向量几何
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第三讲 空间位置关系与综合题目的向量解法
［知识盘点］
一．平行关系
1．线线平行
证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是 ，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。
2线面平行
证明线面平行的方法：
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量
；
（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ；
（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是 。
3．面面平行的证明方法：
（1）转化为
、
处理；
（2）证明这两个平面的法向量是 。
二．垂直关系
4．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是 ；
5．线面垂直的证明方法：
（1）证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是
；
（2）证明直线与平面内的 ；
6．面面垂直的证明方法：
（1）转化为证明 、 ；
（2）证明这两个平面的法向量是 。
［特别提醒］
1.用向量证明立体几何问题，有两种基本思维：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；别一种是用向量的坐标表示几何量，共分为三步进行判断：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题。
2．用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何定理。例如要证明线面平行，只需要证明平面中的一条直线和平面内的一条直线平行，即转化为证明线线平行问题，也就是用向量方法证明直线//ab时，只需要证明直线,ab的方向向量a,b共线即可。
3．向量作为沟通“数”与“形”的桥梁，是利用数形结合解题的一种重要载体，只有掌握了向量运算的各种几何意义，才能较好地利用向量这一工具解决实际问题。
4．以柱体、锥体为依托，考查空间中的线线、线面、面面关系，以及角和距离是高考的“热点”，在角题时，应深入挖掘里面的特殊关系，尤其是垂直关系，建立空间直角坐标系，是解决此类问题的关键。
例1．已知111ABCABC是正三棱柱，D是AC的中点，求证：1//AB平面1DBC
［剖析］证明线面平行问题，可以有以下三种方法：(1)利用线面平行的判断定理，转化为线线平行问题；(2)向量p与两个不共线的向量a,b共面的充要条件是存在实数对,xy，使得xyp=a+b，利用共面向量基定理可以证明线面平行问题；(3)设n为平面的法向量，要证明直线//a平面，只需要证明0an=即可。
［解］证法一：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设正三棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，
则1133(0,0,0),(,,0),(0,,),(,,),(0,,0)22222aaaABaCabBabD
从而1133(,,),(,0,0),(0,,)2222aaABabBDaDCb
设平面1DBC的法向量(,,)xyzn，由1,BDDCnn，得
13002022xBDaxazyaDCybzbnn
取1y，得(0,1,)2abn，由13(,,)(0,1,)0222aaABabbn，得1ABn，即1//AB平面1DBC.
证法二：如图所示，记1,,ABACAAabc，
则112ABDBABADa+b,ab，1112DCDCCCb+c
11DBDCABa+c=，11,,ABDBDC共面， 1B平面1DBC，
1//AB平面1DBC
［警示］利用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直关系问题，主要运用了直线的方向向量与平面的法向量的，同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理。另外，利用向量知识解题，一般不需要添加辅助线，只是利用向量运算及向量基本定理，把要证明的直线或平面用该平面内的向量表示即可。
［变式训练］
1． 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，,MN分别是1AB和AC上的点，123AMANa，z
C
x D y
B A C1
B1 A1
N
M D1 D C
B A
C1
B1 A1 求证：//MN平面11BBCC.
例2．(2006年山东高密调研)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。
［剖析］证明线线垂直问题，可以利用线线垂直的判定定理，或者证明这两条直线的方向向量的内积为零。
［解］以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，)0,2,(aaE、)2,2,2(aaaF、).,0,0(aP
（Ⅰ）,0)0,,0()2,0,2(aaaDCEF.DCEF
（Ⅱ）.),,0,(PADGzxG平面则设
2(,,),222(,,)(,0,0)()0,;22222(,,)(0,,)()0,0.22222(,0,0),.2aaaFGxzaaaaaFGCBxzaaxxaaaaaFGCPxzaaazzaGGAD点坐标为即点为的中点
［警示］本题是一道开放型的综合题目，以四棱锥为载体，考查线线垂直、线面垂直关系，对于此类问题，要掌握柱休与锥体特有的性质、关系，在解题时要充分利用，从而找出隐含条件，促使问题的解决。
例3．(2006年河南开封)已知正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，,MN分别为1111,ADCD的中点，1BD平面DMN.
（I）求二面角1BDNC平面角的正切值；
（II）求点1A到平面BDN的距离．
［剖析］由于题设中条件中已知1BD平面DMN，而可知1BD的方法向量即为平面DMN的法向量。
［解］ （1）如图建立坐标系，设1DDx
故(2,2,0)B、1(0,0,)Dx、(1,0,)Mx、(0,1,)Nx
1(1,0,),(2,2,)DMxBDx z
A B C D
x y A1 B1 C1 D1 M N 1BDDMN面 1BDDM 即10BDDM
220,2xx
向量(1,0,0)m与面1DNC垂直
设(,1,)nab与面BDN垂直，则0,0nDNnDB
即120,220ba 2(1,1,)2n12cos,5||||512mnmnmn
设所求二面角为，则2cos5， 6tan2
（2）由11(2,0,2),(2,2,0)(0,2,2)ABAB，1AB在向量n方向上的投影为1213105||52ABnn，所以1A到面BDN的距离为3105
［警示］若问题的题设中存在垂直关系时，建立空间直角坐标系大多较为方便；如果不存在时，应选好基底进行运算，或采用传统的欧氏几何法加以证明。
［变式训练］
3. 如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，DPcos，AE）33．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
例4．在正方体1111DCBAABCD中，,EF分别是1,BBCD的中点。
(1)证明：平面AED平面11AFD；
(2)在AE上求一点M，使得1AM平面11AFD.
［剖析］证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判断定理，转化为证明线面垂直、线线垂直的问题去证明，二是证明两个平面的法向量互相垂直。 ［解］（1）建立如图所示的平面直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则11(2,0,0),(2,2,1),(0,1,0),(2,0,2),(0,0,2)ABFAD，设平面AED的法向量为111(,,)xyz1n=，则1111(,,)(2,0,0)=0DAxyzn，1111(,,)(2,2,1)=0DExyzn，
111120,220xxyz，令10y，得(0,1,2)1n=，同理可得平面11AFD的法向量(0,2,1)2n=.
120nn，平面AED平面11AFD.
（2）由于点M在直线AE上，设(0,2,1)(0,2,)AMAE
可得1(2,2,),(0,2,2)MAM，要使1AM平面11AFD，需有1AMAE
1(0,2,2)(0,2,1)520AMAE，解得25.
故当25AMAE时，1AM平面11AFD.
［警示］平面的法向量是指所在直线与平面垂直的问题，它在解决立体几何问题中有着非常重要的应用。一个平面的法向量有无穷多个，一般来说，我们只需求出其中最简单的一个即可。求法向量的方法一般是用待定系数法，即设出平面法向量的坐标，然后根据与平面内的两个不共线的向量都垂直，即数量积为0，建立方程组进行求解。
［变式训练］：
4．如图，ABCD是边长为2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角CABF是直二面角，AFa，G是EF的中点，
（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
例5．（2006年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，p是侧棱1CC上的一点，mCP.
（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面11BBDD所成角的正切值为23；
（Ⅱ）在线段11CA上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，z
y
x F
E
M D1
A1 C1
B1
D C
B A
GFEDCBA
