大学物理第四版下册课后题答案
习题11
11-1．直角三角形ABC 的A 点上，有电荷C 108.19
1-?=q ，B 点上有电荷C 108.49
2-?-=q ，试求C 点的电场强度(设0.04m BC =，0.03m AC =)。
解：1q 在C 点产生的场强：
112
04AC
q E i
r
πε=
， 2q 在C 点产生的场强：
2
22
04BC
q E j r πε=
，
∴C 点的电场强度：44
12 2.710 1.810E E E i j =+=?+?；
C 点的合场强：22
412 3.2410V
E E E m =+=?，
方向如图： 1.8
arctan
33.73342'2.7α===。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm 50的圆环，两端间空隙为cm 2，电
量为C 1012.39
-?的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小
和方向。
解：∵棒长为2 3.12l r d m π=-=， ∴电荷线密度：91
1.010q C m l λ--==??
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m d 02.0=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O 点产生的场强。 解法1：利用微元积分：
2
1cos 4O x Rd dE R
λθ
θ
πε=
?
，
∴
2000cos 2sin 2444O d
E d R R R α
α
λλλθθααπεπεπε-==
?≈?=?10.72V m -=?；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r <<，该小段可看成点电荷：
11
2.010q d C λ-'==?， 则圆心处场强：11
9
1
22
0 2.0109.0100.724(0.5)O q E V m R πε--'
?==??=?。
方向由圆心指向缝隙处。
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电
荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆
α
i
2cm O R x αα
心O 点的场强。
解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-?
???
???
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：
有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-????
???
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
002000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=???
???=--???
∴总场强：04O x E R λπε=，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。
或写成场强：
22024O x O y E E E R λ
πε=+=
，方向45。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。
解：电荷元dq 产生的场为：2
04d q
d E R πε=；
根据对称性有：0
y
d E
=?，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R π
λθθθπε===???
02R λ
πε=
，
方向沿x 轴正向。即：02E i R λ
πε=
。
11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度
为0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R
与x 轴
所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。 解：如图，
0200sin 44d dl dE R R λ??λπεπε=
=
，
o
R
X
Y
λ
θd θ
dq
E
d
x
y
E
cos sin x y dE dE dE dE ??==?????考虑到对称性，有：0=x E ；
∴
20000
0000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R ππλ??λλ??
?πεπεε-=====
???
?，
方向沿y 轴负向。
11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。
解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。
利用例11-3结论，有：
33
2
22
22
2
0024()
4()x dq r xdl
d E x r x r σππεπε?=
=
++
∴3222
02cos sin 4[(sin )(cos )]
R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ???=
+，
化简计算得：
2
01sin 2224E d πσσθθεε=
=?
，∴04E i σε=。
11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，
当2d x ≤
时，由12S E dS E S ?=???和2q x S ρ=?∑， 有：0x E ρε=
； 当2d x >时，由22S E dS E S ?=???和2q d S ρ=?∑，
有：
02d E ρε=
。图像见右。 11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图所示)，
平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量.
解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面 为周界的球冠面的电通量相同。
θ
x
O
r
2d ρε-
x
E
2d ρε2
d 2
d
-O
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r ，有
球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS
r rd πθθ=? ∴球冠面的面积：
20
cos 2sin 2cos d r
S r rd r θ
θπθθπθ
=
=?=?
22(1)
d
r r π=-】
∵球面面积为：2
4S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：
0q
εΦ=
闭合球面，
由：S S Φ=
Φ球冠
球面
球面球冠，∴
001(1)(122d q q r εεΦ=
-?=球冠。
11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。 解：由高斯定律0
1
i
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为r ，
长为l 的高斯面。
（1）当r R <时，
202r l
r l E ρππε?=
，有02E r ρε=； （2）当r R >时，202R l r l E ρππε?=，则：
E =即：02
0()2()2r
r R E R r R r ρερε???；
图见右。
11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。 解：利用高斯定律：
1
i
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
。
（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =； （2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：
202l
r l E λπε=
，则：
202E r λ
πε=
；
O θr
（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；
即：11202
?20E r R E r R r R r E r R E λπε?=
?
=<
?==>?
。
11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；
（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。
（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有：
1
3
043S
E d S d ρπε?=
???
003d E ρε=，方向从O 指向O '； （2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定
理有：
1
3
043S E d S d
ρπε?=
??
?
103P d E ρε=，方向从O 指向P ， 过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据高斯定
理有：
2
3043S E d S r ρπε?=-???3
22
03P r E d ρε=-，
∴
123
20()
34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。
11-12．设真空中静电场E 的分布为E cx i =，式中c 为常量，求空间电荷的分布。
解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面， 有：0S
E d S cx S
?=????
由高斯定理：
1
S
S E d S q
ε?=
∑??
内
，
y
x
z S
?o
x
设空间电荷的密度为()x ρ，有：
()x x Sd x cx S ρε???=
?
∴0
00
0()x x x d x cd x
ρε=
??，可见()x ρ为常数?0c ρε=。
11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为1R 和2R ，
在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点)
解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：
tan
2r x θ
=，环面圆宽：
cos
2d x d l θ
=
22tan 2cos 2d x
dS r d l x θππθ
=?=??
，
利用带电量为q 的圆环在垂直环轴线上0x 处电势的表达式：
22
14U r x πε=
?
+环，
有：22
02tan 2
cos
12tan 422(tan )2
d x
x dU d x
x x
θσπθσθπεεθ
??
=
?
=?+，
考虑到圆台上底的坐标为：11cot
2x R θ
=，
22cot
2x R θ
=，
∴U =
2
1
0tan 22x x d x σθε??
21cot 2cot 02
tan 22R R d x θ
θσθε=??210()2R R σε-=。
11-14．电荷量Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求：离球心r 处（r R <）P 点的电势。 解：利用高斯定律：
1
S
S E dS q
ε?=
∑??
内
可求电场的分布。
（1）r R <时，3
2
3
04Q r r E R πε=?内；有：3
04Q r E R πε=内；
（2）r R >时，204Q r E πε=外；有：2
04Q
E r πε=外；
r
x
cos
2
dx dl θ
=
P
r R
P
o