习题11
11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C
10
8.19
1
-
⨯
=
q，B点上有电荷
C
10
8.49
2
-
⨯
-
=
q，试求C点的电场强度(设0.04m
BC=，0.03m
AC=)。
解：1q在C点产生的场强：
1
12
4
AC
q
E i
r
πε
=
，
2
q在C点产生的场强：
2
22
4
BC
q
E j
r
πε
=
，
∴C点的电场强度：44
12
2.710 1.810
E E E i j
=+=⨯+⨯；
C点的合场强：224
12
3.2410V
E E E m
=+=⨯，
方向如图：
1.8
arctan33.73342'
2.7
α===
。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm
50的圆环，两端间空隙为cm
2，电
量为C
10
12
.39-
⨯的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小
和方向。
解：∵棒长为2 3.12
l r d m
π
=-=，
∴电荷线密度：91
1.010
q C m
l
λ--
==⨯⋅
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为
0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m
d02
.0
=
长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷
的塑料棒在O点产生的场强。
解法1：利用微元积分：
2
1
cos
4
O x
Rd
dE
R
λθ
θ
πε
=⋅
，
∴2
000
cos2sin2
444
O
d
E d
R R R
α
α
λλλ
θθαα
πεπεπε
-
==⋅≈⋅=
⎰1
0.72V m-
=⋅；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r
<<，该小段可看成点电荷：11
2.010
q d C
λ-
'==⨯，
则圆心处场强：
11
91
22
2.010
9.0100.72
4(0.5)
O
q
E V m
R
πε
-
-
'⨯
==⨯⨯=⋅
。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电
荷线密度为λ，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆
α
j
i
2cm
O
R
x
α
α
心O 点的场强。
解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强： 有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪=--⎩⎰⎰
∴总场强：
04O x E R λπε=
，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。
或写成场强：22
024O x O y E E E R λ
πε=+=
，方向45。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。
解：电荷元dq 产生的场为：
204d q
d E R πε=
； 根据对称性有：0
y
d E
=⎰，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R π
λθθθπε===⎰⎰⎰
02R λ
πε=
，
方向沿x 轴正向。即：
02E i R λ
πε=
。
11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度 为0sin λλϕ=，式中0λ为一常数，ϕ为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。
解：如图，
02
00sin 44d dl
dE R R λϕϕλπεπε==， o R
X
Y
λ
θ
d
θ
dq
E
d
x
y
E
