向量减法运算及其几何意义_优秀课件

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析几何中的向量减法运算实例
要点一
总结词
要点二
详细描述
向量的模和向量的角度
在解析几何中，向量减法可以用于计算向量的模和向量的 角度。通过向量减法运算，我们可以得到一个新的向量， 这个向量的模等于原两个向量的模之差，而这个向量的方 向则与原两个向量的夹角有关。此外，向量的内积也可以 通过向量减法运算来计算，它等于两个向量的模之积乘以 两个向量之间的夹角的余弦值。
详细描述
平行四边形法则是一种直观的向量减法方法，通过构造一个平行四边形，将一个向量作为对角线，另 一个向量作为邻边。根据向量加法的平行四边形法则，可以推导出向量减法的平行四边形法则。
向量减法的向量分解法则
总结词
向量分解法则是基于向量的分解和合成，通过将一个向量分解为两个或多个分向量，然后利用向量加法和减法的 性质进行计算。
02
几何解释
在平面上，向量减法可以理解为将一个向量平移到另一个向量的起点，
然后连接终点，得到的结果向量就是两向量的差。
03
实例
假设有两个向量$vec{A}$和$vec{B}$，它们的起点重合。通过平移
$vec{A}$，使其起点与$vec{B}$的起点重合，然后连接$vec{A}$的终
点和$vec{B}$的终点，得到的结果向量$vec{C} = vec{A} - vec{B}$。
向量减法在实际问题中的应用
物理问题
在解决物理问题时，如力的合成与分解、速度和加速度的 计算等，都需要用到向量减法。通过向量减法可以确定一 个物体相对于另一个物体的位置和方向。
导航问题
在地理信息系统（GIS）中，利用向量减法可以计算两点 之间的位移或方向。例如，计算两点之间的最短路径、确 定物体的移动轨迹等。

作业： P91习题2.2A组：4，6，7.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值�

(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和； ②起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆 向应用．
向量的减法及其几何意义 [典例] 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[解] 法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作 OA ＝ a， AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC ＝c，则CB＝a＋b－c.
[一题多变] 1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE 与CE .
解：BE ＝ AE － AB＝c－a， CE ＝ AE － AC ＝c－b. 2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四 边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四 边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？ 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以CD＝ AE ＝c，BC ＝ AC － AB＝b－a， BD＝ BC ＋CD＝b－a＋c.
利用已知向量表示未知向量
[典例] 如图所示，四边形ACDE是平行四 边形，B是该平行四边形外一点，且 AB ＝a， AC ＝b， AE ＝c，试用向量a，b，c表示向量 CD， BC ， BD.
[解] 因为四边形ACDE是平行四边形， 所以CD＝ AE ＝c，BC ＝ AC － AB＝b－a， 故 BD＝ BC ＋CD＝b－a＋c.
向量减法运算及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等、方向相反 的向量，叫做 a 的相反向量，记 作 －a. (1)规定：零向量的相反向量仍是 零向量 ； (2)－(－a)＝ a ； (3)a＋(－a)＝ (－a)＋a ＝ 0 ； (4)若 a 与 b 互为相反向量，则 a＝ －b ，b＝－a ，a＋b＝ 0 . [点睛] 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向” 两方面进行定义，相反向量必为平行向量．

的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
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4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
5.共线向量： 向量可以平移，平行向量都可以平移到同一条
直线上，因此平行向量又称作共线向量
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引入1：
由于大 陆和台湾没 有直航，因 此要从上海 去台湾探亲， 乘飞机 要先从上海 到香港，再 从香港到台 北，这两次 位移之和是 什么？
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判断 | a b | 与 | a | | b | 的大小
2、不共线
b
o· a A
a
b
ab
三角形的两边之和大于第三边
B
|a b|< |a| |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定：0 a a 0 a
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引入2： 图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向
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练一练
A1A2+A2A3=_______
(A1A2+A3A4 )+A2A3=______
１.化简 (1)AB CD BC __A_D_____
(2) MA BN AC CB _M__N_____
(3)AB BD CA DC ___0_____
２.根据图示填空
EeD
gf
d
c
A
C
b
aB
(1)a b c (2)c d f (3)a b d f (4)c d e g
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数学应用
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （1）OA OC (2) BC FE (3)OA FE

解析
根据向量减法的定义，$vec{a} - frac{vec{b}}{2}$ 等于$vec{a}$加上$-frac{vec{b}}{2}$，即$vec{a} frac{vec{b}}{2} = (2,3) + (-2,-2.5) = (0,0.5)$。
综合练习题
题目
已知点$A(1,2,3)$和点$B(4,5,6)$，求向量$overrightarrow{AB}$。
向量减法运算及其几何意义优 质课课件
目录
CONTENTS
• 向量减法的定义与性质 • 向量减法的运算规则 • 向量减法在物理中的应用 • 向量减法在数学中的拓展 • 向量减法的练习题与解析
01
CHAPTER
向量减法的定义与性质
向量减法的定义
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点平移到另一个向量的终点，然后反向延长线段 得到的向量。
进阶练习题
题目
已知$vec{a} = (1,2,3)$，$vec{b} = (4,5,6)$，求 $vec{a} - 2vec{b}$。
题目
已知$vec{a} = (2,3)$，$vec{b} = (4,5)$，求 $vec{a} - frac{vec{b}}{2}$。
解析
根据向量减法的定义，$vec{a} - 2vec{b}$等于 $vec{a}$加上$-2vec{b}$，即$vec{a} - 2vec{b} = (1,2,3) + (-8,-10,-12) = (-7,-8,-9)$。
向量减法的几何意义
总结词
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。
详细描述
向量减法的几何意义是两个向量在平面上的相对位置关系。具体来说，如果$vec{A}$和$vec{B}$是两 个向量，那么$vec{A} - vec{B}$表示从点B出发沿与$vec{B}$相反方向移动到点A的向量。这个过程可 以通过平移和反向延长线段来实现。

注意事项
在作图时需要保证所画的直线与坐标轴平行或垂直，以避免误差。
向量减法在物理中的应用
定义
向量减法在物理中主要用于描述物体运动的方向和速度。
应用场景
如物体在平面内的直线运动、曲线运动、匀速圆周运动等都需要用到向量减法来描述速度 和加速度的方向。
实例
一艘船从点$A$出发，以速度$vec{v_1}$航行一段时间后到达点$B$，然后以速度 $vec{v_2}$继续航行一段时间后到达点$C$，则船从$A$到$C$的速度可以表示为 $vec{v_c} = vec{v_1} - vec{v_2}$。
形成的向量。
性质
向量减法的结果是一个向量，其大 小等于被减向量的模与减向量的模 之差，方向与被减向量相同。
应用
向量减法在解决三维空间中的物理 问题、工程问题等方面有广泛应用 ，如力、力矩的计算等。
向量减法与向量加法的几何关系
关系
应用
向量加法和向量减法是互为逆运算， 即两个向量的和等于它们的相反向量 的差。
。
计算步骤
设$vec{A} = (x_1, y_1)$， $vec{B} = (x_2, y_2)$，则 $vec{A} - vec{B} = (x_1 - x_2,
y_1 - y_2)$。
注意事项
向量减法满足交换律和结合律， 即$vec{A} - vec{B} = vec{B} vec{A}$，$(vec{A} - vec{B}) vec{C} = vec{A} - (vec{B} +
CHAPTER
04
实例分析
生活中的向量减法实例
帆船运动
在帆船运动中，需要计算 风向和风速的向量差，以 调整帆船的航向。
航空导航

做一做
1、若 a , b 是互为相反向量,那么
a =_–_b__, b =_–__a_, a + b =_0___
2 、– ( – a)=___a___
a + b 的相反向量是_–_(_a__+_b_) a +(– b)的相反向量是_–_[a__+_(_–__b_)_]
a
b
Oa A
b
a-b
B
特点:1.同一起点，向被减
小结
1、向量减法的定义及运算 不共线
2、向量减法的作图 共线
同向
不同向
2.减法化加法
学案例１：
• 如图，已知向量a,b,c,d, 求作向量a-b,c-d.
bd
a
c
B D
书本87 第1题
A
d cd
b
C a
c
O
向量的减法 书本87 第2题
1.共线同向 a
2.共线反向 a
AC
B
B
AC
若 a ， b 方 向 相 反 ， |a b | |a | |b | 若 a ， b 方 向 相 同 ， |a b | |a | |b （ | 或 |b | |a |）
若 a ， b 不 共 线 ， 则 | a b | | a | | b |
任 意 向 量 a ， b ， 有 | | a | | b | | | a b | | a | | b |
例2：选择题
D
C
例3：如图，平行四边形ABCD，AB= ，
AD= ，用 、 表示向量AC、DB。
D
2.2.2《向量减法运算 及其几何意义》
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A

【例2】
如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且
=a, =b, =c,试用 a,b,c 表示向量, , .
分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,再灵活运用三
角形法则或平行四边形法则表示即可.
解:∵四边形 ACDE 为平行四边形,
∴ = =c, = − =b-a.
在平面内任取一点 O,作=a, =b,则向量
a-b=.如图所示
作法
如果把两个向量 a,b 的起点放在一起,则 a-b
几何意义
可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的
Hale Waihona Puke 终点的向量探究一向量的减法运算
【例 1】 化简下列各式:
(1) − + − ;
(2)( + )+( + )-( − ).
解:(1) − + − = + − = −
=0.
(2)( + )+( + )-( − )=( + )+( + )( − )= + − = − = .
探究二用已知向量表示未知向量
∴ = + =b-a+c,
= − =c-a, = − =c-b.
探究三向量加减法的综合运用
【例 3】 已知 O 为四边形 ABCD 所在平面外的一点,且向量
, , , 满足 + = + ,则四边形 ABCD 的形状
= + − =r3+r1-r2.
典例如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A,B,C
的向量分别为 r1,r2,r3,求 .

【规范解答】方法 1：∵b＋c＝D→A＋O→C＝O→C＋C→B＝O→B， O→A＋a＝O→A＋A→B＝O→B，∴b＋c＝O→A＋a，即 b＋c－a＝O→A.
方法 2：∵c－a＝O→C－A→B＝O→C－D→C＝O→D，O→D＝O→A＋A→D ＝O→A－b，∴c－a＝O→A－b，即 b＋c－a＝O→A.
用向量的加法、减法证明平面几何问题
如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，设A→B＝a， D→A＝b，O→C＝c，证明：b＋c－a＝O→A.
【思路分析】要证 b＋c－a＝O→A，可转化为证明 b＋c＝O→A ＋a，从而利用向量加法证明；也可从 c－a 入手，利用向量减，设O→A＝a，O→B＝b.∵a 的方向与 b 方向垂直，∴O→A⊥O→B.以 OA，OB 为邻边作矩形 OACB，则|a ＋b|＝|O→C|，|a－b|＝|B→A|.∵OACB 为矩形，∴|O→C|＝|B→A|，∴|a ＋b|＝|a－b|.
(1)此题证明的关键在于运用了向量的和与 差的几何意义．
向量减法运算及其几何意义
知识点归纳
1．相反向量 (1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向 量．记作－a. (2)性质：①a与－a互为相反向量，即－(－a)＝a；②－0 ＝0；③a＋(－a)＝0；④若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝ －a，a＋b＝0.
2．向量的减法运算 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这 个向量的相反向量． (2)几何意义：已知 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，则B→A＝a－b.即 a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向 向量 a 的终点的向量．
(2)把向量的加、减法，向量的模与四边形的概念综合起 来，拓展了思维空间．

第二章
向量减法运算及其几何意义
1．相反向量
定义 如果两个向量长度___相__等___，而方向__相__反____那么称这两个向量是 相反向量 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝__0___
性质 ②若a、b互为相反向量，则a＝ __－__b____，a＋b＝__0___ ③零向量的相反向量仍是零向量
2．向量的减法
[解析] ∵O→A＋O→C＝O→B＋O→D， ∴O→A－O→D＝O→B－O→C，∴D→A＝C→B． ∴|D→A|＝|C→B|，且 DA∥CB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形．
错误使用向量的减法法则
典例 4 如图，已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶 点 A，B，C 的向量分别为 r1，r2，r3，求O→D．
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的__相__反__向__量____
在平面内任取一点
O，作O→A＝a，O→B＝b，则向量
→ a－b＝__B_A___.如图
所示
作法
几何 如果把两个向量 a、b 的起点放在一起，则 a－b 可以表示为从向量 b 意义 的__终__点____指向向量 a 的__终__点____的向量
[知识点拨]1.向量减法的三角形法则中，B→A表示 a－b，强调了差向量的“箭 头”指向被减向量．即作非零向量 a，b 的差向量 a－b，可以简记为“共起点， 连终点指向被减”．
2．由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；
也可以用向量减法的定义 a－b＝a＋(－b)(即平行四边形法 则)作差向量，显然，此法作图较烦琐．
[错解] 因为O→D＝O→C＋C→D，C→D＝B→A＝O→B－O→A，所以O→D＝O→C＋O→B－O→A＝ r3＋r2－r1．

题型三 用已知向量表示其他向量 例3 如图，解答下列各题：
(1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 d，c 表示E→C.
栏目 导引
【解】 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→E＝d， E→A＝e，则 (1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝d＋e＋a. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
栏目 导引
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名师解题 平面图形中的向量加、减运算 例4 如图所示，O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 的
交点，设A→B＝a，D→A＝b，O→C＝c，求证：b＋c－a＝O→A.
栏目 导引
抓信息 破难点 (1)抓住平行四边形具有的性质是正确作答的关键． (2)利用D→A＝C→B，从而 b＋c＝O→B. (3)由相反向量知－a＝－A→B＝B→A，从而问题可以求解． (4)解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意 平面几何知识的应用．
2．化简： (1)M→N－M→P＋N→Q－P→Q； (2)B→D＋D→C＋A→B－A→C. 解：(1)M→N－M→P＋N→Q－P→Q＝(M→N＋N→Q)－(M→P＋P→Q) ＝M→Q－M→Q＝0. (2)B→D＋D→C＋A→B－A→C＝(B→D＋D→C)＋(A→B－A→C) ＝B→C＋C→B＝0.
栏目 导引
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解：如图过 D 作 AC 的平行线，交 BC 的延长线于 E， 则 DE∥AC，AD∥BE.∴四边形 ADEC 为平行四边形， ∴D→E＝A→C，C→E＝A→D. ∵a＋ b＋c＝A→B＋B→C ＋B→D ＝A→C＋B→D ＝D→E ＋B→D ＝B→E ＝A→D＋A→D＝2A→D， ∴|a＋b＋c|＝2|A→D|＝8 3.

指向被减向量的终点的向量．
题型二 向量减法法则的运用
【例 2】 (1)向量M→N可以写成：①M→O＋O→N；②M→O－O→N；③ O→M－O→N；④O→N－O→M． 其中正确的是________(填序号)． 解析 ①M→O＋O→N＝M→N；②M→O－O→N＝－O→M－O→N ＝－(O→M＋O→N)≠M→N；③O→M－O→N＝N→M；④O→N－O→M＝M→N， 故填①④．
答案 B
(2)如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d．
解 如图所示，在平面内任取一点 O， 作O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，O→D＝d． 则 a－b＝B→A，c－d＝D→C．
规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，
题型三 向量减法的应用
【例 3】 如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是 平行四边形，且A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量B→D，B→C，B→E，C→D及C→E．
解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形， ∴C→D＝A→E＝c， B→C＝A→C－A→B＝b－a， B→E＝A→E－A→B＝c－a， C→E＝A→E－A→C＝c－b， ∴B→D＝B→C＋C→D＝b－a＋c．
答案 ①④
(2)化简：①B→A＋O→D－O→A－B→C； ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)． 解 ①B→A＋O→D－O→A－B→C＝(B→A－B→C)＋(O→D－O→A) ＝C→A＋A→D＝C→D． ②(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝A→C＋B→A－O→C＋O→B ＝A→C＋C→O＋O→B＋B→A＝A→B＋B→A＝0．