4.1 成比例线段
第二课时
知能演练提升
ZHINENG YANLIAN TISHENG
能力提升
1.已知,则下列式子正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知,则a+b+c的值为( )
A. B. C.12 D.6
3.若,设A=,B=,C=,则A,B,C的大小顺序为( )
A.A>B>C B.A
C.C>A>B D.A
4.已知a,b,c,d均为正数,且,有下列等式:①ad=bc;②;③.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.若(b+d+f≠0),则=
.
6.已知,则(b-d+2f≠0)=
.
7.已知=k,求k的值.
8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足,a+b+c=12.
(1)试求a,b,c的值;
(2)判断△ABC的形状.
创新应用
9.已知a,b,c,d是非零实数,满足,且x=,求x的值.
答案：
能力提升
1.C 2.D 3.B 4.D 5. 6.
7.解 当a+b+c≠0时,由=k,
得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak,
即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2;
当a+b+c=0时,有a+b=-c,则=-1,
此时k=-1.综上可知,k的值是2或-1.
8.解 (1)∵,∴,即.
又a+b+c=12,∴,即=3,解得a=5.
由=3,解得b=3,c=4. (2)∵32+42=52,即b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形.
创新应用
9.解 ∵,
∴-1=-1=-1=-1,∴.
分两种情况:
①当a+b+c+d=0时,
x=
==1;
②当a+b+c+d≠0时,
设=k,
则k=
==3,
∴a+b+c=3d,a+b+d=3c,a+c+d=3b,b+c+d=3a,
∴x=
==81.
综上可知,k的值为1或81.
阶段强化专题训练
专题一：平行线分线段成比例常见应用技巧
类型一证比例式
技巧1中间比代换法证比例式
1. 如图，已知在AABC中，点D, E, F分别 是边 AB, AC, BC 上的点，DE〃BC, EF〃AB.
An np
(1) 求证： —:(2)若 AD:DB二3:5, AB BC
技巧2等积代换法证比例式
2.如图，在Z\ABC中，D是AB上一点，E是 AABC内一点，DE〃BC,过D作AC的平行线 交CE的延长线于F, CF与AB交于P.求证:
PE PA 类型3 证比例和为1
技巧5同分母的中间比代换法
5.如图，已知AC 〃 FE 〃 BD.求证：
AE BE ,
--- + ——=1
AD BC
技巧3等比代换法证比例式
3.如图,在AABC 中,DE/7BC, EF〃CD,求
类型2证线段相等
技巧4等比过渡证线段相等(等比例过渡 法)
4.如图，在Z\ABC 中，ZACB二90° , ZB>Z A,点D为边AB的中点，DE〃BC交AC于点E, CF〃BA交DE的延长线于点F.
(1)求证：DE=EF； (2)连结CD,过点D作DC 的垂线交CF的延长线于点G,求证：ZB= ZA+ZDGC.
求CF:CB的值.
AD AF 证： ------- = ----
专题二：证明相似三角形的方法
名师点金
要找三角形相似的条件，关键抓住以下几 点：
(1) 己知角相等时，找两对对应角相等，若 只能找到一对对应角相等，判断夹相等的角 的两边是否对应成比例；
(2) 无法找到角相等吋，判断三边是否对应 成比例；
(3) 除此之外，也可考虑平行线分线段成比 例定理及相似三角形的“传递性”.
• • •
方法1利用边或角的关系判定两直角三角 形相似
1. 下面关于直角三角形相似叙述错误的是 ()
A. 有一锐角对应相等的两个直角三角形相 似
B. 两直角边对应成比例的两个直角三角形 相似
教你如何求比值
相似图形是数学中的一个非常重要的内容，它揭示了图形之间的大小及位置关系，不仅在数学中占有重要的地位，而且在其他自然科学中也有着极其广泛的作用。在学习相似图形前,我们必须掌握线段的比,这是学习相似图形的入门功课,下面将总结出如何求比值的方法,我们一起来看看吧！
一、运用比例的性质
对已知的等式,利用比例的性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质进行变形，进而求出所求式子的值。
例1 已知21yyx，则yx=_______.
分析:本题可以由比例的等比性质解决.
解:把原等式变形为21yyx。
根据等比性质，得221yyyx，即23yx。所以23yx.
点评：本题是利用等比性质求解的，解题过程比较简捷。对于所求比中对应项字母系数相同时，易采用等比性质来求解.
跟踪训练1 已知23xyx，则yx=________。
二、等比设值法
例2 若654zyx，求zyxzyx2332的值。
分析：我们可以利用题中给出的等量关系，通过设参数k求解.
解：设654zyx=k，则x=4k，y=5k,z=6k.
所以zyxzyx2332=431431610121858kkkkkkkk.
点评：此种方法尽管增设了参数k，但在变形过程中k又会自行消失,参数起到了很好的桥梁作用.
跟踪训练2 已知753zyx，求：
（1）yzyx-；（2）zyxzyx35432。
三、代入消元法
在求一个比的值时，可根据已知等式，用一个字母表示其他字母，并代入所求的比中，使比的前项、后项都用同一个字母表示,整理后约去这个字母，求出比的值.
例3 已知x∶y∶z=1∶2∶3，求zyxzyx4272的值。
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第01讲_比例线段
知识图谱
比例与比例线段
知识精讲
一．比例的性质
1.比例的基本性质：acadbcbd；
2.反比定理：acbdbdac；
3.更比定理：acabbdcd(或dcba)；
4.合比定理：acabcdbdbd；
5.分比定理：acabcdbdbd；
6.合分比定理：acabcdbdabcd；
7.等比定理：(0)acmacmabdnbdnbdnb．
二．成比例线段
1.比例线段：对于四条线段abcd，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如acbd（即::abcd），那么这四条线段abcd，，，叫做成比例线段，简称比例线段．
2.比例的项：在比例式acbd（::abcd）中，ad，称为比例外项，bc，称为比例内项，d叫做abc，，的第四比例项．三条线段abbc（2bac）中，b叫做a和c的比例中项．
3.黄金分割：如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项（即2ACABBC）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中510.6182ACABAB，350.3822BCABAB，AC与AB的比叫做黄金比． 2
