第1章_函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续

一、 基本内容

（一）函数

1. 函数的定义

设变量x在某个实数集D中取定一数值时,另一变量y按照一定的规则总有一确定的数值与其对应，则称y是x的函数.记为)(xfy.称x为自变量，y为因变量，实数集D为定义域.

2. 函数的几种特性

(1)单调性

(2)有界性

(3)奇偶性

(4)周期性

3. 反函数

在函数)(xfy中，若将y当作自变量，x当作因变量，则由)(xfy确定的函数)(yx称为)(xfy的反函数.

4. 复合函数

若y是u的函数)(ufy，1Du，而u又是x的函数，)(xu，2Dx，且12)(,DxDxxD，则函数Dxxfy)],([称为由函数)(ufy和)(xu复合而成的复合函数，称u为中间变量.

5. 初等函数

幂函数、指数函数、三角函数以及它们的反函数都称为基本初等函数.有常数和基本初等函数经有限复合步骤所形成的，并且可用一个式子表示的函数称为初等函数.

（二）极限

1. 极限的定义

(1)设数列nx与常数a有如下关系：对任意给定的正数，总存在正整数N，当Nn时，有axn成立，则称数列nx收敛于a，记作axnnlim.

(2)对任意给定的正数，总存在正数，当00xx时，Axf)(成立，则称)(xf当0xx时以A为极限，记作Axfxx)(lim0.

(3)对任意给定的正数，总存在正数X，当Axf)(时，Axf)(成立，则称)(xf当0xx时以A为极限，记作Axfxx)(lim0.

2. 极限存在准则

(1)单调有界数列必存在极限.

(2)设nx，ny，nz为三个数列),2,1(n，若nnnxzy且ayxnnnnlimlim，则数列nz的极限存在，且aznnlim.此定理称为夹逼定理. 此定理同样适应于函数的极限.

3.两个重要极限

(1) 1sinlim0xxx； (2) exxx)11(lim.

4.当0x时的等价无穷小量

xx~sin；xx~tan；xthx~；xshx~；

xx~sin arc；xx~tan arc；xex~1；

xx~)1ln(；xx2~1)1(2；2~cos12xx；

)0(ln~1xaxax.

（三）连续

1. 函数在一点的连续性

设)()(lim00xfxfxx则称)(xf在0xx点连续.

2. 函数的间断点的两种类型：第一类间断点和第二类间断点.

3. 初等函数的连续性

设)(xf是定义在I上的初等函数，则)(xf在I上连续.

4. 闭区间上连续函数的性质

设)(xf在],[ba上连续，则有

(1)最值定理 )(xf在],[ba上必有最大值和最小值.

(2)介值定理 设)(xf在],[ba上的最小值和最大值分别为m与M，c是介于m与M之间的任一确定的数，则在),(ba内至少有一点，使cf)(.

二、练习题

1.1 求f(x)的定义域:

(1))ln1ln()(xxf；

(2))34ln(2)(2xxxxf.

解：(1) (0,2) (2) [2,4]

1.2 设0,0,)(22xxxxxxf则f(-x)=____________

解：

00)(22xxxxxxf

1.3 求f(x)的反函数)(x及其定义域 :

(1)xexf11)(；(2) xxxf11)(；

(3)0,1210,1)(2xxxxxxf

解：(1))1,0(1ln)(xxxx

(2)),1()1,(11)(xxxx (3)xxxxxx111221)(

1.4 设在（，）上f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)与g(x)都不恒为零，试确定下列函数的奇偶性：

(1))()(xgxf；(2) f[g(x)]； (3)f[f(x)]；

解：(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 (4)偶函数 (5)奇函数

1.5 下列函数是否为周期函数，若是则求出周期:

(1))32sin(x；(2) x2cos； (3)xxtan；(4)xsin

解：(1)是周期为4的周期函数 (2)是周期为的周期函数

(3)不是周期函数 (4)是周期为的周期函数

1.6 f(x)是以2位周期的周期函数.且又是偶函数，若已知在[0，1]上xxxf2)(2，

则______)25(f.

解： 由已知条件得

431)21()21()2124()25()25(2ffff

1.7 设f(x)在[0，1]上为单增函数，且.1)1(;0)32(;21)21(;2)0(ffff

g(x)时f(x)的反函数.则g(1)-g(0)的值应是多少？

解：由已知条件，)(xg也是[-2,1]上的单调增函数

0)2(g 21)21(g 32)0(g 1)1(g

31321)0()1(gg

1.8 检验下列函数在指定区间是否为单调函数：

(1))(,211xeyx；

(2),0,11xy；

(3)xxy,sin；

(4),0,xy

解：(1)单调增函数 (2)单调增函数 (3)不是单调函数 (4)单调减函数

1.9 用,,XN的极限定义，叙述下列极限：

(1)1limnnx；(2)3)(limxfx (3) 4)(lim0xfx.

解：(1) 对任意给定的0，存在正整数N 使得当Nn时，1nx

(2) 对任意给定的0，存在正整数0M

使得当Mx时，3)(xf

(3)对任意给定的0，存在0使得

00xx时，4)(xf

1.10 设数列}{nx单减，数列}{ny单增，且0)(limnnxyx，证明这两个数列均收敛，且nnnnyxlimlim.

证明： 由于已知}{nx单调减少，所以1xxn

又由于0)(limnnnyx ，则在nnnyxz

即存在M>0使得Mzn 即Myxnn

MyxMnn nnnyMxyM

由于}{ny单调递增，所以 )1(1nyyn

故nnxyMyM1，即：11xxyMn

所以，}{nx是有界的.

由单调有界原理，}{nx是收敛的

同理可以证明}{ny有界}{ny是收敛的

由于0)(limnnnyx，再由数列极限的四则运算

0limlim)(limnnnnnnnyxyx

即nnnnyxlimlim

1.11 求下列极限:

(1)11lim31nnn；(2) )4)(1(1lim22nnnn；

(3)nnnn5lim；

(4)11211lim222nnnnn；

(5)268153limxxxx ；(6) 11lim331xxx；

(7)xxxcos2sinlim2； (8)1sectanlim2xxx；

(9)xxxx2sin3sinsinlim0；(10))1113(lim31xxx；

(11)ttt321lim； (12)xxxx1021lim；

(13))2(limxxxxxx； (14)xxxxx2sin36coslim；(15)xexxsinlim；

(16)hxhxhsin)sin(lim0；

(17))11()311)(211(lim222nn；

(18))21ln(7cos3coslim0xxxxx； (19)xxxxx10)3632(lim；

(20)exxex1lnlim； (21)]ln)1[ln(limnnnn；

(22))1(lim1nnan； (23))1ln()cos1(1cossin3lim20xxxxxx；

(24))cos1(cos1lim0xxxx； (25))(sinlim22nnn

解：

(1)31)1)(1(1lim11lim2131nnnnnnnn

(2) 0)4)(1(1lim42nnnn

(3)255111lim55)5(lim)5(limnnnnnnnnnnnn

(4) 11211lim222nnnnn

21)1(2)1(lim2nnnn

(5)82683)1()53(limxxxx

(6)

91)1)(1)(1(lim1)1)(1(lim11lim3232331321331xxxxxxxxxxxxxxx

(7) 2coscossinlim2cos2sinlim22xxxxxxx

(8)21sec)1)(1(seclim1sectanlim2xsexxxxxx

(9)223212sin3sinlimcossin2sinlim2sin3sinsinlim000xxxxxxxxxxx