第4章 角动量守恒定律-物理学第三版-刘克哲.

i
12
M外 Mi外 ri Fi
i
i
----各质点所受外力矩的矢量 和称为质点系所受合外力矩
M内 Mi内 (ri fij ) 0
i
i
ji
----各质点所受内力矩 的矢量和
（证明如下：）
Fi
m2
m1
mi
fij ri
f ji m j
0
rj
13
内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出
：质量线密度
线积分
对质量面分布的刚体： dm dS
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dm dV
：质量体密度
面积分
体积分 26
计算转动惯量 I 的三条有用的定理：
（1）叠加定理:对同一转轴 I 有可叠加性
I Ii
I mr mr mr
m2
I
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
（2）平行轴定理: I Ic md 2
常矢量
7
若 M 0 ，则 L 常矢量
M 0
的条件是
— 质点角动量守恒定律
F 0
或 F 过固定点：有心力
（如行星受的万有引力）
角动量守恒定律是物理学的基本定
律之一，它不仅适用于宏观体系，也 适用于微观体系，而且在高速低速范 围均适用。
8
角动量守恒定律可导出行星运动的开
普勒第二定律：
L
（书P79页例3.1）
i
与内力矩无关 v
守恒条件 M i 0 i
20
§3.3 定轴转动刚体的角动量 转动惯量 一、定轴转动刚体的角动量
把刚体看作非常多质元构成 的质点系，第i个质元对原点o
z v vvi

r=xi+yj+zk，
F = Fx i + Fy j + Fz k .
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
图 4-2
4 – 1 力矩
M=r×F = i x Fx j y k z
第四章 角动量守恒定理
将以上两式代入式（4-1）， 即可得到
Fy Fz
= （ y F z–zF y ） i + （ z Fx –xF z ） j + （ xF y – yFx ） k
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
4 – 1 力矩
三、质点角动量守恒定律
第四章 角动量守恒定理
根据式（4-10）， 如果作用于质点的合力对参考点的力矩等 于零， 即M = 0， 那么 dl/dt=0， 即
l= 恒矢量.
（4-13）
这表示， 若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零， 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。这就是质点角动 量守恒定律（law of conservation of moment of momentum ）。
4 – 1 力矩
第四章 角动量守恒定理
对质点系中每个质点，根据对参考点O的角动量定理，列 出下面的方程式
M1=dl1/dt，
M2=dl2/dt， … Mn=dln/dt.
4 – 1 力矩
将这n个方程式相加， 可以得到
第四章 角动量守恒定理
M1 + M2 +… + Mn=d （l1 + l2 + … +ln） /dt，
用位置矢量r同时叉乘上式等号两边，得 r ×F =r×d （mv） /dt （4-9）
4 – 1 力矩

数学补充知识：
点积
abba
aaa2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(a b )a db da b
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v (r v )
大小：
L mrv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量：
v
L r p m (r v)
大小： Lmvsrin
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关系，向上。
L dm trv m ( a c o ti s b si t jn )
( asit in bco t j) s
m m ( a a k c bb (2 恒矢o t k 量 ) a ss b 2 i t k ) n
M
dL
0
!
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti s b sit j n
(1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
f2
r
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2

M
dL
dt
或：
H
I22
I11
三. 角动量守恒定律
若：
M
0
则有：
L 常矢量
即：刚体所受合外力矩为零时，其角动量保持 恒定
例１．一长为L，质量为M的均匀细棒，一端可 绕光滑水平轴在竖直平面内转动 。求棒从水平 静止转动到竖直位置时A点的速度大小 （分别用动能定理和机械能守恒定律求解）
O
例２．一质量为M，半径为R的均质圆盘， 从水平位置起绕与直径平行的水平切线 转动，求转到竖直位置时，Ａ点的速度
1 2
I
2
连续物体
dm ldl
I r2dm
dm SdS
质点组
I
n
ri
m 2 i
dm dV
dm 到转轴的垂直距离
i 1
mi 到转轴的垂直距离
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
与棒转 转 转B垂轴轴轴直通通通转A过过过轴棒棒棒的的的上转h一 距中动端 质心惯O心OB量质为：IhA的dI一mO11点2m1A12L2mLXm2 h2
r dm v
四. 角速度及 角加速度矢量
v r d
dt
3.2 转动动能 转动惯量
一. 转动动能
dm 的动能
dEk
1 v2dm 2
1 2
r2dm 2
r dm v
m 的动能
I
Ek
dEk
1 2
r2dm 2
Ek
1 2
I
2
Ek
1 2
m
v2
3.2 转动动能 转动惯量
一. 转动动能 二. 转动惯量
Ek
I r2dm
质点组