条件．分析：由“若，则”可得“如果，则”，因此，在点连续，则在点连续．再由上例可得，在点连续并不能推出在点连续．（3）在连续，在连续，则在连续．其余结论均不一定成立．。