2018高中数学初高中衔接教材第01课时方程与方程组学案苏教版.

2．2.1 椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二 椭圆的标准方程思考 (1)121212其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之和等于F 1F 2时，动点的轨迹就是线段F 1F 2；当距离之和小于F 1F 2时，动点的轨迹不存在．(2)a ，b 的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. 反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程．解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1，－232a 2＋12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝15，b 2＝5. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. (2)当焦点在y 轴上时， 设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＋32b 2＝1，12a 2＋－232b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解．故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1. 题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3，故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. (2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos∠F 1PF 2， ∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12.∴12PF F S ＝12mn sin∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3. 反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长．解由题意知，点A，B在椭圆x225＋y216＝1上，所以a＝5，故有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，AF2＋BF2＝AB，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝BC，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴PB＝r.又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距PA＝10－r，即PA＋PB＝10(大于AB＝6)．∴圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝AB＝6.∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴圆心P的轨迹方程为x225＋y216＝1.1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2，∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1， 又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k－1＝1，解得k ＝2. 3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是________三角形．答案 直角解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8.又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3.而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△PF 1F 2是直角三角形．4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1. 若m >n >0，则0<1m <1n，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0. 5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________.答案 48 解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10.由于PF1⊥PF2，所以由勾股定理得PF21＋PF22＝F1F22，即PF21＋PF22＝100.又由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝14，∴(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2＝100，即196－2PF1·PF2＝100.解得PF1·PF2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。

总课题会合分课时第1课时总课时总第 6课时分课题会合的含义及其表示课型新授课使学生理解会合的含义，知道常用数集及其记法；使学生初步认识属于关系和集教课目的合相等的意义，初步认识有限集、无穷集、空集的意义；使学生初步掌握会合的表示方法，并能正确地表示一些简单的会合。

重点会合的含义及表示方法。

难点正确理解会合的观点。

一、复习引入1、由引例概括会合的观点2、由我们常用的数. 总结常用数集的表示法3、元素与会合的关系，会合相等的观点4、会合中元素三个特征5、会合的三种表示法6、有限集、无穷集、空集的观点.（请学生各举一例有限集、无穷集、空集）二、例题剖析例 1、（ 1）求方程x22x 3 0 的解集；（2）求不等式x 3 2 的解集。

例 2、求方程x2x 10 全部实数解所组成的会合。

例 3、已知会合A= a2, 2a2 a ，若3 A ，求a的值．三、随堂练习1、用列举法表示以下会合：（1）{ x | x是 15 的正约数}；（2）x, y x 1,2 , y 1,2 ;（3）x, y x y 2, x 2 y 4 ;n （ 4）x x1 ,n N ;（5）x, y 3x 2y 16, x N , y N .2、用描绘法表示以下会合：（1）1,4,7,10,13 ;（2）2, 4, 6, 8, 10 .四、回首小结1、会合的相关观点——会合、元素、属于、不属于、有限集、无穷集、空集；2、会合的表示方法——列举法、描绘法以及Venn 图；3、常用数集的定义及记法。

课后作业班级高一（）班姓名__________一、基础题1、用“”或“”填空（ 1） 1________ N－3________N0 ________ N 2 ________N 1________ Z－3________Q0________ Z 2 _______R（ 2）A{ x | x2x 0} ，则1________A，－1________A（ 3）B{ x |1 x 5, x N } ，则1_________B，1.5________B（ 4）C{ x | 1 x 3, x Z} ，则0.2________C，3_________C2、用列举法表示以下会合（1）{ a |1 a 5, a N }（2）{( x, y) | 0x 2,0 y 2, x, y Z}（3）“ mathematics ”中字母组成的会合（4）{ x | x +1=0}（5）{ x | x为不大于 10 的正偶数}3、用描绘法表示以下会合（1）奇数的会合（2）正偶数的会合（3）不等式x210 的解集二、提升题4、用适合的方法表示以下会合（1）能被 3 整除的整数。

2.1 圆锥曲线[学习目标] 1.了解圆锥曲线的实际背景.2.经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程.3.掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形.4.了解双曲线的定义和几何图形．知识点一椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．思考1．若动点M到两个定点F1、F2距离之和满足MF1＋MF2＝F1F2，则动点M轨迹是椭圆吗？答案不是，是线段F1F2.2．若动点M到两个定点F1、F2距离之差满足MF1－MF2＝2a(2a＜F1F2)，则动点M轨迹是什么？答案是双曲线一支．题型一椭圆定义的应用例1 在△ABC中，B(－6,0)，C(0,8)，且sin B，sin A，sin C成等差数列．(1)顶点A的轨迹是什么？(2)指出轨迹的焦点和焦距．解(1)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A．由正弦定理可得AB＋AC ＝2BC.又BC＝10，所以AB＋AC＝20，且20>BC，所以点A的轨迹是椭圆(除去直线BC与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为B、C，焦距为10.反思与感悟本题求解的关键是把已知条件转化为三角形边的关系，找到点A满足的条件．注意A、B、C三点要构成三角形，轨迹要除去两点．跟踪训练1 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆M过B点且与圆A 内切，求证：圆心M的轨迹是椭圆．证明 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )．∴圆心M 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆．题型二 双曲线定义的应用例2 已知圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －2)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹．解 由已知得，圆C 1的圆心C 1(－2,0)，半径r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,0)，半径r 2＝3.设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆C 1相外切，所以MC 1＝r ＋1.①又因为动圆M 与圆C 2相外切，所以MC 2＝r ＋3.②②－①得MC 2－MC 1＝2，且2<C 1C 2＝4.所以动圆圆心M 的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．反思与感悟 设动圆半径为r ，利用动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得两个等式，相减后消去r ，得到点M 的关系式．注意到MC 2－MC 1＝2中没有绝对值，所以轨迹是双曲线的一支，又圆C 1与圆C 2相切于点(－1,0)，所以M 的轨迹不过(－1,0)．跟踪训练2 在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动．设BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝12sin A ，则顶点A 的轨迹是什么？解 因为|sin C －sin B |＝12sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝12BC ＝12m ，且12m <BC ， 所以点A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与BC 的两交点)．题型三 抛物线定义的应用例3 已知动点M 的坐标(x ，y )满足方程2(x －1)2＋2(y －1)2＝(x ＋y ＋6)2，试确定动点M 的轨迹．解 方程可变形为x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1，∵x －2＋y －2表示点M 到点(1,1)的距离，|x ＋y ＋6|2表示点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离， 又由x －2＋y －2|x ＋y ＋6|2＝1知点M 到定点(1,1)的距离等于点M 到直线x ＋y ＋6＝0的距离．由抛物线的定义知点M的轨迹是抛物线．反思与感悟若将方程两边展开整理，然后通过方程的特点来判断，将很难得到结果，而利用方程中表达式的几何意义，再由抛物线定义，问题就变得非常简单．跟踪训练3 点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析将直线l：x＝－6向右平移2个单位，得直线l′：x＝－4.依题意知，点P到F(4,0)的距离等于点P到l′：x＝－4的距离，可见点P的轨迹是抛物线．1．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，则动点P的轨迹是__________________．答案椭圆或线段或不存在解析当a＜6时，轨迹不存在；当a＝6时，轨迹为线段；当a＞6时，轨迹为椭圆．2．已知△ABC的顶点A(－5,0)、B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A、B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支．3．如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点．线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________________．答案以O、A为焦点的椭圆解析∵QA＝QP，∴QO＋QA＝r＞OA.∴点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆．4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小于1，则点P的轨迹为________．答案抛物线解析依题意，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线．5．到定直线x＝－2的距离比到定点(1,0)的距离大1的点的轨迹是________________．答案抛物线解析到定点(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以点的轨迹是以(1,0)为焦点的抛物线．1.一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面不经过顶点与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆．改变平面的位置，观察截得的图形变化情况，可得到三种重要的曲线，即椭圆、双曲线和抛物线，统称为圆锥曲线．2．椭圆定义中，常数>F1F2不可忽视，若常数<F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是线段F1F2.3．双曲线定义中，若常数>F1F2，则这样的点不存在；若常数＝F1F2，则动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线．4．抛物线定义中F∉l，若F∈l，则点的轨迹是经过点F且垂直于l的直线．。

二次函数的解析式一、复习引入二次函数的三种表示方式：⑴、一般式：____________________________________；⑵、顶点式：____________________________________；⑶、交点式：____________________________________；二、例题分析：例1：已知二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线1+=x y 上，并且图象经过点)1,2(，求此二次函数的解析式。

例2：已知二次函数的图象过点)0,3(-、)0,1(，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式。

例3：已知二次函数的图象的顶点为)18,2(-，它与x 轴的两个交点之间的距离为6，求该函数的解析式。

例4：已知二次函数的图像关于直线3=y 对称，最大值是0，在y 轴上的截距是1-，求这个二次函数的解析式。

变题：已知y 是x 的二次函数，当2=x 时，4-=y ，当4=y 时，x 恰为方程0822=--x x 的根，求这个函数的解析式。

三、随堂练习：1、填空：⑴、已知二次函数的图象与x 轴交于点)0,1(-和)0,2(，则该二次函数的解析式可设为=y _____________________________。

⑵、二次函数1322++-=x x y 的图象与x 轴的两交点之间的距离为_________________。

2、根据下列条件，求二次函数的解析式：⑴、图象经过点)2,1(-，)3,0(-，)6,1(--；⑵、当3=x 时，函数有最小值5，且经过点)11,1(；⑶、函数图象与x 轴交于两点)0,21(-和)0,21(+，并与y 轴交于)2,0(-。

四、回顾小结本节课学习了以下内容：1、二次函数的解析式的表示方式。

课后作业班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题：1、已知二次函数的图像与x 轴的两交点间的距离是8，且顶点为)5,1(M ，则它的解析式是____________。