量子力学期末考试题

2002级量子力学期末考试试题和答案A 卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。

（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。

（4分）4、证明)ˆˆ(22x x p x x p i -是厄密算符 （5分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x 和动量x pˆ之间的测不准关系。

（6分）二、（15分）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符Aˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在B 表象中算符Aˆ的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

三、（15分）设氢原子在0=t 时处于状态),()(21),()(21),()(21)0,(112110311021ϕθϕθϕθψ-+-=Y r R Y r R Y r R r ，求1、0=t 时氢原子的E 、2Lˆ和z L ˆ的取值几率和平均值； 2、0>t 时体系的波函数，并给出此时体系的E 、2L ˆ和z L ˆ的取值几率和平均值。

四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=C C C H 000000200030001ˆ 这里，H H H'+=ˆˆˆ)0(，C 是一个常数，1<<C ，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。

五、（10分）令yx iS S S +=+，yx iS S S -=-，分别求+S 和-S 作用于z S 的本征态⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0121和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1021的结果，并根据所得的结果说明+S 和-S 的重要性是什么？一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae-⋅=ρρηψ2、定态：定态是能量取确定值的状态。

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。

二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。

综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。

针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。

谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r rZe r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起 一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z ea ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=00022022203002334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题：1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。

2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。

3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。

4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。

二、简答题：1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。

答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。

综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。

2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？答：不确切。

针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。

3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。

谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。

三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。

四、计算题。

1、第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。

据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r rπε=-（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r E d r e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,43441020********420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起一级修正为（基态03(0)1/210030()Zra Z e a ψπ-=） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∵0a r <<，故102≈-r a Z e 。

量子力学期末试题1一. 填空（3分×5=15分）1.2)2,(h vr ψ的含义是 2.在非定态下，力学量的平均值一定随时间变化吗？3.211ˆ(,)________L Y θϕ=;2,1ˆ(,)________z L Y θϕ−= 4.坐标y 在动量表象中的矩阵元为__________________________.5.2ˆ[,]y z σσ=____ 二.证明（10分×2=20分）1.（10分）设ˆA v ，ˆB v 是与σˆv 对易的任何矢量算符， 证明：)ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A v v v v v v v v v ו+•=••σσσ。

2.（10分）设力学量A 不显含时间t ，H 为体系的Hamilton 量，试证明]],,[[222H H A A dt d =−h三.计算（65分），1. （15分）求一维谐振子的坐标,x 动量ˆp及Hamilton 量ˆH 在能量表象中的矩阵表示。

(已知：1111)n n n n n x ψ+−−+=+− 2.（15分）在ˆz σ表象中，求01ˆ10x σ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠和0ˆ0y i i σ−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠的本征值和所属的本征函数。

3.（15分）设粒子在势场 ⎩⎨⎧><∞<<=.,0,;0,0)(a x x a x x u 中运动， 求：粒子的能量本征值和本征函数。

（15分）4.（20分）考虑耦合谐振子，H H H ′+=0，其中)(21)(22221222221220x x x x H ++∂∂+∂∂−=μωμh ；21x x H λ−=′（λ为实常数，刻画耦合强度）（1）.求出0H 的本征值及能级的简并度；（2）.以第一激发态为例用简并微扰论计算H ′对能级的影响（一级近似）试卷1参考答案一. 填空（每题3分，共15分）1. 电子自旋向上位置在r v处的几率密度, 2. 不一定,3. ),(2112ϕθY h ;),(1,2ϕθ−−Y h ， 4. )(p p p i y p p ′′−′′∂∂=′′′δh5. 0二.证明（每题10分，共20分） 1 证明原式左端)(z z y y x x A A A σσσ++=)(z z y y x x B B B σσσ++ (5分)z z z y y y x x x B A B A B A 222σσσ++=x y x y y x y x z x z x x z x z y z y z z y z y B A B A B A B A B A B A σσσσσσσσσσσσ++++++又因为1222===z y x σσσ，z x y y x i σσσσσ=−=，x y z z y i σσσσσ=−=，y z x x z i σσσσσ=−= （3分）整理得)(B A i B A vv v v v ו+•σ （2分）问题得证 2 证明对于不显含时间t 的力学量A 有hi A dt d 1=],[H A （5分） 上式两边对t 求导，则有 h h i H A i dt d A dt d 1],[122==]],,[1[H H A i h ]],,[[12H H A h−= （5分）即]],,[[222H H A A dt d =−h三.计算题 1.解：取占有数表象，由已知可得：（2分）1） 坐标x 的矩阵表示为,1,n n n n n n x ′′′+⎞=+⎟⎟⎠（3分）0000100x α⎛⎞⎜⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L L L L L L L L L L L L （2分） 2） 由于ˆdpi dx=−h ，所以,1,n n n n n n p ′′′−⎤=−⎥⎦（2分）故有0000000p i α⎛⎞⎜⎟⎟⎟⎟⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L h L L L L L L L L L L L （2分） 3） 能量ˆ(H=1ˆ2N ω+h ，所以 ,1()2n n n n H n ωδ′′=+h （2分）故有 1000230002ˆ50002100002H n ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎜⎟⎝⎠L L L L L L L L （2分）2.解：解：（1） 先求x σ的本征值和本征函数在z σ表象中，x σ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110，设x σ本征值为λ，本征态为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛b a ， 则本征方程为：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛b a b a λ1001 （3分） 解得： 1±=λ （2分）x σ∴的归一化的本征态为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1112111121λσλσx x （4分）（2） 同理可求y σ的本征值为1±=′λ （2分）相应于y σ的归一化本征态为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=11211121λσλσi i y y （4分）3.1 解：一维定态薛定鄂方程为222()2d u x E m dxψψψ−+=h （2分） 1） 在0x a ≤≤范围：22202d E m dxψ+=h （2分） 故 sin cos A x B x ψαα=+，1222mE α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠h （2分） 2） 根据波函数的连续性条件：()(0)0a ψψ==，可得 sin cos 0,0A a B a B αα+==故有 sin A x ψα= （3分）由sin 0a α=可得，(1,2,3)n n aπα==L （1分）3） 由归一化条件：2||1dx ψ+∞−∞=∫，可得2220sin 1aA xdx α=∫故有A =（2分） 4） 结合1222mE α⎛⎞=⎜⎟⎝⎠h 和(1,2,3)n n a πα==L 可得 2222222222n n n E m a ma ππ==h h （2分）所以()n x x aπψ= 1,2,3n =L （1分） 4.解：)(21)(22221222221220x x x x H ++∂∂+∂∂−=μωμh )212(2122122x x μωμ+∂∂−=h )212(2222222x x μωμ+∂∂−+h 表示两个独立的谐振子，它们的共同本征态为：21n n21n n =)()(212x x n n n ψψ0201)21()21(21ωωh h +++=∴n n E n nL L h 3,2,1,)1(0=+=N N ω （4分） 当N 给定时， N n L L ,2,1,01= 0,2,1,2L L −−=N N N nN+1种组合因此，能级的简并度为N+1 （4分） （2）第一激发态为N=1 能级简并度为二重00)0(12)1(ωωh h =+=N E相应的波函数为：⎩⎨⎧==),()()(),()()(21220112112110x x x x x x x x φψψφψψ （1分） ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′=′∴22122111φφφφφφφφνμH H H H H （2分） 01111=′=′∴φφH H , 02222=′=′∴φφH H （2分） 221122αλ−=′=′∴H H （4分） ′⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=′∴022022αλαλνμH00220)1(22)1(=′⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−∴E E αλαλ2)1(2αλ±=∴E （2分） 0020)1(1)0(112222μωλωαλωhh h ±=±=+=∴E E E （1分）量子力学期末试题2一.填空（3分×5=15分）1 粒子处于力学量B v 的本征态)(r n vψ的迭加态，)()(41)(21)(321r C r r r n v v v v ψψψψ++=则粒子处于)(1r vψ的概率是 ，C = （取实数）2 若ˆ,FG GF ik−=，则算符F 和G 之间满足测不准关系________________ 3 在粒子数表象中，产生算符和湮灭算符满足关系式：ˆ4an ++= ；ˆ1a n += 4.一个正电子和一个负电子同时在空间运动在两粒子相遇区域是否可以将其分辨？______5 中心力场中的粒子处于定态，则角动量取确定值，对吗？ 二.证明（10分×2=20分）1.（10分）设λ为常数，z σ为泡利算符，证明：cos sin zi z ei λσλσλ=+2.（10分）证明:Hermite 算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交（假定本征值是离散的）。